高中数学第二章统计2.3.2方差与标准差学案苏教版必修3

1 高中数学第二章统计2.3.2方差与标准差学案苏教版必修3

1．理解样本数据方差与标准差的意义和作用，会计算数据的方差、标准差．(重点、难点)

2．掌握通过合理抽样对总体的稳定性水平作出科学估计的思想．(难点)

[基础·初探]

教材整理 方差与标准差

阅读教材P69～P70“例4”上边的内容，并完成下列问题．

1．极差的概念

我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差．

2．方差与标准差的概念

(1)设一组样本数据x1，x2，…，xn，其平均数为x－，则称s2＝1ni＝1n (xi－x－)2为这个样本的方差．

(2)方差的算术平方根s＝1ni＝1n xi－x－2为样本的标准差．

填空：

(1)已知样本方差为s2＝110i＝1n (xi－5)2，则样本的平均数x－＝________；x1＋x2＋…＋x10＝________. 【导学号：11032048】

【解析】 由题意得x＝5，n＝10，

∴x＝x1＋x2＋x3＋…＋x1010＝5，∴x1＋x2＋x3＋…＋x10＝50.

【答案】 5 50 2 (2)数据10,6,8,5,6的方差s2＝________.

【解析】 5个数的平均数x＝10＋6＋8＋5＋65＝7，

所以s2＝15×[(10－7)2＋(6－7)2＋(8－7)2＋(5－7)2＋(6－7)2]＝3.2.

【答案】 3.2

[小组合作型]

方差与标准差的计算

(1)某学校一名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎叶图如图2­3­7， 则该运动员在这五场比赛中得分的方差为________．

图2­3­7

(2)设样本数据x1，x2，…，x10的均值和方差分别为1和4，若yi＝xi＋a(a为非零常数，i＝1,2，…，10)，则y1，y2，…，y10的均值和标准差分别为________、________.

【精彩点拨】 根据方差和均值的定义进行计算．

【自主解答】 (1)依题意知，运动员在5次比赛中的分数依次为8,9,10,13,15，其平均数为8＋9＋10＋13＋155＝11.

故方差为s2＝15[(8－11)2＋(9－11)2＋(10－11)2＋(13－11)2＋(15－11)2]＝15(9＋4＋1＋4＋16)＝6.8.

(2)样本数据x1，x2，…，x10的均值x＝110(x1＋x2＋…＋x10)＝1，

方差s′2＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4，

新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的均值

x＝110(x1＋a＋x2＋a＋…＋x10＋a)＝110(x1＋x2＋…＋x10)＋a＝1＋a.

新数据x1＋a，x2＋a，…，x10＋a的方差 3 s2＝110[(x1＋a－1－a)2＋(x2＋a－1－a)2＋…＋(x10＋a－1－a)2]

＝110[(x1－1)2＋(x2－1)2＋…＋(x10－1)2]＝4.∴s＝2.

【答案】 (1)6.8 (2)1＋a 2

求样本方差或标准差的步骤：

(1)求样本的平均数x－＝1ni＝1nxi；

(2)利用公式s2＝1ni＝1n (xi－x－)2求方差s2；

(3)利用s＝s2求标准差s.

[再练一题]

1．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3，若该样本的平均值为1，则样本方差为________．

【解析】 由题意知15(a＋0＋1＋2＋3)＝1，解得a＝－1，所以样本方差为s2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.

【答案】 2

方差与标准差的应用

甲、乙两台机床同时加工直径为100 cm的零件，为检验质量，各从加工的零件中抽取6件测量，所得数据为：

甲：99 100 98 100 100 103

乙：99 100 102 99 100 100

(1)分别计算两组数据的平均数与方差；

(2)根据计算的结果判断哪台机床加工零件的质量更稳定．

【精彩点拨】 求平均数→计算方差

→根据方差的大小进行判断

【自主解答】 (1)x甲＝16(99＋100＋98＋100＋100＋103)＝100，

x乙＝16(99＋100＋102＋99＋100＋100)＝100. 4 s2甲＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(98－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2＋(103－100)2]＝73，

s2乙＝16[(99－100)2＋(100－100)2＋(102－100)2＋(99－100)2＋(100－100)2＋(100－100)2]＝1.

(2)两台机床所加工零件的直径的平均值相同．

又s2甲＞s2乙，

所以乙机床加工零件的质量更稳定．

1．方差和标准差都是反映一组数据波动情况的特征数，常用来比较两组数据的波动大小．方差、标准差越大，数据的离散程度越大；方差、标准差越小，数据的离散程度越小或数据越集中，稳定．

2．比较两组数据的异同点，一般情况是从平均数及方差或标准差这两个方面考虑．

[再练一题]

2．甲、乙两位学生参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次测试，成绩记录如下：

甲：78 76 74 90 82

乙：90 70 75 85 80

现要从中选派一人参加数学竞赛，从统计学的角度考虑，应选择________同学．(填“甲”或“乙”)

【解析】 x甲＝80，x乙＝80，

而s2甲＝15×[(78－80)2＋(76－80)2＋(74－80)2＋(90－80)2＋(82－80)2]＝32.

s2乙＝15×[(90－80)2＋(70－80)2＋(75－80)2＋(85－80)2＋(80－80)2]＝50.

∵x甲＝x乙，s2甲＜s2乙，

∴从统计学的角度考虑，选甲参加更合适．

【答案】 甲

[探究共研型]

平均数、方差的性质

探究1 方差与原始数据的单位相同吗？为什么？标准差的取值范围如何？s＝0表示怎样的意义？ 5 【提示】 由于方差进行了平方运算，故方差的单位是原始数据单位的平方，从而标准差的单位与原始数据的单位相同．由标准差的定义知s≥0，当s＝0时，表示所有的样本数据都相同．

探究2 所有样本数据均加上一个常数，其平均数、方差改变吗？若所有样本数据均乘以一个非零常数时，结果又会怎样？

【提示】 设样本x1，x2，…，xn的平均数为x－，方差为s2，则样本x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为x－＋b，方差为s2；样本ax1，ax2，…，axn的平均数为ax－，方差为a2s2.

从某班抽取5名学生测量身高(单位：cm)

数据如下：161,163,162,165,164.求这5名学生身高的平均数及标准差．

【精彩点拨】 本题可用两种解法．

方法一是直接套公式计算．

方法二把原数据统一减去一个常数160，通过新数据的平均数、方差求解．

【自主解答】 法一：身高的平均数x－＝

161＋163＋162＋165＋1645＝163(cm)，

标准差s＝

15[161－1632＋163－1632＋162－1632＋165－1632＋164－1632]

＝2(cm)．

法二：将原数据都减去160之后得到一组新数据为1,3,2,5,4，

新数据的平均数x－′＝15(1＋3＋2＋5＋4)＝3，

新数据的方差s′2＝15[(1－3)2＋(3－3)2＋(2－3)2＋(5－3)2＋(4－3)2]＝2，

由平均数及方差的性质得

原数据的平均数x－＝160＋3＝163(cm)，

原数据的标准差s＝s′2＝2(cm)．

1．平均数、方差具有以下性质．

(1)数据x1，x2，…，xn与数据x1′＝x1＋a，x2′＝x2＋a，…，xn′＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变．

(2)若x1，x2，…，xn的平均数为x－，方差为s2，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为mx－＋a，方差为m2s2. 6 2．利用以上性质可使平均数，方差的计算变得简单．

[再练一题]

3．已知k1，k2，…，kn的方差为5，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的方差为________.

【解析】 设k1，k2，…，kn的平均数为k，则3(k1－4)，3(k2－4)，…，3(kn－4)的平均数为3(k－4)，

∴s2＝1ni＝1n[3(ki－4)－3(k－4)]2＝1ni＝1n[3(ki－k)]2＝9×1ni＝1n (ki－k)2＝9×5＝45.

【答案】 45

1．下列叙述不正确的是________．(填序号)

①样本的平均数可以近似地描述总体的平均水平；

②极差描述了一组数据变化的幅度；

③样本的方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小；

④一个班级的数学成绩的方差越大说明成绩越稳定．

【解析】 选项①②③都是对三个基本概念的正确描述，方差越大说明一组数据围绕平均数的波动越大，所以，一个班级的数学成绩的方差越大，说明成绩越不稳定，因此选项④是不正确的．故选④.

【答案】 ④

2．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差见表：

甲 乙 丙 丁

平均数x－ 8.5 8.8 8.8

8

方差s2 3.5 3.5 2.1 8.7

则参加奥运会的最佳人选应为________．

【解析】 由平均数及方差的定义知，丙的平均成绩较高且较稳定．

【答案】 丙

3．若1,2,3，x的平均数是5，而1,3,3，x，y的平均数是6，则1,2,3，x，y的方差是________．

【解析】 由5＝1＋2＋3＋x4得x＝14.

同理y＝9.