湖北地区八校2017年度届高三第一次联考数学(理科)试题

荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟2017届高三第一次联考理科数学试题本试题卷共4页，23题（含选考题）。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

★祝考试顺利★注意事项:1、答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

用2B 铅笔将答题卡上试卷类型A 后方框涂黑。

2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3、非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4、选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用2B 铅笔涂黑。

答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

5、考试结束后，请将答题卡上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请将正确的答案填涂在答题卡上.1．已知复数z 满足264z z i +=-（i 是虚数单位），则复数z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 2．设集合{}2430A x x x =-+≤，集合201x B x x ⎧-⎫=>⎨⎬+⎩⎭，则R A B = ðA ．[]1,3- B ．[]1,2C ．(]1,3- D.[)(,1)1,-∞-+∞3．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且484a a +=，则11S 的值为A ．44B ．22C ．18D ．12 4．函数x x x f 2log )(+=π的零点所在区间为A ．1142⎡⎤,⎢⎥⎣⎦B ．1184⎡⎤,⎢⎥⎣⎦C ．108⎡⎤,⎢⎥⎣⎦D ．112⎡⎤,⎢⎥⎣⎦5．下列选项中，说法正确的是A ．命题“0x R ∃∈，2000x x -≤”的否定为“x R ∃∈，20x x ->” B ．命题“在ABC ∆中，30A >，则1sin 2A >”的逆否命题为真命题 C ．若非零向量a 、b 满足a b a b +=-，则a 与b 共线D ．设{}n a 是公比为q 的等比数列，则“1q >”是“{}n a 为递增数列”的充分必要条件 6．设函数3(1)()3(1)x x bx f x x -<⎧=⎨≥⎩，若1(())92f f =，则实数b 的值为A ．32-B ．98-C ．34-D ．12- 7．已知角ϕ的终边经过点(3,4)P -，函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>图像的相邻两条对称轴之间的距离等于2π，则()4f π=A ．35-B ．35C ．45-D ．458．若点(,,)P x y 的坐标满足1ln1x y=-，则点P 的轨迹图像大致是9．如图，在直角梯形ABCD 中，22AB AD DC ==，E 为BC边上一点，3BC EC =，F 为AE 的中点，则BF = A ．1233AB AD - B ．2133AB AD -C ．1233AB AD -+ D ．2133AB AD -+10．已知函数32()2(1)2f x x x f '=++，函数()f x 在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为α，则DCBAEF第9题图23sin ()sin()cos()22πππααα+-+-的值为A ．917B ．2017C ．316D ．211911．已知在ABC ∆内有一点P ，满足0PA PB PC ++=，过点P 作直线l 分别交AB 、AC 于M 、N ，若AM mAB = ，(0,0)AN nAC m n =>>，则m n +的最小值为A ．43 B ．53C ．2D ．312．已知函数2()2cos x f x x x π=-+，设12,(0,)x x π∈，12x x ≠且12()()f x f x =，若1x 、0x 、2x 成等差数列，则A ．0()0f x '>B ．0()0f x '=C ．0()0f x '<D ．0()f x '的符号不确定第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分.13．已知平面向量(1,2)a = ，(2,)b m =-，若//a b ，则23a b += __________．14．已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且当0x <时, ()2x f x =,则4(log 9)f 的值为__________． 15．三国魏人刘徽，自撰《海岛算经》，专论测高望远．其中有一题：今有望海岛，立两表齐，高三丈，前後相去千步，令後表与前表相直。

11-：1.2. 3. 鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2017届高三第一次联考数学(理科)试题命题学校：荆州中学 命题人：荣培元 审题人：邓海波 张云辉 马玮第I 卷.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的10i 复数z(i 为虚数单位)的虚部为 3+i A. 1 B. 3 已知集合A 二^x|2x '2 :::1 ?, B A x x 2 9■: C. 4 2D. 42x y _ 38. 若实数x, y 满足x - y _ 3 ,x 2 y 岂 6A. 2 ,0B. .70C. 8D. 109. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说 明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断， 逐节多三分③，逐圈少分三④. 此民谣提出的问题的答案是 (注：①五寸即0.5尺.②一尺三即则(x 亠1)2亠y 2的最小值为节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？ 剩下三 1.3尺.③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于 0.013尺.)C. 61.905尺D. 73.995尺3T'1 2x 2A. 72.705尺B. 61.395尺 15D.4-2x -3 0?，则(C R A) B =C. [-2,-1)U(3,D. (-2,-1)U(3,=)C. -310.已知直线y = kx(k ・R)与函数f (x)=A. ［ 2, 1)B.(- 下列选项中，说法正确的是 A.若 a b 0 ,则 log 1 a log 1 b2 2 向量a =(1,m),b =(m,2m -1) (m •二R)共线的充要条件是 m =0 命题“ -n ・N *,3n (n ・2)・2n °”的否定是,-2] g 0)的图象恰有三个不同的公共点，则实数(x 0)B.C. D. “ _n N *,3n _ (n 2) 2心” f (b^0，则 f(x)在区k 的取值范围是3 A.211.已知x = 1是函数是A. ln a b-1B.(」：，-2)U(2,=)f (x)二 ax 3- bx - lnD.(2,：：)x ( a 0,b R )的一个极值点，贝U In a 与b-1的大小关系4. 已知函数f (x)在区间［a,b ］上的图象是连续不断的， 则命题“若f (a) 间(a, b)内至少有一个零点”的逆命题为假命题 实数a=0.33, b=log 3 0.3 , c = 30.3的大小关系是 B. In a ：： b-1 1 12.已知 f(x) = sin x-cos x ( ■4不属于区间(2二，3二)，则」的取值范围是3 11 | | 11 19 1 5 | | 5 3A. [ , ]U [ , ]B. ( ,]U [,] 8 12 8 12 4 12 8 4C. In a 二 b- 1D.以上都不对x R)，若f (x)的任何一条对称轴与 x 轴交点的横坐标都c. [?Z]U 匚卫]D.(」,$U[£ 卫]8 12 8 12 4 4 8 12A. 2 3 C. 6.3B. 2 D. 67.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A. 3二 4 B. 4二 2 第U 卷本卷包括必考题和选考题两部分 .第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答 .第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答 .二、填空题：本题共 4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不 清、模棱两可均不得分.13. 已知向量a , b 的夹角为一，且a ・(a- b) = 1, |a 卜2，则|b 卜 ____________ .3* 314. 已知数列｛a n ｝满足：印=1, a ?= 2, a+2=升厂a (有 N )函数f ( x)= ax+ btan x 若f(a 4)= 9,则 f (aj f(a 2017 )的值是 _______________ .15.定义四个数a,b,c, d 的二阶积和式c d=ad bc .九个数的三阶积和式可用如下方式化为二n 2 -9 f(n)=n 1 n (n = N )，则 f(n)的最小值为 _____________________ .|1 2 n匚J16.如图所示，五面体 ABCDFE 中，AB//CD//EF ，四边形ABCD , ABEF ，CDFE 都是等腰梯形，并且平面 ABCD _平面ABEF ， AB =12,CD=3,EF =4，梯形 ABCD 的高为 3，EF 到平面 ABCD 的距离为6，则此五面体的体积为 __________________________ .三.解答题：本题共 6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 20. (本小题满分12分)一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A 、B 两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A 制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电 8千瓦时，可得4千克B 制品.根据市场需求，生产的A 、B 两种奶制品能全部售出， 每千克A 获利a 元，每千克B 获利b 元.现在加工厂每天最多能得到 50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不 得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工 102千克A 制品，乙类设备的加工能力没有限制 . 其生产方案是：每天用 x 桶牛奶生产 A 制品，用y 桶牛奶生产B 制品(为了使问题研究简化， x,y可以不为整数).(I)若a = 24, b=16，试为工厂制定一个最佳生产方案(记此最佳生产方案为 F 0)，即x, y 分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；(n )随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波动.若a = 24(1 + 4h) , b=16(1+5k —5,)(这里0£^c 1)，其它条件不变，试求 &的取值 范围，使工当且仅当.采取(I)中的生产方案 F 0时当天获利才能最大.17. (本小题满分12分)厂 .ABC 中，角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，已知上色^匹C cosB b(I)求角B 的大小；(n)点D 为边AB 上的一点，记 —BDC - v ，若一：：：：:::二28 f 5 CD =2, AD = .5 , a ，求 sin 二与 b 的值.518. (本小题满分12分)已知函数f(x)=Asi n(co x +®) ( A > 0,⑷> 0, ® £二)的部分图象如图所示2(I)求f (x)的表达式;(n)把函数 y = f(x)的图象向右平移 一个单位后得到函数 g(x)的图4、， 1象，若函数h(x)二ax g(2x)「g(x)在(Y ； •：：)单调递增， 2求实数a 的取值范围.19. (本小题满分12分)已知两数列｛a n ｝ , ｛b n ｝满足b n =「3n a n (n ・N *), 3b 1 =10a 1，其中｛a .｝是公差大于零的等差 数列，且a 2, a 7, b 2 -1成等比数列. (I)求数列｛a n ｝的通项公式； (n)求数列｛b n ｝的前n 项和S n .21. (本小题满分12分)已知函数 f(x) ln(x 2a)-ax , a 0. (I)求f (x)的单调区间；1(n)记 f (x)的最大值为 M (a)，若 a 2 a 1 0 且 M (a j= M (a 2)，求证：a 1a 2；4(川)若a 2,记集合｛x|f(x)=0｝中的最小元素为x 0,设函数g(x)=|f(x)「x ,求证：x 0是g(x) 的极小值点.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分.22. (本小题满分10分)选修4-4 :坐标系与参数方程千 X = 1 cos ：在直角坐标标系xoy 中，已知曲线C 1 :29(二为参数，很5 R ),在以原点O 为极点，x y= sin a __L 4厂轴非负半轴为极轴的极坐标系中(取相同的长度单位)，曲线C 2 :『sin(‘ —)2，曲线42C 3 = 2 cos^ .(I)求曲线 C 1与C 2的交点M 的直角坐标；(n)设A, B 分别为曲线C 2，C 3上的动点，求 AB 的最小值.23. (本小题满分10分)选修4-5 :不等式选讲设函数 f (x)二 X - a , a ，R .(I)当 a=2时，解不等式：f(x)^6—2x —5 ；1 8(n)若关于x 的不等式f(x)空4的解集为［-1,7］，且两正数s 和t 满足2s t =a ，求证：6阶积和式进行计算:'ai a 2 a ?〕b 2 b 31th b s 丨b 1b 1 b 2 b 3= a 1xI +a 2 x|+ a^x |.已知函数C3c 1 c 3G C 2C 2 c3_第ID 题图AJ. s t2017届高三第一次联考数学（理科）试题参考答案19. (I)设｛a n｝的公差为d (d 0),'：3“ = 10a1” 3(1 3aJ = 10a1, a1 = 3.又a2 = a1 d = 3 d , a7 = a1 6d = 3(1 2d) , b2 - 1 = 9a2 = 9(3 d),13. 3 14. -18 15. -21 16. 57由a2, a7, d -1 成等比数列，得9(1 • 2d)2= 9(3 • d)2，: d 0, 1 • 2d = 3 • d , d = 2 ,.a n =3 (n -1) 2 =i2 / 1 ...6 分17. (I)由已知,3 sinC c f，得cosB b.3sinC sinCcosB sin B:"si nC 0，sin Bcos B=tan B(n)因为％=2n • 1,所以b^ V (2n • 1)3n,曰是,\*0 :: B Y, B 二—6CD(n)在BCD中，;上匕sin BS n = (1 3 3) (1 5 32) (1 (2n 1) 3n),8 <52 5 .—,.sin sin30 sin v.................... ...4 分BC _ asin _ BDC sin v令T=3 315 32亠亠i. 2n 1 3n① 则3T - 3 32 5 33-亠i. 2n 1 3n 1②①-②，得—2T = 3 3+ 2 冬域2 *3•十汉2—Q 今n1 132、55...8 分2 n：；1-- 2n 1 3n 1- -2n 3n 1, T = n 3 1-3 n-1 ADC为锐角, .cos/ADC 二cos(二- J)n 3n1=n (1 3n1)....12 分20.设工厂每天的获利为z元.由已知, 得z = 3ax 4by ,且在ADC中，由余弦定理，得b2二AD2CD2-2AD CD cos^ =5 4-2、、5 25=5，所以b = -.5 . ............ ...12 分12x 8y E 480x y _ 50 一< ,作出可行域如图所示3xE 102（图中阴影区域）5兀兀2兀18. (I)由图可知， A =1，最小正周期T = 2( )=2 ，-' = 1.4 4 灼H JI JI又2k二(k Z),且| | , . f(x)=sin(x ) . ......... ...5分4 2 2 4 4JI .(n) g(x)二f(x ) = sinx, .................... ...7分4丄1 丄1贝U h(x)二ax g(2x) — g(x)二ax sin2x—sinx ,2 2”2 1 29h (x) = a cos2x -cosx 二2cos x - cosx T a = 2(cosx ) a ,4 89Y h(x)在」：，•：：单调递增，.h(x)-0 恒成立，• h (x) min a-0,89 9 —a ，即a的取值范围为［一，=). ........... ...12分x_ 0,y 一0(I) z 二3ax 4by = 72 x 64 y，当直线12x • 8y= 480与x，y = 50的交点（20,30）时，z取最大值3360.即最佳生产方案F。

2017-2018学年湖北省孝感市八校联考高三上学期数学期末试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，集合A∪B={1，2，3，4，5，6}，下列集合中，不可能满足条件的集合B是（）A．{1，5，6}B．{3，4，5}C．{4，5，6}D．{2，3，5，6} 2．（5分）若复数为纯虚数，其中a为实数，则|z|=（）A．1B．2C．3D．43．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a7=12，则S10=（）A．30B．40C．50D．604．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，则=（）A．2B．3C．D．5．（5分）已知函数，下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（）A．B．C．D．6．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的x=﹣2，n=3，依次输入的a的值分别为﹣1，﹣4，2，4，则输出的S的值为（）A．﹣2B．5C．6D．﹣87．（5分）一个用铁皮做的烟囱帽的三视图如图所示（单位：cm），则制作该烟囱帽至少要用铁皮（）A．1300πcm2B．1500πcm2C．1200πcm2D．1000πcm2 8．（5分）已知直线l1：2x+y﹣4=0，直线l2经过点P（0，﹣5）且不经过第一象限，若直线l2截圆x2+y2=9所得的弦长为4，则l1与l2的位置关系为（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．l1与l2重合9．（5分）已知sin2α=sin（α﹣）cos（π+α），则cos（2α+）的值为（）A．﹣B．C．D．210．（5分）实数x，y满足约束条件，它表示的平面区域为C，目标函数z=x﹣2y的最小值为p1．由曲线y2=3x（y≥0），直线x=3及x轴围成的平面区域为D，向区域D内任投入一个质点，该质点落入C的概率为p2，则2p1﹣4p2的值为（）A．B．C．D．11．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．312．（5分）已知函数f（x）=3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a=（）A．﹣B．﹣C．﹣3D．﹣2二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中，x的系数为．14．（5分）非零向量满足，，则=．15．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题，且p∧q为假命题，则实数a的取值范围为．16．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，若f（2a2）+f（a﹣3）+f（0）＜0，则实数a的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+sinB（sinC﹣cosC）=0，b=2，．（1）求角B的大小；（2）函数，求f（x）的单调递增区间．18．（12分）中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为Y，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子．（1）求随机变量X的分布列；（2）若X，Y的数学期望分别记为E（X）、E（Y），求E（X）+E（Y）．19．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆E：的右焦点，而E的离心率恰好为双曲线的离心率的倒数．（1）求椭圆E的方程；（2）各项均为正数的等差数列{a n}中，a1=1，点在椭圆E上，设，求数列{b n}的前n项和T n．20．（12分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，点G是弧上的一点，点P是弧的中点．（1）求证：平面ABP⊥平面CEG；（2）当AB=BC=2且∠DAG=30°时，求二面角E﹣AG﹣C的正弦值．21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）当a＞0时，曲线y=f（x）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），证明：x1+x2＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（5﹣4cos2θ）=9，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为，求△PAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数，g（x）=|x|+|x﹣1|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，4]，求实数a的最小值．2017-2018学年湖北省孝感市八校联考高三上学期数学期末试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={1，2，3，4}，集合A∪B={1，2，3，4，5，6}，下列集合中，不可能满足条件的集合B是（）A．{1，5，6}B．{3，4，5}C．{4，5，6}D．{2，3，5，6}【解答】解：集合A={1，2，3，4}，集合A∪B={1，2，3，4，5，6}，所以B至少含有，5，6两个元素，故选：B．2．（5分）若复数为纯虚数，其中a为实数，则|z|=（）A．1B．2C．3D．4【解答】解：∵=为纯虚数，∴，即a=1．∴z=，则|z|=1．故选：A．3．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a7=12，则S10=（）A．30B．40C．50D．60【解答】解：由等差数列的性质可得：a1+a10=a4+a7=12，则S10==5×12=60．故选：D．4．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，则=（）A．2B．3C．D．【解答】解：∵函数，其中e为自然对数的底数，∴f（）=ln，=f（ln）==．故选：C．5．（5分）已知函数，下列函数中，最小正周期为π的偶函数为（）A．B．C．D．【解答】解：∵函数，∴f（x+）=3sin（2x+）=3cos2x，它是偶函数，且周期为=π，故A正确．∵f（﹣）=3sinx，它是奇函数，它的周期为2π，故B不满足条件．∵f（2x+）=3sin（4x+π）=﹣3sin4x为奇函数，它的周期为=，故C不满足条件．∵f（x+）=3sin（2x+π）=﹣3sin2x，它是奇函数，且周期为=π，故D不满足条件，故选：A．6．（5分）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，如图是实现该算法的程序框图，若输入的x=﹣2，n=3，依次输入的a的值分别为﹣1，﹣4，2，4，则输出的S的值为（）A．﹣2B．5C．6D．﹣8【解答】解：∵输入的x=﹣2，n=3，当输入的a为﹣1时，S=﹣1，k=1，不满足退出循环的条件k＞3；当再次输入的a为﹣4时，S=﹣2，k=2，不满足退出循环的条件k＞3；当输入的a为2时，S=6，k=3，不满足退出循环的条件k＞3；当输入的a为4时，S=﹣8，k=4，满足退出循环的条件k＞3；∴输出的S值为﹣8故选：D．7．（5分）一个用铁皮做的烟囱帽的三视图如图所示（单位：cm），则制作该烟囱帽至少要用铁皮（）A．1300πcm2B．1500πcm2C．1200πcm2D．1000πcm2【解答】解：由题意可知：三视图对应几何体的圆锥，底面半径为30，高为40，侧棱长为50，侧面积为：=1500π（cm2）．故选：B．8．（5分）已知直线l1：2x+y﹣4=0，直线l2经过点P（0，﹣5）且不经过第一象限，若直线l2截圆x2+y2=9所得的弦长为4，则l1与l2的位置关系为（）A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1与l2相交但不垂直D．l1与l2重合【解答】解：如图，由已知可得，直线l2的斜率存在，设其方程为y=kx﹣5．∵直线l2截圆x2+y2=9所得的弦长为4，∴圆心到直线l2的距离d=，可得k=±2．∵l2经过点P（0，﹣5）且不经过第一象限，∴k=﹣2，则l2的方程为y=﹣2x﹣5，与直线l1平行．故选：A．9．（5分）已知si n2α=sin（α﹣）cos（π+α），则cos（2α+）的值为（）A．﹣B．C．D．2【解答】解：由sin2α=sin（α﹣）cos（π+α）=﹣cosα•（﹣cosα）=cos2α，得2sinαcosα=cos2α，∴tanα=．则cos（2α+）===cos2α﹣sin2α===．故选：A．10．（5分）实数x，y满足约束条件，它表示的平面区域为C，目标函数z=x﹣2y的最小值为p1．由曲线y2=3x（y≥0），直线x=3及x轴围成的平面区域为D，向区域D内任投入一个质点，该质点落入C的概率为p2，则2p1﹣4p2的值为（）A．B．C．D．【解答】解：画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点A（，）处取得最小值，且最小值为z=，即p1=．区域C的面积为：=，平面区域D的面积为：==6，故p2==，所以2p1﹣4p2=．故选：B．11．（5分）已知双曲线E：﹣=1（a＞0，b＞0）的右顶点为A，右焦点为F，B为双曲线在第二象限上的一点，B关于坐标原点O的对称点为C，直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解：由题意设C（m，n），则B（﹣m，﹣n），F（c，0），A（a，0），则M（，），直线CA与直线BF的交点M恰好为线段BF的中点，可知，与共线，=（a﹣m，﹣n），=（﹣a，），可得﹣n•（﹣a）=﹣，可得c=3a，所以e==3．故选：D．12．（5分）已知函数f（x）=3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，则负实数a=（）A．﹣B．﹣C．﹣3D．﹣2【解答】解：函数f（x）=3e|x﹣1|﹣a（2x﹣1+21﹣x）﹣a2有唯一零点，设x﹣1=t，则函数f（t）=3e|t|﹣a（2t+2﹣t）﹣a2有唯一零点，则3e|t|﹣a（2t+2﹣t）=a2，设g（t）=3e|t|﹣a（2t+2﹣t），∵g（﹣t）=3e|t|﹣a（2t+2﹣t）=g（t），∴g（t）为偶函数，∵函数f（t）有唯一零点，∴y=g（t）与y=a2有唯一的交点，∴此交点的横坐标为0，∴3﹣2a=a2，解得a=﹣3或a=1（舍去），故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）的展开式中，x的系数为﹣14．【解答】解：式子=（1﹣）（1+6x+15x2+20x3+15x4+6x5+x6），故x的系数为6﹣20=﹣14，故答案为：﹣14．14．（5分）非零向量满足，，则=4．【解答】解：根据题意得，（﹣2）•=2﹣2•∵=∴2+2•+2=2﹣2+2，∴•=0∴（﹣2）•=2﹣2•=4，故答案为：4．15．（5分）已知命题p：∀x∈R，x2+1＞0，命题，且p∧q为假命题，则实数a的取值范围为（﹣∞，2] ．【解答】解：由已知可得：命题p为真命题，∵p∧q为假命题，则q为假命题，若q为真，则对∀x∈R恒成立，∵且正弦函数y=sinx的值域为[﹣1，1]，∴的最大值为2，∴a＞2．∵q为假命题．∴a≤2．∴实数a的取值范围为（﹣∞，2]．故答案为：（﹣∞，2]．16．（5分）已知函数，其中e为自然对数的底数，若f（2a2）+f（a﹣3）+f（0）＜0，则实数a的取值范围为．【解答】解：函数，f′（x）=e x+﹣2cosx≥2﹣2=0，可得f（x）在R上递增；又f（﹣x）+f（x）=0，可得f（x）为奇函数，则f（a﹣3）+f（2a2）+f（0）＜0，即有f（2a2）＜﹣f（a﹣3）由f（﹣（a﹣3））=﹣f（a﹣3），f（2a2）＜f（3﹣a），即有2a2＜3﹣a，解得﹣＜a＜1，故答案为：．三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+sinB（sinC ﹣cosC）=0，b=2，．（1）求角B的大小；（2）函数，求f（x）的单调递增区间．【解答】解：（1）∵A+B+C=π．∴sinA=sin[π﹣（B+C）]=sin（B+C），∵sinA+sinB•（sinC﹣cosC）=0，∴sin（B+C）+sinBsinC﹣sinBcosC=0，∴sinBcosC+cosBsinC+sinBsinC﹣sinBcosC=0，∴sinC（sinB+cosB）=0，∵sinC＞0，∴sinB+cosB=0．∴tanB=﹣1，∵0＜B＜π，∴．（2）由（1）知，又．由正弦定理得，∴，又，∴，∴===由，解得：．故f（x）的递增区间为：．18．（12分）中华民族是一个传统文化丰富多彩的民族，各民族有许多优良的传统习俗，如过大年吃饺子，元宵节吃汤圆，端午节吃粽子，中秋节吃月饼等等，让人们感受到浓浓的节目味道，某家庭过大年时包有大小和外观完全相同的肉馅饺子、蛋馅饺子和素馅饺子，一家4口人围坐在桌旁吃年夜饭，当晚该家庭吃饺子时每盘中混放8个饺子，其中肉馅饺子4个，蛋馅饺子和素馅饺子各2个，若在桌上上一盘饺子大家共同吃，记每个人第1次夹起的饺子中肉馅饺子的个数为X，若每个人各上一盘饺子，记4个人中第1次夹起的是肉馅饺子的人数为Y，假设每个人都吃饺子，且每人每次都是随机地从盘中夹起饺子．（1）求随机变量X的分布列；（2）若X，Y的数学期望分别记为E（X）、E（Y），求E（X）+E（Y）．【解答】解：（1）随机变量X的可取值为0，1，2，3，4，；；；；故随机变量X的分布列为：（2）随机变量X服从超几何分布：∴；随机变量，∴．∴E（X）+E（Y）=2+2=4．（12分）19．（12分）已知抛物线的焦点也是椭圆E：的右焦点，而E的离心率恰好为双曲线的离心率的倒数．（1）求椭圆E的方程；（2）各项均为正数的等差数列{a n}中，a1=1，点在椭圆E上，设，求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）依题意双曲线的离心率：，抛物线的焦点（，0），可得：，，∴，∴a=2，∴．故椭圆E的方程为．（5分）（2）∵点在椭圆E上，∴，又a1=1，∴，又{a n}是等差数列，∴4（1+2d）=3（1+d）2．∴d=1或，当时，，与a n＞0矛盾．∴d=1．∴a n=1+（n﹣1）×1=n（9分）．∴．∴．（12分）20．（12分）如图所示的几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，点G是弧上的一点，点P是弧的中点．（1）求证：平面ABP⊥平面CEG；（2）当AB=BC=2且∠DAG=30°时，求二面角E﹣AG﹣C的正弦值．【解答】（1）证明：∵在圆B中，点P为的中点，∴BP⊥CE．又AB⊥平面BCE，∴AB⊥CE，而AB∩BP=B，∴CE⊥平面ABP，又CE⊂平面CEG，∴平面ABP⊥平面CEG（6分）．（2）解：以点B为坐标原点，分别以BC，BA为y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系．则．设平面ACG的法向量由，∴（8分）设平面AGE的法向量，由∴．（10分）设二面角E﹣AG﹣C的平面角大小为θ，则，∴．（12分）21．（12分）已知函数f（x）=（x﹣2）e x+a（x﹣1）2．（1）当a=1时，求曲线y=f（x）在点P（0，f（0））处的切线方程；（2）讨论函数y=f（x）的单调性；（3）当a＞0时，曲线y=f（x）与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0），证明：x1+x2＜2．【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=（x﹣2）e x+x2﹣2x+1，∴f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2x﹣2=e x（x﹣1）+2（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2）∴切线的斜率k=f'（0）=﹣3，又f（0）=﹣1，故切线的方程为y+1=﹣3（x﹣0），即3x+y+1=0（3分）．（2）x∈（﹣∞，+∞），且f'（x）=e x+（x﹣2）e x+2a（x﹣1）=（x﹣1）（e x+2a），（i）当a≥0时，∵e x＞0，∴e x+2a＞0．∴当x＞1时，f'（x）＞0；当x＜1时，f'（x）＜0．故f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．（ii）当a＜0，f'（x）=0有两个实数根x1=1，x2=ln（﹣2a）．①当时，x1＞x2，故x＞1时，f'（x）＞0，ln（﹣2a）＜x＜1时f'（x）＜0；x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＞0．故f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）、（1，+∞）上均为单调增函数，在（ln（﹣2a），1）上为减函数．②当时，x2=x1=1，f'（x）≥0，当且仅当x=1时，f'（x）=0，故f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数．③当时，x2＞x1．当x＞ln（﹣2a）时，f'（x）＞0；当1＜x＜ln（﹣2a）时，f'（x）＜0，当x＜1时，f'（x）＞0，故f（x）在（﹣∞，1），（ln（﹣2a），+∞）上为增函数，在（1，ln（﹣2a））上为减函数，综上所述，当a≥0时，f（x）在（﹣∞，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；当时，f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a））、（1，+∞）上单调递增，在（ln（﹣2a），1）上单调递减；当时，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增；当时，f（x）在（﹣∞，1）、（ln（﹣2a），+∞）上为单调递增；在（1，ln（﹣2a））上单调递减（8分）．（3）当a＞0，由（2）知，x1＜1＜x2，∴2﹣x2＜1．又．∴．设g（x）=﹣xe2﹣x﹣（x﹣2）e x，则g'（x）=（x﹣1）（e2﹣x﹣e x）．当x＞1时，g'（x）＜0，故g（x）在（1，+∞）上递减，而g（1）=0，故当x＞1时，g（x）＜g（1）=0．又x2＞1，∴g（x2）=f（2﹣x2）＜0，又f（x1）=0，∴f（2﹣x2）＜f（x1），又f（x）在（﹣∞，1）上单调递减；∴2﹣x2＞x1．∴x1+x2＜2．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（5﹣4cos2θ）=9，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若点P的极坐标为，求△PAB的面积．【解答】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为实数），①+②得x+y=2，故l的普通方程为x+y﹣2=0．又曲线C的极坐标方程为5ρ2﹣4ρ2（2cos2θ﹣1）=9，即9ρ2﹣8ρ2cos2θ=9，∵ρ2=x2+y2，ρcosθ=x．∴9（x2+y2）﹣8x2=9，即，（5分）（2）∵点P的极坐标为，∴P的直角坐标为（﹣1，1），∴点P到直线l的距离．将，代入x2+9y2=9中得10t2﹣16t+1=0．设交点A、B对应的参数值分别为t 1，t2，则，，∴∴△PAB的面积．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数，g（x）=|x|+|x﹣1|．（1）当a=2时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；（2）若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，4]，求实数a的最小值．【解答】解：（1）当a=2时，，又．故g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（1，+∞）上递增，由得，由得x2=2．故当f（x）≥g（x ）时，．∴不等式f（x）≥g（x ）的解集为．（2）由得．由得故当f（x）≥g（x ）时，，∵，∴，∴a≥5，故a的最小值为5．第21页（共21页）。

湖北省八校联考2017-2018学年高三上学期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知复数z1=2+ai（a∈R），z2=1﹣2i，若为纯虚数，则|z1|=（）A．B．C．2D．2．（5分）如图给出的是计算的值的程序框图，其中判断框内应填入的是（）A．i≤2013 B．i≤2015 C．i≤2017 D．i≤20193．（5分）设a=dx，则二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是（）A．﹣192 B．193 C．﹣6 D．74．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．35．（5分）“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件6．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞07．（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|A﹣B|=．若A={1，2}，B={x||x2+2x﹣3|=a，且|A﹣B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于（）A．1B．2C．3D．48．（5分）已知x，y，z∈R，且x﹣2y+2z=5，则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2的最小值是（）A．20 B．25 C．36 D．479．（5分）已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子①tanαtanβ=1；②sinα+sinβ≤；③cosα+cosβ＞1；④|tan（α﹣β）|＞tan中一定正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个10．（5分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1B．C．e D．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是．12．（5分）已知直线l：x=my+n（n＞0）过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=．13．（5分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为．14．（5分）以（0，m）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则（1）a1=；（2）a1+a2+…+a n=．三、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，每小题3分，满分3分）15．（3分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈=2，∴二项式（a﹣）6=（2﹣）6，它的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•26﹣r•x3﹣r，令3﹣r=2，可得r=1，故二项式（a﹣）6展开式中含x2项的系数是﹣•25=﹣192，故选：A．点评：题主要考查定积分的运算法则和二项式定理的应用，属于基础题．4．（5分）棱长为2的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如图所示，那么该几何体的体积是（）A．B．4C．D．3考点：由三视图求面积、体积．专题：空间位置关系与距离．分析：由三视图知几何体是正方体的一半，已知正方体的棱长为2，由此可得几何体的体积．解答：解：由三视图知：余下的几何体如图示：∵E、F都是侧棱的中点，∴上、下两部分的体积相等，∴几何体的体积V=×23=4．故选B．点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，判断几何体的形状是解答此类问题的关键．5．（5分）“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据充分必要条件的定义，分别证明其充分性和必要性，从而得到答案．解答：解：a≠5且b≠﹣5推不出a+b≠0，例如：a=2，b=﹣2时a+b=0，a+b≠0推不出a≠5且b≠﹣5，例如：a=5，b=﹣6，故“a≠5且b≠﹣5”是“a+b≠0”的既非充分条件也非必要条件，故选：D．点评：本题考查了充分必要条件，考查了不等式问题，是一道基础题．6．（5分）已知等比数列{a n}前n项和为S n，则下列一定成立的是（）A．若a3＞0，则a2013＜0 B．若a4＞0，则a2014＜0C．若a3＞0，则S2013＞0 D．若a4＞0，则S2014＞0考点：等比数列的性质．专题：等差数列与等比数列．分析：对于选项A，B，D可通过q=﹣1的等比数列排除，对于选项C，可分公比q＞0，q＜0来证明即可得答案．解答：解：对于选项A，可列举公比q=﹣1的等比数列1，﹣1，1，﹣1，…，显然满足a3＞0，但a2013=1＞0，故错误；对于选项B，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但a2014=1，故错误；对于选项D，可列举公比q=﹣1的等比数列﹣1，1，﹣1，1…，显然满足a4＞0，但S2014=0，故错误；对于选项C，因为a3=a1•q2＞0，所以a1＞0．当公比q＞0时，任意a n＞0，故有S2013＞0；当公比q＜0时，q2013＜0，故1﹣q＞0，1﹣q2013＞0，仍然有S2013 =＞0，故C正确，故选：C．点评：本题主要考查等比数列的定义和性质，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于中档题．7．（5分）用C（A）表示非空集合A中的元素个数，定义|A﹣B|=．若A={1，2}，B={x||x2+2x﹣3|=a，且|A﹣B|=1，由a的所有可能值构成的集合为S，那么C（S）等于（）A．1B．2C．3D．4考点：子集与交集、并集运算的转换．专题：集合．分析：先根据已知条件可判断出B含3个元素，所以方程|x2+2x﹣3|=a有三个实根，进一步判断出方程x2+2x﹣3+a=0有两个二重根，所以根据△=0即可求得a的值，从而求出集合S，这样便可判断出集合S所含元素的个数．解答：解：由|x2+2x﹣3|=a得：x2+2x﹣3±a=0，a≥0；对于x2+2x﹣3﹣a=0，△=4+4（3+a）＞0，∴方程x2+2x﹣3±a=0至少有两个实数根，即集合B至少含2个元素；∵|A﹣B|=1，∴B含3个元素；∴方程x2+2x﹣3+a=0有二重根，∴△=4﹣4（﹣3+a）=0，∴a=4；∴S={4}，∴C（S）=1．故选A．点评：考查元素与集合的概念，描述法表示集合，一元二次方程的实数根的情况和判别式△的关系．8．（5分）已知x，y，z∈R，且x﹣2y+2z=5，则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2的最小值是（）A．20 B．25 C．36 D．47考点：柯西不等式在函数极值中的应用．专题：不等式的解法及应用．分析：直接利用柯西不等式求解即可．解答：解：由于≥2=324，则（x+5）2+（y﹣1）2+（z+3）2（当且仅当，即时取等号．故选：C．点评：本题考查柯西不等式的应用，基本知识的考查．9．（5分）已知抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，则下列四个式子①tanαtanβ=1；②sinα+sinβ≤；③cosα+cosβ＞1；④|tan（α﹣β）|＞tan中一定正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个考点：命题的真假判断与应用．专题：简易逻辑．分析：由已知中抛物线的一条过焦点F的弦PQ，点R在直线PQ上，且满足，R在抛物线准线上的射影为S，设α，β是△PQS中的两个锐角，可得△PQS是直角三角形，则，进而可得①②③正确；举出反倒可判断④错误，进而得到答案．解答：解：∵，R在抛物线准线上的射影为S，∴△PQS是直角三角形，则，故①②③都对，当PQ垂直对称轴时，故一定正确的命题有3个，故选C点评：本题以命题的真假判断为载体考查了抛物线的几何性质，三角函数的图象和性质，难度不大，属于基础题．10．（5分）设定义在D上的函数y=h（x）在点P（x0，h（x0））处的切线方程为l：y=g（x），当x≠x0时，若＞0在D内恒成立，则称P为函数y=h（x）的“类对称点”，则f（x）=x2﹣6x+4lnx的“类对称点”的横坐标是（）A．1B．C．e D．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；新定义；导数的概念及应用；导数的综合应用．分析：函数y=H（x）在其图象上一点P（x0，f（x0））处的切线方程为y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）++x02﹣6x0+4lnx0．由此能推导出y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．解答：解：函数y=h（x）在其图象上一点P（x0，h（x0））处的切线方程为：y=g（x）=（2x0+﹣6）（x﹣x0）+x02﹣6x0+4lnx0，设m（x）=h（x）﹣g（x）=x2﹣6x+4lnx﹣（2x0+﹣6）（x﹣x0）﹣x02+6x0﹣4lnx0，则m（x0）=0．m′（x）=2x+﹣6﹣（2x0+﹣6）=2（x﹣x0）（1﹣）=（x﹣x0）（x﹣）若x0＜，m（x）在（x0，）上单调递减，∴当x∈（x0，）时，m（x）＜m（x0）=0，此时＜0；若x0，φ（x）在（，x0）上单调递减，∴当x∈（，x0）时，m（x）＞m（x0）=0，此时＜0；∴y=h（x）在（0，）∪（，+∞）上不存在“类对称点”．若x0=，（x﹣）2＞0，∴m（x）在（0，+∞）上是增函数，当x＞x0时，m（x）＞m（x0）=0，当x＜x0时，m（x）＜m（x0）=0，故＞0．即此时点P是y=f（x）的“类对称点”综上，y=h（x）存在“类对称点”，是一个“类对称点”的横坐标．故选B．点评：本题考查函数的单调增区间的求法，探索满足函数在一定零点下的参数的求法，探索函数是否存在“类对称点”．解题时要认真审题，注意分类讨论思想和等价转化思想的合理运用，此题是难题．二、填空题：本大题共4小题，考生共需作答5小题，每小题5分，共25分．请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置，书写不清，模棱两可均不得分．（一）必考题（11-14题）11．（5分）随机向边长为5，5，6的三角形中投一点P，则点P到三个顶点的距离都不小于1的概率是．考点：几何概型．专题：计算题；作图题；概率与统计．分析：本题符合几何概型，由题意作图，求面积比即可．解答：解：本题符合几何概型，由题意作图如下，则点P应落在黑色阴影部分，S△=×6×=12，三个小扇形可合并成一个半圆，故其面积S=π，故点P到三个顶点的距离都不小于1的概率P==．故答案为：．点评：本题考查了几何概型概率的求法，属于基础题．12．（5分）已知直线l：x=my+n（n＞0）过点，若可行域的外接圆直径为20，则n=10．考点：简单线性规划；圆的标准方程．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，则（5﹣n）2+25=100，从而求n．解答：解：由题意作出其平面区域，由题意可得，（5﹣n）2+25=100，解得，n=10．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．13．（5分）已知函数f（x）=，将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，则所得旋转体的体积为．考点：球的体积和表面积；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题：空间位置关系与距离．分析：判断旋转体的特征，求出相关数据，利用几何体的体积公式求解即可．解答：解：将f（x）的图象与x轴围成的封闭图形绕x轴旋转一周，所得旋转体为一个圆锥和一个半个球的组合体，其中球的半径为2，棱锥的底面半径为2，高为1，所以所得旋转体的体积为=．故答案为：点评：本题考查旋转体的结构特征，几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．14．（5分）以（0，m）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m为分母组成分数集合A1，其所有元素和为a1；以（0，m2）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m2为分母组成不属于集合A1的分数集合A2，其所有元素和为a2；…，依此类推以（0，m n）间的整数（m＞1，m∈N）为分子，以m n为分母组成不属于A1，A2，…，A n﹣1的分数集合A n，其所有元素和为a n；则（1）a1=++…+；（2）a1+a2+…+a n=．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由题意写出即可；（2）写出a2，a3总结规律即可得出结论．解答：解：（1）由题意得a1=++…+，（2）又a2=++…+++…+++…+=++…+﹣（++…+）=++…+﹣a1，a3=++…+﹣a1﹣a2，a n=++…+﹣a1﹣a2﹣…﹣a n﹣1，∴a1+a2+…+a n=++…+=（1+2+…+m n﹣1）=．故答案为（1）++…+，（2）．点评：本题考查学生新概念题的阅读能力及归纳思想的运用能力，考查学生分析问题，解决问题的能力，属中档题．三、【选修4-1：几何证明选讲】（共1小题，每小题3分，满分3分）15．（3分）如图，C是以AB为直径的半圆O上的一点，过C的直线交直线AB于E，交过A点的切线于D，BC∥OD．若AD=AB=2，则EB=．考点：与圆有关的比例线段；相似三角形的判定．专题：立体几何．分析：连接OC，证明△AOD≌△COD，设EB=x，通过，列出方程求出x即可．解答：解：连接OC则∠DOA=∠CBO=∠BCO=∠COD则△AOD≌△COD，则OC⊥CD，则CD是半圆O的切，设EB=x，由BC∥OD得，△EBC∽△EDO∴，则EC=2x，则（2x）2=x•（x+2），则．故答案为：．点评：本题考查三角形的全等与相似，考查逻辑推理能力．四、【选修4-4：坐标系与参数方程】（共1小题，每小题0分，满分0分）16．在极坐标系内，已知曲线C1的方程为ρ2﹣2ρ（cosθ﹣2sinθ）+4=0，以极点为原点，极轴方向为x正半轴方向，利用相同单位长度建立平面直角坐标系，曲线C2的参数方程为（t为参数）．设点P为曲线C2上的动点，过点P作曲线C1的两条切线，则这两条切线所成角余弦的最小值是．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：计算题；直线与圆；坐标系和参数方程．分析：运用代入法化简可得曲线C2的普通方程，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x2+y2=ρ2，可化简曲线C1的方程，求出圆心到直线的距离，设两条切线所成角为2α，考虑当P为圆心到直线的垂线的垂足时，两条切线所成角最大．求出sinα，再由二倍角的余弦公式，即可得到．解答：解：曲线C1的直角坐标方程为：x2+y2﹣2x+4y+4=0，即（x﹣1）2+（y+2）2=1，圆心为（1，﹣2），半径为1．曲线C2的普通方程为：3x+4y﹣15=0，圆心到直线的距离为：d==4．设两条切线所成角为2α，当P为圆心到直线的垂线的垂足时，两条切线所成角最大．则sin，则这两条切线所成角余弦的最小值是cos2α=1﹣2sin2α=1﹣2×（）2=．故答案为：．点评：本题考查参数方程、极坐标方程和普通方程的互化，考查直线和圆相切的条件，考查点到直线的距离公式和二倍角的余弦公式，属于中档题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.展开即可求出cosB的值，从而可求出sinB，由正弦定理即可求出a：b：c的值；（Ⅱ）由正弦定理和已知可求出a，b，c的值，即可求出△ABC的面积．解答：解：（I ）依题设：sinA===，sinC===，故cosB=cos=﹣cos （A+C）=﹣（cosAcosC+sinAsinC）=﹣（﹣）=．故sinB===，从而有：sinA：sinB：sinC=：：=4：5：6再由正弦定理易得：a：b：c=4：5：6．（II ）由（I ）知：不妨设：a=4k，b=5k，c=6k，k＞0．故知：||=b=5k，||=a=4k．依题设知：||2+||2+2||||cosC=46⇒46k2=46，又k＞0⇒k=1．故△ABC的三条边长依次为：a=4，b=5，c=6．故有S△ABC=absinC==．点评：本题主要考察了两角和与差的余弦函数，同角三角函数间的基本关系，正弦定理余弦定理的综合应用，考察学生的计算能力，属于基础题．18．（12分）有一种密码，明文是由三个字符组成，密码是由明文对应的五个数字组成，编码规则如下表，明文由表中每一排取一个字符组成且第一排取的字符放在第一位，第二排取的字符放在第二位，第三排取的字符放在第三位，对应的密码由明文对应的数字按相同次序排列组成．第一排明文字符 A B C D密码字符11 12 13 14第二排明文字符 E F G H密码字符21 22 23 24第三排明文字符M N P Q密码字符 1 2 3 4设随机变量ξ表示密码中不同数字的个数，（Ⅰ）求P（ξ=2）；（Ⅱ）求ξ的概率分布列和它的数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率．专题：综合题；概率与统计．分析：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，由此可求P（ξ=2）；（Ⅱ）取得ξ的取值，分别求出相应的概率，即可得到ξ的概率分布列和它的数学期望．解答：解：（Ⅰ）密码中不同数字的个数为2的事件为密码中只有两个数字，注意到密码的第1，2列分别总是1，2，即只能取表格第1，2列中的数字作为密码，所以P（ξ=2）==；（Ⅱ）由题意可知，ξ的取值为2，3，4三种情形．若ξ=3，注意表格的第一排总含有数字1，第二排总含有数字2则密码中只可能取数字1，2，3或1，2，4．∴P（ξ=3）==P（ξ=4）=1﹣P（ξ=2）﹣P（ξ=3）=∴ξ的分布列为：ξ 2 3 4p∴Eξ=2×+3×+4×=．点评：本题考查概率的求解，考查离散型随机变量的分布列与数学期望，确定变量的取值，求出相应的概率是关键．19．（12分）如图1，平面四边形ABCD关于直线AC对称，∠A=60°，∠C=90°，CD=2，把△ABD沿BD折起（如图2），使二面角A﹣BD﹣C为直二面角．如图2，（Ⅰ）求AD与平面ABC所成的角的余弦值；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣D的大小的正弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（Ⅰ）以BD的中点O为原点，OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，求出面ABC的法向量，利用向量的夹角公式求AD与平面ABC所成的角的余弦值；（Ⅱ）求得面ACD的法向量，利用向量的夹角公式求二面角B﹣AC﹣D的大小的正弦值．解答：解：如图所示，以BD的中点O为原点，OC所在的直线为x轴，OD所在的直线为y轴，OA所在的直线为z轴建立空间直角坐标系，则O（0，0，0），D（0，，0），B （0，﹣，0），C（，0，0），A（0，0，）（Ⅰ）设面ABC的法向量为，∵=（0，﹣，﹣），=（，，0）∴由，可得，取z=1有=（，﹣，1）∵，∴，∴AD与面ABC所成角的余弦值是．…（6分）（Ⅱ）同理求得面ACD的法向量为，则则二面角B﹣AC﹣D的正弦值为．…（12分）点评：本题考查二面角、线面角的求法，考查用向量解决立体几何问题的方法能力，考查数形结合、空间想象能力，属于中档题．20．（12分）已知等比数列{a n}的公比q＞1，前n项和为S n，S3=7，a1+3，3a2，a3+4成等差数列，数列{b n}的前n项和为T n，6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）求数列{b n}的通项公式；（3）设A={a1，a2，…，a10}，B={b1，b2，…，b40}，C=A∪B，求集合C中所有元素之和．考点：等比数列的通项公式；集合的相等；并集及其运算；等差数列的通项公式；等比数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式即可得出；（2）利用“n=1时b1=T1；n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”和“累乘求积”即可得出．（3）利用等差数列和等比数列的前n项和公式可得S10，T10，又A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．即可得出集合C中所有元素之和．解答：解：（1）∵S3=7，∴a1+a2+a3=7，∵a1+3，3a2，a3+4成等差数列，∴6a2=a1+3+a3+4，联立可得，解得．∴．（2）∵6T n=（3n+1）b n+2，其中n∈N*．当n≥2时，6T n﹣1=（3n﹣2）b n﹣1+2，b1=1．∴6b n=（3n+1）b n﹣（3n﹣2）b n﹣1，化为．∴b n=…=••…•=3n﹣2．（3），，∵A与B的公共元素为1，4，16，64，其和为85．∴C=A∪B，集合C中所有元素之和为1023+2380﹣85=3318．点评：本题考查了等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式、利用“n=1时b1=T1；n≥2时，b n=T n﹣T n﹣1”、“累乘求积”、集合运算等基础知识与基本技能方法，属于难题．21．（13分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆=1（a＞b＞0）的离心率为，过椭圆右焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD．当直线AB斜率为0时，|AB|+|CD|=3．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求由A，B，C，D四点构成的四边形的面积的取值范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的离心率，以及，|AB|+|CD|=3．求出a、b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，直接求出面积．②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k （x﹣1），与椭圆方程联立，利用韦达定理以及弦长公式，求出AB，CD即可求解面积的表达式，通过基本不等式求出面积的最值．解答：解：（Ⅰ）由题意知，，则，∴，所以c=1．所以椭圆的方程为．（Ⅱ）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知；②当两弦斜率均存在且不为0时，设A（x1，y1），B（x2，y2），且设直线AB的方程为y=k（x﹣1），则直线CD的方程为．将直线AB的方程代入椭圆方程中，并整理得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0，所以．同理，．所以=，∵当且仅当k=±1时取等号∴综合①与②可知，点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，弦长公式的求法以及基本不等式的应用，是综合性比较强的题目．22．（14分）已知t＞0，设函数f（x）=x3﹣+3tx+1．（Ⅰ）若f（x）在（0，2）上无极值，求t的值；（Ⅱ）若存在x0∈（0，2），使得f（x0）是f（x）在上的最大值，求t的取值范围；（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈上的最大值．（Ⅲ）若f（x）≤xe x﹣m+2（e为自然对数的底数）对任意x∈．点评：本题考查导数的运用：求单调区间和求极值、最值，考查分类讨论的思想方法，考查运算能力，属于中档题和易错题．。

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2017届高三第一次联考二、选择题：本大题共8小题，每小题6分。

在每小题给出的四个选项中，第14~17题只有一项是符合题目要求，第18~21题有多项符合题目要求。

全部选对的得6分，选对但不全的得3分。

有选错的得0分。

14．在物理学发展的过程中，许多物理学家的科学研究推动了人类文明的进程.在以下几位物理学家所做科学贡献的叙述中，正确的是A ．在对自由落体运动的研究中，伽利略巧妙的利用斜面实验来冲淡重力影响使得时间更容易测量，最后逻辑推理证明了自由落体的运动规律B ．牛顿应用“理想斜面实验”推翻了亚里士多德关于“力是维持物体运动的原因”的观点，并归纳总结了牛顿第一定律C ．卡文迪许将行星与太阳、地球与月球、地球与地面物体之间的引力规律推广到宇宙中的一切物体，得出万有引力定律，并测出了引力常量G 的数值D ．法国物理学家库仑利用扭秤实验发现了点电荷间的相互作用规律，并通过油滴实验测定了元电荷的电荷量15．如图所示为A 、B 两质点在同一直线上运动的位移—时间（x －t ）图象．A 质点的图像为直线，B 质点的图象为过原点的抛物线，两图象交点C 、D 坐标如图．下列说法不正确．．．的是 A ．A 、B 相遇两次B ．t 1～t 2时间段内B 质点的平均速度与A 质点匀速运动的速度 相等C ．两物体速度相等的时刻一定在t 1～t 2时间段内的中间时刻D ．A 在B 前面且离B 最远时，B 的位移为122x x 16．如图所示，小球A置于固定在水平面上的光滑半圆柱体上，小球B 用水平轻弹簧拉着系于竖直板上，两小球A 、B 通过光滑滑轮O 用轻质细线相连，两球均处于静止状态，已知B 球质量为m ,O 点在半圆柱体圆心O 1的正上方，OA 与竖直方向成30°角，OA 长度与半圆柱体半径相等，OB 与竖直方向成45°角，则下列叙述正确的是A ．小球A 、B 受到的拉力T OA 与T OB 相等，且T OA ＝T OB BC ．AD ．光滑半圆柱体对A 球支持力的大小为mg17．真空中相距L 的两个固定点电荷E 、F 所带电荷量大小分别是Q E 一条电场线如图中实线所示，实线上的箭头表示电场线的方向．点的切线与EF 连线平行，且∠NEF ＞∠NFE ．则A ．E 带正电，F 带负电，且Q E > Q FB ．在M 点由静止释放一带正电的检验电荷，检验电荷将沿电场线运动到N 点 C ．过N 点的等势面与EF 连线垂直D ．负检验电荷在M 点的电势能大于在N 点的电势能18．“嫦娥四号”(专家称为“四号星”)，计划在2017年发射升空，它是嫦娥探月工程计划中嫦娥系列的第四颗人造探月卫星，主要任务是更深层次、更加全面的科学探测月球地貌、资源等方面的信息，完善月球档案资料．已知万有引力常量为G ，月球的半径为R ，月球表面的重力加速度为g ，嫦娥四号离月球中心的距离为r ，绕月周期为T ．根据以上信息判断下列说法正确的是 ABC ．月球的平均密度为ρ＝3233r GT RπD ．“嫦娥四号”必须减速运动才能返回地球19．如图甲所示，在光电效应实验中，某同学用相同频率的单色光，分别照射阴极材料为锌和铜的两个不同的光电管，结果都能发生光电效应。

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2017届高三第一次联考数 学（理科）试 题第Ⅰ卷一 .选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数103iz i=+ (i 为虚数单位)的虚部为 A .1 B. 3 C. 3- D. 1542. 已知集合{}{}22|21,230x A x B x x x +=<=-->，则B A C R I )(=A .[2,1)-- B. (,2]-∞- C. [2,1)(3,)--+∞U D. (2,1)(3,)--+∞U 3. 下列选项中，说法正确的是A .若0a b >>，则1122log log a b >B. 向量(1,),(,21)a m b m m ==-r r()m R ∈共线的充要条件是0m =C. 命题“*1,3(2)2nn n N n -∀∈>+⋅”的否定是“*1,3(2)2n n n N n -∀∈≥+⋅”D. 已知函数()f x 在区间[,]a b 上的图象是连续不断的，则命题“若()()0f a f b ⋅<，则()f x 在区间(,)a b 内至少有一个零点”的逆命题为假命题 4. 实数30.3a =，3log 0.3b =，0.33c =的大小关系是A. a b c <<B. a c b <<C. b a c <<D. b c a << 5. 函数321y x =-的图象大致是A. B. C. D. 6. 已知32x dx λ=⎰,数列{}n a 是各项为正数的等比数列,则423a a a λ+的最小值为A. 3B. 2C. 63D. 67. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A .34π+ B. 42π+ C.942π+ D. 1142π+ 8. 若实数,x y 满足3326x y x y x y +≥⎧⎪-≤⎨⎪+≤⎩，则22(1)x y ++的最小值为A .22 B.10 C. 8 D. 109. 成书于公元五世纪的《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中记载有很多数列问题，说明古人很早就注意到了数列并且有很深的研究，从下面这首古民谣中可知一二：南山一棵竹， 竹尾风割断， 剩下三十节，一节一个圈. 头节高五寸①，头圈一尺三②.逐节多三分③，逐圈少分三④. 一蚁往上爬，遇圈则绕圈. 爬到竹子顶，行程是多远？ 此民谣提出的问题的答案是(注：①五寸即0.5尺. ②一尺三即1.3尺. ③三分即0.03尺.④分三即一分三厘，等于0.013尺.) A. 72.705尺 B. 61.395尺 C. 61.905尺 D. 73.995尺10. 已知直线()y kx k R =∈与函数213() (0)4()1 2 (0)2x x f x x x ⎧-≤⎪⎪=⎨⎪+>⎪⎩的图象恰有三个不同的公共点，则实数k 的取值范围是A .3(,)2+∞ B. (,2)(2,)-∞-+∞U C. (,2)-∞- D. (2,)+∞11. 已知1x =是函数3()ln f x ax bx x =--(0,a b R >∈)的一个极值点，则ln a 与1b -的大小关系是A. ln 1a b >-B. ln 1a b <-C. ln 1a b =-D. 以上都不对 12. 已知1()sin cos (,)4f x x x x R ωωω=->∈，若()f x 的任何一条对称轴与x 轴交点的横坐标都不属于区间(2,3)ππ，则ω的取值范围是 A. 3111119[,][,]812812U B. 1553(,][,]41284U C. 37711[,][,]812812U D. 13917(,][,]44812U 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题至第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题至第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本题共4小题，每小题5分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上，答错位置、书写不清、模棱两可均不得分. 13. 已知向量a r，b r的夹角为3π，且()1a a b ⋅-=r r r ，||2a =r，则||b =r . 14. 已知数列{}n a 满足：*12211,2,()n n n a a a a a n N ++===-∈，函数3()tan f x ax b x =+，若4()9f a =，则12017()()f a f a +的值是 .15. 定义四个数,,,a b c d 的二阶积和式 a b ad bc c d ⎡⎤=+⎢⎥⎣⎦. 九个数的三阶积和式可用如下方式化为二阶积和式进行计算：12323123123123 a a a b b b b b a c c c c c ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦1312231312 b b b b a a c c c c ⎡⎤⎡⎤+⨯+⨯⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦. 已知函数 2 9() 1 1 2 n f n n n n -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦(*n N ∈)，则()f n 的最小值为 .16. 如图所示，五面体ABCDFE 中，////AB CD EF ，四边形ABCD ，ABEF ，CDFE 都是等腰梯形，并且平面ABCD ⊥平面ABEF ， 12,3,4AB CD EF ===，梯形ABCD 的高为3，EF 到平面ABCD 的距离为6，则此五面体的体积为 .三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知3sin cos C cB b=.（Ⅰ）求角B 的大小；（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若2πθπ<<，2,CD =5AD =，855a =，求sin θ与b 的值.18.(本小题满分12分)已知函数()sin() (0,0,)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的部分图象如图所示. （Ⅰ）求()f x 的表达式； （Ⅱ）把函数()y f x =的图象向右平移4π个单位后得到函数()g x 的图象，若函数1()(2)()2h x ax g x g x =+-在(,)-∞+∞单调递增，求实数a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+(*n N ∈)，11310b a =，其中{}n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .20.(本小题满分12分)一奶制品加工厂以牛奶为原料分别在甲、乙两类设备上加工生产A 、B 两种奶制品，如用甲类设备加工一桶牛奶，需耗电12千瓦时，可得3千克A 制品；如用乙类设备加工一桶牛奶，需耗电8千瓦时，可得4千克B 制品. 根据市场需求，生产的A 、B 两种奶制品能全部售出，每千克A 获利a 元，每千克B 获利b 元. 现在加工厂每天最多能得到50桶牛奶，每天两类设备工作耗电的总和不得超过480千瓦时，并且甲类设备每天至多能加工102千克A 制品，乙类设备的加工能力没有限制.其生产方案是：每天用x 桶牛奶生产A 制品，用y 桶牛奶生产B 制品(为了使问题研究简化，,x y 可以不为整数).（Ⅰ）若24a =，16b =，试为工厂制定一个最佳生产方案（记此最佳生产方案为0F ）,即,x y 分别为何值时，使工厂每天的获利最大，并求出该最大值；(Ⅱ) 随着季节的变换和市场的变化，以及对原配方的改进，市场价格也发生变化，获利也随市场波动.若24(14)a λ=+，216(155)b λλ=+-（这里01λ<<），其它条件不变，试求λ的取值范围，使工厂当且仅当．．．．采取（Ⅰ）中的生产方案0F 时当天获利才能最大.21.(本小题满分12分)已知函数()ln(2)f x x a ax =+-, 0a >. （Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）记()f x 的最大值为()M a ，若210a a >>且12()()M a M a =，求证：1214a a <; （Ⅲ）若2a >,记集合{|()0}x f x =中的最小元素为0x ,设函数()|()|g x f x x =+， 求证：0x 是()g x 的极小值点.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分． 22. (本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标标系xoy 中，已知曲线121cos :9sin 4x C y αα=+⎧⎪⎨=-⎪⎩(α为参数,R α∈），在以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线2:sin()4C πρθ+=2-，曲线3:2cos C ρθ=. （Ⅰ）求曲线1C 与2C 的交点M 的直角坐标；（Ⅱ）设,A B 分别为曲线2C ，3C 上的动点，求AB 的最小值.23. (本小题满分10分) 选修4-5：不等式选讲 设函数()f x x a =-,a R ∈.（Ⅰ）当2a =时，解不等式：()625f x x ≥--；（Ⅱ）若关于x 的不等式()4f x ≤的解集为[1,7]-，且两正数s 和t 满足2s t a +=，求证：186s t+≥.2017届高三第一次联考 数学(理科)试题 参考答案题号 1 2 3 45 6 7 8 9 10 11 12 答案 BC DCADCCBDBC13. 3 14. 18- 15. 21- 16. 5717.（Ⅰ）由已知3sin C cb=，得 3sin sin sin C C B =，sin 0C >Q ，sin 3tan cos B B B ∴==，0B π<<Q ，6B π∴=. ………………...4分（Ⅱ）在BCD ∆中，sin sin sin CD BC aB BDC θ==∠Q , 8525sin 30sin θ∴=o ，25sin θ∴=. .…………...8分 θQ 为钝角，∴ADC ∠为锐角，25cos cos()1sin 5ADC πθθ∴∠=-=-=， 在ADC ∆中，由余弦定理，得2222cos b AD CD AD CD θ=+-⨯5542525=+-⨯⨯5=，所以5b =. …………...12分18.（Ⅰ）由图可知，1A =，最小正周期522()244T ππππω=-==，1ω∴=. 又242k ππωϕπ⨯+=+(k Z ∈),且||2πϕ<，4πϕ∴=. ()sin()4f x x π∴=+. ………...5分（Ⅱ）()()sin 4g x f x x π=-=, ………………...7分则11()(2)()sin 2sin 22h x ax g x g x ax x x =+-=+-，2219()cos 2cos 2cos cos 12(cos )48h x a x x x x a x a '=+-=--+=--+，Q ()h x 在(),-∞+∞单调递增，∴()0h x '≥恒成立 ，min 9()08h x a '∴=-+≥，98a ∴≥，即a 的取值范围为9[,)8+∞. ………………...12分19.（Ⅰ）设{}n a 的公差为d (0d >),11310b a =Q ,113(13)10a a ∴+=,13a ∴=. 又213a a d d =+=+，7163(12)a a d d =+=+，22199(3)b a d -==+，由2a ，7a ，21b -成等比数列，得229(12)9(3)d d +=+，0d >Q ，123d d ∴+=+，2d =， 3(1)221n a n n ∴=+-⨯=+. ………………...6分（Ⅱ）因为21n a n =+，所以1(21)3nn b n =++，于是，2(133)(153)(1(21)3)nn S n =+⨯++⨯+⋅⋅⋅+++⨯，令()123353213nT n =⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ① 则()23133353213n T n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅++⨯ ②①-②，得 ()1231233232323213nn T n +-=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯-+⨯()211133922132313n n n n n +++-=+⨯-+=-⨯-，∴ 13n T n +=⋅， 故113(13)n n n S n n n ++=+⨯=+． ………………...12分20. 设工厂每天的获利为z 元 . 由已知，得 34z ax by =+,且1284805031020,0x y x y x x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≤⎪⎪≥≥⎩，作出可行域如图所示（图中阴影区域）. ……3分 （Ⅰ）347264z ax by x y =+=+，当7264z x y =+对应的直线过直线128480x y +=与50x y +=的交点(20,30)时，z 取最大值3360. 即最佳生产方案0F 为 20,30x y ==，工厂每天的最大获利为3360元. …………… ...6分(Ⅱ)为使z 当且仅当20,30x y ==时取最大值，则直线34z ax by =+的斜率34ab-满足 123184ab -<-<-，………………..8分 所以423a b <<，2814491553λλλ+<<+-，注意到21550λλ+->，所以2240410 20810λλλλ⎧-+>⎪⎨--<⎪⎩，2(4)44010--⨯⨯<Q ，240410λλ∴-+>恒成立；由 220810λλ--<，得 11102λ-<<，01λ<<Q ，102λ∴<<， 故λ的取值范围为1(0,)2. ………………...12分21.（Ⅰ）1()(2)1()22a x a a f x a x a x a -+-'=-=++，因为2x a >-，0a >，由()0f x '>，得 122a x a a -<<-；由()0f x '<，得 12x a a>-；所以，()f x 的增区间为1(2,2)a a a --，减区间为1(2,)a a -+∞. ………………...3分（Ⅱ）由（Ⅰ）知，21()(2)21ln M a f a a a a=-=--，………………...4分22112221ln 21ln a a a a ∴--=--，222212112()ln ln lna a a a a a ∴-=-=, 22212121212ln a a aa a a a a -∴=212121214()2ln a a a a a a a a ∴⋅-=, 211221122ln4()a a a a a a a a ∴=-, 设1()2ln h t t t t =--（1t >），则212()1h t t t '=+-21(1)0t=->， 所以，()h t 在(1,)+∞上单调递增，()(1)0h t h >=，即12ln 0t t t->>，因211a a >，故 2121212ln 0a a a a a a ->>,2121122ln 1()aa a a a a <- , 所以1214a a <. …... 8分 （Ⅲ）由(Ⅰ)可知，()f x 在区间1(2,2)a a a--单调递增，又2x a →-时，()f x →-∞. 易知，21(2)()21ln f a M a a a a -==--在(2,)+∞递增，()(2)7ln 20M a M >=->，0122a x a a ∴-<<-，且02a x x -<<时，()0f x <； 012x x a a<<-时，()0f x >.∴当2a x -<<12a a -时，00(1)ln(2) (2)()1ln(2)(1) (2)a x x a a x x g x x a a x x x a a +-+-<<⎧⎪=⎨+--<<-⎪⎩， 于是02a x x -<<时，011()(1)(1)22g x a a x a x a'=+-<+-++,（所以，若能证明0121x a a <-+，便能证明01(1)02a x a +-<+）. 记211()(2)21ln(1)11H a f a a a a a =-=+--+++，则211()4(1)1H a a a a '=--++，Q 2a >， ∴11()8093H a '>-->，∴()H a 在(2,)+∞内单调递增，∴22()(2)ln 303H a H >=->， 11221a a a a -<-+Q ，∴()f x 在1(2,2)1a a a --+（1(2,2)a a a ⊆--）内单调递增， 01(2,2)1x a a a ∴∈--+,于是02a x x -<<时，0111()(1)(1)(1)0122221g x a a a x a x a a a a '=+-<+-<+-=++-++, ∴()g x 在0(2,)a x -递减.当012x x a a <<-时，相应的1()(1)2g x a x a '=-->+1(1)1(2)2a a a a---+10=>，∴()g x 在01(,2)x a a-递增. 故0x 是()g x 的极小值点. ………………...12分22. (Ⅰ) 由121cos :9sin 4x C y αα=+⎧⎪⎨=-⎪⎩，得 22951cos (1)44y x α=-+-=---, ∴曲线1C 的普通方程为25(1)4y x =---（02x ≤≤）,由2:sin()42C πρθ+=-，得曲线2C 的直角坐标系普通方程为10x y ++=. 由25(1)410y x x y ⎧=---⎪⎨⎪++=⎩，得241250x x -+=，12x ∴= (52x =舍），32y =-， 所以点M 的直角坐标为13(,)22-. ………………...5分（Ⅱ）由3:2cos C ρθ=，得22cos ρρθ=，∴曲线3C 的直角坐标系普通方程为2220x y x +-=，即22(1)1x y -+=，则曲线3C 的圆心(1,0)到直线10x y ++=的距离d ==，Q 圆3C 的半径为1，所以min ||1AB . ………………...10分23. (Ⅰ)不等式即2256x x -+-≥，∴①522256x x x ⎧≥⎪⎨⎪-+-≥⎩或 ②5222526x x x ⎧≤<⎪⎨⎪-+-≥⎩ 或③22526x x x <⎧⎨-+-≥⎩ . 由①，得 133x ≥；由②，得 x φ∈；由③，得 13x ≤；所以，原不等式的解集为113(,][,)33-∞+∞U . ………………...5分 (Ⅱ)不等式()4f x ≤即44x a -≤-≤，44a x a ∴-≤≤+，41a ∴-=-且47a +=，3a ∴=.∴181181161()(2)(10)(106333t s s t s t s t s t +=++=++≥+=. ……...10分 说明: 各题评分时评分标准可根据情况适当细化.。

鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中 荆州中学 孝感高中 襄阳四中 襄阳五中2017届高三第一次联考7．化学与人类的生活息息相关，下列有关说法正确的是A ．因铝表面能形成致密的氧化膜，所以铝制餐具可以长期使用B ．因废弃物易污染环境，腈纶不宜大量取代棉、麻等天然材料C ．SiO 2用途广泛，因其高熔点的特性成为光导纤维的主要原料D ．有机玻璃(聚甲基丙烯酸甲酯)是通过缩聚反应制得的8．设N A 为阿伏伽德罗常数的值。

下列有关叙述正确的是A ．硝酸与铜反应得到NO 2、N 2O 4共23g ，则铜失去的电子数为0.5N AB ．3g 甲酸与乙醛的混合物中含有共价键数为0.4N AC ．将标准状况下2.24LSO 2通入水中完全溶解，溶液中H 2SO 3分子数为0.1N AD ．标准状况下8.96L 的平均相对分子质量为3.5的H 2与D 2含有中子数0.3N A9．青霉素是最重要的抗生素，其在体内经酸性水解后得到一种有机物X 。

已知X 的结构如下，下列有关X 的说法正确的是A ．X 为烃的含氧衍生物B ．X 的分子式为C 5H 10NO 2SC ．X 只能发生取代反应D ．X 中碳原子上的H 若有1个被Cl 取代，有2种不同产物10．实验是进行化学研究的重要环节，下列有关化学实验的说法正确的是A ．向滴有KSCN 的FeCl 3溶液中加入NaOH 溶液以研究反应物浓度对化学平衡的影响B ．用酒精萃取碘水中的碘，水从分液漏斗下口放出，碘的酒精溶液从分液漏斗上口倒出C ．将高锰酸钾溶液装入碱式滴定管中进行滴定实验，以测定某FeSO 4样品的纯度D ．为制备硅酸胶体，以酚酞为指示剂，将浓盐酸滴入饱和Na 2SiO 3溶液中11．氨是生产氮肥、尿素等物质的重要原料。

电化学法是合成氨的一种新方法，其原理如图所示，下列有关说法正确的是A ．图中所示物质中，X 为H 2，Y 为N 2B ．Y 参与的电极反应为H 2+2e —=2H + C ．当有3g H +通过质子交换膜时，Z 的体积为22.4LD ．反应过程中左边区域溶液pH 逐渐升高12．常温下，向50mL 溶有0.1molCl 2的氯水中滴加2mol/L 的NaOH 溶液，得到溶液pH 随所加NaOH 溶液体积的变化图像如下。

湖北省部分重点中学2017届高三上学期期末联考数学理一.选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的.) 1. 复数z 满足方程(2)z z i =-，则z 对应的点在 （ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知集合1(),10,2x M y y x ⎧⎫==-<<⎨⎬⎩⎭Q x y ⎧⎪==⎨⎪⎩，则M Q C =（ ）A. 3[,2]2 B. 3(,2]2 C. 3[,2)2 D. 3(,2)23．函数()sin(2)6f x x π=-+的单调增区间是（ ）A. [,]63n n ππππ-+ ()n Z ∈ B. [2,2]63n n ππππ-+ ()n Z ∈ C. 2[,]36n n ππππ-- ()n Z ∈ D. 2[2,2]36n n ππππ-- ()n Z ∈4．下列说法正确的个数是（ ）1.命题“若2320,x x ++=则1x =-”的逆否命题为“若1x ≠-，则2320x x ++≠” 2.“1x =-”是“2320x x ++=”的充分不必要条件. 3.若220a b +=，则0a =且0b =4.对于命题:p x R ∃∈使得210x x -+<，则:p x R ⌝∀∈，均有210x x -+≥ A. 1个 B. 2个 C.3个 D. 4个 5．已知随机变量2~(2,)N ξσ-且(4)0.8p ξ>-=，则(20)p ξ-<<=（ ）A. 0.6B. 0.4C. 0.3D. 0.2 6.在20的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有 （ ）A.3项B.4项C.5项D.6项7. 已知椭圆2219x y +=的左右顶点分别是,.A B P 为椭圆上任一点，且直线PA的斜率的取值范围是1[3，则直线PB 的斜率的取值范围是 （ ）A. 1[,3- B. 1]3C. [3,-D. 8. 设O 为坐标原点，(1,1)P ，若点M 满足2222101212x y x y x y ⎧+--+≥⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则0OP M ⋅ 取得最大值时的点M的个数为 （ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D.无数个9. 从1,0,1,2-这四个数中选出三个不同的数作为二次函数2()g x ax bx c =++的系数组成不同的二次函数，其中使二次函数有变号零点的概率为 （ ） A.59 B. 512 C. 79 D. 71210. 已知集合{}1,2,3P =，{}1,2,3,4Q =，定义函数:f P Q →,若点()1,(1)A f , ()2,(2)B f ,()3,(3)C f ,ABC ∆的外接圆圆心为M ,且MA MC MB λ+=()R λ∈,则满足条件的函数()f x 有A. 16个B. 12个C. 10个D. 6个 二、填空题：（本大题共5小题, 每小题5分, 共25分） 11. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为945S =，则判断框内应填入12．已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中尺寸 （单位m ）可得这个几何体的体积是（第11题图） （第12题图）13．以平行六面体的任意三个顶点作三角形，从中随机取出两个三角形，这两个三角形不共面的取法有种。

理科数学一、选择题：1.i 为虚数单位，若i z i -=+3)3(，则=||z （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22.已知集合}0352|{2≤--=x x x A ，}2|{≤∈=x Z x B ，则B A 中的元素个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．53.下列函数中既是奇函数，又在区间)2,0(内是增函数的为（ ） A ．R x x y ∈=,sin B ．R x x y ∈=|,|ln 且0≠x C ．R x e e y x x ∈-=-, D ．R x x y ∈+=,134. 设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若21-=-m S ，0=m S ，31=+m S ，则=m （ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．65. 设n m ,是两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A ．若βα⊥，α⊂m ，β⊂n ，则n m ⊥B ．若βα//，α⊂m ，β⊂n ，则n m //C ．若n m ⊥，α⊂m ，β⊂n ，则βα⊥D ．若α⊥m ，n m //，β//n ，则βα⊥ 6.设等比数列}{n a 的公比为q ，则“10<<q ”是“}{n a 是递减”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（ ）A ．320 B ．316 C ．68π- D ．38π- 8.某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A 原料3吨、B 原料2吨；生产每吨乙产品要用A 原料1吨、B 原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元，每吨乙产品可获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A 原料不超过13吨，B 原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是（ ）A ．12万元B ．20万元C ．25万元D ．27万元9.已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ上单调递减，则ω的取值范围是（ ）A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0( D ．]2,0(10.已知P 是ABC ∆所在平面内一点，若3243-=，则PBC ∆与ABC ∆的面积的比为（ ） A ．31 B ．21 C ．32 D ．4311.如图所示，已知在一个60的二面角的棱上，有两个点B A 、，BD AC 、分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，且cm AB 4=，cm AC 6=，cm BD 8=，则CD 的长为（ ）A ．172B ．412C ．2D ．1012.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤<+≤≤-+-=)20(11ln)02(2)(2x x x x x x f ，若a ax x f x g --=|)(|)(的图象与x 轴有3个不同的交点，则实数a 的取值范围是（ ） A ．)1,0(e B ．)21,0(e C ．)1,33ln [e D ．)21,33ln [e二、填空题13. 将参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=t y t x 511521（t 为参数）化为普通方程为.14.所谓正三棱锥，指的是底面为正三角形，顶点在底面上的射影为底面三角形中心的三棱锥，在正三棱锥ABC S -中，M 是SC 的中点，且SB AM ⊥，底面边长22=AB ，则其外接球的表面积为 .15.已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足)()23(x f x f =-，3)2(-=-f ，则=-+-)63()31(f f .16.已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，对任意的*N n ∈，321)1(-++-=n a S n n nn 且0))((1<--+p a p a n n 恒成立，则实数p 的取值范围是 .三、解答题17.已知4||=a ，3||=b ， 61)2()32(=+⋅-b a b a . （1）求与的夹角θ； （2）若=，=，21=，32=，且AD 与BC 交于点P ，求||. 18.已知函数)()cos (sin cos 2)(R m m x x x x f ∈+-=，将)(x f y =的图象向左平移4π个单位后得到)(x g y =的图象，且)(x g y =在区间]4,0[π内的最大值为2.（1）求实数m 的值；（2）在A B C ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1)43(=B g ，且2=+c a ，求AB C ∆周长l 的取值范围.19.（本小题满分12分）已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21=a ，82=a ，243=a ，}2{1n n a a -+为等比数列.（1）求证：}2{nna 是等差数列； （2）求证：2≥n S .20.如图，已知四棱锥ABCD P -的底面ABCD 为菱形，且60=∠ABC ，2==PC AB ，2==PB PA .（1）求证：平面⊥PAB 平面ABCD ；（2）设H 是PB 上的动点，求CH 与平面PAB 所成最大角的正切值；（3）求二面角B AC P --的余弦值.21.设函数)0)(1ln(21)(2≠++=b x b x x f . （1）若函数)(x f 在定义域上是单调函数，求实数b 的取值范围； （2）求函数)(x f 的极值点； （3）令1=b ，x x x f x g +-=221)()(，设),(),,(),,(332211y x C y x B y x A 是曲线)(x g y =上相异三点，其中3211x x x <<<-.求证：23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 22.在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.理科数学参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．0323=-+y x ； 14．π12； 15．3； 16．)411,43(- 三、解答题：本大题共6个题，共70分．17．解 ：(1)∵61)2()32(=+⋅-，∴61||34||422=-⋅-. 又4||=，3||=，∴6127464=-⋅-，∴6-=⋅. ∴21346||||cos -=⨯-==b a θ.∴21,21=-=y y x ，∴)1(32,41x y x -==，∴2141+=， ∴474141161||222=+⋅+=b b a a OP ，∴27||=OP .18．解：(1)由题设得m x m x x x f +--=+--=1)42sin(212cos 2sin )(π，∴m x m x x g +-+=+--+=1)42sin(21]4)4(2sin[2)(πππ，∵当]4,0[π∈x 时，]43,4[42πππ∈+x ，∴由已知得242ππ=+x ，即8π=x 时，212)(max =+-=m x g ，∴1=m .(2)由已知，1)423sin(2)43(=+=πB B g∵在ABC ∆中，23230π<<B ，∴474234πππ<+<B ，∴43423ππ=+B ，即3π=B ， 又∵2=+c a ，由余弦定理得：14)(3)(3)(cos 222222222=+-+≥-+=-+=-+=c a c a ac c a ac c a B ac c a b ，当且仅当1==c a 时等号成立，又∵2=+<c a b ，∴21<≤b ，∴ABC ∆周长)4,3[∈++=c b a l 故ABC ∆周长l 的取值范围是)4,3[.19.证明：（1）∵4212=-a a ，8223=-a a ，∴11242-+⨯=-n n n a a ， ∴12211=-++n n n n a a ，∴}2{nna 是以1为首项，1为公差的等差数列. （2）由（1）可得n n a n n=-+=）（112，∴n n n a 2⨯=， ∴n n n S 223222132⨯++⨯+⨯+⨯= ①143222322212+⨯++⨯+⨯+⨯=n n n S ②由①-②得22)1(1+⨯-=-n n n S ，∵*N n ∈，∴2≥n S . 20．(1)证明：取AB 中点O ，连结CO PO ,， 由2==PB PA ，2=AB ，知PAB ∆为等腰直角三角形，∴1=PO ，AB PO ⊥，由2==BC AB ， 60=∠ABC ，知60=∆ABC 为等边三角形，∴3=CO ， 由2=PC 得222PC CO PO =+，∴CO PO ⊥，又O CO AB = ，∴⊥PO 平面ABC ，又⊂PO 平面PAB ，∴平面⊥PAB 平面ABCD . (2)解：如图，连结OH ，由(1)知CO PO ⊥，AB CO ⊥， ∴⊥CO 平面PAB ，CHO ∠为CH 与平面PAB 所成的角. 在COH Rt ∆中，∵OHOH OC CHO 3tan ==∠，要使CHO ∠最大，只需OH 最小， 而OH 的最小值即点O 到PB 的距离，这时PB OH ⊥，22=OH ，故当CHO ∠最大时，6tan =∠CHO ，即CH 与平面PAB 所成最大角的正切值为6.（3）解：如图建立空间直角坐标系，则)0,1,0(-A ，)0,0,3(C ，)1,0,0(P ， ∴)0,1,3(=，)1,1,0(=， 设平面PAC 的法向量为),,(z y x n =，则⎪⎩⎪⎨⎧=+=⋅=+=⋅003z y y x ，取1-=y ，则33=x ，1=z ，即)1,1,33(-=，平面BAC 的一个法向量为)1,0,0(=，设二面角B AC P --的大小为θ，易知其为锐角， ∴72111311|||||,cos |cos =++==><=m n m n θ. ∴二面角B AC P --的余弦值为721.21．解：(1)141)21(1)(22+-++=+++='x b x x b x x x f ， ∵函数)(x f 在定义域上是单调函数，∴0)(≥'x f 或0)(≤'x f 在),1(+∞-上恒成立.若0)(≥'x f 恒成立，得41≥b.若0)(≤'x f 恒成立，即41)21(2++-≤x b 恒成立. ∵41)21(2++-x 在),1(+∞-上没有最小值，∴不存在实数b 使0)(≤'x f 恒成立. 综上所述，实数b 的取值范围是),41[+∞. （2）由（1）知当41≥b 时，函数)(x f 无极值点. 当41<b 时，0)(=x f 有两个不同解，24111b x ---=，24112b x -+-=， ∵0<b 时，124111-<---=b x ，124112->-+-=bx ，即),1(1+∞-∉x ，),1(2+∞-∈x ，∴0<b 时，)(x f 在),1(2x -上递减，在),(2+∞x 上递增，)(x f 有惟一极小值点24112bx -+-=；当410<<b 时，124111->---=bx . ∴),1(,21+∞-∈x x ，0)(=x f 在),1(1x -上递增，在),(21x x 上递减，在),(2+∞x 上递增，)(x f 有一个极大值点24111b x ---=和一个极小值点24112bx -+-=.综上所述， 0<b 时，)(x f 有唯一极小值点2411bx -+-=，410<<b 时，)(x f 有一个极大值点2411b x ---=和一个极小值点2411b x -+-=； 41≥b 时，)(x f 无极值点. （3）先证：)()()(2'1212x g x x x g x g >--，即证111)1ln()1ln(2121122++>-+--++x x x x x x x ， 即证1111)1()1(111ln2121221212++-=++-+=+->++x x x x x x x x x x ，令t x x =++1112（1>t )，1()ln 1p t t t =+- ，211'()0p t t t =->,所以1()ln 1p t t t =+-在(1,)+∞ 上单调递增，即()(1)0p t p >= ,即有1ln 10t t+->, 所以获证. 同理可证：)()()(22323x g x x x g x g '<--，所以23231212)()()()(x x x g x g x x x g x g -->--. 22．解：(1)圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=.(2)设),(11θρP ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ.设),(22θρQ ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ. ∴2||=PQ .。

【关键字】试卷2015-2016学年湖北省武汉市八校高三（上）第一次联考数学试卷（理科）答案与解析一、选择题1、已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，B={x|log2（x﹣1）＜2}，则（∁RA）∩B=（）A．（1，3）B．（﹣1，3）C．（3，5）D．（﹣1，5）解：∵集合A={x|x2﹣2x﹣3≥0}，∴∁RA={x|x2﹣2x﹣3＜0}=（﹣1，3），又∵B={x|log2（x﹣1）＜2}={x|0＜x﹣1＜4}=（1，5），∴（∁RA）∩B=（1，3），选A2、命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为（）A．若x2+y2=0，则x≠0且y≠0B．若x2+y2=0，则x≠0或y≠0C．若x2+y2≠0，则x≠0且y≠0D．若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0解：命题“x2+y2=0，则x=y=0”的否定命题为：若x2+y2≠0，则x≠0或y≠0．选D3、欧拉公式eix=cosx+isinx（i为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占用非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，e2i表示的复数在复平面中位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解：e2i=cos2+isin2，∵2∈，∴cos2∈（﹣1，0），sin2∈（0，1），∴e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．4、函数f（x）=，则f[f（）]=（）A．﹣B．﹣1 C．﹣5 D．解：∵函数f（x）=，∴f（）==，∴f[f（）]=f（）=﹣2=．5、等差数列{an}前n项和为Sn，且=+1，则数列{an}的公差为（）A．1 B．2 C．2015 D．2016解：设等差数列{an}的公差为d．∵，∴=﹣==d又=+1，∴等差数列{an}的公差为2．选B6、若a=ln2，b=5，c=sinxdx，则a，b，c的大小关系（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．b＜c＜a解：∵=ln＜ln2＜lne=1，∴＜a＜1，b=5=＜，c=sinxdx=﹣cosx|=（1+1）=，∴b＜c＜a，选D7、已知sin（﹣α）﹣cosα=，则cos（2α+）=（）A．B．﹣C．D．﹣解：∵sin（﹣α）﹣cosα=cosα﹣sinα﹣cosα=﹣sin（α+）=，∴sin（α+）=﹣，则cos（2α+）=1﹣2sin2（α+）=，选C8、已知某几何体的三视图的侧视图是一个正三角形，如图所示，则该几何体的体积等于（）A．12 B．16 C．20 D．32解：由三视图可知该几何体为直三棱柱与四棱锥的组合体，V棱柱=×4××3=12，V棱锥=×4×（6﹣3）×=8，∴组合体的体积为V棱柱+V棱锥=20．选C9、已知函数f（x）=sin2（ωx）﹣（ω＞0）的周期为π，若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），所得图象关于原点对称，则实数a的最小值为（）A．πB．C．D．解：由函数f（x）=sin2（ωx）﹣=﹣cos2ωx （ω＞0）的周期为=π，可得ω=1，故f（x）=﹣cos2x．若将其图象沿x轴向右平移a个单位（a＞0），可得y=﹣cos2（x﹣a）=﹣cos（2x﹣2a）的图象；再根据所得图象关于原点对称，可得2a=kπ+，a=+，k∈Z．则实数a的最小值为．选D10、如图，在正六边形ABCDEF中，点P是△CDE内（包括边界）的一个动点，设（λ，μ∈R）则λ+μ的取值范围（）A．[1，2] B．[2，3] C．[2，4] D．[3，4]解：建立如图坐标系，设AB=2，则A（0，0），B（2，0），C（3，），D（2，2 ），E（0，2 ），F（﹣1，）则EC的方程：x+y﹣6=0；CD的方程：x+y﹣4 =0；因P是△CDE内（包括边界）的动点，则可行域为又，则=（x，y），=（2，0），=（﹣1，），所以（x，y）=λ（2，0）+μ（﹣1，）得⇒⇒⇒3≤λ+μ≤4．则λ+μ的取值范围为[3，4]．选D11、若一个四棱锥底面为正方形，顶点在底面的射影为正方形的中心，且该四棱锥的体积为9，当其外接球表面积最小时，它的高为（）A．3 B．2C．2D．3解：设底面边长AB=a，棱锥的高SM=h，∵V棱锥S﹣ABCD=•a2•h=9，∴a2=，∵正四棱锥内接于球O，∴O在直线SM上，设球O半径为R，（1）若O在线段SM上，如图一，则OM=SM﹣SO=h﹣R，（2）若O在在线段SM的延长线上，如图二，则OM=SO﹣SM=R﹣h，∵SM⊥平面ABCD，∴△OMB是直角三角形，∴OM2+MB2=OB2，∵OB=R，MB=BD=a，∴（h﹣R）2+=R2，或（R﹣h）2+=R2∴2hR=h2+，即R=+=+=≥3=．当且仅当=取等号，即h=3时R取得最小值．选A12、关于函数f（x）=+lnx，下列说法错误的是（）A．x=2是f（x）的极小值点B．函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点C．存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立D．对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4解：f′（x）=，∴（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，∴x=2是f（x）的极小值点，即A正确；y=f（x）﹣x=+lnx﹣x，∴y′=＜0，函数在（0，+∞）上单调递减，x→0，y→+∞，∴函数y=f（x）﹣x有且只有1个零点，即B正确；f（x）＞kx，可得k＜，令g（x）=，则g′（x）=，令h（x）=﹣4+x﹣xlnx，则h′（x）=﹣lnx，∴（0，1）上，函数单调递增，（1，+∞）上函数单调递减，∴h（x）≤h（1）＜0，∴g′（x）＜0，∴g（x）=在（0，+∞）上函数单调递减，函数无最小值，∴不存在正实数k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正确；对任意两个正实数x1，x2，且x2＞x1，（0，2）上，函数单调递减，（2，+∞）上函数单调递增，若f（x1）=f（x2），则x1+x2＞4，正确．选C二、填空题13、已知平面直角坐标系中，=（3，4），•=﹣3，则向量在向量的方向上的投影是．解：向量在向量方向上的投影为：=．14、若函数f（x）=，g（x）=f（x）+ax，x∈[﹣2，2]为偶函数，则实数a=．解：∵f（x）=，∴g（x）=f（x）+ax=，∵g（x）=为偶函数，∴g（﹣1）=g（1），即﹣a﹣1=1+a﹣1=a，∴2a=﹣1，∴a=﹣．15、设实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为．解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（4，2），化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z，由图可知，当直线y=﹣2x+z过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为2×4+2=10．16、如图所示，已知△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D为边AC上的一点，K为BD上的一点，且∠ABC=∠KAD=∠AKD，则DC=．解：由题意，tan∠ABC=，∵∠ABC=∠KAD=∠AKD，∴∠BDC=2∠ABC，∴tan∠BDC=tan2∠ABC==∴=∴DC=．三、解答题17、在等比数列{a n}中，a3=，S3=．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记b n=log2，且{b n}为递增数列，若C n=，求证：C1+C2+C3+…C n＜．解：（Ⅰ）∵a3=，S3=，∴当q=1时，S3=3a1=，满足条件，∴q=1．当q≠1时，a1q2=，=，解得a1=6，q=﹣．综上可得：a n=或a n=6•（﹣）n﹣1；（Ⅱ）证明：由题意可得b n=log2=log2=log222n=2n，则C n===（﹣），即有C1+C2+C3+…C n=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）=﹣＜．故原不等式成立．18、如图，△ABC中，三个内角B、A、C成等差数列，且AC=10，BC=15（1）求△ABC的面积；（2）已知平面直角坐标系xOy，点D（10，0），若函数f（x）=Msin（ωx+φ）（M＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象绕过A、C、D三点，且A、D为f（x）的图象与x轴相邻的两个交点，求f（x）的解析式．解：（1）在△ABC中，∵角B、A、C成等差数列，∴2A=B+C，即3A=180°，则A=60° …（1分）由余弦定理可知：a2=b2+c2﹣2bccos60°，…（2分）∴c2﹣10c﹣125=0，则c=|AB|=5+5．…（4分）又∵|AO|=10cos60°=5，∴|BO|=5，则△ABC的面积S=（5+5）×=（3）．…（6分）（2）T=2×（10+5）=30，∴ω=．…（8分）∵f（﹣5）=Msin[×（﹣5）+φ]=0，∴sin（﹣+φ）=0，则﹣+φ=kπ，即φ=+kπ，k∈Z∵|φ|＜，∴φ=，…（10分）∵f（0）=Msin=5，∴M=10，则f（x）=10sin（x+）．…（12分）19、如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM（Ⅰ）求证：AD⊥BM（Ⅱ）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E﹣AM﹣D的余弦值为．解答（1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=，M为DC的中点，∴AM=BM=2，∴BM⊥AM．∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM⊂平面ABCM∴BM⊥平面ADM∵AD⊂平面ADM∴AD⊥BM；（2）建立如图所示的直角坐标系，设，则平面AMD的一个法向量=（0，1，0），=+=（1﹣λ，2λ，1﹣λ），=（﹣2，0，0），设平面AME的一个法向量为=（x，y，z），则，取y=1，得x=0，z=，则=（0，1，），∵cos＜，＞==，∴求得，故E为BD的中点．20、小明同学制作了一个简易的网球发射器，可用于帮忙练习定点接发球，如图1所示，网球场前半区、后半区总长为23.77米，球网的中间部分高度为0.914米，发射器固定安装在后半区离球网底部8米处中轴线上，发射方向与球网底部所在直线垂直．为计算方便，球场长度和球网中间高度分别按24米和1米计算，发射器和网球大小均忽略不计．如图2所示，以发射器所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上的球场中轴线上，y轴垂直于地平面，单位长度为1米．已知若不考虑球网的影响，网球发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中k与发射方向有关．发射器的射程是指网球落地点的横坐标．（Ⅰ）求发射器的最大射程；（Ⅱ）请计算k在什么范围内，发射器能将球发过网（即网球飞行到球网正上空时，网球离地距离大于1米）？若发射器将网球发过球网后，在网球着地前，小明要想在前半区中轴线的正上空选择一个离地面2.55米处的击球点正好击中网球，试问击球点的横坐标a最大为多少？并请说明理由．解：（Ⅰ）由kx﹣（1+k2）x2=0（k＞0），可得：x=或x=0，由x=≤=20，当且仅当k=1时取等号．因此，最大射程为20米；（Ⅱ）网球发过球网，满足x=8时y＞1．所以4k﹣（1+k2）＞1，即4k2﹣20k+9＜0，因此＜k＜，依题意：关于k的方程ka﹣（1+k2）a2=2.55在（，）上有实数解，即a2k2﹣40ak+a2+204=0（a≠0），△=1600a2﹣4a2（a2+204）≥0得a≤14，此时k=，球过网了，所以击球点的横坐标a最大为14．***21、已知函数f（x）=e x，x∈R（Ⅰ）若直线y=kx与f（x）的反函数的图象相切，求实数k的值（Ⅱ）设a，b∈R，且a≠b，A=f（），B=，C=，试比较A，B，C三者的大小，并说明理由．解：（1）f（x）的反函数为y=lnx，．设切点为（x0，lnx0），则切线斜率为k==，解得x0=e，∴k=．（2）不妨设a＞b，则A﹣B=﹣=﹣＜0，∴A＜B．A﹣C=﹣==，令m（x）=2x﹣e x+e﹣x（x＞0），则m′（x）=2﹣e x﹣e﹣x＜0，∴m（x）在（0，+∞）上单减，故m（x）＜m（0）=0，取x=，则a﹣b﹣+＜0，∴A＜C．＞⇔＞=1﹣，令n（x）=﹣1+，则n′（x）=﹣=≥0，∴n（x）在（0，+∞）上单增，故n（x）＞n（0）=0，取x=a﹣b，则﹣1+＞0，∴B＞C．综合上述知，A＜C＜B．选修4-1几何证明选讲22、如图，BC是圆O的直径，点F在弧上，点A为弧的中点，做AD⊥BC于点D，BF与AD交于点E，BF与AC交于点G．（Ⅰ）证明：AE=BE（Ⅱ）若AC=9，GC=7，求圆O的半径．证明：（Ⅰ）连接AB，∵点A为弧的中点，∴=，∴∠ABF=∠ACB…（2分）又∵AD⊥BC，BC是圆O的直径，…（4分）∴∠BAD=∠ACB，∴∠ABF=∠BAD，∴AE=BE …（5分）（Ⅱ）由△ABG∽△ACB知AB2=AG•AC=2×9∴AB=3…（8分）直角△ABC中由勾股定理知BC=3…（9分）∴圆的半径为…（10分）选修4-4极坐标与参数方程23、已知曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，将曲线C1：（α为参数）经过伸缩变换后得到曲线C2．（1）求曲线C2的参数方程；（2）若点M在曲线C2上运动，试求出M到曲线C的距离的最小值．解：（1）将曲线C1：（α为参数），化为x2+y2=1，由伸缩变换化为，代入圆的方程可得：=1，得到曲线C2：，可得参数方程：．（2）曲线C的极坐标方程为2ρsinθ+ρcosθ=10，化为直角坐标方程：2y+x﹣10=0．∴点M到曲线C的距离d==≥=，∴M到曲线C的距离的最小值为．选修4-5不等式证明选讲24、已知函数f（x）=|x﹣10|+|x﹣20|，且满足f（x）＜10a+10（a∈R）的解集不是空集．（Ⅰ）求实数a的取值集合A（Ⅱ）若b∈A，a≠b，求证a a b b＞a b b a．解（1）要使不等式|x﹣10|+|x﹣20|＜10a+10的解集不是空集，则（|x﹣10|+|x﹣20|）min＜10a+10，根据绝对值三角不等式得：|x﹣10|+|x﹣20|≥|（x﹣10）﹣（x﹣20）|=10，即（|x﹣10|+|x﹣20|）min=10，所以，10＜10a+10，解得a＞0，所以，实数a的取值集合为A=（0，+∞）；（2）∵a，b∈（0，+∞）且a≠b，∴不妨设a＞b＞0，则a﹣b＞0且＞1，则＞1恒成立，即＞1，所以，a a﹣b＞b a﹣b，将该不等式两边同时乘以a b b b得，a ab b＞a b b a，即证．此文档是由网络收集并进行重新排版整理.word可编辑版本！。