注：D的面积分
s
D
ds称为电通量
根据电场强度的性质，可很容易的得出真空中电位移的定义：
D 0E
因而，点电荷周围的电位移为： D
q
4r 2
aR
用电位移矢量表示的高斯定理
D
ds
Q
s
其微分形式：
D v
高斯定律应用举例
example 2.5
当积分路径是闭合回路，即A、B两点重 合时、得到
计算电场的线积分
上式虽然是从点电荷的电场中得到的结论，但很容易推广至任
意电荷分布的电场中，所以上式表示了静电场的一个共同特性
一守恒持性。。
以电场力作功为例，当一试验电荷q在电场中沿闭合回路移动一周 时，电场力所作的功为
利用斯托克斯定理上式可以写成
由于上式中回路c及其所限定的面积S是任意的，故有
对上面两式从θ1到θ2积分，有 当带电直线为无限长时，有
得到
example 2.2
计算一个均匀分布电荷的圆盘轴线上任一点的电场强度，圆盘 半径为a，电荷密度为ρs(C/m2)。
解：将圆盘划分成半径为r，宽度为dr的细圆环，如下
图所示，显然细圆环，在圆盘轴线上产生的电场只有z 方向分量，即：
其中
s (
)
Q
4a 2
采用球坐标，令极轴通过场点P，P点
处的电场为
E(r)
1
4
0
2
d
0
0
s
R R3
a
2
sin d
孤立带电导体球
因不同φ’的面元点电荷在场点产生的合成场只沿极轴方 向，即z方向，故矢量求积分时仅取z分量积分
E
Ez
a2s 2 0
般用单位面积上位移穿过的束缚电荷量来表示电场的另一
基本变量，称为电通[量]密度(或电位移)，并用D表示．其单位 为C／m 2。
早期得出关于电位移的性质如下：
1、它与介质无关；
2、它的大小仅与产生它的源电荷有关；
3、如果一个点电荷被一个半径为R的球面所包围，则电通量
垂直且均匀通过该球面
4、电通密度（单位面积上所通过的电通量）反比于R2
0 0r2
r2dr
0 3 0
a3 r2
Q
4 0r 2
ra
E(r)
rr 0
0 0r2
r2dr
0 0r2
rr r2dr 0r
0
3 0
ra
电场强度在球面处没有发生跃变。为什么？
§2.2 高斯定律
1、高斯定律
电场E沿闭合面的通量恒等于闭合面所包围的电量，与真空中的
在导体表面作一柱形闭合面如 图，h 0，△s很小，可以认 为△s上各点的E值相同。
根据高斯定律有
s
D
ds
Dn
s
s
s
即
根据电场与电位的关系，可得：
s
Dn
0En
0
n
Dn s
证毕
请认真阅读P47例 3.3.2
example 2.8
已知无限长同轴电缆内外导体的半径分别为a和b．内外导体之 间为空气媒质,如图
的立体角，如下图所示。可以看出，这里
有两种情况；一种是点P在闭合面内，此 时可以用P点为圆心，任意半径为一球面
（如图（a）所示），则闭合面上任一面
元ds对P点所张立体角也就是它对P 点构
成的锥体在球面上割出一块球面元的立体 角。可见整个闭合面对P点所张的立体角
和球面对O点所张立体角是相等的，即为
4π。
E 0
静电场的两个基本方程：
D v E 0
2、电位的定义 由于静电场是一个保守场，因此，可以用一个标量场的梯度来 表示（矢量恒等式），这个标量场我们称为电位，它定义为：
显然，由于电位是一个标量函数，其求解过程一般来说较之电场
来说要容易。因此，在许多静电场问题中，人们往往先求出电位函 数，再根据电场和电位的关系求出电场强度。在直角坐标系下，有
其中：F的单位为牛顿（N）；q的单位为库仑（C）；E的单位 为伏特/米（V/m）
指的是该电荷的引入不致影响场源电荷的状态 实验电荷： 所以，在E的定义式中，令q→0，由电场强度的定
义可以得出：
1、 点电荷的电场强度：
考虑到算符 点电荷的电场强度可表示为：
令场坐标（x，y，z）或r，源点的坐标为（x',y',z')或 r'，则点电荷的场又可表示为:
物质称为电场。电场对电荷的作用力 称为电场力。
值得注意的是，库仑定律是一个实验定律。实验证明：对 可测定的R值，在1/109米的精度下证明库仑定律是满足平 方反比规律的，它仅在带电体尺度远小于它们之间的距离 时才严格成立。
二、电场强度（electric field intensity）
设在电场中某点处，一个试验电荷受力为F，则该点的电场为：
半径为a的导电球壳上均匀分布面密度为ρ的电荷，求球壳内外 的电场强度和电位。
解：
由于在导电球壳上，电荷是 均匀分布的，因此电场具有
球对称分布的特点，利用
高斯定律，使圆心与导电球 壳圆心重合，半径为r的球面，
称为高斯面，求电场对高
斯面的面积分，对于相同半 径的高斯面，电场的模相等， 方向与高斯面的方向相同， 因此，当r>a时，有
如图示，设真空中两点电荷q1和q2间的距离为R，则点电荷q2 所受到q1的作用力为：
其中： 真空中的介电常数
是从q1指向q2的单位矢量，
10 9 36
F m
由此说明，在带电体周围空间，确实 存在着一种特殊形式的物质．当电荷
或带电体进入这个空间时、将受到力
的作用。我们把电荷周围存在的特殊
（2）难 点： 不同条件下电场和电位的计算方法
——矢量的微分与积分
❖本章具体内容：
2.1 静电场基本方程
2.2 电位的引入
2.3 泊松方程和拉普拉斯方程
2.4 唯一性定理
2.5介质中的高斯定理.边界条件 2.7 导体系统的电容
2.6 恒定电场的基本方程 2.8 电场能与静电力
§2.1 电场强度
一、库仑定律 (Coulomb’s Law)
example 2.7
证明导体表面的电荷密度ρs与导体外的电位函数有如下关系
s
Dn
0 En
0
n
其中 是电位对表面外法线方向的方向导数。
n
证明： 预备知识1：带电导体内静电场为零，导体是一等位体
预备知识2：在导体外表面附近，可将导体面视为无穷大。 因此可用高斯定律求附近的电场。
代入，有
再对圆环从 0～a积分， 得到
特别是，当a趋于无限大时（无穷大带电平面）有：
表明：无穷大带电平板附近，电场的方向与平板垂直；
大小为
E s 2 0
example 2.3
真空中一个带电导体球，半径为a。，所带电荷量为Q，试计 算球内、外的电场。
解: 导体的电荷是分布于导体表面的。
孤立的带电导体球的电荷必定均 匀分布于球表面上，电荷面密度 为常量，有
cossind a2s
0
R2
2 0
cos d cos
0 R2
由于
所以
Ez
a s 4 0r
rz 1
rz
r2 a2 R2
dR
a s 4 0r 2
R
r2
a2 R
ra
ra
sa2 0r 2
解: 如图所示
由于直线电荷的场具有以直 线为对称轴的对称性，为了
分析问题的方便，采用圆
柱坐标，令线电荷与z轴重 合，原点位于直线的中点， 取场点坐标为P(r,ф,z)；用 dz‘表示线元，其坐标为 （0，0，z’）。线电荷元 ρldz‘在P点的电场沿圆柱坐 标的分量为 :
考虑到
即
值得注意的是，对合成场的积分是对源点的积分，而场点 则是常数。因而
带电导体球的电场分布
example 2.4
真空中半径为a的介质球内均匀充满了电荷，体电荷密度ρ＝ρ0。试 计算球内、外的电场
解： 设想划分出一个半径为r‘，厚度
为dr’的微分球壳，如右图所示。 球壳内的电荷量为:
dq 4r20dr
当dr’很小时可认为dq均匀分布在薄层球面上
等效的面电荷密度为
Q
4 0r 2
（r＞a)
对于r＜a的球内区域．积分的下限应改为(a-r)、这样积分结果
Er
as 4 0r 2
R
r2
a2 R
ar
ar
0
Hale Waihona Puke (r＜a)对于球外区域的电场分布和点 电荷Q位于球心处的电场分布相 同。所以在计算球外电场时， 可直接套用集中在球心处的点 电荷Q所产生的电场公式。导体 球内电场为零，在r=a处电场由 零跃变为ρs/ε0，恰好球面上 有面电荷存在。由此推 论．电场不连续的面积处将出 现面电荷。
s
D
ds
4r
2
Dr
ssds 4a2s
Q
当 r<a 时，有
D0
example 2.6
求无限长直线电荷的电场。
解：
设无限长直线电荷的线电荷密度为ρl，,与Z轴重合，如 图所示
