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第9章 真空中的静电场9.1 两个电量都是q +的点电荷分别固定在真空中两点A B 、，相距2a 。
在它们连线的中垂线上放一个电量为q '的点电荷，q '到A B 、连线中点的距离为r 。
求q '所受的静电力，并讨论q '在A B 、连线的中垂线上哪一点受力最大？若q '在A B 、的中垂线上某一位置由静止释放，它将如何运动？分别就q '与q 同号和异号两种情况进行讨论。
解：()1222014qq F F a r πε'==+ ()1322022cos 2qq rF F arθπε'==+方向沿两点电荷连线垂直线远离它们方向。
令0dFdr= ()()()1222223220202a r a r dF qq dr a r πε⎡⎤+-'⎢⎥==⎢⎥+⎢⎥⎣⎦()2220a r -=r = 在q '为正电荷时，在中垂线某位置由静止释放时，q '将沿中垂线远离，作变加速速直线运动；若q '为负电荷，q '以AB 连线的中点为平衡位置作振动；若释放点为AB 连线中点，静止释放时，无论q '为正、负电荷均因受力为0而不运动。
9.2 在正方形的顶点上各放一个点电荷q 。
（1）证明放在正方形中心的任意点电荷受力为零。
（2）若在正方形中心放一个点电荷q '，使得顶点上每个点电荷受到的合力恰好为零，求q'与q的关系。
解：⑴设正方形边长为a，正方形上各点电荷对中心放置的点电荷的作用力大小均为：220011422qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭q'所受到的四个力大小相等且对称，两相对顶点上的点电荷为一对平衡力，即q'受力为0。
⑵设正方形四个顶点上放置的点电荷q为正电荷，由于对称性，则可选一个顶点处理，其它点电荷对其的作用力大小为：1214qqFaπε=22142qqFaπε=32200112442qq qqFaaπεπε''==⎛⎫⎪⎝⎭各力的方向如图所示，要满足题意，中心点电荷q'应为负电荷。
[答]：首先应该说只有一个条件，即两个电荷必须相对静止，或者是可以应用到静止电荷对于运动电荷的作用的情况，而不能应用到运动电荷对于静止电荷或者是对于运动电荷的情况。
然后就是在真空中是成立的。
在导体或介质中，则必须另外考虑由于导体或介质在电场的影响下，产生了感应电荷或者极化电荷，从而电场必须和新产生的电场叠加起来考虑，这时，仍然可以应用库仑定律，不过这时我们可以处理的问题是有限制的，即介质必须是均匀地充满整个空间。
再就是我们首先考虑的是点电荷，对于带电体，则必须在点电荷的作用的基础上，进行积分才能得到最终的相互作用力。
第九章静电场作者：侯宪策第一节电荷及库仑定律第二节电场强度专题：电通量和高斯定理第三节电势能和电势第四节电势差第五节电势差与电场强度的关系专题：电荷的电场与电势第六节静电现象的应用第七节电容器的电容第八节带电粒子在电场中的运动专题：带电粒子在复合场中的运动专题：粒子在交变电场中的运动第一节电荷及库仑定律摩擦起电：当两种不同材料的物体相互摩擦时，一些束缚得不紧的电子往往从一个物体转移到另一个物体，于是原来是中性的物体由于得到电子而____________，失去电子的物体____________.这就是______________.接触起电：导体接触带电物体时，电荷会转移到这个导体上，使导体带电，这叫做接触起电.接触起电时电荷的分配非常复杂，但两个完全相同的导体相互接触时将_______电荷.感应起电：利用静电感应使金属导体带点的过程叫做感应起电电荷守恒定律：大量事实表明，电荷既不会________，也不会_________，它只能______________________ __，或者_______________________________，在转移的过程中，电荷的总量______________.元电荷：最小的电荷量叫做元电荷，元电荷的带电量e=______________C.由美国科学家________利用___________________测得.1C有______________个元电荷，将____________叫做比荷.库仑定律内容：F =___________，其中:k =_________.量纲是_______.作用力的方向在它们的连线上，方向由同种电荷_______，异种电荷_______来判断.两带电体间的库仑力是一对__________________．适用条件：真空中的点电荷或者可等效为点电荷的带电体.点电荷：只考虑_________而可以忽略_______________________________的电荷.基本规律:若电量不变，当两电荷间的距离变为原来的n倍时，其库仑力变为原来的______倍；当库仑力变为原来的n倍时，其距离变为原来的______倍.课堂习题1:如图所示，两同种电荷的电量大小关系为Q A=2Q B，连线上某处C点到两点的距离关系为r AC=2r BC，则在C处放一电荷所受的电场力F AC____F BC(＜、＝、＞)2:如图所示，半径相同的两个金属球A、B带有相等的电荷量，相隔一定距离，两球之间相互吸引力的大小是F．今让第三个半径相同的不带电的金属小球先后与A、B两球接触后移开．这时，A、B两球之间的相互作用力的大小是( )A．F8B．F4C．3F8D．3F43:如图所示，两带同种电荷的小球悬挂着，当Q A增大时，AB间绳的拉力将变_______，OA间绳的拉力将_________，当Q B增大时，AB间绳的拉力将变______，OA间绳的拉力将____，4: 两点电荷的电量分别为q1=9×10-6c，q2=1×10-6，相距2米，则当q3受力为零时，所在的位置与q1相距___米.与q2相距____米.与q3的大小及正负______(有、无)关.变形：两点电荷的电量分别为q1=9×10-6c，q2=-1×10-6，相距2米，则当q3受力为零时，所在的位置与q1相距____米.与q2相距____米.与q3的大小及正负____(有、无)关.5:如图所示，两电荷被悬绳悬于同一点，q1与竖直方向成α角，质量为m1 ，q2与竖直方向成β角. 质量为m2且两电荷刚好处于同一水平面，则m1:m2=________.6:两个小球A和B带有同种电荷，放在光滑的水平面上且相距较近，m A=3m B，q A=3q B，把两个小球从静止开始释放，t s末它们的加速度大小之比a A:a B= ；动量大小之p A:p B=________；速度大小之比v A:v B=___________动能大小之比E KA:E KB=____________.7:氢原子核外电子的轨道半径为r，若电子质量为m，电荷量为e，则电子所受到的库仑力大小为____________，方向______，电子做圆周运动的周期为___________.8:如右图所示，光滑绝缘水平面上固定着A、B、C三个带电小球，它们的质量均为m，间距均为r，A、B带正电，电荷量均为q. 现对C施一水平力F的同时放开三个小球，欲使三小球在运动过程中保持间距r不变，求：(1)C球的电性和电荷量．(2)水平力F的大小．9:真空中相距3m的光滑绝缘平面上，分别放置两个电荷量为-Q、+4Q的点电荷A、B，然后再在某一位置放置点电荷C，这时三个点电荷都处于平衡状态，求C的电荷量以及相对A的位置。
第09章-静电场第九章 静电场填空题1. 一半径为R 的金属空心球壳均匀带电，电荷面密度为σ。
设无穷远处为电势零点，则球内任意一点的电势U ＝_____，电场强度E =_____。
0/R σε，2. 一平行板电容器充电后切断电源，若使二极板间距离增加，则二极板间场强________，电容________． (填增大或减小或不变) 不变， 减小3.一正点电荷带电量q ，A 、B 、C 三点到点电荷距离分别为Ar 、Br 、Cr 。
若选B 点的电势为零，则Ａ点的电势为_____________，Ｃ点的电势为____________。
20011()44BAr A r A Bq q V dr rr r πεπε==-⎰2001144BCr Cr B C q q V dr rr r πεπε⎛⎫==-- ⎪⎝⎭⎰4. 一均匀静电场，电场强度()j i E ϖϖϖ600400+= V ·m -1，则点a (3,2)和点b (1,0)之间的电势差U ab ＝________． (点的坐标x ,y 以米计)－2×103 V5、一个不带电的金属球壳的内、外半径分别为R 1和R 2，今在中心处放置一电荷为q 的点电荷，则球壳的电势U =____________．204R q επ6、由一根绝缘细线围成的边长为l 的正方形线框，使它均匀带电，其电荷线密度为λ，则在正方形中心处的电场强度的大小E ＝______．07. 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷Q ． 若规定该球面上电势值为零．则q ⊕A B Cgg g无限远处的电势U ＝_______．RQ04επ- 8、真空中均匀带电的球面和球体，如果两者的半径和总电荷都相等，则带电球面的电场能量W 1与带电球体的电场能量W 2相比，W 1_《___ W 2 (填<、=、>)． 选择题1、 已知一高斯面所包围的体积内电荷代数和∑q ＝0，则可肯定： (A) 高斯面上各点场强均为零． (B) 穿过高斯面上每一面元的电场强度通量均为零．(C) 穿过整个高斯面的电场强度通量为零．(D) 以上说法都不对．C2、在匀强电场中，将一负电荷从A 移到B ，如图所示．则：(A) 电场力作正功，负电荷的电势能减少．(B) 电场力作正功，负电荷的电势能增加． (C) 电场力作负功，负电荷的电势能减少．（D ）电场力作负功，负电荷的电势能增加．D3、一点电荷，放在球形高斯面的中心处．下列哪一种情况，通过高斯面的电场强度通量发生变化： (A) 将另一点电荷放在高斯面外． (B) 将另一点电荷放进高斯面内． (C) 将球心处的点电荷移开，但仍在高斯面内．(D) 将高斯面半径缩小．B4、 图中实线为某电场中的电场线，虚线表示等势（位）面，由图可看出： (A) E A ＞E B ＞E C ，V A ＞V B ＞V C ． (B) E A ＜E B ＜E C ，V A ＜V B ＜V C ．(C) E A ＞E B ＞E C ，V A ＜V B ＜V C ． (D) E A ＜E B ＜E C ，V A ＞V B ＞V C ．DABE ϖCBA5 下列叙述中正确的是( )（A ）等势面上各点的场强大小一定相等 （B ）场强指向电势降落的方向 （C ）电势高处，电势能也一定高 （D ）场强大处，电势一定高 B6、在边长为a 的正方体中心处放置一电荷为Q 的点电荷，则正方体顶角处的电场强度的大小为：(A) 2012a Q επ． (B) 206a Qεπ． (C) 203a Q επ． (D) 20aQεπ． C7. 一半径为R 的均匀带电球面，带有电荷Q ．若规定该球面上的电势值为零，则无限远处的电势将等于:(A) RQ 0π4ε． (B) 0． (C)RQ0π4ε-． (D) ∞ C8、静电场中某点电势的数值等于(A)试验电荷q 0置于该点时具有的电势能．(B)单位试验电荷置于该点时具有的电势能． (C)单位正电荷置于该点时具有的电势能．D)把单位正电荷从该点移到电势零点外力所作的功．C9、两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b (R a ＜R b ), 所带电荷分别为Q a和Q b ．设某点与球心相距r ，当R a ＜r ＜R b 时，该点的电场强度的大小为： (A)2041r Q Q b a +⋅πε． (B) 2041r Q Q ba -⋅πε． (C)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅π22041b b a R Q r Q ε．(D)2041r Q a⋅πε D10、面积为S 的空气平行板电容器，极板上分别带电量±q ，若不考虑边缘效应，则两极板间的相互作用力为(A)S q 02ε． (B) S q 022ε． (C) 2022S q ε． (D) 202S q ε B15、半径为r 的均匀带电球面1，带有电荷q ，其外有一同心的半径为R 的均匀带电球面2，带有电荷Q ，则此两球面之间的电势差U 1-U 2为： (A) ⎪⎭⎫⎝⎛-πR r q 1140ε . (B)⎪⎭⎫⎝⎛-πr R Q 1140ε (C)⎪⎭⎫⎝⎛-πR Q r q 041ε . (D)r q 04επ A16、（不严密）充了电的平行板电容器两极板(看作很大的平板)间的静电作用力F 与两极板间的电压U 的关系是： (A) F ∝U ． (B) F ∝1/U ． (C) F ∝1/U 2． (D) F ∝U 2．D判断题1、对场中某点，试探电荷受力F ϖ与q 0的比值不因q 0而变．√ 2、静电场是保守力场。
√3、电场中某点场强的方向，就是将点电荷放在该点所受电场力的方向×4、在以点电荷为中心的球面上， 由该点电荷所产生的场强处处相同×5、高斯面内不包围自由电荷，则面上各点电位移矢量D ϖ为零．×6、两根平行的金属线载有沿同一方向流动的电流．这两根导线将：互相吸引．√7、高斯面上处处D ϖ为零，则面内必不存在自由电荷．√ 问答题1、均匀带电薄球壳的球面半径为R ，所带电量为Q （设0>Q ），求球壳内、外的电场强度分布。
解： 042==⋅⎰r E ds E sπ 2分E=0 （ r < R ）2分24επQr E ds E s==⋅⎰ 2分2041r Q E πε=（ r > R ）2分2*、均匀带电薄球壳的球面半径为R ，所带电量为Q （设0>Q ），求球壳内、外的电势分布（设无穷远处的电势为零）。
解：(1) 在球壳内取一点，其到球心的距离为)(R r <，则该点的电势为()rV r E dr∞=⋅⎰r rRrRE dr E dr∞=+⎰⎰ 2001144RRQ Q E dr dr r Rπεπε∞∞===⎰⎰（ 4）分即在球壳内处处电势相同，为一等势体。
(2) 在球壳外取一点，其到球心的距离为)(R r ≥，则该点的电势为()r V r E dr∞=⎰2014rQ dr r πε∞=⎰rQ041πε=4）分因此，球壳内、外的电势分布为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥<=Rr rQ R r R Qr U 04141)(πεπε3. 图中所示为一沿x 轴放置的长度为l 的不均匀带电细棒，其电荷线密度为λ＝λ0 (x -a )，λ0为一常量．取无穷远处为电势零点， 求坐标原点O 处的电势．a lx解：在任意位置x 处取长度元d x ，其上带有电荷 d q =λ0 (x －a )d x 2分它在O 点产生的电势()00d d 4x a xV xλε-=π 3分O 点总电势00d d 4a la l a a x V dV x a x λε++⎡⎤==-⎢⎥π⎣⎦⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-π=a l a a l ln 400ελ 5分 Oalx4. 一半径为R 的带电球体，其电荷体密度分布为4πRqr=ρ (r ≤R ) (q 为一正的常量) ρ = 0 (r >R )试求：(1) 带电球体的总电荷；(2) 球内、外各点的电场强度．解：(1) 在球内取半径为r 、厚为d r 的薄球壳，该壳内所包含的电荷为d q = ρd V = qr 4πr 2d r /(πR 4) = 4qr 3d r/R 4则球体所带的总电荷为()q r r R q V Q rV ===⎰⎰034d /4d ρ 3分(2) 在球内作一半径为r 1的高斯球面，按高斯定理有4410241211d 414Rqr r r R qrE r r εε=π⋅π=π⎰ 得402114R qr E επ=(r 1≤R)，1E ϖ方向沿半径向外． 2分在球体外作半径为r 2的高斯球面，按高斯定理有 0222/4εq E r =π得 22024rqE επ= (r 2>R )，2E ϖ方向沿半径向外．3分5、电荷面密度分别为+σ和－σ的两块“无限大”均匀带电平行平面， 分别与x 轴垂直相交于x 1＝a ，x 2＝－a 两点．设坐标原点O 处电势 为零，试求空间的电势分布表示式并画出其曲线．-σ+σ-a+aO x解：由高斯定理可得场强分布为：E =-σ / ε0 (－a ＜x ＜a )1分E = 0 (－∞＜x ＜－a ，a ＜x ＜＋∞＝ 1分由此可求电势分布：在－∞＜x ≤－a 区间⎰⎰⎰---+==0/d d 0d aaxxx x x E U εσ0/εσa -=1分在－a ≤x ≤a 区间2分 0d d εσεσxx x E U xx=-==⎰⎰ 在a ≤x ＜∞区间d d 0d εσεσax x x E U aaxx=-+==⎰⎰⎰ 2分-a +aO xU图1分6、若电荷以相同的面密度σ均匀分布在半径分别为r 1＝10 cm 和r 2＝20 cm 的两个同心球面上，设无穷远处电势为零，已知球心电势为300 V ，试求两球面的电荷面密度σ的值． (ε0＝8.85×10-12C 2 / N ·m 2 )解：球心处总电势应为两个球面电荷分别在球心处产生的电势叠加，即⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+π=221141r q r q U ε⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ππ=2221214441rr r r σσε()210r r +=εσ 5分故得 92101085.8-⨯=+=r r Uεσ C/m 23分6、图示为一个均匀带电的球层，其电荷体密度为ρ， 球层内表面半径为R 1，外表面半径为R 2．设无穷远处 为电势零点，求空腔内任一点的电势．O R 1 R 2解: 由高斯定理可知空腔内E ＝0，故带电球层的空腔是等势区，各点电势均为U . 2分在球层内取半径为r →r ＋d r 的薄球层．其电荷为d q = ρ 4πr 2d r该薄层电荷在球心处产生的电势为()0/d 4/d d ερεr r r q U =π=2分整个带电球层在球心处产生的电势为()2122002d d 21R R r r U U R R -===⎰⎰ερερ 2分因为空腔内为等势区所以空腔内任一点的电势U 为()21222R R U U -==ερ 2分若根据电势定义⎰⋅=l E U ϖϖd 计算同样给分.。
