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一二维形式的柯西不等式1．二维形式的柯西不等式(1)定理1：若a，b，c，d都是实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时，等号成立．(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a＋b)(c＋d)≥(ac＋bd)2(a，b，c，d为非负实数)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac＋bd|(a，b，c，d∈R)；a2＋b2·c2＋d2≥|ac|＋|bd|(a，b，c，d∈R)．2．柯西不等式的向量形式定理2：设α，β是两个向量，则|α·β|≤|α|·|β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．[注意] 柯西不等式的向量形式中α·β≤|α||β|，取等号“＝”的条件是β＝0或存在实数k，使α＝kβ.3．二维形式的三角不等式(1)定理3：x21＋y21＋x22＋y22≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2(x1，y1，x2，y2∈R)．当且仅当三点P1，P2与O共线，并且P1，P2点在原点O异侧时，等号成立．(2)推论：对于任意的x1，x2，x3，y1，y2，y3∈R，有(x1－x3)2＋(y1－y3)2＋(x2－x3)2＋(y2－y3)2≥(x1－x2)2＋(y1－y2)2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P1，P2，P3的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)，根据△P1P2P3的边长关系有|P1P3|＋|P2P3|≥|P1P2|，当且仅当三点P1，P2，P3共线，并且点P1，P2在P3点的异侧时，等号成立．[例1] 已知θ为锐角，a ，b ∈R ＋，求证：a2cos2θ＋b2sin2θ≥(a ＋b )2.[思路点拨] 可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“1＝sin 2θ＋cos 2θ”，然后用柯西不等式证明．[证明] ∵a2cos2θ＋b2sin2θ＝⎝⎛⎭⎪⎫a2cos2θ＋b2sin2θ(cos 2θ＋sin 2θ)≥⎝⎛⎭⎪⎫a cos θ·cos θ＋b sin θ·sin θ2＝(a ＋b )2，∴(a ＋b )2≤a2cos2θ＋b2sin2θ.利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件．1．已知a 1，a 2，b 1，b 2为正实数．求证：(a 1b 1＋a 2b 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2≥(a 1＋a 2)2.证明：∵(a 1b 1＋a 2b 2)⎝⎛⎭⎪⎫a1b1＋a2b2＝[(a1b1)2＋(a2b2)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a1b12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a2b22 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a1b1·a1b1＋a2b2·a2b22＝(a 1＋a 2)2. ∴原不等式成立． 2．设a ，b ，c 为正数，求证：a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 证明：由柯西不等式，得 a2＋b2·12＋12≥a ＋b ， 即2·a2＋b2≥a ＋b . 同理：2·b2＋c2≥b ＋c ， 2·a2＋c2≥a ＋c ， 将上面三个同向不等式相加得：2()a2＋b2＋ b2＋c2＋ a2＋c2≥2(a ＋b ＋c ) ∴ a2＋b2＋ b2＋c2＋a2＋c2≥ 2(a ＋b ＋c )． 3．设a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.证明：根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝ ⎛⎭⎪⎫a22－a ＋b22－b＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a ·a2－a ＋2－b ·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4.∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a)＋(2－b)＝2. ∴原不等式成立.[例2] 求函数y ＝3sin α＋4cos α的最大值．[思路点拨] 函数的解析式是两部分的和，若能化为ac ＋bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值．[解] 由柯西不等式得(3sin α＋4cos α)2≤(32＋42)(sin 2α＋cos 2α)＝25， ∴3sin α＋4cos α≤5.当且仅当sin α3＝cos α4>0即sin α＝35，cos α＝45时取等号，即函数的最大值为5.利用柯西不等式求最值的注意点(1)变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2)有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误．多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一．4．已知2x 2＋y 2＝1，求2x ＋y 的最大值．解：∵2x ＋y ＝2×2x ＋1×y ≤(2)2＋12×(2x)2＋y2＝3×2x2＋y2＝3，当且仅当x ＝y ＝33时取等号． ∴2x ＋y 的最大值为 3.5．求函数y ＝x2－2x ＋3＋x2－6x ＋14的最小值． 解：y ＝(x －1)2＋2＋(3－x)2＋5，y 2＝(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)2＋2][(3－x)2＋5]≥(x －1)2＋2＋(3－x )2＋5＋2×[(x －1)(3－x )＋10]＝[(x －1)＋(3－x )]2＋(7＋210)＝11＋210.当且仅当x －13－x ＝25，即x ＝32＋52＋5时等号成立．此时y min ＝11＋210＝10＋1.1．已知a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝1，则P ＝(ax ＋by )2与Q ＝ax 2＋by 2的大小关系是( ) A ．P ≤Q B ．P ＜Q C ．P ≥QD ．P ＞Q解析：选A 设m ＝(a x ，b y )，n ＝(a ，b)， 则|ax ＋by |＝|m·n |≤|m ||n |＝(ax)2＋(by)2·(a)2＋(b)2＝ax2＋by2·a ＋b ＝ ax2＋by2， ∴(ax ＋by )2≤ax 2＋by 2，即P ≤Q .2．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a －b 的取值范围是( ) A ．[－25，2 5 ] B ．[－210，210 ]C ．[－10，10 ]D ．(－5，5)解析：选A (a 2＋b 2)[12＋(－1)2]≥(a －b )2， ∵a 2＋b 2＝10， ∴(a －b )2≤20. ∴－25≤a －b ≤2 5.3．已知x ＋y ＝1，那么2x 2＋3y 2的最小值是( ) A.56 B.65 C.2536D.3625解析：选B (2x 2＋3y 2)[(3)2＋(2)2]≥(6x ＋6y )2＝[6(x ＋y )]2＝6， 当且仅当x ＝35，y ＝25时取等号，即2x 2＋3y 2≥65.故2x 2＋3y 2的最小值为65.4．函数y ＝x －5＋26－x 的最大值是( ) A. 3 B. 5 C ．3D ．5解析：选B 根据柯西不等式，知y ＝1×x －5＋2×6－x ≤12＋22×(x －5)2＋(6－x)2＝5，当且仅当x ＝265时取等号．5．设xy >0，则⎝⎛⎭⎪⎫x2＋4y2⎝ ⎛⎭⎪⎫y2＋1x2的最小值为________．解析：原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2y 2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋y2≥x ·1x ＋2y ·y 2＝9，当且仅当xy ＝2时取等号． 答案：96．设a ＝(－2,1,2)，|b |＝6，则a ·b 的最小值为________，此时b ＝________. 解析：根据柯西不等式的向量形式，有|a ·b |≤|a |·|b |， ∴|a ·b |≤(－2)2＋12＋22×6＝18， 当且仅当存在实数k ， 使a ＝kb 时，等号成立． ∴－18≤a ·b ≤18， ∴a ·b 的最小值为－18， 此时b ＝－2a ＝(4，－2，－4)． 答案：－18 (4，－2，－4)7．设实数x ，y 满足3x 2＋2y 2≤6，则P ＝2x ＋y 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得(2x ＋y )2≤[(3x )2＋(2y )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫232＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝(3x 2＋2y 2)·⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋12≤6×116＝11，当且仅当x ＝411，y ＝311时取等号，故P ＝2x ＋y 的最大值为11. 答案：118．已知x ，y ∈R ＋，且x ＋y ＝2.求证：1x ＋1y ≥2.证明：1x ＋1y ＝12(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝12[ (x)2＋(y)2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1y 2 ≥12⎝ ⎛⎭⎪⎫x · 1x ＋y ·1y 2＝2，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xy＝y x ，x ＋y ＝2时等号成立，此时x ＝1，y ＝1.所以1x ＋1y≥2.9．若x 2＋4y 2＝5，求x ＋y 的最大值及此时x ，y 的值． 解：由柯西不等式得[x 2＋(2y )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122≥(x ＋y )2，即(x ＋y )2≤5×54＝254，x ＋y ≤52.当且仅当x 1＝2y12，即x ＝4y 时取等号．由⎩⎪⎨⎪⎧x2＋4y2＝5，x ＝4y ，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2，y ＝－12(舍去)．∴x ＋y 的最大值为52，此时x ＝2，y ＝12.10．求函数f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x 的最大值，并求出相应的x 的值． 解：设m ＝(3,4)，n ＝(cos x ，1＋sin2x)， 则f (x )＝3cos x ＋4 1＋sin2x ＝|m ·n |≤|m |·|n |＝cos2x ＋1＋sin2x ·32＋42 ＝52，当且仅当m ∥n 时，上式取“＝”．此时，3 1＋sin2x－4cos x＝0.解得sin x＝75，cos x＝325.故当sin x＝75，cos x＝325时．f(x)＝3cos x＋4 1＋sin2x取最大值5 2.。
二维形式的柯西不等式1．教学目标知识与技能（1）认识二维形式的柯西不等式，了解它的结构特征,并理解其几何意义.（2）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.（3）知道一般形式的柯西不等式.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会从几何到代数的数学研究一般方法.（2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。
如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式，给出二维柯西不等式的几何意义等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——建立具体问题与柯西不等式之间的联系，经过恰当变形，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步学会化归转化思想的运用技术。
情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式的向量形式和三角不等式的几何意义，体会数形结合的思想，逐步提高观察、归纳和主动获取知识的能力，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。
（2）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，品尝成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。
（3）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,体会事物间的辩证统一，感受数学的形式美。
2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。
本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式和二维形式的三角形不等式，以及它们的几何背景。
二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。
二 一般形式的柯西不等式与推广，其特点可类比二维形式的柯西不等式来总结，左边是平方和的积，右边是积的和的平方．在使用时，关键是构造出符合柯西不等式的结构形式．[例1] 设x 1，x 2，…，x n 都是正数，求证：x 1＋x 2＋…＋x n ≥x 1＋x 2＋…＋x n.[思路点拨] 根据一般柯西不等式的特点，构造两组数的积的形式，利用柯西不等式证明．[证明] ∵(x 1＋x 2＋…＋x n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＋…＋1x n＝[(x 1)2＋(x 2)2＋…＋(x n )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫1x 12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 22＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1x n 2≥ ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·1x 1＋x 2·1x 2＋…＋x n ·1x n 2＝n 2，∴1x 1＋1x 2＋…＋1x n ≥n 2x 1＋x 2＋…＋x n.柯西不等式的结构特征可以记为：(a 1＋a 2＋…＋a n )·(b 1＋b 2＋…＋b n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.其中a i ，b i ∈R ＋(i ＝1,2，…，n )，在使用柯西不等式时要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确地配凑出公式两侧的数是解决问题的关键．1．设a ，b ，c 为正数，且不全相等． 求证：2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c. 证明：构造两组数a ＋b ，b ＋c ，c ＋a ；1a ＋b，1b ＋c，1c ＋a，则由柯西不等式得(a ＋b ＋b ＋c ＋c ＋a )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥(1＋1＋1)2，①即2(a ＋b ＋c )⎝⎛⎭⎪⎫1a ＋b ＋1b ＋c ＋1c ＋a ≥9，于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a ≥9a ＋b ＋c. 由柯西不等式知，①中有等号成立⇔a ＋b1a ＋b＝b ＋c1b ＋c＝c ＋a1c ＋a⇔a ＋b ＝b ＋c ＝c ＋a ⇔a ＝b ＝c .因为a ，b ，c 不全相等，故①中等号不成立， 于是2a ＋b ＋2b ＋c ＋2c ＋a >9a ＋b ＋c.[例2] (1)＋求 1x ＋ 4y ＋ 9z的最小值；(2)设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数μ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6的最大值． [思路点拨] (1)利用1x ＋4y ＋9z＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋98(x ＋y ＋z )． (2)利用(2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6)2＝ (1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2. [解] (1)∵x ＋y ＋z ＝1， ∴1x ＋4y ＋9z ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋4y ＋9z (x ＋y ＋z )；≥⎝⎛⎭⎪⎫1x·x ＋2y·y ＋3z·z 2＝(1＋2＋3)2＝36. 当且仅当x ＝y 2＝z3，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时取等号．所以1x ＋4y ＋9z的最小值为36.(2)根据柯西不等式，有(2x ＋1×1＋3y ＋4×1＋5z ＋6×1)2≤[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]·(1＋1＋1) ＝3×(2x ＋3y ＋5z ＋11) ＝3×40＝120.故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230， 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立．此时μmax＝230.利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．2．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y ＋2z ＝5，则(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是( ) A ．20 B ．25 C ．36D ．47解析：选C ∵[(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2][12＋(－2)2＋22]≥[(x ＋5)＋(－2)(y －1)＋2(z ＋3)]2＝324，当且仅当x ＋51＝y －1－2＝z ＋32，即x ＝－3，y ＝－3，z ＝1时取等号．故(x ＋5)2＋(y －1)2＋(z ＋3)2的最小值是36.3．若2x ＋3y ＋4z ＝11，则x 2＋y 2＋z 2的最小值为________． 解析：∵2x ＋3y ＋4z ＝11，∴由柯西不等式，得 (x 2＋y 2＋z 2)(4＋9＋16)≥(2x ＋3y ＋4z )2， 故x 2＋y 2＋z 2≥12129，当且仅当x 2＝y 3＝z 4，即x ＝2229，y ＝3329，z ＝4429时取等号．答案：121294．把一根长为12 m 的细绳截成三段，各围成三个正方形．问：怎样截法，才能使围成的三个正方形面积之和S 最小，并求此最小值．解：设三段绳子的长分别为x ，y ，z ，则x ＋y ＋z ＝12，三个正方形的边长分别为x 4，y4，z4均为正数，三个正方形面积之和：S ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 42＋⎝ ⎛⎭⎪⎫z 42＝116(x 2＋y 2＋z 2)． ∵(12＋12＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(x ＋y ＋z )2＝122， 即x 2＋y 2＋z 2≥48.从而S ≥116×48＝3. 当且仅当x 1＝y 1＝z1时取等号，又x ＋y ＋z ＝12， ∴x ＝y ＝z ＝4时，S min ＝3.故把绳子三等分时，围成的三个正方形面积之和最小，最小面积为3 m 2.1．已知a 2＋b 2＋c 2＋d 2＝5，则ab ＋bc ＋cd ＋ad 的最小值为( ) A ．5 B ．－5 C ．25D ．－25解析：选B (ab ＋bc ＋cd ＋ad )2≤(a 2＋b 2＋c 2＋d 2)·(b 2＋c 2＋d 2＋a 2)＝25，当且仅当a ＝b ＝c ＝d ＝±52时，等号成立． ∴ab ＋bc ＋cd ＋bd 的最小值为－5.2．已知a 21＋a 22＋…＋a 2n ＝1，x 21＋x 22＋…＋x 2n ＝1，则a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是( ) A ．1 B ．2 C ．3D ．4解析：选A (a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n )2≤(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(x 21＋x 22＋…＋x 2n )＝1×1＝1，当且仅当x 1a 1＝x 2a 2＝…＝x n a n＝1时取等号．∴a 1x 1＋a 2x 2＋…＋a n x n 的最大值是1.3．已知x ，y ，z ∈R ＋，且1x ＋2y ＋3z ＝1，则x ＋y 2＋z3的最小值是( )A ．5B ．6C ．8D ．9解析：选 D x ＋y 2＋z 3＝1x ＋2y ＋3z ·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 2＋z 3≥1x·x ＋2y·y2＋3z·z 32＝9，当且仅当1x ＝2y ＝3z ＝13时等号成立．4．设a ，b ，c ，x ，y ，z 是正数，且a 2＋b 2＋c 2＝10，x 2＋y 2＋z 2＝40，ax ＋by ＋cz ＝20，则a ＋b ＋cx ＋y ＋z＝( )A.14B.13C.12D.34解析：选C 由柯西不等式得，(a 2＋b 2＋c 2)(x 2＋y 2＋z 2)≥(ax ＋by ＋cz )2＝400，当且仅当a x ＝b y ＝c z ＝12时取等号，因此有a ＋b ＋c x ＋y ＋z ＝12.5．已知2x ＋3y ＋z ＝8，则x 2＋y 2＋z 2取得最小值时，x ，y ，z 形成的点(x ，y ，z )＝________. 解析：由柯西不等式(22＋32＋12)(x 2＋y 2＋z 2)≥(2x ＋3y ＋z )2，即x 2＋y 2＋z 2≥327. 当且仅当x 2＝y3＝z 时等号成立．又2x ＋3y ＋z ＝8， 解得x ＝87，y ＝127，z ＝47，故所求点为⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫87，127，47 6．设a ，b ，c 为正数，则(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c 的最小值是________．解析：(a ＋b ＋c )⎝ ⎛⎭⎪⎫4a ＋9b＋36c＝[(a )2＋(b )2＋(c )2]⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3b 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6c 2 ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·2a ＋b ·3b ＋c ·6c 2＝(2＋3＋6)2＝121.当且仅当a 2＝b 3＝c6＝k (k 为正实数)时，等号成立．答案：1217．已知实数x ，y ，z 满足3x ＋2y ＋z ＝1，则x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为________． 解析：由柯西不等式，得[x 2＋(2y )2＋(3z )2]·⎣⎢⎡⎦⎥⎤32＋(2)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫132≥(3x ＋2y ＋z )2＝1，所以x 2＋2y 2＋3z 2≥334，当且仅当x 3＝2y 2＝3z 13，即x ＝934，y ＝334，z ＝134时，等号成立，所以x 2＋2y 2＋3z 2的最小值为334.答案：3348．在△ABC 中，设其各边长为a ，b ，c ，外接圆半径为R ，求证：(a 2＋b 2＋c 2)⎝⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C ≥36R 2.证明：∵a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴(a 2＋b 2＋c 2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2A ＋1sin 2B ＋1sin 2C≥⎝⎛⎭⎪⎫a sin A ＋b sin B ＋c sin C 2＝36R 2.9．在直线5x ＋3y ＝2上求一点，使(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2取得最小值． 解：由柯西不等式得(22＋12)[(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2]≥[2(x ＋2y －1)＋(3x －y ＋3)]2＝(5x ＋3y ＋1)2＝9.∴(x ＋2y －1)2＋(3x －y ＋3)2≥95.当且仅当x ＋2y －1＝2(3x －y ＋3) 即5x －4y ＋7＝0时取等号．解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝2，5x －4y ＝－7，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1335，y ＝97.故所求点的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1335，97.10．已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 为正实数，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9.解：(1)因为f (x ＋2)＝m －|x |， 所以f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0，且其解集为{x |－m ≤x ≤m }， 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m ＝1. (2)证明：由(1)知1a ＋12b ＋13c＝1，所以a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c ≥⎝⎛⎭⎪⎫a ·1a ＋2b ·12b ＋3c ·13c 2＝9.。
庖丁巧解牛知识·巧学一、二维形式的柯西不等式定理1 （二维形式的柯西不等式）已知a 1，a 2，b 1，b 2∈R ，则(a 1b 1+a 2b 2)2≤(a 12+a 22)2(b 12+b 22)2，当且仅当a 1b 2-a 2b 1=0时取等号.由二维形式的柯西不等式推导出两个非常有用的不等式： 对于任何实数a 1，a 2，b 1，b 2,以下不等式成立：22212221b b a a +•+≥|a 1b 1+a 2b 2|; 22212221b b a a +•+≥|a 1b 1|+|a 2b 2|.联想发散不等式中等号成立⇔a 1b 2-a 2b 1=0.这时我们称(a 1,a 2),(b 1,b 2)成比例,如果b 1≠0,b 2≠0,那么a 1b 2-a 2b 1=0⇔2211b a b a =.若b 1·b 2=0,我们分情况说明：①b 1=b 2=0,则原不等式两边都是0,自然成立;②b 1=0,b 2≠0,原不等式化为(a 12+a 22)b 22≥a 22b 22,也是自然成立的;③b 1≠0,b 2=0,原不等式和②的道理一样,自然成立.正是因为b 1·b 2=0时,不等式恒成立,因此我们研究柯西不等式时,总是假定b 1b 2≠0,等号成立的条件可以写成2211b a b a =,这种写法在表示一般形式(n 维)的柯西不等式等号成立的条件时更是方便、简洁的.定理2 （柯西不等式的向量形式）设α,β是两个向量，则|α·β|≤|α||β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k ，使α=k β时，等号成立. 学法一得定理2 中等号成立的充分必要条件是向量α和β平行（如α,β为非零向量，则定理2中等号成立的充分必要条件为向量α与β的夹角为0或π，即α与β对应的坐标分量成比例）,从而可以推知定理1中等号成立的充分必要条件为2211b a b a =（b i 为零时，a i 为零，i=1，2）. 定理3 （二维形式的三角不等式）设x 1,x 2,y 1,y 2∈R ，那么22122122222121)()(y y x x y x y x -+-≥+++.二维形式的三角不等式的变式：用x 1-x 3代替x 1，用y 1-y 3代替y 1，用x 2-x 3代替x 2，用y 2-y 3代替y 2，代入定理3，得232231231231)()()()(y y x x y y x x -+-+-+-221221)()(y y x x -+-≥二、一般形式的柯西不等式 定理 设a i ,b i ∈R (i=1,2, …,n),则(∑∑∑===≤ni i ni ini i i b a b a 121212)(.当数组a 1，a 2，…，a n ,b 1，b 2，…，b n 不全为0时，等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n).即(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2≤(a 12+a 22+…+a n 2)2(b 12+b 22+…+b n 2)2（a i ,b i ∈R ,i=1,2,…,n ）中等号成立的条件是2211b a b a ==…=nn b a . 记忆要诀这个式子在竞赛中极为常用，只需简记为“积和方小于和方积”.等号成立的条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数，因此应用范围较广. 一般形式的柯西不等式有两个很好的变式：变式1 设a i ∈R ，bc>0(i=1,2, …,n),则∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)(,等号成立当且仅当b i =λa i (1≤i≤n). 变式2 设a i ,b i 同号且不为0（i=1，2，…，n ），则∑∑∑≥=ii i ni i ib a a b a 212)(,等号成立当且仅当b 1=b 2=…=b n .深化升华要求a i ，b i 均为正数.当然，这两个式子虽常用，但是记不记住并不太重要，只要将柯西不等式原始的式子记得很熟，这两个式子其实是一眼就能看出来的，这就要求我们对柯西不等式要做到活学活用.柯西不等式经常用到的几个特例（下面出现的a 1, …,a n ;b 1, …,b n 都表示实数）是： （1）a 12+a 22+…+a n 2=1,b 12+b 22+…+b n 2=1,则|a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n |≤1; （2）a 1a 2+a 2a 3+a 3a 1≤a 12+a 22+a 32;（3）(a 1+a 2+…+a n )2≤n(a 12+a 22+…+a n 2);（4）(a+b)(a 1+b1)≥4=(1+1)2，其中a 、b ∈R +; （5）(a+b+c)(a 1+b 1+c1)≥9=(1+1+1)2,其中a 、b 、c ∈R +.柯西不等式是一个重要的不等式，有许多应用和推广，与柯西不等式有关的竞赛题也频频出现，这充分显示了它的独特地位. 典题·热题知识点一： 用柯西不等式证明不等式 例1 设a 1>a 2>…>a n >a n+1,求证：11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-=-++Λ>0.思路分析：这道题初看起来似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构就可以使用了，我们不妨改为证： (a 1-a n+1)·［13221111+-++-+-n n a a a a a a Λ］>1.证明：为了运用柯西不等式，我们将a 1-a n+1写成a 1-a n+1=(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+ …+(a n -a n+1),于是 ［(a 1-a 2)+(a 2-a 3)+…+(a n -a n+1)］·（13221111+-++-+-n n a a a a a a Λ）≥n 2>1.即(a 1-a n+1)·（13221111+-++-+-n n a a a a a a Λ）>1,∴11132211111++->-++-+-n n n a a a a a a a a Λ,故11132211111a a a a a a a a n n n -+-++-+-++Λ>0.方法归纳我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式之和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明. 知识点二： 用柯西不等式证明条件不等式 例2 （经典回放）设x 1,x 2, …,x n ∈R +,求证：123221x x x x x x x x nn ++++Λ≥x 1+x 2+…+x n . 思路分析：在不等式的左端嵌乘以因式(x 2+x 3+…+x n +x 1)，也即嵌以因式(x 1+x 2+…+x n )，由柯西不等式即可得证.证明：(123221x x x x x x x x nn ++++Λ)·(x 2+x 3+…+x n +x 1) =［(21x x )2+(22x x )2+…+(nn x x 1-)2+(1x x n )2］ ［(2x )2+(3x )2+…+(n x )2+(1x )2］ ≥(21x x ·2x +22x x ·3x +…+nn x x 1-·n x +1x x n ·1x ) =(x 1+x 2+…+x n )2,于是123221x x x x x x x x nn ++++Λ≥x 1+x 2+…+x n . 巧解提示柯西不等式中有三个因式∑∑∑===ni ii ni ini iba b a 11212,,，而一般题目中只有一个或两个因式，为了运用柯西不等式，我们需要设法嵌入一个因式（嵌入的因式之和往往是定值），这也是利用柯西不等式的技巧之一.知识点三： 用柯西不等式求函数的极值例3 已知实数a,b,c,d 满足a+b+c+d=3，a 2+2b 2+3c 2+6d 2=5,试求a 的最值. 思路分析：本题求极值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常数的各项，就可以应用柯西不等式来解. 解：由柯西不等式得，有 (2b 2+3c 2+6d 2)(613121++)≥(b+c+d)2, 即2b 2+3c 2+6d 2≥(b+c+d)2. 由条件可得，5-a 2≥(3-a)2. 解得，1≤a≤2,当且仅当6/163/132/12dc b ==时等号成立. 代入b=1,c=31,d=61时，a max =2; b=1,c=32,d=31时,a min =1.巧妙变式为了给运用柯西不等式创造条件，经常引进一些待定的参数，其值的确定由题设或者由等号成立的充要条件共同确定，也有一些三角极值问题我们可以反复运用柯西不等式进行解决.而有些极值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.这多次反复运用柯西不等式的方法也是常用技巧之一. 如：已知a,b 为正常数，且0<x<2π,求y=x b x a cos sin +的最小值. 解：利用柯西不等式，得)(32323232b a b a +=+(sin 2x+cos 2x)≥(3a sinx+3b cosx)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.于是33232a b a ≥+sinx+3b cosx.再由柯西不等式，得3232b a +(xbx a cos sin +) ≥(3a sinx+3b cosx)(xbx a cos sin +） ≥(xbx b x a x a cos cos sin sin 66+)2=(a 32+b 32)2. 当且仅当33cos sin bxax=时等号成立.从而y=xb x a cos sin +≥(a 32+b 32)32.于是y=xbx a cos sin +的最小值是(a 32+b 32)32. 问题·探究 思想方法探究问题 试探究用柯西不等式导出重要公式.如n 个实数平方平均数不小于这n 个数的算术平均数，即若a 1,a 2,…,a n ∈R ，则na a a n a a a nn2222121+++≤+++ΛΛ.探究过程:由柯西不等式可知 (a 1+a 2+…+a n )2≤(a 1·1+a 2·1+…+a n ·1)2≤(a 12+a 22+…+a n 2)·(12+12+…+12)=(a 12+a 22+…+a n 2)·n,所以n a a a n 221)(+++Λ≤a 12+a 22+…+a n 2,故na a a na a a nn2222121+++≤+++ΛΛ.不等式na a a n a a a nn2222121+++≤+++ΛΛ,把中学教材中仅有关于两个正数的“算术平均”，“几何平均”问题拓广到了“二次幂平均”问题，即nn a a a Λ21≤na a a n a a a nn2222121+++≤+++ΛΛ，这不仅拓宽了中学生的眼界，而且为解决许多不等式的问题开辟了一条新路.探究结论:柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的不等式，而且它对初等数学也有很好的指导作用，利用它能方便地解决一些中学数学中的有关问题. 交流讨论探究问题 柯西不等式在求某些函数最值中和证明某些不等式时是经常使用的理论根据，试交流讨论使用柯西不等式的技巧,试举例归纳.探究过程:人物甲：构造符合柯西不等式的形式及条件可以巧拆常数，如：设a 、b 、c 为正数且各不相等.求证cb a ac c b b a ++>+++++9222.我们可以如此分析：∵a 、b 、c 均为正,∴为证结论正确只需证2(a+b+c)［ac c b b a +++++111］>9.而2(a+b+d)=(a+b)+(b+c)+(c+a),又9=(1+1+1)2.人物乙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以重新安排某些项的次序，如：a 、b 为非负数，a+b=1,x 1,x 2∈R +,求证(ax 1+bx 2)(bx 1+ax 2)≥x 1x 2.我们可以如此分析：不等号左边为两个二项式积，a,b ∈R -,x 1,x 2∈R +，直接用柯西不等式做得不到预想结论，当把第二个小括号的两项前后调换一下位置，就能证明结论了.人物丙：构造符合柯西不等式的形式及条件可以改变结构，从而能够使用柯西不等式，如：若a>b>c ，求证c b b a -+-11≥ca -4.我们可以如此分析：初式并不能使用柯西不等式，改造结构后便可使用柯西不等式了.∵a-c=(a-b)+(b-c),a>c,∴a-c>0,∴结论改为(a-c)(cb b a -+-11)≥4.人物丁：构造符合柯西不等式的形式及条件可以添项，如：若a,b,c ∈R +，求证b ac a c b c b a +++++≥23.我们可以如此分析：左端变形c b a ++1+a c b ++1+b a c ++1=(a+b+c)(b a a c c b +++++111),∴只需证此式≥29即可. 探究结论:使用柯西不等式的技巧主要就是使用一些方法（巧拆常数、重新安排某些项的次序、添项等）构造符合柯西不等式的形式及条件.。
一 二维形式的柯西不等式二 一般形式的柯西不等式一览众山小诱学·导入材料：柯西不等式∑∑==n i i n i i b a 1212≥（∑=n i ii b a 1）2是柯西在1931年研究数学分析中的“留数"问题时得到的。
表面上看,这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a 2+b 2)(c 2+d 2）≥（ac+bd ）2，几乎是不证自明的。
但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立,是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的。
问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？ 导入:柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用。
向量形式｜α｜｜β|≥｜α·β｜不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起;一般形式∑∑==n i i n i i b a 1212≥（∑=n i ii b a 1）2有一个推广形式：（a 1p +a 2p +…+a np ）p 1（b 1q +b 2q +…+b n q ）q1≥a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n （q p 11+=1)（该不等式称为赫尔德(Holder ）不等式,当p=q=2时,即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一。
此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式∑∑∑===+≥+n i i i n i i n i i y x y x121212)(（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容,正是看中它的这一数学背景。
温故·知新1.我们知道绝对值|a ｜有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a 的点到原点的距离。
那么不等式|x-c|+｜x-b ｜≥a 的几何意义是什么呢？答：不等式|x —c ｜+|x —b ｜≥a 的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c 的点的距离与到坐标为b 的点的距离之和大于等于a 的点的坐标,而上述距离之和的最小值显然为｜b-c|（在c ，b 之间的点取到),因此，不等式的解取决于｜b-c ｜与a 的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b ｜≤｜a —c ｜+｜c-b|,实际上只需要注意到a ，b ，c 在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式。
一 二维形式的柯西不等式 二 一般形式的柯西不等式
一览众山小
诱学·导入
材料：柯西不等式
∑∑==n
i i
n
i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i i b a 1
)
2
是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”
问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.
问题：为何要将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容？
导入：柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用.向量形式|α||β|≥|α·β|不仅直观地反映了这一不等式的本质，而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间、赋范空间内在地联系在一起；一般形式
∑∑==n
i i
n i i b
a 1
2
1
2≥(
∑=n
i i
i b
a 1
)2有一个推广形式:(a 1p +a 2p +…
+a np )p
1(b 1q +b 2q +…+b n q )
q
1≥a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n (
q
p 1
1+=1)（该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当p=q=2时，即为柯西不等式），是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式
∑∑∑===+≥
+
n
i i i
n
i i
n
i i
y x
y
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1
21
21
2)(（闵
可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.所以将柯西不等式列为“不等式选讲”的重要内容，正是看中它的这一数学背景. 温故·知新
1.我们知道绝对值|a|有着很明确的几何意义，即数轴上坐标为a 的点到原点的距离.那么不等式|x-c|+|x-b|≥a 的几何意义是什么呢？ 答：不等式|x-c|+|x-b|≥a 的解可以直接理解为数轴上满足到坐标为c 的点的距离与到坐标为b 的点的距离之和大于等于a 的点的坐标，而上述距离之和的最小值显然为|b-c|（在c ，b 之间的点取到），因此，不等式的解取决于|b-c|与a 的大小关系.用类似的方法也不难证明|a-b|≤|a -c|+|c-b|，实际上只需要注意到a ，b ，c 在数轴上的位置关系即可.利用绝对值的几何意义，可以很好地证明和求解一些基本的含绝对值的不等式.
2.任意两个向量α,β的夹角<α,β>的余弦值是什么？ 答：任意两个向量α，β的夹角<α,β>的余弦cos<α,β>=|
|||βαβ
α••.。
