高一数学正切函数的图像和性质1

6．1正弦函数和余弦函数的图像与性质（一）

上海曙光中学 陶慰树

一．教学内容分析

本章节内容是在学生学习了三角比及有关三角恒等变形公式后，从函数的角度和层面来研究相关三角问题。对于函数的研究，学生已经具备了一定的知识基础和对简单的具体函数的研究经验，结合三角函数的特殊性，教材改变了研究函数由性质到图像的研究策略，而是先得出三角函数的图像，再由图像归纳性质这一途径。为此通过函数图像作图的一般方法---描点法（五点发）及正余弦函数在单位圆中正弦线和余弦线所具备的特征构造正弦函数和余弦函数的图像，学生容易接受，而对于通过函数的图像的平移或对称得出余弦函数和相关其他三角函数的图像可能比较困难，需要在教学时加以指导和突破。

正弦函数和余弦函数的图像在三角函数的研究中是一个基础和前提，为后面得出正弦函数和余弦函数的性质、进一步加深对函数图像的研究将起着至关重要的作用。

二．教学目标设计

1、 能结合单位圆中的正弦线、余弦线理解正弦函数及余弦函数中函数值的变化规律；

2、 通过五点法能正确作出正弦函数的图像，并能归纳正弦函数图像的特征；

3、 通过函数图像的变换，能作出余弦函数及相关函数图像；

4、 在渗透数形结合的数学思想过程中，培养学生类比和转化的思维习惯。

三．教学重点难点

正弦函数和余弦函数的图像的形成和应用。

四．教学用具准备

多媒体设备

五．教学流程设计

六．教学过程设计

一．复习引入

1．复习：学生口述函数的定义。

2．引入：结合我们刚学过的三角比，就以正弦（或余弦）为例，对每一个给定的角x和正弦值xsin（或xcos）之间是否也存在一种函数关系？若存在，请对这种函数关系下一个定义，若不存在请说明理由。

3．讨论：对自变量x的取值类型和范围进行讨论，并给出相应的正弦函数和余弦函数的记号。

以往我们在研究函数时，先探究函数所具备的性质，再作出函数的图像，今天我们先探究正弦函数和余弦函数的图像，再得出函数的性质。

正弦、余弦和正切函数的图像与性质

一、知识清单

1任意角的三角函数的定义

定

义正弦___叫做α的正弦，记作sin α，即sin α＝___

余弦___叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝___

正切___叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝___

三角

函数正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标

或坐标的比值为函数值的函数，将它们统称为三角函数

在平面直角坐标系中，设α的终边上任意一点P的坐标是(x，y)，它与原点

O的距离是r(r＝x2

＋y2

＞0)．

sin α=

cos α=

tan α=

2正弦、余弦、正切函数在各象限的符号

3五点作图法

x0π2π

y=sin x

x0π2π

y=cos x-

函数y=tan x,x∈的图象

三点：

两线：

4三角函数的图像与性质

（1）正弦函数

解析式y=sin x

图象

定义域

值域当,y取最大值1

当,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称中心

对称轴方程

（2）余弦函数

解析式y=cosx

图象

定义域

值域当时,y取最大值1

当时,y取最小值-1

最小正周期

奇偶性

单调性

对称轴方程

对称中心

（3）正切函数

函数

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

二、典例解析

题型一求函数的周期

例1．求下列三角函数的周期：

(1) y＝3sinx，x∈R；(2)y＝cos 2x，x∈R；

(3)

621

sin2xy

，x∈R (4)

621

tan2xy

例2 设f(x)是以1为一个周期的函数,且当x∈(-1,0)时,f(x)=2x+1,求

27

f的值.

跟踪训练

(1)

函数y=cos

的最小正周期是()

(2)

若函数y=sin(

ω>0)

的周期是,

则ω=.

(3)

已知f(x)

是以4

为周期的偶函数,

当x

∈[0,2]

时,f(x)=x,

则f(7.6)=

(4)

若f(x)

是以为周期的函数,f=-1,

则f=..

题型二判断函数的奇偶性

例判断下列函数的奇偶性:

(1)f(x)=sin xcos x;

(2)f(x)=.

跟踪训练

1

判断下列函数的奇偶性:

1.4.3正切函数的性质与图象学案

学习目标: 1.会用正切线画正切函数的图像；2.掌握正切函数的图像与性质；3.会解决正切函数的复合函数的性质

复习引入：

1、正弦函数、余弦函数的性质都有哪些？

2、正弦曲线是如何探究出的？常用 法画正弦、余弦函数的简图？

自主学习：阅读课本P42～P44，试完成对正切函数的性质与图像的探究结果：

xysin xycos xytan

定义域

值域

周期

奇偶性

单调性

图像

对称性

疑点解读：

1、如何画正切函数xytan的简图？ 法

2、正切曲线的渐近线为： ；

3、正切曲线的对称中心为 .

4、直线ay与正切函数图像的交点中，相邻两个交点之间的距离是多少？

5、在同一坐标系中，画出函数)2,2(,sinxxy，)2,2(,tanxxy和xy的图像

例1、画出函数|tan|xy的图像，并根据图像判断其单调区间、奇偶性，指出其周期

小结1、函数|tan|xy的周期：T= ；

变式1、求满足下列条件的x的取值范围

(1) 1tanx (2) 1)32tan(x

(3)求函数)tan1lg(1tanxxy的定义域

变式2、比较大小：)413tan( )512tan(：

例2、求函数)32tan(xy的定义域、周期、单调区间、对称中心

小结2、正切型函数)0,0()tan(AxAy

①定义域： ；②周期： T= ；④对称中心的求法：

(2)|)tan(|xAy的周期T= ；

变式1、求)46tan(xy单调区间、周期、对称中心

学科教师辅导讲义

年 级： 高一 辅导科目： 数学 课时数：

课 题 正切函数和余切函数的图像与性质（一）

教学目的 1、让学生掌握正切函数的图像，性质

2、熟练求出正切函数的周期，单调区间等

教学内容

【知识梳理】

正切函数的性质：

1．定义域：zkkxx,2|，

2．值域：R

3．观察：当x从小于zkk2，2kx时，xtan

当x从大于zkk2，kx2时，xtan

4．周期性：T

5．奇偶性：xxtantan奇函数

6．单调性：在开区间,22kkkz内，函数单调递增

余切函数y=cotx的图象及其性质（要求学生了解）：

2tan2tancotxxxy——即将xytan的图象，向左平移2个单位，

再以x轴为对称轴上下翻折，即得xycot的图象

定义域：zkkxRx,且

值域：R，

当zkkkx2,时0y，当zkkkx,2时0y

周期：T

奇偶性：奇函数

单调性：在区间1,kk上函数单调递减

【典型例题分析】

例1、比较413tan与517tan的大小

变式练习：不通过求值，比较tan135°与tan138°的大小

例2、求函数tan(3)3yx的定义域、值域，并指出它的周期性、奇偶性、单调性。

变式练习1：讨论函数4tanxy的性质

变式练习2：tan4yx的单调区间怎么求？

例3、观察正切曲线写出满足tanx＞0的x的值的范围：

变式练习：方法同上，求出分别满足下列条件的x的值的范围