【精准解析】陕西省西安地区2020届高三下学期八校联考理科数学试题(B卷)

2020届陕西省西安地区八校联考数学理科试题数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上． 2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{}10A x Z x =∈+≥，(){}lg 3B x y x ==-，则A B ⋂=（ ）． A ．{}0,1,2B ．{}13x x -≤<C ．{}0,1,3,1,2-D ．{}1,2,1,0-2．已知复数z 在复平面上对应的点为()1,2-，i 为虚数单位，则zi=（ ）． A ．2i --B ．12i -+C ．2i -D ．12i --3．函数()3234f x x x =+-的零点个数为（ ）． A ．0B ．1C ．2D ．34．若已知实数,x y 满足()22,20,13,y x x y y ≥-⎧⎪+≥⎨⎪-≤≤⎩则241z x y =++的最小值为（ ）．A ．2-B ．3-C ．5-D ．05．从6男4女中任选2男2女担任,,,A B C D 四种互不相同的工作，且每人担任其中的一项工作．若女甲不能担任工作C ，则不同的选派方案种数为（ ）． A ．1800B ．1890C ．2160D ．22106．已知()622a a Z a ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中第1r +项是160-，则函数()af x x =是（ ）． A ．定义域为R 的奇函数 B ．在()0,+∞上递减的奇函数 C ．定义域为R 的偶函数D ．在()0,+∞上递增的偶函数7．已知点()2,3A 到抛物线()20y px p =>的准线的距离为5，则抛物线的焦点坐标为（ ）． A ．（2，0）B ．10,2⎛⎫⎪⎝⎭C ．（0，2）D ．10,32⎛⎫⎪⎝⎭8．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，侧棱长为在同一球面上，则该球的表面积为（ ）．A ．20πB ．16πC ．12πD ．9．若x x ≤≤223x x+≤≤”成立的（ ）． A ．充要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件10．函数()22cos212sin 2f x x x x =+-的单调递增区间为（ ）． A ．(),26212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．(),21223k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ C ．(),612k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦D ．(),123k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦11．已知双曲线C ：()2210,0x y a b a b-=>>的左焦点为1F ，过1F 且垂直于x 轴的直线被双曲线C e 为双曲线的离心率），则双曲线的渐近线方程为（ ）．A ．3y x =±B ．5y x =±C ．35y x =±D ．5y x =±12．陕西关中的秦腔表演朴实，粗犷，细腻，深刻，再有电子布景的独有特效，深得观众喜爱．戏曲相关部门特意进行了“喜爱看秦腔”调查，发现年龄段与爱看秦腔的人数比存在较好的线性相关关系，年龄在[40，44]，[45，49]，[50，54]，[55，59]的爱看人数比分别是0.10，0.18，0.20，0.30，现用各年龄段的中间值代表年龄段，如42代表[40，44]．由此求得爱看人数比y 关于年龄段x 的线性回归方程为0.4188y kx =-．则年龄在[60，64]的10000人中，爱看秦腔的人数约为（ ）． A ．4200B ．3900C ．3700D ．3500第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题（本大题共4小题，把答案填在答题卷中相应的横线上） 13．已知平面向量(),2a m =，()2,b m =，且//a b a -，则m =______．14．在3与156之间插入50个数，使这52个数成等差数列，则插入的50个数的和等于______．15．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为35，乙获胜的概率为25，各局比赛相互独立，则恰好进行了4局结束比赛的概率为______．16．金石文化，是中国悠久文化之一．“金”是指“铜”，“石”是指“石头”，“金石文化”是指在铜器或石头上刻有文字的器件．在一千多年前，有一种凸多面体工艺品，是金石文化的代表作，此工艺品的三视图是三个全等的正八边形（如图），若一个三视图（即一个正八边形）的面积是(()28dm +，则该工艺品共有______个面，表面积是______．三、解答题（本大题共7小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17~21题为必考题．第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17．已知ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且()(222a b c bc --=，2sin sin cos 2CA B =，BC 边上的中线AM ． （Ⅰ）求角A 、C 的大小； （Ⅱ）求ABC △的面积．18．已知四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为平行四边形，M 为CD 的中点，N 为PD 上一点，且12DN NP =（如图）．（Ⅰ）证明：//PB 平面AMN ；（Ⅱ）当平面PAB ⊥平面ABCD ，55566PA PB AD AB ====，120BAD ∠=︒时，求二面角B AM N --的余弦值．19．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，设()()22nn n f n a S =-+-．（Ⅰ）若11a =，23a =，且数列(){}f n 为等差数列，求数列(){}f n 的通项公式； （Ⅱ）若()0f n =对任意n N +∈都成立，求当n 为偶数时n S 的表达式． 20．己知函数()()2sin f x mx x m R =+∈．（Ⅰ）若()f x 在,33ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递减，求m 的最大值； （Ⅱ）若函数()f x 的图像在原点处的切线也与函数()ln 1g x x x =+的图像相切，求m 的值．21．已知A ，B ，C 顺次是椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的右顶点、上顶点和下顶点，椭圆E的离心率2e =12AB AC ⋅=． （Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若斜率为1111k k ⎛-<< ⎝⎭的直线l 过点()()0,4m m k ≠-，直线l 与椭圆E 交于P ，Q 两点，且以PQ 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．请考生在第22，23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写． 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xoy 中，直线l经过点()P -，其倾斜角为α，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，与直角坐标系xoy 取相同的长度单位，建立极坐标系，设曲线S的参数方程为1x ky ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（k 为参数），曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （Ⅰ）求曲线S 的普通方程和极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 与曲线C 有公共点，求α的取值范围． 23．[选修4—5：不等式选讲] 已知函数()25f x x x x =---． （Ⅰ）求不等式()238f x x ≥-的解集；（Ⅱ）若存在[]00,6x ∈，使()042f x a ≥--成立，求a 的取值范围．。

2020届西安地区八校联考高考.押题卷数学*理科第Ⅰ卷（选择题）一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 已知集合{}212A x x =-<-<，B 为函数()()2log 1f x x =-的定义域，则A B =（ ）. A. {}1x x <- B. {}3x x >C. {}1,1x x x -或 D. {}13x x <<【答案】D 【解析】 【分析】解不等式212x -<-<，即可求出集合A ；根据对数函数的特点即可求出函数()()2log 1f x x =-的定义域，进而求出集合B ，再根据集合的交集运算，即可求出结果.【详解】因为{}212A x x =-<-<， 所以{}13A x x =-<<；又函数()()2log 1f x x =-的定义域为()1,+∞, 所以{}1B x x =>； 所以{}13A B x x ⋂=<<. 故选：D.【点睛】本题主要考查了集合的交集运算，涉及对数函数定义域的求法，属于基础题. 2. 已知复数z 和虚数单位i 满足11i z+=.则z =（ ）.A.B.C. 2D.12【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算公式，求出1122z i =+，再利用复数的模的运算公式，即可求出结果. 【详解】因为11i z+=，所以()()111111122i z i i i i +===+--+，所以2z =. 故选：B.【点睛】本题主要考查了复数的运算和复数模，属于基础题.3. 设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，95a =，108a =，则10S =（ ）. A.55-B. 55C. 135D. 65-【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求出首项和公差，即可求出前10项和. 【详解】设数列{}n a 的公差为d ，911018598a a d a a d =+=⎧∴⎨=+=⎩，解得119,3a d =-=，1101010552a a S .故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查前n 项和的计算，属于基础题.4. 已知x ，y 满足约束条件22310x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =-的最小值是（ ）.A. 7-B. 6-C. 12-D. 3【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件画出可行域，由2z x y =-可得2y x z =-，作0:2l y x =，沿着可行域的方向平移，截距最大的时候2z x y =-最小. 【详解】作出可行域如图所示：由103x x y +=⎧⎨+=⎩ 可得：14x y =-⎧⎨=⎩，即()1,4A - 当2z x y =-过()1,4A -时，()min 2146z =⨯--=-， 故选：B【点睛】本题主要考查了线性规划问题，关键是理解z 的几何意义，属于基础题. 5. 一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的体积为（ ）.A. 24π+B. 28π+C. 44π+D. 48π+【答案】B 【解析】【分析】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4，下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1，由此能求出该几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可知，这个几何体的上部为半个圆柱，底面半径为1，高为4， 下部为长方体，长、宽、高分别为4、2、1， 所以该几何体的体积为2114421282V ππ=⨯⨯+⨯⨯=+. 故选：B【点睛】本题主要考查了由三视图求几何体的体积，考查空间想象能力，属于中档题. 6. 圆2220x y x +-=上的动点P 到直线30x y --=的最近距离为（ ）. A.2B. 2C.21D.21【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到直线30x y --=的距离，根据距离的最小值为d r -，即可求解. 【详解】由圆的一般方程可得22(1)1x y -+=， 圆心坐标为()1,0，半径为1， 圆心到直线的距离22d ==， 21. 故选：D.【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，圆的方程，属于较易题. 7. 若1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，则曲线()y f x =在（1，()1f ）处的切线方程是（ ）. A. 1y =- B. 10x y +-= C. y e = D. y ex =【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可知()01f '=，即可求出a 得值，再求出(1)f 的值可得切点，斜率(1)0k f '==，即可写出方程.【详解】由题意可得：()1ln xf x ae x '=++，因为1x =是函数()ln x f x ae x x =+的极值点，所以(1)10f ae '=+=， 解得1a e=-，所以()1ln x f x e x x e =-+， 可得()11ln11f e e=-⨯+=-，切点为()1,1-，斜率(1)0k f '==，所以切线为：1y =- 故选：A【点睛】本题主要考查了曲线在某点处切线的斜率，涉及极值点处的导函数值等于0，属于中档题.8. 执行如图所示程序框图，若输入的2a =，6b =，则输出的S 是（ ）.A. 15B. 16C. 17D. 18【答案】B 【解析】 【分析】按程序框图运行即可得到正确答案.【详解】第一步：2a =，6b =，0,2612S T ==⨯=，12S =，3a =，5b =，3515T =⨯=，S T >不成立，第二步：15S =，4a =，4b =，4416T =⨯=，S T >不成立， 第三步：16S =，5a =，3b =，5315T =⨯=，S T >成立， 输出16S =， 故选：B【点睛】本题主要考查了循环机构的程序框图，属于基础题.9. 若双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则双曲线C 的离心率是（ ）A.2B.3 C. 2D.23【答案】C 【解析】 【分析】求得b a 的值，再由21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线C 的离心率的值. 【详解】由于双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的一条渐近线与y 轴的夹角是6π，则直线b y x a =的倾斜角为3π，tan 33b a π∴==，所以，双曲线C 的离心率为22222212c c a b b e a a a a +⎛⎫====+= ⎪⎝⎭. 故选：C.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线求离心率，利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭计算较为方便，考查计算能力，属于基础题.10. 已知某居民小区户主人数和户主对户型结构的满意率分别如图1和图2所示，为了解该小区户主对户型结构的满意程度，用分层抽样的方法抽取20%的户主进行调查，则样本容量和抽取的户主对四居室满意的人数分别为( )A. 100，8B. 80，20C. 100，20D. 80，8【答案】A 【解析】由题设中提供的直方图与扇形统计图可知样本容量是100n =，其中对四居室满意的人数为002010040800⨯⨯=，应选答案A ．11. 设函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩，则当0x >时，()()f f x 的展开式中常数项是（ ）. A. 70- B. 35- C. 35 D. 70【答案】D 【解析】 【分析】根据分段函数求出()()f f x 的解析式，再利用二项式展开式的通项公式即可求出展开式的常数项.【详解】函数()821,0,0x x f x x x x ⎧⎛⎫-<⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪-≥⎩， ∴当0x >时，()()()882222211f f x f xx x x x ⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，其展开式的通项公式为：()()82164188211rrr rr r r T C xC x x --+⎛⎫=⋅⋅-=- ⎪⎝⎭， 令1640r -=，解得4r =；∴展开式的常数项为：()4458170T C =-=.故选：D.【点睛】本题主要考查了二项式定理.属于较易题. 12. 设向量()3sin ,sin a x x =，()cos ,sin b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.则函数()f x a b =⋅的最大值是（ ） A.32B. 32-C. 12-D. 2【答案】A 【解析】根据向量的数量积公式、二倍角公式和辅角公式化简，可得()1sin 262f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，再根据0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦和三角函数的性质，即可求出结果. 【详解】由题意可知，()21cos 213sin cos sin 2sin 22262x f x a b x x x x x π-⎛⎫=⋅=+=+=-+ ⎪⎝⎭ 又0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦， 所以当3x π=时，即226x ππ-=时，()f x 取最大值， ()f x 最大值为113=sin 2=sin =3362222f ππππ⎛⎫⎛⎫⨯-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：A.【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积，三角恒等变换与三角函数的性质，属于基础题．第Ⅱ卷（非选择题）二、填空题13. 函数()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（0>ω）的最小正周期是3π，则ω=______. 【答案】23【解析】 分析】利用函数()sin y A ωx φ=+的 周期公式2T ωπ=，即可求出结果.【详解】由题意可知，23ππω=，所以23ω=. 故答案为：23. 【点睛】本题主要考查了函数()sin y A ωx φ=+周期公式的应用，属于基础题.14. 已知圆O 内切于边长为2的正方形，在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内的概率是【答案】44π- 【解析】 【分析】计算正方形的面积和内切圆的面积后可得所求的概率 【详解】正方形的面积为4，内切圆的面积为π，设事件A 为“在正方形内任取一点，则该点不在圆O 内”， 则A 中含有的基本事件对应的面积为4π-， 故所求的概率为44π-. 故答案为：44π-. 【点睛】本题考查几何概型的概率计算，此类问题弄清楚用何种测度来计算概率是关键，本题属于基础题.15. 已知椭圆22194x y +=的两个焦点是1F 、2F ，点M 是椭圆上一点，且122MF MF -=，则12F F M △的面积是______. 【答案】4 【解析】 【分析】根据椭圆的定义和已知条件，可求出12,MF MF 的值，再根据勾股定理，可证明12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形，由此即可求出结果. 【详解】由椭圆的定义可知，126MF MF +=， 又122MF MF -=，联立两式 121262MF MF MF MF ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩，可得1242MF MF ⎧=⎪⎨=⎪⎩又12F F = 所以2221212MF MF F F +=，所以12F F M △是以12MF MF ，为直角边的直角三角形， 所以12F F M △的面积为121142422MF MF ⋅⋅=⨯⨯=. 故答案为：4.【点睛】本题主要考查了椭圆的定义和简单的性质，属于基础题.16. 第二十四届国际数学家大会会标是以我国古代数学家赵爽的弦图设计的，如图，会标是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形.如果小正方形的面积为1，大正方形面积为25，直角三角形中较大锐角为θ，则cos2θ=_____.【答案】725-【解析】【分析】 计算出直角三角形中θ的对边长，可求得sin θ的值，再利用二倍角的余弦公式可求得cos2θ的值.【详解】设直角三角形中θ的对边长为a ，则较短的直角边长为1a -，由题意可得()141251242a a ⨯-=-=，整理得2120a a --=，1a >，解得4a =，大正方形的边长为5，4sin 5θ∴=，，因此，2247cos 212sin 12525θθ⎛⎫=-=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故答案为：725-. 【点睛】本题考查利用二倍角的余弦公式求值，考查计算能力，属于中等题.三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答）17. 已知公比不等于1的等比数列{}n a 满足13223a a a +=，且32a +是2a ，4a 的等差中项. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若n n b a n =-，数列{}n b 的前n 项和为n S ，求使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值.【答案】（1）2n n a =；（2）10.【解析】【分析】（1）借助题设条件运用等比数列的通项公式建立方程组求解；（2）借助题设条件运用等比数列和等差数列的求和公式求解n S ，代入已知条件求解即可.【详解】（1）设等比数列的公比为()1q q ≠，由题意得()2111221112322a a q a qa q a q a q ⎧+=⎪⎨+=+⎪⎩， 解之得122q a =⎧⎨=⎩（1q =舍去）， ∴数列{}n a 的通项公式为1222n n n a -=⨯=；（2）由（1）得2n n a =，∴2n n b n =-，∴()()212121221222n n n n n n n S +⋅-++=-=---， ∴不等式12470n n S +-+<， 即24502n n +-+<， 得()()1090n n +->∴10n <-（舍去），或9n >（n +∈N ），故使得12470n n S +-+<成立的正整数n 的最小值为10.【点睛】本题主要考查了等差数列与等比数列的通项公式以及求和公式等有关知识的综合运用．属于中档题.18. 某单位招聘职员，共有三轮考核，每轮考核回答一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则被淘汰.已知甲选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别是45、35、25.且各轮问题能否正确回答互不影响.（1）求该选手被淘汰的概率；（2）该选手在被考核中回答问题的个数记为X ，求X 的分布列和数学期望.【答案】（1）101125；（2）分布列见解析；期望为5725. 【解析】【分析】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，则“该选手被淘汰”为事件112123A A A A A A ++，再利用互斥事件、相互独立事件概率计算公式和题中所给数据，即可求出该同学被淘汰的概率．；（2）由题意X 的可能值为1，2，3，()1,2,3X i i ==表示前1i -轮均答对问题，而第i 次答错，利用独立事件求出概率，列出分布列，求出期望．【详解】（1）设“该选手能正确回答第i 轮问题”为事件()1,2,3i A i =，“该选手被淘汰”为事件M .则()145P A =，()235P A =，()325P A =. ()()112123P M P A A A A A A =++()()()()()()112123P A P A P A P A P A P A =++142433555555=+⨯+⨯⨯ 101125= ∴该选手被淘汰的概率是101125（2）X 的可能取值为1，2，3.()()1115P X P A ===， ()()()()121242825525P X P A A P A P A ====⨯=， ()()()()1212431235525P X P A A P A P A ====⨯=.∴X 的分布列为X 1 2 3P 15 825 1225∴()1812571235252525E X =⨯+⨯+⨯=. 【点睛】本题考查互斥、对立、独立事件的概率，离散型随机变量的分布列和期望等知识，同时考查利用概率知识分析问题、解决问题的能力．19. 如图，四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 的交点，BE ⊥平面ABCD .（1）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（2）若120ABC ∠=︒，2AB =，ABE △2BE 上确定一点P ，求使得直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值为1515时CP 的长. 【答案】（1）证明见解析；（2）322. 【解析】【分析】 （1）利用线面垂直和面面垂直的判定定理求解即可.（2）设EB x =，利用已知条件求出边的长度，建立空间坐标，写出点的坐标，求面CDE 的一个法向量，利用直线CP 与平面CDE 所成角的正弦值求解即可.【详解】（1）证明：因为四边形ABCD 为菱形，所以AC BD ⊥，∵BE ⊥平面ABCD ，所以AC BE ⊥，BD BE B ⋂=，故AC ⊥平面BED ，又AC ⊂平面AEC ，所以平面AEC ⊥平面BED .（2）解：设EB x =，则122x ⨯⨯=，得x =. 在菱形ABCD 中，由120ABC ∠=︒，2AB =，可得AG GC ==，1GB GD ==，过G 作直线l ⊥平面ABCD ，以G 为原点，直线GB 为x 轴，直线GC 为y 轴，l 为z 轴建立空间直角坐标系G xyz -.则()0,0,0G ，()1,0,0B，()C ，()1,0,0D -，(E，()1,CD =-，(1,CE =，()1,CB =，(BE =设()BP BE λ==，（01λ≤≤）∴()1,CP CB BP =+=； 设平面CDE 的一个法向量为(),,n x y z =，则有 0,0,n CD n CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩即0,0,x x ⎧--=⎪⎨=⎪⎩，得(3,1,n =-，∴2cos ,1510n CPn CP n CP -⋅===⋅， 解得12λ=，或74λ=（舍去）.∴1,2CP ⎛= ⎝⎭，得CP 的长为2.【点睛】本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理，以及利用空间向量求解线面角的问题.属于中档题.20. 已知F 为抛物线C ：()220x py p =>的焦点，点(),1M m 在抛物线上，且98MF =.直线l ：2y kx =+与抛物线C 交于A 、B 两点.（1）求抛物线C 的方程；（2）设O 为坐标原点，y 轴上是否存在点P ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）212x y =；（2）存在；P （0，2-）. 【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离，由98MF =，即可得到9128p +=，从而求出参数p 的值，即可得解；（2）设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .联立直线与抛物线方程，消去y ，列出韦达定理，由OPA OPB ∠=∠，则直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数，即可得到方程，求出参数b 的值，即可得解； 【详解】解：（1）根据抛物线的定义，得9128p +=，解得14p =. ∴抛物线C 方程为212x y =. （2）在y 轴上存在点p ，使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠.理由如下：设()0,P b ，()11,A x y ，()22,B x y .由22,1,2y kx x y =+⎧⎪⎨=⎪⎩消去y ，得2220x ky --=.且2160k ∆=+>恒成立. ∴122k x x +=，121x x =-.2112y x =，2222y x =. ∵OPA OPB ∠=∠时，直线PA 和直线PB 的倾斜角互补，故其斜率互为相反数. ∴()()21121212120PA PB x y b x y b y b y b x x k k x x -+---++=== ∴22212121220x x bx x x bx ⋅-+⋅-=，即()()122120x x b x x -+=∴()202k b --⋅=，得2b =-，即点P 的坐标为（0，2-）. 所以，y 轴上存在点P （0，2-），使得当k 变化时，总有OPA OPB ∠=∠【点睛】本题考查抛物线的定义的应用，直线与抛物线的综合应用，属于中档题.21. 已知函数()()ln 1f x x =+，()()g x xf x '=，其中()f x '是()f x 的导函数.（1）求函数()()()F x mfx g x =-（m 为常数）的单调区间； （2）若0x ≥时，()()()1f x a g x ≥-恒成立，求实数a 的取值范围.【答案】（1）答案见解析；（2）(],2-∞.【解析】【分析】（1）先对函数()F x 求导，再对m 分类讨论判断函数的单调性即可得出结论；（2）由题意转化已知条件令()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，求导，再对a 分类讨论判断函数的单调性求最值即可求出实数a 的取值范围.【详解】（1）∵()()ln 1f x x =+，()11f x x '=+. ∴()()()()ln 11x F x mf xg x m x x =-=+-+（1x >-）， ∴()()()()22111111m x m F x x x x +-'=-=+++.当0m ≤时，()0F x '<，()F x 在()1,-+∞上单调递减；当0m >时，由()0F x '=，得1m x m-=>-1， 11,m x m -⎛∈⎫- ⎪⎝⎭时，()0F x '<. 1,x m m -⎛⎫+∞ ⎝∈⎪⎭时，()0F x '>. ()F x 在11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，在1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 综上所述，当0m ≤时，()F x 的单调递减区间是()1,-+∞；当0m >时，()F x 的单调递减区间是11,m m -⎛⎫- ⎪⎝⎭，单调递增区间是1,m m -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. （2）当0x ≥时，不等式()()()1f x a g x ≥-恒成立， 即()()1ln 101a x x x -+-≥+恒成立， 设()()()()1ln 101a xM x x x x -=+-≥+，则()()()()()221120111a x a M x x x x x -+-'=-=≥+++， 当2a ≤时，()0M x '≥，仅当2a =，0x =时，等号成立；()M x 在[]0,+∞上递增；∴()()00M x M ≥=；()()()1f x a g x ≥-恒成立；当2a >时，由()0M x '=，得2=-x a ，当()0,2x a ∈-时，()0M x '<，()M x 在()0,2a -上递减，有()()200M a M -<=，即()0,2x a ∃∈-使()0M x <，综上所述，a 的取值范围是(],2-∞.【点睛】本题主要考查了利用函数求函数的单调区间以及利用导数求最值解决不等式恒成立问题.考查了构造函数的思想和分类讨论思想.属于中档题.请考生在第（22）、（23）两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.（选修：坐标系与参数方程）22. 选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ=2sinθ．（Ⅰ）把C 1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C 1与C 2交点的极坐标（ρ≥0,0≤θ＜2π）【答案】（1）28cos 10sin 160ρρθρθ--+=；（2）),(2,)42ππ. 【解析】【详解】试题分析：（1） 先根据同角三角函数关系cos 2t ＋sin 2t=1消参数得普通方程：（x －4）2＋（y －5）2＝25 ，再根据cos ,sin x y ρθρθ==将普通方程化为极坐标方程：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=（2）将2sin ρθ=代入28cos 10sin 160ρρθρθ--+=得cos 0tan 1θθ==或得,2,24或ππθρθρ====再转化为极坐标试题解析： （1）∵C 1的参数方程为45cos {55sin x t y t=+=+ ∴（x －4）2＋（y －5）2＝25（cos 2t ＋sin 2t ）＝25，即C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，把cos ,sin x y ρθρθ==代入（x －4）2＋（y －5）2＝25，化简得：28cos 10sin 160ρρθρθ--+=.（2）C 2直角坐标方程为x 2＋y 2＝2y ，C 1的直角坐标方程为（x －4）2＋（y －5）2＝25，∴C 1与C 2交点的直角坐标为（1，1），（0，2）.∴C 1与C 2交点的极坐标为),(2,)42ππ. 考点：参数方程化普通方程，直角坐标方程化极坐标方程（选修：不等式选讲）23. 已知函数()2f x m x =--，m ∈R ，且()1f x ≥的解集为{}13x x ≤≤.（1）求m 的值；（2）若,a b +∈R ，且112m a b a+=+，求3a b +的最小值. 【答案】（1）2m =；（2）2.【解析】【分析】（1）先整理()1f x ≥，可得21x m -≤-，利用解绝对值不等式的方法去绝对值即可得出结论；（2）利用已知条件和柯西不等式求解即可.【详解】（1）()1f x ≥即21m x --≥， 得21x m -≤-，∴()121m x m --≤-≤-，得31m x m -+≤≤+∵()1f x ≥的解集是{}13x x ≤≤， 得3113m m -+=⎧⎨+=⎩， 2m =，∴2m =.（2）由（1）得1122a b a +=+，由柯西不等式得，222224⎡⎤⎡⎤⎢⎥+⋅+≥=⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦.- 1 - 即()224a b a ++=，得32a b +≥.当12a =，32b =时，等号成立. ∴3a b +的最小值是2. 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法和柯西不等式.属于较易题.。

高三年级联考数学（理）试题本试卷分第1卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题纸上的指定位置上．2．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案用0．5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整，笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持纸面清洁，不折叠，不破损．5．若做选考题时，考生应按照题目要求作答，并在答题纸上对应的题号后填写．第Ⅰ卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50俞．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果复数2()(1)m i mi +-是实数，则实数m=A B C ．-1 D ．l2．已知直角△ABC 中，AB =（1，1），AC =（2，k ）则实数k 的值为A ．0B ．-2或0C ．-2D ．23．已知条件p ：关于x 的不等式210()x mx m R ++>∈的解集为R ；条件q ：指数函数f （x ）=（m+3）x 为增函数．则p 是q 的A ．充要条件B ．既不充分也不必要条件C ．充分不必要条件D ．必要不充分条件4．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A ．23B ．13C ．2D ．15．某学生忘记了自己的QQ 号，但记得QQ 号是由一个2，一个5，两个8组成的四位数，于是用这四个数随意排成一个四位数，输入电脑尝试，那么他找到自己的QQ 号最多尝试次数为A ．18B ．24C ．6D ．126．若函数21()log ()2a f x x ax =-+有最小值，则实数a 的取值范围是A ．（1B ．+∞）C ．（0，1）D ．（0，1）⋃（17．在数列{n a }中，已知a 1 =1，a 2=5，21(*)n n n a a a n N ++=-∈，则a 2007=A ．4B ．-1C ．1D ．58．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>及两条直线2212:,:a a l x l x c c =-=，其中c =12,l l 分别交x 轴于C 、D 两点．从1l 上一点A 发出一条光线经过椭圆的左焦点F 被石轴反射后与2l 交于点B ．若AF ⊥BF ，且∠ABD= 75°，则椭圆的离心率等于A BC D 1 9．如图，圆O:x 2+ y 2=2π内的正弦曲线y= sinx 与x 轴围成的区域记为M （图中阴影部分），随机向圆O 内投一个点P ，则点P 落在区域肘内的概率是 A ．22π B ．32π C ．24π D ．34π10．如右下图，正三角形PAD 所在平面与正方形ABCD 所在平面互相垂直，0为正方形AB -CD的中心，M 为正方形ABCD 内一点，且满足MP =MC ，则点M 的轨迹为第Ⅱ卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在题中的横线上．11．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是 。

2020年陕西省西安市八校高考数学联考试卷（理科）（6月份）一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣2103．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．87．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos （α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.954520．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．参考答案一、选择题（共12小题）.1．（5分）已知集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}，B＝{x|x＞2}，则A∩B＝（）A．（﹣1，4）B．（﹣1，2）C．（2，4）D．（﹣1，3）【分析】解不等式得集合A，根据交集的定义写出A∩B．解：集合A＝{x|（x+1）（x﹣4）＜0}＝{x|﹣1＜x＜4}，B＝{x|x＞2}，故选：C．2．（5分）已知数列{a n}满足：a n+1+2a n＝0，且a2＝2，则{a n}前10项和等于（）A．B．﹣C．210﹣1D．1﹣210【分析】通过a n+1+2a n＝0可确定数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，进而通过a2＝2可知首项a1＝﹣1，利用等比数列的求和公式计算即得结论．解：∵a n+1+2a n＝0，∴数列{a n}是公比为﹣2的等比数列，∴a2＝（0﹣a4）＝﹣1，故选：B．3．（5分）已知i为虚数单位，a∈R，若复数z＝a+（1﹣a）i的共轭复数在复平面内对应的点位于第三象限，且z•＝5，则z＝（）A．﹣1+2i B．﹣1﹣2i C．2﹣i D．﹣2+3i【分析】由已知求解a的范围，再由z•＝|z|2＝5列式求解a值．解：z＝a+（1﹣a）i的共轭复数＝a+（a﹣1）i，对应点的坐标为（a，a﹣1），又z•＝|z|2＝a8+（a﹣1）2＝3，解得a＝﹣1（a＜0）．故选：A．4．（5分）已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，给出下列命题：①；②；③；④．其中的正确命题序号是（）A．②③B．①②③C．②④D．①②④【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断①的真假；由线面垂直的性质定理可判断②的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断③的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断④的真假，进而得到答案．解：或n⊂α，故①错误；由线面垂直的性质定理可得，故②正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故④错误；故选：A．5．（5分）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）A．f（x）＝e|x|•cos x B．f（x）＝ln|x|•cos xC．f（x）＝e|x|+cos x D．f（x）＝ln|x|+cos x【分析】采用排除法排除A，B，C．解：由图可知f（）＞0，故可排除A，B；对于C：f（x）＝e|x|+cos x，当x∈（0，1）时f（x）＞3，故可排除C．故选：D．6．（5分）设，是平面内两个不共线的向量，＝（a﹣1）+，＝b﹣2（a＞0，b＞0），若A，B，C三点共线，则+的最小值是（）A．2B．4C．6D．8【分析】利用向量共线定理推出a，b的关系，进而解出的最小值解：∵A，B，C三点共线，∴，共线，可解得，b＝2﹣2a∴＝＝故选：B．7．（5分）已知p：a＝±1，q：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则p是q成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝lna＝0，解得a．即可判断出结论．解：函数f（x）＝ln（x+）为奇函数，则f（﹣x）+f（x）＝ln（﹣x+）+ln（x+）＝lna＝0，∴p是q成立的必要不充分条件．故选：B．8．（5分）已知圆x2+y2＝r2（r＞0）与抛物线y2＝2x交于A，B两点，与抛物线的准线交于C，D两点，若四边形ABCD是矩形，则r等于（）A．B．C．D．【分析】先得C的坐标，根据ABCD为矩形得A的坐标，再代入抛物线可得．解：易得C（﹣，），则A（，），将A点坐标代入y2＝2x得r2﹣＝1，解得r＝，故选：C．9．（5分）已知sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），则cos（α+）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】根据根与系数的关系求出sinα+cosα以及sinαcosα的值，结合α的范围联立解得sinα，cosα的值，再用两角和的余弦公式代入计算即可求出值．解：∵sinα、cosα是方程5x2﹣x﹣2＝0的两个实根，且α∈（0，π），∴sinα+cosα＝，sinαcosα＝﹣，∴cos（α+）＝cosα﹣sinα＝（cosα﹣sinα）＝×（﹣﹣）＝﹣．故选：D．10．（5分）对于函数f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R，下列命题错误的是（）A．函数f（x）的最大值是B．不存在x0∈（，）使得f（x0）＝0C．函数f（x）在[，]上单调递减D．函数f（x）的图象关于点（，0）对称【分析】化简函数f（x）的解析式得f（x）＝sin（2x+）+，由三角函数的性质逐个加以判断即可得出答案．解：f（x）＝cos2x+sin x cos x，x∈R＝cos2x+sin2x+＝sin（2x+）+，所以f（x）的最大值为，故A正确，所以2x+＝+7kπ或2x+＝﹣+2kπ，k∈Z，故不管k为何整数，上式解都不在区间（，）内，C．由2kπ+≤2x+≤+2kπ，k∈Z，即f（x）在[，]上单调递减，D．把f（）＝sin n（2×+）+＝≠0，故选：D．11．（5分）已知F2，F1是双曲线的上、下两个焦点，过F1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B，A，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的渐近线方程为（）A．B．C．D．【分析】根据双曲线的定义算出△AF1F2中，|AF1|＝2a，|AF2|＝4a，由△ABF2是等边三角形得∠F1AF2＝120°，利用余弦定理算出c2＝7a2，结合双曲线渐近线方程即可的结论．解：根据双曲线的定义，可得|BF1|﹣|BF2|＝2a，∵△ABF2是等边三角形，即|BF8|＝|AB|，又∵|AF2|﹣|AF1|＝2a，∵△AF1F2中，|AF6|＝2a，|AF2|＝4a，∠F1AF2＝120°，即4c2＝4a2+16a2﹣2×2a×4a×（﹣）＝28a2，由此可得双曲线C的渐近线方程为x＝±y＝±y，故选：D．12．（5分）已知函数f（x）＝，点A、B是函数f（x）图象上不同两点，则∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（）A．（0，）B．（0，]C．（0，）D．（0，]【分析】当x≤0时，函数f（x）是双曲线得到渐近线的斜率k＝﹣3，当x＞0时，求函数过原点的切线，根据直线的夹角公式进行求解即可．解：当x≤0时，由y＝得y2﹣9x2＝1，（x≤8），此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为y＝﹣3x，此时渐近线的斜率k1＝﹣3，当x＞0时，f（x）＝1+xe x﹣1，当过原点的直线和f（x）相切时，设切点为（a，6+ae a﹣1），则切线斜率k2＝f′（a）＝（a+7）e a﹣1，即y＝（1+a）e a﹣1（x﹣a）+1+ae a﹣1，即a2e a﹣1+ae a﹣1＝1+ae a﹣1，则切线和y＝﹣5x的夹角为θ，故∠AOB（O为坐标原点）的取值范围是（0，），故选：A．二、填空题（共4小题）.13．（5分）已知实数x，y满足不等式组，则z＝x+y的最小值为1．【分析】根据题意画出不等式组表示的平面区域，找出最优解，求出目标函数z的最小值．解：画出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示；设z＝x+y，将直线l：z＝x+y进行平移，∴z最小值＝3﹣2＝1．故答案为：1．14．（5分）从、、2、3、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，则“log m n＞0”的概率为．【分析】基本事件总数N＝6×5＝30，log m n＞0包含的基本事件个数M＝2×1+4×3＝14，由此能求出“log m n＞0”的概率．解：∵从、、2、4、5、9中任取两个不同的数，分别记为m、n，基本事件总数N＝6×5＝30，从5，3，5，9中取两个数，则“log m n＞0”的概率为P＝＝．故答案为：．15．（5分）已知点A、B、C在球心为O的球面上，若AB＝AC＝5，BC＝6，球心O到截面ABC的距离为1，则该球的表面积为．【分析】根据球的截面圆性质、截面ABC的距离为1，求解△ABC外接圆的半径r，构造勾股定理即可求解．解：由AB＝AC＝5，BC＝6，可知△ABC是等腰三角形，作BC的高线h，可得h＝4，那么sin B＝；可得△ABC外接圆的半径r＝，那么球的R＝＝故答案为：16．（5分）在△ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，D是AB的中点，若CD＝1且（a﹣b）sin A＝（c+b）（sin C﹣sin B），则△ABC面积的最大值是．【分析】利用正弦定理可得：a2+b2﹣c2＝ab，①，cos C＝，sin C＝，利用2＝+可得a2+b2+ab＝4，②，由①②可得ab＝4﹣c2，所以面积S＝（4﹣c2）×，再根据c2＝a2+b2﹣ab≥2ab ﹣＝ab＝（4﹣c2），得c2≥，从而可得S的最大值．解：∵，∴由正弦定理可得：，∴由余弦定理可得：cos C＝＝＝，可得：sin C＝＝，由①②得ab＝4﹣c2，S△ABC＝ab sin C＝（4﹣c2）×，∴S△ABC＝（4﹣c2）×≤（4﹣）×＝．故答案为：．三、解答题（共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第17-21题为必考题.第22、23题为选考题，考生根据要求作答）（一）必考题：共60分.17．（12分）如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，E，F分别是AB，PD的中点．（1）求证：AF∥平面PCE；（2）若二面角P﹣CD﹣B为45°角，AD＝2，CD＝3，求PD与平面PCE所成角的正弦值．【分析】（1）作PC的中点G，连结FG，EG，证明四边形AEGF为平行四边形，推出AF∥平面PCE．（2）法一：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，设D 到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE，求出h，然后求解PD与平面PCE所成角的正弦值．法二：证明PA⊥CD，CD⊥PD，说明∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，求出平面PCE的法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】（1）证明：作PC的中点G，连结FG，EG，△PCD中，FG为中位线，FG ∥CD且，由AE∥CD且得四边形AEGF为平行四边形，AF∥EG，∴AF∥平面PCE……………………………（4分）∴CD⊥PD，∴∠PDA为二面角P﹣CD﹣B的平面角，∴∠PDA＝45°……………………………………（8分）设D到平面PCE的距离为h，由V P﹣DCE＝V D﹣PCE得：S△PCE•h＝S△BCE•PA，（也可以得出二面角为∠PDA后，借助AF⊥平面PCD得EG⊥平面PCD，法二：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，以A为原点，AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，所以PD与平面PCE所成角的正弦值为．……………………………………（12分）18．（12分）已知{a n}是各项都为正数的数列，其前n项和为S n，且a1＝1，S n+12＝S n2+1．（1）求数列{S n}的通项公式；（2）设b n＝，求{b n}的前n项和T n．【分析】（1）由等差数列的定义，以及通项公式可得所求；（2）由数列的递推式求得a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），又a1＝S1＝1，所以a n ＝﹣，b n＝＝＝（﹣1）n（+），分别讨论n为奇数或偶数，由裂项相消求和可得所求和．解：（1）a1＝1，S n+12＝S n2+1，所以{S n2}是首项为5，公差为1的等差数列，因为{a n}各项都为正数，（2）a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣（n≥2），b n＝＝＝（﹣1）n（+），当n为偶数时，T n＝﹣1++1﹣（+）+…﹣（+）+（+）＝．所以{b n}的前n项和T n＝（﹣1）n．19．（12分）为调查某校学生每周体育锻炼落实的情况，采用分层抽样的方法，收集100位学生每周平均锻炼时间的样本数据（单位：h）．根据这100个样本数据，副制作出学生每周平均锻炼时间的频率分布直方图（如图所示）．（Ⅰ）估计这100名学生每周平均锻炼时间的平均数和样本方差s2（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）由频率分布直方图知，该校学生每周平均锻炼时间Z近似服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．（Ⅰ）求P（0.8＜Z＜8.3）；（Ⅱ）若该校共有5000名学生，记每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.3）的人数为ɛ，试求E（ɛ）．附：≈2.5，若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z＜μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z＜μ+2σ）＝0.9545【分析】（Ⅰ）直接由频率分布直方图结合公式求得样本平均数和样本方差s2；（Ⅱ）（i）利用正态分布的对称性即可求得P（0.8＜X≤8.3）；（ii）由（i）知学生假期日平均数学学习时间位于（0.8，8.3）的概率为0.8186，且ξ服从二项分布，由二项分布的期望公式得答案．解：（Ⅰ）这100名学生每周平均锻炼时间的平均数═1×0.05+3×0.2+2×0.30+7×0.25+9×0.15+11×3.05＝5.8；（Ⅱ）（i）由（Ⅰ）知X服从正态分布N（5.8，6.16），且σ＝≈2.5，（ii）由（i）知每周平均锻炼时间在区间（0.8，8.7）的概率为0.8186，∴E（ξ）＝5000×0.8186＝4093．20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：＝l（a＞b＞0）的离心率为，直线l和椭圆C交于A，B两点，当直线l过椭圆C的焦点，且与x轴垂直时，|AB|＝．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点？若存在，求出直线l的方程，若不存在，请说明理由．【分析】（1）由已知列关于a，b，c的方程组，求解可得a，b，c的值，则椭圆方程可求；（2）假设存在直线l，设方程为y＝kx+m，k≠0，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用根与系数的关系求得AB中点坐标，写出AB的垂直平分线方程，把右焦点坐标代入，结合判别式大于0可得结论．解：（1）由已知可得，，解得a＝2，b＝1，c＝．∴椭圆C的方程为；设A（x1，y1），B（x2，y2），∴△＝324k2m2﹣36（1+9k2）（m2﹣1）＞5，即9k2+1＞m2，设AB的中点坐标为M（x0，y0），∴M（﹣，），∵弦AB的垂直平分线过E的右焦点（，0），代入9k2+1＞m2，得，∴不存在与x轴不垂直的直线l，使弦AB的垂直平分线过椭圆C的右焦点．21．（12分）设函数f（x）＝ln（1+ax）﹣（a＞0）．（Ⅰ）讨论f（x）在区间（0，+∞）上的单调性；（Ⅱ）若f（x）存在两个极值点x1、x2，且f（x1）+f（x2）＞0，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求导得f'（x）＝，易知（1+ax）（x+2）2＞0，于是分0＜a＜1和a≥1两类讨论f'（x）与0的大小关系，即可得f（x）的单调性．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a≥1不符合题意，必有0＜a＜1，且x1、x2是方程ax2+4a﹣4＝0的两个不同实根，由函数的定义域可推出a∈（0，）∪（，1）；将f（x1）+f（x2）化简为ln（2a﹣1）2+﹣2；利用换元法构造新函数g（t）＝lnt2+﹣2，然后分﹣1＜t＜0和0＜t＜1两类讨论g（x）的单调性，并求出相应的最值即可得解．解：（Ⅰ）∵f（x）＝ln（1+ax）﹣，∴f'（x）＝﹣＝．∴（1+ax）（x+2）2＞0，于是f'（x）的正负性由ax2+4a﹣4决定．②当4＜a＜1时，令ax2+4a﹣4＞0，得x＞，∴f'（x）＞8，f（x）单调递增；综上所述，当a≥1时，f（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（x）存在两个极值点x1、x2，∵函数f（x）的定义域为（，﹣8）∪（﹣2，+∞），f（x1）+f（x2）＝ln（1+ax1）﹣+ln（1+ax2）﹣＝ln（8a﹣1）2﹣＝ln（2a﹣3）2+﹣2．设g（t）＝lnt2+﹣2，①当﹣1＜t＜5时，g（t）＝2ln（﹣t）+﹣2，∴g'（t）＝＝＜0，∴g（t）在（﹣1，0）上单调递减，即当0＜a＜时，f（x1）+f（x2）＜0，不符合题意．②当8＜t＜1时，g（t）＝2lnt+﹣2，∴g'（t）＝＝＜8，∴g（t）在（0，1）上单调递减，即当＜a＜8时，f（x1）+f（x2）＞0，符合题意．a的取值范围为（，1）．（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第-题计分.并请考生务必将答题卡中对所选试题的题号进行涂写.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题10分）22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知圆C：（θ为参数），点P在直线l：x+y﹣4＝0上，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．（Ⅰ）求圆C和直线l的极坐标方程；（Ⅱ）射线OP交圆C于R，点Q在射线OP上，且满足|OP|2＝|OR|•|OQ|，求Q点轨迹的极坐标方程．【分析】（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，利用互化公式可得圆C的极坐标方程．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，利用互化公式可得直线l的极坐标方程．（Ⅱ）设P，Q，R的极坐标分别为（ρ1，θ），（ρ，θ），（ρ2，θ），由，又|OP|2＝|OR|•|OQ|，即可得出．解：（Ⅰ）圆C：（θ为参数），可得直角坐标方程：x2+y2＝4，∴圆C的极坐标方程ρ＝3．点P在直线l：x+y﹣4＝0上，直线l的极坐标方程ρ＝．因为，∴ρ＝．[选修4-5：不等式选讲]（本小题10分）23．已知函数f（x）＝|x﹣1|．（1）求不等式f（2x）﹣f（x+1）≥2的解集．（2）若a＞0，b＞0且a+b＝f（3），求证：．【分析】解法一：（1）去掉绝对值符号，利用分类讨论思想求解不等式的解集即可．（2）要证成立，只需证成立，利用分析法证明求解即可．解法二：（1）作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）利用数形结合转化求解即可．（2）利用综合法转化求解证明成立．【解答】选修4﹣5：不等式选讲，满分（10分）．解法一：（1）因为f（x）＝|x﹣1|，所以，解得x≤﹣1或x∈∅或x≥3，所以不等式的解集为：（﹣∞，﹣1]∪[3，+∞）．……………（4分）所以要证成立，即证，因为a＞0，b＞0，所以根据基本不等式成立，解法二：（3）因为f（x）＝|x﹣1|，作出函数g（x）＝f（2x）﹣f（x+1）的图象（如下图）因为直线y＝2和函数g（x）图象的交点坐标为A（﹣1，4），B（3，2）．……………………………（4分）（2）a+b＝f（3）＝2，……………………………（4分）所以，，……………………………（8分）所以成立．……………………………（10分）。

西安地区“八校”2020届高三年级联考⊙理综试题参考答案及评分标准（补充）24. (1)6 m/s (2)1 N (1)物块A 与小球B 碰撞时,由动量守恒定律和机械能守恒定律有m 1v 0=m 1v 1+m 2v 2 (2分)12m 1v 02=12m 1v 12+12m 2v 22 (2分) 解得碰撞后瞬间物块A 的速度v 1=m 1-m2m 1+m 2v 0=2 m/s (2分) 小球B 的速度v 2=2m 1m1+m 2v 0=6 m/s 。

(2分)(2)碰撞后,设小球B 运动到最高点时的速度为v ,细绳对小球的拉力为F ,则由机械能守恒定律有12m 2v 22=12m 2v 2+2m 2gR (2分) 又由向心力公式有 F n =F+m 2g=m 2v 2R (2分) 由牛顿第三定律可得小球B 对细绳的拉力大小F'=F 联立解得F'=1 N 。

(2分)25. (1)粒子匀速运动，受力平衡，根据受力平衡的条件可得：Luq=B qv 0 (2分) 所以电压： B v 0L U = (2分） (2) 仅将匀强磁场的磁感应强度变为原来的2倍，洛仑磁力变大，但是洛仑磁力与速度的方向垂直，洛仑磁力不做功，只有电场力对粒子做功，根据动能动能定理可得：22212121-mv mv u q -= （2分） 又因为B v 0L U = （1分）所以，粒子运动到达上极板时的动能大小为：0202121E qBLv mv k -=(2分) （3）当粒子恰好贴着右边界飞出时为速度的一个最大值，则由几何关系可得L r 45=(2分) 由牛顿第二定律得： rmv B qv 200= (1分)解得： m qBLv 450= (1分)所以速度：mqBLv 450≥ (1分)当粒子从左边界飞出时，粒子做的是半径L r 41=的半圆，此时有： (2分)由牛顿第二定律得：r mv B qv 200= (1分)所以此时速度： mqBLv 40≤ (1分)26．（15分） （1）Ⅲ（1分）（2）SO 2不与溴反应，与溴水反应（2分）；SO 2+Br 2+2H 2O=H 2SO 4+2HBr （2分，方程式不配平扣1分，写成离子方程式不得分）（3）E 中的溶液褪色（2分）（4）实验完毕，室温下，测定E 中(或NaHSO 3)溶液pH<7，说明K a2>K h2（2分） （5）① ClO - +SO 2 +H 2O=Cl - +SO 42- +2H + （2分）② G 、J 、H （2分，顺序填错不得分）③ H 中不褪色，F 中变浑浊 （2分，现象回答不完整扣1分，回答错误不得分）27.（14分）（1）粉碎阳极泥、适当增加NaOH 溶液浓度、适当升高溶液温度（其他答案合理即可）（2分） 过滤（2分）（2）TeO 2会溶于过量的硫酸中，导致碲元素损失（2分） （3）AgCl + 2NH 3 ⇌ [Ag(NH 3)2]+ + Cl - （2分）（4）3Pt +16H + + 4NO 3- + 18Cl - = 3PtCl 62- + 4NO↑+ 8H 2O （2分） （5）防止PtCl 62-被SO 2还原为Pt （2分） （6）HCl 、NH 3（2分）28．（14分）（1）＜ （1分） （1分） 2 △H 1+△H 2（2分） （2）此反应消耗了H 2O(g)有利于反应II 、III 正向移动；同时此反应生成了H 2 ，有利于反应I 、III 正向移动 （2分） （3）＞ （2分）该反应达到平衡后，因反应为放热反应且反应容器为绝热容器，故容器内温度升 高，平衡逆向移动（2分）（4）① AC （2分，少选扣1分，多选或错选不得分） ② 3.2（2分） 32.（除标注外，其余每空1分，共9分） （1）牧草产量 5（2）样方法 a 、b 、c 、d （2分） 是（3）引入与该生物有利于人们的竞争者、引入该生物的寄生者。

西安中学2020届高三第八次模拟考试数学（理）试题 第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，i 为虚数单位，则1zi =-（ ） A. 1122-+i B.1722i -+ C. 7122i -+ D. 7122i +【答案】C 【分析】根据复数的几何意义可得34z i =-+，再利用复数的除法法则可求得复数1zi-. 【详解】由于复数z 在复平面内对应的点的坐标为()3,4-，则34z i =-+，所以，()()()()341347*********i i z i i i i i i i -++-+-+====-+---+. 故选：C.【点睛】本题考查复数的除法运算，同时也考查了复数的坐标表示，考查计算能力，属于基础题. 2.已知集合{}220A x Z xx =∈-++>，则集合A 的真子集个数为（ ）A.3 B.4C. 7D. 8【答案】A 【分析】 求出集合A ，确定集合A 的元素个数，利用真子集个数公式可得出集合A 的真子集个数.【详解】{}{}{}220120,1A x Z x x x Z x =∈-++>=∈-<<=Q ，所以，集合A 的真子集个数为2213-=.故选：A.【点睛】本题考查集合真子集个数的计算，同时也考查了一元二次不等式的求解，解答的关键就是确定集合元素的个数，考查计算能力，属于基础题. 3.已知x •log 32＝1，则4x ＝（ ） A. 4 B. 6C. 432logD. 9【答案】D【分析】利用对数的性质和运算法则及换底公式求解． 【详解】∵x •log 32＝1， ∴x ＝log 23， ∴4x 243944log log ===9，故选：D ．【点睛】本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则及换底公式的合理运用，属于容易题．4.根据表格中的数据，可以判定方程20x e x --=的一个根所在的区间为(,1)()k k k N +∈，则k 的值为（ ）A. -1B. 0C. 1D. 2【答案】C试题分析：令()2xf x e x =--，由表格知(1)0,(2)0f f ，∴方程20x e x --=的一个零点所在的区间是（1，2），故k=1,选C考点：本题考查了零点存在性定理点评：判断函数的零点区间只需判断两端点值是否异号即可 5.已知函数()()2ln 11f x x x f x '=+-，则函数()f x 的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为（ ）A.12B.12- C.132e - D. 132e -【答案】A 【分析】 对函数()()2ln 11f x x x f x '=+-求导，然后令1x =，可得出关于()1f '的等式，求出()1f '的值，由此可得出结果.【详解】()()2ln 11f x x x f x '=+-Q，()()2ln 1f x x x x f ''∴=+-，()()111f f ''∴=-，解得()112f '=， 因此，函数()y f x =的图象在点()()1,1f 处的切线斜率为12. 故选：A.【点睛】本题考查函数的切线斜率的求解，考查计算能力，属于基础题. 6.已知函数()21212f x x x =-+，[]1,4x ∈，当x a =时，()f x 取得最大值b ，则函数()x b g x a +=的大致图象为（ ）A. B. C. D.【答案】C 【分析】计算4a =，1b =，()1114,144,1x x x x g x x ++--⎧≥-==⎨<-⎩，对比图像得到答案. 【详解】()()2211212122f x x x x =-+=--，故4a =，1b =. ()1114,144,1x x bx x x g x ax +++--⎧≥-===⎨<-⎩，对比图像知C 满足条件.故选：C .【点睛】本题考查了二次函数的最值，指数型函数图像，意在考查学生对于函数性质的综合应用. 7.如图所示，已知正六边形123456PP P P P P ，则下列向量的数量积中最大的是（ ）A. 1213PP PP ⋅u u u u r u u u u rB. 1214PP PP ⋅u u u u r u u u u rC. 1215PP PP ⋅u u u u r u u u u rD. 1216PP PP ⋅u u u u r u u u u r【答案】A 【分析】设边长为a ，计算出各个数量积，比较可得．【详解】设边长12PP a =u u u u r ，易知2136P PP π∠=，13PP =u u u u r，则21213322aPP PP a ⋅=⋅=u u u u r u u u u r .；易知2143P PP π∠=，142PP a =u u u u r ，则21214122PP PP a a a ⋅=⋅⋅=u u u u r u u u u r ；易知12150PP PP ⋅=u u u u r u u u u r ，12160PP PP ⋅<u u u u r u u u u r ．所以数量积中最大的是1213PP PP ⋅u u u u r u u u u r. 故选：A.【点睛】本题考查向量的数量积，掌握数量积的定义是解题关键． 8.已知函数()f x定义域为R 且满足()()f x f x -=-，()(2)f x f x =-，若(1)4f =，则(6)(7)=f f +（ ） A. 8- B. 4-C. 0D. 4【答案】B 【分析】 根据奇函数得到()00f =，根据对称性和奇偶性代换得到函数周期为4，计算得到答案.【详解】()()f x f x -=-，故函数为奇函数，()00f =，()(2)(2)f x f x f x =-=--，则(2)(4)()f x f x f x -=--=-，函数周期为4.()()()()(6)(7)2101044f f f f f f +=+-=-=-=-.故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性，周期性，对称性，意在考查学生的对于函数性质的综合应用. 9.若ABC V 的内角A ，B ，C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin 2sin b A a B =，且2c b =，则ab=（ ） A.32B.43C.D.【答案】D 【分析】根据正弦定理得到3A π=，利用三角恒等变换得到2C π=，6B π=，计算得到答案.【详解】sin 2sin b A a B =，则sin 2sin cos sin sin B A A A B ⋅=，sin sin 0A B ≠， 故1cos 2A =，()0,A π∈，故3A π=.2c b =，故2sin 2sin 2sin 3C B C π⎛⎫==- ⎪⎝⎭，化简整理得到：cos 0C =，()0,C π∈，故2C π=，6B π=，sin 21sin 2a Ab B===故选：D.【点睛】本题考查了三角恒等变换，正弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力. 10.正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线a 和b 分别在上底面1111D C B A 和下底面ABCD 上运动，且a b ⊥r r，现有以下结论：①当1A D 与a 所成角为60°时，1A D 与b 所成角为60°； ②当1A D 与b 所成角为60°时，a 与侧面11ADD A 所成角为30°； ③1A D 与a 所成角的最小值为45° ④1A D 与a 所成角的最大值为90° 其中正确的是（ ） A. ①③ B. ②④C. ①③④D. ②③④【答案】C 【分析】根据异面直线夹角，线面夹角的性质，依次判断每个选项：根据题意得到11//b A C 或11b AC =，计算夹角得到①正确，a 与侧面11ADD A 所成角为45︒，②错误，当//AD a 或AD a =时，1A D 与a 所成角的最小值为45°，③正确，当//CD a 或CD a =时，1A D 与a 所成角的最大值为90°，④正确，得到答案.【详解】如图所示：易知1A DB △为等边三角形，故1A D 和BD 所成角为60︒，故//a BD 或a BD =， 易知11AC BD ⊥，故11//b A C 或11b AC =，易知11A DC △为等边三角形，故1A D 与11A C 所成角为60°，即1A D 与b 所成角为60°，①正确；易知11A DC △为等边三角形，故1A D 与11A C 所成角为60°，故11//b A C 或11b AC =，此时//a BD 或a BD =，易知BD 与平面11ADD A 的夹角为45ADB ∠=︒，故a 与侧面11ADD A 所成角为45︒，②错误；1A D 与平面ABCD 的夹角为145A DA ∠=︒，故当//AD a 或AD a =时，1A D 与a 所成角的最小值为45°，③正确；易知CD ⊥平面11ADD A ，1A D ⊂平面11ADD A ，故1A D CD ⊥，当//CD a 或CD a =时，1A D a ⊥，故1A D 与a 所成角的最大值为90°，④正确. 故选：C .【点睛】本题考查了异面直线夹角，线面夹角，意在考查学生的计算能力，推断能力和空间想象能力.11.如图，()1,0F c -，()2,0F c 分别为双曲线Γ：22221x yab-=（a ，0b >）的左､右焦点，过点1F 作直线l ，使直线l 与圆()222x c y r -+=相切于点P ，设直线l 交双曲线Γ的左右两支分别于A ､B 两点（A ､B 位于线段1F P上），若132F A AB =且12BP AB =，则双曲线Γ的离心率为（ ）A.19 B.20 C.21D. 4【答案】C 【分析】由132F A AB =且12BP AB =，得到1::3:2:1F A AB BP =，设PB x =，可得1,F A AB ，由双曲线的定义求得22,AF BF 的值，在直角21PF F ∆，2PF B ∆，2PF A ∆中可得r 的表达式，得出,a c 的关系式，即可求得离心率.【详解】连接22,AF BF ，因为132F A AB =且12BP AB =，所以1::3:2:1F A AB BP =， 设PB x =，则2AB x =，13AF x =，由双曲线的定义知：15BF x =，232AF x a =+，252BF x a =-，在直角21PF F ∆中有：()()2222226436r c x c x =-=-，LL （1）在直角2PF B ∆中有：()222225224204r x a x x ax a =--=-+，L L （2）在直角2PF A ∆中有：()()2222323412r x a x a ax =+-=+，L L （3）由（2）（3），可得43x a =， 由（1）（2）可得2221550x ax a c -+-=，LL （4）将43x a =代入（4）可得2221a c =，所以双曲线的离心率为ce a==故选：C .【点睛】本题主要考查了双曲线的定义及标准方程，以及直角三角形的性质的综合应用，其中解答中合理利用双曲线的定义，以及直角三角形的勾股定理，列出方程是解答的关键，着重考查了推理与运算能力. 12.若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如：[][]0.10,0.11=-=-），数列{}n a 满足：13a =，122n n a a n +-=+，则+++=L （ ）A. 10102021⨯B. 10102020⨯C. 10092021⨯D. 10092020⨯【答案】A 【分析】由递推公式利用累加法即可求得数列{}n a 的通项公式，由()22211n n n n <++<+可得n ==，再利用等差数列求和公式求和即可. 详解】122n n a a n +-=+Q ，()-12122n n a a n n --+∴==，1222n-n-a n a =--，L ，326a a -=，214a a -=，累加可得()()()121424622222n n n a a n n n n -+-=+++-+==+-L ，又13a =，()2*1n a n n n N∴=++∈，()22211n n n n<++<+Q，n∴==，20202021123202*********2⨯+++=++++==⨯L L.故选：A【点睛】本题考查数列创新问题、等差数列的前n项和公式，属于中档题.第Ⅱ卷（90分）本卷包括必考题和选考题两部分.第13题—第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.把答案填在答题卡上的相应位置.13.已知直线1l：30kx y++=，2l：30x ky++=，且12l l//，则k的值______.【答案】1-【分析】根据两直线平行列关于k的方程，解出k的值，然后代入两直线方程进行验证是否满足12l l//，即可得出实数k的值.【详解】Q直线1l：30kx y++=，2l：30x ky++=，且12l l//，则11k k⨯=⨯，解得1k=-或1.当1k=时，1:30l x y++=，2:30l x y++=，两直线重合，不合乎题意；当1k=-时，1:30l x y-++=，即30x y--=，2:30l x y-+=，两直线平行，满足题意.因此，1k=-.故答案为：1-【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，在求出参数后，还应将参数的值代入两直线方程，验证两直线是否平行，考查运算求解能力，属于基础题.14.已知21(2)nxx+的展开式的各项二项式系数和为64，则展开式中3x的系数为_________.【答案】160【分析】根据展开式的各项二项式系数和求出n，写出此二项式的通项并令x的系数为3求出r，r的值代入通项即可求得3x的系数.【详解】264n=Q，6n∴=，261(2)x x +的展开式通项为()6236166122rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令3633r r -=⇒=，所以261(2)x x+的展开式中3x 的系数为3362160C =. 故答案为：160【点睛】本题考查求二项展开式中特定项的系数、二项展开式中各项的二项式系数和，属于基础题. 15.已知公差不为0的等差数列{}n a 中，2a ，4a ，8a 依次成等比数列，若3a ，6a ，1b a ，2ba ，…，nb a ，…成等比数列，则n b =_____________. 【答案】132n +⋅ 【分析】由题意结合等比数列、等差数列的性质可得n a nd =，进而可得132n n b a d +=⋅，即可得解.【详解】设数列{}n a 公差为d ，由题知()()24284424a a a a d a d ==-+，即44a d =，故413d d a a =-=， ∴n a nd =，33a d =，66a d =， 故新等比数列首项为3d 、公比为2， 因此132nn b a d +=⋅，故132n n b +=⋅.故答案为：132n +⋅.【点睛】本题考查了等差数列、等比数列的综合应用，考查了运算求解能力，属于基础题. 16.记{},max,,,m m nm n n m n ≥⎧=⎨<⎩函数{}22()max 44(1),ln (1)f x x ax a x a =-+--<有且只有一个零点，则实数a 的取值范围是_________. 【答案】12a < 【分析】由二次函数在1x =处的函数值小于ln1可得1是函数()f x 的零点，根据题意数形结合可知二次函数()g x 没有零点，则由22(4)16(1)0a a ∆=--<可求得a 的范围. 【详解】令()()2244(1)0g x x ax a x =-+-->，因为1a <，则()2(1)651(5)0ln1g a a a a =-+-=---<=，所以(1)ln10f ==，即1是函数()f x 的零点， 因为函数()gx 的对称轴为122a x =<，所以根据题意，若函数()f x 有且只有一个零点，则二次函数()gx 没有零点，22(4)16(1)0a a ∆=--<，解得12a <. 故答案为：12a <【点睛】本题考查分段函数的图象与性质、函数的零点、二次函数的根的个数与判别式的符号，属于中档题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知()4tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，B 为锐角，且()f B =（1）求角B 的大小；（2）若3b =，2a c =，求ABC ∆的面积.【答案】（1）3π；（2【分析】（1）利用诱导公式和倍角公式对函数解析式化简，将()f B 代入即可得到答案；（2）利用余弦定理求得c 的值，代入三角形面积公式求得三角形的面积.【详解】（1）函数()4tan sin 2f x x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭cos 3x π⎛⎫-- ⎪⎝⎭4tan cos cos 3x x x π⎛⎫=⋅⋅-= ⎪⎝⎭4sin cos 3x x π⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin cos x x x =+=1cos 2sin 22xx -+sin 22x x =2sin 23x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由()f B =sin 232B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，B Q 为锐角，22,333B πππ⎛⎫∴-∈- ⎪⎝⎭， 233B ππ∴-=3B π∴=；（2）由余弦定理有2222cos b a c ac B =+-，3b =Q ，2a c =，3B π=，()222924cos 3c c c π∴=+-，23c ∴=，1sin 2ABC S ac B ∆∴=233sin 2c B ==. 【点睛】本题主要考查正弦定理和余弦定理的运用，要求学生对正弦定理和余弦定理公式及变形公式熟练应用，属于基础题.18.已知多面体ABCDEF 中，四边形ABFE 为正方形，90CFE DEF ∠=∠=︒，22DE CF EF ===，G 为AB 的中点，3GD =.（1）求证：AE ⊥平面CDEF ；（2）求平面ACD 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2)13【分析】(1) 证明：取EF 中点N ,连接,GN DN ,推出GN EF ⊥,GN DN ⊥；再证明GN⊥平面CDEF ,即可证明AE ⊥平面CDEF ；(2)根据(1)有AE ⊥平面CDEF ,且90DEF ∠=︒,故可以E 为空间直角坐标系原点建系,根据空间向量的方法求解平面ACD 与平面BCF 所成锐二面角的余弦值【详解】(1)证明：取EF 中点N ,连接,GN DN ,根据题意可知,四边形ABFE 是边长为2的正方形,所以GN EF ⊥,易求得225DNEN ED =+=,所以222459GN ND GD +=+==, 于是GN DN ⊥；而EF DN N ⋂=,所以GN ⊥平面CDEF ,又因为//GN AE ,所以AE ⊥平面CDEF ；(2)因为AE ⊥平面CDEF ,且90DEF∠=︒,故以E 为空间直角坐标系原点建立如图空间直角坐标系.由题意可知()()()0,0,2,0,2,0,2,1,0A D C ,故()()0,2,2,2,1,0AD CD =-=-u u u r u u u r . 设平面ACD 的法向量(),,m x y z =u r ,则00m AD m CD ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u uv v ,即22020y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 不妨设1x =,则易得2,2y z ==.故()1,2,2m =u r.又,EF FC EF BF ⊥⊥,故可设平面BCF 的法向量()1,0,0n =r.设平面ACD 与平面BCF 所成锐二面角为θ,故2221cos 31221m n m n θ⋅===⋅++⋅u r r ur r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明以及利用空间向量求解二面角余弦值的问题,属于中档题.19.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，其右顶点为A ，下顶点为B ，定点()0,2C ，ABC V 的面积为3，过点C 作与y 轴不重合的直线l 交椭圆C 于,P Q 两点，直线,BP BQ 分别与x 轴交于,M N 两点.（1）求椭圆C 的方程；（2）试探究,M N 的横坐标的乘积是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由.【答案】（1）2214x y +=（2）是定值，43【分析】（1）由三角形的面积、离心率列出方程组求解a 、b ，即可写出椭圆方程；（2）设出直线PQ 的方程与点,P Q 的坐标，求出直线BP 、BQ 的方程进而求出点M 、N 的横坐标，两横坐标相乘并化简为关于1x 、2x 的表达式，直线PQ 的方程与椭圆方程联立并利用韦达定理求出12x x 、12x x +，代入横坐标的乘积化简即可证明.【详解】（1）由已知，,A B 的坐标分别是()(),0,0,Aa Bb -由于ABC ∆的面积为3，1(2)32b a ∴+=①，又由23=12c b e a a ⎛⎫==- ⎪⎝⎭2a b =②， ①②两式联立解得：=1b 或=3b -（舍去），2,=1a b ∴=，∴椭圆方程为2214x y +=； （2）设直线PQ 的方程为2y kx =+，,P Q 的坐标分别为()()1122,,,P x y Q x y则直线BP 的方程为1111y y x x +=-，令0y =，得点M 的横坐标111M xx y =+， 直线BQ 的方程为2211y y x x +=-，令0y =，得点N 的横坐标221N xx y =+，1212(1)(1)M N x x x x y y ∴⋅=++1212(3)(3)x x kx kx =++12212123()9x x k x x k x x =+++把直线2y kx =+代入椭圆2214x y +=得22(14)16120k x kx +++=，由韦达定理得1221214x x k =+，1221614kx x k +=-+ ∴222221214124891414M N k x x k k k k +==-+++22212412489363k k k =-++，是定值．【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用、椭圆的简单几何性质、直线的方程、椭圆中的定值问题，属于较难题. 20.已知函数()42ln af x a x x x-=-++. （1）当4a ≥时，求函数()f x 的单调区间；（2）设()26x gx e mx =+-，当22a e =+时，对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2122f x e g x +≥，求实数m 的取值范围.【答案】（1）当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间；（2）2m e e ≤-. 【分析】（1）先求函数的定义域，利用函数的导函数()0f x '=，得2x =或2=-x a ，当4a ≥时，分4a >，4a =讨论即可得到答案；（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增，从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--，由题意得2266xe e mx ≥+--，即22e ex m x-≤，令22()xe e h x x-=，求新函数()h x 的最大值即可得实数m 的取值范围. 【详解】（1）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，224()1a a f x x x -'=-++2(2)[(2)]x x a x---=，由()0f x '=，得2x =或2=-x a .当4a >即22a ->时，由()0f x '<得22x a <<-， 由()0f x '>得02x <<或2x a >-；当4a =即22a -=时，当0x >时都有()0f x '≥；∴当4a >时，单调减区间是(2,2)a -，单调增区间是(0,2)，(2,)a -+∞；当4a =时，单调增区间是()0,∞+，没有单调减区间.（2）当22a e =+时，由（1）知()f x 在()22,e 上单调递减，在()2,e +∞上单调递增，从而()f x 在[)2,+∞上的最小值为22()6f e e =--.对任意[)12,x ∈+∞，存在[)21x ∈+∞,，使得()()2212g x f x e ≤+，即存在[)21x ∈+∞,，使()g x 的值不超过()22e f x +在区间[)2,+∞上的最小值26e -.由2266xe e mx ≥+--，22e e xm x -∴≤. 令22()xe e h x x-=，则当[)1,x ∈+∞时，max ()m h x ≤. ()()22222()x x e x e xh x e x ---'=Q ()232x x e xe e x+-=-，当[1,2]x ∈时()0h x '<；当[2,)x ∈+∞时，()22xxe xe e +-20xx xee >-≥，()0h x '<.故()h x 在[1,)+∞上单调递减， 从而2max ()(1)h x h e e ==-， 从而2m e e ≤-.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.如图，直角坐标系中，圆的方程为221x y +=，()1,0A，1,22⎛- ⎝⎭B，1,22C ⎛-- ⎝⎭为圆上三个定点，某同学从A 点开始，用掷骰子的方法移动棋子．规定：①每掷一次骰子，把一枚棋子从一个定点沿圆弧移动到相邻下一个定点；②棋子移动的方向由掷骰子决定，若掷出骰子的点数为偶数，则按图中箭头方向移动；若掷出骰子的点数为奇数，则按图中箭头相反的方向移动．设掷骰子n 次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()n P A ，()n P B ，()n P C ．例如：掷骰子一次时，棋子移动到A ，B ，C 处的概率分别为()1P A O =，()112P B =，()112P C =．（1）分别掷骰子二次，三次时，求棋子分别移动到A ，B ，C 处的概率；（2）掷骰子N 次时，若以X 轴非负半轴为始边，以射线OA ，OB ，OC 为终边的角的余弦值记为随机变量n X ，求4X 的分布列和数学期望； （3）记()nn P A a =，()n n P B b =，()n n P C c =，其中1n n n a b c ++=．证明：数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是等比数列，并求2020a .【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）证明详见解析，2019202011132a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【分析】（1）由概率的乘法公式，可得所求值； （2）随机变量4X 的可能数值为1，12-，结合（1）运用概率的乘法公式，可随机变量4X 的分布列和期望； （3）易知n n b c =，即11(2)n n b c n --=≥，由条件推得121n n b b -+=，利用构造法可得1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，从而求得2020a 的值. 【详解】（1）211111()22222P A =⋅+⋅=，2111()224P B =⋅=，2111()224P C =⋅= 31111111()2222224P A =⨯⨯+⨯⨯=，31113()2428P B ⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭，31113()2428P C ⎛⎫=⋅⎪+= ⎝⎭综上，（2）随机变量4X 的可能数值为1，12-. 综合（1）得()()43311()()2P X P B P C ==+⋅33138828⎛⎫=+⋅= ⎪⎝⎭， ()43311()()22P X P A P C ⎛⎫=-=+⋅ ⎪⎝⎭()3315()()28P A P B ++⋅=，故随机变量4X 的分布列为()43151182816E X =⨯-⨯=.（3）易知n n b c =，因此，11(2)n n b c n --=≥ 而当2n ≥时，()()11111122n n n n n b a c a b ----=+=+， 又1111n n n a b c ---++=， 即121n n b b -+=. 因此()111122n n n b b b --=-+111(2)22n b n -=-+≥， 故111113223n n b b --=-+-111111(2)2623n n b b n --⎛⎫=-+=--≥ ⎪⎝⎭即数列13n b ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11136b -=为首项，公比为12-的等比数列. 所以1111362n n b -⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，又11111212362n n n a b -⎡⎤⎛⎫=-=-+-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦1111111133232n n --⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=--⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦故2019202011132a ⎡⎤⎛⎫=+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查数列与解析几何、概率统计的交会、等比数列的定义与通项公式、随机变量的分布列与期望，考查统计与概率思想、函数与方程思想的运用，考查逻辑推理能力和运算求解能力，属于难题.请考生在第22、23题中任选一题作答.注意：只能做所选定的题目，如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时，请用2B 铅笔在答题卡上，将所选题号对应的方框涂黑. 22.在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为12x ty t =--⎧⎨=+⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2221sin ρθ=+，直线l 与曲线C 交于,A B 两点. (1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点P 的极坐标为2,24π⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，PA PB ⋅的值.【答案】(1) 10x y +-=，2212x y +=.(2)56. 分析：(1)先根据加减消元法得直线l 的普通方程，再根据222,cos ,sin x y x y ρρθρθ=+==将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P 直角坐标，再设直线l 的参数方程标准式，代入曲线C 的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果. 详解：(1) 的普通方程为: ； 又,即曲线的直角坐标方程为:(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线的直角坐标方程得，即,. 解法二:，，，．点睛：直线的参数方程的标准形式的应用过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程是00cos sin x x t y y t αα=+⎧⎨=+⎩.(t 是参数，t 可正、可负、可为0) 若M 1，M 2是l 上的两点，其对应参数分别为t 1，t 2，则(1)M 1，M 2两点的坐标分别是(x 0＋t 1cos α，y 0＋t 1sin α)，(x 0＋t 2cos α，y 0＋t 2sin α). (2)|M 1M 2|＝|t 1－t 2|.(3)若线段M 1M 2的中点M 所对应的参数为t ，则t ＝122t t +，中点M 到定点M 0的距离|MM 0|＝|t |＝122t t +. (4)若M 0为线段M 1M 2的中点，则t 1＋t 2＝0. 23.已知函数()()40f x m x m =-+>，且()20f x -≥的解集为[]3,1--（Ⅰ）求m 的值；（Ⅱ）若a ，b ，c 都是正实数，且11123m a b c++=，求证：239a b c ++≥. 【答案】(Ⅰ)1m =(Ⅱ)见解析试题分析：（I ）考查绝对值不等式的解法（II ）采用配“1”法应用基本不等式证明或者采用柯西不等式证明. 试题解析： （I ）依题意()220f x m x -=-+≥,即222x m m x m +≤⇔--≤≤-+,∴1m = （II ）方法1:∵1111(,,0)23a b c a b c++=> ∴()111232323a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭2323392332a b a c b c b a c a c b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号 方法2: ∵1111(,,0)23a b c a b c++=>∴由柯西不等式得3= ≤整理得239a b c ++≥当且仅当23a b c ==,即33,,12a b c ===时取等号.。