2021届四川省射洪中学校高二上学期数学开学考试试题

射洪中学高2021级2022年下期入学考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．总分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷（选择题，满分60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．）1．已知集合{}2,1,0,1,2M =--，()(){}120N x x x =+-<，则M N ⋂=（ ） A ．{}1,0-B ．{}0,1C ．{}1,0,1-D ．{}0,1,22．cos20cos70sin160sin70︒︒-︒︒=（ ）A ．0B ．12C D ．13．已知向量()1,2a =-，(),3b m m =-，若a b ⊥，则m =（ ） A ．3-B ．2-C ．1D ．24．若tan 3α=，则tan 4πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．2B ．2-C ．12-D ．125．已知等比数列{}n a 满足13a =，13521a a a ++=，则37a a +=（ ） A ．18B ．24C ．30D ．426．已知22log log a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．11a b>B ．1122a b⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()2log 0a b ->D ．21a b-<7．圭表是我国古代通过观察记录正午时影子长度的长短变化来确定季节变化的一种天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”）．当正午阳光照射在表上时，影子会落在圭面上，圭面上影子长度最长的那一天定为冬至，影子长度最短的那一天定为夏至．如图是根据蚌埠市（北纬32.92°）的地理位置设计的圭表的示意图，已知蚌埠市冬天正午太阳高度角（即ABC ∠）约为80.51°．圭面上冬至线和夏至线之间的距离（即BD 的长）为7米，则表高（即AC 的长）约为（已知2tan 33.653︒≈，29tan80.515︒≈）A ．4.36米B ．4.83米C ．5.27米D ．5.41米8．在ABC △中，已知2cos a b C =，且222sin sin sin A B C =+，则ABC △的形状是（ ） A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．等边三角形9．等比数列{}n a 的各项均为正数，且564716a a a a +=，则2122210log log log a a a +++=（ ）A ．20B ．15C ．8D ．23log 5+10．已知ABC △的三边分别是a ，b ，c ，设向量()sin sin 3m B A a c =-+，()sin ,n C a b =+，且m n ∥，则B 的大小是（ ）A ．6π B ．56π C ．3π D ．23π11．在锐角三角形中，abc 分别是内角ABC 的对应边，设2A C =，则2cc b+的取值范围是（ ）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．ABC △满足23AB AC ⋅=，60BAC ∠=︒，设M 是ABC △内的一点（不在边界上），定义()(),,f M x y z =，其中x ，y ，z 分别表示MBC △，MCA △，MAB △的面积，若()3,,2f M x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则19x y+的最小值为（ ） A ．24B ．9C ．16D ．323第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分．）13．数列{}n a 前n 项和为n S ，其中n S 是首项为5，公比为5的等比数列，则n a =______． 14．已知向量a 与b 的夹角为45°，2a =，4b =，则a b -=______．15．设α为锐角，若3cos 65πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则tan 12πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭______．16．将函数()4cos 2f x x π⎛⎫=⎪⎝⎭的图像与直线()1g x x =-的所有交点从左至右依次记为1A ，2A ，3A ，⋯n A ，若()0,1P ，则12n PA PA PA +++=______．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 17．（10分）已知函数()()235f x x a a x b =-+-+．（Ⅰ）当不等式()0f x >的解集为()1,3-，求实数a ，b 的值；（Ⅱ）若对任意的实数a ，若不等式()20f <恒成立，求实数b 的取值范围．18．（12分）已知各项都不相等的等差数列{}n a ，66a =，又1a ，2a ，4a 成等比数列． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设()21n nan n b a =+-，求数列{}n b 的前2n 项和2n T ．19．（12分）某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为34800m ，深为3 m ，如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元．设长方体底面长为m x ，由于地形限制，0x a <≤，水池总造价为()f x 元．（Ⅰ）求()f x 的解析式； （Ⅱ）求()f x 的最小值．20．（12分）如图，是四棱柱1111ABCD A B C D -的三视图． （Ⅰ）判定四棱柱是何种几何体，并画出其的直观图； （Ⅱ）求四棱柱1111ABCD A B C D -的外接球面的面积 （Ⅲ）求四面体11ACB D 的体积；21．（12分）已知函数()44cos 2sin cos sin f x x x x x =--．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期和单调递增区间； （Ⅱ）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域； （Ⅲ）在锐角ABC △中，角A 、B 、C 的对边分别为a ，b ，c ，若02A f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2a =，求ABC △面积的最大值．22．（12分）已知数列{}n a 的前n 项和31nn S =-，其中*n ∈N ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足11b =，()132n n n b b a n -=+≥， （ⅰ）证明：数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列； （ⅱ）设数列{}n b 的前n 项和为n T ，求380nn T n -⋅<-成立的n 的最小值．高二上入学考试数学试题答案一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求．） BADDC BCBBB AD二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中的横线上．） 13．15,145,2n n n a n -=⎧=⎨⋅≥⎩；14．10；15．17；16．2 三、解答题17．解：（Ⅰ）由()5223933a a ab b ⎧-=⎪=⎧⎪⇒⎨⎨=⎩⎪-=-⎪⎩或39a b =⎧⎨=⎩．（Ⅱ）由2221012021012a a b b a a -+-+<⇒<-+对任意的a ∈R 恒成立，又22511210122222a a a ⎛⎫-+=--≥- ⎪⎝⎭．所以实数b 的取值范围是1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭．18．解：（Ⅰ）∵{}n a 为各项都不相等的等差数列，66a =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．∴()()61211156,3,0,a a d a d a a d d =+=⎧⎪⎪+=+⎨⎪≠⎪⎩解得11a =，1d =，∴数列{}n a 的通项公式()111n a n n =+-⨯=． （Ⅱ）由（Ⅰ）知，()21nn n n b a =+-，记数列{}n b 的前2n 项和为2n T ， 则()()122222212342n n T n =++++-+-+-+．记122222n A =+++，12342B n =-+-+-+，则()2212122212nn A +-==--，()()()1234212B n n n ⎡⎤=-++-+++--+=⎣⎦．故数列{}n b 的前2n 项和21222n n T A B n +=+=+-． 19．解：（Ⅰ）设底面宽为m y ，则由34800xy =，得1600y x=， ∴()()480016001600150120232324000072003f x x x x a x x ⎛⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯⨯=++<≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．（Ⅱ）⎡⎤⎣⎦（Ⅲ）令()()16000t x x x a x=+<≤，由()80t x ≥=，当且仅当40x =时取“＝”． 当40a ≥时，在40x =时()min 297600f x =；当040a <<时，设任意1x ，(]20,x a ∈，且12x x <，∴()()()()()()2112121212121212121600160016001600x x x x x x t x t x x x x x x x x x x x ---⎛⎫-=+-+=-+= ⎪⎝⎭，由12040x x a <<≤<，得1201600x x <<，120x x -<，1216000x x -<， ∴()()120t x t x ->，即()()12t x t x >．∴()t x 在(]0,a 单调递减． ∴在x a =时，()min 1600240000720f x a a ⎛⎫=++⎪⎝⎭． 答：（Ⅰ）()()16002400007200f x x x a x ⎛⎫=++<≤ ⎪⎝⎭； （Ⅱ）2,1⎡⎤-⎣⎦；（Ⅲ）当40a ≥时，()min 297600f x =，当040a <<时，()min 1600240000720f x a a ⎛⎫=++⎪⎝⎭． 20．解：（Ⅰ）四棱柱1111ABCD A B C D -是长方体，且其长、宽、高分别为5、4、3，其直观图如下图：（2）长方体的对角线长即为外接球面直径，设为2R ， 则外接球面的面积为()2222454350S R πππ==++=．（3）四面体11ACB D 的体积为14604020B ABC V V V -=-=-=长方体三棱锥．21．解：（Ⅰ）()()()22223cos sin cossin sin 2cos 2sin 2224f x x xx x x x x x π⎛⎫=+--=-=+⎪⎝⎭， ∴()f x 的最小正周期22T ππ==． 由3222242k x k πππππ-≤+≤+，k ∈Z 得588k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为()5,88k k k ππππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦∈Z ． （Ⅱ）由32024A f A π⎛⎫⎛⎫=+=⎪⎪⎝⎭⎝⎭，由A 为锐角，得4A π=． 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，得224222b c bc bc bc =+-≥．∴4bc ≤+，当且仅当b c =时等号成立．∴1sin 12ABC S bc A =≤△．∴ABC △1+．22．解：（Ⅰ）因为数列{}n a 的前n 项和31nn S =-，所以()()()1113131 2.32n n n n n n a S S n ---=-=---=≥．因为1n =时，112a S ==，也适合上式，所以()1*2.3n n a n -=∈N ．（Ⅱ）（ⅰ）证明：当2n ≥时，11323n n n b b --=+⨯，将其变形为112233n n n n b b ---=+，即112233n n n n b b ----=，数列13n n b -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1013b =，公差为2的等差数列． （ⅱ）解：由（ⅰ）得，()1121213nn b n n -=+-=-，所以()()1*213n n b n n -=-⋅∈N ． 因为()0121133353213n n T n -=⨯+⨯+⨯++-⋅，所以()1233133353213n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅，两式相减得()()121212333213n n n T n -=--++++-⋅，整理得()()*131n n T n n =-⋅+∈N ．∴33180n nn T n -⋅=-+<-，即381n >．∴5n ≥，min 5n =．。

2020-2021学年四川省射洪县射洪中学上学期入学考试高二数学试题一、单选题1．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．8【答案】C 【解析】【详解】因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，所以，所以23⋅a a =20. 故选C.2．不等式(9)0x x ->的解集为（ ） A ．{|0}x x <B ．{}9x x C ．{9?|0}x x x <或 D ．{|09}x x << 【答案】D【解析】解一元二次不等式求得不等式的解集. 【详解】由(9)0x x ->，得()90x x -<，解得09x <<，故选D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c ca b> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则a c b c ->-【答案】B【解析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 4．在△ABC 中，AB=3，AC=1，30B ︒∠=，△ABC 的面积为32，则C ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三角形面积公式得，133||sin 3022BC ︒⨯⋅⋅=,所以||2BC =．显然三角形为直角三角形，且90A ︒∠=，所以C 60︒∠=． 【考点】解三角形．5．一几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）A ．96B ．126C ．192D ．288【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，根据三视图中的尺寸可求得体积． 【详解】由三视图知原几何体是在一个直三棱柱，体积为168122882V =⨯⨯⨯=．故选：D ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，解题关键是掌握基本几何体的三视图． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3818a a =-，则10S 等于（ ） A ．81 B ．90C ．99D ．180【答案】B【解析】根据已知得到38a a +的值，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列下标和的性质，求得10S 的值. 【详解】依题意3818a a +=，所以()1101038105518902a a S a a +=⨯=+=⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题.7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】B【解析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前n 项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得3a 的值. 【详解】依题意步行路程是等比数列，且12q =，6n =，6378S =，故16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故2311192484a a q ==⨯=里.故选B. 【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前n 项和的基本量计算，属于基础题.8．下列四个命题：①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据线面平行的位置关系判断． 【详解】①过空间一点作两异面直线的平行线，这两条平行线确定的平面只要不过这两条异面直线，则线面平行，①正确；②过空间一点作两异面直线的平行线，这两条平行线确定的平面有可能过两异面直线中的一条直线，则无线面平行，②错；③过平面外一点可作作一个平面与已知平面平行，而此平面内的所有直线都与该平面平行，③正确； ④过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，过该直线的平面除过已知直线的一个平面外其它所有平面都与已知直线平行，④正确． 共有3个命题正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线面平行位置关系的判断，掌握线面平行的位置关系是解题关键．9．已知平面向量a ，b 满足 ||1a =，||2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角为（ ） A ．56π B ．6π C ．23π D ．3π 【答案】C【解析】由向量垂直得数量积a b ⋅，再由向量的数量积的定义求得夹角． 【详解】∵()a b a +⊥，∴2()0a b a a a b +⋅=+⋅=，∴1a b ⋅=-， ∴1cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅=-=<>=<>，1cos ,2a b <>=-，∴,a b <>23π=．故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，考查平面向量数量积的定义，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系． 10．若1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】先根据诱导公式求出163cos πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，再结合二倍角公式即可求得结果 【详解】1cos cos 32363sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 22172cos 2212136639cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A 【点睛】本题主要考查的是两角和与差的余弦公式以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题，注意计算11．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10 B ．120 C ．130 D ．140【答案】B【解析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =故21n S =+-1=，由110n S =解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.12．已知AB AC ⊥，1AB t=，AC t =，若P 点是ABC 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC =+，则·PB PC 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A 为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)B t，(0,)C t ，10)4(0,1)(1,4)AP =+=（，，即14)P （，，所以114)PB t=--（，，14)PC t =--（，，因此PB PC ⋅11416t t =--+117(4)t t =-+，因为114244t t t t+≥⋅=，所以PB PC ⋅的最大值等于13，当14t t =，即12t =时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题 13．若1sin 3α=，则cos2=α__________． 【答案】79【解析】【详解】2217cos 212sin 12().39αα=-=-⨯=14．已知数列{}n a 的前n 项和满足()2*2n S n n n =-∈N，则4a=______．【答案】5【解析】利用11,1,2n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求得n a ，进而求得4a 的值.【详解】当1n =时，111a S ==-，当2n ≥时，123n n n a S S n -=-=-，当1n =时上式也满足，故{}n a 的通项公式为23n a n =-，故4835a =-=. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查运算求解能力，属于基础题.15．如图，已知OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a ，b 表示向量MN = __________ .【答案】22b a -【解析】由已知得AB 是MSN 的中位线，从而2MN AB =，由此能求出结果． 【详解】OA a =，OB b =，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，AB ∴是MSN 的中位线，()2222MN AB OB OA b a ∴==-=-．故答案为：22b a - 【点睛】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．设(1,2)OA =-,(,1)OB a =-，(,0)OC b =-，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是 【答案】8【解析】(1,1)AB OB OA a =-=-，(1,2)AC OC OA b =-=--， 因为A 、B 、C 三点共线，所以//AB AC ， 所以2(1)10a b -++=，即21a b +=，12122()(2)4482b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当11,42a b 时等号成立． 所以12a b+的最小值为8.三、解答题17．已知向量m ，n 不是共线向量，32a m n =+，64b m n =-，c m xn =+ （1）判断,a b 是否共线； （2）若//a c ，求x 的值 【答案】（1）,a b 不共线；（2）23x =【解析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】解：（1）若a 与b 共线，由题知a 为非零向量， 则有b a λ=，即64(32)m n m n λ-=+，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-，λ∴不存在，即a 与b 不平行.（2） ∵//a c ，∴存在实数r ，使得c ra =， 即32m xn rm rn +=+，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是BC ，1CC ，1BB 的中点.（1）求EF 与11B D 所成的角； （2）求证：//EF 平面1AD G 【答案】（1）60°；（2）证明见解析【解析】（1）由中位线及正方体性质可得1//EF AD ，从而得异面直线所成的角，在三角形中解这即可； （2）由（1）中的平行线可得线面平行． 【详解】证明：（1）连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点，知1//EF BC 又1111//,AB D C AB D C =∴四边形11ABC D 为平行四边形 所以11//BC AD ，所以1//EF ADEF 与11D B 所成的角为11AD B ∠连接1AB ，易知11AD B ∆为等边三角形1160AD B ︒∴∠=即EF 与11D B 所成的角为60°.（2）由（1）知1//EF AD ，1AD ⊂面1AD G ，EF ⊄面1AD G//EF ∴面1AD G【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查线面平行的判定定理．中位线是立体几何中证明平行的常用知识． 19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面； （2）平面1EFA //平面BCHG ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）利用三角形中位线的性质，证明11//GH B C ，从而可得//GH BC ，即可证明B ，C ，H ，G 四点共面；（2）证明平面1EFA 中有两条直线1A E 、EF 分别与平面BCHG 中的两条直线BG 、BC 平行，即可得到平面1EFA //平面BCHG ． 【详解】 (1)G H ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴，，B C H G ∴，，，四点共面．(2)E F ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，【点睛】本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为0.9万元,年维修费第一年为0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?【答案】这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小【解析】【详解】设这种汽车使用x 年时,它的年平均费用为y 万元， 则100.9(0.20.220.2)x x y x +++⨯++=，于是2100.90.2(12)100.1100.11213x x x x y x xx x +++++++⎛⎫===++≥+= ⎪⎝⎭， 当100.1x x=，即10x =时，取得最小值， 所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量(2,cos )m b c B =-，(,cos )n a A =-，且//m n . （1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆，求ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）(4,6] 【解析】（1）由向量共线，得三角形的边角关系，再由正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式及诱导公式化简可求得cos A ，从而得A ；（2）求正弦定理求得a ，利用余弦定理得,b c 关系，结合基本不等式得b c +的的不等关系，从而得b c +的最大值，由三角形性质得b c +的范围．【详解】解：（1） 由//m n ，得(2)cos cos 0b c A a B -+=.由正弦定理，得sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=，即2sin cos sin()sin C A A B C =+=.在ABC 中，由sin 0C >，得1cos 2A =. 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2） 由题意得， 得2sin 232a R A ==⨯= 由余弦定理 得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+- 即223()432b c bc b c +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭整理得2()16b c +，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4，又2b c a +>=，所以24b c <+，所以46a b c <++，所以ABC 的周长的取值范围为(4,6] .【点睛】本题考查平面向量共线定理的坐标表示，考查正弦定理、余弦定理，考查两角和的正弦公式、诱导公式，本题属于三角形中基本题型，属于中档题．22．已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1()n n nT S n N S +=-∈，求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值． 【答案】（1）()131?2n n n a -=-；（2）最大项的值为56,最小项的值为712- 【解析】试题分析：(1)根据335544,,S a S a S a +++成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列{}n a 不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以1312n S S <≤=;当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2314n S S =≤<，然后可判断最值.试题解析：（1）设{}n a 的公比为q ．由335544,,S a S a S a +++成等差数列，得55334455S a S a S a S a +--=+--.即534a a =，则25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列且132a =，所以12q =-. 故11313(1)222n n n n a --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. （2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得11,121{121,.2n n n n n S n +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭-为奇数，为偶数当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以1312n S S <≤=， 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2314n S S =≤<， 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上，对于n N +∈，总有715126n n S S -≤-≤， 所以数列{}n T 最大项的值为56，最小值的值为712-. 【考点】等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.。

四川省射洪中学校2020—2021学年高二数学上学期第二次月考试题 理（无答案） 注意事项： 1. 答卷前, 考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2. 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动, 用橡皮擦干净后, 再选涂其他答案标号。

回答非选择题时, 将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。

3. 考试结束后, 将答题卡交回。

第I 卷（选择题）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1．直线320x y +-=的倾斜角为（ ）A. 150°B. 120°C. 60°D. 30°2． 一梯形的直观图是如图所示的等腰梯形，且直观图O A B C ''''的面积为1，则原梯形的面积为（ ）A. 1B. 2C. 2D. 223．已知两条直线,a b ，两个平面,αβ，下面四个命题中不正确的是（ ）A ．,//,a b a b ααββ⊥⊂⇒⊥B ．//,//,a b a b αβαβ⊥⇒⊥C ．//,a b b a ββ⊥⇒⊥D ．//,////a b a b αα⇒4.如图,在四面体OABC 中, D 是BC 的中点,G 是AD 的中点,则OG 等于（ ）A 111333OA OB OC ++ B. 111234OA OB OC ++ C. 111244OA OB OC ++D. 111446OA OB OC ++ 5. 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝AC ＝AA 1＝2，BC ＝2，点D 为BC 的中点，则异面直线AD 与A 1C 所成的角为( )A ．2πB ．3πC ．4πD ．6π6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．24＋9πB ．12＋9πC ．12＋5πD ．24＋4π7. 已知点A （2，-3），B （3，2），直线ax +y +2=0与线段AB 相交，则实数a 的取值范围是（ ）A ．4132a -<<B ．12a >或43a <-C ．4132a -≤≤D ．12a ≥或43a ≤- 8．如图，以等腰直角三角形ABC 的斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD ⊥AC ； ②△BAC 是等边三角形；③三棱锥D －ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ．其中正确的是( )A ．①②④ B．①②③ C．②③④ D ．①③④9．将一张坐标纸折叠一次，使得点(0,2)与点(4,0)重合，点(7,3)与点(m ，n )重合，则m ＋n 等于( )A.345B.365C.283D.32310. 已知A ，B ，C ，D 是同一球面上的四个点，其中△ABC 是正三角形，AD ⊥平面ABC ，AD ＝2AB ＝12，则该球的表面积为( )A ．643π B．96π C．192π D．48π11. 设m ∈R ，过定点A 的动直线x +my ＝0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m +2＝0交于点P （x ，y ），则的最大值是( )A. B. C.D.12. 如图，正方体绕其体对角线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（ ）A ．B ．C ．D ．第II 卷（非选择题）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上)13. 若直线1:2100l ax y +-=与直线()2:2350l x a y +++=平行，则1l 与2l 之间的距离为 ▲ ．14． 已知x ，y 满足11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩，则z ＝2x +y 的最大值为 ▲ .15. 已知棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱AD 的中点，则过点1B 且与平面1A BE 平行的平面截正方体的截面面积为 ▲ .16． 在三棱锥A-BCD 中，AC ＝BD ＝3，AD ＝BC ＝4，AB ＝CD ＝m ，则m 的取值范围是 ▲ .三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．（10分）在平面直角坐标系中，已知菱形ABCD 的顶点()1,2A -和(5,4)C ，AB 所在直线的方程为30x y -+=.（1） 求对角线BD 所在直线的方程；（2） 求AD 所在直线的方程.▲18.（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，平面ADEF ⊥平面ABCD ，四边形ADEF 为正方形，四边形ABCD 为梯形，且AD ∥BC ，∠BAD ＝90°，AB ＝AD ＝1，BC ＝2.(1)求证：AF ⊥CD ；(2)若M 为线段BD 的中点，求证：平面CED ∥平面AMF .▲19.（12分）如图，已知点P 在圆柱OO 1的底面圆O 上，AB 为圆O 的直径，圆柱OO 1的侧面积为16π，OA ＝2，∠AOP ＝120°.(1)求三棱锥A 1－APB 的体积；(2)求直线A 1P 与底面PAB 所成角的正切值．▲20.（12分）已知在平面直角坐标系中，已知直线l ：（2+m ）x+（1-2m ）y+4-3m=0．（1）求证：不论m 为何实数，直线l 恒过一定点。

四川省射洪中学校2020-2021学年高二上学期第一次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．向量()1,2a =，(),1b λ=，若//a b ，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．1D ．-22．两直线a 与b 是异面直线，//b c ，则a 、c 的位置关系是（ ）A ．平行或相交B ．异面或平行C ．异面或相交D ．平行或异面或相交3．已知水平放置的△ABC 是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B ′O ′＝C ′O ′＝1，A ′O ′那么原△ABC 的面积是( )A B ．C ．2D ．44．如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于点G 、H ，则GH 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交C ．异面D ．平行或异面 5．关于直线,m n 及平面,αβ，①若//,m n ααβ=，则//m n ②若//,//m n αα，则//m n③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥④若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥其中正确的是（ ）A ．① ②B ．① ④C ．③D ．②6．在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1B B 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）A B ．25 C ．35 D ．457．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为A ．)21π+B ．21π⎫+⎪⎪⎝⎭C ．12π2⎫++⎪⎪⎝⎭D ．1π2⎫+⎪⎪⎝⎭8．在ABC 中，90C ∠=︒，且2CA =，3CB =，点M 为AB 的中点，则CM CB ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．929．在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ） A ．23π B ．43π C ．53π D ．2π10．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1A OCB ．1A B CD ⊥C ．三棱锥1A BCD -D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1A OE11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P ABC -为鳖臑，PA ⊥平面ABC ，2PA AB ==，AC =P ABC -的四个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．20πD ．24π12．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =，点P 是侧面11AA D D （包括边界）上一动点，且1//PB 平面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是（ ）A ．13,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．0,1C ．1,33⎡⎢⎣⎦D ．13⎡⎢⎣⎦二、填空题 13．已知平面向量()3,1a =，(),3b x =-，且a b ⊥，则x =14．已知球的表面积为4π，则该球的体积为________．15．在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为________；16．在长方体1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，侧棱()14AA a a =>，M 是BC 的中点，点P 是侧面11ABB A 内的动点（包括四条边上的点），且满足tan 3tan APD MPB ∠=∠，则三棱锥P ABC -的体积的最大值是______.三、解答题17．一个圆锥的母线长为20cm ，底面面积为100π2cm .（1）求圆锥的高；（2）用一个平行于圆锥底面的平面去截这个圆锥，截得的截面面积为4π2cm ，求截得的圆台的母线长.18．如图，⊙O 在平面α内，AB 是⊙O 的直径，PA ⊥平面α，C 为圆周上不同于,A B 的任意一点，,,M N Q 分别是,,PA PC PB 的中点.（1）求证：平面//MNQ 平面α；（2）求证：BC ⊥平面PAC .19．ABC ∆的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知222b c a bc +=+.（1）求A ；（2）若a =8c =，D 是BC 上的点，AD =，求ABD ∆的面积.20．如图1，ABCD 为菱形，∠ABC ＝60°，△P AB 是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，将△P AB 沿AB 边折起，使平面P AB ⊥平面ABCD ，连接PC 、PD ，如图2，（1）证明：AB PC ⊥；（2）求PD 与平面PAB 所成角的正弦值.21．在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形，AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面ABCD ，F 为BE 的中点.（1）求证：DE ∥平面ACF ；（2）若AB CE =，在线段EO 找一点G ，使CG ⊥平面BDE ，求出EG EO的值. 22．如图，三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，1AA ⊥平面ABC ，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点.（1）求证：平面BAE ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BA A --的余弦值；（3）在线段1B B （含端点）上是否存在点M ，使点M 到平面1A BD ，请说明理由.参考答案1．A【解析】【分析】直接利用向量共线的性质列方程求解即可.【详解】因为向量()1,2a =，(),1b λ=，所以，若//a b ，则1120λ⨯-=， 解得12λ=， 故选：A.【点睛】本题主要考查平面向量共线的性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题. 2．C【解析】【分析】直观想象分析即可.【详解】由题可得, a 、c 的位置关系可以是异面或相交.故选：C【点睛】本题主要考查了空间直线中的位置关系,属于基础题型.3．A【解析】【分析】先根据已知求出原△ABC 的高为AO 再求原△ABC 的面积.【详解】由题图可知原△ABC 的高为AO∴S △ABC ＝12×BC ×OA ＝12 A【点睛】本题主要考查斜二测画法的定义和三角形面积的计算，意在考察学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.4．A【解析】【分析】先证明出//EF 平面ABCD ，然后利用直线与平面平行的性质定理和平行公理可得出直线GH 与直线AB 的位置关系.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，11//AA BB ，E 、F 分别为1AA 、1BB 的中点，//AE BF ∴， ∴四边形ABFE 为平行四边形，//EF AB ∴，EF ⊄平面ABCD ，AB 平面ABCD ，//EF ∴平面ABCD ，EF ⊂平面EFGH ，平面EFGH平面ABCD GH =，//EF GH ∴，又//EF AB ，//GH AB ∴，故选A.【点睛】 本题考查空间直线与直线位置关系的判断，考查了直线与平面平行的性质定理、平行公理的应用，在利用直线与平面平行的性质定理时，首先应证明出直线与平面平行，考查推理能力，属于中等题.5．C【解析】【分析】①：根据线面的位置关系和线线关系进行判断即可；②：根据线面平行的性质进行判断即可；③：根据线面平行的性质定理、面面垂直的判定定理进行判断即可；④：根据面面垂直的性质定理进行判断即可.【详解】①：因为//m α，所以直线m 与平面α没有交点，而n αβ=，所以直线m 与直线n 没有交点，故两直线的位置关系是平行或异面，故本命题不正确；②：因为//,//m n αα，所以直线m 、n 和平面α没有交点，故两条直线可以相交、平行、异面，故本命题不正确；③：因为//m β，所以存在一个过直线m 的平面γ与β相交，设交线为c ，因此有//m c ，又因为m α⊥，所以c α⊥，由面面垂直的判定定理可得，αβ⊥，故本命题正确；④：因为,m ααβ⊂⊥，所以只有当m 与,αβ的交线垂直时，才能得到m β⊥，故本命题不正确，因此只有一个命题正确.故选：C.【点睛】本题考查了线面平行的性质定理、面面垂直的性质定理，考查了线线位置关系的判断，考查了推理论证能力.属于较易题.6．B【解析】【分析】根据作平行线的方法作出两直线所成的角，然后通过余弦定理求得两直线所成角的余弦值．【详解】过点N 作AM 的平行线交AB 于点E ，则3AE EB =，连接EC ，设4AB =，在NEC 中，有EN =EC =NC = 由余弦定理得2222cos 25EN NC EC ENC EN NC +-∠==⋅⋅， ∴直线AM 与CN 所成的角的余弦值是25． 故选：B ．【点睛】本题主要考查求异面直线所成的角，熟记异面直线所成角的概念，根据几何法求解即可，属于基础题型.7．C【解析】【分析】三视图中有两个三角形则一般为锥体，另一图为半圆，则为半个圆锥，所以表面积为一个半圆、一个三角形、一个扇形，根据图像中的长度结合面积公式即可求出结果.【详解】由三视图可知，其对应的几何体是半个圆锥，圆锥的底面半径为1r =，圆锥的高2h =，其母线长l则该几何体的表面积为21111π1π1222π2222S ⎫=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+⎪⎪⎝⎭. 故选C.【点睛】本题考查三视图还原以及表面积的求法，注意熟练掌握还原方法与公式，求面积时要考虑全面，注意面积公式的正确运用.8．D【解析】【分析】根据题意，得到()12CM CB CA =+，再由题中条件，根据向量数量积的运算法则，即可得出结果.【详解】因为点M 为AB 的中点，所以()12CM CB CA =+， 又90C ∠=︒，且2CA =，3CB =，因此()211192222CM CB CB CA CB CB CA CB ⋅=+⋅=+=. 故选：D.【点睛】本题主要考查向量数量积的运算，属于基础题型.9．C【解析】【分析】【详解】由题意可知旋转后的几何体如图:直角梯形ABCD 绕AD 所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体是一个底面半径为1，母线长为2的圆柱挖去一个底面半径同样是1、高为1的圆锥后得到的组合体，所以该组合体的体积为2215121133V V V πππ=-=⨯⨯-⨯⨯⨯=圆柱圆锥 故选C.考点：1、空间几何体的结构特征；2、空间几何体的体积.10．B【解析】【分析】通过线线垂直证得线面垂直，进而得到A 正确；对于B 选项先假设成立，再推出矛盾进而得到结果不正确；C 根据四棱锥的形状得到球心位置，进而得到半径；由线面平行的判定定理得到线面平行.【详解】 因为ABCD 是正方形，故得到BD AC ⊥,折叠之后得到1BD OA ⊥，BD OC ⊥,1O A OC O ⋂=故得到BD ⊥面1A OC ,进而得到A 选项正确；假设1A B CD ⊥，又因为11A B A ⊥D ，进而得到1A B ⊥面1A CE ,则11A B A C ⊥,三角形1A BC ,BC=2=1 2,A B =不可能满足直角关系，故B 错误.三棱锥1A BCD -，的外接球的球心在O 点处，因为OC=OD=OB=O 1A ，此时球的半径为C 正确；若E 为CD 的中点，则//BC OE ,OE 在平面1A OE 内，故得到//BC 平面1A OE ，D 正确； 故答案为B.【点睛】直线与平面垂直的概念是利用直线与直线垂直的概念定义的，要注意定义中的“任何一条直线”这个词，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，2.如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于同一个平面.符号语言如下：a b b a αα⎫⇒⊥⎬⊥⎭. 11．C【解析】由题意得PC 为球O 的直径,而PC ==即球O 的半径R =所以球O 的表面积24π20πS R ==.本题选择C 选项.点睛：与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径. 12．D【解析】【分析】【详解】在1AA 上取点M ，使得112AM MA =，连接1B M ，则1B M DF ∥，取11C D 的中点为N ，连接1B N ，则1B N DE ∥.因此平面1B MN ∥平面DEF ，过N 作NG DF ∥交1DD 于G 连接MG ，则1,,,B M G N 四点共面. 且123DG DD = . 1PB 平面DEF . ∴点P 在线段MG 上运动. 当点P 分别与点,M G 重合时，tan ABP ∠取最小值13，故选D.13．【解析】试题分析：由得0a b ⋅=，即得． 考点：向量垂直的数乘运算．14．43π 【解析】【分析】先根据球的表面积公式24S R π=求出半径，再根据体积公式343V R π=求解. 【详解】设球半径为R ，则244S R ππ==，解得1R =，所以34433V R ππ== 【点睛】本题考查球的面积、体积计算，属于基础题.15【解析】【分析】由1CC ⊥平面ABCD ，得1C AC ∠是1AC 与底面ABCD 所成的角，由此能求出1AC 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】1C C ⊥底面ABCD ，1C AC ∴∠是1AC 与底面ABCD 所成的角，设正方体1AC 的棱长为a ，则1C C a =，AC =，1AC =，111sin C C C AC AC ∴∠==．【点睛】 本题考查直线与平面所成角的正弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．16【解析】【分析】由题意画出图形，表述出tan 3tan APD MPB ∠=∠，得到23PA PB =，从而得到P 到平面ABC 的距离PN ，然后求出PN 的最大值，从而得到三棱锥P ABC -的体积的最大值.【详解】做PN AB ⊥于N ，在长方体1111ABCD A B C D -中，DA ⊥平面11A ABB ，CB ⊥平面11A ABB所以在Rt PDA ∆和Rt PBC ∆中，tan AD APD AP ∠=，tan BM MPB PB∠=因为tan 3tan APD MPB ∠=∠，1122BM BC AD ==， 所以23PA PB =， 因为CB ⊥平面11A ABB ，PN ⊂平面11A ABB ，所以CB PN ⊥，又PN AB ⊥于N ，AB BC B ⋂=所以可得PN 平面ABC ，设,PN h AN x ==，则4BN x =-，[]0,4x ∈， 由23PA PB =，得2249PA PB = 即()2222449h x h x ⎡⎤+=+-⎣⎦， 整理得22326455h x x =--+，[]0,4x ∈ 开口向下，对称轴165x =-， 所以在[]0,4x ∈单调减，所以0x =时，2h 取最大值，为2max 645h =所以max h =， 所以三棱锥P ABC -的体积的最大值为114432515⨯⨯⨯⨯=.故答案为15.【点睛】本题考查了空间几何体中的最值问题，关键是列出式子，转化为距离问题，借助函数求解即可，属于难题．17．（1）2；（2）16cm .【解析】【分析】（1）设圆锥的高为h ，圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，利用勾股定理即可求出结果； （2）设截得的圆台的母线长为l '，画出轴截面，利用三角形相似，对应边成比例即可得出答案.【详解】（1）设圆锥的高为h ，圆锥的母线长为l ，底面半径为r ，则20l =，210010r r ππ=⇒=，则圆锥的高h ==故圆锥的高为2.（2）设截得的圆台的母线长为l '，由截得的截面面积为4π2cm ，得截得的截面直径为4cm ，底面直径为20cm ，由图得：204162020l l '-'=⇒=. 所以截得的圆台的母线长为16cm .【点睛】本题主要考查了圆锥的相关计算.属于较易题.18．（1）证明见详解；（2）证明见详解；【解析】【分析】（1）先线面平行的判定定理，证明//MN 平面α，//NQ 平面α，再利用面面平行的判定定理证明即可；（2）利用已知条件BC PA ⊥，BC AC ⊥，再利用线面垂直的判定定理证明即可.【详解】证明：（1）∵ ,M N 分别是,PA PC 的中点，∴ //MN AC ，又∵ ,MN AC αα⊂⊂/，∴ //MN 平面α，∵ ,N Q 分别是,PC PB 的中点，∴ //NQ BC ，又∵ ,NQ BC αα⊂⊂/，∴ //NQ 平面α，∵ MN ⊂平面MNQ ，NQ ⊂平面MNQ ，且MN NQ N =，∴ 平面//MNQ 平面α.（2）∵ PA ⊥平面α，BC ⊂平面α，∴ BC PA ⊥，又∵ AB 是⊙ O 的直径，C 为圆周上不同于A 、B 的任意一点，∴ BC AC ⊥，∵ PA AC A =，,PA AC ⊂平面PAC ，∴ BC ⊥平面PAC .【点睛】本题主要考查了线面平行以及平行的判定，考查了线面垂直的判定定理.属于较易题.19．（1）3A π=（2）【解析】【分析】(1)利用余弦定理求解即可.(2)利用正弦定理可得2C π=,再计算出BD 利用三角形面积公式求解即可.【详解】 解：（1）222122b c a bc +-=,即1cos 2A =，又(0,)A π∈,故3A π=； （2）由正弦定理sin sin a c A C=得：sin 1C =， (0,)2C C ππ∈∴=,6B π=,142b c ==，在ACD ∆中：CD ==BD BC CD ∴=-=，1sin 2ABD S AB BD B ∆∴=⋅⋅=【点睛】本题主要考查了正余弦定理与三角形的面积公式解三角形的方法,属于中等题型.20．（1）证明见解析；（2 【解析】【分析】（1）根据等腰三角形与菱形的性质可得PM AB ⊥，CM AB ⊥，可证明AB ⊥面PMC ，从而可得结论；（2）根据面面垂直的性质证明CM ⊥面PAB ，由//CD 平面PAB ，可得D 到平面PAB 的距离h CM ==PD 的值，即可求得PD 与平面ABCD 所成角的正弦值．【详解】（1）证明：PAB ∆是边长为2的等边三角形，点M 为AB 的中点，PM AB ∴⊥． ABCD 为菱形，60ABC ∠=︒．CM AB ∴⊥，且PM MC M =，AB ∴⊥面PMC ，PC ⊂面PMC ，AB PC ∴⊥；（2）平面PAB ⊥平面ABCD ，平面PAB ⋂平面ABCD AB =，CM AB ⊥． CM ∴⊥面PAB ，因为//CD AB ，所以//CD 平面PAB ，所以D 到平面PAB 的距离h CM ==PM =，MD =PDsin h PMD PD ∠===，即PD 与平面PAB 所成角的正弦值为10． 【点睛】 本题考查了面面垂直的性质定理、线面垂直的判定定理、线面角的求解，同时考查了空间想象能力，属于中档题．．21．（1）证明见详解；（2）23. 【解析】【分析】（1）连接OF ，根据底面ABCD 是正方形，F 为BE 的中点，易得DE //OF ，然后利用线面平行的判定定理证明..（2）先利用已知条件得到,CO OE ，利用线面垂直的判定定理得到BD ⊥平面ACE ，作CG OE ⊥交OE 于点G ，利用线面垂直的判定定理即可得到CG ⊥平面BDE ，在OCE △中，利用面积相等以及勾股定理，得到EG ，即可得到结果.【详解】（1）如图所示：连接OF，因为底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，F为BE的中点，所以DE//OF，又DE⊄平面ACF，OF⊂平面ACF，所以DE//平面ACF；（2）如图所示：==，设AB CE a则,22CO a OE a===，由EC⊥面ABCD，所以EC⊥BD，又AC⊥BD，且EC AC C⋂=，所以BD⊥平面ACE；作CG OE⊥交OE于点G，则BD CG⊥,又BD OE O⋂=，所以CG⊥平面BDE,在OCE△中，1122OC CE CG OE a CG⨯⨯=⨯⨯⇒⨯=⨯，故CG a=，又CG OE⊥，则3EG a===，所以23EGEO==.【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理，还考查了运算求解的能力，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2（3）存在，理由见解析.【解析】【分析】(1)证明AE⊥面1A BD即可证明平面BAE⊥平面1A BD；(2)设1A D交AE于点O,过点A作1AF A B⊥,连OF,证明OFA∠即为所求二面角再计算即可；(3)取11A C中点1D,连接11B D,1DD,再证明当点M与点1B重合时,点M到平面1A BD的距即可. 【详解】（1）证明：1AA ⊥面ABC ,BD ⊂面ABC ，1AA BD ∴⊥,又BD AC ⊥，1AA AC A =，BD ∴⊥面11AAC C ,AE ⊂面11AC C ， BD AE ∴⊥①，190ACE A AD ∠=∠=，1A A AC =，AD CE =，1A AD CAE ∴∆≅∆，则1AA D CAE ∠=∠，1AE A D ∴⊥②，又1A D BD D ⋂=，结合①②可得AE ⊥面1A BD ， 又AE ⊂平面BAE ，∴面BAE ⊥面l A BD ；（2）设1A D 交AE 于点O ,过点A 作1AF A B ⊥,连OF ， AE 面1A BD ，1A B ⊂平面1A BD ，1AE A B ∴⊥，1AF A B ⊥，AE AF A ⋂=，1A B ∴⊥面AEF ，OF ⊂面AEF ，1A B OF ∴⊥， OFA ∴∠即为所求二面角，在1Rt AA B ∆中：AF =，在1AA D ∆中：11AA AD A D AO ⋅=⋅,AO ∴=，Rt AOF ∴∆中：5OF ==，cos 5OF OFA AF ∴∠==，因此，二面角1D BA A --的余弦值为5；（3）当点M 与点1B 重合时,点M 到平面1A BD . 取11A C 中点1D ,连接11B D ,1DD ， 四边形11AAC C 为平行四边形，11//AC AC ∴且11AC A C =， D 、1D 分别为AC 、11A C 的中点，11//AD A D ∴且11AD A D =，∴四边形11AA D D 为平行四边形，11//AA DD ∴且11AA DD =，在三棱柱111ABC A B C -中，11//AA BB ，11//DD BB ∴，∴B ,1B ,D ,1D 四点共面， 1DD ⊥面111A B C ，11A C ⊂平面111A B C ，故111DD AC ⊥，又1111B D A C ⊥，1111DD B D D =，11A C ∴⊥平面11BDD B ，设点1B 到平面1A BD 的距离为h ，由1111B A BD A BB D V V --=，即11111133A BD B BD h S A D S ∆∆⋅=⋅，即11111113232h A D BD BD BB ⋅⋅=⋅⋅⋅⋅， 5h ∴=.故当点M 与点1B 重合时,点M 到平面1A BD . 【点睛】 本题主要考查了线面垂直的证明与性质,同时也考查了二面角的计算、利用等体积法计算点到平面的距离.属于中等题型.。

π m 7π
得2
6 3 ，解得 6
12 ，
所以实数
m
的取值范围是
π 6
,
7π 12
.
故选：D 8．C 【分析】在 ABP 中利用余弦定理求出 AP ，利用正弦定理求出 ABP 外接圆的半径半径为
R
，则
R2
r2
AC 2
2
，再由球的表面积公式计算可得.
【详解】在 ABP 中由余弦定理 AP2 AB2 BP2 2AB BP cos ABP
x [ π , m]
2x π [ π , 2m π]
sin( π ) sin 4π 3 ,sin π 1
当
4 时， 6 3
6 ，显然 3
3 2 2，
且正弦函数
y
sin
x
[ 在
π 2
,
4π 3
] 上单调递减，由
f
(x)
[ 在区间
π 4
,
m]
[
上的值域为
3 ,1] 2，
π 2m π 4π
π 3
13
4
3
2
20 .
故选：B.
7．D 【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数 f (x) ，再借助正弦函数的图象与性质求解 即得.
f (x) 3 sin x cos x cos2 x 1 3 sin 2x 1 cos 2x sin(2x π )
【详解】依题意，函数
22
2
6，
.
13．电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的
宣传力度.已知某社区共有居民 480 人，其中老年人 200 人，中年人 200 人，青少年 80 人，

四川省射洪县射洪中学 2021-2021学年高二上学期开学考试试题一、选择题〔本大题共 18小题，每题3分，共54分。

〕 1•以下属于碱性氧化物的是〔 〕A. CaOB. Na 2O 22•以下仪器对应名称正确的选项是〔 〕3. 以下物质属于非电解质的是 〔〕4.以下化学用语使用正确的选项是 〔〕288B. S 2-的结构式示意图：C. 质子数为8,中子数为10的核素：D. CO 2分子式的结构式： O-C-O 5. 以下说法不正确的选项是〔〕A. 食盐和醋可作调味剂，也可用作食品防腐剂B. 植物秸秆不可用来制造酒精C. 镁合金可用于制造火箭、导弹和飞机的部件D. 二氧化硅可用于制光导纤维 6. 以下实验操作正确的选项是〔〕A. 用pH 试纸测定某溶液的pH 时，需预先用蒸馏水湿润pH 试纸B. 蒸馏石油时为了更好地控制温度，应将温度计的水银球伸入液面以下C. 蒸发结晶时不能将溶液全部蒸干，应该在有大量晶体析出时停止加热D. 稀释浓硫酸时，可向盛有浓硫酸的烧杯中直接加蒸馏水C. SiO 2D. Mn 2O 7A.石墨B. HClC. CO 2D. BaCO 3A.氯化镁的电子式:C.蒸发皿8.以下说法正确的选项是()A. H2和D2互’'同位素B. 分子式为C2H6O、C4H io的有机物均有两种同分异构体C. 泊名称是2-乙基丁烷D. 12C原子是指质子数为6，中子数是12的一种核素9. W、X、Y、Z均为短周期主族元素，原子序数依次增加，W与X不在同一周期，且原子核外最外层电子数分别为1、5、5、7,以下说法正确的选项是()A. 原子半径大小顺序：r(Z)>r(Y)>r(X)>r(W)B. W和X形成的化合物中只有离子键C. Y的最高价氧化物对应的水化物的酸性比Z强D. X的最低价气态氢化物的热稳定性比Y强10. 以下离子方程式正确的选项是()A. 氯气和水反响：Cl2+H2O= 2H++C「+CIO-B. 金属钠投入MgCl 2溶液中：2Na+Mg 2+ =2Na++MgC. 0.lmol/LNaHSO 4溶液与0.lmol/LBa(OH) 2 溶液等体积混合：SO42-+Ba2+=BaSO4 JD. 硅酸钠水溶液中通入过量CO2：SiO32-+2H 2O+2CO2=2HCO 3-+H2SiO3 J11. 以下说法不正确的选项是()A. 油脂是热值最高的营养物质，可以制造肥皂和油漆B. 利用二氧化碳制造全降解塑料，符合绿色化学理念C. 脱脂棉、滤纸、蚕丝的主要成分均为纤维素，完全水解能得到葡萄糖D. 酒精、福尔马林用于杀菌消毒的原理都是使蛋白质变性12. 以下说法正确的选项是〔〕A. 银锌纽扣电池的放电反响：Zn+Ag2O+H2O=Zn〔OH〕2+2Ag，其中Ag2O作正极，发生还原反响B. 通过构成原电池，能将反响的化学能全部转化为电能C. 右图原电池中，电池工作时，SO42-移向电池的正极D. 构成原电池的两个电极必须是活泼性不同的两种金属13. 以下说法不正确的选项是〔〕A. CO2、SiO2的晶体结构类型不同B. 加热硅、硫晶体使之熔化，克服的作用力不同C. HF比HCI稳定是因为HF间存在氢键D. NaOH、NH4CI晶体中既有离子键又有共价键14•设N A为阿伏伽德罗常数的值，以下说法正确的选项是〔〕A. 标准状况下，含N A个分子的H2、CO混合气体的体积约为22.4LB. 56g铁与一定量的氯气在一定条件下充分反响，转移的电子数一定是3N AC. 28g乙烯与C3H8的混合物中含有C —H键的数目为4N AD. 常温下，pH=11的NaOH溶液中由水电离出的H+数目为0.001N A15. N A代表阿伏加德罗常数的值。

射洪中学2020-2021学年高二上学期第一次月考数学试题（文史类）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题中只有一项符合题目要求）1.下列说法正确的是（ ）A.梯形一定是平面图形B.三点确定一个平面C.四边形一定是平面图形D.两个不同的平面α和β有不在同一直线上的三个公共点2.向量()1,2a =，(),1b λ=，若//，则λ=（ ）A.12B.13 C.1 D.-23.两直线a 与b 是异面直线，//b c ，则a 、c 的位置关系是（ ）A. 平行或相交B. 异面或平行C.平行或异面或相交D. 异面或相交 4.已知水平放置ABC ∆，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图A B C '''，其中1B O C O ''''==，3A O ''=，那么原ABC ∆的面积是（ ） A. 223335.如图所示，长方体1111D C B A ABCD -中，F E ,分别是棱1AA 和1BB 的中点，过EF 的平面EFGH 分别交BC 和AD 于H G ,，则HG 与AB 的位置关系是（ ）A ．平行B ．相交 B ．C ．异面D ．平行和异面6.关于直线n m ,及平面βα,，①若//,m n ααβ=，则//m n②若//,//m n αα，则//m n ③若,//m m αβ⊥，则αβ⊥④若,m ααβ⊂⊥，则m β⊥ 其中正确的是（ ）A ．①②B ．①④C ．③D ．② 7．在棱长为1的正方体1111D C B A ABCD -中，M 和N 分别为11B A 和BB 1的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） A.23 B.52 C.53 D. 54 的8.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为（ ） A ()251π++ B. 521π⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ C. 512π2⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭ D. 51π2⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭9.在ABC ∆中，︒=∠90C ，且3,2==CB CA ，点M 为AB 的中点，则CB CM ⋅=（ ）A ．3B ．2C ．4D ．29 10.在梯形ABCD 中，90ABC ∠=︒，//AD BC ，222BC AD AB ===.将梯形ABCD 绕AD 所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（ ）A. 23πB. 43πC. 53πD. 2π 11.如图，将边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为（ ） A. 直线BD ⊥平面1A OC B. 1A B CD ⊥ C. 三棱锥1A BCD -的外接球的半径为2 D. 若E 为CD 的中点，则//BC 平面1A OE 12.如图，在正方体1111D C B A ABCD -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12FC CF =，点P 是侧面D D AA 11（包括边界）上一动点，且1PB //平面DEF ，则ABP ∠tan 的取值范围为（ ） A 、]23,21[ B 、]1,0[ C 、]310,31[ D 、]313,31[二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡横线上)13．已知平面向量(3,1)a =，(,3)b x =-，且a b ⊥，则x = ▲ ；14、已知一个球的表面积为π4，则这个球的体积为 ▲ ；15.在正方体1111D ABC A B C D -中，对角线1AC 与底面ABCD 所成角的正弦值为 ▲ ；16．如图，三棱柱111C B A ABC -中，侧棱⊥1AA 底面ABC ,︒=∠===90,1,21ABC BC AB AA外接球的球心为O ,点E 是侧棱1BB 上的一个动点，有下列判断：①直线AC 与直线E C 1是异面直线；②E A 1一定不垂直于1AC ；③三棱锥O AA E 1-的体积为定值；④1EC AE +的最小值为22．.其中正确的序号是 ▲ 。

2019-2020学年四川省射洪县射洪中学高二上学期入学考试数学试题一、单选题1．已知数列的通项公式是()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，则23⋅a a 等于（ ）A ．70B ．28C ．20D ．8【答案】C 【解析】【详解】因为()()31{22n n n a n n +=-是奇数是偶数，所以，所以23⋅a a =20. 故选C.2．不等式(9)0x x ->的解集为（ ） A ．{|0}x x <B ．{}9x x C ．{9?|0}x x x <或 D ．{|09}x x << 【答案】D【解析】解一元二次不等式求得不等式的解集. 【详解】由(9)0x x ->，得()90x x -<，解得09x <<，故选D. 【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法，属于基础题. 3．下列结论不正确的是（ ） A ．若a b >，0c >，则ac bc > B ．若a b >，0c >，则c ca b> C ．若a b >，则a c b c +>+ D ．若a b >，则a c b c ->-【答案】B【解析】根据不等式的性质，对选项逐一分析，由此得出正确选项. 【详解】对于A 选项，不等式两边乘以一个正数，不等号不改变方程，故A 正确.对于B 选项，若2,1,1a b c ===，则c ca b<，故B 选项错误.对于C 、D 选项，不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号方向不改变，故C 、D 正确.综上所述，本小题选B. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查特殊值法解选择题，属于基础题. 4．在△ABC 中，AB=3，AC=1，30B ︒∠=，△ABC 的面积为3，则C ∠=（ ） A ．30° B ．45°C ．60°D ．75°【答案】C【解析】【详解】试题分析：由三角形面积公式得，133||sin 302BC ︒⨯⋅⋅=,所以||2BC =．显然三角形为直角三角形，且90A ︒∠=，所以C 60︒∠=．【考点】解三角形．5．一几何体的三视图如图所示，则它的体积等于（ ）A ．96B ．126C ．192D ．288【答案】D【解析】由三视图还原出原几何体，根据三视图中的尺寸可求得体积． 【详解】由三视图知原几何体是在一个直三棱柱，体积为168122882V =⨯⨯⨯=． 故选：D ． 【点睛】本题考查三视图，考查棱柱的体积，解题关键是掌握基本几何体的三视图． 6．已知等差数列{}n a 的前n 项的和为n S ，若3818a a =-，则10S 等于（ ）A ．81B ．90C ．99D ．180【答案】B【解析】根据已知得到38a a +的值，利用等差数列前n 项和公式以及等差数列下标和的性质，求得10S 的值. 【详解】依题意3818a a +=，所以()1101038105518902a a S a a +=⨯=+=⨯=，故选B. 【点睛】本小题主要考查等差数列的性质，考查等差数列前n 项和的计算，属于基础题. 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是“有一个人走378里，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程是前一天的一半，走了6天后到达目的地．”请问第三天走了（ ） A ．60里 B ．48里C ．36里D ．24里【答案】B【解析】根据题意得出等比数列的项数、公比和前n 项和，由此列方程，解方程求得首项，进而求得3a 的值. 【详解】依题意步行路程是等比数列，且12q =，6n =，6378S =，故16112378112a ⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，解得1192a =，故2311192484a a q ==⨯=里.故选B. 【点睛】本小题主要考查中国古典数学文化，考查等比数列前n 项和的基本量计算，属于基础题. 8．下列四个命题：①存在与两条异面直线都平行的平面；②过空间一点，一定能作一个平面与两条异面直线都平行；③过平面外一点可作无数条直线与该平面平行；④过直线外一点可作无数个平面与该直线平行.其中正确的命题的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．3【答案】D【解析】根据线面平行的位置关系判断． 【详解】①过空间一点作两异面直线的平行线，这两条平行线确定的平面只要不过这两条异面直线，则线面平行，①正确；②过空间一点作两异面直线的平行线，这两条平行线确定的平面有可能过两异面直线中的一条直线，则无线面平行，②错；③过平面外一点可作作一个平面与已知平面平行，而此平面内的所有直线都与该平面平行，③正确；④过直线外一点可作一条直线与已知直线平行，过该直线的平面除过已知直线的一个平面外其它所有平面都与已知直线平行，④正确． 共有3个命题正确． 故选：D ． 【点睛】本题考查空间线面平行位置关系的判断，掌握线面平行的位置关系是解题关键．9．已知平面向量a r ，b r 满足 ||1a =r ，||2b =r ，且()a b a +⊥r r r ，则a r 与b r 的夹角为（ ）A ．56πB ．6π C ．23π D ．3π 【答案】C【解析】由向量垂直得数量积a b ⋅r r，再由向量的数量积的定义求得夹角． 【详解】∵()a b a +⊥r r r ，∴2()0a b a a a b +⋅=+⋅=r r r r r r，∴1a b ⋅=-r r ，∴1cos ,2cos ,a b a b a b a b ⋅=-=<>=<>r r r r r r r r，1cos ,2a b <>=-r r ，∴,a b <>r r 23π=．故选：C ． 【点睛】本题考查求向量的夹角，考查平面向量数量积的定义，解题关键是掌握向量垂直与数量积的关系．10．若1sin()33πα-=，则cos(2)3πα+=A ．79-B ．23C ．23-D ．79【答案】A【解析】先根据诱导公式求出163cos πα⎛⎫+=⎪⎝⎭，再结合二倍角公式即可求得结果【详解】1cos cos 32363sin ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=+= ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦Q22172cos 2212136639cos cos πππααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+=+-=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选A 【点睛】本题主要考查的是两角和与差的余弦公式以及诱导公式、二倍角公式的应用，属于基础题，注意计算11．已知幂函数()y f x =过点(4,2)，令(1)()n a f n f n =++，n +∈N ，记数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则10n S =时，n 的值是（ ） A ．10 B ．120 C ．130 D ．140【答案】B【解析】根据幂函数所过点求得幂函数解析式，由此求得n a 的表达式，利用裂项求和法求得n S 的表达式，解方程10n S =求得n 的值. 【详解】设幂函数为()f x x α=，将()4,2代入得142,2αα==，所以()f x =所以n a =1na =1n S =L 1=，由110n S =解得120n =，故选B. 【点睛】本小题主要考查幂函数解析式的求法，考查裂项求和法，考查方程的思想，属于基础题.12．已知AB AC ⊥u u u v u u u v ，1AB t=u u uv ，AC t =u u u v ，若P 点是ABC V 所在平面内一点，且4AB AC AP AB AC=+u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v ，则·PB PC u u u v u u u v 的最大值等于（ ）.A ．13B ．15C ．19D ．21【答案】A【解析】以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则1(,0)Bt，(0,)C t，10)4(0,1)(1,4)AP=+=u u u r（，，即14)P（，，所以114)PBt=--u u u r（，，14)PC t=--u u u r（，，因此PB PC⋅u u u r u u u r11416tt=--+117(4)tt=-+，因为114244t tt t+≥⋅=，所以PB PC⋅u u u r u u u r的最大值等于13，当14tt=，即12t=时取等号．【考点】1、平面向量数量积；2、基本不等式．二、填空题13．若1sin3α=，则cos2=α__________．【答案】79【解析】【详解】2217cos212sin12().39αα=-=-⨯=14．已知数列{}n a的前n项和满足()2*2nS n n n=-∈N，则4a=______．【答案】5【解析】利用11,1,2nn nS naS S n-=⎧=⎨-≥⎩求得n a，进而求得4a的值.【详解】当1n=时，111a S==-，当2n≥时，123n n na S S n-=-=-，当1n=时上式也满足，故{}n a 的通项公式为23n a n =-，故4835a =-=. 【点睛】本小题主要考查已知n S 求n a ，考查运算求解能力，属于基础题.15．如图，已知OA a =u u u v v ，OB b =u u u v v，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，用a v ，b v 表示向量MN =u u u u v__________ .【答案】22b a -vv【解析】由已知得AB 是MSN V 的中位线，从而2MN AB =u u u u r u u u r，由此能求出结果．【详解】OA a =u u u r r Q ，OB b =u u u r r，任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，AB ∴是MSN V 的中位线，()2222MN AB OB OA b a ∴==-=-u u u u r u u u r u u u r u u u r r r ．故答案为：22b a -r r【点睛】本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．16．设(1,2)OA =-u u u r ,(,1)OB a =-u u u r ，(,0)OC b =-u u u r，0,0a b >>，O 为坐标原点，若A 、B 、C 三点共线，则12a b+的最小值是 【答案】8【解析】(1,1)AB OB OA a =-=-u u u r u u u r u u u r ，(1,2)AC OC OA b =-=--u u u r u u u r u u u r，因为A 、B 、C 三点共线，所以//AB AC u u u r u u u r， 所以2(1)10a b -++=，即21a b +=，12122()(2)4482b a a b a b a b a b +=++=++≥+=， 当且仅当11,42a b ==时等号成立． 所以12a b+的最小值为8.三、解答题17．已知向量m u r ，n r 不是共线向量，32a m n =+r u r r ，64b m n =-r u r r ，c m xn =+r u r r（1）判断,a b r r是否共线；（2）若//r ra c ，求x 的值【答案】（1）,a b r r不共线；（2）23x =【解析】（1）根据平面向量共线定理判断． （2）由平面向量共线定理计算． 【详解】解：（1）若a r 与b r 共线，由题知a r为非零向量，则有b a λ=r r，即64(32)m n m n λ-=+u r r u r r ，6342λλ=⎧∴⎨-=⎩得到2λ=且2λ=-，λ∴不存在，即a r 与b r不平行.（2） ∵//r r a c ，∴存在实数r ，使得c ra =r r，即32m xn rm rn +=+u r r u r r ，即132r x r=⎧⎨=⎩，解得23x =.【点睛】本题考查平面向量共线定理，掌握平面向量共线定理是解题基础．18．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F ，G 分别是BC ，1CC ，1BB 的中点.（1）求EF 与11B D 所成的角； （2）求证：//EF 平面1AD G 【答案】（1）60°；（2）证明见解析【解析】（1）由中位线及正方体性质可得1//EF AD ，从而得异面直线所成的角，在三角形中解这即可；（2）由（1）中的平行线可得线面平行． 【详解】证明：（1）连接1BC ，则由,E F 分别是1,BC CC 中点，知1//EF BC 又1111//,AB D C AB D C =Q ∴四边形11ABC D 为平行四边形 所以11//BC AD ，所以1//EF ADEF 与11D B 所成的角为11AD B ∠连接1AB ，易知11AD B ∆为等边三角形1160AD B ︒∴∠=即EF 与11D B 所成的角为60°.（2）由（1）知1//EF AD ，1AD ⊂Q 面1AD G ，EF ⊄Q 面1AD G//EF ∴面1AD G【点睛】本题考查求异面直线所成的角，考查线面平行的判定定理．中位线是立体几何中证明平行的常用知识．19．如图所示，在三棱柱111ABC A B C -中，E F G H ，，，分别是1111AB AC A B A C ，，，的中点，求证：（1）B C H G ，，，四点共面； （2）平面1EFA //平面BCHG ． 【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析.【解析】（1）利用三角形中位线的性质，证明11//GH B C ，从而可得//GH BC ，即可证明B ，C ，H ，G 四点共面；（2）证明平面1EFA 中有两条直线1A E 、EF 分别与平面BCHG 中的两条直线BG 、BC 平行，即可得到平面1EFA //平面BCHG ．【详解】(1)G H Q ，分别是1111A B A C ，的中点，GH ∴是111A B C △的中位线，则11//GH B C ，又11////B C BC GH BC ∴Q ，， B C H G ∴，，，四点共面．(2)E F Q ，分别为AB AC ，的中点，//EF BC ∴，EF ⊄Q 平面BCHG BC ⊂，平面BCHG ，EF ∴平面BCHG ，又G E ，分别是11A B AB ，的中点，11A B AB ⊥，1A G EB ∴⊥，∴四边形1A EBG 是平行四边形，1//A E GB ∴，1A E ⊄Q 平面BCHG GB ⊂，平面BCHG ，1//A E ∴平面BCHG ，又1A E EF E ⋂Q ＝，∴平面1EFA //平面BCHG ，【点睛】本题考查平面的基本性质，考查面面平行，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．某种汽车,购车费用是10万元,每年使用的保险费和汽油费为0.9万元,年维修费第一年为0.2万元,以后逐年递增0.2万元,问这种汽车使用多少年时,它的年平均费用最少?【答案】这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小【解析】【详解】设这种汽车使用x 年时,它的年平均费用为y 万元， 则100.9(0.20.220.2)x x y x+++⨯++=L ， 于是2100.90.2(12)100.1100.11213x x x x y x x x x +++++++⎛⎫===++≥+= ⎪⎝⎭L ， 当100.1x x=，即10x =时，取得最小值， 所以这种汽车使用10年时,它的年平均费用最小21．已知ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若向量(2,cos )m b c B =-u r ，(,cos )n a A =-r ，且//m n u r r .（1）求角A 的值；（2）已知ABC ∆ABC ∆周长的取值范围. 【答案】（1）3π；（2）(4,6]【解析】（1）由向量共线，得三角形的边角关系，再由正弦定理化边为角，利用两角和的正弦公式及诱导公式化简可求得cos A ，从而得A ；（2）求正弦定理求得a ，利用余弦定理得,b c 关系，结合基本不等式得b c +的的不等关系，从而得b c +的最大值，由三角形性质得b c +的范围．【详解】解：（1） 由//m n u r r ，得(2)cos cos 0b c A a B -+=.由正弦定理，得sin cos 2sin cos sin cos 0B A C A A B -+=，即2sin cos sin()sin C A A B C =+=.在ABC V 中，由sin 0C >，得1cos 2A =. 又(0,)A π∈，所以3A π=.（2） 由题意得， 得2sin 2a R A === 由余弦定理 得22222cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+- 即223()432b c bc b c +⎛⎫=+- ⎪⎝⎭… 整理得2()16b c +…，当且仅当2b c ==时，取等号，所以b c +的最大值为4， 又2b c a +>=，所以24b c <+…，所以46a b c <++…，所以ABC V 的周长的取值范围为(4,6] .【点睛】本题考查平面向量共线定理的坐标表示，考查正弦定理、余弦定理，考查两角和的正弦公式、诱导公式，本题属于三角形中基本题型，属于中档题．22．已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列，其前n 项和为n S ，且335544,,S a S a S a +++成等差数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设1()n n n T S n N S +=-∈，求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值． 【答案】（1）()131?2n n n a -=-；（2）最大项的值为56,最小项的值为712- 【解析】试题分析：(1)根据335544,,S a S a S a +++成等差数列,利用等比数列通项公式和前项和公式,展开.利用等比数列{}n a 不是递减数列,可得值,进而求通项.(2)首先根据(1)得到,进而得到,但是等比数列的公比是负数,所以分两种情况:当的当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以1312n S S <≤=;当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2314n S S =≤<，然后可判断最值. 试题解析：（1）设{}n a 的公比为q ．由335544,,S a S a S a +++成等差数列，得 55334455S a S a S a S a +--=+--.即534a a =，则25314a q a ==. 又{}n a 不是递减数列且132a =，所以12q =-. 故11313(1)222n n n na --⎛⎫=⨯-=-⋅ ⎪⎝⎭. （2）由（1）利用等比数列的前项和公式，可得得11,121{121,.2n n n n n S n +⎛⎫=--= ⎪⎝⎭-为奇数，为偶数 当n 为奇数时，n S 随n 的增大而减小，所以1312n S S <≤=， 故11113250236n n S S S S <-≤-=-=. 当n 为偶数时，n S 随n 的增大而增大，所以2314n S S =≤<， 故221134704312n n S S S S >-≥-=-=-. 综上，对于n N +∈，总有715126n n S S -≤-≤，所以数列{}n T最大项的值为56，最小值的值为712-.【考点】等差中项,等比通项公式;数列增减性的讨论求最值.。

射洪中学校高2015级高二上期入学考试数学试题第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题.每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．如图，设O 是正六边形ABCDEF 的中心，则图中与OA相等的向量是（）A ．OB B ．OD C ．EF D ．BC2．如图是谢宾斯基（Sierpinsiki ）三角形，在所给的四个三角形图案中，着色的小三角形个数构成数列{}n a 的前4项，则{}n a 的通项公式可以是（）A ．13-=n n aB ．12-=n a nC ．n n a 3=D ．12-=n n a 3．已知平面向量b a ,满足，1=⋅b a 且,1,2==b a 则b a ,的夹角为（）A ．6πB ．3πC ．4πD ．2π4．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A ．πB ．π2C ．π4D ．π85．已知直线a ，b ，平面α，则以下三个命题：①若a ∥b ，b ⊂α，则a ∥α；②若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；③若a ∥α，b ∥α，则a ∥b .其中真命题的个数是()A ．0B ．1C ．2D ．36．已知在△ABC 中，,cos cos C b B c =则此三角形为（）A ．直角三角形B ．等腰直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰或直角三角形7.在等比数列{}n a 中，，3a 9a 是方程091132=+-x x 的两个根，则765a a a =（）A ．33B ．211C ．33±D ．以上皆不是8．函数)1)(511(log 2>+-+=x x x y 的最小值为（）A ．-4 B.-3 C.3 D.49.在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,若ABC ∆的面积为S ,且222()S a b c =+-,则tan C 等于（）A.34 B.43 C.43- D.34-10.如图,已知=OA a ,=OB b ,且||2||2b a == ,任意点M 关于点A 的对称点为N ,点N 关于点B 的对称点为P ,则()MP OA OB ⋅+= ()A ．6B ．6-C ．3D ．3-11.已知关于x 的不等式012<++c bx x a )1(>ab 的解集为空集，则1)2()1(21-++-=ab c b a ab T 的最小值为()A ．3B ．2C ．32D ．412.设等差数列{}n a 满足2222366345sin cos sin cos 1sin()a a a a a a -=+，公差(1,0)d ∈-，当且仅当9n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 取得最大值，求该数列首项1a 的取值范围（）A ．74(,)63ππB ．74,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．43(,32ππD ．43,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦第Ⅱ卷（非选择题共90分）注意事项：第II 卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置。

★ 2021年01月高2019级高二上期末适应性考试数学试题（理科）注意事项：1、答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷的指定位置上。

2、回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上。

写在试卷上无效。

3、考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.一条直线过原点和点()1,1P -，则这条直线的倾斜角是A ．4π B ．4π-C ．34π D ．74π 2.在空间直角坐标系O xyz -中，点(1,0,3)A -关于坐标原点的对称点为B ，则||AB =A ．10B ．210C ．2D ．423.已知直线()1:2120l x y λ++-=，2:10l x y λ+-=，若1l ∥2l，则λ的值是A ．2-B ．13-C ．2-或1D ．14. 居民消费价格指数是反映一定时期内城乡居民所购买的生活消费品和服务项目价格变动趋势和程度的相对数，是对城市居民消费价格指数和农村居民消费价格指数进行综合汇总计算的结果.通过该指数可以观察和分析消费品的零售价格和服务项目价格变动对城乡居民实际生活费支出的影响程度.如图，是疫情期间我国的居民消费价格指数与食品类居民消费价格指数折线图，据此图，下列分析中不合理的是第1页A ．居民消费价格指数变化幅度相对不大B ．食品类居民消费价格指数变化幅度相对较大C ．食品类居民消费价格指数高于居民消费价格指数D ．食品类居民消费价格指数与居民消费价格指数的变化趋势很不一致 5 .与直线3x +4y +5=0关于x 轴对称的直线的方程为0543.=+-y x A 0543.=-+y x B 0534.=-+y x C 0534.=++y x D6.渐近线方程为y =的双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的焦距为4，则双曲线的方程为A ．3213x y -=B ．2213y x -=C ．221124x y -=D ．221412x y -=7.将一个骰子抛掷一次，设事件A 表示向上的一面出现的点数不超过2，事件B 表示向上的一面出现的点数不小于3，事件C 表示向上的一面出现奇数点，则 A ．B 与C 是对立事件 B ．A 与B 是互斥而非对立事件 C ．B 与C 是互斥而非对立事件 D ．A 与B 是对立事件8.若实数x 、y 满足222210x y x y +--+=，则32y x --的取值范围为A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．3,4⎛⎤-∞- ⎥⎝⎦C ．3,4⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．3,04⎡-⎫⎪⎢⎣⎭ 9.某校举办“中华魂”《中国梦》主题演讲比赛.聘 请7名评委为选手评分，评分规则是去掉一个最高分和一个最低分，再求平均分为选手的最终得分现评委为选手赵刚的评分从低到高依次为1x ，2x ，……，7x ，具体分数如图1的茎叶图所示，图2的程序框图是统计选手最终得分的一个算法流程图，则图中空白处及输出的S 分别为 A ．5i >，86B ．5i ≥，87C ．5i >，87D ．5i ≥，8610.如果圆22(2)(2)9x t y t -+-=上总存在两个点到点(1,1)的距离为2，则实数t 的取值范围是第2页A ．22252(,)++ B ．2522222252(,)(,)--++⋃ C ．22232(,)++ D ．2322222232(,)(,)--++⋃ 11.已知抛物线24y x =的焦点为F ，以F 为圆心的圆与抛物线交于M N 、两点,与抛物线的准线交于P Q 、两点，若四边形MNPQ 为矩形，则矩形MNPQ 的面积是A ．3B ．43C ．123D ．16312.已知F 1，F 2是双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，P 是双曲线右支上任意一点，M 是线段PF 1的中点，点N 在圆222x y a +=上，()0ON OM λλ=<，则△PF 1N 的形状是 A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．锐角三角形二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分,把答案直接填在答题卷的横线上. 13. 一组数据是：0，2，0，0，3，则这5个数的方差是___________________14.在区间[]1,2-内随机取一个实数a ，则关于x 的方程220x x a -+=有解的概率是____________15.已知圆1C ：()()22111x y -+-=，圆2C ：()()22214x y -+-=，A ，B 分别是圆1C ，2C 上的动点.若动点M 在直线1l ：10x y +-=上，动点N 在直线2l ：10x y ++=上，记线段MN 的中点为P ，则PA PB +的最小值为_____________16.过椭圆22221x y C a b+=：的左、右焦点F 1，F 2分别作斜率为22的直线交椭圆C 上半部分于A ，B 两点，记△AOF 1，△BOF 2的面积分别为S 1，S 2，若S 1：S 2＝7：5，则椭圆C 离心率为_____________ 三、解答题：本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.某学校为培养学生的兴趣爱好，提高学生的综合素养，在高一年级开设各种形式的校本课程供学第3页 生选择（如书法讲座、诗歌鉴赏、奥赛讲座等）.现统计了某班50名学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间（单位：h ）的数据，按照[0,2)，[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分成五组，得到了如下的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中m 的值；（2）求该班学生一周用在兴趣爱好方面的学习时间的众数和平均数.18.为了解决消费者在网购退货过程中和商家由于运费问题产生的纠纷，某保险公司推出退货“运费险”.消费者在购买商品时可选择是否购买运费险.当购买运费险的消费者退货时，保险公司将按约定对消费者的退货运费进行赔付.该保险公司随机调查了100名消费者，统计数据如下：（）请将上面列联表补充完整.一个容量为15的样本时，农村消费者和城镇消费者各应抽取的人数；（2）是否有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关？附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.第4页19.已知圆C 过点)2,1(和)1,2(，且圆心在直线062=-+y x 上． （1）求圆C 的方程；（2）若一束光线l 自点)3,3(-A 发出，射到x 轴上，被x 轴反射到圆C 上，若反射点为)0,(a M ，求实数a 的取值范围．20.为响应国家“精准扶贫、精准脱贫”的号召，某贫困县在精准推进上下功夫，在精准扶贫上见实效.根据当地气候特点大力发展中医药产业，药用昆虫的使用相应愈来愈多，每年春暖以后到寒冬前，昆虫大量活动与繁殖，易于采取各种药用昆虫.已知一只药用昆虫的产卵数y （单位：个）与一定范围内的温度x （单位：C ）有关，于是科研人员在3月份的31天中随机选取了5天进行研究，现收集了该种药物昆虫的5组观察数据如表：小于24”的概率？（2）科研人员确定的研究方案是：先从这5组数据中任选2组，用剩下的3组数据建立线性回归方程，再对被选取的2组数据进行检验.①若选取的是3月2日与3月30日这2组数据，请根据3月7日、15日和22日这三组数据，求出y 关于x 的线性回归方程？②若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的差的绝对值均不超过2个，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问①中所得的线性回归方程是否可靠？参考公式：()()()1122211ˆn niii ii i nniii i x x y y x y nx ybx x xnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =- 第5页21.设抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点为F ，点()4,P m 是抛物线C 上一点，且5PF =．（1）求抛物线C 的方程；（2）设直线l 与抛物线C 交于A ，B 两点，若6AF BF +=，求证：线段AB 的垂直平分线过定点．22.设椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率为12，过点1F 的直线l 交椭圆C 于点A 、B （不与左右顶点重合），连结2F A 、2F B ，已知2ABF 周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）若直线l 的斜率为1，求AOB 的面积；（3）设2122F F F A F B λμ→→→=+，且1192λμ+=，求直线l 的方程.第6页高2019级高二上期末适应性考试数学理科参考答案1-5 C B A D A 6-10 B D C C B 11-12 D B13.58 14.23 15.3 16.1217. 解答题：（1）由频率分布直方图得：0.0620.0820.2220.0621m ⨯+⨯+⨯++⨯=，解得0.1m =.............................................4分 （2）众数：5...........................................6分学生的平均学习时间为：10.1230.1650.470.290.12 5.08⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=..........................10分18.解：（1）列联表如下：............3分农村应抽取6人，城镇应抽取9人...........5分（2）()22100757333 4.167 3.84110904060K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.................10分 所以有95%的把握认为消费者购买运费险与城镇农村有关.........12分 19.解：（1）由条件可设圆心)26,(m m C -所以2222)25()2()24()1(m m m m -+-=-+-解得：2=m ，即圆心)2,2(C ，又12=r∴ 圆C 的方程为：1)2()2(22=-+-y x …………………………………5分 （2）A 关于x 轴对称点A 1(-3，-3)，............................................................................6分设过点A 1的直线为)3(3+=+x k y ．当直线与圆C =1．解得，k =43或34．…………………………………………………………8分 设过点A 1与圆C 相切的直线方程为：)3(343+=+x y ，)3(433+=+x y ........10分令0=y ，得=1a =34-，=2a 1∴ 当直线与圆C 有公共点时实数a 的取值范围为[34-，1]．………12分20. （1）依题意得，m 、n 的所有情况为：{}22,24、{}22,29、{}22,25、{}22,16、{}24,29、{}24,25、{}24,16、{}29,25、{}29,16、{}25,16，共有10个..................2分设“m 、n 均不小于24”为事件A ，则事件A 包含的基本事件为：{}24,29、{}24,25、{}29,25共有3个，()310P A ∴=，即事件A 的概率为310；................4分 （2）①由数据得12x =，26y =，...............5分()()()313212.5iii ii x x y y b x x ==--==-∑∑，26 2.5124a y bx =-=-⨯=-，y ∴关于x 的线性回归方程为 2.54y x =-；...............10分②由①知，y 关于x 的线性回归方程为 2.54y x =-， 当10x =时， 2.510421y =⨯-=，且21222-<， 当8x =时， 2.58416y =⨯-=，且16162-<.因此，所得到的线性回归方程是可靠的................12分21.（1）由抛物线的焦半径公式可得542pPF ==+，解得2p = 即抛物线C 的方程为24y x =............... 4分（2）当直线l 的斜率存在时，设:l y kx m =+，()()1122,,,A x y B x y由24y x y kx m⎧=⎨=+⎩可得()222240k x km x m +-+= 所以0k ≠，()2222440km k m ∆=-->，即1km < 12242km x x k -+=........................6分 因为6AF BF +=，所以1226x x ++=，所以12242242km x m k k k x -+==⇒=-...........8分所以线段AB 的中点坐标为()2,2k m +所以线段AB 的垂直平分线方程为()122x ky k m ---=-，...............10分 即()1214124x k m x x k k k k ky +++=+=--=--，所以过定点()4,0 当直线l 的斜率不存在时也满足综上：线段AB 的垂直平分线过定点()4,0...............12分22.（1）解：48a =，所以2a =， 又12c e a ==，所以1c =，b == 因此椭圆C 的方程为22143x y +=......................3分 （2）解：依题意，直线l 的方程为1x y =-， 与椭圆方程联立221431x y x y ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：27690y y --=， 由韦达定理：1267y y +=，1297y y ⋅=-，11212ABC S OF y y =-△===分（3）解：设直线l的方程为1x ty=-，()11,A x y，()22,B x y，直线l与椭圆方程联立221431x yx ty⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，整理得：()2234690t y ty+--=，由韦达定理：122634ty yt+=+①，122934y yt⋅=-+②................8分因为2122F F F A F Bλμ→→→=+，所以()()()11221,1,2,0x y x yλμ-+--=，即12122x xy yλλμμλμ-=-+-⎧⎨=+⎩，由111x ty=-，221x ty=-，得：()()()12122112()ty ty t y yλλμμλμλμ-=--+--=+-+，所以1λμ+=，又1192λμ+=，不妨设λμ<，所以13λ=，23μ=，代入120y yλμ+=，所以122y y=-，所以211252y yy y+=-，整理得()2121212y yy y+=-，代入①②22261349234ttt⎛⎫⎪+⎝⎭=--+，计算得5t=±，所以直线l的方程为550x++=或550x-+=.............12分。