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一般形式的柯西不等式柯西不等式是数学分析中一个重要的不等式定理，用来描述两个函数之间的关系。
它是由法国数学家奥古斯丁·路易·柯西于1821年提出的。
柯西不等式在解析函数论、泛函分析等领域有广泛的应用。
柯西不等式的一般形式可以表述如下：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，且g(x)不等于0。
那么有以下不等式成立：∫[a,b] f(x)g(x)dx ≤ √( ∫[a,b] f^2(x)dx * ∫[a,b]g^2(x)dx )在这个不等式中，∫[a,b] f(x)g(x)dx 表示函数 f(x) 和 g(x) 的乘积函数在闭区间上的积分，∫[a,b] f^2(x)dx 和∫[a,b] g^2(x)dx分别表示函数 f(x) 和 g(x) 的平方函数在闭区间上的积分。
柯西不等式的证明可以通过引入一个辅助函数 h(x) 来完成。
辅助函数 h(x) 的定义为 h(x) = f(x) - (k*g(x))，其中 k 是一个常数，通过适当选择 k 的值，可以使得 h(x) 关于 x 的积分为0。
对于这个辅助函数 h(x)，通过平方的方式可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f(x) - k*g(x))^2dx。
展开 h^2(x) 的平方并化简后可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] (f^2(x) - 2kf(x)g(x) + k^2g^2(x))dx。
根据积分的性质，可以得到∫[a,b] h^2(x)dx = ∫[a,b] f^2(x)dx - 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx +k^2∫[a,b] g^2(x)dx。
为了满足∫[a,b] h^2(x)dx = 0，必须要求∫[a,b] h^2(x)dx 的系数为0。
即：- 2k∫[a,b] f(x)g(x)dx = 0，即∫[a,b] f(x)g(x)dx= k∫[a,b] g^2(x)dx。
柯西不等式常用公式1、二维形式：(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2等号成立条件：ad=bc2、三角形式：√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√[(a－c)^2＋(b－d)^2]等号成立条件：ad=bc3、向量形式：|α||β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2）等号成立条件：β为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
4、一般形式：(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零。
扩展资料：不等式的特殊性质有以下三种：①不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；②不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。
常用定理①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。
②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x）<G（x）与不等式F（x）+H（x）<G（x）+H（x）同解。
③如果不等式F（x）<G（x）的定义域被解析式H（x）的定义域所包含，并且H（x）>0，那么不等式F(x)<G（x）与不等式H（x）F（x）<H（x ）G （x）同解。
④不等式F（x）G（x）>0与不等式同解；不等式F（x）G（x）<0与不等式同解。
排序不等式：对于两组有序的实数x1≤x2≤…≤xn，y1≤y2≤…≤yn，设yi1，yi2，…，yin是后一组的任意一个排列，记S=x1yn+x2yn-1+…+xny1，M=x1yi1+x2yi2+…+xnyin，L=x1y1+x2y2+…+xn yn，那么恒有S≤M≤L。
当且仅当x1=x2=……=xn且y1=y2=……yn时，等号成立。
第三讲一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式，是基于柯西不等式推广出来的不等式形式。
柯西不等式是数学分析中一条常用的不等式，它描述了两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
柯西不等式的一般形式则扩展了这个概念，可以应用到更多的情况中。
假设有两个实数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]，那么它们的内积可以定义为：X·Y = x1*y1 + x2*y2 + ... + xn*yn而柯西不等式表示为：X·Y，≤，X，，Y其中，X，表示向量X的范数，定义为：X， = sqrt(x1^2 + x2^2 + ... + xn^2)柯西不等式右边的，X，和，Y，即为两个向量的范数，因此它可以对任意实数向量成立。
然而，柯西不等式的应用范围不仅仅局限于实数向量，我们可以将其推广到更一般的形式。
将柯西不等式中两个实数向量推广到复数空间，就可以得到一般形式的柯西不等式。
在复数空间中，两个复数向量X=[x1, x2, ..., xn]和Y=[y1，y2，...，yn]的内积可以定义为：X·Y* = x1*y1* + x2*y2* + ... + xn*yn*其中，*表示复数的共轭。
同样可以定义复数向量的范数，即：X， = sqrt(，x1，^2 + ，x2，^2 + ... + ，xn，^2)在复数空间中，一般形式的柯西不等式就可以表示为：X·Y*，≤，X，，Y一般形式的柯西不等式的推广，使得我们可以将柯西不等式应用到更加广泛的场景中，包括复数空间以及其他更复杂的向量空间。
这种推广形式的柯西不等式在数学分析、函数论、概率论等多个数学领域中都具有重要的应用价值。
总结起来，一般形式的柯西不等式是柯西不等式在复数空间和更一般的向量空间中的推广形式。
通过它，我们可以描述两个向量之间的内积与它们的范数之间的关系。
这个不等式在数学分析和其他数学领域中都具有重要的应用意义。
1．2 一般形式的柯西不等式
1．已知a ，b ，c 大于0，且a ＋b ＋c ＝1，则a 2＋b 2＋c 2的最小值为( )
A ．1
B ．4
C.13
D.12
解析：选C.根据柯西不等式，有(a 2＋b 2＋c 2)(12＋12＋12)≥(a ＋b ＋c )2＝1，
∴a 2＋b 2＋c 2≥13
. 2．设a 、b 、c 为正数，且a ＋2b ＋3c ＝13，则3a ＋2b ＋c 的最大值为( )
A ．13 B.13 C.1333 D.33
解析：选C.(a ＋2b ＋3c )[(3)2＋12＋(13)2] ≥(a ·3＋2b ·1＋3c ·13
)2 ＝(3a ＋2b ＋c )2.
∴(3a ＋2b ＋c )2≤1323
. ∴3a ＋2b ＋c ≤1333
. 当且仅当a 3＝2b 1＝3c 13时取等号． 又a ＋2b ＋3c ＝13，
∴此时a ＝9，b ＝32，c ＝13
. ∴3a ＋2b ＋c 有最大值1333
. 3．设x 1，x 2，x 3∈R ＋，且x 1＋x 2＋x 3＝1，则x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3
的最小值为( ) A ．1 B.13
C.12
D.14
解析：选 D.(1＋x 1＋1＋x 2＋1＋x 3)(x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3)＝[(1＋x 1)2＋(1＋x 2)2＋(1＋x 3)2]·[(x 11＋x 1)2＋(x 21＋x 2)2＋(x 31＋x 3
)2] ≥(1＋x 1·x 11＋x 1＋1＋x 2·x 21＋x 2
＋1＋x 3 ·x 31＋x 3
)2 ＝(x 1＋x 2＋x 3)2＝1，
∴x 211＋x 1＋x 221＋x 2＋x 231＋x 3≥14
.
4．已知a 、b 、c 均大于0，A ＝a 2＋b 2＋c 23，B ＝a ＋b ＋c 3
，则A ，B 的大小关系是( ) A ．A >B B ．A ≥B
C ．A <B
D ．A ≤B
解析：选B.∵(12＋12＋12)·(a 2＋b 2＋c 2)
≥(a ＋b ＋c )2，∴a 2＋b 2＋c 23≥(a ＋b ＋c )2
9
， 当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．
又a 、b 、c 均大于0，∴a ＋b ＋c >0，
∴ a 2＋b 2＋c 23≥a ＋b ＋c 3
，故选B. 5．(2013·南通调研)若正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，则13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
的最小值是( ) A ．1 B ．2
C ．3
D ．4
解析：选A.因为正数a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝1，
所以(13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2)[(3a ＋2)＋(3b ＋2)＋(3c ＋2)]≥(1＋1＋1)2，即13a ＋2＋13b ＋2＋13c ＋2
≥1， 当且仅当3a ＋2＝3b ＋2＝3c ＋2，即a ＝b ＝c ＝13
时，原式取最小值1. 6．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值为( )
A ．1
B ．－1
C ．0
D ．不确定
解析：选A.∵(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(x 21＋x 22＋…＋x 2n )≥(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2，
∴(a 1x 1＋a 2x 2＋a 3x 3＋…＋a n x n )2≤1.
即a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n ≤1.
7.（2013湖南卷）
8．已知a 、b 、c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1，则4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1的最大值是________． 解析：由柯西不等式得： (4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)2
＝(1×4a ＋1＋1×
4b ＋1＋1×4c ＋1)2 ≤(12＋12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1＋4c ＋1)＝21，
当且仅当a ＝b ＝c ＝13
时，取等号． 答案：21
9．设a ，b ，c ，x ，y ，z 都是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝25，x 2＋y 2＋z 2＝36，ax ＋by ＋cz ＝30，则a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝________. 解析：由柯西不等式知：25×36＝(a 2＋b 2＋c 2)·(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝302＝25×36，
当且仅当a x ＝b y ＝c z
＝k 时取“＝”． 由k 2(x 2＋y 2＋z 2)2＝25×36，解得k ＝56
. 所以a ＋b ＋c x ＋y ＋z
＝k ＝56. 答案：56
10．已知a ，b ，c ，d ，e 满足a ＋b ＋c ＋d ＋e ＝8，a 2＋b 2＋c 2＋d 2＋e 2＝16，求e 的范围． 解：∵4(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)＝(1＋1＋1＋1)(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)≥(a ＋b ＋c ＋d )2，
∴4(16－e 2)≥(8－e )2，
∴5e 2－16e ≤0.
解得0≤e ≤165
. 11．(2013·淮南质检)已知x 2＋3y 2＋4z 2＝2，求证：|x ＋3y ＋4z |≤4.
证明：由柯西不等式知
(x 2＋3y 2＋4z 2)(1＋3＋4)≥(x ＋3y ＋4z )2.
又∵x 2＋3y 2＋4z 2＝2，
∴2×8≥(x ＋3y ＋4z )2，
∴|x ＋3y ＋4z |≤4.
12．设x ，y ，z ∈R ＋，且2x ＋3y ＋5z ＝29，求2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． 解：∵2x ＋3y ＋5z ＝29，
∴()2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋62
≤()1·2x ＋1＋1·3y ＋4＋1·5z ＋62
≤()12＋12＋12[()2x ＋12＋()3y ＋42＋()
5z ＋62] ＝3(2x ＋3y ＋5z ＋11)＝120， ∴2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230.
当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6，
即x ＝376，y ＝289，z ＝2215
时，等号成立． ∴
2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值为230.。
