苏教版数学高一必修3试题 2.3.2方差与标准差 (2)
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高中数学 2.3.2 方差与标准差
一、填空题
1．样本中共有5个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．
【解析】 由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.
【答案】 2
2．老师从星期一到星期五收到信件数分别是10,6,8,5,6，则该组数据的方差s2＝________.
【解析】 根据方差的计算公式s2＝1n∑n i＝1 (xi－x)2可得s2＝15[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.
【答案】 3.2
3．将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场作的9个分数的茎叶图后来有1个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：
89 7 74 0 1 0 x 9 1
则7个剩余分数的方差为________．
【解析】 根据茎叶图，去掉1个最低分87,1个最高分99，
则17[87＋94＋90＋91＋90＋(90＋x)＋91]＝91，
∴x＝4.
∴s2＝17[(87－91)2＋(94－91)2＋(90－91)2＋(91－91)2＋(90－91)2＋(94－91)2＋(91－91)2]＝367.
【答案】 367
4．在某项体育比赛中，七位裁判为一选手打出的分数如下：90,89,90,95,93,94,93，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为________．
【解析】 去掉最高分95和最低分89后，剩余数据的平均数为x＝15×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，方差为s2＝15×[(92－90)2＋(92－90)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝15×(4＋4＋1＋4＋1)＝2.8. 打印版本
高中数学 【答案】
92 2.8
5．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________．
【解析】 设k1、k2、…kn的平均数为k，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3(k－4)，
∴s2＝1n∑ni＝12＝1n∑ni＝12＝9×1n∑ni＝1 (ki－k)2＝9×5＝45.
【答案】 45
6．甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图2－3－7所示，则________．(填序号)
甲 乙
图2－3－7
①甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数
②甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数
③甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差
④甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差
【解析】 由条形统计图知：
甲射靶5次的成绩分别为：4,5,6,7,8，
乙射靶5次的成绩分别为：5,5,5,6,9，
所以x甲＝4＋5＋6＋7＋85＝6；x乙＝5＋5＋5＋6＋95＝6.
所以x甲＝x乙．故①不正确．
甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，故②不正确．
s2甲＝15[(4－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(7－6)2＋(8－6)2]＝15×10＝2，
s2乙＝15[(5－6)2＋(5－6)2＋(5－6)2＋(6－6)2＋(9－6)2]＝15×12＝125，因为2<125，所以s2甲 甲的成绩的极差为：8－4＝4，乙的成绩的极差为：9－5＝4，故④不正确． 【答案】 ③ 7．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________. 【解析】 由题意得： 打印版本 高中数学 159＋10＋11＋x＋y＝10，15[9－102＋10－102＋11－102＋x－102＋y－102]＝4， 整理得 x＋y＝20， ①x2＋y2＝218， ② ①2－②得2×xy＝182， ∴xy＝91. 【答案】 91 8．下图2－3－8是某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图，则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________． 【解析】 该运动员在这五场比赛中的得分分别为8,9,10,13,15，则平均得分x＝15×(8＋9＋10＋13＋15)＝11，方差s2＝15×[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝6.8. 【答案】 6.8 二、解答题 9．有甲、乙两个队，从甲队中抽出6名队员，从乙队中抽出20名队员，他们的身高数据如下：(单位：cm) 甲队：187,181,175,185,173,179. 乙队： 180,179,182,184,183,183,183,176,176,181,177,177,178,180,177,184,177,183,177,183. (1)求两队队员的平均身高； (2)甲、乙两队哪一队的身高整齐些？ 【解】 (1)x甲＝180＋16(7＋1－5＋5－7－1)＝180(cm)， x乙＝180＋120(0－1＋…＋3)＝180(cm)． 故两队队员的平均身高都为180 cm. (2)s2甲＝16×(49＋1＋25＋25＋49＋1)＝25(cm2)， 打印版本 高中数学 s2乙＝120＝8.2(cm2)． 因为s2甲>s2乙，所以乙队队员的身高更整齐些． 10．为了解A，B两种轮胎的性能，某汽车制造厂分别从这两种轮胎中随机抽取了8个进行测试．下面列出了每一个轮胎行驶的最远里程数(单位：1 000 km)： 轮胎A 95,112,97,108,100,103,86,98 轮胎B 108,101,94,105,96,93,97,106 (1)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的平均数、中位数； (2)分别计算A，B两种轮胎行驶的最远里程的极差、标准差； (3)根据以上数据，你认为哪种型号的轮胎性能更加稳定？ 【解】 (1)A轮胎行驶的最远里程的平均数为： 96＋112＋97＋108＋100＋103＋86＋988＝100， 中位数为100＋982＝99. B轮胎行驶最远里程的平均数为： 108＋101＋94＋105＋96＋91＋1068＝100， 中位数为97＋1012＝99. (2)A轮胎行驶的最远里程的极差为： 112－86＝26， 标准差为： s＝ 42＋122＋32＋82＋0＋32＋142＋228 ＝2212≈7.43； B轮胎行驶的最远里程的极差为：108－93＝15，标准差为： s＝ 82＋12＋62＋52＋42＋72＋32＋628 ＝1182≈5.43. (3)由于A和B的最远行驶里程的平均数相同，而B轮胎行驶的最远里程的极差和标准差较小，所以B轮胎性能更加稳定． 11．现有A，B两个班级，每个班级各有45名学生参加测验，每名参加者可获得0分、1分、2分、3分、4分、5分、6分、7分、8分、9分这几种不同分值中的一种，A班的测验结果如下表所示： 打印版本 高中数学 分数(分) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 人数(名) 1 3 5 7 6 8 6 4 3 2 B班的成绩如下图2－3－9所示．你认为哪个班级的成绩比较稳定？ 图2－3－9 【解】 A班成绩的平均数为： xA＝145×(0×1＋1×3＋2×5＋3×7＋4×6＋5×8＋6×6＋7×4＋8×3＋9×2)≈4.53(分)， 所以A班成绩的方差为： s2A＝145×[(0－xA)2＋3×(1－xA)2＋5×(2－xA)2＋7×(3－xA)2＋6×(4－xA)2＋8×(5－xA)2＋6×(6－xA)2＋4×(7－xA)2＋3×(8－xA)2＋2×(9－xA)2]≈4.96(分2)． B班成绩的平均数为： xB＝145×(1×3＋2×3＋3×8＋4×18＋5×10＋6×3)≈3.84(分)， 所以B班成绩的方差为： s2B＝145×[3×(1－xB)2＋3×(2－xB)2＋8×(3－xB)2＋18×(4－xB)2＋10×(5－xB)2＋3×(6－xB)2]≈1.51(分2)． 因为s2A>s2B，即B班成绩的方差较小，所以B班的成绩较为稳定.
