高一数学正切函数的图像和性质

正弦、余弦和正切函数的图像与性质

一、知识清单

1任意角的三角函数的定义

定

义正弦___叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝___

余弦___叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝___

正切___叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝___

三角

函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标

或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点

O的距离是r(r＝x2

＋y2

＞0)．

sin α=

cos α=

tan α=

2正弦、余弦、正切函数在各象限的符号

3五点作图法

x0π2π

y=sin x

x0π2π

y=cos x-

函数y=tan x,x∈的图象

三点：

两线：

4三角函数的图像与性质

（1）正弦函数

解析式y=sin x

图象

定义域

值域当,y取最大值1

当,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称中心

对称轴方程

（2）余弦函数

解析式y=cosx

图象

定义域

值域当时,y取最大值1

当时,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称轴方程

对称中心

（3）正切函数

函数

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

二、典例解析

题型一求函数的周期

例1．求下列三角函数的周期：

(1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；

(3)

621

sin2xy

，x∈R (4)

621

tan2xy

例2 设f(x)是以1为一个周期的函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,求

27

f的值.

跟踪训练

(1)

函数y=cos

的最小正周期是()

(2)

若函数y=sin(

ω>0)

的周期是,

则ω=.

(3)

已知f(x)

是以4

为周期的偶函数,

当x

∈[0,2]

时,f(x)=x,

则f(7.6)=

(4)

若f(x)

是以为周期的函数,f=-1,

则f=..

题型二判断函数的奇偶性

例判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin xcos x;

(2)f(x)=.

跟踪训练

1

判断下列函数的奇偶性:

1.4.3正切函数的性质与图象学案

学习目标: 1.会用正切线画正切函数的图像；2.掌握正切函数的图像与性质；3.会解决正切函数的复合函数的性质

复习引入：

1、正弦函数、余弦函数的性质都有哪些？

2、正弦曲线是如何探究出的？常用 法画正弦、余弦函数的简图？

自主学习：阅读课本P42～P44，试完成对正切函数的性质与图像的探究结果：

xysin xycos xytan

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

图像

对称性

疑点解读：

1、如何画正切函数xytan的简图？ 法

2、正切曲线的渐近线为： ；

3、正切曲线的对称中心为 .

4、直线ay与正切函数图像的交点中，相邻两个交点之间的距离是多少？

5、在同一坐标系中，画出函数)2,2(,sinxxy，)2,2(,tanxxy和xy的图像

例1、画出函数|tan|xy的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性，指出其周期

小结1、函数|tan|xy的周期：T= ；

变式1、求满足下列条件的x的取值范围

(1) 1tanx (2) 1)32tan(x

(3)求函数)tan1lg(1tanxxy的定义域

变式2、比较大小：)413tan( )512tan(：

例2、求函数)32tan(xy的定义域、周期、单调区间、对称中心

小结2、正切型函数)0,0()tan(AxAy

①定义域： ；②周期： T= ；④对称中心的求法：

(2)|)tan(|xAy的周期T= ；

变式1、求)46tan(xy单调区间、周期、对称中心

正切函数的性质和图像教案

教学目标

1、探索并掌握正切函数的性质；

2、能根据正切线画出正切函数的图象

重点:掌握正切函数的基本性质

难点:利用正切函数的性质画出其图像，特别是对正切函数图像的渐近线的认识。

教学过程

复习旧知:提问1： 首先我们回忆角的正切是如何定义的？

tanyx角的正切：=

提问2：角是任意的吗？引出正切函数的定义域。

提问3：习惯，学生分析tanyx=量与量之间的关系

正切函数的定义：

,,2yxxxkkZ=tan定义域

正切函数的性质:

提问4：类比我们学过的正弦函数、余弦函数的图像和性质，我们可以从哪些方面研究正切函数的性质？

学生回答：正弦、余弦函数都有哪些方面的性质。

提问5：我们对正切函数也已经有了初步的了解，譬如：正切线，与正切有关的诱导公式等，就已有的知识，下面请同学具体说明正切函数的性质？

1、定义域：,2xxkkZ

2、值域：R

3、奇偶性：奇函数 )tanxxtan(

4、周期性：最小正周期是 )tanxxtan( 5、单调性：在整个定义域上既不是增函数也不是减函数

正切函数的图像:

tan+()2yxxRxkkZ且的图像，称为“正切曲线”。

观察图像，丰富性质:

值域:tan;tan.2222xxxxxx当且时，当且时，

单调性:对每一个kZ，在开区间(,)22kk内，函数单调递增.

对称性:对称中心：(,0)()2kkZ，无对称轴。

例题解析:

例1. 比较1319tan()tan()45与的大小。

例2. 求函数1tan1yx的定义域。

例3. 求下列函数的周期：

正切函数和余切函数第1页共3页 正切函数和余切函数的图像和性质

知识点：

1.正切函数和余切函数的概念；

2.正切函数与余切函数的图像和性质；

3.正切函数与余切函数性质的应用；

教学过程：

1.正切函数和余切函数的概念：

（1）正切函数---形如tanyx的函数称为正切函数；

余切函数--形如cotyx的函数称为余切函数；

2.函数的图像和性质：

（1）正切函数的图像：

见正切函数图像课件。

（2）正切函数图像：

（3）与切函数的图像：

23223222正切函数和余切函数第2页共3页 归纳填表格：

三角函数 正切函数tanyx 余弦函数cotyx

定义域 ,2xkkZ ,xkkZ

值域 yR yR

最值 无最值 无最值

奇偶性 奇函数 奇函数

周期性 T T

单调性 递增区间：2(,,)2kkxkZ；

没有递减区间； 递减区间：(,),xkkkZ；

没有递增区间；

轴对称 没有 没有

渐进性 渐近线：,2xkkZ 渐近线：,xkkZ

中心对称性 对称中心是(,0)k及(,0),2kkZ

例1.求下列函数的周期：

（1）tan(3)3yx；

（2）221tgxytgx；

（3）cottanyxx；

（4）22tan21tan2xyx；

（5）sin1tantan2xyxx

例2.求下列函数的单调区间：

（1）tan(2)24yx；

（2）tan()123xy；

（3）123logcot3yx

例3.求下列函数的定义域： 正切函数和余切函数第3页共3页 （1）tan4yx；

（2）12logtanyx；

（3）3cotsincos3yxxx；

例4.（1）求函数22lg[3(31)tantan]9yxxx的定义域；