正切函数的性质与图像学案(高一数学)

2012高一数学 函数的基本性质学案

一、学习目标：

1、熟练掌握函数单调性，并理解复合函数的单调性问题。

2、熟练掌握函数奇偶性及其应用。

3、学会对函数单调性，奇偶性的综合应用。

二、教学过程：

1．复习旧知：

（1）函数单调性的定义：

（2）证明函数单调性的步骤：

（3）奇偶性的定义及奇偶性的证明步骤：

（4）小题练习：

1．若2(3)21fxx，则()fx的解析式为 。

2．求函数定义域(1)5()||3xfxx (2)11yxx

3.已知函数2()(2)(1)3fxmxmx是偶函数，则实数m的值

4．已知函数53()8fxxaxbx若(2)10f，则(2)f的值

2．问题解决：

一、利用函数单调性求函数最值

例1、已知函数y=f(x)对任意x,y∈R均为f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x)<0,f(1)= －32.

(1) 判断并证明f(x)在R上的单调性；(2)求f(x)在[－3，3]上的最大、小值。

变式训练

设函数()fx为定义在R上的偶函数，且()fx在[0,)为减函数，则(2),(),(3)fff的大小顺序

二、复合函数单调性

例2、求函数y=322xx的单调区间，并对其中一种情况证明。

学生活动：.函数822xxy的单调增区间为

总结：（复合函数的单调性）

三、综合应用函数的单调性和奇偶性

例3：函数21)(xbaxxf是定义在)1,1(上的奇函数，且52)21(f

(1)求)(xf的解析式

(2)用定义法证明函数)(xf在)1,1(上是增函数

(3)解不等式0)()1(tftf

例4：已知函数)(xf的定义域为R，对任意Rba,，有)()()(bfafbaf，当0x

正弦、余弦和正切函数的图像与性质

一、知识清单

1任意角的三角函数的定义

定

义正弦___叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝___

余弦___叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝___

正切___叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝___

三角

函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标

或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点

O的距离是r(r＝x2

＋y2

＞0)．

sin α=

cos α=

tan α=

2正弦、余弦、正切函数在各象限的符号

3五点作图法

x0π2π

y=sin x

x0π2π

y=cos x-

函数y=tan x,x∈的图象

三点：

两线：

4三角函数的图像与性质

（1）正弦函数

解析式y=sin x

图象

定义域

值域当,y取最大值1

当,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称中心

对称轴方程

（2）余弦函数

解析式y=cosx

图象

定义域

值域当时,y取最大值1

当时,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称轴方程

对称中心

（3）正切函数

函数

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

二、典例解析

题型一求函数的周期

例1．求下列三角函数的周期：

(1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；

(3)

621

sin2xy

，x∈R (4)

621

tan2xy

例2 设f(x)是以1为一个周期的函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,求

27

f的值.

跟踪训练

(1)

函数y=cos

的最小正周期是()

(2)

若函数y=sin(

ω>0)

的周期是,

则ω=.

(3)

已知f(x)

是以4

为周期的偶函数,

当x

∈[0,2]

时,f(x)=x,

则f(7.6)=

(4)

若f(x)

是以为周期的函数,f=-1,

则f=..

题型二判断函数的奇偶性

例判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin xcos x;

(2)f(x)=.

跟踪训练

1

判断下列函数的奇偶性:

- 1 - 作业24：正弦、余弦、正切函数的图象和性质（1）

1．函数1tan24yx的定义域是

A．{|2,}2xxkkZ B．{|4,}2xxkkZ

C．{|,}28kxxkZ D．{|,}8xxkkZ

2．在[0,2]内，不等式1cos2x的解集是

A．0,3 B．50,3 C．5,33 D．,23

3．如图所示曲线对应的函数解析式可以是

A．|sin|yx B．sin||yx C．sin||yx D．|sin|yx

4．方程2cosxx的解的个数为

A.0 B.1 C.2 D.无穷多个

5．函数2[0in],,3sxyx的值域为_______；函数2cos,[0,]3yxx的值域为______．

6．利用函数cosyx的图象解不等式：31cos22x

7．已知函数cos2(,,0)6yabxabRb的最大值为3，最小值为1.

（1）求,ab的值；（2）当求5,46x时，函数()4sin3gxabx的值域.

8. 已知函数axxxfsinsin)(2.

（1）当0)(xf有实数解时，求实数a的取值范围；

（2）若417)(1xf对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围。

1 §1.4.3正切函数的图像与性质

【教材分析】

正切函数的图象和性质》 它前承正、余弦函数，后启必修五中的直线斜率问题。研究正切函数的图象与性质过程不仅是对正、余弦曲线研讨方法的一种再现，更是一种提升，同时又为后续的学习奠定了基石。教材单刀直入，直接进入画图工作，没有给出任何提示。正切函数与正弦函数在研究方法上类似，我采用以类比的方式，让学生回忆正弦曲线的作图过程与方法，进而启发、引导学生发现作正切曲线的一种方法。教材上直接圈定了区间（2,2），这样限制了学生的思维，我把空间留给学生，采用让学生自己选择周期，设计一个得到正切曲线的方法。这样，不仅发挥了学生的能动性，增强动脑、动手绘图的能力，而且，在此过程中，学生会注意到画正切曲线的细节。在得到图象后，单调性是一个难点，我设计了几个判断题帮助学生理解该性质，并用比大小的题型启发学生从代数和几何两种角度看问题。

【教学目标】

正切函数是继正、余弦之后的又一个三角函数，三者在研究方法与研究内容上类似，但某些性质有所不同，这就养成学生在画图时必须全面考虑问题。本着课改理念，养成学生对知识的勇于探索精神，学生亲自体会正切曲线的获得过程，这样学生的动手实践能力有了提高，又体会到学习数学的乐趣，根据教学要求及学生现有的认知水平，现制定以下教学目标：

1.会用单位圆内的正切线画正切曲线，并根据正切函数图象掌握正切函数的性质，用数形结合的思想理解和处理问题。

2.首先学生自主绘图，通过投影仪纠正图像，投影完整的正确图象，然后再让学生观察，类比正弦，探索知识。

3.在得到正切函数图像的过程中，学会一类周期性函数的研究方式，通过自己动手得到图像让学生亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，增强学习数学的兴趣。

【教学重点难点】

教学重点：正切函数的图象及其主要性质。

教学难点：利用正切线画出函数y=tanx的图象，对直线x=2k，Zk是y=tanx的渐近线的理解，对单调性这个性质的理解。