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苏教版高中数学必修三《方差与标准差》教案2

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2.3.2方差与标准差

教学目标

一、知识与技能：通过实例是学生理解样本数据的方差、标准差的意义和作用；学会计算数据的方差、标准差；使学生掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．

二、过程与方法：通过具体例子来说明意义及内涵，并加以计算把握

三、情感态度与价值观：体会反应离散程度的量的思想方法

教学重点

用样本数据的方差和标准差估计总体的方差与标准差．

教学难点

理解样本数据的方差、标准差的意义和作用，形成对数据处理过程进行初步评价的意识．

教学过程

一、问题情境

1．情境：甲、乙、丙三人入选国家射击运动员，各射击三次，发挥程度如下：

人员 第一次 第二次 第三次

甲 9.2 8 9.8

乙 9.2 9.4 9.8

丙 9 9.6 9.6

假如你是挑选人，你挑哪一位？为什么？

二、学生活动：看平均成绩，但三个平均成绩都是9.4,这样需要看三人发挥的稳定程度

1、看极差：甲0.8,乙0.4,丙0.6 乙入选

2、看与平均数的差别:甲：02+0.42+0.42=0.32;乙：0.22+02+0.22=0.08;丙：0.42+0.22+0.22=0.24;乙入选

三、建构数学 1．方差：一般地，设一组样本数据1x，2x，…，nx ，其平均数为－x，则称2211()niisxxn为这个样本的方差．

因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了离差的程度，我们将方差的算术平方根称为这组数据的标准差．

2．标准差：21)(1xxnsnii 标准差也可以刻画数据的稳定程度．

3．方差和标准差的意义： 描述一个样本和总体的波动大小的特征数，标准差大说明波动大．

四、数学运用

1．例题：

例1．甲、乙两种水稻试验品种连续5年的平均单位面积产量如下（单位：t/hm2），试根据这组数据估计哪一种水稻品种的产量比较稳定。

品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年

甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2

乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8

解：甲品种的样本平均数为10，样本方差为

[（9.8-10）2 +（9.9-10）2+（10.1-10）2+（10-10）2+（10.2-10）2]÷5=0.02.

乙品种的样本平均数也为10，样本方差为

[（9.4-10）2+（10.3-10）2+（10.8-10）2+（9.7-10）2+（9.8-10）2]÷5=0.24

因为0.24>0.02，所以，由这组数据可以认为甲种水稻的产量比较稳定。

例2．为了保护学生的视力，教室内的日光灯在使用一段时间后必须更换。已知某校使用的100只日光灯在必须换掉前的使用天数如下，试估计这种日光灯的平均使用寿命和标准差。

天数 151~180 181~210 211~240 241~270 271~300 301~330 331~360 361~390

灯泡数 1 11 18 20 25 16 7 2

分析：用每一区间内的组中值作为相应日光灯的使用寿命，再求平均寿命。 解：各组中值分别为165，195，225，285，315，345，375，由此算得平均数约为

165×1%+195×11%+225×18%+255×20%+285×25%+315×16%+345×7%+375×2%=267.9≈268(天)

这些组中值的方差为

1/100×[1×(165-268)2+11×(195-268)2+18×(225-268)2+20×(255-268)2+25×(285-268)2+16×(315-268)2+7×(345-268)2+2×(375-268)2]=2128.60(天2).

故所求的标准差约466.2128（天）

答：估计这种日光灯的平均使用寿命约为268天,标准差约为46天.

练习：课本第71页练习第1题 ；

例3、某工人在30天中加工一种零件的日产量的情况是：有2天是51件，有3天是52件，有6天是53件，有8天是54件，有7天是55件，有3天是56件，有1天是57件。计算该工人30天的平均日产量

解：x=51×2/30+52×3/30+53×6/30+54×8/30+55×7/30+56×3/30+57×1/30)

=130×(2×51+3×52+6×53+8×54+7×55+3×56+1×57)≈54

点评：这一原始方法对于树木越大，显得越不方便，能否将其改进呢？分析给出的数据，都在50左右摆动，可以将原始数据都减掉50，将大数化小，来进行计算。于是有：

[方法二]将生产件数各减50得到：1，2，3，4，5，6，7它们出现的次数分别为2，3，6，8，7，3，1。/x=130×(2×1+3×2+6×3+8×4+7×5+3×6+1×7)≈4，x≈4+50=54

思考问题：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，则它们对应的平均数有什么关系呢？方差又如何呢？

y=1nkkkyp=1()nkkkaxbp=1()nkkkkaxpbp=11nnkkkkkaxpbp=ax+b

Sy2=211()nkkyyn=1n21[()()]nkkaxbaxb=1n21()nkkaxax=a21n21()nkkxx=a2sx2 于是有结论：一般的，y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，则y=

ax+b，Sy2= a2sx2

用此结论可以将大数转化为比较小的数计算

练习1：某工厂甲、乙两个车间包装同一种产品。在自动包装传送带上，每隔30min抽一包产品，称其重量是否合格。分别记录抽查数据如下：

甲：102，101，99，103，98，99，98 乙：110，115，90，85，75，115，110

估计甲、乙两车间的均值与方差，并说明哪个车间比较稳定？

（答案：两车间平均数都是100，甲、乙的方差分别为3.4286、228.5714，甲车间比较稳定）

练习2：教材68页第2题

例4、某班40人随机平均分成两组，两组学生一次考试成绩情况如下

组别 平均 标准差

第一组 90 6

第二组 80

4

求全班的平均成绩和标准差(精确到0.01)

解：设第一组的成绩为xi,第二组的成绩为yi,则201120kkx=90，201120kky=80，全班平均成绩为z=140×(90×20+80×20)=85（分），由已知20211()20iixx=202211(2)20iiixxxx=220202021111(2)20iiiiixxxx=2202211(22020)20iixxx=20211(20)20kkxx=36，同理20211(20)20kkyy=16

s=2020222111(40)40kkkkxyz=……=51≈7.14

备选例题：在一次歌手大奖赛上，七位评委为歌手打出的分数如下：9.4，8.4，9.4，9.9，9.6，9.4，9.7，去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的平均值和方差分别为9.5，0.016 ；

五、回顾小结：

1．用样本的数字特征估计总体的数字特征分两类：

a) 用样本平均数估计总体平均数。

b) 用样本方差、标准差估计总体方差、标准差。样本容量越大，估计就越精确。

2．方差2211()niisxxn、标准差21)(1xxnsnii描述一组数据围绕平均数波动的大小，反映了一组数据变化的幅度．

3、y1=ax1+b,y2=ax2+b,y3=ax3+b,……,yn=axn+b，则y= ax+b，Sy2= a2sx2

用此结论可以将大数转化为比较小的数计算

六、课外作业：

补充习题：如果x1,x2,……,xn的平均数与方差分别为x，s2;x12,x22,……,xn2的平均数为2x，试将s2与x、2x的关系表示出来 (s2=x2-2x)

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苏教版必修3高一数学6.3.2方差与标准差练习

苏教版必修3高一数学6.3.2方差与标准差练习

第9课时方差与标准差

分层训练

1．以下可以描述总体稳定性的统计量是( )

(A)样本均值x (B)样本中位数

(C)样本方差2s (D)样本最大值x(n)

2．已知两个样本数据如下

甲 9.9 10.2 9.8 10.1 9.8 10 10.2

乙 10.1 9.6 10 10.4 9.7 9.9

10.3

则下列选项正确的是

( )

(A)22乙甲乙甲＞，＝ssxx （B）22乙甲乙甲＜，＝ssxx

(C)22乙甲乙甲＝，＝ssxx (D)22乙甲乙甲＝，ssxx

3．设一组数据的方差是2s，将这组数据的每个数据都乘10，所得到的一组新数据的方差是

( )

(A)0.12s (B) 2s (C)102s (D)1002s

4．已知,,21xx…，6x的方差为2，则21x＋3,

22x＋3，…,26x＋3的标准差是___________

5．某医院急诊中心关于其病人等待急诊的时间记录如下：

等待时间（分钟） [0,5) 10,5 15,10 20,15

频

数 4 8 5 3

用上述分组资料计算得病人平均等待时间的估计值x=_______,病人等待时间标准差的估计值s=___________

6．已知样本99,100,101，x ,y的平均数是100，方差是2，则yx＝________

7．（1）美国加利福尼亚州州长提出给所有的州政府雇员月薪增加70美元。这对于州政府雇员的平均月薪将会有何影响？对于月薪的标准差呢？

（2）整个政府部门的月薪递增5%将对平均月薪有何影响？对于月薪的标准差呢？

8．甲、乙两机床同时加工直径为100mm的零件，为检验质量，从中抽取6件测量数据为 甲 99 100 98 100 100 103

方差和标准差.3方差和标准差

方差和标准差.3方差和标准差

3.3方差和标准差教学设计

一、教学目标

1、了解方差，标准差公式的产生过程

2、熟练掌握方差和标准差的计算方法及其运用。

3、能通过实例学会用样本方差分析总体方差

二、教学重点

方差、标准差的概念、计算及其运用

三、教学难点

方差概念的理解和应用

四、教材分析

《方差与标准差》这节课是选自浙教版八年级上第三章第三节，是在学生学会用平均数，中位数，众数来表示数据集中程度的统计量后的另一种反映数据离散程度的统计量。是对数据进行分析的另一重要指标。这节课是七年纪上册“数据与图表”内容的延续，在数据与图表中是着重用图表的形式来反映数据的特征和变化。而本章则是用统计量来反映数据的特征和变化。学好本节课，不仅为进一步学好数据分析打好基础，而且在日常生活和实际生产中有着广泛的应用。

计算方差、标准差时，首先要求平均数，因此，求方差、标准差也是求平均数的练习和巩固的过程。但平均数与方差的最本质的区别是：平均数是反映一组数据的集中程度的统计量而方差是反映一组数据的离散程度的统计量。

五、学情分析

根据我自己对所带两个班级学生的了解，他们在分析，推导能力上不是特别强，所以本节的内容我准备按课本的要求来，不做较大的改变，不要求学生解决复杂或生僻的问题。对于八年级的学生要根据实际选择统计量，并通过数据分析作出判断或预测。不仅需要学生有教高的综合分析能力，而且要有较丰富的生活实践经验，对于这个年龄段的学生来说，是比较薄弱的。因此，我在教学中会把握好教学要求，给学生留有充分的时间思考和小组讨论，用集体的智慧来解决难题。在这堂新课中，我放较大的比重在公式的产生上，既公式的推导过程。因为中考不允许学生使用计算器，所以在数据的选择上要便于计算，不允许学生使用计算器。 六、教学过程

（一）情景引入

学生观看射击比赛视频

提问：一年一度的比赛又要开始了，所有的学员都这么优秀选谁？

设计意图：1、通过视频吸引学生的注意力，让学生的注意力集中到课堂上

高中数学_2.3.2离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思

高中数学_2.3.2离散型随机变量的方差教学设计学情分析教材分析课后反思

2.3.2 离散型随机变量的方差

教学设计

●三维目标

1.知识与技能

(1)理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念和意义．

(2)能计算简单离散型随机变量的方差和标准差，并能解决一些实际问题．

(3)掌握方差的性质，会求两点分布、二项分布的方差．

2．过程与方法

通过具体实例，理解离散型随机变量方差的概念、公式及意义，在解决实际问题的过程中，掌握解决此类问题的方法与步骤．

3．情感、态度与价值观

承前启后，感悟数学与生活的和谐之美 ,体现数学的文化功能与人文价值。

●重点、难点

重点：离散型随机变量方差及标准差的含义；方差的性质；两点分布二项分布的方差的求法．

难点：比较两个随机变量的期望与方差的大小，从而解决实际问题

教学时要抓知识选择的切入点，从学生原有的认知水平和所需的知识特点入手，引导学生结合初中学习过的方差知识，类比、观察、分析得到新的方差的概念、性质及如何根据分布列求方差，从而突出重点，通过例题与练习来化解难点．

●教学过程

离散型随机变量的方差

一、知识回顾

.1，均值的定义:

一般地，若离散型随机变量X的概率分布为

X x1 x2 … xn

P p1 p2 … pn

则称 ()EX11px22px…nnpx 为X的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的平均水平

2.均值的性质 (1)如果 X 为(离散型)随机变量，则 Y＝aX＋b(其中 a，b 为常数)也是随机变量，且 E(Y)＝()()EaXbaEXb (2)两点分布和二项分布的均值

①若X服从两点分布，则E(X)＝__p_；

②若X～B(n，p)，则E(X)＝__np____.

[师生活动]：教师提问，学生口答.

[ 设计意图]：通过复习均值的有关内容，来学习方差作铺垫.

二、问题探究

2、2、2、2标准差、方差学案

2、2、2、2标准差、方差学案

2、2、2、2标准差、方差教案

讲义编写者：数学教师孟凡洲

平均数为我们提供了样本数据的重要信息,但是,有时平均数也会使我们作出对总体的片面判断.某地区的统计显示,该地区的中学生的平均身高为176 cm,给我们的印象是该地区的中学生生长发育好,身高较高.但是,假如这个平均数是从五十万名中学生抽出的五十名身高较高的学生计算出来的话,那么,这个平均数就不能代表该地区所有中学生的身体素质.因此,只有平均数难以概括样本数据的实际状态.所以我们学习从另外的角度来考察样本数据的统计量——标准差.

一、【学习目标】

1、理解标准差、方差的真正含义；

2、会用标准差、方差解决简单的题目.

二、【自学内容和要求及自学过程】

阅读教材内容，回答问题（标准差、方差）

<1>什么是样本平均值？

<2>什么是样本标准差和方差？

结论：<1>样本平均值：nxxxxn21

<2>样本标准差：nxxxxxxssn222212)()()(

小知识帮您解决大问题

1o用样本估计总体时，如果抽样的方法比较合理，那么样本可以反映总体的信息，但从样本得到的信息会有偏差.在随机抽样中，这种偏差是不可避免的.虽然我们用样本数据得到的分布、均值和标准差并不是总体的真正的分布、均值和标准差，而只是一个估计，但这种估计是合理的，特别是当样本量很大时，它们确实反映了总体的信息.

2o①如果把一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个共同的常数，标准差不变.②如果把一组数据中的每一个数据乘以一个共同的常数k，标准差变为原来的k倍.③一组数据中的最大值和最小值对标准差的影响，区间)3,3(sxsx的应用；“去掉一个最高分，去掉一个最低分”中的科学道理.

三、【综合练习与思考探索】

例1 画出下列四组样本数据的条形图,说明它们的异同点.

(1)5,5,5,5,5,5,5,5,5；(2)4,4,4,5,5,5,6,6,6；