一般形式的柯西不等式优秀教学设计

选修4-5学案 §3.1.3柯西不等式 姓名☆学习目标： 1. 熟悉一般形式的柯西不等式，理解柯西不等式的证明; 2. 会应用柯西不等式解决函数最值、方程、不等式，等一些问题☻知识情景：1. 柯西主要贡献简介：柯西（Cauchy ），法国人，生于1789年，是十九世纪前半叶最杰出的分析家. 他奠定 了数学分析的理论基础. 数学中很多定理都冠以柯西的名字，如柯西收敛原理、柯西中值 定理、柯西积分不等式、柯西判别法、柯西方程等等.2.二维形式的柯西不等式： 若,,,a b c d R ∈，则 .当且仅当 时, 等号成立.变式10. 若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，则222222()()a b c d a c b d +++-+- ；变式30.（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：222212122323()()()()x x y y x x y y -+-+-+-≥3. 一般形式的柯西不等式：设n 为大于1的自然数，,i ia b R ∈(=i 1,2,…,n )，则： .当且仅当 时, 等号成立.(若0=i a 时，约定0=i b ，=i 1,2,…,n ).变式10. 设,0(1,2,,),i i a R b i n ∈>= 则：∑∑∑≥=i i ni iib a b a 212)( . 当且仅当 时, 等号成立.变式20. 设0(1,2,,),i i a b i n ⋅>= 则：∑∑∑≥=ii i ni i i b a a b a 21)(. 当且仅当n b b b === 21时,等号成立. 变式30. (积分形式)设)(x f 与)(x g 都在],[b a 可积，则dx x g dx x f dx x g x f ba b a b a )()()()(222⎰⎰⎰⋅≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡，当且仅当)()(x g t x f ⋅=时,等号成立.如果一个定理与很多学科或者一个学科的很多分支有着密切联系，那么这个定理肯定很重 要. 而柯西不等式与我们中学数学中的代数恒等式、复数、向量、几何、三角、函数等各方面 都有联系. 所以, 它的重要性是不容置疑的！☆ 柯西不等式的应用：例1. 已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=， 22222365a b c d +++=. 试求a 的最值例2 在实数集内 解方程22294862439x y z x y y ⎧++=⎪⎨⎪-+-=⎩例3 设P 是三角形ABC 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC 外接圆的半径， 证明22212x y z a b c R ++≤++例4 (证明恒等式) 已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

高二数学人教A版选修4-5教案：3.2一般形式的柯西不等式Word版含3.2 一般形式的柯西不等式一、教学目标1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排 1课时三、教学重点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式． 2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点1．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．[来源学科网]2．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋2y＋z＝1，求t＝x2＋4y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式得(x2＋4y2＋z2)(1＋1＋1)≥(x＋2y＋z)2. ∵x＋2y＋z＝1，1∴3(x2＋4y2＋z2)≥1，即x2＋4y2＋z2≥.311111当且仅当x＝2y＝z＝，即x＝，y＝，z＝时等号成立．故x2＋4y2＋z2的最小值为. 33633（二）讲授新课教材整理1 三维形式的柯西不等式2222设a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，则(a2(b21＋a2＋a3)・1＋b2＋b3)≥.当且仅当或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2,3)时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理2 一般形式的柯西不等式设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则22222(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥ .当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝ (i＝1,2，…，n)时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值123例1 已知a，b，c∈(0，＋∞)，＋＋＝2，求a＋2b＋3c的最小值及取得最小值时a， abcb，c的值．[来源学。

科。

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K]123【精彩点拨】由于＋＋＝2，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不abc等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈(0，＋∞)，2123??＋＋・∴?(a＋2b＋3c)＝[?abc??≥?1・a＋a2・2b＋b1??＋a??222??＋b??23?][(a)2＋(2b)2＋(3c)2] c??3?・3c c?＝(1＋2＋3)2＝36. 123又＋＋＝2，abc∴a＋2b＋3c≥18，当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立，综上，当a＝b＝c＝3时， a＋2b＋3c取得最小值18.规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]1．已知x＋4y＋9z＝1，求x2＋y2＋z2的最小值．【解】由柯西不等式，知 (x＋4y＋9z)2≤(12＋42＋92)(x2＋y2＋z2) ＝98(x2＋y2＋z2)．又x＋4y＋9z＝1， 1∴x2＋y2＋z2≥，(*)98yz当且仅当x＝＝时，等号成立，49129∴x＝，y＝，z＝时，(*)取等号．9849981因此，x2＋y2＋z2的最小值为.98题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例2已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式111＋＋≤λ恒成立，求λx＋yy＋zz＋x的取值范围．111【精彩点拨】“恒成立”问题需求＋＋的最大值，设法应用柯西不等式求x＋yy＋zz＋x最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0. 且x＋y＋z＝xyz. 111∴＋＋＝1. yzxzxy又111＋＋ x＋yy＋zz＋x11?11＋＋≤? 2?xyyzzx?11?1?11・＋1・＋1・＝2?xyyzzx?≤错误!错误!＝错误!，当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝3时等号成立．∴故1113＋＋的最大值为.2x＋yy＋zz＋x111＋＋≤λ恒成立时， x＋yy＋zz＋x3. 23?，＋∞. ?2?12应有λ≥因此λ的取值范围是?规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]2．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝3，a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝3，得b＋c＋d＝3－a，由a2＋2b2＋3c2＋6d2＝5，得2b2＋3c2＋6d2＝5－a2， 111?＋＋≥(b＋c＋d)2， (2b2＋3c2＋6d2)??236?即2b2＋3c2＋6d2≥(b＋c＋d)2.由条件可得，5－a2≥(3－a)2，解得1≤a≤2，所以实数a的取值范围是[1,2]．题型三、利用柯西不等式证明不等式abc?bca例3 已知a，b，c∈R＋，求证：??b＋c＋a?a＋b＋c≥9. 【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a1＝b2＝c，b3＝ba，a＝b2b，a＝c3c，b＝a1b，aa，而a1b1＝a2b2＝a3b3＝1，因而得证． c【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知22b??＋c??2≥?a? c?2c?]×[?a??2b?＋?a??2c??＋b??2a?] c??a＋b＋c??b＋c＋a?＝[??bca??abc??a×bb＋ab×cc＋ba??＋b??c×a?＝(1＋1＋1)2＝9，abc??bca?∴??b＋c＋a??a＋b＋c?≥9. 规律总结：1．当ai，bi是正数时，柯西不等式变形为(a1＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2.2．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]3．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]． (1)求m的值；111＋(2)若a，b，c∈R，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.a2b3c【解】 (1)因为f(x＋2)＝m－|x|，f(x＋2)≥0等价于|x|≤m. 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.111(2)证明：由(1)知＋＋＝1.又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2ba2b3c2111111??＋＋≥a・＋2b・＋3c・?＝9. ＋3c)??a2b3c??a2b3c?（四）归纳小结?一般形式的柯西不等式―?―一般形式?―一般形式的应用―三维形式（五）随堂检测1．设a＝(－2,1,2)，|b|＝6，则a・b的最小值为( ) A．18 B．6 C．－18 D.12 【解析】 |a・b|≤|a||b|，∴|a・b|≤18.∴－18≤a・b≤18，当a，b反向时，a・b最小，最小值为－18. 【答案】 C222222．若a21＋a2＋…＋an＝1，b1＋b2＋…＋bn＝4，则a1b1＋a2b2＋…＋anbn的取值范围是( )A．(－∞，2) B．[－2,2] C．(－∞，2] D.[－1,1]222222【解析】∵(a21＋a2＋…＋an)(b1＋b2＋…＋bn)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)，∴(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2≤4，∴|a1b1＋a2b2＋…＋anbn|≤2，即－2≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn≤2，1当且仅当ai＝bi(i＝1,2，…，n)时，右边等号成立；21当且仅当ai＝－bi(i＝1,2，…，n)时，左边等号成立，故选B.2【答案】 B3．设a，b，m，n∈R，且a2＋b2＝5，ma＋nb＝5，则m2＋n2的最小值为________．【解析】根据柯西不等式(ma＋nb)2≤(a2＋b2)(m2＋n2)，得25≤5(m2＋n2)，m2＋n2≥5，m2＋n2的最小值为5. 【答案】5[来源学+科+网][来源:]六、板书设计3.2 一般形式的柯西不等式教材整理1 三维形式的柯西不等式教材整理2 一般形式的柯西不等式例3：例1：例2： [来源:Z#xx#] 学生板演练习七、作业布置同步练习：3.2 一般形式的柯西不等式八、教学反思感谢您的阅读，祝您生活愉快。

一般形式的柯西不等式【教学目标】认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式。

【教学重点】会证明二维柯西不等式及三角不等式。

【教学难点】理解几何意义。

【教学过程】一、复习准备：1．提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：及几种变式。

(0,0)2a b a b +≥>>2．练习：已知A ．B ．C ．d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）=…=22222()()()a b c d ac bd ++-+2()0ad bc -≥二、讲授新课：1． 柯西不等式：① 提出定理1：若A ．B ．C ．d 为实数，则。

22222()()()a b c d ac bd ++≥+ → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 。

（要点：展开→配方）222()()()ac bd ad bc ac bd =++-≥+证法三：（向量法）设向量，，则，(,)m a b =u r (,)n c d =r ||m =u r ||n =r ∵ ，且，则。

∴ …。

m n ac bd ∙=+u r r ||||cos ,m n m n m n ⋅=<>u r r u r r u r r ||||||m n m n ⋅≤u r r u r r 证法四：（函数法）设，则22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++≥0恒成立。

22()()()f x ax c bx d =-+-∴ ≤0，即…。

22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？或||ac bd ≥+||||ac bd ≥+ 。

柯西不等式教学目标:1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式． 2．掌握柯西不等式的一般形式．3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题． 教学重点:理解并掌握柯西不等式及其推广形式． 教学难点:柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用． 教学过程: 一、课堂探究探究1：证明不等式：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2 分析一：比较法证明； 分析二：分析法证明．设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式.定理1 柯西不等式：若a ，b ，c ，d 为实数，则 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2 ，当且仅当 ad ＝bc 时，等号成立．问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成a b ＝cd 吗？分析：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝cd 不成立．设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.探究2：（1）已知122=+b a ，122=+y x ，求证：by ax +≤1．分析：直接使用柯西不等式证明．设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.（2）设在平面直角坐标系xOy 中有向量),(),,(d c b a ==βα，|α||β|与|α·β|的大小关系如何. 设计意图：找到柯西不等式的几何意义.定理2 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当 α和β共线(平行) 时，等号成立.探究3：设R d c b a ∈,,,，求证：2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．分析：两边平方后用分析法证明设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫.定理3 三角形不等式：设x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，那么（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 问题2：三角形不等式的几何意义是什么？分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．探究4：柯西不等式能否推广到n 个元素的一般形式．定理4 柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（n i ,,2,1 =）为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，n i ,,2,1 =）.二、例题选讲例题1．（1）已知b a ,为实数，证明))((2244b a b a ++≥233)(b a +． （2）已知+∈R y x ,，2=+y x ，求证：yx 11+≥2. 设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用.（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式． 证明：由柯西不等式得)]()()[())((2222222244b a b a b a b a ++=++≥222)(b b a a ⋅+⋅233)(b a +=（2）分析：将yx 11+与y x +相乘，再利用柯西不等式． 证明：))(11(2111y x y x y x ++=+≥2)11(212=+y yx x例题2．（1）已知12=+y x ，求22y x +的最小值. （2）求函数x x y -+-=6453的最大值. 设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用. （1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．证明：由柯西不等式得)21)((2222++y x ≥1)2(2=+y x 所以22y x +≥51.当且仅当21y x =，即52,51==y x 时，22y x +取最小值51. （2）分析：由柯西不等式配凑出常数．证明：由柯西不等式得()26453x x -+-≤()()()2565432222=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+x x所以x x -+-6453≤5 当且仅当5463-=-x x ，即25134=x 时，函数x x y -+-=6453取最大值5.例题3．（1）若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，求证：cb a 111++≥9. （2）已知5432=+++d c b a ，求2222d c b a +++的最小值.设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用. （1）分析：将cb a 111++与c b a ++相乘，再利用柯西不等式的一般形式． 证明：由柯西不等式得()c b a c b a ++⎪⎭⎫⎝⎛++111≥91112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅c c b b a a又因为1=++c b a ，所以cb a 111++≥9. （2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式. 证明：由柯西不等式得()()222222224321++++++d c b a≥()254322=+++d c b a 所以2222d c b a +++≥65 当且仅当4321d c b a ===，即32,21,31,61====d c b a 时，2222d c b a +++取最小值65.三、课堂小结1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征． 2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件． 3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．四、当堂检测1．设+∈R b a ,，1=+b a ，求证ba 11+≥4. 证明：由柯西不等式得()b a b a b a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111≥4112=⎪⎭⎫⎝⎛+b b a a2．已知122=+b a ，求证θθsin cos b a +≤1. 证明：由柯西不等式得2sin cos θθb a +≤()()1sin cos 2222=++θθb a所以θθsin cos b a +1≤13．设b a ,为正数，求)212)(1(ab b a ++的最小值. 解：由柯西不等式得)212)(1(a b b a ++≥2921212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a当且仅当ab b a 2112⋅=⋅，即21=ab 时，)212)(1(a b b a ++取最小值29. 4．已知123=+y x ，求22y x +的最小值.解：由柯西不等式得()()222223++y x ≥()1232=+y x所以22y x +≥131当且仅当y x 32=，即132,133==y x 时，22y x +取最小值131.五、课后作业1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．(－5，5]解析：∵a 2＋b 2＝10， ∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2， ∴－25≤a ＋b ≤2 5. 答案：A2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则)11)(11(yx ++的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．14解析：)11)(11(y x ++≥2)11(xy+＝4，故选A. 答案：A3．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2 B ．1 C ．3D ．9解析：∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤4x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2. 答案：A4．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．不确定解析：由柯西不等式知(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·()111n ⋯＋＋＋个12≥a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n .即得 a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .答案：B5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小________． 解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·bm＋nc ×d n≤(am )2＋(nc )2×⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2＝am ＋nc ×b m ＋d n＝Q . 答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得 (x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12，∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)．答案：2 37．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，当且仅当m a ＝nb时等号成立，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.答案： 58．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________． 解析：y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2x ≤(cos 2x ＋sin 2x )[22＋(32)2]＝22.当且仅当cos x sin 2x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22.答案：229．已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为________．解析：利用柯西不等式． 由于(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛ x ·1x ＋y ·2y ＋⎭⎫z ·3z 2＝36， 所以1x ＋4y ＋9z≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z 的最小值为36.答案：3610．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案：1211．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3147.答案：314712．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：－23≤c ≤1.证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式得：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0， 解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1.13．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)， 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.14．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值． 解：由柯西不等式，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d16时等号成立， 代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2，代入b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1.15．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6 的最大值． 解： 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.。

XX年选修4-5《一般形式的柯西不等式》参考教案2一般形式的柯西不等式教学目的：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点：维柯西不等式的应用。

教学过程：一、温故1、定理1：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbd，当且仅当bcad时取等号22、变式：若a,b,c,dR,则a2b2c2d2acbda2b2c2d2acbd显然当a2b21,c2d21时，acbd13、定理2：设,是两个向量，则当且仅当,中有一个是零向量或存在实数k使得k时，等号成立。

4、定理3、设x1,x2,x3,y1,y2,y3R，那么22x12y12x2y222x1x2y1y2 22x1x3y1y35、配凑的思想x2x3y2y322x1x2y1y222二、新课：推广柯西不等式1、柯西不等式的向量形式：设,是两个向量，则这里,是平面向量，若,为空间向量呢。

构造向量a1,a2,a3,b1,b2,b3,设,间的夹角为。

则仍有cos即a1b1a2b2a3b3a21a32a32b12b22b32 2所以a12a32a32b12b22b32a1b1a2b2a3b31 / 5当且仅当aikbii1,2,3时取等号 2、归纳推理：n维上的柯西不等式：a12a32an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn2证明：回顾前面的证法视Aa12a32an2,Cb12b22bn2,Ba1b1a2b2anbn 则不等式为B2AC构造二次函数yAx22BxC即fxa12a22an2x22a1b1a2b2anbnx+b12b22bn2 当a1a2an0或b1b2bn0时不等式显然成立当a1,a2,,an至少有一个不等于0时，a12a22an20 而fxa1xb1a2xb2anxbn0恒成立。

所以其4a1b1a2b2anbn-4a1a2anb1b2bn22222222220得：a1a2anb1b2bn222222abab1122 ab2nn当且仅当fx 有唯一零点时，0以上不等式取等号。

柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。

3.2 一般形式的柯西不等式教学目的（要求）：使学生认识二维柯西不等式及其证明；培养学生用维柯西不等式的技能，从而发展学生的思维能力。

教学重点（难点）：维柯西不等式的应用。

教学过程： 一、温故1、定理1：（二维形式的柯西不等式）若,,,,a b c d R ∈则()()()22222ab c d ac bd ++≥+，当且仅当bc ad =时取等号2、变式：若,,,,a b c d R ∈ac bd ≥+ac bd +显然当22221,1a b c d +=+=时，1ac bd +≤3、定理2：（柯西不等式的向量形式）设,αβ 是两个向量，则αβαβ⋅≤当且仅当,αβ 中有一个是零向量或存在实数k 使得k αβ=时，等号成立。

4、定理3、（二维形式的三角形不等式）设123123,,,,,x x x y y y R ∈，那么≥≥5、配凑的思想二、 新课：推广柯西不等式1、由柯西不等式的向量形式：设,αβ是两个向量，则αβαβ⋅≤这里,αβ 是平面向量，若,αβ为空间向量呢，构造向量()()123123,,,,,,a a a b b b αβ==设,αβ间的夹角为θ，则仍有cos αβαβθαβαβ⋅=⇒⋅≤即112233a b a b a b ++≤所以()()()2222222133123112233a a a b b b a b a b a b ++++≥++当且仅当()1,2,3i i a kb i ==时取等号 2、归纳推理：n 维上的柯西不等式：()()()222222213121122n n n n a a a b b b a b a b a b ++++++≥++证明：回顾前面的证法视22222213121122,,n n n n A a a a C b b b B a b a b a b =+++=+++=++ 则不等式为2B AC ≤构造二次函数22y Ax Bx C =++即()()222212n f x a a a x =+++- ()x b a b a b a n n +++ 22112+()22212n b b b +++ 当120n a a a ==== 或120n b b b ==== 时不等式显然成立 当12,,,n a a a 至少有一个不等于0时，222120n a a a +++> 而()()()()22211220n n f x a x b a x b a x b =-+-++-≥ 恒成立。

一般形式的柯西-施瓦茨不等式教案简介柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要定理，它在解决向量和长度、内积及其性质方面起着关键作用。

本教案将介绍柯西-施瓦茨不等式的一般形式，帮助学生理解这一定理的应用和证明过程。

教学目标通过本课程的研究，学生将能够：1. 理解柯西-施瓦茨不等式的定义和基本性质；2. 掌握柯西-施瓦茨不等式的一般形式；3. 应用柯西-施瓦茨不等式解决向量和长度、内积等问题；4. 理解柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

教学内容1. 柯西-施瓦茨不等式的定义和基本性质- 介绍柯西-施瓦茨不等式的概念和意义；- 解释柯西-施瓦茨不等式的基本性质。

2. 柯西-施瓦茨不等式的一般形式- 引入向量的内积概念；- 推导柯西-施瓦茨不等式的一般形式。

3. 柯西-施瓦茨不等式的应用- 解决向量长度的问题；- 解决向量内积的问题；- 解决其他应用问题。

4. 柯西-施瓦茨不等式的证明- 分析柯西-施瓦茨不等式的证明过程；- 讨论柯西-施瓦茨不等式的证明思路和技巧。

教学方法1. 讲授：通过讲解理论和公式，介绍柯西-施瓦茨不等式的定义、性质和推导过程；2. 案例分析：以具体问题为例，引导学生应用柯西-施瓦茨不等式解决实际问题；3. 练：提供一系列练题，让学生巩固和应用所学知识；4. 讨论：引导学生自主讨论和验证柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

教学评估1. 口头问答：针对柯西-施瓦茨不等式的定义、性质和应用进行口头问答；2. 练题：布置一些题，检验学生对柯西-施瓦茨不等式的掌握程度；3. 思考题：提出一些思考性问题，鼓励学生思考柯西-施瓦茨不等式的证明过程。

参考资料1. Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra. Wellesley-Cambridge Press, 2016.2. 杨??，朱迈达，吴连生. 线性代数学教程. 高等教育出版社, 2010.以上是一份关于一般形式的柯西-施瓦茨不等式的教案，希望对您有所帮助！。

澜沧拉祜族自治县第一中学教案【一般形式的柯西不等式】学科：数学 年级：高三 班级：202、203主备教师：沈良宏 参与教师：郭晓芳、龙新荣 审定教师：刘德清一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。

一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础。

本节课的核心内容是柯西不等式一般形式的推导及其简单应用。

二、教学目标：1、知识与技能：.认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：通过柯西不等式与其它基本不等式的关系，感悟柯西不等式的美;3、情感、态度与价值观：在运用柯西不等式分析、解决问题的过程中，体会柯西不等式的应用方法.三、教学重点：柯西不等式的一般形式、变形以及它与一些基本不等式的关系，柯西不等式的使用方法．四、教学难点：在具体问题中怎样使用柯西不等式．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。

通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体 实物展台六、教学方法：启发引导、讲练结合法七、教学过程1、自主导学：一、创设问题情境，检查课后学习情况：问题1：你知道二维形式的柯西不等式吗？有几种形式？定理1：（二维柯西不等式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，等号当且仅当bc ad =时成立．定理2：（向量形式）设α ，β 为平面上的两个向量，则αβαβ⋅ ≥，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反（即两个向量共线）时成立．定理3：（三角形不等式）设332211,,,,,y x y x y x 为任意实数，则：231231232232221221)()()()()()(y y x x y y x x y y x x -+-≥-+-+-+-问题2：你会用柯西不等式证明下面的两个不等式吗？（１）222a b ab +≥ （２）2221()2a b a b ++≥ 解析： (1)2222222222))()(2),)(2)a b a b ab ab ab a b ab +++=+∵((≥∴(≥222222, 2a b ab ab a b ab ++∴≥≥∴≥(2) 222222(11(11)()a b a b a b ++⨯+⨯=+∵)()≥,2221a b ()2a b ++∴≥ 问题3:已知,,1a b R a b +∈+=且 ,你能求出11a b+的最小值吗？ 解析：21111111, ()()()4a b a b a b a b a b a b+=+=++⨯+⨯= ∴≥ 即12a b ==时，11a b +取得最小值4.二、类比猜想，进行新课问题4:类比二维空间的柯西不等式，你能提出三维柯西不等式吗？会证明吗？猜想：,(1,2,3)i i x x R i ∈=设，则2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥解疑：123123(,,),(,,)x x x y y y αβ== 令,由于空间向量中αβαβ⋅ ≥也成立 .所以222222123123112233()()x x x y y y x y x y x y ++++++≥,2222222123123112233()()()x x x y y y x y x y x y ++++++∴≥,其中等号当且仅当,αβ 共线时等号成立；即0β= ,或存在一个实数k ,使得i i a kb =(1,2,3i =)时，等号成立.2、合作探究（1）分组探究：问题5：你会用柯西不等式证明下面的不等式吗？等号成立的条件呢？（1）(,)2a b ab a b R ++∈≥ （2） 22221()3a b c a b c ++++≥ (3) 222a b c ab bc ca ++++≥解析： (1)220,0,()()()(2),a b a b a b ab ab ab >>∴++≥+= 22)2), 2a b ab a b ab ++∴(≥(∴≥ ,即2a b ab +≥. (2) 22222222()(111)(111)()a b c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=++ ,22221()3a b c a b c ∴++≥++ (3) 2222222()()()a b c b c a ab bc ca ++++≥++ 22222222()(),a b c ab bc ca a b c ab bc ca ab bc ca ++≥++++≥++≥++∴∴问题6:已知,,,1a b c R a b c +∈++=且 ,你能求出111a b c++的最小值吗？ 解析：1, a b c ++=2111111111()()()9a b c a b c a b c a b c a b c++=++++⨯+⨯+⨯=∴≥ 即13a b c ===时，111a b c++取得最小值9. 问题7:类比二维、三维空间的柯西不等式，猜一猜n 维空间的柯西不等式，即一般式．（2）教师点拨： 定理4：（一般形式的柯西不等式）：设n 为大于1的自然数，,(1,2,3,,)i i x y R i n ∈= ,则：222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++ ,其中等号当且仅当 存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx === 时成立.证明：构造二次函数：2221122()()()()n n f x x x y x x y x x y =-+-++- ,则22222212112212()()2()()n n n n f x x x x x x y x y x y x y y y=+++++++++++ 是二次 函数,因为对任意的实数,(1,2,3,,)i i x y i n = ,都有()0f x ≥成立，0△∴≤2221114()4()()0n n ni i i i i i i x y x y ====-≤∑∑∑△∴， 222222212121122()()()n n n n x x x y y y x y x y x y ++++++≥+++ ∴其中等号当且仅当存在实数k ,使得1122,,,n n y kx y kx y kx === 时成立. 即当且仅当1212n ny y y x x x === 时成立（当0i x =时，约定0i y =，=i 1，2，…，n ）. 如果i x （n i ≤≤1）全为0，结论显然成立.3、巩固训练：应用举例，深化理解：例1：已知12,n a a a R ∈ ,求证：222212121()n n a a a a a a n++++++ ≥ 证明：22222221212()(111)(111)n n a a a a a a ++++++≥⨯+⨯++⨯ ∵,22221212()()n n a a a n a a a +++≥+++ ∴ 222212121()n n a a a a a a n++++++ ∴≥ 例2：已知,,,a b c d 是不全相等的实数，证明：2222a b c d ab bc cd da ++++++≥.证明：222222222()()()a b c d b c d a ab bc cd da ++++++≥+++222222()()a b c d ab bc cd da +++≥+++∴ 2222a b c d ab bc cd da ab bc cd da +++≥++++++∴≥例3：已知231x y z ++=,求222x y z ++的最小值.解：231x y z ++=∵,2222222)(123)(23)1x y z x y z ++++++=∴(≥ 222114x y z ++∴≥,即当123,,141414x y z ===时取得最小值114. 4、拓展延伸：（1）.已知,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求z y x 941++的最小值. (2).已知1a b c d +++=，求2222a b c d +++的最小值.5、师生合作总结： （1）柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.（2）设a1,a2,…,an,b1,b2,…,bn 都是实数，则(a12+a22+…+an2)(b12+b22+…+bn2) ≥(a1b1+a2b2+…+anbn)2,当且仅当bi=0(i=1,2,…,n)或存在一个数k ，使得ai=kbi(i=1,2,…,n ）时，等号成立.（3）一般形式的柯西不等式的应用.对于许多不等式问题，应用柯西不等式往往简明。

柯西不等式的教学设计
柯西不等式是数学中的重要概念之一，是高中数学中的必修内容。

在教学柯西不等式时，可以采取以下教学设计：
一、引入
在教学柯西不等式之前，可以先引入一些相关的概念，如向量、点积、模长等，以帮助学生更好地理解柯西不等式的概念和意义。

二、概念讲解
接着，可以对柯西不等式的概念进行讲解，包括定义、不等式的证明方法等内容。

并结合一些具体的例子，让学生更加深入地理解柯西不等式。

三、练习题
在讲解完概念之后，可以给学生一些练习题，让他们通过练习来掌握柯西不等式的应用方法。

这些练习题应该包括不同难度的题目，从简单到复杂，慢慢提升难度，同时也要注意引导学生理解不等式的本质。

四、拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法之后，可以通过一些拓展应用来引导学生更加深入地理解柯西不等式。

例如，可以将柯西不等式应用到数列、积分等领域，让学生了解到柯西不等式的广泛应用和重要性。

五、总结复习
最后，可以对本节课的内容进行总结复习，梳理各个知识点之间
的联系和差异，让学生更加深入地理解柯西不等式，并且掌握如何应用柯西不等式解决实际问题。

柯西不等式的教学设计
柯西不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它涉及到向量的内积和模长，是许多高中数学竞赛的必考内容。

因此，如何生动有趣地教授柯西不等式，让学生理解和掌握这个概念，是每位数学老师都需要思考的问题。

针对柯西不等式的教学，可以通过以下步骤进行设计：
1. 知识导入
在教学开始前，可以先通过引入向量的概念，以及向量的加法和数乘，让学生对向量有一个初步的认识。

然后，引入向量的内积和模长的概念，让学生了解它们的定义和性质。

2. 理论讲解
在学生了解了向量内积和模长的基本概念后，可以开始讲解柯西不等式的定义和公式。

通过具体的例子，让学生理解柯西不等式的意义和作用，帮助学生掌握柯西不等式的应用方法。

3. 练习巩固
在理论讲解后，可以通过一些实例来让学生自己尝试应用柯西不等式，巩固和加深他们的理解。

同时，可以设计一些有趣的练习题，让学生动手解决问题，提高他们的应用能力和解题能力。

4. 拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法后，可以通过一些实际问题，如几何问题、物理问题等，来让学生进一步应用柯西不等式，拓展他们的应用能力和解题思维。

总之，教授柯西不等式需要结合学生的实际情况和教学目标来进行设计，将理论知识和实际应用结合起来，让学生在理解和掌握柯西不等式的同时，提高他们的数学思维和解题能力。