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3.1 柯西不等式与排序不等式重点：柯西不等式与排序不等式的简单应用一.柯西不等式1.柯西不等式的向量形式设有向量α，β ，根据向量数量积的定义，我们有：|||cos |||||||||βαθβαβα⋅=⋅⋅≥⋅.即有： ||||||βαβα⋅≥⋅,等号当且仅当βα ,同向或反向时成立（βα,共线时成立）.因此我们有如下的定理：（柯西不等式的向量形式）定理1.设βα,为平面上的两个向量，则：||||||βαβα ⋅≥⋅，等号当且仅当βα,共线时成立.2.柯西不等式的代数形式（柯西不等式）设有向量),(b a =α ，),(d c =β ，将坐标代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||2222bd ac dc b a +≥+⋅+.即有：22222)()()(bd ac d c b a +≥++. 等号当且仅当（βα,共线时）db c a =时成立.因此，我们有下面的定理：（二维柯西不等式） 定理2. 设d c b a ,,,均为实数，则: 22222)()()(bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当时dbc a =成立.如果向量),,(111c b a =α，),,(222c b a =β，代入：||||||βαβα⋅≥⋅， 即有：||212121222222212121c c b b a a c b a c b a ++≥++⋅++.即有：2222222)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++.等号当且仅当（βα,共线时）212121c cb b a a ==时成立.因此，我们又有下面的定理：（三维柯西不等式）定理3. 设222111,,,,,c b a c b a 均为实数，则：2212121222222212121)()()(c c b b a a c b a c b a ++≥++++ 等号当且仅当212121c cb b a a ==时成立.这里定理1称为柯西不等式的向量形式，定理2、定理3则称为二维、三维柯西不等式的代数形式。
人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。
二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。
三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。
3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。
四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。
柯西不等式与排序不等式一、基本概念：（一）定理1：二维形式的柯西不等式若,,,a b c d 都是实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+，当且仅当ad bc =时，等号成立. 证明：（一）代数证明：2222222222222a c b c b d a d a c b d abcd ⇐+++≥++222220b c abcd a d ⇐-+≥2()0bc ad ⇐-≥当且仅当ad bc =时，等号成立.（二）向量证明：构造向量(,),(,)a b c d αβ== ，则有cos αβαβθ⋅=⋅αβαβ⋅≤⋅其坐标形式即为ac bd +≤ 当且仅当,αβ 共线或0β=时等号成立，即当且仅当ad bc =时，等号成立.推论1ac bd ≥+（来源于向量证明中）推论2ac bd +（将原式中,,,a b c d 都变为,,,a b c d ） 定理2：柯西不等式的向量形式设α,β是两个向量，则⋅≤αβαβ当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=kβ时，等号成立.证明：上述向量证明已经说明完毕 定理3：二维形式的三角不等式设1122,,,x y x y R ∈≥证明：22222112222221112122222221112122222121222()()()x y x y x y x x y y x y x y x x y y x y x x y y =+++≥+++++≥+-+++=-+-≥（二）一般形式的柯西不等式设123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 是实数，则222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥+++当且仅当0(1,2,,)i b i n == 或存在一个数k ，使得(1,2,,)i i a kb i n == 时，等号成立. 简记作：平方和的乘积大于等于乘积和的平方分析：我们可以利用空间向量很容易证明出三维形式的柯西不等式2222222123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++≥++，但维数再高时就没有几何模型可以构造证明了，那么如何证明这一重要的不等式呢？证明：（一）构造二次函数：222()20i i i i i f x a x a b x b =++≥，222()()()2()0iii iiF x f x a x ab x b ==++≥∑∑∑∑（二）归纳法和平均值不等式：（1）当2n =时，有22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++即命题成立（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由于2222112211112211221111()()2()k k k k k k k k k k k k a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ++++++++++=++++++++由平均值不等式，得222222221122111121122()()()k k k k k k k k a b a b a b a b a b b b b a a a +++++++≤+++++++由归纳假设得2222112211112211221111222222222221122112112112222222121211()()2()()()()()()(k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k kkk a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a b a a a b b b a b +++++++++++++++=++++++++≤++++++++++++≤+++++++ 22222222221121122222222121121)()()()kk kk k k k k k b b b a a a a ba a a ab b b b +++++++++++++=++++++++由（1）（2）得原命题成立（三）构造单调数列：构造数列{}n S ，其中222222*********()()()n n n n n S ab a b a b a a a b b b =+++-++++++则22211111()()0S ab a b =-=22222221112211121121222222211221212[()()()][()()()]n n n n n n n n nnS S a b a b a b a a a b b b a b a b a b a a a b b b +++++-=+++-++++++-+++-++++++22222222222211221111121112112()()()n n n n n n n n n n n n ab a b a b a b a b a a a b a b b b a b ++++++++=++++-+++-+++-2221111212111[()()()]0n n n n n n n n a b ba a b b a a b b a ++++++=--+-++-≤即1n n S S +≤，所以{}n S 单调减少，从而对一切1n ≥，有10n S S ≤=，故命题成立.（四）归纳法证明更强的结论：1ni ii a b=≤∑ （1）当2n =时，22222222222222222112211112222111221221212()2()()a b a b a b a ba b a b a b a b a b a b a a b b +=++≤+++=++（2）假设当n k =时命题成立，当1n k =+时，由归纳假设11111kk i i k k i ii i a b a b a b +++===≥≥+=∑∑由（1）（2）得原命题成立（三）柯西不等式的变形形式变形1：已知123,,,,n a a a a 都是实数，求证：222212121()()n n a a a a a a n+++≤+++说明：此变形为1(1,2,,)i b i n == 的特殊形式，经过整理，在都为正数的条件下可变为均值不等式12n a a a n +++≤变形2：已知123,,,,n a a a a 都是实数，0(1,2,,)i b i n >= 则：222212121212()n n n na a a a a ab b b b b b ++++++≥+++变形3：已知123123,,,,,,,,,n n a a a a b b b b 同号且不为0，则：21212121122()n n n n na a a a a ab b b a b a b a b ++++++≥+++上述各种形式如果灵活运用会给解决问题带来便利.（四）排序不等式设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是123,,,,n b b b b 的任一排列，则121111221122n n n n n n n a b a b a b a c a c a c a b a b a b -+++≤+++≤+++ ，当且仅当123n a a a a ==== 或123n b b b b ==== 时，反序和等于顺序和简记作：反序和≤乱序和≤顺序和证明：设1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 为两组实数，12,,,n c c c 是12,,,n b b b 的任一排列，因为12,,,n b b b 得全排列有!n 个，所以1122n n S a c a c a c =+++ （1）的不同值也只有有限个（个数!n ≤），其中必有最大值和最小值，考虑（1）式，若11c b ≠，则有某11(1),k k c b k c c =>> ，将（1）中1,k c c 对换，得11k k n n S a c a c a c '=+++ （2）111111()()0k k k k k k S S a c a c a c a c a a c c '-=+--=--≥这说明将（1）中的第一项调换为11a b 后，和式不减小.若11,c b =则转而考察2c ，并进行类似讨论.类似的，可以证明，将（1）中的第一项换为11a b ，第二项换为22a b 后，和式不减小，如此继续下去，经有限步调整，可知一切和数中，最大和数所对应的情况只能是{}i c 由小到大排序的情况，最大和数是顺序和，即顺序和≥乱序和 同样可证，最小和数是反序和，即乱序和≥逆序和二、习题精练：【柯西不等式应用】 （一）求最值例1：设,0a b >，求证：11()()4a b a b++≥．例2：设,,0a b c >，求证：9)111)((≥++++c b a c b a 例3：设,,0a b c >，求证：29)111)((≥+++++++a c c b b a c b a 例4：21x y +=，求22x y +的最小值________15例5：22236x y +≤，求2x y +的最大值 1. 1,a b +=22a b +的最小值为_________122.,a b R +∈，111,a b a b+=+最小值为_________4 3. 1111,,,,a b c a b c R a b c+++=∈++最小值为__________94.已知0,0x y >>且21x y +=，则11u x y=+的最小值为___________3+5.已知,,,1,a b c R a b c +∈++=则149x y z++的最小值为_______366.,,,a b c R a b c +∈++=_________7. ,a b R +∈，a b +=8. 求函数y =的最大值__________________5解：22222(34)25≤++=9. 若,,a b c R +∈，且1a b c ++=，则c b a ++的最大值是10. 若,,a b c R +∈，且2313a b c ++=的最大值是11. 若实数,,,m n x y 满足2222,(),m n a x y b a b +=+=≠则mx ny +的最大值是12.若2222(0,),0,()2cos sin a b a b f πθθθθ∈>>=+的最小值为_________2()a b + 13.设*11,,na b c n N a b b c a c>>∈+≥---且恒成立，则n 的最大值是_________4 14. （06陕西）已知不等式1()()9ax y x y++≥对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为 （C ）（Ａ）8 （Ｂ）6 （C ）4 （D ）215.（08浙江5）0,0a b ≥≥,且2a b +=，则 ( C ) （A ）12ab ≤（B ）12ab ≥ （C ）222a b +≥ （D ）223a b +≤ 16．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是（ B ）A ．111<+ba B ．111≥+ba C ．211<+ba D ．211≥+ba 17.设实数,,,,abcde 满足8a b c d e ++++=，2222216a b c d e ++++=，求e 的最大值解：8a b c d e +++=-，2222216a b c d e +++=-，根据柯西不等式有22(8)4(16)e e -≤-，解得1605e ≤≤，当65a b c d ====时，e 有最大值165e = （二）证明例：,,a b c R +∈求证：222a b c a b c b c a++≥++ 1. 已知1a b c ++=，求证：22213a b c ++≥2.已知12,,,n x x x R +∈ ，且121n x x x +++= ，求证：222121211111n n x x x x x x n +++≥---- 3.,,a b c 为三角形三边，求证：1119a cb bc a a c b a b c++≥+-+-+-++4. 已知，,,a b c R +∈，236,a b c ++=求证：222236a b c ++≥5.设,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c a c a b ++≥+++++ 6. 若,a b R +∈，求证：2211()()422a b b a+++≥ 7. ,,a b c R +∈且1a b c ++=，求证：222111100()()()3a b c a b c +++++≥证明：222222222222211111111111()()()(111)(()()())()33111111111100(1())(1()())(19)3333a b c a b c a b c a b c a b c a b ca b c a b c a b c +++++=+++++++≥+++++=+++=+++++≥+=8.i a R +∈且11ni i a ==∑，求证：22211(1)()ni i i n a a n =++≥∑证明：同上9.在ABC ∆中，设其各边长为,,a b c ，外接圆半径为 R ， 求证:2222222111()()36sin sin sin a b c R A B B++++≥ 10.设12,,,n x x x为任意实数，求证：1222222211212111n nx x x x x x x x x +++<+++++++ 证明：由柯西不等式得222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅++++++++++++++ 对2k ≥，有2222222222222222121212121()1(1)(1)(1)k k k k k k k x x x x x x x x x x x x x x x -=≤++++++++++++++++ 222222121121111k kx x x x x x -=-++++++++ 对1k =，有22211122222111111()11(1)(1)1(1)1x x x x x x x x =≤=-+++++，故有 2221222222222222222221121211121211211111[()()()]111111111n n k kx x x x x x x x x x x x x x x x x x x -+++≤-+-++-+++++++++++++++++++ 222121111kx x x =-<++++则有222212122222222222221121211212()[()()()]111111n n n nx x x x x x n n x x x x x x x x x x x x +++≤+++⋅<++++++++++++++ 原命题得证【排序不等式应用】例1：已知,,a b c 为正数，求证：222a b c ab bc ac ++≥++例2：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++（利用同向可加性） 1.（08江西）若121212120,01a a b b a a b b <<<<+=+=,且，则下列代数式中值最大的是（A ） A ．1122a b a b + B ．1212a a bb + C ．1221a b a b + D ．122.b a ab ba Rb a +≥+∈+，求证：已知,3．,,a b c R +∈，求证：2221()2a b c a b c b c c a a b ++≥+++++ 证明：由对称性不妨设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，111b c c a a b≤≤+++，则 222a b c b c c a a b +++++为顺序和，则有222222a b c b c a b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同理222222a b c c a b b c c a a b b c c a a b ++≥++++++++ 同向相加，有2222222222()a b c b c a c b a b c c a a b b c c a a b+++++≥++++++++ 因为2222()()b c b c +≥+，所以222b c b c b c ++≥+，同理222a c a c c a ++≥+，222b a a ba b ++≥+ 原式得证4.设123,,,,,k a a a a 为两两各不相同的正整数，求证：对任何正整数n ，均有2111nnk k k a k k==≥∑∑（IMO20-5）证明：设123,,,,n b b b b 是123,,,,n a a a a 的从小到大的有序排列，即123n b b b b ≤≤≤≤ 因为i b 是互不相同的正整数，则1231,2,3,,nb b b b n ≥≥≥≥ ，又因为222111123n>>>> ，所以由排序不等式可得 32122223n a a a a n ++++ （乱序）32122223n b b b b n ≥++++ （倒序）111123n≥++++ 原命题成立，此题即为课后练习题5.设123,,,,n a a a a 为正数，求证：2222231121232341n n n n a a a a a a a a a a a a a a -+++++≥++++（可用排序和柯西两种不等式证明）6.在ABC ∆中，求证：32aA bB cC a b c ππ++≤<++证明：不妨设a b c ≤≤，于是A B C ≤≤由排序不等式得aA bB cC aA bB cC ++=++，aA bB cC bA cB aC ++≥++，aA bB cC cA aB bC ++≥++同向相加可得3()()()()aA bB cC a b c A B C a b c π++≥++++=++，从而3aA bB cCa b cπ++≤++又由0,0,0b c a a b c a c b <+-<+-<+-，有0()()()A b c a Ca b c Ba c b <+-++-++-()()()()2()a B C A b A C B c A B C a b c aA bB cC π=+-++-++-=++-++从而2aA bB cC a b c π++<++由此原命题得证。
柯西不等式设1a ，2a …n a 及1b ，2b …n b 为任意实数，则有不等式222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑成立，其中当且仅当1b =2b …=n b =0或i i a kb =（1,2,,i n = ）等号成立。
这就是著名的柯西（Cauchy ）不等式。
柯西不等式的证明利用二次函数证明柯西不等式 构造二次函数()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122nnn n n na a a x ab a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥ 且()0f x ≥恒成立()()()2222211221212440nnn n nn a b a b a b a a a bb b ∴∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n nna b a b a b a a a bb b +++≤++++++其中当且仅当()01,2i i a b k i n -== 即 1212=n na a a kb b b ===时等号成立。
利用不等式的基本性质证明柯西不等式根据高中所学习的基本不等式，实数0,0a b a b a b a b <⇔-<->⇔>所以，要证明 222111nn n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑，只需证 22210n n n i i i i i i i i a b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫-≥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑证明： 2221n n n i i i i i i i ia b a b ==⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ =221111n n n ni j i i j j i j i j a b a b a b ====⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑∑ =221111nnnniji ijji j i j ab a b ab ====-∑∑∑∑=2222111111122n n n nnni ji i j j j i i j i j i j a b a b a b a b ======⎛⎫-+ ⎪⎝⎭∑∑∑∑∑∑=()222211122nnij i i j j j ii j a b a b a b a b ==-+∑∑=()21112n nijj i i j a ba b ==-≥∑∑故 222111n n n i i i i i i i a b a b ===⎛⎫⎛⎫⎛⎫≤ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 当且仅当0i j j i a b a b -=(1,2,,)i j n = 、i ia kb ⇔=(k 为常数，1,2,,i n = )时，上式等号成立。
柯西不等式与排序不等式知识要点：1、柯西不等式(1)柯西不等式：设a 1，a 2，…a n 和b 1，b 2…b n 是两组实数，则(a 1b 1+…+a n b n )2≤ (a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)等号成立当且仅当存在实数k ，使得对所有的1,2,i n = 有i i a kb =或对所有的1,2,i n = 有i i b ka =.(2)柯西不等式的向量形式：||||||m n m n ≤⋅,其中等号成立当且仅当//m n .(3)柯西不等式的几个推论：①1122||n n a b a b a b +++≤特殊地有：≤1212x x y y +≤②若b k >0(k=1,2,…,n),则2221111()n n n na a a ab b b b ++++≥++ . 特殊地有：若y 1,y 2都是正数，则22212121212()x x x x y y y y ++≥+，等号成立当且仅当1212x x y y =.③|≤ (a 1+a 2+…+a n )(b 1+b 2+…+b n )④12n x x x n +++≤特殊地：2a b +≤证明：1122a b a b +⋅+⋅=≤≤⑤a 2+b 2+c 2 ≥ ab+bc+ca , (a +b+c)2 ≥3(ab+bc+ca ),证明：ab+bc+ca222a b c =++(a +b+c)2 = a 2+b 2+c + ab+bc+ca ≥ 3(ab+bc+ca ), 2、排序不等式(1)对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及则112211221211n n i i n in n n n a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++≥+++≥+++ （同序）（乱序）（反序） 其中12,,,n i i i 是1，2， n 的任意一个排列，当且仅当12n a a a === 或12nb b b === 时式中等号成立.(2) 设120n a a a <≤≤≤ ,12,n b b b <≤≤≤ 0而12,,,n i i i 是1,2,,n 的一个排列,则112121121212i i i nn n n bb b b b b b b b nn n a a a a a a a a a -≥≥当且仅当12n a a a === 或12n b b b === 时式中等号成立.(3)设有n 组非负数,每组n 个数,它们满足: 120k k kn a a a ≤≤≤≤ (1,2,,)k m = ,那么,从每一组中各取出一个数作积,再从剩下的每一组中各取一个作积,直到n 次取完为止,然后将这些“积”相加，则所得的诸和中，以112111222212m m n n mn I a a a a a a a a a =+++ 为最大.(4) 切比雪不等式：对于两个有序数组1212,n n a a a b b b ≤≤≤≤≤≤ 及,则112212121211n n n n n n n a b a b a b a a a b b b a b a b a b n n n n-++++++++++++≥⋅≥证明：由排序不等式有：a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n = a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 2+a 2b 3+…+a n b 1 a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b 3+a 2b 4+…+a n b 2 ………………………………………… a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ≥ a 1b n +a 2b 1+…+a n b n -1 将以上式子相加得：n (a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n ) ≥ a 1(b 1+b 2+…+b n )+ a 2(b 1+b 2+…+b n )+…+ a n (b 1+b 2+…+b n )∴11221212n n n na b a b a b a a a b b b n n n+++++++++≥⋅同理可证：12121211n n n n n a a a b b b a b a b a b n n n-+++++++++⋅≥问题举例：柯西不等式1、利用柯西不等式 证明(1) 若a 、b 、c 、d ∈R + , 则(ab+cd ) (ac+bd )≥4abcd ;(2) 若a 、b 、c ∈R +，则(b c a a b c ++)()9a b cb c a++≥(3) 若a 、b 、c ∈R+，且ab+bc+ca =1,则a b c ++≥(4) 12,)n n N >≥∈ 证明(1)∵(ab+cd )(ac+bd )222()4bc a d bc abcd ≥=+≥==a=d 即b=c ,a=d 时成立. (2)=(1+1+1)2=9当且仅当a=b=c 时，等式成立. (3)注意到(a 2+b 2+c 2)2=(a 2+b 2+c 2)·(b 2+c 2+a 2)≥(ab+bc+ca )2=1 , ∵(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2(ab+bc+ca )≥1+2=3 ,又由a+b+c ＞0,故a+b+c ≥当且仅当a b c ===时，等式成立. (4)注意到2、 求函数2221()sin cos f x x x =+, 02(,)x π∈最小值. 方法一：（应用均值不等式求解）222222222123x x f x x x x x xcos sin ()()(sin cos )sin cos sin cos =++=++≥ 3+ （以下略）方法一：（应用柯西不等式求解）2221()sin cos f x x x =+221x cos ≥222(13sin cos x x+=++3、已知点P(x, y)在椭圆22123x y +=上运动，求2x +3y 的取值范围. 方法一：（应用三角代换求解）由已知可设,x y αα∴2x+3y =)αααφ++∈[方法二：（应用柯西不等式求解）|2x+3y| =|+|≤=∴2x+3y ∈[4、 已知a +b+c = 1, 求131313+++++c b a 的最大值.方法一（应用均值不等式求解）131313+++++c b a≤= 等号成立当且仅当3a +1=3b +1=3c +1=2,即a=b=c =13方法二（应用柯西不等式求解）131313+++++c b a ≤=5、若a ,b,c,x,y,z 都是实数，且a 2+b 2+c 2=25, x 2+y 2+z 2=36,a x+by+cz=30,求a b cx y z++++的值.解 (a x+by+cz)2≤( a 2+b 2+c 2)( x 2+y 2+z 2) 由已知此不等式等号成立，不妨设a ≠0,则存在实数k ，使得x=k a ,y=kb,z=kc,代入ax +by +cz =30得 k(a 2+b 2+c 2)=30⇔k =65∴a b c x y z ++++=156k =【注】本题主要学习柯西不等式等号成立条件。
