湖北省 八校联考2018年元月高三第一次联考数学试卷（理科）参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A ，B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(.第I 卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.） 1．已知集合B A x y y B x x y y A x⋃>==>==则},1,)21(|{},1,log |{2等于 （ ） A ．}210|{<<y y B ．}0|{>y yC ．D ．R2．下列四个函数中，同时具有性质：①最小正周期为2π；②图象关于直线3π=x 对称的一个函数是（ ）A ．)6sin(π-=x y B ．)6sin(π+=x yC ．)3sin(π+=x y D ．)32sin(π-=x y3．设函数f (x )在定义域内可导，y =f (x )的图象如图1所示， 则导函数)(x f x '=的图象可能为 （ ）鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中4．设随机变量ξ服从正态分布),()(),1,0(x p x N <=Φξ记则下列结论不正确的是（ ） A ．21)0(=ΦB ．)(1)(x x -Φ-=ΦC ．1)(2)|(|-Φ=<a a P ξD ．)(1)|(|a a P Φ-=>ξ5．设p 、q 为简单命题，则“p 且q ”为假是“p 或q ”为假的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6．在复平面内，设向量i y x z i y x z y x p y x p 222111222111;),(),,(+=+===又设复数 212121),,,,(p p R y y x x ⋅∈则等于（ ）A ．2121z z z z +B ．2121z z z z -C ．21（2121z z z z -） D ．21（2121z z z z +） 7．等差数列9}{,27,39,}{963741前则数列中n n a a a a a a a a =++=++项的和S 9等于（ ） A ．66 B ．99C ．144D ．2978．平面向量,1),2,2(),1,1(),,(),,(22=⋅=⋅====d b c a d c y x b y x a 若则这样的向量a 有（ ）A ．1个B ．2个C ．多个2个D ．不存在9．如果)2003()2004()5()6()3()4()1()2(,2)1()()()(f f f f f f f f f b f a f b a f ++++=⋅=+ 则且等于 （ ）A ．2018B ．1001C ．2018D ．200210．若x ∈R 、n ∈N*，定义：55),1()2)(1(--+++=M n x x x x M n x 例如 =(－5)（－4）（－3）（－2）（－1）=－120，则函数199)(-=x xM x f 的奇偶性为 （ ）A ．是偶函数而不是奇函数B ．是奇函数而不是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数又不是偶函数11．已知,53)cos(,cos ,sin ,,-=+==βαβαβαy x 是锐角则y 与x 的函数关系式为（ ）A ．)153(541532<<+-=x x x y B ．)10(541532<<+-=x x x yC ．)530(541532<<--=x x x y D ． )10(541532<<--=x x x y 12．某大楼共有20层，有19人在第一层上了电梯，他们分别要去第2层至第20层，每层1人，而电梯只允许停1次，可只使1人满意，其余18人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走1层的不满意度为1，每向上走一层的不满意度为2，所有人的不满意度之和为S ，为使S 最小，电梯应当停在第（ ）层 A ．15 B ．14 C ．13 D ．12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．已知函数f(x)=x 5－5x 4+10x 3－10x 2+5x+1,则f(x)的反函数 为f －1(x) .14．若f(x)是以5为周期的奇函数且f(－3)=1,tan α=2，则f(20sin αcos α)= . 15．甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表有 种.16．如右图，它满足：（1）第n 行首尾两数均为n ， （2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行 （n ≥2）第2个数是 .三、解答题（本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤） 17．（本小题满分12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且8sin 2.72cos 22=-+A CB(I)求角A 的大小；(II) 若a=3，b+c=3，求b 和c 的值.18．（本小题满分12分）如图，A、B两点之间有6条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I）设选取的三条网线由A到B可通过的信息总量为x，当x≥6时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.19．（本小题满分12分）已知定点.||:).0,1(),1,0()1,0(2PC k BP AP P C B A =⋅-满分动点 （Ⅰ）求动点P 的轨迹方程，并说明方程表示的曲线； （Ⅱ）当|2|,2BP AP k +=求时的最大值和最小值.20．（本小题满分12分）从边长2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t .（Ⅰ）把铁盒的容积V表示为x的函数，并指出其定义域；（Ⅱ）x为何值时，容积V有最大值.21．（本小题满分12分）已知,分别是x 轴，y 轴方向上的单位向量,),4,3,2(3,10,1121 ====+-n A A A A OA OA n n n n 且,在射线y=x (x ≥0)上从下到上依次有点Bi =（i=1,2,3,…），22||3311=+=-n n B B OB 且（n=2,3,4…）. （Ⅰ）求54A A ； （Ⅱ）求n n OB OA ,；（III ）求四边形n n n n B B A A 11++面积的最大值.22．（本小题满分14分）已知),,(42)(2R c b a c bx ax x f ∈++= （Ⅰ）若a +c=0,f(x)在[－2，2]上的最大值为.2|:|,21,32≤-ab求证最小值为 （Ⅱ）时43,4==c b ，对于给定的负数a ，有一个最大的正数M （a ），使得5|)(|)](,0[≤∈x f a M x 时都有，问a 为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论. （III ）（选做，如果解答正确，加4分，但全卷不超过150分）若f (x )同时满足下列条件： ①a >0; ②当|x |≤2时，有|f (x )| ≤2； ③当|x |≤1时，f ′(x )最大值为2，求f (x )的解析式.湖北省 八校联考2018年元月高三第一次联考 数学试卷（理科）答案一、选择题1．B }.0|{},210|{},0|{>=⋃∴<<=>=y y B A y y B y y A 2．B 3． D .0)(,0)(,)(<'>'x f x f x f 判断的单调性根据4．D ).(22)()(1)()()|(|a a a a P a P a P Φ-=-Φ+Φ-=-<+>=>ξξξ 5．B6．D =⋅-++=⋅+=⋅211221212121212121,)(,z z i y x y x y y x x z z y y x x p p ).(21,)(21212112212121z z z z p p i y x y x y y x x ⋅+⋅=∴--+ 7．B .9922292)(92)(9,9,136491964=⨯=+=+=∴==a a a a S a a 8． A ∴===+=⋅=+=⋅,22,122,122R y x y x 圆心到直线的距离直线与圆相切.9． C 令200410022)2003()2004()1()2(,2)1()()1(),1()()1(,1,=⨯=++∴==+∴⋅=+==f f f f f n f n f f n f n f b n a10．A 199)(-=x xM x f =x ·(x －9)(x －8)x (x +8)[(x －9)+19－1]=x 2(x 2－9)…(x 2－1).鄂南高中 华师一附中 黄冈中学 黄石二中荆州中学 孝感高中 襄樊四中 襄樊五中11． A 53sin )sin(cos )cos(])cos[cos -=⋅++⋅+=-+==αβααβααβαβy .153100,5412<<⇒⎭⎬⎫<<>+-x x y x x 且12．B 设停在第x 层，则S=[1+2+…+（20－x ）]×2+[1+2+…+（x －2）]=685,42128532=∴+-x x x 时取最小值，而x ∈{2，3，…20}，∴x =14时，取最小值. 二、填空题 13．12)(,2)1()(125155+-=∴+-=+--x x f x x f x14．－1 f(20sin α·cos α)=f(10sin2α)=f(8)=f(3)= －1 .15．42 直接方法：.422:,423131424152426242224=+-⋅=+C C C C C C C A C 间接方法种16．.)2(222122n n n n a n n a a a n n a 迭加得≥⎩⎨⎧=-=+-=+ 三、解答题17．解：（I ）在△ABC 中有B+C=π－A ，由条件可得：（1分）4[1－cos(B+C)] －4cos 2A+2=7 又∵cos(B+C)= －cosA∴4cos 2A －4cosA+1=0 （4分）解得.3),,0(,21cos ππ=∴∈=A A A 又 （6分） （II ）由bc a c b bc a c b A 3)(,21221cos 22222=-+=-+=即知（8分）)12(.122123)10(.2,3,3分或由分代入得又⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧==+==+=c b c b bc c b bc c b a18．解：（I ）411)6(,6321411361212=⋅+==∴=++=++C C C x P（3分）)6(431012034141)6()4(101202)9(,9432203)8(,842243141205)7(,7322421分分=+++=≥∴===∴=++==∴=++=++===∴=++=++x P x P x P x P（II ）)8(203)5(,5221311,101)4(,4211分===++=++===++x P x P ∴线路通过信息量的数学期望 5.61019203841741620351014=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （11分） 答：（I ）线路信息畅通的概率是43.（II ）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12分）19．（I ）设动点的坐标为P(x ,y),则12)1()1(])1[(1||),1(),1,(),1,(2222222---+-+-+-=-+∴=⋅-=+=-=k kx y k x k y x k y x PC k BP AP y x PC y x BP y x AP若k=1，则方程为x =1，表示过点（1，0）是平行于y 轴的直线.（4分）若k ≠1，则方程化为：|1|1,)0,1(,)11()1(222k k k k y k k x ---=+-+以为圆心表示以为半径的圆. （5分） （II ）当k=2时，方程化为（x －2）2+y 2=1 .（2分）)12(33737646,37337646.|2|]37646,37646[46)cos(37646sin 6cos 3626636)9(.sin ,cos 2,1)2(26636|2|,34)7(.1699|2|),13,3()1,()1,(22222222分最小值为的最大值为分则令又分-=-+=++∴+-∈++=+-=--=+=∴=+---=+∴-=++-+=+∴-=++-=+BP AP y x y x y x y x x y x y y x BP AP y x y x y x ϕθθθθθ20．解：（Ⅰ）由已知正方形的长为2a -2x ,高为x ，)5(}.2120|{.2120,021212.2120,0,22,0,)(4)22(22分函数的定义域为则tatx x tat x t a t at a t atx a x t x a x a x x a x x x a V +≤<∴+≤<∴>+=+-⎪⎩⎪⎨⎧+≤<<<⇒⎪⎩⎪⎨⎧≤-<<∴-=⋅-=（Ⅱ）x a ax x x a x V 2232484)(4+-=-=,41,2123)6()(3,0,4161222时即若分舍去或则令≥+≤==='+-='∴t t at a a x ax V a ax x V)12.(,212410;,3,41:)(212,]212,0(,041612,410,2123)9.(,3.,,322分取最大值容积时时当取最大值容积时当综上知取最大值时当上是增函数在时即若分取最大值时当存在最大值而取极大值当V t atx t V ax t x V tatx t atV a ax x V t t at a V ax V V ax +=<<=≥+=∴+∴>+-='<<+>=∴=∴21．（Ⅰ）n n n n n n n n A A A A A A A A 1111313-++-=⇒= )3.(31)(271)31()31(31122133224354分J OA OA A A A A A A A A =-====（II ）由（1）知,313132111A A A A n n n n --+==)12(.247922931229,0332313)10(322922)31(29222131)32(21.22)31(29)2)31(29,0(,22||.32,31||)()8()12()12()22)(1(33.22,)0(,22||)6.(2)31(29311])31(1[9313921max 2134313434241111131111322111114131211211111分而分的距离为到直线又的高为的底面边的面积为四边形分上均在射线且分=+=+==∴>>>>∴<+-=--=-+=-⋅⋅+⋅+⋅=∴-==-=+=∆=+=+++=+-++=++++=∴+=∴≥==-=--+=++++=+++=++=----------++++-+∆∆++---------+++S S S S S n n n S S n n S h x y A B B n h A A B A A A A S S S B B A A III n i n j i n j i B B B B B B OB OB B B x x y B B B B j j j j j j j A A A A A A A A OA OA n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n A B B B A A n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n nn n n n n22．（Ⅰ）若a =0,则c=0,∴f (x )=2bx .⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===≤≤-.21||4)(,32||4)(,22min max b x f b x f x 有时当这是不可能的，∴a ≠0. 若a ≠0，则由|a b |>2，∴区间[－2，2]在对称轴x =－ab的左侧或右侧， ∴f (x )在[－2，2]上是单调函数.∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-===.21||4)(,32||4)(min max b x f b x f 也是不可能的，∴|a b |≤2.综上知|ab|≤2. （6分） （II ）)14.(215)(,8,21215.,821522042244232648)(.538)(,.4)(,8,5163)()9(21424216228648)(.538)(,.4)(0,08,5163)(163)(,0.163)4()(22max 2分取最大值时因此当且仅当由于等号成立时当且仅当的较大根是方程所以此时即分的较小根是方程所以此时即当所以+-=>+-=+=-≤--=---=-=++->-≤≤-=<++=++-==++-<<<<->--=<-++⋅=a M a a a aaa M x ax a M aa M a a ii a a a a M x ax a M aa M a a i ax f a aa x a x f（III ）.222)(,0,22)(max =+='∴>+='b a x f a b ax x f)4(.2)(,1,0,022]2,2[00)().0(2)(,2|)(|21,242424)2()(44444)0(2.12分从而处取到最小值且在又-=∴==∴=-∴-∈=∴=-≥∴≤-=∴-=∴-=-≤-=+-++==≤-=+∴x x f a b abx x f f x f x f C c f b a c b a c f b a。
