- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
t
H J c D t, E E t; B 0 . D
B H , D E , JE
w 1 2 D E B H
E 0 D
DDE
n 衔接条件 nˆ E2 E1 0
nˆ D2 D1 f
1
Ex,y,z，且有 we 2 D E
1
1
n
2
2
n
1 1 2 2
n D 2 D 1 n 2 E 2 1 E 1 n 1 1 2 2
1
1
n
2
2
n
nD2D1
? 电位连续保证了电场平行分量连续
1A l 1B
1A 2A 1B 2B
1A 2B
E1 E2
A
2A
B
2B
唯一性定理的表述▪ 空源自区域 V 内静电场唯一确定的条件为：
边值问题解析法概述
－ 分离变量法：
多变量的齐次偏微分方程
单变量的常微分方程组，
求解满足边界条件的常微分方程的特解
关键点：选择合适的坐标系，边界面与坐标面部分重合
－ 复变函数法： 复位函数法、保角变换法－适合处理复杂边界（二维）情况
＋ 镜像法： 将边界上的感应电荷 (电流)对场的贡献用所求区域之外的集中电荷的 场来表示，利用边界条件来确定集中电荷(镜像电荷）的位置和量值
Q
可取消导体表面。
x ,y ,z Q
1
1
40 x x 2 y y 2 z z 2 x x 2 y y 2 z z 2
|z0 0
唯一性保证了上式为所求问题之解
镜像法（2）
例：接地导体球外一点电荷 Q ，求空间电位。电荷位置 X0,0,a
边值问题：
rR0 20, R 0 r 2 0 , r R 0 0
＋ 格林函数法： 利用单位点源的解－格林函数和 叠加原理来解决一般电荷分布的 普遍边值问题
_ _ P ?
Q镜像
镜像法（1）
例：接地无限大导体板附近一点电荷 Q ，求空间电位。
边值问题：
z0 20 （除点电荷处） z
z 0 2 0 , z 0 0
Q
0
设电荷位置： Xx,y,z
则在 x, y,z 处设置 Q ,
导体情况：
E外＝
1
f
nˆ
nˆ
E＝0 f
注：导体的介电常数 0 或 ？？
电位函数
▪ 矢量分析中的霍姆赫兹定理：任意矢量可表示为
F A , A ,－位函数
▪ 矢量恒等式 0
▪ 又 静电场是无旋场 E0，故可引入标量场，静电位
E x ,y ,z ＝ x ,y ,z ? 任意标量函数均满足，故应限定
1
40
X
V
1 XX
dV
X
4 1 0V X X X dV 4 1 0V rX dV
? 此式不是求解电场 的有效表达式，？？
▪ 通常电荷分布和电场是耦合的，不能事先确定（尤其是极化电荷）
X
X
EX
泊松方程
▪ 对各向同性、线性介质， DE D
▪ 均匀介质时
2x,y,z1f x,y,z 泊松方程（Poisson） 当 0 时 2x,y,z0 拉普拉斯方程，通常的情况
(1) 在区域 V (2) 在区域 V
中每个均匀的子区域 V i 内满足泊松方程：
2 i1,2,
i
中每两子区域边界上满足边值条件：
i j
i
i
n
j
j
n
（ n 由 i 区域指向 j 区域）
(3) 已知区域 V 内的电荷密度 、 ；
(4) 给定区域 V 表面上 或 之值 n
适定性问题 ？
－ 第一类边界条件 s
定义
X
Q
XEdX
电位差 X 2 X 1 X X 1 2E X d X
XXEdX ? 若取无穷远点电位为零
E
分析： 电力线与等位面的关系
电位参考点的可选择性 E x ,y ,z＝ c
1
3
2
给定电荷分布的静电位
▪ 若电荷分布 X 给定，则静电位可以直接求出：
X X E X d X X 4 1 0V X X X X X 3d V d X 410V XX X XX X 3dXdV
Sk
k
第二类边界条件
? 若区域中存在导体，给定导体上的电位值 S
或总电荷值 Q 其他区域条件如前述，则电场唯一确定。
Q
S
ds
n
▪ 对给定电位值，将导体看成是区域边界之一即可 ♨
▪
对给定电荷值，只要包围导体的表面
S
k
有：
Sk
k
nk
dS 0
Sk
k
nk
dS
k
Sk
k
nk
nk
dS
? 描述均匀、各向同性、线性介质中静电场的基本方程： 泊松（拉普拉斯）方程－求解稳定场的泛定方程
边值问题＝泛定方程＋边值条件（定解条件）
静电位的边值关系
▪ 电位的边值关系
(1)电位是连续的
1 2
? 边界处电场是有限的
2
211 l2 i m 01Edl 0
(2)电位法向梯度值变化与面电荷有关
? 导体内电场为零
k dS kQQ0 Sk
例：静电屏蔽之解释
S
E外＝0
Q
0
Q
Q
S
E内＝0 const
E
E
0
+++
+
? 唯一性定理说：S 面内的电场由内部电荷及 S 上的电位决定。
（与外面的电荷及电场无关）
Q 不影响 S 面外部 Q 不影响 S 面内部（与接地无关）
课堂休息
课
堂
休
息
（1）
－ 第二类边界条件 n S
唯一性定理的证明
▪ 设有 、 同时满足上述条件，令： ,则
(1) 在任一子区域内： 2 0
(2) 在子区域 i , j 界面上： i j
i
i
n
j
j
n
(3) 区域表面上: 0 或 0
n
♨3
因 k Sk k dS k Sk k n k dS0
再 k d S k d V
kS k
k V k
子区域 1
子区域 2
子区域 4
子区域 3
k 2d V k 2 d V k 2d V
k V k
V k
k V k
故
0
♨1
const
导体存在时唯一性定理
▪ 导体的静电平衡条件：
（1）导体内部电场为零，导体是等位体 （2）电荷以面电荷形式分布于表面
电磁场第二章静电场
第二章 静 电 场
2.1 静电场基本方程组 2.2 静电位及泊松方程 2.3 静电场的唯一性定理 2.4 镜像法
2.5 格林函数 2.6 静电场的能和力 2.7 多极展开
静电场基本方程组
? 静止电荷产生的场－静电场, 是电荷分布与电场的稳定平衡状态下的场
▪ 当体系不随时间变化时， 0 ，麦氏方程组中的电场可以分离为
