2020年山西省八校联考高考数学一模试卷含答案解析

2020年山西省太原市高考数学一模试卷(文科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集U={0,1,2,3,4,5},若集合A={1,2,3,5}，B={2,3,4}则(C U A)∪B为()．A. {1,2,4}B. {4}C. {0,2,4}D. {0,2,3,4}2.已知复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则x的取值范围是()A. (−∞,−1)B. (−1,0)C. (−∞,0)D. (0,1)3.已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S13=26，a11=10，则a20=()A. 26B. 28C. 30D. 324.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，若(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，则λ=()A. 1B. 2C. 3D. 45.“勾股圆方图”是我国古代数学家赵爽设计的一幅用来证明勾股定理的图案，如图所示.在“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个大正方形.若直角三角形中较小的锐角满足，则从图中随机取一点，此点落在阴影部分的概率是A. B. C. D.6.程序框图(即算法流程图)如图所示，其输出结果是()A. 101102B. 100101C. 99100D. 98997.函数f(x)=|2x−2|2x+2的图象大致为()A. B.C. D.8.设变量x，y满足约束条件{2x+y≤2x+2y≤2x≥0 y≥0，则目标函数z=−2x+y的最大值是()A. 4B. 2C. 1D. −239.若对任意x∈R，都有cos(2x−5π6)=sin(ωx+φ)(ω∈R,|φ|<π)，则满足条件的有序实数对(ω,φ)的对数为A. 0B. 1C. 2D. 310.《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，将底面为矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”，已知某“堑堵”和“阳马”组合而成的几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. 5√36B. 7√36C. √36D. 3√3611.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，直线l：y=√3(x−1)，l与C交于A，B两点，若|AB|=163，则p=()A. 8B. 4C. 2D. 112.函数f(x)是定义域在R的可导函数，满足：f(x)<f′(x)且f(0)=2，则f(x)e x>2的解集为()A. (−∞,0)B. (0,+∞)C. (−∞,2)D. (2,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线x24−y23=1的渐近线方程是______，实轴长为______．14.已知函数f(x)=ax−log2(2x+1)+cos x(a∈R)为偶函数，则a=________________．15.如图，四边形ABCD和ABEF均是边长为1的正方形，且平面ABCD⊥平面ABEF.M，N分别为对角线AC，BF上两点，则MN的最小值为________．16.已知首项为1的数列{a n}，满足a n+1=11+a n(n∈N∗)，则a3=______ ．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.某校为了解校园安全教育系列活动的成效，对全校3000名学生进行一次安全意识测试，根据测试成绩评定“优秀”“良好”“及格”“不及格”四个等级，现随机抽取部分学生的答卷，统计结果及对应的频率分布直方图如下所示．等级不及格及格良好优秀得分[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]频数6a24b(Ⅰ)求a、b、c的值；(Ⅱ)试估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数；(Ⅲ)已知已采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人进行强化培训；现在再从这6人中任选2人参加市级校园安全知识竞赛，求选取的2人中恰有1人为“优秀”的概率．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)若sin(A+π)=2cos A，求A的值；6(2)若cos A=1，b=3c，求sin C的值.319.如图，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点．(1)求证：EF⊥平面BCG；(2)求三棱锥D−BCG的体积．20. 已知函数f(x)=(x −a −1)e x−1，a >0．(1)当a =1时，求y =f(x)在点(2,f(2))处的切线方程；(2)设函数g(x)=f(x)+alnx −x ，求g(x)的极值点．21. 已知椭圆E 的中心在原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线x 2=4√2y 的焦点，离心率等于√63.椭圆E 的左焦点为F ，过点M(−3,0)任作一条斜率不为零的直线l 与椭圆E 交于不同的两点A ，B ，点A 关于x 轴的对称点为C ．(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)求证：CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)求△MBC 面积的最大值．22. 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．(Ⅰ)求曲线C 的极坐标方程；(Ⅱ)设A ，B 为曲线C 上两点(均不与O 重合)，且满足∠AOB =π3，求|OA|+|OB|的最大值．23. 已知函数f(x)=|x +1|−|4−2x|．(1)求不等式f(x)≥13(x −1)的解集；(2)若函数f(x)的最大值为m ，且2a +b =m(a >0,b >0)，求2a +1b 的最小值．【答案与解析】1.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，属于基础题．根据补集和并集的定义，写出(∁U A)∪B即可．解：全集U={0,1，2，3，4，5}，集合A={1,2，3，5}，B={2,3，4}，则∁U A={0,3，4}，所以(∁U A)∪B={0,2，3，4}．故选D．2.答案：A解析：本题考查了复数的代数表示及其几何意义，属于基础题．由题意，可得1+x<0，即可得解．解：∵复数z=(1+x)+i(i为虚数单位，x∈R)在复平面内对应的点在第二象限，则1+x<0，解得x<−1，∴x的取值范围是(−∞,−1)．故选A．3.答案：B解析：本题考查等差数列的求和，属于基础题．利用等差数列的性质求解即可．=13a7=26，所以a7=2，解：S13=13(a1+a13)2所以4d=a11−a7=8，解得d=2，所以a20=a11+9d=10+9×2=28．故选B．4.答案：B解析：解：a⃗=(2,0)，b⃗ =(1,1)，λb⃗ −a⃗=(λ−2,λ)，∵(λb⃗ −a⃗ )⊥a⃗，∴(λb⃗ −a⃗ )⋅a⃗=0，即2(λ−2)=0，∴λ=2．故答案为：2．利用已知条件求出λb⃗ −a⃗，利用向量的垂直，求出λ即可．本题考查向量的垂直条件的应用，基本知识的考查．5.答案：D解析：本题主要考查几何概型与数学文化的考查，根据几何概型的概率公式求出对应区域的面积是解决本题的关键；设出大正方形的边长，结合cosα=45，分别求出小直角三角形的边长，得到小正方形的面积，结合几何概型的概率公式进行求解即可；属于基础题．解：设大正方形边长为5，由cosα=45知α对边等于3，邻边等于4，∴小正方形的边长为1，面积等于S=1，则对应的概率P=125．故选D．6.答案：B解析：本题考查的知识要点：程序框图在数列中的应用，利用裂项相消法求数列的和的应用．属于基础题型．直接利用程序框图的循环结构，数列的求和和利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．解：根据程序框图：S=S+1i −1i+1，执行第一次循环时：S=0+1−12=12，执行第二次循环时，S =1−12+12−13=23，当n =100时，输出结果为：S =1−12+12−13+⋯−1101=1−1101=100101．故选：B ． 7.答案：B解析：本题主要考查函数图像的识别，考查学生思考推理的过程．解：因为f(−1)=|2−1−2|2−1+2=35，f(1)=|21−2|21+2=0，所以f (−1)≠f (1)，所以函数f(x)不是偶函数，图象不关于y 轴对称，故排除A ，C ，又f (0)=13，排除D ．故选B ． 8.答案：C解析：本题考查利用简单线性规划求最值.由题意，作出可行域，由图形判断出目标函数z =y −2x 的最大值的位置，即可求出其最值．解：由题意，作出可行域，如图所示：由{x +2y =2x =0，得A(0,1)，由z=−2x+y得y=2x+z，平行移动直线y=2x+z，当直线过点A时，截距最大，则z的值最大，∴目标函数z=−2x+y的最大值是1.故选C．9.答案：C解析：本题考查诱导公式及三角函数的性质，属于中档题．由诱导公式可得，cos (2x−5π6)=sin (2x−π3)，即可得ω=±2，从而可得ω=2时φ=−π3；ω=−2时，φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，即可得结果．解：cos(2x−5π6)=cos(2x−π3−π2)=sin(2x−π3)，由条件知ω=±2，若ω=2，由φ=−π3+2kπ(k∈Z)且|φ|<π，得φ=−π3；若ω=−2，sin(−2x+φ)=sin(2x+π−φ)，则π−φ=−π3+2kπ(k∈Z)，所以φ=−2kπ+4π3(k∈Z)，又|φ|<π，则φ=−2π3．故选C．10.答案：A解析：解：由三视图知：几何体右边是四棱锥，即“阳马”，底面边长为1和√3，高为1，其体积V1=13×√3×1=√33左边是直三棱柱，即“堑堵”，底面边长是√3和1的直角三角形，高为1，其体积V2=12×1×√3=√32∴该几何体的体积V=V1+V2=√33+√32=5√36．故选：A．由已知中的三视图，可知该几何体右边是四棱锥，即“阳马”，左边是直三棱柱，即“堑堵”，该几何体的体积只需把“阳马”，和“堑堵”体积分别计算相加即可．本题考查了四棱锥与三棱柱的三视图及其体积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11.答案：C解析：解：直线l：y=√3(x−1)与抛物线y2=2px联立，可得3x2+(−6−2p)x+3=0，Δ=(6+2p)2−36>0，x1+x2=6+2p3,x1x2=1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，∵|AB|=√(x1−x2)2+(y1−y2)2=2|x1−x2|，∴2√(6+2p3)2−4=163，∴p=2，故选：C．直线与抛物线联立，利用韦达定理及弦长公式，即可求出p．本题考查抛物线方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．12.答案：B解析：解：设F(x)=f(x)e x，则F′(x)=f′(x)−f(x)e x，∵f(x)<f′(x)，∴F′(x)>0，即函数F(x)在定义域上单调递增；∵f(0)=2，∴不等式f(x)e x>2等价为F(x)>F(0)，解得x>0，所求不等式的解集为(0,+∞)．故选：B．根据条件构造函数F(x)=f(x)e x，求函数F(x)的导数，利用函数的单调性即可求出不等式的解集．本题主要考查了函数单调性的判断和应用，根据条件构造函数是解决本题的关键．13.答案：√3x±2y=0 4解析：本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．直接利用双曲线方程求解渐近线方程与实轴长即可．解：双曲线x24−y23=1，可得a=2，b=√3，所以双曲线的渐近线方程是：√3x±2y=0，实轴长为：4．故答案为：√3x±2y=0；4．14.答案：12解析：本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．根据偶函数的定义可得f(−x)=f(x)，即可得−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+ 1)+cos x，整理即可求得a．解：因为f(x)是偶函数，故f(−x)=f(x)，即−ax−log2(2−x+1)+cos(−x)=ax−log2(2x+1)+cos x，∴2ax=log2(2x+1)−log2(2−x+1)=log22x+12−x+1=x，由x的任意性2a=1，可得a=12．故答案为12．15.答案：√33解析：本题考查利用空间向量求空间两点间的距离，建立空间直角坐标系，设BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)求出M ，N 的坐标，把|MN |表示为λ的函数，配方求得最小值．解：由已知得，BA ，BE ，BC 两两相互垂直．以B 为坐标原点，分别以BA ，BE ，BC 方向为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，则A(1,0，0)，F(1,1，0)，C(0,0，1)．BF ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1,0)，CA⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−1)，设BN⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λBF ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤λ≤1)，CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μCA ⃗⃗⃗⃗⃗ (0≤μ≤1)，则BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,λ,0)，BM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,0,1)+μ(1,0,−1)=(μ,0,1−μ)，所以N(λ,λ,0)，M(μ,0，1−μ)，MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ−μ,λ,μ−1)，所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(λ−μ)2+λ2+(μ−1)2=2λ2−2λμ+2μ2−2μ+1=2(λ−μ2)2+32(μ−23)2+13≥13，当且仅当λ=13，μ=23时取等号．所以|MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |≥√33． 故答案为√33． 16.答案：23解析：本题主要考查数列项的求解，属于基础题，根据数列的递推关系是解决本题的关键．根据数列的递推关系即可得到结论．解：∵首项为1，满足a n+1=11+a n ∴a 2=11+1=12，a 3=11+12=23，故答案为：2317.答案：解：(Ⅰ)由频率和为1，得(0.005+c +0.02+0.01)×20=1，解得c =0.015，由a 6=0.0150.005，解得a =18，由b 6=0.010.005，解得b =12；(Ⅱ)该校安全意识测试评定为“优秀”的频率是0.01×20=0.2，估计该校安全意识测试评定为“优秀”的学生人数为3000×0.2=600；(Ⅲ)采用分层抽样的方法，从评定等级为“优秀”和“良好”的学生中任选6人，抽取比例为12：24=1：2；“优秀”人数选2人，记为A、B，“良好”人数选4人，记为C、D、E、F，现再从这6人中任选2人，基本事件数是AB、AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF、CD、CE、CF、DE、DF、EF共15种，选取的2人中有1人为“优秀”的基本事件数是AC、AD、AE、AF、BC、BD、BE、BF共8种，故所求的概率为P=815．解析：本题考查了列举法计算基本事件数和发生的概率，也考查了频率分布直方图的应用问题，是基础题．利用列举法写出基本事件数，求出对应的概率值．(Ⅰ)由频率和为1求出c的值，根据频率与频数的比例关系求出a、b的值；(Ⅱ)计算评定为“优秀”的频率，求出对应的频数即可；(Ⅲ)采用分层抽样法，抽取优秀和良好的学生分别为2人和4人，18.答案：解：(1)由题意知sin Acosπ6+cos Asinπ6=2cos A，即sin A=√3cos A，且cos A≠0，所以tan A=√3，因为0<A<π，所以A=π3.(2)由cos A=13，b=3c，及a2=b2+c2−2bccos A，可得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，所以sin C=cos A=13．解析：本题考查三角形的余弦定理、考查两角和的正弦公式，属于基础题．(1)利用两角和的正弦公式，即可求出角A的正弦，从而求出角A;(2)利用余弦定理得b2=a2+c2，所以△ABC是直角三角形，且B=π2，即可求解．19.答案：证明：(1)∵△ABC和△BCD所在平面互相垂直，AB=BC=BD=4，∠ABC=∠DBC=120°，E，F，G分别为AC，DC，AD的中点，∴△ABC≌△DBC，∵G是AD中点，∴CG⊥AD，同理BG⊥AD，又BG∩CG=G，∴AD⊥平面BGC，∵E，F分别是AC，DC的中点，∴EF//AD，∴EF⊥平面BCG．解：(2)在平面ABC内，作AO⊥BC，交CB的延长线于O，如图，∵平面ABC⊥平面BCD，∴AO⊥平面BDC，又G为AD的中点，∴G到平面BDC的距离h是AO长的一半，在△AOB中，AO=AB⋅sin60°=2√3，∴三棱锥D−BCG的体积：V D−BCG=V G−BCD=13×12×BD×BC×sin120°×√3=4．解析：(1)推导出△ABC≌△DBC，CG⊥AD，BG⊥AD，从而AD⊥平面BGC，推导出EF//AD，由此能证明EF⊥平面BCG．(2)作AO⊥BC，交CB的延长线于O，推导出AO⊥平面BDC，G到平面BDC的距离h是AO长的一半，三棱锥D−BCG的体积V D−BCG=V G−BCD．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：(1)当a=1时，f(x)=(x−2)e x−1，∴f′(x)=(x−1)e x−1，∴k=f′(2)=e，∵f(2)=0，∴y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=e(x−2)；(2)g(x)=f(x)+alnx−x=(x−a−1)e x−1+alnx−x，x>0，∴g′(x)=(x−a)e x−1+ax−1，x>0，由g′(x)=(x−a)e x−1−x−ax=(x −a)(e x−1−1x )=0，可得x =1或x =a ，当0<a <1时，可得g(x)在(0,a)单调递增，在(a,1)单调递减，在(1,+∞)单调递增，可得g(x)在x =a 处取得极大值，在x =1处取得极小值；当a =1处，g(x)单调递增，无极值；当a >1时，可得g(x)在(0,1)单调递增，在(1,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，可得g(x)在x =1处取得极大值，在x =a 处取得极小值．解析：本题考查导数的几何意义和利用导数研究函数的极值，属于中档题．(1)求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程；(2)求得g(x)的解析式，求得导数，令g ′(x)=0，解方程可得x =1，x =a ，讨论0<a <1，a =1，a >1，可得单调性，即可得到极值点．21.答案：解：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，抛物线x 2=4√2y 的焦点为(0,√2)，由题意可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2， 解得a =√6，b =√2，c =2，∴椭圆E 的方程为x 26+y 22=1；(Ⅱ)证明：点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3)，联立{y =k(x +3)x 2+3y 2=6得(1+3k 2)x 2+18k 2x +27k 2−6=0， △=(18k 2)2−4(1+3k 2)(27k 2−6)>0，解得k 2<23．设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，则x 1+x 2=−18k 21+3k ，x 1x 2=27k 2−61+3k ，y 1=k(x 1+3)，y 2=k(x 2+3)，∵F(−2,0)，C(x 1,−y 1).∴FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)， ∵(x 1+2)y 2−(x 2+2)(−y 1)=(x 1+2)k(x 2+3)+(x 2+2)k(x 1+3)=k[2x 1x 2+5(x 1+x 2)+12]=k[2⋅27k 2−61+3k 2+5⋅(−18k 21+3k 2)+12]=0，∴CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFB ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ∈R)；(Ⅲ)由(Ⅱ)可知：k 2<23，由题意可知：S =12|MF||y 1|+12|MF||y 2|=12|MF||y 1+y 2|=12|k(x 1+x 2)+6k|=3|k|1+3k 2=31|k|+3|k|≤2√3=√32． 当且仅当k 2=13<23，“=”成立，∴k 2=13时，△MBC 面积S 取得最大值√32．解析：(Ⅰ)设椭圆E 的方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)，由题意可知可知c a =√63，b =√2，a 2−b 2=c 2，解方程即可得到所求；(Ⅱ)点M 坐标为(−3,0).于是可设直线l 的方程为y =k(x +3).设点A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，F(−2,0)，C(x 1,−y 1)，FC⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1+2,−y 1)，FB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 2+2,y 2)，利用向量共线定理即可判断出； (Ⅲ)利用三角形的面积计算公式和基本不等式即可得出．本题综合考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到根与系数的关系、三角形的面积公式、向量共线定理等基础知识与基本技能方法，属于难题．22.答案：解：(I)曲线C 的参数方程为{x =cosαy =1+sinα(α为参数)，转换为直角坐标方程为x 2+(y −1)2=1，整理得x 2+y 2−2y =0，转换为极坐标方程为ρ=2sinθ．(II)设A(ρ1,θ)，则B(ρ2,θ+π3)，故ρ1=2sinθ，ρ2=2sin(θ+π3)，所以|OA|+|OB|=ρ1+ρ2=2sinθ+2sin(θ+π3)=2√3sin(θ+π6)． 当θ=π3时，|OA|+|OB|的最大值为2√3．解析：(Ⅰ)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果． (Ⅱ)利用三角函数关系式的恒等变换和极径的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，三角函数关系式的恒等变换，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：(1)f(x)=|x+1|−|4−2x|={x−5,x<−13x−3,−1≤x≤2−x+5,x>2,因为f(x)≥13(x−1)，所以{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1),解得：x无解或1≤x≤2或2<x≤4，故不等式f(x)≥13(x−1)的解集为[1,4]；(2)由(1)可知f(x)在(−∞,2]时单调递增，在[2,+∞)时单调递减，则f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，所以2a +1b=13(2a+b)(2a+1b)=13(2ab+2ba+5)≥13(2√2ab·2ba+5)=3，当且仅当a=b=1时，等号成立，所以2a +1b的最小值为3．解析：本题考查绝对值不等式的解法，利用基本不等式求最值，属于中档题．(1)f(x)≥13(x−1)转化为{x<−1x−5≥13(x−1)或{−1≤x≤23x−3≥13(x−1)或{x>2−x+5≥13(x−1)，先求出每个不等式组的解集，再求它们的并集即可；(2)由(1)可知f(x)的最大值m=f(2)=3，则2a+b=3(a>0,b>0)，再由基本不等式即可求出．。

2020年高考数学一模试卷一、选择题（共10小题）1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2} 2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．33．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．16．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．47．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．1608．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝；a n＝．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F 满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，则A∩B＝（）A．{x|0＜x＜3}B．{x|2＜x＜3}C．{x|0＜x≤1}D．{x|1＜x≤2}【分析】利用交集定义能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|0＜x≤2}，B＝{x|1＜x＜3}，∴A∩B＝{x|1＜x≤2}．故选：D．2．已知复数z＝i（2+i）（i是虚数单位），则|z|＝（）A．1B．2C．D．3【分析】根据复数的基本运算法则进行化简即可解：因为复数z＝i（2+i）＝﹣1+2i，所以|z|，故选：C．3．函数f（x）＝sin2x+cos2x的最小正周期是（）A．B．πC．2πD．4π【分析】函数y解析式提取变形，利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期．解：函数y＝sin2x+cos2x sin（2x），∵ω＝2，∴T＝π．故选：B．4．已知f（x）为定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，下列一定在函数f（x）图象上的点是（）A．（1，﹣2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣1，2）D．（2，1）【分析】根据f（x）是奇函数即可得出f（﹣1）＝﹣2，从而得出点（﹣1，﹣2）在f（x）的图象上．解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）＝2，∴f（﹣1）＝﹣2，∴（﹣1，﹣2）一定在函数f（x）的图象上．故选：B．5．已知a，3，b，9，c成等比数列，且a＞0，则log3b﹣log3c等于（）A．﹣1B．C．D．1【分析】根据等比数列的性质和对数的运算性质即可求出．解：a，3，b，9，c成等比数列，则bc＝81，b2＝27，∴，∴log3b﹣log3c＝log31，故选：A．6．已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点与双曲线1的右焦点重合，则p＝（）A．B．2C．2D．4【分析】根据双曲线方程可得它的右焦点坐标，结合抛物线y2＝2px的焦点坐标（，0），可得2，得p＝4．解：∵双曲线中a2＝3，b2＝1∴c2，得双曲线的右焦点为F（2，0）因此抛物线y2＝2px的焦点（，0）即F（2，0）∴2，即p＝4故选：D．7．在（2x）6的展开式中，常数项是（）A．﹣l60B．﹣20C．20D．160【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．解：展开式的通项公式为T r+1•（2x）6﹣r•（﹣1）r•x﹣r＝（﹣1）r•26﹣r••x6﹣2r，令6﹣2r＝0，可得r＝3，故展开式的常数项为﹣8•160，故选：A．8．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A（cosα，sinα），．则（）A．1B．C．2D．与α有关【分析】根据题意，求出向量、的坐标，进而可得的坐标，由向量模的公式以及和角公式计算可得答案．解：根据题意，A（cosα，sinα），．则（cosα，sinα），（cos（α），sin（α）），则有（cosα+cos（α），sinα+sin（α）），故||2＝[cosα+cos（α）]2+[sinα+sin（α）]2＝2+2cosαcos（α）+2sinαsin（α）＝2+2cos3，则||；故选：B．9．若a＞0，b＞0，则“ab≥1”是“a+b≥2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【分析】a＞0，b＞0，利用基本不等式的性质可得：a+b≥2，可由ab≥1，得出a+b≥2．反之不成立．解：a＞0，b＞0，∴a+b≥2，若ab≥1，则a+b≥2．反之不成立，例如取a＝5，b．∴“ab≥1”是“a+b≥2”的充分不必要条件．故选：A．10．某同学在数学探究活动中确定研究主题是“a n（a＞1，n∈N*）是几位数”，他以2n（n∈N*）为例做研究，得出相应的结论，其研究过程及部分研究数据如表：N＝2n（n＞0）lgN N的位数21lg2一位数22lg4一位数23lg8一位数241+lg1.6两位数251+lg3.2两位数261+lg6.4两位数272+lg1.28三位数282+lg2.56三位数292+lg5.12三位数2103+lg1.024四位数………………试用该同学的研究结论判断450是几位数（参考数据lg2≈0.3010）（）A．101B．50C．31D．30【分析】因为450＝2100，所以N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数．解：∵450＝2100，∴N＝2100，则lgN＝lg2100＝100lg2≈30.10＝30+0.10＝30+lg100.10≈30+lg1.26，由表中数据规律可知，N的位数是31位数，故选：C．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．11．已知向量，，其中m∈R．若共线，则m等于6．【分析】因为共线，即，根据两向量平行的坐标表示列式求解即可．解：若共线，即，∵，，∴1×m＝﹣2×（﹣3），∴m＝6．故答案为：6．12．圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离为1．【分析】先求出圆的圆心坐标，再利用点到直线距离公式即可算出结果．解：圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心坐标为（1，0），所以圆（x﹣1）2+y2＝1的圆心到直线的距离d1，故答案为：1．13．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积等于．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的体积．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：该几何体为三棱锥体．如图所示：所以：V．故答案为：．14．中国古代数学著作《孙子算经》中有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之余二，五五数之余三，问物几何？”，将上述问题的所有正整数答案从小到大组成一个数列{a n}，则a1＝8；a n＝15n﹣7．（注：三三数之余二是指此数被3除余2，例如“5”）【分析】由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．利用通项公式即可得出．解：由三三数之余二，五五数之余三，可得数列{a n}的公差为15，首项为8．∴a1＝8，a n＝8+15（n﹣1）＝15n﹣7．故答案为：8，15n﹣7．15．给出下列四个函数，①y＝x2+1；②y＝|x+1|+|x+2|；③y＝2x+1；④y＝x2+cos x，其中值域为[1，+∞）的函数的序号是①②④．【分析】①由x2≥0，得x2+1≥1，由此得出结论；②由绝对值不等式的性质即可得出结论；③由2x＞0，得2x+1＞1，由此得出结论；④由函数f（x）＝x2+cos x的奇偶性及单调性即可得出结论．解：①∵x2≥0，∴x2+1≥1，故值域为[1，+∞），符合题意；②y＝|x+1|+|x+2|≥|（x+1）﹣（x+2）|＝1，故值域为[1，+∞），符合题意；③∵2x＞0，∴2x+1＞1，故值域为（1，+∞），不合题意；④函数f（x）＝x2+cos x为偶函数，且f′（x）＝2x﹣sin x，f''（x）＝2﹣cos x＞0，故f′（x）在R上单调递增，又f′（0）＝0，故当x∈（0，+∞）时，f（x）单调递增，则当x∈（﹣∞，0）时，f（x）单调递减，又f（0）＝1，故其值域为[1，+∞），符合题意．故答案为：①②④．三、解答题：本大题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．16．已知△ABC，满足，b＝2，______，判断△ABC的面积S＞2是否成立？说明理由．从①，②这两个条件中任选一个，补充到上面问题条件中的空格处并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．【分析】选①，先利用余弦定理可解得c＝3，从而求得三角形面积为，由此作出判断；选②，先利用余弦定理可得，结合已知条件可知△ABC是A为直角的三角形，进而求得面积为，此时S＞2不成立．解：选①，△ABC的面积S＞2成立，理由如下：当时，，所以c2﹣2c﹣3＝0，所以c＝3，则△ABC的面积，因为，所以S＞2成立．选②，△ABC的面积S＞2不成立，理由如下：当时，，即，整理得，，所以，因a2＝7，b2+c2＝4+3＝7，所以△ABC是A为直角的三角形，所以△ABC 的面积，所以不成立．17．2019年1月1日，我国开始施行《个人所得税专项附加扣除操作办法》，附加扣除的专项包括子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金、赡养老人．某单位有老年员工140人，中年员工180人，青年员工80人，现采用分层抽样的方法，从该单位员工中抽取20人，调查享受个人所得税专项附加扣除的情况，并按照员工类别进行各专项人数汇总，数据统计如表：专项员工人数子女教育继续教育大病医疗住房贷款利息住房租金赡养老人老员工402203中年员工821518青年员工120121（Ⅰ）在抽取的20人中，老年员工、中年员工、青年员工各有多少人；（Ⅱ）从上表享受住房贷款利息专项扣除的员工中随机选取2人，记X为选出的中年员工的人数，求X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）先算出该单位的所有员工数量，再根据分层抽样的特点，逐一求解样本中老年、中年、青年员工的数量即可．（Ⅱ）随机变量X的可取值为0，1，2，结合超几何分布计算概率的方式逐一求取每个X的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望．解：（Ⅰ）该单位员工共140+180+80＝400人，抽取的老年员工人，中年员工人，青年员工人．（Ⅱ）X的可取值为0，1，2，，，．所以X的分布列为X012P数学期望E（X）．18．如图，已知四边形ABCD为菱形，且∠A＝60°，取AD中点为E．现将四边形EBCD 沿BE折起至EBHG，使得∠AEG＝90°．（Ⅰ）求证：AE⊥平面EBHG；（Ⅱ）求二面角A﹣GH﹣B的余弦值；（Ⅲ）若点F满足，当EF∥平面AGH时，求λ的值．【分析】（Ⅰ）只需证明GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E，由线面垂直的判定定理可得证明；（Ⅱ）以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，求得平面AGH的法向量和平面EBHG的法向量．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900），即可得到所求值；（Ⅲ）由，则，由．计算可得所求值．解：（Ⅰ）证明：在左图中，△ABD为等边三角形，E为AD中点所以BE⊥AD，所以BE⊥AE．因为∠AEG＝90°，所以GE⊥AE．因为GE⊥AE，BE⊥AE，GE∩BE＝E所以AE⊥平面EBHG．（Ⅱ）设菱形ABCD的边长为2，由（Ⅰ）可知GE⊥AE，BE⊥AE，GE⊥BE．所以以E为原点，EA，EB，EG所在直线分别为x，y，z轴，建立如图空间坐标系可得A（1，0，0），，G（0，0，1），．，设平面AGH的法向量为，所以，即．令x＝1，则．平面EBHG的法向量为．设二面角A﹣GH﹣B的大小为θ（θ＜900）．（Ⅲ）由，则，所以．因为EF∥平面AGH，则．即1﹣2λ＝0．所以．19．已知椭圆C：的离心率为，点A（0，1）在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设O为原点，过原点的直线（不与x轴垂直）与椭圆C交于M、N两点，直线AM、AN与x轴分别交于点E、F．问：y轴上是否存在定点G，使得∠OGE＝∠OFG？若存在，求点G的坐标；若不存在，说明理由．【分析】（Ⅰ）利用椭圆的离心率结合b＝1，求出a，得到椭圆方程．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），求出AM，AN的方程，求出E的坐标，F的坐标，假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，得到，求出n，即可．说明存在点G坐标为满足条件．解：（Ⅰ）由题意得，b＝1，又a2＝b2+c2解得，所以椭圆方程为．（Ⅱ）设M（x0，y0），由题意及椭圆的对称性可知N（﹣x0，﹣y0）（y0≠±1），则直线AM的方程为，直线AN的方程为，则E点坐标为，F点坐标为．假设存在定点G（0，n）使得∠OGE＝∠OFG，即tan∠OGE＝tan∠OFG（也可以转化为斜率来求），即即|OG|2＝|OE||OF|，即所以，所以存在点G坐标为满足条件．20．已知函数f（x）＝（x﹣a）e x+x+a，设g（x）＝f'（x）．（Ⅰ）求g（x）的极小值；（Ⅱ）若f（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出导函数得到g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，通过求解导函数判断导函数的符号，判断函数的单调性，求解函数的极值求解即可．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1，通过a≤2时，当a＞2时，判断函数的单调性，求和函数的最值，推出结果即可．解：（Ⅰ）f'（x）＝（x﹣a+1）e x+1，由题意可知g（x）＝（x﹣a+1）e x+1，所以g'（x）＝（x﹣a+2）e x，当x＞a﹣2时g'（x）＞0，g（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；当x＜a﹣2时g'（x）＜0，g（x）在（﹣∞，a﹣2）上单调递减，所以g（x）在x＝a﹣2处取得极小值，为g（a﹣2）＝﹣e a﹣2+1．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f'（x）＝g（x）≥﹣e a﹣2+1当a≤2时f'（x）≥﹣e a﹣2+1＞0，所以f（x）在单调递增，所以f（x）＞f（0）＝0，即a≤2时f（x）＞0在（0，+∞）恒成立．当a＞2时f'（0）＝g（0）＝2﹣a＜0，又f'（a）＝g（a）＝e a+1＞0，又由于f'（x）在（a﹣2，+∞）上单调递增；在（0，a﹣2）上单调递减；所以在（0，a）上一定存在x0使得f'（x0）＝0，所以f（x）在（0，x0）递减，在（x0，+∞）递增，所以f（x0）＜f（0）＝0，所以在（0，+∞）存在x0，使得f（x0）＜0，所以当a＞2时，f（x）＞0在（0，+∞）上不恒成立所以a的取值范围为（﹣∞，2]．21．用[x]表示一个小于或等于x的最大整数．如：[2]＝2，[4.1]＝4，[﹣3.1]＝﹣4．已知实数列a0，a1，…对于所有非负整数i满足a i+1＝[a i]•（a i﹣[a i]），其中a0是任意一个非零实数．（Ⅰ）若a0＝﹣2.6，写出a1，a2，a3；（Ⅱ）若a0＞0，求数列{[a i]}的最小值；（Ⅲ）证明：存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．【分析】（Ⅰ）由a0＝﹣2.6，代入可得a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣1.2，同理可得：a2，a3．（Ⅱ）由a0＞0，可得[a0]≥0，a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，可得a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，因此[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，可得[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，可得：[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，利用累加求和方法可得[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，得出矛盾，因此存在k∈一、选择题，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．（Ⅲ）当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，可得a k+1＝0，[a k+1]＝0，可得a i ＝0，∀i≥k，成立．当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，可得[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，可得数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，因此存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），转化为，令，即b i+1＝cb i，i≥m．经过讨论：当b m＝0时，得证．当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，进而证明结论．解：（Ⅰ）∵a0＝﹣2.6，∴a1＝[a0]•（a0﹣[a0]）＝﹣3×（﹣2.6+3）＝﹣1.2，同理可得：a2＝﹣1.6、a3＝﹣0.8．………………（Ⅱ）因a0＞0，则[a0]≥0，所以a1＝[a0]（a0﹣[a0]）≥0，设[a i]≥0，i≥1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≥0，所以[a i]≥0，∀i≥0．又因0≤a i﹣[a i]＜1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）≤[a i]，则[a i+1]≤[a i]，∀i≥0．………………假设∀i≥0，都有[a i]＞0成立，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＜[a i]，则[a i+1]＜[a i]，∀i≥0，即[a i+1]≤[a i]﹣1，∀i≥0，………………则[a n]≤[a0]﹣n，∀n≥1，则当n≥[a0]时，[a n]≤0，这与假设矛盾，所以[a i]＞0，∀i≥0不成立，………………即存在k∈N，[a k]＝0．从而{[a i]}的最小值为0．………………（Ⅲ）证明：当a0＞0时，由（2）知，存在k∈N，[a k]＝0，所以a k+1＝0，所以[a k+1]＝0，所以a i＝0，∀i≥k，成立．………………当a0＜0时，若存在k∈N，a k＝0，则a i＝0，∀i≥k，得证；………………若a i＜0，∀i≥0，则[a i]≤﹣1，则a i+1＝[a i]（a i﹣[a i]）＞[a i]，则[a i+1]≥[a i]，∀i≥0，所以数列{[a i]}单调不减．由于[a i]是负整数，所以存在整数m和负整数c，使得当i≥m时，[a i]＝c．所以，当i≥m时，a i+1＝c（a i﹣c），则，令，即b i+1＝cb i，i≥m．当b m＝0时，则b i＝0，i≥m，则，得证．………………当b m≠0时，b i≠0，i≥m，，因当i≥m时，[a i]＝c，则a i∈[c，c+1），则{b i}有界，所以|c|≤1，所以负整数c＝﹣1．………………∴，则令k＝m，满足当i≥k时，a i＝a i+2．综上，存在非负整数k，使得当i≥k时，a i＝a i+2．………………。

2020年山西省太原市高考数学一模试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知全集1，2，3，，集合2，，，则为A. 2，B. 3，C. 2，3，D. 2，2.已知i是虚数单位，复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是A. B.C. D.3.已知等差数列中，前5项和，，则A. 16B. 17C. 18D. 194.已知平面向量，若与垂直，则A. B. 2 C. D. 15.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．清陆以湉冷庐杂识卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为A. B. C. D.6.某程序框图如图所示，若，则该程序运行后输出的结果是A.B.C.D.7.函数的图象大致为A.B.C.D.8.已知变量x，y满足约束条件，若目标函数的最大值为A. 3B. 5C. 8D. 119.设，，若对任意实数x都有，则满足条件的有序实数对的对数为A. 1B. 2C. 3D. 410.刘徽注九章算术商功中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的半径为A. B. 3 C. D. 411.过抛物线上点作三条斜率分别为、、的直线、、，与抛物线分别交于不同与P的点A，B，若，，则下列结论正确的是A. 直线AB过定点B. 直线AB斜率一定C. 直线BC斜率一定D. 直线AC斜率一定12.函数的定义域为，为其导函数．若且，则的解集为A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.双曲线的实轴长是______ ．14.已知函数是偶函数，则k的值为______ ．15.在如图所示装置中，正方形框架的边长都是1，且平面ABCD与平面ABEF互相垂直，活动弹子M，N分别在正方形对角线AC，BF上移动，则MN长度的最小值是______．16.我们知道，裴波那契数列是数学史上一个著名数列，在裴波那契数列中，，，用表示它的前n项和，若已知，那么______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.手机运动计步已成为一种时尚，某中学统计了该校教职工一天走步数单位：百步，绘制出如下频率分布直方图：Ⅰ求直方图中a的值，并由频率分布直方图估计该校教职工一天步行数的中位数；Ⅱ若该校有教职工175人，试估计一天行走步数不大于130百步的人数；Ⅲ在Ⅱ的条件下，该校从行走步数大于150百步的3组教职工中用分层抽样的方法选取6人参加远足活动，再从6人中选取2人担任领队，求着两人均来自区间的概率．18.已知中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，．Ⅰ求C；Ⅱ若，的面积为，求的值．19.如图在等腰直角三角形ABC中，，，点D为AB中点，将沿DC折叠得到三棱锥，如图，其中，点M，N，G分别为，BC，的中点．Ⅰ求证：平面DCG；Ⅱ求三棱锥的体积．20.已知函数．求在点处的切线方程；求证：在上仅有2个零点．21.椭圆E的焦点为和，过的直线交E于A，B两点，过A作与y轴垂直的直线，又知点，直线BH记为，与交于点设，已知当时，Ⅰ求椭圆E的方程；Ⅱ求证：无论如何变化，点C的横坐标是定值，并求出这个定值．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为为参数，已知点，点P是曲线上任意一点，点M满足，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．Ⅰ求点M的轨迹的极坐标方程；Ⅱ已知直线l：与曲线交于A，B两点，若，求k的值23.已知函数，．Ⅰ若的最小值为1，求实数a的值；Ⅱ若关于x的不等式的解集包含，求实数a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：【分析】本题考查了集合的运算，属于基础题．由题意，集合，从而求得2，．【解答】解：，2，；故选D．2.答案：A解析：解：复数在复平面内对应的点在第二象限，，解得．实数m的取值范围是．故选：A．由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查不等式组的解法，是基础题．3.答案：B解析：解：，，，则，则公差，，则．故选：B．根据等差中项求出，然后求出和d，求出本题考查等差数列性质，属于基础题．4.答案：C解析：解：平面向量，若与垂直，，求得，故选：C．由题意利用两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，求得的值．本题主要考查两个向量的数量积公式、两个向量垂直的性质，属于基础题．5.答案：C解析：解：设大正方形的边长为4，则面积，阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，面积，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，面积，故概率．故选：C．先设大正方形的边长为4，则阴影部分可看做一个等腰直角三角形，边长为，另外一部分为梯形，上底为，下底为，高，然后分别求出面积，根据与面积有关的几何概率公式可求．本题考查了观察能力及几何概型中的面积型，属中档题．6.答案：B解析：解：由题意知，该程序计算的是数列前四项的和再加上1．，．故选：B．分析循环体的算法功能可知，该程序计算的是数列前四项的和再加上利用裂项法求和可求解．本题考查了直到型循环结构求数列前n项和的问题，要注意判断准确求和的项数，区分好当型循环结构与直到型循环结构．7.答案：D解析：解：，则为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，C，当时，为增函数，排除A，故选：D．根据条件判断函数的奇偶性和对称性，判断当时的单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用条件判断函数的奇偶性和单调性是解决本题的关键．8.答案：D解析：解：作出可行域如图，由知，，所以动直线的纵截距取得最大值时，目标函数取得最大值．由得．结合可行域可知当动直线经过点时，目标函数取得最大值．故选：D．先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，只需求出直线过点时，z 最大值即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.答案：B解析：解：对于任意实数x都有，则函数的周期相同，若，此时，，此时，若，则方程等价为，，则，则，综上满足条件的有序实数组为，，共有2组，故选：B．根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．10.答案：C解析：解：根据几何体的三视图转换为几何体为：挂几何体为四棱锥体．如图所示：所以．故选：C．首先把三视图转换为几何体，进一步求出几何体的外接球的半径．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的外接球的半径的求法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．11.答案：B解析：解：，可得设的斜率为k，则，的斜率分别为：，，设直线的方程为：，则的方程为，的方程为，设，，，联立直线与抛物线的方程：，整理可得，所以，所以，代入直线中可得，即；联立直线与抛物线的方程可得，整理可得所以，可得，代入中可得，即；联立直线与抛物线的方程：，整理可得，，所以，代入抛物线的方程可得，可得；所以为定值；故选：B．由，，可设直线的方程，可得，的方程，分别于抛物线联立可得A，B，C 的坐标，进而可得直线AB的斜率为定值．本题主要考查了抛物线的性质及直线斜率的求法．属于中档题．12.答案：D解析：解：令，，由题意可得，，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递减，又，时，，由可得即，结合函数图象可知，．故选：D．结合已知构造函数，，结合已知可知的单调性，结合其函数的特征可求解不等式．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性，解不等式，体现了数形结合思想的应用，属于中档题．13.答案：4解析：解：双曲线化为标准方程为即双曲线的实轴长是4故答案为：4双曲线化为标准方程为，即可求得实轴长．本题重点考查双曲线的几何性质，解题的关键是将双曲线方程化为标准方程，属于基础题．14.答案：解析：解：由函数是偶函数，可知即，对一切恒成立，故答案为．利用函数为偶函数的定义寻找关于k的方程是求解本题的关键，转化过程中要注意对数的运算性质的运用．本题考查函数为偶函数的定义，考查对数的运算性质，考查学生的转化与化归思想，注意学生的运算整理变形的等价性．15.答案：解析：解：如图，以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．则0，，1，，0，，1，，设，，，．1，，，，，．当且仅当时等号成立．令，则．当，即时，．长度的最小值是．故答案为：．以A为坐标原点，分别以AF，AB，AD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，，，，，可得，求其模，利用基本不等式结合换元法利用二次函数求最值．本题考查空间中点、线、面间的距离计算，训练了空间向量的应用，考查利用换元法与基本不等式求最值，属难题．16.答案：解析：解：，，，，，，，，以上累加得：，，，故答案为：．根据条件，利用累加法得到，从而，．本题主要考查了数列的递推式，以及累加法数列求和，是中档题．17.答案：解：Ⅰ由题意得：，解得，设中位数是，则，解得，中位数是125．Ⅱ由，估计一天行走步数不大于130百步的人数为98．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，再从6人中选取2人担任领队，基本事件总数，这两人均来自区间包含的基本事件个数，这两人均来自区间的概率．解析：Ⅰ由频率分布直方图列出方程，能求出a和中位数．Ⅱ由频率分布直方图求出一天行走步数不大于130百步的人数的频率，由此能估计一天行走步数不大于130百步的人数．Ⅲ在区间中有28人，在区间中有7人，在区间中有7人，按分层抽样抽取6人，则从中抽取4人，和中各抽取1人，由此能求出从6人中选取2人担任领队，这两人均来自区间的概率．本题考查中位数、频数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．18.答案：解：Ⅰ，，，，，而C为三角形的内角，；Ⅱ的面积为，及，得，化简可得，又，由余弦定理，得，化简得，，解析：Ⅰ根据三角函数的化简即可求出C的值，Ⅱ根据三角形的面积公式和余弦定理，即可求出．本题考查了三角函数的化简，三角形的面积公式，余弦定理，属于中档题．19.答案：解：Ⅰ由题意知，在图中，，，在三棱锥中，，，是的中点，，，，平面DGC，点M，N，分别为，BC的中点．，平面DCG．Ⅱ解：由图知，，，平面，又，是等边三角形，，，，，，三棱锥的体积：．解析：Ⅰ推导出，，从而，，进而平面DGC，推导出，由此能证明平面DCG．Ⅱ由，，，得平面，推导出是等边三角形，三棱锥的体积，由此能求出结果．本题考查线面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20.答案：解：切点为．．，在点处的切线方程为：，化为：．证明：．时，，，函数在上单调递增，而，函数在上只有一个零点0．时，．函数在上单调递增，而，，存在唯一实数，使得，且函数在上单调递减，上单调递增．又，，．函数在上存在唯一零点，而在上无零点．综上可得：在上仅有2个零点．解析：切点为可得，利用点斜式即可得出切线方程．分类讨论：时，利用导数研究其单调性可得，函数在上只有一个零点时，可得函数在上单调递增，进而得出零点的个数．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.答案：解：Ⅰ设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，，，由椭圆定义得，从而，故此时点A在y轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为：；Ⅱ证明：如图所示：，设点，，设直线AB的方程为：，代入椭圆中，得：，，，，由题设知，直线BH斜率，直线BH的方程为：，而直线方程为：，代入，得，故点C的横坐标是定值3．解析：设椭圆方程为，其中，利用椭圆的定义和已知条件可得，代入椭圆方程解得a，b，c的值，从而得到椭圆方程；设点，，设直线AB的方程为：，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，进而得到直线BH斜率，再得到直线BH的方程与直线方程联立即可得到点C的横坐标是定值3．本题主要考查了椭圆方程，以及正弦与椭圆的位置关系，是中档题．22.答案：解：Ⅰ曲线的参数方程为为参数，设，由于点M满足，所以为参数，转换为直角坐标方程为．转换为极坐标方程为Ⅱ直线l：转换为极坐标方程为，设，，由于，所以，即，由于，所以，解得．所以，解得．解析：Ⅰ直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．Ⅱ利用平面向量的应用和一元二次方程根和系数关系式的应求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，极径的应用，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.答案：解：函数，．，解得或；时，不等式，即：，可得：，．，不等式的解集包含，即：且，．实数a的取值范围：．解析：Ⅰ化简的表达式，利用绝对值的几何意义，然后通过最小值为1，即可求解实数a的值；Ⅱ化简不等式的解集，通过解集包含，列出不等式，然后求实数a的取值范围．本题考查绝对值不等式的解法，考查转化思想以及计算能力，难度较高．。

太原市2020年高三年级模拟试题（一）数学试卷（理科）（考试时间：下午3：00——5：00）注意事项：1．本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第I 卷1至4页，第Ⅱ卷5至8页。

2．回答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答第I 卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效。

4．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应位置上，写在本试卷上无效。

5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}26,3x x y x N x x M -+==<=，则M∩N=（ ） A ．{}32<<-x x B ．{}32<≤-x x C ．{}32≤<-x x D ．{}33≤<-x x2．设复数z 满足5)2(=+⋅i z ，则i z -=（ ）A ．22B ．2C ．2D ．43．七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）A.165B.3211C.167D.32134．已知等比数列{n a }中，1a >0，则“41a a <”是“53a a <”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．函数xx x f 1)(2-=的图象大致为（ ）6某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是59，则（ ）A.3=aB.4=aC.5=aD.6=a 7.73)13(xx +展开式中的常数项是（ ） A.189 B.63 C.42 D.21。

2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）2．已知复数，则复数z的共轭复数＝（）A．B．C．D．3．已知tanα＝3，则cos2α+sin2α＝（）A．B．C．D．4．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣65．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）A．甲得分的平均数比乙的大B．乙的成绩更稳定C．甲得分的中位数比乙的大D．甲的成绩更稳定6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝alnx+a，若f（﹣e）＝4，则f（0）+f（1）＝（）A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．17．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A．4 B．C．D．9．已知P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，，则抛物线C的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．11．双曲线mx2+ny2＝1（mn＜0）的渐近线于圆（x﹣5）2+y2＝9相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．812．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A+C）＝，则tan C+的最小值为（）A．B．2 C．1 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，，若，则m＝．14．的二项展开式中，x项的系数是．（用数字作答）15．若函数f（x）＝sin x﹣a cos x图象的一条对称轴方程为，则a＝．16．若lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，则的最小值为，此时x2＝．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2+kn+k．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．18．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台）8 10 13 25 24某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24女性车主 2总计30 （1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．附表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，CD＝1，AD＝2，AB＝4，点G在线段AB上，AG＝3GB，AA1＝1．（1）证明：D1G∥平面BB1C1C．（2）求二面角A1﹣D1G﹣A的余弦值．20．已知椭圆的半焦距为c，圆O：x2+y2＝c2与椭圆C有且仅有两个公共点，直线y＝2与椭圆C只有一个公共点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问：x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由．21．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）+f（x）＝x2，当x≥0时，f'（x）＜x．（1）判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性并加以证明；（2）若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点，设正数x0为函数g（x）＝xe x+a（1﹣e x）+x+1的一个不动点，且，求a 的取值范围．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的倾斜角．23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|3x+3|．（1）求不等式f（x）≥10的解集；（2）正数a，b满足a+b＝2，证明：．参考答案一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A＝{x|lnx＜1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，则A∩B＝（）A．（0，e）B．（﹣1，2）C．（﹣1，e）D．（0，2）【分析】可以求出集合A，然后进行交集的运算即可．解：A＝{x|0＜x＜e}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝（0，2）．故选：D．2．已知复数，则复数z的共轭复数＝（）A．B．C．D．【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．解：由＝，得．故选：A．3．已知tanα＝3，则cos2α+sin2α＝（）A．B．C．D．【分析】由题意，可将cos2α+sin2α变为，再利用商数关系将其用切表示出来，代入正切的值即可求出分式的值．解：∵tanα＝3，∴cos2α+sin2α＝＝＝＝，故选：B．4．设x，y满足约束条件，则z＝x﹣3y的最小值为（）A．0 B．﹣4 C．﹣8 D．﹣6【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案解：由约束条件作出可行域如图，化目标函数z＝x﹣3y为y＝x﹣，由图可知，当直线y＝x z过A（0，2）时，z有最小值为﹣6．故选：D．5．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）A．甲得分的平均数比乙的大B．乙的成绩更稳定C．甲得分的中位数比乙的大D．甲的成绩更稳定【分析】利用甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，可求出甲、乙的平均数、中位数，分析数据的离散程度，确定方差，即可求解．解：由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，得：在A中，甲的平均分＝（10+13+12+14+16）＝13，＝（13+14+12+12+14）＝13，甲得分的平均数与乙的平均数相等，故A错误；在B中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，分析离散程度，得到乙的成绩更稳定，故B正确；在C中，甲得分的中位数和乙得分的中位数都是13，故C错误；在D中，由甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况折线图，分析离散程度，得到甲的成绩更稳定，故D错误．故选：B．6．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）＝alnx+a，若f（﹣e）＝4，则f（0）+f（1）＝（）A．﹣1 B．0 C．﹣2 D．1【分析】根据题意，由奇函数的性质可得f（0）和f（e）的值，结合函数的解析式可得f（e）＝alne+a＝2a＝﹣4，解可得a的值，进而计算可得f（1）的值，相加即可得答案．解：根据题意，f（x）是定义在R上的奇函数，则f（0）＝0，若f（﹣e）＝4，则f（e）＝﹣f（﹣e）＝﹣4，又由当x＞0时，f（x）＝alnx+a，则f（e）＝alne+a＝2a＝﹣4，解可得a＝﹣2，则f（1）＝﹣2ln1﹣2＝﹣2，故f（0）+f（1）＝﹣2；故选：C．7．函数在[﹣π，0）∩（0，π]的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】由函数的奇偶性及特殊点，观察选项即可得解．解：∵，∴函数f（x）为奇函数，又∵，∴选项D符合题意．故选：D．8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的最长棱的长为（）A．4 B．C．D．【分析】首先把三视图转换为几何体，进一步求出结果．解：根据几何体的三视图转换为几何体为：如图所示：最长的棱长为AB＝．故选：C．9．已知P是抛物线C：y2＝2px（p＞0）上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，，则抛物线C的方程为（）A．y2＝6x B．y2＝2x C．y2＝x D．y2＝4x【分析】由抛物线的方程求出焦点坐标及准线方程，由题意画图，若|PF|＝2，，可得P的坐标，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，求出p的值，进而求出抛物线的方程．解：如图所示：由抛物线的方程可得焦点F（，0），由|PF|＝2可得|PF|cos＝2＝1，所以可得x P＝﹣1，由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，所以x P+＝2，即＝2，解得p＝3，所以抛物线的方程为：y2＝6x，故选：A．10．如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，异面直线BD与AC1所成角的余弦值为，则该长方体外接球的表面积为（）A．98πB．196πC．784πD．【分析】由题意建立空间直角坐标系，由异面直线的余弦值求出长方体的高，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，进而求出外接球的半径，求出外接球的表面积．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，DA为x轴，DC为y轴DD1为z轴，D为坐标原点，由题意知A（6，0，0），B（6，8，0），D（0，0，0），设D（0，0，a），则C1（0，8，a），∴＝（6，8，0），＝（﹣6，8，a），∴cos＝＝＝，由题意可得：＝，解得：a2＝96，由题意长方体的对角线等于外接球的直径，设外接球的半径为R，则（2R）2＝82+62+a2＝196，所以该长方体的外接球的表面积S＝4πR2＝196π，故选：B．11．双曲线mx2+ny2＝1（mn＜0）的渐近线于圆（x﹣5）2+y2＝9相切，且该双曲线过点，则该双曲线的虚轴长为（）A．3 B．4 C．6 D．8【分析】mx2+ny2＝1（mn＜0）的渐近线与圆E：（x﹣5）2+y2＝9相切⇔圆心（5，0）到渐近线的距离等于半径r＝3，推出mn的方程，结合点在双曲线上，求解m，n然后求解双曲线的虚轴长．解：双曲线mx2+ny2＝1（mn＜0）的一条渐近线x﹣y＝0．圆E：（x﹣5）2+y2＝9的圆心（5，0），半径r＝3．∵渐近线与圆E：（x﹣5）2+y2＝9相切，∴＝3，即16|m|＝9|n|，…①该双曲线过点，∴4m+＝1，…②解①②可得n＝，m＝，双曲线＝1，该双曲线的虚轴长为：8．故选：D．12．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，若sin（A+C）＝，则tan C+的最小值为（）A．B．2 C．1 D．【分析】利用正弦定理和余弦定理化简，求出sin（B﹣C）＝sin C，可得tan（B﹣C）＝tan C，利用基本不等式的性质即可得出．解：由sin（A+C）＝，得sin B＝＝，所以b2＝c2+ac，由b2＝a2+c2﹣2ac cos B，得a﹣2c cos B＝c，利用正弦定理sin A﹣2sin C cos B＝sin C，sin B cos C+cos B sin C﹣2sin C cos B＝sin B cos C﹣cos B sin C＝sin C，即sin（B﹣C）＝sin C，∵锐角△ABC中，∴tan（B﹣C）＝tan C，∴tan C+＝tan C+≥2＝2，当且仅当tan C＝时取等号．故选：D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．已知向量，，若，则m＝ 1 ．【分析】根据题意，由数量积与向量垂直的关系可得•＝﹣m＝0，解可得m 的值，即可得答案．解：根据题意，向量，，若，则•＝﹣m＝0，解可得m＝1；故答案为：1．14．的二项展开式中，x项的系数是﹣560 ．（用数字作答）【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求．解：的二项展开式的通项为．由7﹣2r＝1，得r＝3．∴的二项展开式中，x项的系数是＝﹣560．故答案为：﹣560．15．若函数f（x）＝sin x﹣a cos x图象的一条对称轴方程为，则a＝﹣．【分析】利用辅助角公式进行化简，结合三角函数的对称性求出角的范围即可．解：f（x）＝（sin x﹣cos x），令cosθ＝，sinθ＝，即tanθ＝a，则f（x）＝sin（x﹣θ），∵f（x）的一条对称轴方程为，∴﹣θ＝kπ+，即θ＝﹣kπ﹣，则a＝tanθ＝tan（﹣kπ﹣）＝tan（﹣）＝﹣，故答案为：﹣．16．若lnx1﹣x1﹣y1+2＝0，x2+2y2﹣4﹣2ln2＝0，则的最小值为，此时x2＝．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），根据点与曲线之间的关系，转化为两点间距离的最值问题，求函数的导数，利用导数的几何意义进行求解即可．解：由lnx1﹣x1﹣y1+2＝0得y1＝lnx1﹣x1+2，即点A（x1，y1）在曲线y＝lnx﹣x+2上，点B（x2，y2）在直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0上，的几何意义表示为A，B两点距离的平方，y＝lnx﹣x+2的导数y′＝﹣1，直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0的斜率k＝，由y′＝﹣1＝﹣得＝，得x＝2，此时y＝ln2﹣2+2＝ln2，即切点坐标为（2，ln2），即此时切点到直线的距离d＝＝，即的最小值为d2＝，过切点与直线x+2y﹣4﹣2ln2＝0垂直的直线方程设为2x﹣y+c＝0，得c＝y﹣2x＝ln2﹣4．即2x﹣y+ln2﹣4，由得x＝，即x2＝，故答案为：，．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.17．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2n2+kn+k．（1）求{a n}的通项公式；（2）若b n＝，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题设等差数列{a n}的公差为d，然后将等差数列求和公式与题干中所给表达式进行比较，可得关于a1与d的方程，解出a1与d的值，即可得到等差数列{a n}的通项公式；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{b n}的通项公式，然后运用裂项相消法求前n项和T n．解：（1）由题意，设等差数列{a n}的公差为d，则S n＝n2+（a1﹣）n＝2n2+kn+k．故，解得．∴数列{a n}的通项公式为a n＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2．（2）由（1）知，b n＝＝＝•（﹣）．故T n＝b1+b2+…+b n＝•（1﹣）+•（﹣）+…+•（﹣）＝•（1﹣+﹣+…+﹣）＝•（1﹣）＝．18．“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心，这将推动新能源汽车产业的迅速发展．下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：年份2014 2015 2016 2017 2018 销量（万台）8 10 13 25 24 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主 6 24女性车主 2总计30 （1）求新能源乘用车的销量y关于年份x的线性相关系数r，并判断y与x是否线性相关；（2）请将上述2×2列联表补充完整，并判断是否有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；（3）若以这30名购车车主中购置新能源乘用车的车主性别比例作为该地区购置新能源乘用车的车主性别比例，从该地区购置新能源乘用车的车主中随机选取50人，记选到女性车主的人数为X，求X的数学期望与方差．参考公式：，，其中n＝a+b+c+d.，若r＞0.9，则可判断y与x线性相关．附表：P（K2≥k0）0.10 0.05 0.025 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【分析】（1）求出＝2016，＝16，从而求出＝47，＝10，＝254，进而求出r＝≈0.94＞0.9，由此得到y与x线性相关．（2）依题意，完善列联表，求出K2＝，从而有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．（3）该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，从而X～B（50，，由此能求出X的数学期望与方差．解：（1）＝（2014+2015+2016+2017+2018）＝2016，＝（8+10+13+25+24）＝16，∴＝（﹣2）×（﹣8）+（﹣1）×（﹣6）+1×9+2×8＝47，＝4+1+1+4＝10，＝64+36+9+81+64＝254，∴r＝＝≈0.94＞0.9，∴y与x线性相关．（2）依题意，完善表格如下：购置传统燃油车购置新能源车总计男性车主18 6 24女性车主 2 4 6 总计20 10 30K2＝＝，∴有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关．（3）依题意，该地区购置新能源车的车主中女性车主的概率为，则X～B（50，），∴E（X）＝50×＝20，D（X）＝＝12．19．如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB∥CD，∠BAD＝60°，CD＝1，AD＝2，AB＝4，点G在线段AB上，AG＝3GB，AA1＝1．（1）证明：D1G∥平面BB1C1C．（2）求二面角A1﹣D1G﹣A的余弦值．【分析】（1）连接C1B，证明GB∥CD∥D1C1，且GB＝D1C1＝1得到四边形GBC1D1为平行四边形，故由D1G∥C1B得到证明．（2）作DH⊥AB于H，建立空间直角坐标系，分别计算两个平面的法向量，计算夹角得到答案．解：（1）证明：连接C1B，因为底面ABCD为梯形，AB∥CD，AB＝4＝4CD，AG＝3GB，则GB∥CD∥D1C1，且GB＝D1C1＝1，所以四边形GBC1D1为平行四边形，则D1G∥C1B，又C1B在平面BB1C1C内，D1G不在平面BB1C1C内，所以D1G∥平面BB1C1C．（2）作DH⊥AB于H，以D为坐标原点，分别以DH，DC，DD1所在直线为x轴，y轴，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，∴，设平面A1D1G的法向量为，则，可取；设平面AD1G的法向量为，则，可取，∴，又二面角A1﹣D1G﹣A的平面角为锐角，故所求余弦值为．20．已知椭圆的半焦距为c，圆O：x2+y2＝c2与椭圆C有且仅有两个公共点，直线y＝2与椭圆C只有一个公共点．（1）求椭圆C的标准方程；（2）已知动直线l过椭圆C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问：x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定值和点R的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据条件求出a，b，c，求出椭圆的方程；（2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x+2），与椭圆方程联立，假设x轴上存在定点R（t，0），使得为定值，得到，R（），当直线l与x轴垂直时，判断也成立，求出Q即可．解：（1）圆O：x2+y2＝c2与椭圆C有且仅有两个公共点，则b＝c；直线y＝2与椭圆C只有一个公共点，b＝2，又a2＝b2+c2＝8；所以椭圆的方程为：；（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为：y＝k（x+2），由消去y得（2k2+1）x2+8k2x+8（k2﹣1）＝0，得x1+x2＝，，假设x轴上存在定点R（t，0），使得为定值，则＝（x1﹣t，y1）•（x2﹣t，y2）＝x1x2﹣t（x1+x2）+y1y2+t2＝x1x2﹣t（x1+x2）+k（x1+2）k（x2+2）+t2＝（1+k2）x1x2＝++4k2+t2＝，要使为定值，于是⇒，R（），则＝﹣8+，当直线l与x轴垂直时，把x＝﹣2代入y＝，于是P（﹣2，），Q（﹣2，﹣）故＝（﹣2+，）•（﹣2+，﹣）＝﹣为定值，综上，在x轴上存在定点R（），使得为定值．21．已知函数f（x）的定义域为R且满足f（﹣x）+f（x）＝x2，当x≥0时，f'（x）＜x．（1）判断f（x）在（﹣∞，0]上的单调性并加以证明；（2）若方程f（x）＝x有实数根x0，则称x0为函数f（x）的一个不动点，设正数x0为函数g（x）＝xe x+a（1﹣e x）+x+1的一个不动点，且，求a 的取值范围．【分析】（1）根据已知构造函数h（x）＝f（x）﹣，可判断h（x）的单调性，进而可得f（x）的单调性；（2）由已知不等式，结合单调性可求x0的范围，然后进行分离参数后转化为求解函数的值域．解：（1）令h（x）＝f（x）﹣，则h′（x）＝f′（x）﹣x，因为当x≥0时，f'（x）＜x，即h′（x）＜0，故h（x）在[0，+∞）上单调递减，又f（﹣x）+f（x）＝x2，所以h（﹣x）+h（x）＝0，故h（x）为奇函数，根据奇函数的对称性可知，h（x）在（﹣∞，0）上单调递减，因为y＝在（﹣∞，0]上单调递减，故f（x）＝h（x）+在（﹣∞，0]上单调递减，（2）由（1）可知，h（x）在R上单调递减，由，可得h（x0）≥h（1﹣x0），所以x0≤1﹣x0，即x0，因为正数x0为函数g（x）＝xe x+a（1﹣e x）+x+1的一个不动点，所以g（x）＝x在（0，，]上有解，即xe x+a（1﹣e x）+1＝0在（0，]上有解，整理可得，a＝＝＝x+，令m（x）＝x+，则，设t（x）＝e x﹣x﹣2，x，则t′（x）＝e x﹣1＞0，故t（x）在（0，]上单调递增，且t（）＝，即t（x）＜0，所以m（x）＜0，故m（x）在（0，]上单调递减，m（x）≥m（）＝，故a．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数），以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．（1）求C的普通方程和l的直角坐标方程；（2）直线l与x轴的交点为P，经过点P的直线m与曲线C交于A，B两点，若，求直线m的倾斜角．【分析】（1）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用一元二次方程根和系数关系式的应用和三角函数关系式的恒等变换求出结果．解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数），转换为直角坐标方程为x2+y2＝6．直线l的极坐标方程为．整理得，转换为直角坐标方程为．（2）直线l与x轴的交点为P，所以P（4，0），所以（t为参数），把直线的参数方程代入圆的方程得到：（4+t cosθ）2+（t sinθ）2＝6，整理得t2+8cosθt+10＝0，所以t1+t2＝﹣8cosθ，所以，解得或，所以或．23．已知函数f（x）＝|3x﹣1|+|3x+3|．（1）求不等式f（x）≥10的解集；（2）正数a，b满足a+b＝2，证明：．【分析】（1）将f（x）写为分段函数的形式，然后根据f（x）≥10分别解不等式即可；（2）先利用绝对值三角不等式求出f（x）的范围，再根据a+b＝2，利用均值不等式即可证明．解：（1）f（x）＝|3x﹣1|+|3x+3|＝．∵f（x）≥10，∴或，∴或x≤﹣2，∴不等式的解集为{x|或x≤﹣2}．（2）f（x）＝|3x﹣1|+|3x+3|≥|（3x﹣1）﹣（3x+3）|＝4．∵正数a，b满足a+b＝2，∴f（x）≥2（a+b），∴，当且仅当a＝b＝1时等号成立，∴．。

2020年山西太原高三一模数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1.已知集合，，则（ ）．A. B. C. D.2.设复数满足，则 （ ）．A. B. C. D.3.七巧板是中国古代劳动人民发明的一种传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形、一块正方形和一块平行四边形共七块板组成．（清）陆以湉《冷庐杂识》卷中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余，体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之．如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（ ）．A.B.C.D.4.等比数列中，，则“”是“”的（ ）．A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件5.函数的图象大致为（ ）．A.B.C.D.6.某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是 ，则（ ）．开始是否输出结束A.B.C.D.7.展开式中的常数项是（ ）．A.B.C.D.8.刘徽注《九章算术·商功》中，将底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥叫做阳马．如图，是一个阳马的三视图，则其外接球的体积为（ ）．正视图侧视图俯视图C.D.9.已知变量，满足约束条件，若目标函数的最小值为，则的最小值为（ ）．A.B.C.D.10.已知椭圆的右焦点为，过点作圆的切线，若两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为（ ）．A.B.C.D.11.设，若平面内点满足对任意的，都有，则下列结论一定正确的是（ ）．A.B.C.D.12.定义在上的连续奇函数的导函数为，已知，且当时有成立，则使成立的的取值范围是（ ）．A.B.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.已知双曲线（，）的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为 ．14.已知函数在单调递增，在单调递减，则．15.在如图所示实验装置中，正方形框架的边长都是，且平面平面，活动弹子，分别在正方形对角线，上移动，则长度的最小值是 ．16.某同学做了一个如图所示的等腰直角三角形形状数表，且把奇数和偶数分别依次排在了数表的奇数行和偶数行．如图，若用表示第行从左数第个数，如，则．三、解答题（本大题共5小题，每小题12分，共60分）（1）（2）17.已知外接圆的半径为，其内角，，的对边长分别为，，，若．求角．若，，求的值．（1）（2）18.如图，是边长为的正方形，平面，且．求证：平面平面．线段上是否存在一点，使二面角等于？若存在，请找出点的位置；若不存在，请说明理由．（1）（2）19.新冠病毒是一种通过飞沫和接触传播的变异病毒，为筛查该病毒，有一种检验方式是检验血液样本相关指标是否为阳性．对于份血液样本，有以下两种检验方式：一是逐份检验，则需检验次．二是混合检验，将其中份血液样本分别取样混合在一起．若检验结果为阴性，那么这份血液全为阴性，因而检验一次就够了；如果检验结果为阳性，为了明确这份血液究竟哪些为阳性，就需要对它们再逐份检验，此时份血液检验的次数总共为次．某定点医院现取得份血液样本，考虑以下三种检验方案：方案一，逐个检验；方案二，平均分成两组检验；方案三，四个样本混在一起检验．假设在接受检验的血液样本中，每份样本检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阴性的概率为．求把份血液样本混合检验，结果为阳性的概率．若检验次数的期望值越小，则方案越“优”．方案一、二、三中哪个最“优”？请说明理由．（1）（2）20.已知椭圆的焦点为和，过的直线交于，两点，过作轴垂直的直线交直线于点．设，已知当时，．xy求椭圆的方程．求证：无论如何变化，直线过定点．【答案】解析:∵，．∴，∵，∴．∴，∴．故选．解析:（1）12（2）21.已知函数，．判断函数在区间上零点的个数．设函数在区间上的极值点从小到大分别为，，，，，．证明：．对一切，成立．四、选做题（本大题共2小题，选做1题，共10分）（1）（2）22.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数)，已知点，点是曲线上任意一点，点满足，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系．求点的轨迹的极坐标方程．已知直线与曲线交于，两点，若，求的值．（1）（2）23.已知函数，．若的最小值为，求实数的值．若关于的不等式的解集包含，求实数的取值范围．B1.A2.，，．故选．解析:如图，由题可知：，∴，令，∴，则，∴，∴．故选．解析:先验证充分性．若，则，又因为，所以，所以，即，所以“”是“”的充分条件；若，则，又因为，所以．又，所以，或者，故“”是“”的不必要条件．故选．C 3.正方形阴A 4.D5.解析:由题意，函数，可得，即，所以函数为偶函数，图象关于对称，排除、；当时，，则，所以函数在上递增，排除，故选．解析:模拟程序框图的运行过程知：该程序运行后输出的是：，令，解得：，由题意知：不成立，成立，∴整数．故选．解析:展开式的通项公式为：令，解得；所以展开式中的常数项是．故选：．解析:B 6.D 7.C 8.由题意可知阳马为四棱锥，且四棱锥的底面为长方体的一个底面，四棱锥的高为长方体的一棱长，且阳马的外接球也是长方体的外接球．由三视图可知四棱锥的底面是边长为的正方形，四棱锥的高为，∴长方体的一个顶点处的三条棱长分别为，，，∴长方体的对角线为，∴外接球的半径为，∴外接球的体积为．故选．解析:约束条件对应的区域如图：xy–1123456O 目标函数经过时取最小值为，所以，则；当且仅当，并且时等号成立，故选．解析:如图，A 9.D 10.由题意可得，，则，即，则，∴，即．故选：．解析:以线段的中点为原点，以所在的直线为轴，以其中垂线为轴，建立直角坐标系，则、、设点，则，，则，即有，整理为以为元的一元二次不等式，即，由于上述不等式对任意恒成立，则必然成立，,解得，即或者，C 11.动点位于直线上或其上方部分，或者直线上或者其下方的区域内，用动态的观点看问题，我们让点位于点处，则，故错误．让点位于点处，则，故错误．此时，，用余弦定理计算，，故错误．我们进一步确定选项的正确性，，，则，其中，，故，即，故正确．故选：．解析:∵时，，∴，令，则，∵当，，∴，∴在上是减函数，且，∵，∴当时，，由于此时，所以，当时，，由于此时，D 12.∴，当时，由，得，所以当时，总有，∵是奇函数，即，∴当时，总有，由不等式，得或，解得或，∴的取值范围是．故选：．解析:∵双曲线 （，）的一条渐近线方程为，∴，，又∵双曲线的右顶点到渐近线的距离为，∴，可得，所以双曲线方程为．解析:根据题意，函数在上单调递增，在上单调递减，则在处取得最大值 ，则有，变形可得，当时，．解析:由已知，，两两相互垂直．以为坐标原点，分别以，，方向为，，轴空间直角坐标系．13.14..15.（1）则，，，，设，,则，所以，，所以 ．当且仅当 时取等号，所以．故长度的最小值是．解析:由题意得，第行有个数，表示第行从左往数第个数，该行数字都是奇数，前面奇数行有，，，，共行，共有奇数个，则是第个奇数，故，故答案为．解析:∵，16.（1）．（2）．17.（2）（1）（2）∴，即，∴，∵，∴．∵，，由正弦定理得，由，故为锐角，，∴．解析:∵平面，平面，平面，∴，，又∵，∴，∴平面，又平面，∴平面平面．如图所示，建立空间直角坐标系，∵，，，∴，∴，，（1）证明见解析．（2）存在点当时，二面角所成角为．18.（1）（2）假设线段上存在一点满足题意，设，，易知平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，而，，则，即，所以可取，由，可得．∴存在点当时，二面角所成角为．解析:该混合样本阴性的概率是，根据对立事件原理，阳性的概率为．方案一：逐个检验，检验次数为．方案二：由知，每组个样本检验时，若阴性则检验次数为，概率为若阳性则检验次数为，概率为．设方案二的检验次数记为，则的可能取值为，，，其分布列如下，可求得方案二的期望为．方案三：混在一起检验，设方案三的检验次数记为 ， 的可能取值为，．其分布列如下，可求得方案三的期望为．比较可得，故选择方案三最“优”．（1）．（2）选择方案三最“优”．证明见解析．19.（1）（2）解析:设椭圆方程为，其中，由已知当时，不妨设，则，∵，∴，由椭圆定义得，从而，故此时点在轴上，不妨设，从而由已知条件可得，代入椭圆方程，解得，所以，故所求椭圆方程为．方法一：设直线方程为，代入椭圆中，，即，设，，则，，∴，由题设知，直线斜率，∵直线方程为，化简得：，故直线过．方法二：设，，代入椭圆方程，得，①，②②两边同乘以，得，③①③，得，④由，得，，将，代入④化简得：，从而，，即，又，于是，，，三点共线，因此无论如何变化，直线过定点．（1）．（2）证明见解析．20.（1）1（2）解析:，当时，∵，∴，，无零点；当时，∵，∴，而，，有唯一零点；当时，∵，∴，而，有唯一零点；综上，在有两个零点．，由（）知在无极值点；在有极小值点，即为，在有极大值点即为，而，，，，可知，，同理在有极小值点，，在有极值点．由，得，，∵，∴，，而，，故有，，（1）在有两个零点．12（2）证明见解析．证明见解析．21.2（1）（2）∵在是增函数，，即．同理，，，，由在递增得，当为偶数时，不妨设，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，即，结论成立；当为奇数时，设，∵，，从开始相邻两项配对，每组和均为负值，还多出最后一项也是负值，即，结论也成立．综上，对一切，成立．解析:设点，，且点，由，得，整理得，即，化为极坐标方程为．设直线的极坐标方程为．设，，因为，所以，即，（1）．（2）．22.（1）（2）又，则，解得，所以，．解析:函数，解得或．不等式，即，由题意，时，成立．∴，∴，不等式的解集包含，即且，解得，所以实数的取值范围是．（1）或．（2）．23.。

2020年高考一模文科数学试卷一、选择题1．若集合A＝{x|x＞3}，B＝{0，2，4，6，8}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{4，6，8}2．若复数z满足z•（2+i）＝3﹣i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．3．从甲、乙、丙、丁4名员工中随机抽取2人出席公司会议，则甲被抽中的概率为（）A．B．C．D．4．在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4，则BC＝（）A．4B．2C．4D．25．若椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．6．为了得到f（x）＝2cos（3x﹣）的图象，可将g（x）＝2sin x的图象（）A．横坐标压缩为原来的，再向左平移个单位长度B．横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度C．横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度D．横坐标压缩为原来的，再向右平移个单位长度7．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．（﹣1）π+36 B．（﹣2）π+36 C．（﹣1）π+48 D．（﹣2）π+48 8．若实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝，则（）A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m9．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契发明的，定义如下：F（0）＝0，F（1）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N*）．某同学设计了一个求解斐波那契数列前n项和的程序框图，如图所示，若输出S 的值为232，则处理框和判断框中应该分别填入（）A．b＝c，i≤11？B．b＝c，i≤12？C．c＝a，i≤11？D．c＝a，i≤12？10．若函数f（x）＝有且仅有1个零点，则正实数m的取值范围为（）A．（1，2e] B．（0，e2）C．[1，2e] D．[1，e2]11．在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形，其中AD＝2AB＝2BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，若E，F分别是线段SA与线段SC 的中点，则直线BE和DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．12．若关于x的不等式•（+t）＞0有且仅有3个整数解，则实数t的取值范围为（）A．（，）B．（，]C．（，）D．（），]二、填空题13．若向量＝（2，﹣1），＝（m，3），＝（5，4），且（+2）⊥，则实数m的值为14．已知sin（﹣α）＝，则sin（+2α）＝．15．若实数x，y满足，则的取值范围为16．若点M，N在圆C1：x2+y2＝1上运动，且|MN|＝，点P（x0，y0）是圆C2：x2+y2﹣6x ﹣8y+24＝0上一点，则的取值范围为三、解答题17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，其中a3＝9，S4＝a1+39．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{a n}为递增数列，求数列{}的前n项和．18．将三棱锥E﹣AFC与B﹣AFC拼接得到如图所示的多面体，其中H，D，G，I分别为FB，AC，EC，FC的中点，EF BD．（Ⅰ）当点P在直线GI上时，证明：PH∥平面ABC；（Ⅱ）若△ACE与△ABC均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值．19．甲、乙两个商场同时出售一款西门子冰箱，其中甲商场位于老城区中心，乙商场位于高新区．为了调查购买者的年龄与购买冰箱的商场选择是否具有相关性，研究人员随机抽取了1000名购买此款冰箱的用户作调研，所得结果如表所示：（Ⅰ）判断是否有99.9%的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性（Ⅱ）由于乙商场的销售情况未达到预期标准，商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案如下：当天卖出的前60台（含60台）冰箱，每台商家返利200元，卖出60台以上，超出60台的部分，每台返利50元．现将返利活动开展后15天内商场冰箱的销售情况统计如图所示：与此同时，老张得知甲商场也在开展返利活动，其日返利额的平均值为11000元，若老张将选择返利较高的商场购买冰箱，请问老张应当去哪个商场购买冰箱附：K2＝，其中n＝a+b+c+d20．已知抛物线C1：x2＝4y，斜率为k′的直线l1与抛物线C1交于M，N两点，且线段MN 的中点坐标为（x0，2），其中x0＞0．直线l2：y＝k（x+1）与抛物线C交于E，F两点．（Ⅰ）证明：0＜k′＜；（Ⅱ）若直线l2与圆C2：x2+y2+4x+2y+4＝0交于G，H两点，证明：．21．函数f（x）＝lnx++mx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x1）﹣mx1＝f（x2）﹣mx2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若P（3，0），直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集为A，若[3，4]⊆A，求实数m的取值范围．参考答案一、选择题1．若集合A＝{x|x＞3}，B＝{0，2，4，6，8}，则（∁U A）∩B＝（）A．{0} B．{0，2} C．{0，2，4} D．{4，6，8}【分析】先求出∁U A＝{x|x≤3}，由此能求出（∁U A）∩B．解：∵集合A＝{x|x＞3}，B＝{0，2，4，6，8}，∴∁U A＝{x|x≤3}，∴（∁U A）∩B＝{0，2}．故选：B．2．若复数z满足z•（2+i）＝3﹣i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由z•（2+i）＝3﹣i，得z＝，∴|z|＝||＝．故选：C．3．从甲、乙、丙、丁4名员工中随机抽取2人出席公司会议，则甲被抽中的概率为（）A．B．C．D．【分析】所有试验结果个数为＝6个，而甲被抽中包含的实验结果有＝3个，代入概率公式即可．解：依题意，所有试验结果个数为＝6个，而甲被抽中包含的实验结果有＝3个，所以甲被抽中的概率为P＝＝，故选：C．4．在△ABC中，若AB＝8，A＝120°，其面积为4，则BC＝（）A．4B．2C．4D．2【分析】由已知利用三角形的面积公式可求AC的值，进而由余弦定理可得BC的值．解：∵AB＝8，A＝120°，其面积为4＝AB•AC•sin A＝，∴解得：AC＝2，∴由余弦定理BC2＝AB2+AC2﹣2AB•AC•cos A，可得：BC2＝64+4﹣2×＝84，∴解得BC＝2．故选：D．5．若椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），则椭圆C的离心率为（）A．B．C．D．【分析】利用已知条件列出关系式，转化求解椭圆的离心率即可．解：椭圆C：（m＞0）的一个焦点坐标为（0，），可得＝，解得m＝3，m＝﹣2（舍去），所以椭圆的离心率为：e＝＝＝．故选：A．6．为了得到f（x）＝2cos（3x﹣）的图象，可将g（x）＝2sin x的图象（）A．横坐标压缩为原来的，再向左平移个单位长度B．横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度C．横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度D．横坐标压缩为原来的，再向右平移个单位长度【分析】由题意利用函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．解：将g（x）＝2sin x＝2cos（x﹣）的图象的横坐标压缩为原来的，可得y＝2cos （3x﹣）的图象，再向左平移•（﹣）＝个单位长度，可得f（x）＝2cos（3x+﹣）＝2cos（3x﹣）的图象，故选：A．7．如图，网格纸中小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A．（﹣1）π+36 B．（﹣2）π+36 C．（﹣1）π+48 D．（﹣2）π+48 【分析】首先求出组合体的上半部分的表面积，再求出下面部分的表面积，最后求出表面积的和．解：根据几何体的三视图转换为几何体为，该几何体为由一个直三棱柱和圆锥组成的几何体的组合体．上面的圆锥设圆锥的展开面的半径为l＝＝，圆锥的底面周长为2π•1＝2π，所以，解得n＝，所以圆锥的侧面积为S＝＝，下面的三棱柱的表面积为S＝＝48﹣π．故组合体的表面积为S＝．故选：C．8．若实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝，则（）A．p＜m＜n B．p＜n＜m C．m＜p＜n D．n＜p＜m【分析】利用作商法比较大小即可．解：实数m，n，p满足m＝4e，n＝5e，p＝，＝＝•＜1，∴m＜n；＝＝•＞1，∴m＞p；∴p＜m＜n．故选：A．9．斐波那契数列0，1，1，2，3，5，8，13，…，是意大利数学家列昂纳多•斐波那契发明的，定义如下：F（0）＝0，F（1）＝1，F（n）＝F（n﹣1）+F（n﹣2）（n≥2，n∈N*）．某同学设计了一个求解斐波那契数列前n项和的程序框图，如图所示，若输出S 的值为232，则处理框和判断框中应该分别填入（）A．b＝c，i≤11？B．b＝c，i≤12？C．c＝a，i≤11？D．c＝a，i≤12？【分析】模拟程序的运行，可得在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a＝b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b＝c 从而判断空白矩形框内应为：b＝c，由于程序进行循环体前第一次计算S的值时已计算出数列的前两项，只需要循环12次就完成，可求判断框中应填入i≤12．解：依题意知，程序框图中变量S为累加变量，变量a，b，c（其中c＝a+b）为数列连续三项，在每一次循环中，计算出S的值后，变量b的值变为下一个连续三项的第一项a，即a ＝b，变量c的值为下一个连续三项的第二项b，即b＝c，所以矩形框应填入b＝c，又若输出S的值为232，因此只需要循环12次就完成，所以判断框中应填入i≤12．故选：B．10．若函数f（x）＝有且仅有1个零点，则正实数m的取值范围为（）A．（1，2e] B．（0，e2）C．[1，2e] D．[1，e2]【分析】对原函数变形可知函数与函数y＝m有且仅有一个交点，作图观察即可得到答案．解：，由题意，函数与函数y＝m有且仅有一个交点，作出函数g（x）的图象如下图所示，由图象可知，当0≤m≤2e时，函数g（x）与函数y＝m有且仅有一个交点，满足题意．故选：C．11．在四棱锥S﹣ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，△SAD为等边三角形，四边形ABCD为直角梯形，其中AD＝2AB＝2BC，∠CBA＝∠BAD＝90°，若E，F分别是线段SA与线段SC 的中点，则直线BE和DF所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【分析】先建立空间直角坐标系，标出各点坐标，再由数量积运算求出异面直线BE和DF所成角的余弦值即可得解．解：由题意建立如图所示的空间直角坐标系，设AB＝1，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），S（0，1，），E（（0，，），F（，1，），则＝（﹣1，，），＝（，﹣1，），设，的夹角为θ，则cosθ＝＝﹣，即直线BE和DF所成角的余弦值为，故选：A．12．若关于x的不等式•（+t）＞0有且仅有3个整数解，则实数t的取值范围为（）A．（，）B．（，]C．（，）D．（），]【分析】令，求导可知函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且在x＝e处取得最大值，讨论可得t＞0及t＝0时均不满足题意，则t＜0，结合函数f（x）的图象及性质，分析即可得到f（5）≤﹣t＜f（4），进而得解．解：令，则，易知x∈（0，e），f′（x）＞0；x ∈（e，+∞），f′（x）＜0，∴函数f（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，且在x＝e处取得最大值，由f（x）[f（x）+t]＞0，①当t＞0时，f（x）＞0或f（x）＜﹣t，满足条件的整数解有无数个，舍去；②当t＝0时，f（x）≠0，得x＞0或x≠1，满足条件的整数解有无数个，舍去；③当t＜0时，f（x）＜0或f（x）＞﹣t，当f（x）＜0时，无整数解，则当f（x）＞﹣t，不等式有且仅有3个整数解，又，∴f（5）≤﹣t＜f（4），即，则，∴实数t的取值范围为．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13．若向量＝（2，﹣1），＝（m，3），＝（5，4），且（+2）⊥，则实数m的值为﹣3【分析】可以求出，根据即可得出，进行数量积的运算即可．解：，，又，∴，解得m＝﹣3．故答案为：﹣3．14．已知sin（﹣α）＝，则sin（+2α）＝．【分析】利用诱导公式以及二倍角的余弦函数，求解即可．解：sin（﹣α）＝，sin（+2α）＝cos（）＝cos（）＝1﹣2sin2（﹣α）＝1﹣2×＝．故答案为：．15．若实数x，y满足，则的取值范围为【分析】画出可行域，利用目标函数的几何意义：点（x，y）与点D（﹣1，2）确定的直线的斜率，结合图象即可解答．解：由题意作平面区域如下，的几何意义是点（x，y）与点D（﹣1，2）确定的直线的斜率，易知B（，），故k DB＝＝﹣，k DA＝1，∴；故答案为：[﹣，1]．16．若点M，N在圆C1：x2+y2＝1上运动，且|MN|＝，点P（x0，y0）是圆C2：x2+y2﹣6x ﹣8y+24＝0上一点，则的取值范围为[7，13]【分析】由题意求得线段MN的中点H在圆C3：上，再由，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1，结合两点间的距离公式求解．解：∵点M，N在圆C1：x2+y2＝1上运动，且|MN|＝，∴圆心C1到线段MN中点的距离为，故线段MN的中点H在圆C3：上，而，圆C2：（x﹣3）2+（y﹣4）2＝1．故≤|PH|≤，即．故∈[7，13]．故答案为：[7，13]．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步17．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，其中a3＝9，S4＝a1+39．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）若{a n}为递增数列，求数列{}的前n项和．【分析】（Ⅰ）直接利用等比数列的性质和前n项和公式的应用求出数列的通项公式．（Ⅱ）利用（Ⅰ）的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的和．解：（Ⅰ）设公比为q的等比数列{a n}的前n项和为S n，其中a3＝9，S4＝a1+39．则：，解得或，故或a n＝81•．（Ⅱ）{a n}为递增数列，故＝，所以＝．18．将三棱锥E﹣AFC与B﹣AFC拼接得到如图所示的多面体，其中H，D，G，I分别为FB，AC，EC，FC的中点，EF BD．（Ⅰ）当点P在直线GI上时，证明：PH∥平面ABC；（Ⅱ）若△ACE与△ABC均为面积为的等边三角形，求该多面体体积的最大值．【分析】（Ⅰ）利用中位线得到线线平行，进而得线面平行，从而得到平面GIH与平面ABC平行，可得PH∥平面ABC；（Ⅱ）首先把多面体分成三棱锥F﹣ABC和F﹣EAC，利用当平面EAC与平面BAC垂直时，点F到两平面的距离同时达到最大值可得解．解：（Ⅰ）证明：∵G、I、H为中点，∴GI∥EF，HI∥BC，又∵EF∥BD，∴GI∥BD，∵BD⊂平面ABC，GI⊄平面ABC，∴GI∥平面ABC，同理HI∥平面ABC，∴平面GIH∥平面ABC，∵P∈GI，∴PH⊂平面GIH，∴PH∥平面ABC；（Ⅱ）V＝V F﹣ABC+V F﹣AEC，易知EF∥平面ABC，故V F﹣ABC＝V E﹣ABC，连接ED，当平面ACE⊥平面ACB时，∵D是AC的中点，∴在正三角形ACB、ACE中，BD⊥AC，ED⊥AC∴BD⊥平面ACE，ED⊥平面ACB，∴EF⊥平面ACE，此时，三棱锥F﹣ABC和F﹣AEC的高同时达到最大值，此时V F﹣ABC+V F﹣AEC＝由△ABC，△AEC是面积为的正三角形，EF＝BD可得，ED＝BD＝，EF＝，∴此时V＝＝．故该多面体体积的最大值为．19．甲、乙两个商场同时出售一款西门子冰箱，其中甲商场位于老城区中心，乙商场位于高新区．为了调查购买者的年龄与购买冰箱的商场选择是否具有相关性，研究人员随机抽取了1000名购买此款冰箱的用户作调研，所得结果如表所示：（Ⅰ）判断是否有99.9%的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性（Ⅱ）由于乙商场的销售情况未达到预期标准，商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案如下：当天卖出的前60台（含60台）冰箱，每台商家返利200元，卖出60台以上，超出60台的部分，每台返利50元．现将返利活动开展后15天内商场冰箱的销售情况统计如图所示：与此同时，老张得知甲商场也在开展返利活动，其日返利额的平均值为11000元，若老张将选择返利较高的商场购买冰箱，请问老张应当去哪个商场购买冰箱附：K2＝，其中n＝a+b+c+d【分析】（Ⅰ）根据题目所给的数据填写2×2列联表即可；计算K的观测值K2，对照题目中的表格可判断是否有99.9%的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性；（Ⅱ）由于乙商场的销售情况未达到预期标准，商场决定给冰箱的购买者开展返利活动具体方案可计算乙商场的日销售量为a，日返利额为X，从而计算乙商场日返利额的平均值，通过平均值可判断；若老张将选择返利较高的商场购买冰箱，可得老张应当去乙商场购买冰箱；解：（I）依题意K2＝＝≈98.9＞10.828，故有99.9%的把握认为购买者的年龄与购买冰箱的商场选择具有相关性，（Ⅱ）设乙商场的日销售量为a，日返利额为X，则当a＝58时，X＝58×200＝11600；当a＝59时，X＝59×200＝11800；当a＝60时，X＝60×200＝12000；当a＝61时，X＝60×200+1×50＝12050；当a＝62时，X＝60×200+2×50＝12100；当a＝63时，X＝60×200+3×50＝12150；所以X的所有可能取值为：11600，11800，12000，12050，12100，12150故乙商场日返利额的平均值为：（11600×2+11800×3+12000×2+12050×4+12100×2+12150×2）÷15＝11953（元）故老张应当选择去乙商场购买冰箱；20．已知抛物线C1：x2＝4y，斜率为k′的直线l1与抛物线C1交于M，N两点，且线段MN的中点坐标为（x0，2），其中x0＞0．直线l2：y＝k（x+1）与抛物线C交于E，F两点．（Ⅰ）证明：0＜k′＜；（Ⅱ）若直线l2与圆C2：x2+y2+4x+2y+4＝0交于G，H两点，证明：．【分析】（Ⅰ）利用“点差法”即可求得直线的斜率，根据点在抛物线内部，即可求得k的取值范围；（Ⅱ）根据圆的标准方程，求得|GH|，将直线方程代入抛物线方程，利用弦长公式及韦达定理即可求得|EF|，即可求证．解：（Ⅰ）证明：设M（x M，y M），N（x N，y N），则，两式相减得（x M+x N）（x M ﹣x N）＝4（y M﹣y N），显然x M≠x N，故，即，因为x0＞0，所以k′＞0，易知（x0，2）在抛物线C1内部，故，故0＜x0＜2，故0＜k′＜．（Ⅱ）证明：依题意，圆C2：（x+2）2+（y+1）2＝1，故圆心（﹣2，﹣1）到直线l2的距离d＝，所以k＜0，所以，由，消去y并整理得：x2﹣4kx﹣4k＝0，由△＞0，得k＞0，设E（x1，y1），F（x2，y2），则x1+x2＝4k，x1x2＝﹣4k，|EF|＝|x1﹣x2|＝＝4，故＝＝＞＝2，即．所以．21．函数f（x）＝lnx++mx．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）若f（x1）﹣mx1＝f（x2）﹣mx2（0＜x1＜x2），求证：x1+x2＞2．【分析】（I）函数f（x）＝lnx++mx，x∈（0，+∞）．f′（x）＝﹣+m＝．对m分类讨论，利用导数即可得出单调性．（II）f（x1）﹣mx1＝f（x2）﹣mx2（0＜x1＜x2），即lnx1+＝lnx2+，（0＜x1＜x2），令g（x）＝lnx+．（x∈（0，+∞）．利用导数研究其单调性可得：0＜x1＜1＜x2；构造函数h（x）＝g（2﹣x）﹣g（x）＝ln（2﹣x）+﹣lnx﹣，0＜x＜1．利用导数研究其单调性即可得出．解：（I）函数f（x）＝lnx++mx，x∈（0，+∞）．f′（x）＝﹣+m＝．对m分类讨论：m＝0时，f′（x）＝，可得：x∈（0，1）时，函数f（x）单调递减；x∈（1，+∞）时，函数f（x）单调递增．m≠0时，令y＝mx2+x﹣1，△＝1+4m．m≤﹣时，△≤0，f′（x）≤0，则函数f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减．m＞﹣且m≠0时，由mx2+x﹣1＝0，解得x1＝，x2＝．f′（x）＝．﹣＜m＜0时，0＜x2＜x1，∴函数f（x）在（0，x2），（x1，+∞）上单调递减；在（x2，x1）上单调递增．m＞0时，x1＜0＜x2，∴函数f（x）在（0，x2）上单调递减，在（x2，+∞）上单调递增．（II）证明：f（x1）﹣mx1＝f（x2）﹣mx2（0＜x1＜x2），即lnx1+＝lnx2+，（0＜x1＜x2），令g（x）＝lnx+．（x∈（0，+∞）．∴g′（x）＝﹣＝．可得函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．∴x＝1时，函数g（x）取得极小值即最小值，g（1）＝1．∵g（x1）＝g（x2）．∴0＜x1＜1＜x2，设h（x）＝g（2﹣x）﹣g（x）＝ln（2﹣x）+﹣lnx﹣，0＜x＜1．h′（x）＝+﹣+＝＞0．∴函数h（x）在（0，1）上单调递增，∴h（x1）＝g（2﹣x1）﹣g（x1）＜h（1）＝0．∴g（2﹣x1）＜g（x1）＝g（x2）．∵2﹣x1，x2＞1，g（x）在（1，+∞）上单调递增，∴2﹣x1＜x2．∴x1+x2＞2．请考生从第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将答题卡上所选题目对应的题号右侧方框涂黑，按所选涂题号进行评分；多涂、多答，按所涂的首题进行评分；不涂，按本选考题的首题进行评分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l 的参数方程为（t为参数）以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若P（3，0），直线l与曲线C交于M，N两点，求的值．【分析】（Ⅰ）直接把直线参数方程中的参数t消去，可得直线的普通方程，把曲线C 的参数方程中的参数θ消去，可得曲线C的普通方程，然后结合极坐标与直角坐标的互化公式可得直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）把直线l的参数方程的标准形式代入曲线C的普通方程，化为关于t的一元二次方程，再由根与系数的关系及此时t的几何意义求解．解：（Ⅰ）由（t为参数），得x﹣，∴直线l的极坐标方程为；由（θ为参数），得（x﹣2）2+y2＝4．即x2+y2﹣4x＝0，∴曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρcosθ＝0，即ρ＝4cosθ；（Ⅱ）直线l的标准参数方程为（m为参数）代入x2+y2﹣4x＝0，得．设M，N对应的参数分别为m1，m2，∴，m1m2＝﹣3．∴＝＝＝＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|．（Ⅰ）求不等式f（x）＞6的解集；（Ⅱ）设关于x的不等式f（x）≥|x﹣m|的解集为A，若[3，4]⊆A，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）将f（x）写为分段函数的形式，然后由f（x）＞6，分别解不等式可得解集；（Ⅱ）由条件可得x∈[3，4]时，不等式|x﹣m|≤|2x+1|﹣|x﹣3|＝x+4恒成立，即x∈[3，4]时，﹣4≤m≤2x+4恒成立，求出x∈[3，4]时y＝2x+4的最小值，可得m的范围．解：（Ⅰ）f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣3|＝．∵f（x）＞6，∴或或，∴x＞3或＜x≤3或x＜﹣10，∴不等式的解集为；（Ⅱ）∵不等式f（x）≥|x﹣m|的解集为A，且[3，4]⊆A，∴x∈[3，4]时，不等式|x﹣m|≤|2x+1|﹣|x﹣3|＝x+4恒成立，即x∈[3，4]时，﹣x﹣4≤x﹣m≤x+4恒成立．∴x∈[3，4]时，﹣4≤m≤2x+4恒成立，∴﹣4≤m≤（2x+4）min＝10，∴m的取值范围为[﹣4，10]．。

山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤35．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．30010．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A．0 B．C．D．﹣1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取人进行该项调查．14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 1.5 计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．20．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．【解答】解：z==，故选：A．2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出．【解答】解：复数（3+i）﹣m（2+i）=（3﹣2m）+（1﹣m）i，∵1＜m＜，∴3﹣2m＞0，1﹣m＜0，在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=50.2＞50=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，c=log5sinπ≤0，∴a＞b＞c．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．则判断框内应为：k＜3？故选：C．5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．【解答】解：设P到BC的距离为h，∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC≤S△ABC的概率为=；故选：A．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，则φ的最小正值为．故选：B．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，5==4λ2+2λμ+μ2==；∴；∴；∴2λ+μ的最大值为．故选B．9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．300【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程求出即可得出答案．【解答】解：将代入回归方程得=0.6×20+48=60．∴y1+y2+y3+y4+y5=5=300．故选D．10．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件求得a的值，再利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：∵点（a，16）在函数y=2x的图象上，∴16=2a，∴a=4，则tan=tan=﹣tan=﹣，故选：C．11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．【解答】解：由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，左视图为③，俯视图为④；故选B．12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A．0 B．C．D．﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C化成标准方程，得圆心为C（4，0）且半径r=1，根据题意可得C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之得0≤k≤，即可得到k的最大值．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，可得，化简得：3k2﹣4k≤0，解之得0≤k≤，可得k的最大值是．故选：B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上.13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，故答案为：31；14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴V1==，V2==4π．∴V1：V2=1：3．故答案为：1：3．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a2﹣6=0，即a2=6，即a=±，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，∴f（x）≥﹣6，由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则﹣6＜b＜0，故答案为：（﹣6，0）三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取最小值为．（Ⅱ），∴．在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，又c2=a2+b2﹣2abcosC，（a+b）2﹣3ab=7．∴ab=3．∴．18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元） 2 1.5 计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200 10200（百元）并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划．【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．则有．作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值．由，解得点M的坐标为（3，6）．∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元．故答案为：10200百元．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）设AB ，CD 交于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，由FA=FC 可得AC ⊥FO ，故而AC ⊥平面BDEF ；（2）根据菱形的性质计算OA ，BD ，DE ，∠BDE ，得出S △BDE ，则V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =•OA ．【解答】（1）证明：设AB ∩CD=O ，连接DF ，OF ，∵四边形ABCD 为菱形，∴AC ⊥BD ，∵AF=CF ，O 为AC 的中点，∴AC ⊥OF ，又∵BD ⊂平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，BD ∩OF=O ，∴AC ⊥平面BDEF ．（2）解：四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=．∴S △BDE ==， 由（1）得AC ⊥平面BDEF ，所以AO ⊥平面BDEF ，∴V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =•OA==1．20．椭圆C 1： +y 2=1，椭圆C 2： +=1（a ＞b ＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l 与椭圆C 2相交于A 、B 两点，线段AB 的中点H 的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C 2的方程；（2）设P 为椭圆C 2上一点，点M 、N 在椭圆C 1上，且=+2，则直线OM 与直线ON 的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）求出椭圆C 2的c ，设出A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a ，b 的方程，解方程解得a ，b ，即可得到所求椭圆方程；（2）设P （x 0，y 0），M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x 1x 2+2y 1y 2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．【解答】解：（1）椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），则c=，即有a2﹣b2=5，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，两式相减的， +=0，由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，则有k AB===1，②由①②解得，a=，b=．则椭圆C2的方程为=1；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，由=+2，可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），∴，∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）=10+4（x1x2+2y1y2）=10．∴x1x2+2y1y2=0，∴=﹣，即k OM•k ON=﹣，∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），，∴切线的斜率k=f′（1）=2，∴切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x…（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），…令g（x）=2x2+x﹣a（x＞0）（1）当△=1+8a≤0，即时，g（x）≥0，∴∀x∈（0，+∞），f′（x）≥0，∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；（2）当△=1+8a＞0，即时，此时g（x）=0有两个根：，①若时，f′（x）≥0，∀x∈（0，+∞）②若⇒a＞0时，当；当综上可知：（1）当时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；（2）当时，f（x）的减区间是，增区间是…请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△PAB∽△PDA，可得=，同理可得=，问题得以证明，（2）根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得=，问题得以解决．【解答】证明：（1）∵PA是⊙O的切线，由弦切角定理得∠PAB=∠ADB，∵∠APB为△PAB与△PAD的公共角，∴△PAB∽△PDA，∴=，同理=，又PA=PC，∴，∴AD•BC=AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=π，∴S△ABC=AB•BC•sin∠ABC，S△ADC=AD•DC•sin∠ADC，∴====[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得⊙O及直线l的极坐标方程．（2）设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则由题意可得，化简可得动点M的轨迹方程．【解答】解：（1）∵⊙O的方程x2+y2=4，故它的极坐标方程为ρ2=4，即ρ=2；∵直线l：x=4，故它的极坐标方程为ρcosθ=4．（2）由于AB中点为M，设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则，∴动点M的轨迹方程为ρ=1+．[选修4-5：不等式选讲]24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值不等式的性质进行转化证明．【解答】解：（1）由|x﹣|≤得﹣≤x﹣≤，即≤x≤，∵不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}∴n=，m=，（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）﹣（2a﹣b）|≤2|a+b|+|2a﹣b|，∵|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，∴|a+b|＜，|2a﹣b|＜，则3|b|≤2|a+b|+|2a﹣b|＜2×+=，即|b|＜．。

2020年山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试卷一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤35．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．30010．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A．0 B．C．D．﹣1二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取人进行该项调查．14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是．三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．20．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．[选修4-5：不等式选讲]24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．2020年山西省古县、高阳、离石三区八校联考高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共12个小题，每小题5分，共60分．1．已知复数z满足z=（i为虚数单位），则z=（）A．B． C．1﹣i D．1+i【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接利用分子分母同时乘以分母的共轭复数得答案．【解答】解：z==，故选：A．2．当1＜m＜时，复数（3+i）﹣m（2+i）在复平面内对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【考点】复数的代数表示法及其几何意义．【分析】利用复数的运算法则、几何意义、不等式的性质即可得出．【解答】解：复数（3+i）﹣m（2+i）=（3﹣2m）+（1﹣m）i，∵1＜m＜，∴3﹣2m＞0，1﹣m＜0，在复平面内对应的点位于第四象限，故选：D．3．若a=50.2，b=logπ3，c=log5sinπ，则（）A．b＞c＞a B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．c＞a＞b【考点】对数值大小的比较．【分析】分别利用指数式与对数函数的运算性质比较三个数与0和1的大小得答案．【解答】解：∵a=50.2＞50=1，0＜b=logπ3＜logππ=1，c=log5sinπ≤0，∴a＞b＞c．故选：C．4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为8，则判断条件是（）A．k＜2 B．k＜4 C．k＜3 D．k≤3【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，由题意当s=8，k=3时，由题意应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8，即可得解．【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，s=1应满足条件，执行循环体，s=1，k=1应满足条件，执行循环体，s=2，k=2应满足条件，执行循环体，s=8，k=3此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出s的值为8．则判断框内应为：k＜3？故选：C．5．点P为△ABC边AB上任一点，则使S△PBC≤S△ABC的概率是（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】首先分析题目求在面积为S的△ABC的边AB上任取一点P，使S△PBC≤S△ABC得到三角形高的关系，利用几何概型求概率．【解答】解：设P到BC的距离为h，∵三角形ABC的面积为S，设BC边上的高为d，因为两个三角形有共同的边BC，所以满足S△PBC≤S△ABC时，h≤d，所以使S△PBC ≤S△ABC的概率为=；故选：A．6．函数f（x）=sin（2x+）的图象向左平移φ（φ＞0）个单位后关于原点对称，则φ的最小值为（）A． B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用三角函数的图象平移得到平移后图象的函数解析式，由图象关于原点对称列式求得φ的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（2x+），∴图象向左平移φ（φ＞0）个单位长度得到y=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+），∵所得的图象关于原点对称，∴2φ+=kπ（k∈Z），φ＞0，则φ的最小正值为．故选：B．7．已知F1，F2分别为双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左右两支分别交于A，B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，则双曲线的离心率为（）A． B． C．2 D．【考点】双曲线的简单性质．【分析】设|AF1|=t，|AB|=4x，根据双曲线的定义算出t=2x，x=a，Rt△ABF2中算出cos ∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，在△F2AF1中，利用余弦定理与双曲线的离心率公式加以计算，可得答案．【解答】解：设|AF1|=t，|AB|=4x，则|BF2|=3x，|AF2|=5x，根据双曲线的定义，得|AF2|﹣|AF1|=|BF1|﹣|BF2|=2a，即5x﹣t=（4x+t）﹣3x=2a，解得t=2x，x=a，即|AF1|=a，|AF2|=a，∵|AB|：|BF2|：|AF2|=4：3：5，得△ABF2是以B为直角的Rt△，∴cos∠BAF2==，可得cos∠F2AF1=﹣，△F2AF1中，|F1F2|2=|AF1|2+|AF2|2﹣2|AF1|•|AF2|cos∠F2AF1=a2+a2﹣2×a×a×（﹣）=20a2，可得|F1F2|=2a，即c=a，因此，该双曲线的离心率e==．故选：D．8．在平行四边形ABCD中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面ABCD内有一点P，满足AP=，若=λ+μ（λ，μ∈R），则2λ+μ的最大值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量的基本定理及其意义．【分析】可作出图形，根据题意可知λ，μ＞0，根据条件对两边平方，进行数量积的运算便可得到5=4λ2+2λμ+μ2=（2λ+μ）2﹣2λμ，由基本不等式即可得出2λ+μ的范围，从而便可得出2λ+μ的最大值．【解答】解：如图，依题意知，λ＞0，μ＞0；根据条件，5==4λ2+2λμ+μ2==；∴；∴；∴2λ+μ的最大值为．故选B．9．为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5）．根据收集到的数据可知=20，由最小二乘法求得回归直线方程为=0.6x+48，则y1+y2+y3+y4+y5=（）A．60 B．120 C．150 D．300【考点】线性回归方程．【分析】根据回归方程求出即可得出答案．【解答】解：将代入回归方程得=0.6×20+48=60．∴y1+y2+y3+y4+y5=5=300．故选D．10．若点（a，16）在函数y=2x的图象上，则tan的值为（）A．B．C．﹣D．﹣【考点】运用诱导公式化简求值．【分析】由条件求得a的值，再利用诱导公式化简所给式子的值，可得结果．【解答】解：∵点（a，16）在函数y=2x的图象上，∴16=2a，∴a=4，则tan=tan=﹣tan=﹣，故选：C．11．点M、N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱A1B1、A1D1中点，用过A、M、N和D、N、C1的两个截面截去正方体的两个角后得到的几何体如图1，则该几何体的正视图、侧视图（左视图）、俯视图依次为图2中的（）A．①、②、③ B．②、③、④ C．①、③、④ D．②、④、③【考点】简单空间图形的三视图．【分析】直接利用三视图的定义，正视图是光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图，据此可以判断出其正视图．左视图是光线从几何体的左侧向右侧正投影得到的投影图，据此可以判断出其左视图．类似判断俯视图即可．【解答】解：由正视图的定义可知：点A、B、B1在后面的投影点分别是点D、C、C1，线段AN在后面的投影面上的投影是以D为端点且与线段CC1平行且相等的线段，即正视图为正方形，另外线段AM在后面的投影线要画成实线，被遮挡的线段DC1要画成虚线，正视图为②，左视图为③，俯视图为④；故选B．12．圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0．若直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是（）A．0 B．C．D．﹣1【考点】直线与圆的位置关系．【分析】圆C化成标准方程，得圆心为C（4，0）且半径r=1，根据题意可得C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，利用点到直线的距离公式建立关于k的不等式，解之得0≤k≤，即可得到k的最大值．【解答】解：∵圆C的方程为x2+y2﹣8x+15=0，∴整理得：（x﹣4）2+y2=1，可得圆心为C（4，0），半径r=1．又∵直线y=kx﹣2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，∴点C到直线y=kx﹣2的距离小于或等于2，可得，化简得：3k2﹣4k≤0，解之得0≤k≤，可得k的最大值是．故选：B二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 13．某学校小学部有270人，初中部有360人，高中部有300人，为了调查学生身体发育状况的某项指标，若从初中部抽取了12人，则从该校应一共抽取31人进行该项调查．【考点】分层抽样方法．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论．【解答】解：解：由分层抽样的定义得该校共抽取：=31，故答案为：31；14．甲几何体（上）与乙几何体（下）的组合体的三视图如图所示，甲、乙几何体的体积分别为V1、V2，则V1：V2等于1：3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．利用体积计算公式即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是由上下两部分组成的，上面是一个球，下面是一个圆锥．∴V1==，V2==4π．∴V1：V2=1：3．故答案为：1：3．15．已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线方程为x2﹣y2=1，可得焦距F1F2=2，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．再结合双曲线的定义，得到|PF1|﹣|PF2|=±2，最后联解、配方，可得（|PF1|+|PF2|）2=12，从而得到|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：16．若函数f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则实数b的取值范围是（﹣6，0）．【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】根据函数f（x）是偶函数，结合函数与x轴交点个数得到f（0）=0，根据函数与方程之间的关系转化为两个函数的交点问题进行求解即可．【解答】解：∵函数f（x）是偶函数，∴f（x）=x2+2a|x|+a2﹣6的图象与x轴有三个不同的交点，则必有f（0）=0，即a2﹣6=0，即a2=6，即a=±，当a=时，f（x）=x2+2|x|，此时函数f（x）只有1个零点，不满足条件．当a=﹣时，f（x）=x2﹣2|x|，此时函数f（x）有3个零点，满足条件，此时f（x）=x2﹣2|x|=（|x|﹣）2﹣6，∴f（x）≥﹣6，由g（x）=f（x）﹣b=0得b=f（x），作出函数f（x）的图象如图：要使函数g（x）=f（x）﹣b有4个零点，则﹣6＜b＜0，故答案为：（﹣6，0）三.解答题：共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数f（x）=cosx（cosx+sinx）．（Ⅰ）求f（x）的最小值；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，若f（C）=1且c=，a+b=4，求S△ABC．【考点】余弦定理；三角函数中的恒等变换应用；正弦定理．【分析】（I）利用倍角公式、和差公式、正弦函数的单调性值域即可得出．（II）利用三角函数求值、余弦定理、三角形面积计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）==．当时，f（x）取最小值为．（Ⅱ），∴．在△ABC中，∵C∈（0，π），，∴，又c2=a2+b2﹣2abcosC，（a+b）2﹣3ab=7．∴ab=3．∴．18．某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载新产品A、B若干件，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如表：每件产品A 每件产品B研制成本、搭载费用之和（百万元）2 1.5计划最大资金额15（百万元）产品重量（千克） 1 1.5 最大搭载重量12（千克）预计收益（百元）1000 1200 10200（百元）并且B产品的数量不超过A产品数量的2倍．如何安排这两种产品的件数进行搭载，才能使总预计收益达到最大，最大收益是多少？【考点】简单线性规划．【分析】设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．由图表列出关于x，y的不等式组，画出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，则预计收益z=1000x+1200y．则有．作出可行域如图：作直线l：1000x+1200y=0，即直线x+1.2y=0．把直线l向右上方平移到l1的位置，直线l1经过可行域上的点B，此时z=1000x+1200y取得最大值．由，解得点M的坐标为（3，6）．∴当x=3，y=6时，z max=3×1000+6×1200=10200（百元）．答：搭载A产品3件，B产品6件，才能使总预计收益达到最大，最大预计收益为10200百元．故答案为：10200百元．19．如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2，且FA=FC．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求三棱锥E﹣ABD的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定． 【分析】（1）设AB ，CD 交于点O ，根据菱形的性质可得AC ⊥BD ，由FA=FC 可得AC ⊥FO ，故而AC ⊥平面BDEF ；（2）根据菱形的性质计算OA ，BD ，DE ，∠BDE ，得出S △BDE ，则V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =•OA ．【解答】（1）证明：设AB ∩CD=O ，连接DF ，OF ， ∵四边形ABCD 为菱形， ∴AC ⊥BD ，∵AF=CF ，O 为AC 的中点， ∴AC ⊥OF ，又∵BD ⊂平面BDEF ，OF ⊂平面BDEF ，BD ∩OF=O ， ∴AC ⊥平面BDEF ．（2）解：四边形ABCD 与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，AB=2， ∴DE=BD=2，∠BDE=120°，OA=． ∴S △BDE ==，由（1）得AC ⊥平面BDEF ， 所以AO ⊥平面BDEF ， ∴V E ﹣ABD =V A ﹣BDE =•OA==1．20．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．（1）求椭圆C2的方程；（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．【分析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．【解答】解：（1）椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），则c=，即有a2﹣b2=5，①设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1，=1，两式相减的， +=0，由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，则有k AB===1，②由①②解得，a=，b=．则椭圆C2的方程为=1；（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），则x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，由=+2，可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），∴，∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）=10+4（x1x2+2y1y2）=10．∴x1x2+2y1y2=0，∴=﹣，即k OM•k ON=﹣，∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．21．已知函数f（x）=x2﹣alnx+x（a∈R）（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的单调性．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）求导函数，可得切线的斜率，求出切点坐标，利用点斜式可得切线方程；（Ⅱ）确定函数的定义域，求导函数，分类讨论，利用导数的正负，可讨论函数y=f（x）的单调性．【解答】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=x2﹣lnx+x，f（1）=2，此时点A（1，2），，∴切线的斜率k=f′（1）=2，∴切线方程为：y﹣2=2（x﹣1），即y=2x…（Ⅱ）由题意知：f（x）的定义域为（0，+∞），…令g（x）=2x2+x﹣a（x＞0）（1）当△=1+8a≤0，即时，g（x）≥0，∴∀x∈（0，+∞），f′（x）≥0，∴f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；（2）当△=1+8a＞0，即时，此时g（x）=0有两个根：，①若时，f′（x）≥0，∀x∈（0，+∞）②若⇒a＞0时，当；当综上可知：（1）当时时，f（x）为（0，+∞）的单调递增函数；（2）当时，f（x）的减区间是，增区间是…请从下面所给的22、23、24三题中选定一题作答，并用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号方框涂黑，按所涂题号进行评分；不涂、多涂均按所答第一题评分；多答按所答第一题评分．[选修4-1：几何证明选讲]22．如图，PA、PC切⊙O于A、C，PBD为⊙O的割线．（1）求证：AD•BC=AB•DC；（2）已知PB=2，PA=3，求△ABC与△ACD的面积之比．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】（1）证明△PAB∽△PDA，可得=，同理可得=，问题得以证明，（2）根据圆内接四边形的性质和三角形的面积公式可得=，问题得以解决．【解答】证明：（1）∵PA是⊙O的切线，由弦切角定理得∠PAB=∠ADB，∵∠APB为△PAB与△PAD的公共角，∴△PAB∽△PDA，∴=，同理=，又PA=PC，∴，∴AD•BC=AB•DC；（2）由圆的内接四边形的性质得∠ABC+∠ADC=π，∴S△ABC=AB•BC•sin∠ABC，S△ADC=AD•DC•sin∠ADC，∴====[选修4-4：坐标系与参数方程]23．在直角坐标系xOy中，已知⊙O的方程x2+y2=4，直线l：x=4，在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，过极点作射线交⊙O于A，交直线l于B．（1）写出⊙O及直线l的极坐标方程；（2）设AB中点为M，求动点M的轨迹方程．【考点】简单曲线的极坐标方程．【分析】（1）根据极坐标方程与普通方程之间的转化公式，求得⊙O及直线l的极坐标方程．（2）设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则由题意可得，化简可得动点M的轨迹方程．【解答】解：（1）∵⊙O的方程x2+y2=4，故它的极坐标方程为ρ2=4，即ρ=2；∵直线l：x=4，故它的极坐标方程为ρcosθ=4．（2）由于AB中点为M，设动点M（ρ，θ），A（ρ1，θ）、B（ρ2，θ），则，∴动点M的轨迹方程为ρ=1+．[选修4-5：不等式选讲]24．不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}（1）求实数m，n；（2）若实数a，b满足：|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，求证：|b|＜．【考点】综合法与分析法(选修）．【分析】（1）根据绝对值不等式的解法进行求解即可．（2）根据绝对值不等式的性质进行转化证明．【解答】解：（1）由|x﹣|≤得﹣≤x﹣≤，即≤x≤，∵不等式|x﹣|≤的解集为{x|n≤x≤m}∴n=，m=，（2）证明：3|b|=|3b|=|2（a+b）﹣（2a﹣b）|≤2|a+b|+|2a﹣b|，∵|a+b|＜m，|2a﹣b|＜n，∴|a+b|＜，|2a﹣b|＜，则3|b|≤2|a+b|+|2a﹣b|＜2×+=，即|b|＜．2020年8月1日。

2020年高考模拟高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．[1，3）D．（3，+∞）2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣23．函数y＝tan（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，1）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于点（，0）对称4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为（）A．B．C．D．5．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则在上的投影为（）A．1B．C．2D．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）与双曲线﹣＝1的焦点相同，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．8．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．2B．C．2D．139．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．11B．18C．22D．2610．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，则输出的x 为（）A．0.90.8B．0.80.9C．0.90.9D．0.80.811．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，2]C．[1，2）D．（0，2）12．已知动点M到点F（1，0）的距离与到y轴距离之和为3，动点N在直线2x﹣y+4＝0上，则两点距离|MN|的最小值是（）A．B．C．D．二、填空题13．cos75°﹣cos15°的值是．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g（x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于．15．已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，（2a+b）cos C+c cos B ＝0．则△ABC面积的最大值是．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在公差大于1的等差数列{a n}中，a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝，其中n＝a+b+c+d．20．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0）、P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ ＝﹣．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l：+＝1点B（﹣1，0）关于直线l的对称点是D，求证：过点P，D的直线恒过定点．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x恒成立，求实数a的取值范围．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1，C2的普通方程；（2）设点A在曲线C1上，且对应的t＝2，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确．1．已知集合A＝{x|log3x＜1}，B＝{x|x≥1}，则A∩B＝（）A．{1，2}B．{1，2，3}C．[1，3）D．（3，+∞）解：∵A＝{x|0＜x＜3}，B＝{x|x≥1}，∴A∩B＝[1，3）．故选：C．2．已知i为虚数单位，，则复数z的虚部为（）A．﹣2i B．2i C．2D．﹣2解：＝＝＝2﹣2i，则复数z的虚部为﹣2，故选：D．3．函数y＝tan（2x+）的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，1）对称C．关于直线x＝﹣对称D．关于点（，0）对称解：函数y＝tan（2x+）中，令2x+＝，k∈Z；解得x＝﹣，k∈Z；令k＝1，得x＝，所以y＝tan（2x+）的图象关于原点（，0）对称，D正确．故选：D．4．根据党中央关于“精准”脱贫的要求，某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为（）A．B．C．D．解：某市农业经济部门派三位专家对A、B、C三个县区进行调研，每个县区派一位专家，故调研的情况的基本事件总数为ABC，ACB，BAC，BCA，CAB，CBA，六种情况，甲专家恰好派遣至A县区的情况为ABC，ACB，两种情况，则甲专家恰好派遣至A县区的概率为：＝，故选：B．5．已知向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，则在上的投影为（）A．1B．C．2D．解：向量，满足||＝1，||＝2，|+|＝，∴12+22+2＝7，可得：＝1，则在上的投影＝＝1．故选：A．6．已知椭圆+＝1（a＞b＞0）与双曲线﹣＝1的焦点相同，则椭圆的离心率为（）A．B．C．D．解：椭圆+＝1（a＞b＞0）的半焦距c1＝，双曲线﹣＝1的半焦距c2＝，由题意可得，即a2＝2b2，∴椭圆的离心率为e＝＝．故选：A．7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，则该几何体的体积为（）A．B．C．D．解：根据三视图知，该几何体是如图所示的三棱锥C1﹣ABD，结合图中数据，计算该三棱锥的体积为：V＝Sh＝××4×2×2＝．故选：B．8．已知x，y满足约束条件，则目标函数z＝x2+y2的最大值为（）A．2B．C．2D．13解：由已知得到可行域如图：目标函数z＝x2+y2的几何意义是区域内的点到原点的距离的平方，由图得知，A是距离原点最远的点，由得到A（3，2），所以目标函数z＝x2+y2的最大值为32+22＝13；故选：D．9．《周易》历来被人们视作儒家群经之首，它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴素的认识，是中华人文文化的基础，它反映出中国古代的二进制计数的思想方法．我们用近代术语解释为：把阳爻“”当作数字“1”，把阴爻“”当作数字“0”，则八卦所代表的数表示如下：卦名符号表示的二进制数表示的十进制数坤0000震0011坎0102兑0113依此类推，则六十四卦中的“井”卦，符号“”表示的十进制数是（）A．11B．18C．22D．26解：六十四卦中符号“”表示二进制数的010110，转化为十进制数的计算为0×20+1×21+1×22+0×23+1×24+0×25＝22．故选：C．10．执行如图所示的程序框图，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，则输出的x 为（）A．0.90.8B．0.80.9C．0.90.9D．0.80.8解：由题意可知a、b、c中最大的数用x表示后输出，若输入的a，b，c依次为0.90.8，0.80.9，0.90.9，利用指数函数的性质可得0.90.8＞0.90.9，0.80.9＜0.90.9，故最大的数x为0.90.8，故选：A．11．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，则a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．[1，2]C．[1，2）D．（0，2）解：函数g（x）＝f（x）﹣ax恰有2个零点，即函数y＝f（x）与g（x）＝ax的图象有2个交点，可知直线g（x）＝ax过原点，函数y＝2ln（2x+1）的导数是，可知函数y＝2ln（x+1）在原点处的切线斜率为k1＝2，函数y＝e x﹣1的导数是y′＝e x，可知函数y＝e x﹣1在原点处的切线斜率为k2＝1，由图象可知，直线g（x）＝ax的斜率a∈[1，2）时有2个零点．故选：C．12．已知动点M到点F（1，0）的距离与到y轴距离之和为3，动点N在直线2x﹣y+4＝0上，则两点距离|MN|的最小值是（）A．B．C．D．解：设动点M（x，y），当x≥0时，M到y轴距离与到直线x＝3的距离之和为3，由抛物线定义得：动点M（x，y）满足：y2＝﹣4（x﹣2），（x≥0），同理，当x＜0时，M到y轴与到直线x＝﹣3的距离之和为3，由抛物线定理得：动点M（x，y）满足：y2＝8（x+1），（x＜0），当M到直线2x﹣y+4＝0距离最小时，x＜0，M（x0，y0）到2x﹣y+4＝0的距离：d＝＝，当y0＝2时，d取最小值．故选：B．二、填空题：本题共4小题，毎题5分，共计20分．请把正确答案填写在答题纸相应的位置上．13．cos75°﹣cos15°的值是．解：原式＝sin15°﹣cos15°＝sin（450﹣300）﹣cos（450﹣300）＝，故答案为：﹣．14．已知定义在R上的函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），且f（x）的图象与g（x）＝lg的图象有四个交点，则这四个交点的横纵坐标之和等于8．解：，故g（4﹣x）＝﹣g（x），即y＝g（x）的图象关于点（2，0）对称，又函数f（x）满足f（1+x）＝﹣f（3﹣x），则函数y＝f（x）的图象关于点（2，0）对称，所以四个交点的横纵坐标之和为8．故答案为：8．15．已知球的直径SC＝2，A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S﹣ABC的体积为．解：设圆心为O，连结AO，BO，由SC是球的直径，得到∠SBC＝90°，∵∠ASC＝∠BSC＝45°，∴BS＝BC，AO⊥SC，BO⊥SC，∴SC⊥平面ABO，∴棱锥S﹣ABC的体积为：+＝＝＝．故答案为：．16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，（2a+b）cos C+c cos B ＝0．则△ABC面积的最大值是．解：因为（2a+b）cos C+c cos B＝0，由正弦定理可得，2sin A cos C+sin B cos C+sin C cos B＝0，即2sin A cos C+sin（B+C）＝0，所以2sin A cos C+sin A＝0，因为sin A≠0，所以cos C＝﹣，C＝，由余弦定理可得，c2＝a2+b2﹣2ab cos C，所以16＝a2+b2+ab≥3ab，当且仅当a＝b时取等号，所以ab，所以S＝＝即面积的最大值．三、解答题：本题共5小题，共计70分．17．在公差大于1的等差数列{a n}中，a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）令b n＝，求数列{b n}的前n项和S n．解：（1）设数列{a n}的公差为d（d＞0），∵a4＝13，且a3，a6+1，a13成等比数列，∴（13+2d+1）2＝（13﹣d）（13+9d），解得：d＝3，则a1＝4，∴a n＝4+3（n﹣1）＝3n+1；（2）b n＝＝，∴＝．18．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AD＝2，AB＝3，点E为线段PD的中点．（1）求证：AE⊥PC；（2）求三棱锥P﹣ACE的体积．解：（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，又在矩形ABCD中，CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，∵AE⊂平面PAD，∴CD⊥AE，又∵PA＝AD，E为PD中点，∴AE⊥PD，∴AE⊥平面PCD，∴AE⊥PC；（2）∵点E为线段PD的中点．∴V P﹣ACE＝V E﹣PAC＝V P﹣ACD＝××2×2×3＝1．19．为了丰富学生的课外文化生活，某中学积极探索开展课外文体活动的新途径及新形式，取得了良好的效果．为了调查学生的学习积极性与参加文体活动是否有关，学校对200名学生做了问卷调查，列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高80学习积极性不高60合计200已知在全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为．（1）请将上面的列联表补充完整；（2）是否有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关？请说明你的理由；（3）若从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，再从所选出的5人中随机选取2人，求至少有1人学习积极性不高的概率．附：P（K2≥0.150.100.050.0250.0100.0050.001k0）k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828 K2＝，其中n＝a+b+c+d．解：根据题意，全部200人中随机抽取1人，抽到学习积极性不高的学生的概率为，则学习积极性不高的有200×＝80人，据此可得：列联表如下：参加文体活动不参加文体活动合计学习积极性高8040120学习积极性不高206080合计100100200（2）根据题意，由列联表可得：K2＝≈33.33＞10.828；故有99.9%的把握认为学习积极性高与参加文体活动有关；（3）根据题意，从不参加文体活动的同学中按照分层抽样的方法选取5人，有2人学习积极性高，设为A、B，有3人学习积极性不高，设为C、D、E，从中选取2人，有AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共10种情况，其中至少有1人学习积极性不高的有AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE，共9种情况，至少有1人学习积极性不高的概率P ＝．20．已知椭圆C ：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0）、P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ ＝﹣．（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线l：+＝1点B（﹣1，0）关于直线l的对称点是D，求证：过点P，D的直线恒过定点．解：（1）椭圆C：+＝1（a＞b＞0），点A（2，0），a＝2，P（x0，y0）、Q（﹣x0，﹣y0）（y0≠0）在椭圆上，直线AP与直线AQ的斜率之积k AP•k AQ＝﹣，得，由，联立得b2＝3，所以椭圆的标准方程为：；（2）证明：由（1）直线l为，设D的坐标为（m，n），则，解得，故＝，取点F（1，0），显然k PF＝k PD，所以D，P，F三点共线，即直线PD恒过定点（1，0）．21．已知函数f（x）＝e x﹣ax﹣1．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）函数的定义域为R，f'（x）＝e x﹣a，若a≤0，则f'（x）＞0，所以f（x）在R上单调递增；若a＞0，令f'（x）＝e x﹣a＝0，则x＝lna，当x∈（﹣∞，lna）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（lna，+∞）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；综上所述，（2）当x＞0时，f（x）≥x2﹣x，即，令，则，令g（x）＝e x﹣x﹣1（x＞0），则g'（x）＝e x﹣1＞0，当x＞0时，g（x）单调递增，g（x）＞g（0）＝0，所以当0＜x＜1时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x＞1时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，故h（x）min＝h（1）＝e﹣1，所以a的取值范围是（﹣∞，e﹣1]．请考生在第22、23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．解答时请写清题号．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．（1）求C1，C2的普通方程；（2）设点A在曲线C1上，且对应的t＝2，点B是曲线C2上的点，求AOB面积的最大值．（1）曲线C1的方程为（t为参数）．转换为直角坐标方程为x﹣．解：曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sinθ．转换为直角坐标方程为x2+y2﹣2y＝0．（2）点A在曲线C1上，且对应的t＝2，所以A（1，），则转换为极坐标为A（2，），设B（ρ，θ），则ρ＝2sinθ，则＝＝，当时，．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣a|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞2的解集；（2）若不等式f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|2x﹣1|+|x﹣1|，由f（x）＞2，可得或或，即为x＞或x∈∅或x＜0，则原不等式的解集为{x|x＞或x＜0}；（2）函数f（x）的解析式可得当x∈[1，2]时，f（x）＜2x⇔2x﹣1+|x﹣a|＜2x⇔|x﹣a|＜1；f（x）＜2x在x∈[1，2]上恒成立，可得﹣1＜x﹣a＜1，即a﹣1＜x＜1+a在x∈[1，2]恒成立，由x∈[1，2]，可得a﹣1＜1且a+1＞2，可得1＜a＜2．。