高一数学正切函数的图象与性质(1)

●课 题

§4.10.1 正切函数的图象和性质(一)

●教学目标

(一)知识目标

1.正切函数的图象；

2.正切函数的性质.

(二)能力目标

1.会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象；

2.理解正切函数的性质.

(三)德育目标

1.用数形结合的思想理解和处理有关问题；

2.发现数学规律；

3.提高数学素质，培养实践第一观点.

●教学重点

正切函数的图象和性质

●教学难点

正切函数的性质的简单应用

●教学方法

引导学生用数形结合的思想理解和处理有关问题.(启发引导式)

●教具准备

幻灯片一张

内容：课本P69图4—27，§4.10.1

●教学过程

Ⅰ.课题导入

师：常见的三角函数还有正切函数，前面我们研究了正、余弦函数的图象和性质，今天我们来探讨一下正切函数的图象，以及它具有哪些性质?

Ⅱ.讲授新课

师：为了精确，我们还是利用单位圆中的正切线来画一下正切曲线.

∵tan(π＋x)＝xxxxcossin)cos()sin(＝tanx

(其中x∈R，且x≠2＋kπ，x∈Z)

根据周期函数定义，可知正切函数也是周期函数，且π是它的周期.

现在利用正切线画出函数

y＝tanx，x∈(－2，2)的图象

师：引导学生完成.

生：在教师指导下完成.

师：打出幻灯片§4．10．1，让学生对照

然后说明可将所得图象向左、右平移，即可得到y＝tanx，x∈R且x≠2＋kπ，(k∈Z)的图象，叫做正切曲线.

师：引导学生观察得出正切曲线的特征：

正切曲线是被相互平行的直线x＝2＋kπ(k∈Z)所隔开的无穷多支曲线组成的.

师：现在我们根据正切曲线来看一下正切函数有哪些主要性质.

(师生共同完成以下活动)

(1)定义域：｛x｜x≠2＋kπ，k∈Z｝

(2)值域：R

(3)周期性：正切函数是周期函数，且周期T＝π

(4)奇偶性：∵tan(－x)＝－tanx

∴正切函数是奇函数

1．4.3 正切函数的性质与图象

考点 学习目标 核心素养

正切函数的图象 能借助单位圆中的正切线画出y＝tan x的图象 数学抽象、直观想象

正切函数的性质 掌握正切函数的性质 数学运算、逻辑推理

问题导学

预习教材P42－P45，并思考下列问题：

1．正切函数有哪些性质？

2．正切函数在定义域内是不是单调函数？

函数y＝tan x的图象与性质

解析式 y＝tan x

图象

定义域 xx≠π2＋kπ，k∈Z

值域 R

最小正

周期 π

奇偶性 奇函数

单调性 在开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上都是增函数

对称性 对称中心kπ2，0(k∈Z)

■名师点拨

(1)正切函数在定义域上不具备单调性，但在每一个开区间－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)内是增函数．不能说函数在其定义域内是单调递增函数．

(2)正切函数无单调递减区间，在每一个单调区间内都是递增的，并且每个单调区间均为开区间，不能写成闭区间．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)正切函数的定义域和值域都是R.( )

(2)正切函数在整个定义域上是增函数．( )

(3)正切函数在定义域内无最大值和最小值．( )

(4)存在某个区间，使正切函数为减函数．( )

答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

函数f(x)＝tanx＋π6的定义域是(

)

A.x|x∈R，x≠kπ－π2，k∈Z

B．{x|x∈R，x≠kπ，k∈Z}

C.x|x∈R，x≠kπ＋π6，k∈Z

D.x|x∈R，x≠kπ＋π3，k∈Z

答案：D

函数y＝tan2x＋π4的最小正周期为( )

A.π2 B．π

C．2π D．3π

答案：A

函数y＝tanx－π4的单调递增区间是________．

答案：－π4＋kπ，3π4＋kπ，k∈Z

5.4.3 正切函数的性质与图象

知识点 函数y＝tan x的图象与性质

解析式 y＝tan

x

图象

定义域

x x≠kπ＋π2，k∈Z

值域

R

周期 π

奇偶性 奇函数

单调性 在开区间kπ－π2，kπ＋π2，k∈Z上都是增函数

状元随笔 如何作正切函数的图象

(1)几何法

就是利用单位圆中的正切线来做出正切函数的图象，该方法作图较为精确，但画图时较烦琐．

(2)“三点两线”法

“三点”是指－π4，－1，(0,0)，π4，1；“两线”是指x＝－π2和x＝π2. 在“三点”确定的情况下，类似于“五点法”作图，可大致画出正切函数在－π2，π2上的简图，然后向右、向左扩展即可得到正切曲线．

[教材解难]

1．教材P209思考 有了前面的知识准备，我们可以换个角度，即从正切函数的定义出发研究它的性质，再利用性质研究正切函数的图象．

2．教材P210思考

可以先考察函数y＝tan x，x∈0，π2的图象与性质，然后再根据奇偶性、周期性进行拓展．

[基础自测]

1．下列说法正确的是( )

A．y＝tan x是增函数

B．y＝tan x在第一象限是增函数

C．y＝tan x在某一区间上是减函数

D．y＝tan x在区间kπ－π2，kπ＋π2(k∈Z)上是增函数

解析：由正切函数的图象可知D正确．

答案：D

2．函数y＝tanx＋π4的定义域是( )

A.x x≠－π4 B.x x≠π4

C.x x≠kπ－π4，k∈Z D.x x≠kπ＋π4，k∈Z

解析：由x＋π4≠kπ＋π2，k∈Z，得x≠kπ＋π4，k∈Z.

答案：D 3．已知函数f(x)＝tan2x＋π3，则函数f(x)的最小正周期为( )

鸡西市第十九中学高一数学组

1 鸡西市第十九中学学案

2017年（ ）月（ ）日 班级 姓名

1.4.3 正切函数的性质与图象

学习

目标 1．了解正切函数图象的画法，理解掌握正切函数的性质．

2．能利用正切函数的图象及性质解决有关问题．

重点

难点 类比正弦函数和余弦函数的研究方法，抓住正切函数的图象具有渐近线(x＝kπ＋π2，k∈Z)这一明显特征

【正切函数的图象】阅读下文，了解正切函数图象的几何作法．

类比正弦函数图象的作法，作正切函数y＝tan x，x∈－π2，π2图象的步骤：

(1)建立平面直角坐标系，在x轴的负半轴上任取一点O1，以O1为圆心作单位圆．

(2)把单位圆中的右半圆平均分成8份，并作出相应终边的 线．

(3)在x轴上，把－π2，π2这一段分成8等份，依次确定单位圆上7个分点在x轴上的位置．

(4)把角x的 线向右平移，使它的起点与x轴上的点x重合．

(5)用光滑的曲线把正切线的终点连接起来，就得到y＝tan x，x∈－π2，π2的图象，如图所示．

现在我们作出了正切函数一个周期上的图象，根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数y＝tan x(x∈R，且x≠π2＋kπ(k∈Z))的图象，我们把它叫做“正切曲线”(如下图所示)，它是被无数条直线________________所隔开的无数条曲线组成的． 鸡西市第十九中学高一数学组

2

【正切函数的性质】

由正切函数的图象可得：

(1)正切函数的定义域：x|x∈R且x≠kπ＋π2，k∈Z.

(2)正切函数的值域：对于x∈ (k∈Z)，

当x→－π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→－∞；当x→π2＋kπ(k∈Z)时，tan x→＋∞.

所以y＝tan x可以取任意实数值，但没有最大值和最小值，故正切函数的值域为 __，