如图所示．则圆心O 处的场强大小E ＝
()
3
02
2
0824R
qd d R R
qd
εεπ≈
-ππ，场强方向为
_____从O 点指向缺口中心点_________________．
二．计算题
1. 如图所示，真空中一长为L 的均匀带电细直杆，总电荷为q ，试求在直杆延长线上距杆的一端距离为d 的P 点的电场强度．
１、解：设杆的左端为坐标原点O ，x 轴沿直杆方向．带
电直杆的电荷线密度为λ=q / L ，在x 处取一电荷元d q =
λd x = q d x / L ，它在P 点的场强：
()204d d x d L q E -+π=ε()204d x d L L x
q -+π=ε 总场强为 ⎰+π=L x d L x L q E 020)(d 4－ε()
d L d q +π=04ε 方向沿x 轴，即杆的延长线方向．
+σ +2σ
A B C
L
P
d E
O
2．一环形薄片由细绳悬吊着，环的外半径为R ，内半径为R /2，并有电荷Q 均匀分布在环面上．细绳长3R ，也有电荷Q 均匀分布在绳上，如图所示,试求圆环中心O 处的电场强度(圆环中心在细绳延长线上)．
解：先计算细绳上的电荷在O 点产生的场强．选细绳顶端作坐标原点O ，x 轴向下为正．在x 处取一电荷元
d q = λd x = Q d x /(3R )
它在环心处的场强为 ()
2
014
4d d x R q
E -π=ε ()
2
0412d x R R x Q -π=
ε
整个细绳上的电荷在环心处的场强 ()
2
030
2
0116412R
Q x R dx
R
Q E R
εεπ=-π=
⎰
圆环上的电荷分布对环心对称，它在环心处的场强
E 2=0 由此，合场强
i R
Q i E E 2
0116επ=
=
方向竖直向下．
三．理论推导与证明题
一半径为R 的均匀带电圆环，总电荷为Q . 选x 轴沿圆环轴线, 原点在环心. 证明其轴线上任一点的场强为:
()
2
/32
2
4x
R
Qx
E +=
πε
并说明在什么条件下, 带电圆环可作为点电荷处理.
证：选环心作原点，x 轴沿圆环轴线方向，y 、z 轴如图所示．在环上任取一电荷
元d q =(Q d θ) / (2π)，设P 点位于x 处，从电荷元d q 到P 点的矢径为r
，它在P 点产生的场强为
r r
Q r
r q
E ˆ8d ˆ4d d 2
02
2
0εθ
επ=π=
r ˆ为矢径r
方向上的单位矢量．d E 沿x 轴的分量为
d E x =d E cos φ (φ为矢径r 与x 轴正向夹角) 由对称性容易证明 E y =0 E z =0 因而有 E =E x 2
020
2
02
4cos d 8cos r
Q r
Q εφθεθππ=
π=⎰
(
)
2
/322
04x
R Qx
+π=
ε 当x >>R 时，可得 E ≈Q / (4πε0x 2)
这相当于一个位于原点O 的带电量为Q 的点电荷在P 点产生的场强．
R
3x x
§10.3 电通量 高斯定理
一. 选择题和填空题
1.一电场强度为E 的均匀电场，E
的方向与沿x 轴正向，如图所示．则通过图中一半径为R 的半球面的电场强度通量为
(A) πR 2E ． (B) πR 2E / 2． (C) 2πR 2E ． (D) 0． [ D ]
2. 两个同心均匀带电球面，半径分别为R a 和R b (R a ＜R b ), 所带电荷分别为Q a 和Q b ．设某点与球心相距r ，当R a ＜r ＜R b 时，该点的电场强度的大小为：
(A)
2
41r
Q Q b
a +⋅
πε． (B)
2
41r
Q Q b
a -⋅
πε．
(C)
⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+⋅π22041
b b a R Q r Q ε． (D) 2
041
r Q a ⋅πε． [ D ] 3. 根据高斯定理的数学表达式⎰∑⋅=S
q S E 0/d ε
可知下述各种说法中，正确的
是：
(A) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强一定为零． (B) 闭合面内的电荷代数和不为零时，闭合面上各点场强一定处处不为零． (C) 闭合面内的电荷代数和为零时，闭合面上各点场强不一定处处为零．
(D) 闭合面上各点场强均为零时，闭合面内一定处处无电荷． [ C ]
4. 图示为一具有球对称性分布的静电场的E ～r 关系曲线．请指出该静电场是由下列哪
种带电体产生的． (A) 半径为R 的均匀带电球面．
(B) 半径为R 的均匀带电球体．
(C) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A r (A 为常数)的非均匀带电球体． (D) 半径为R 的、电荷体密度为ρ＝A/r (A 为常数)的非均匀带电
球体 ． [ B ]
5. 如图所示，在边长为a 的正方形平面的中垂线上，距中心O
点a /2处，有
一电荷为q 的正点电荷，则通过该平面的电场强度通量为
q/(6ε0) ．
6. 一半径为R 的均匀带电球面，其电荷面密度为σ(r
表示从球心引出的矢径)：
()r E
＝
(r (r >R )． 7. 有一个球形的橡皮膜气球，电荷q
程中，被气球表面掠过的点(该点与球中心距离为r )，其电场强度的大小将由
2
04r
q επ变为_
_0．
E
E
q
