2018版高中数学苏教版必修三学案：2.3.2 方差与标准差

2.3.2 方差与标准差

[学习目标] 1.会求样本标准差、方差.2.理解用样本的数字特征来估计总体数字特征的方法.3.会应用相关知识解决简单的统计实际问题．

知识点一 极差

定义：一组数据的最大值与最小值的差称为极差．

知识点二 标准差、方差

1．标准差

(1)平均距离与标准差

标准差是样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示．

假设样本数据是x1，x2，…，xn，x表示这组数据的平均数．xi到x的距离是|xi－x|(i＝1,2，…，n)，

则用如下公式来计算标准差：

s＝1n[x1－x2＋x2－x2＋…＋xn－x2].

(2)计算标准差的步骤

①求样本数据的平均数x；

②求每个样本数据与样本平均数的差xi－x(i＝1,2，…，n)；

③求(xi－x)2(i＝1,2，…，n)；

④求s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]；

⑤求s＝s2，即为标准差．

2．方差

标准差的平方s2叫做方差．

s2＝1n[(x1－x)2＋(x2－x)2＋…＋(xn－x)2]，

其中，xi(i＝1,2，…，n)是样本数据，n是样本容量，x是样本平均数．

题型一 极差

例1 2013年5月31日，A，B两地的气温变化如图所示．

(1)这一天A，B两地的平均气温分别是多少？

(2)A地这一天气温的极差是多少？B地呢？

(3)A，B两地气候各有什么特点？

解 (1)从2013年5月31日，A地的气温变化图可读取数据：

18℃，17.5℃，17℃，16℃，16.5℃，18℃，

19℃，20.5℃，22℃，23℃，23.5℃，24℃，

25℃，25.5℃，24.5℃，23℃，22℃，20.5℃，

20℃，19.5℃，19.5℃，19℃，18.5℃，18℃，

所以A地平均气温为

xA＝20＋124(－2－2.5－3－4－3.5－2－1＋0.5＋2＋3＋3.5＋4＋5＋5.5＋4.5＋3＋2＋0.5＋0－0.5－0.5－1－1.5－2)＝20＋124×10＝20.4(℃)

同理可得B地的平均气温为xB＝21.4(℃)．

(2)A地这一天的最高气温是25.5℃，最低气温是16℃，极差是25.5－16＝9.5(℃)．

B地这一天的最高气温是24℃，最低气温是18℃，极差是24℃－18℃＝6℃.

(3)A，B两地气温的特点：A地早晨和深夜较凉，而中午比较热，昼夜温差较大；B地一天气温相差不大，而且比较平缓．

反思与感悟 极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．

跟踪训练1 以下四个叙述：①极差与方差都反映了数据的集中程度；②方差是没有单位的统计量；③标准差比较小时，数据比较分散；④只有两个数据时，极差是标准差的2倍．其中正确的是________．

答案 ①④

解析 只有两个数据时，极差等于|x2－x1|，标准差等于12|x2－x1|.故④正确．由定义可知①正确，②③错误．

题型二 方差与标准差的计算

例2 已知一个样本为1,3,2,5，x，它的平均数是3，则这个样本的标准差是多少？

解 方法一 ∵x＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，

∴x＝4.

由方差公式有：

s2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，∴s＝2.

方法二 ∵x＝1＋3＋2＋5＋x5＝3，∴x＝4，

由方差公式的变形形式有：

s2＝15(12＋32＋22＋52＋42)－32＝2，∴s＝2.

反思与感悟 1.标准差公式及变形要记忆牢固，运用熟练．

2．方差、标准差单位不一致，要注意区别．

跟踪训练2 将某选手的9个得分去掉1个最高分，去掉1个最低分，7个剩余分数的平均分为91，现场做的9个分数的茎叶图后来有一个数据模糊，无法辨认，在图中以x表示：

8 7 7

9 4 0 1 0 x 9 1

则7个剩余分数的方差为________．

答案 367

解析 ∵由题意知去掉一个最高分和一个最低分后，所剩数据的数据是87,90,90,91,91,94,90＋x. ∴这组数据的平均数是

87＋90＋90＋91＋91＋94＋90＋x7＝91，∴x＝4.

∴这组数据的方差是17(16＋1＋1＋0＋0＋9＋9)＝367.

题型三 方差与标准差的应用

例3 甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中抽取6件测量，数据为

甲：99 100 98 100 100 103

乙：99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数及方差；

(2)根据计算结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

解 (1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100.

s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，

s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同，

又s2甲＞s2乙，所以乙机床加工零件的质量更稳定．

反思与感悟 1.极差、方差与标准差的区别与联系：

数据的离散程度可以通过极差、方差或标准差来描述．

(1)极差是数据的最大值与最小值的差，它反映了一组数据变化的最大幅度，它对一组数据中的极端值非常敏感．

(2)方差则反映了一组数据围绕平均数波动的大小，为了得到以样本数据的单位表示的波动幅度通常用标准差，即样本方差的算术平方根，是样本数据到平均数的一种平均距离．

2．在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，质量越稳定．

跟踪训练3 某化肥厂有甲、乙两个车间包装肥料，在自动包装传送带上每隔30分钟抽取一包产品，称其质量，分别记录抽查数据如下(单位：kg)：

甲：102 101 99 98 103 98 99

乙：110115908575115110

(1)这种抽样方法是哪一种方法？

(2)试计算甲、乙两个车间产品质量的平均数与方差，并说明哪个车间产品比较稳定．

解 (1)采用的抽样方法是：系统抽样．

(2)x甲＝17(102＋101＋99＋98＋103＋98＋99)＝100；

x乙＝17(110＋115＋90＋85＋75＋115＋110)＝100；

x2甲＝17[(102－100)2＋(101－100)2＋(99－100)2＋(98－100)2＋(103－100)2＋(98－100)2＋(99－100)2]

＝17(4＋1＋1＋4＋9＋4＋1)≈3.43；

s2乙＝17[(110－100)2＋(115－100)2＋(90－100)2＋(85－100)2＋(75－100)2＋(115－100)2＋(110－100)2]

＝17(100＋225＋100＋225＋625＋225＋100)

≈228.57.

所以s2甲＜s2乙，故甲车间产品较稳定．

1．已知一个样本中的数据为1,2,3,4,5，则该样本的标准差为________．

答案 2

解析 ∵样本容量n＝5，

∴x＝15(1＋2＋3＋4＋5)＝3，

∴s＝ 15[1－32＋2－32＋3－32＋4－32＋5－32]

＝2.

2．已知一组数据4.7，4.8，5.1，5.4，5.5，则该组数据的方差是________．

答案 0.1

解析 x－＝4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.55＝5.1，则方差s2＝15[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1.

3．某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：

7,8,7,9,5,4,9,10,7,4

则：(1)平均命中环数为________；

(2)命中环数的标准差为________．

答案 (1)7 (2)2

解析 利用平均值和标准差公式求解．

(1)x＝7＋8＋7＋9＋5＋4＋9＋10＋7＋410＝7.

(2)s2＝110[(7－7)2＋(8－7)2＋(7－7)2＋(9－7)2＋(5－7)2＋(4－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(7－7)2＋(4－7)2]＝4，∴s＝2.

4．已知样本x1，x2，x3，x4，x5的方差为3，则样本4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的标准差是________．

答案 43

解析 若数据x1，x2，x3，x4，x5的方差为s2，则样本ax1＋b，ax2＋b，ax3＋b，ax4＋b，ax5＋b的方差为a2s2.

由题意知4x1＋1,4x2＋1,4x3＋1,4x4＋1,4x5＋1的方差为42×3＝48.

∴其标准差为48＝43.

5．若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是________．

答案 24.56

解析 由5＝1＋2＋3＋x4得x＝14.

同理y＝9. 由s2＝15(12＋22＋32＋142＋92)－5.82＝24.56.

1.标准差的平方s2称为方差，有时用方差代替标准差测量样本数据的离散程度．方差与标准差的测量效果是一致的，在实际应用中一般多采用标准差．

2．现实中，总体所包含的个体数往往很多，总体的平均数与标准差是未知的，我们通常用样本的平均数和标准差去估计总体的平均数与标准差，但要求样本有较好的代表性．

3．在抽样过程中，抽取的样本是具有随机性的，因此样本的数字特征也有随机性．用样本的数字特征估计总体的数字特征，是一种统计思想，没有唯一答案．