高中对数函数有多难？图解概念加习题，让你轻松过关

对数函数重难点突破一、知识梳理二、知识精讲知识点一 对数函数及其性质(1)概念：函数 y ＝log a x(a ＞0，且 a≠1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0，＋∞). (2)对数函数的图象与性质0<a<1图象定义域： (0，＋∞)值域： R当 x ＝ 1 时， y ＝0，即过定点(1，0)当 x>1 时， y>0； 当 0<x<1 时， y<0在(0，＋∞)上是增函数a>1对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a logaN ＝N ；②log a a b ＝b(a>0，且 a≠1). (2)对数的运算法则如果 a>0 且 a≠1，M>0，N>0，那么 ①log a (MN)＝log a M ＋log a N ； M④log a m M n ＝n mlog a M(m ，n∈R，且 m≠0).(3)换底公式： log b N ＝log a Nlog a b(a ，b 均大于零且不等于 1).三、例题讲解(一) 对数函数的概念与图像 例 1、给出下列函数：；①y＝ x πx ．其中是对数函数的有（ ） A ．1 个 B ．2 个 C ．3 个 D ．4 个 【答案】解： ①y＝x 2 的真数为 x 2，故不是对数函数；3（x ﹣ 1）的真数为x ﹣ 1，故不是对数函数； ③y＝ log x+1x 的底数为 x+1，故不是对数函数；②y＝ log④y＝log πx 是对数函数；故选： A ．【变式训练 1-1】．函数f(x)＝log a |x|＋1(0＜a ＜1)的图象大致为( )【答案】 A②log a ＝log a M －log a N ；③log a M n ＝nlog a M(n∈R)；2 ②y＝log 3（x ﹣ 1）； ③y＝log x+1x ； ④y＝logN【解析】选A 由函数f(x)的解析式可确定该函数为偶函数，图象关于y 轴对称．设g(x)＝log|x|，先画出ax>0 时，g(x)的图象，然后根据g(x)的图象关于y 轴对称画出x<0 时g(x)的图象，最后由函数g(x)的图象向上整体平移一个单位即得f(x)的图象，结合图象知选 A.【变式训练 1-2】．函数f （x ）＝的图象可能是（ ）【答案】解：∵f（x ）＝，∴函数定义域为（﹣∞， 0）∪（0，+∞），∵，∴函数f （x ）为奇函数，图象关于原点对称，故排除 B 、C ，∵当 0＜x ＜1 时， lnx ＜0，∴f（x ）＝＜0，x∈（0，1）故排除 D ．故选： A ．【变式训练 1-3】．函数 y ＝|lg （x+1） |的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．故函数 y ＝ lg （x+1）的图象与 X 轴的交点是（0，0），即函数 y ＝ |lg （x+1） |的图象与 X 轴的公共点是（0， 0），考察四个选项中的图象只有 A 选项符合题意故选： A ． 1273 8【变式训练 1-4】．计算： ＋log 2(log 216)＝________. CD例 2．函数 y ＝ 的图象大致是(A ． ． ．B ．【解析】：原式＝2 331323x 2 ,x 02x1,x083.)＋log24＝＋2＝【答案】 B【变式训练 2-1】．已知a 0 ，b 0且a 1，b 1 ，若logab 1，则下列不等式可能正确的是（）．A．(b1)(b a)0B．(a1)(a b)0C．(a1)(b1)0D．(a1)(b a)0【答案】 AD【解析】∵loga b1logaa，∴若a1，则b a，即b a1．∴(b1)(b a)0，故A正确．(a1)(b a)0，故D正确．若0a1，则0b a1，∴(a1)(a b)0，(a1)(b1)0，故BC错误，2x,x12-3】．图中曲线是对数函数y log x的图象，已知a 取 3 ，，，C 2 ，C3，C4的a 值依次为( )4 3 1【变式训练a3510四个值，则相应于C1，【变式训练2-2】．已知函数f(x)log2(1x),x1，则f(0)f(3)_______.【解析】f(0)f(3)20log1(3)121．故答案为：－14 3 1 4 1 3A ． 3 ， ， ，B ． 3 ， ， ，3 5 10 3 10 54 3 1 4 1 3C ． ， 3 ， ，D ． ， 3 ， ，3 5 10 3 10 5【答案】 A 可得C 1 ， C 2 ， C 3 ， C 4 的a 值从小到大依次为： C 4 ，C 3 ， C 2 ， C 1 ，4(二) 比较大小例 3．（2019·浙江湖州高一期中） 下列各式中错误的是（ ）A ． 30.8 30.7B ．log 0.5 0.4 log 0.5 0.6C ． 0.750.10.750.1 D ．log 2 3 log 3 2 【答案】 C【变式训练 3-1】．（2020·全国高一课时练习） 设 alog 3 ,b log 2 3,c log 3 2 则（ ）A ．a ＞b ＞cB ．a ＞c ＞bC ．b ＞a ＞cD ．b ＞c ＞a 【答案】 A1 【解析】 alog 3log 3 3 1, 2log 3 3 log 3 2 c ,1 2【变式训练 3-2】．（2019 秋•沙坪坝区校级月考） 已知 a ＝log 30.3，b ＝30.3，c ＝0.30.2，则（ ） A ．a ＜b ＜c B ．a ＜c ＜b C ．c ＜a ＜b D ．b ＜c ＜a 【分析】容易得出，从而可得出 a ，b ，c 的大小关系．【答案】解：∵log 30.3＜log 31＝0，30.3＞30 ＝1，0＜0.30.2＜0.30＝1 ∴a＜c ＜b ．故选： B ． 【变式训练 3-3】．（2019•西湖区校级模拟）下列关系式中，成立的是（ ）【答案】解：∵log 34＞log 33＝1，0＜0.31.7＜0.30＝1，log 0.310＜log 0.31＝0，CDlog 2 2 b log 2 3 log 2 2 1， a b c .故选： A. ． ． A ． B ． ．．∴．故选： A．(三) 对数函数过定点问题例4.（2019 秋•水富县校级月考）已知函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1）的图象必经过定点 P，则P 点坐标是（）A．（1，3）B．（﹣，4）C．（﹣1，3）D．（﹣1，4）【分析】令 2x+3＝1，求得x 的值，从而求得P 点的坐标．【答案】解：令 2x+3＝1，可得 x＝﹣ 1，此时y＝3．即函数y＝3+log a（2x+3）（a＞0，a≠1））的图象必经过定点 P 的坐标为（﹣ 1，3）．故选：C．【点睛】本题主要考查对数函数的单调性和特殊点，属于基础题．【变式训练 4-1】．函数y＝log a（x+2）+a x+1+2（a＞0，且a≠1）的图象必经过的点是（）A．（0，2） B．（2，2） C．（﹣ 1，2） D．（﹣ 1，3）【分析】根据 log a1＝0，a0＝1，求出定点的坐标即可．【答案】解：令x+2＝1，解得：x＝﹣ 1，故y＝0+1+2＝3，故图象过（﹣ 1，3），故选：D．【点睛】本题考查了对数函数，指数函数的性质，根据log a1＝0，a0＝1 是解题的关键．【变式训练 4-2】．已知a＞0，a≠1，则f（x）＝log a的图象恒过点（）A．（1，0）B．（﹣2，0）C．（﹣1，0）D．（1，4）【分析】令＝1，解得x＝﹣ 2，y＝0，进而得到f（x）＝log a的图象恒过点的坐标．【答案】解：令＝1，解得：x＝﹣ 2，故f（﹣2）＝log a1＝0 恒成立，即f（x）＝log a的图象恒过点（﹣ 2，0），故选：B．(四) 有关对数函数奇偶性问题例5．（多选题）下列函数中，是奇函数且存在零点的是( )A．y＝x3＋x B．y＝logx2C．y＝2x2 －3 D．y＝x|x|【答案】 ADx 为非奇非偶函数，与题【解析】 A 中， y＝x3＋x 为奇函数，且存在零点x＝0，与题意相符； B 中，y＝log2意不符；C4.1，c f 20.8 ，【变式训练 5-1】．已知奇函数f x在R 上是增函数，若a f log b f log2则a,b,c 的大小关系为( )A．a b c B．b a c C．c b a D．c a b【答案】 C 5【解析】由题意：a f log21f log25，且：log25log24.12,120.82，据此： log 2 5log 2 4.1 20.8 ，结合函数的单调性有： f log 2 5 f log 2 4.1 f 20.8 ， 即a b c,c b a .本题选择 C 选项.【变式训练 5-2】．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）A ．f （x ）是奇函数B ．f （x ）是偶函数C ．f （x ）是非奇非偶函数D ．f （x ）既是奇函数又是偶函数【分析】根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可． 【答案】解：由 ＞0，解得：﹣ 1＜x ＜1，故函数f （x ）的定义域是（﹣ 1，1），关于原点对称，而 f （ ﹣x ）＝log 2＝﹣ log 2＝﹣ f （x ），故f （x ）是奇函数，故选： A ．(五) 有关对数函数定义域问题 例 6．函数 y ＝1log 2(x 2)的定义域为( )A ．(－∞ ，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞) 【答案】 Cx 2 0,【变式训练 6-1】．（2018 秋•宜宾期末） 函数 y ＝的定义域是（ ）A ．（ ，+∞）B ．（ ，1]C ．（﹣∞， 1]D ．[1，+∞）【分析】首先由根式有意义得到 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，然后求解对数不等式得到原函数的定义域． 【答案】解：要使原函数有意义，则 log 0.5（4x ﹣ 3） ≥0，即 0＜4x ﹣ 3≤1，解得．所以原函数的定义域为（]．故选： B ．【解析】：选 C 根据题意得 解得 x>2 且 x≠3，故选 C. log 2 (x 2) 0【变式训练 6-2】．（2018 春•连城县校级月考）函数y＝的定义域是（）A．[1，+∞） B．（，+∞） C．（1，+∞） D．（，1]【分析】利用对数的性质求解．【答案】解：函数 y ＝ 的定义域满足： ，解得 ．故选： D ．1【变式训练 6-3】．函数ylog 2 x 2的定义域是__________．【答案】2,3 3,x 2 0 x 2 0因此，函数y 的定义域是2,3 3, .故答案为： 2,3 3, .【变式训练 6-4】．函数f xlog 1 x 2 2x 3 的定义域为______，最小值为______.2【答案】3,1 2 【解析】由题意得 x 2 2x 3 0 ，解得3 x 1，所以函数 f x 的定义域为 3,1 ，令t x 2 2x 3 x 1 2 4 0,4 ，所以g t log 1 t 在 0,4 递减，且g 4 log 1 4 2 .2 2因此函数 f x 的值域为[2, ) ，最小值为 2 .(六) 有关对数函数值域问题及最值问题1例 7．函数f(x)＝ 的值域是( )A ．(－∞ ，1)B ．(0,1)1 log2 x 23x 1【解析】由题意可得log 3 x2 0 ，即x2 1 ，解得 x 2且 x 3.【解析】∵3x ＋1>1， ∴0<13x 1<1，∴函数的值域为(0,1)．【变式训练 7-1】．（2019 秋•南昌校级期中） 函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2 ）值域为．【分析】运用复合函数的单调性分析函数最值，再通过配方求得值域． 【答案】解：设 u （x ）＝2x+3 ﹣ x 2＝﹣（x ﹣ 1） 2+4，当 x ＝1 时， u （x ）取得最大值 4，∵函数 y ＝log 4x 为（0，+∞）上的增函数， ∴当 u （x ）取得最大值时，原函数取得最大值，即 y max ＝log 4u （x ） max ＝log 44＝1，8因此，函数 y ＝log 4（2x+3 ﹣ x 2）的值域为（﹣∞， 1]，故填： （﹣∞， 1]．【变式训练 7-2】．已知函数f(x) lg x 2 2x a ，若它的定义域为 R ，则 a_________，若它的值域为 R ，则 a__________． 【答案】 1 1【解析】函数 f(x) lg x 2 2x a 的定义域为 R ，则 x 22x a0恒成立，故 4 4a 0， 即 a1 ；函数 f(x) lg x2 2x a 为 R ，则 0, 是函数 y x 2 2x a 值域的子集，则 4 4a0 ，即 a 1.故答案为： 1； 1.【变式训练 7-3】．）已知f(x)＝log 2(1－x)＋log 2(x ＋3)，求f(x)的定义域、值城．【答案】定义域为 3,1 ，值域为,2 .【解析】由函数 f(x) 有意义得 ，解得 3 x1，因为 f xlog 2 (1 x) log 2 (x 3) log 2 1 x x 3 log 2 x 2 2x 3log 2x 1 2 4 ， 3 x 1， 又因为tx 1 24在( 3, 1) 上递增，在( 1,1) 上递减，所以t 0,4 ，所以log 2 t,2 .所以函数f(x) 的值域为 ,2 .【变式训练 7-4】．设f x log a 1 x log a (3 x)a 0,a 1 ,且 f 1 2 . 1）求a 的值及 fx 的定义域；2）求 fx 在区间 0, 3上的最大值．2 1 x 0 x3 0【答案】1）a2，定义域为1,3；2）2【解析】1）f1loga 2loga2loga42,解得a2.故f x log21x log2(3x),则解得-1< x < 3 ,故f x的定义域为1,3.（2）函数 f x log 2 1 x log 2 3 x log 2 3 x 1 x ,定义域为 1,3 , 01, 3 ,由函数 y log 2 x 在0, 上单调递增, 函数 y 3 x 1 x 在 0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减,可得函数 f x 在0,1 上单调递增,在1, 3上单调递减.故 f x 在区间 0上的最大值为 f 1 log 2 4 2 .(七) 对数函数的概念与图像例 8．画出下列函数的图象：（1）y ＝lg|x －1| ．（2） y lg(x 1) ．(八) 对数型复合函数的单调性问题例 9．函数f(x) log 1 (2 x)的单调递增区间是( )2A ．( , 2) B ． ( ,0) C ． (2, ) D ． (0, )【答案】 A【解析】由 2 x 0 ，得到x 2 ，令t2 x ，则t 2 x 在(, 2) 上递减，而y log 1 t 在(0,) 上2递减，由复合函数单调性同增异减法则，得到f(x) log 1 (2 x) 在(, 2) 上递增，故选： A2226 ax在0,2 上为减函数，则a 的取值范围是（）【变式训练9-1】．函数f x logaA ．(0,1)B ．1,3C．1,3D．3,【答案】B，计算得出，所以 B 选项是正确的.【变式训练 9-2】．已知函数 f(x) log x 2log x 2(a 0, a 1) .(1)当 a 2 时,求 f(2) ；(2)求解关于x 的不等式 f(x) 0 ；(3)若x [2,4], f(x) 4 恒成立,求实数a 的取值范围.2, 1 1, 3 2【解析】 （1）当 a2 时， f x log 2 x 2 log 2 x 2 f 2 1 1 22 （2）由 f x 0 得： log x 2log x 2 log x 2 log x 1 0log a x 1或log a x 2当 a 1 时，解不等式可得： 0 x或 x a 2 1 a综上所述：当 a 1 时， f x 0 的解集为0, 1 a 2,；当 0 a 1时， f x 0 的解集为0, a 21 ,a（3）由 f x4 得： log x 2 log x 6 log x 3 log x 2 0log a x 2 或log a x 3①当 a 1 时，log a x maxlog a 4 ， log a xminlog a 2a当 0 a 1时，解不等式可得： x 或 0 x a 2【答案】（1） 2 ；（2）见解析； （3）【解析】若函数上为减函数,则a a a 2 在1a a a aa a a aloga 42logaa2或loga23logaa3，解得：1a32②当0 a 1时，loga xmaxloga2 ，logaxminloga4loga 2 2 logaa 2 或loga4 3 logaa3 ，解得：综上所述：a的取值范围为22,11,32(九) 对数型复合函数的最值问题2a 1例10．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知f x loga 1x1xa0，a1(1)求f x的定义域；(2)判断f x的奇偶性并予以证明；(3)求使f x 0 的x 的取值范围．【答案】（1）1,1；（2）见解析；（3）见解析.【解析】(1)由>0 ，解得x∈(－1,1)．(2)f(－x)＝loga＝－f(x)，且x∈(－1,1)，∴函数y＝f(x)是奇函数．(3)若 a>1，f(x)>0，则>1，解得0<x<1；若0<a<1，f(x)>0，则 0<<1，解得－1<x<0.判断函数的奇偶性首先要看函数的定义域是否关于原点对称，如果不对称，既不是奇函数又不是偶函数，如果对称常见方法有：（1 ）直接法， f x f x(正为偶函数，负为减函数)；（2 ）和差法，f x f x0（和为零奇函数，差为零偶函数）；（3）作商法，f xf x1（1为偶函数，1为奇函数）.【变式训练10-1】．.（2019·浙江高一期中）已知函数f(x) log3 mx2 8x nx21．2（Ⅰ）若m 4, n 4 ，求函数f(x) 的定义域和值域；（Ⅱ）若函数f(x) 的定义域为R ，值域为[0,2] ，求实数m, n 的值．8]；（Ⅱ）m5,n5.【答案】（Ⅰ）定义域为x x1，值域为(,log3【解析】（Ⅰ）若m 4, n 4 ，则 f(x) log34x 2 8x 4x 21，由4x 2 8x 4x 210 ，得到x 22x 1 0 ，得到 x 1 ，故定义域为x x 1 ．4x 28x 4，则 (t 4)x 2 8x t 4 0当t4 时， x 0 符合．64 4(t 4)2 0,又 x 1 ，所以 t 0 ，所以 0t 8 ，则值域为(,log 3 8] ．（Ⅱ）由于函数 f(x) 的定义域为 R ，则mx 2 8x n x 2 1m 0 m 0tmx 2 8x n，由于 f(x) 的值域为[0,2] ，则t [1,9] ，而(t m)x 2 8x t n 0 ，则由 64 4(t m)(t n) 0, 解得t [1,9] ，故 t 1和 t 9 是方程m n 10 m 5意．所以m 5, n 5 ． 【变式训练 10-2】．（2019 秋•荔湾区校级期末）已知函数 f （x ）＝log 3（1+x ）﹣ log 3（ 1 ﹣ x ）． （1）求函数f （x ）定义域，并判断 f （x ）的奇偶性．（2）判断函数f （x ）在定义域内的单调性，并用单调性定义证明你的结论． （3）解关于 x 的不等式f （1 ﹣ x ）+f （1 ﹣ x 2 ）＞0．x 2 1 令 t 64 4(t m)(t n) 0 即t2(m n)t mn 16 0 的两个根，则 ，得到 ，符合题mn 16 9 n 5x 2 10 恒成立，则 ，即 ，令 64 4mn 0 mn 16当t 4 时，上述方程要有解，则 ，得到 0 t 4 或4 t 8 ， t 0【分析】（1）根据对数函数的性质以及函数的定义域，根据函数的奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可；（2）根据函数单调性的定义判断函数的单调性即可；（3）根据函数的单调性以及函数的奇偶性判断即可．【答案】解：（1）要使函数f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）有意义，必须满足，解得：﹣1＜x＜1，∴函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1），综上所述，结论是：函数f（x）的定义域是（﹣ 1 ，1）．f（x）＝log3（1+x）﹣log3（1﹣x）＝log3（）．f（﹣x）＝log3＝﹣log3．∴f（x）为奇函数．（2）函数f（x）＝log3（），在区间（﹣ 1 ，1）上任取两个不同的自变量x1 ，x2，且设x1＜x2 ，则f（x1）﹣f（x2 ）＝log3，又（1+x1）（1﹣x2）﹣（1﹣x1）（1+x2）＝2（x1﹣x2）＜0，即（1+x1）（1﹣x2）＜（1﹣x1）（1+x2），∵﹣1＜x1＜x2＜1，∴1+x1＞0，1﹣x2＞0，∵（1+x1）（1﹣x2）＞0，∴＜1，∴log3＜0，即f（x1 ）＞f（x2），∴函数f（x）是定义域内的单调递增函数．（3）∵f（x）为奇函数，∴f（1﹣x）+f（1﹣x2）＞0∴f（1﹣x）＞f（x2﹣1），又∵f（x）在定义域上单调递增，∴1﹣x＞x2﹣1，x2+x﹣2＜0，即（x+2）（x﹣1）＜0，∴﹣2＜x＜1，而，解得：0＜x＜，综上：0＜x＜1．【点睛】本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查导数的应用以及转化思想，是一道中档题．四、迁移应用21x,x1,【答案】[0,)【解析】x1时，f(x)21x2，1x1，x0，∴0x1，x1时，f(x)1log2x2，log2x1，x1，所以x1，综上，原不等式的解集为[0, ) ．故答案为：[0,)．217．设函数f(x) 则满足f(x) 2 的x 的取值范围是_______________.1log2x,x1,。

专题 对数与对数函数（重难点突破）重难点一 对数的概念如果a x ＝N (a >0，且a ≠1)，那么x 叫做以a 为底N 的对数，记作x ＝log a N ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质(1)对数的性质：①a log a N ＝N ；②log a a b ＝b (a >0，且a ≠1). (2)对数的运算法则；如果a >0且a ≠1，M >0，N >0，那么 ①log a (MN )＝log a M ＋log a N ； ②log a MN＝log a M －log a N ；③log a M n ＝n log a M (n ∈R)； ④log a m M n ＝nm log a M (m ，n ∈R ，且m ≠0).(3)换底公式：log b N ＝log a Nlog a b (a ，b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质(1)概念：y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)叫做对数函数，其中x 是自变量，定义域是(0，＋∞). (2)一、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么：(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a MN ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M (n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5，则用a ，b 表示log 3645为 ．【解析】由已知得lg5b =，则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++， 因为10lg 2lg 1lg515b ==-=-，所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+，即36log 4522a ba b +=-+.（2）求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )．【解析】 (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2，10n ＝4，则3210m n -的值为( ) A.2【解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224答案：B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+，则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+，所以2log (2)log a a M N MN -=（），2(2)M N MN -=，2540M MN N-+=（）,解得=1（舍去），=4，故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)； 【解析】(1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)． 例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一）函数12log y x =，x ∈(0,8]的值域是( )A.[－3，＋∞)B.[3，＋∞)C.(－∞，－3]D.(－∞，3]【解析】∵12083x log x <≤∴≥，－，故选A.（2）．下列函数中，其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【答案】B【解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ，则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y -，由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上，所以ln(2)y x =-，故选B ．（3）．函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0【答案】D【解析】由于f (x )的图象单调递减，所以0<a <1，又0<f (0)<1，所以0<a －b <1＝a 0，即－b >0，b <0，故选D.（4）．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【解析】∵a >1，∴0<1a <1，∴y ＝a －x 是减函数，y ＝log a x 是增函数，故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小） 例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【解析】由2280x x -->，得2x <-或4x >，设228u x x =--，则(,2)x ∈-∞-，u 关于x 单调递减，(4,)x ∈+∞，u 关于x 单调递增，由对数函数的性质，可知ln y u =单调递增，所以根据同增异减，可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设，则( )A ．B ．C ．D ． 【解析】， 由下图可知D 正确．【变式训练】．(1)设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =，由2log 0.3b =得0.31log 2b=，357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=，所以1101a b <+<，得01a b ab+<<． 又0a >，0b <，所以0ab <，所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．【解析】 由题意，可知，，，所以最大，，都小于1，因为，所以，故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1B ．()0,2C ．()1,2D ．()2,+∞【解析】因为0a >，所以2y ax =-在[]0,1上是减函数，又因为()f x 在[]0,1上是减函数，所以log a y x =是增函数，所以1a >；又因为对数的真数大于零，则2020a >⎧⎨->⎩，所以2a <；则(1,2)a ∈.故选：C. 【变式训练】．（1）判断f (x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性，并求其值域．（2）已知y ＝log a (2－ax )是[0,1]上的减函数，则a 的取值范围为( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(0,2)D ．[2，＋∞)(3)函数f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)的值域是________．【解析】（1） 令u ＝x 2－2x ，则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1在(－∞，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在(－∞，＋0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 5log 2a ==150.210.52⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<∞)上递减， ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在(－∞，1]上递增，在[1，＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ，u ∈[－1，＋∞)，∴0<⎝⎛⎭⎫13u≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3，∴原函数的值域为(0,3]．（2）∵f (x )＝log a (2－ax )在[0,1]上是减函数，且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. (3)f (x )＝log 12(x 2＋2x ＋3)＝log 12[(x ＋1)2＋2]，因为(x ＋1)2＋2≥2。

专题09 对数与对数函数（重难点突破）一、知识结构思维导图二、学法指导与考点梳理重难点一 对数的概念如果a x ＝N ( a >0,且a ≠1),那么x 叫做以a 为底N 的对数,记作x ＝log a N ,其中a 叫做对数的底数,N 叫做真数.重难点二 对数的性质、换底公式与运算性质 ( 1)对数的性质:①a log a N ＝N ;②log a a b ＝b ( a >0,且a ≠1). ( 2)对数的运算法则 如果a >0且a ≠1,M >0,N >0,那么①log a ( MN )＝log a M ＋log a N ; ②log a MN＝log a M －log a N ;③log a M n ＝n log a M ( n ∈R); ④log a m M n ＝nm log a M ( m ,n ∈R,且m ≠0).( 3)换底公式:log b N ＝log a Nlog a b ( a ,b 均大于零且不等于1).重难点三 对数函数及其性质( 1)概念:函数y ＝log a x ( a ＞0,且a ≠1)叫做对数函数,其中x 是自变量,函数的定义域是( 0,＋∞).( 2)对数函数的图象与性质三、重难点题型突破重难点1 对数与对数式的化简求值 如果a >0,且a ≠1,M >0,N >0,那么:( 1)log a ( MN )＝log a M ＋log a N ;( 2)log a MN ＝log a M －log a N ;( 3)log a M n ＝n log a M ( n ∈R )．例1．（1）（2017·全国高一课时练习）已知lg 9=a,10b =5,则用a,b 表示log 3645为 ． 【正确答案】22a ba b +-+【详细解析】由已知得lg5b =,则36lg 45lg 5lg 9log 45lg 36lg 4lg 92lg 2b aa++===++, 因为10lg 2lg1lg515b ==-=-,所以2lg 22(1)22b a a b a b a b a a b +++==+-+-+, 即36log 4522a ba b +=-+.（2）. 求下列函数的定义域:( 1)f ( x )＝lg( x －2)＋1x －3;( 2)f ( x )＝log ( x ＋1)( 16－4x )．【详细解析】 ( 1)要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3,所以函数定义域为( 2,3)∪( 3,＋∞)．( 2)要使函数有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4,所以函数定义域为( －1,0)∪( 0,4)．【变式训练】（1）．（2017·全国高一单元测试）已知10m ＝2,10n ＝4,则3210m n-的值为( )A.2【正确答案】B【详细解析】3210m n -＝3221010m n ＝()()32121010m n ＝321224.正确答案:B（2）．（2013·全国高一课时练习）已知2log (2)log log a a a M N M N -=+,则MN的值为（ ） A ．14B ．4C ．1D ．4或1【正确答案】B【详细解析】因为2log (2)log log a a a M N M N -=+,所以2log (2)log a a M N MN -=（）,2(2)M N MN -=,2540M MN N-+=（）, 解得=1（舍去）,=4,故选B.重难点2 对数函数的图像与性质 例2求下列函数的定义域: ( 1)f ( x )＝1log 12x ＋1;( 2)f ( x )＝12－x ＋ln( x ＋1); 【详细解析】( 1)要使函数f ( x )有意义,则log 12x ＋1>0,即log 12x >－1,解得0<x <2,即函数f ( x )的定义域为( 0,2)．( 2)函数式若有意义,需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2,故函数的定义域为( －1,2)．例3．（1）（2017·北京市第二中学分校高一课时练习）函数12log y x =,x ∈( 0,8]的值域是( ) A.[－3,＋∞) B.[3,＋∞) C.( －∞,－3] D.( －∞,3]【正确答案】A 【详细解析】∵12083x log x <≤∴≥，－,故选A.（2）．下列函数中,其图象与函数ln y x =的图象关于直线1x =对称的是（ ）A ．ln(1)y x =-B ．ln(2)y x =-C ．ln(1)y x =+D ．ln(2)y x =+【正确答案】B【详细解析】设所求函数图象上任一点的坐标为(,)x y ,则其关于直线1x =的对称点的坐标为(2,)x y - ,由对称性知点(2,)x y -在函数()ln f x x =的图象上,所以ln(2)y x =- ,故选B ．（3）．函数f ( x )＝a x－b的图象如图所示,其中a ,b 为常数,则下列结论正确的是( )A ．a >1,b <0B ．a >1,b >0C ．0<a <1,b >0D ．0<a <1,b <0【正确答案】D【详细解析】由于f ( x )的图象单调递减,所以0<a <1,又0<f ( 0)<1,所以0<a －b <1＝a 0,即－b >0,b <0,故选D.（4）．当a >1时,在同一坐标系中,函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )A B C D【正确答案】C【详细解析】∵a >1,∴0<1a <1,∴y ＝a －x 是减函数,y ＝log a x 是增函数,故选C.重难点3 对数函数的单调性与最值（比较大小）例4．函数2()ln(28)f x x x =--的单调递增区间是( )A ．(,2)-∞-B ．(,1)-∞C ．(1,)+∞D ．(4,)+∞ 【正确答案】D【详细解析】由2280x x --> ,得2x <-或4x > ,设228u x x =-- ,则(,2)x ∈-∞- ,u 关于x 单调递减,(4,)x ∈+∞ ,u 关于x 单调递增,由对数函数的性质,可知ln y u =单调递增,所以根据同增异减,可知单调递增区间为(4,)+∞．选D ． 例5．设,则( )A ．B ．C ．D ． 【正确答案】D【详细解析】, 由下图可知D 正确．【变式训练】．( 1)设0.2log 0.3a =,2log 0.3b =,则（ ）A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【正确答案】B【详细解析】由0.2log 0.3a =得0.31log 0.2a =,由2log 0.3b =得0.31log 2b=,357log 6,log 10,log 14a b c ===c b a >>b c a >>a c b >>a b c >>33log 61log 2,a ==+5577log 101log 2,log 141log 2b c ==+==+所以0.30.30.311log 0.2log 2log 0.4a b +=+=,所以1101a b <+<,得01a b ab+<<． 又0a >,0b <,所以0ab <,所以0ab a b <+<．故选B ．（2）已知,则（ ） A ． B ．C ．D ．【正确答案】A【详细解析】 由题意,可知,, ,所以最大, ,都小于1,因为,,所以,故选A ． 重难点4 对数型复合函数的应用例6．（2017·山东滕州市第一中学新校高一课时练习）函数()()log 2a f x ax =-在[]0,1上是减函数,则a 的取值范围是（ ） A ．()0,1 B ．()0,2 C ．()1,2 D ．()2,+∞【正确答案】C【详细解析】因为0a >,所以2y ax =-在[]0,1上是减函数,又因为()f x 在[]0,1上是减函数,所以log a y x =是增函数,所以1a >;又因为对数的真数大于零,则2020a >⎧⎨->⎩,所以2a <;则(1,2)a ∈. 故选:C.【变式训练】．.（1）判断f ( x )＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x的单调性,并求其值域．（2）已知y ＝log a ( 2－ax )是[0,1]上的减函数,则a 的取值范围为( )A ．( 0,1)B ．( 1,2)C ．( 0,2)D ．[2,＋∞)( 3)函数f ( x )＝log 12( x 2＋2x ＋3)的值域是________．0.20.32log 0.220.2a b c ===，，a b c <<a c b <<c a b <<b c a <<5log 21a =<115122221log 0.2log log 5log 5log 425b --====>=0.20.51c =<b a c 521log 2log 5a ==150.210.52c ⎛⎫==== ⎪⎝⎭22log 5log 42>=>12⎛< ⎝c <a c b <<【详细解析】（1） 令u ＝x 2－2x ,则原函数变为y ＝⎝⎛⎭⎫13u.∵u ＝x 2－2x ＝( x －1)2－1在( －∞,1]上递减,在[1,＋∞)上递增,又∵y ＝⎝⎛⎭⎫13u在( －∞,＋∞)上递减, ∴y ＝⎝⎛⎭⎫13x 2－2x在( －∞,1]上递增,在[1,＋∞)上递减．∵u ＝x 2－2x ＝( x －1)2－1≥－1,∴y ＝⎝⎛⎭⎫13u ,u ∈[－1,＋∞),∴0<⎝⎛⎭⎫13u ≤⎝⎛⎭⎫13－1＝3, ∴原函数的值域为( 0,3]．（2）∵f ( x )＝log a ( 2－ax )在[0,1]上是减函数,且y ＝2－ax 在[0,1]上是减函数,∴⎩⎪⎨⎪⎧ f (0)＞f (1)，a >1，即⎩⎪⎨⎪⎧ log a 2＞log a (2－a )，a >1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >1，2－a >0，∴1＜a ＜2. ( 3)f ( x )＝log 12( x 2＋2x ＋3)＝log 12[( x ＋1)2＋2],因为( x ＋1)2＋2≥2。

对数与对数函数1.对数（1）对数的定义：）对数的定义：如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . （2）指数式与对数式的关系：a b =N Ûlog a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）.两个式子表示的a 、b 、N 三个数之间的关系是一样的，并且可以互化. （3）对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a NM =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1）④对数换底公式：log b N =bNN a a log log log （a ＞0，a ≠1，b ＞0，b ≠1，N ＞0）. 2.对数函数（1）对数函数的定义）对数函数的定义函数y =log a x （a ＞0，a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）. 注意：真数式子没根号那就只要求真数式大于零,如果有根号,要求真数大于零还要保证根号里的式子大于零，底数则要大于0且不为1 对数函数的底数为什么要大于0且不为1呢？在一个普通对数式里在一个普通对数式里 a<0,或=1 的时候是会有相应b 的值的。

但是，根据对数定义: : loglog a a=1；如果a=1或=0那么log a a 就可以等于一切实数（比如log 1 1也可以等于2，3，4，5，等等）第二，根据定义运算公式：log a M^n = nlog a M 如果a<0,那么这个等式两边就不会成立 （比如，log (-2) 4^(-2) 就不等于(-2)*log (-2) 4；一个等于1/16，另一个等于-1/16） （2）对数函数的图象）对数函数的图象O xyy = l o g x a > Oxy<a <a y = l o g x a 1111( ())底数互为倒数的两个对数函数的图象关于x 轴对称. （3）对数函数的性质: ①定义域：（0，+∞）. ②值域：R . ③过点（1，0），即当x =1时，y =0. ④当a ＞1时，在（0，+∞）上是增函数；当0＜a ＜1时，在（0，+∞）上是减函数. 基础例题1.函数f （x ）=|log 2x |的图象是的图象是1 1 1-1 1111 1 xxxxy y y y O OOOA BC D解析：f （x ）=îíì<<-³.10,log ,1,log 22x x x x答案：A 2.若f －－1（x ）为函数f （x ）=lg （x +1）的反函数，则f －－1（x ）的值域为___________________. 解析：f －1（x ）的值域为f （x ）=lg （x +1）的定义域.由f （x ）=lg （x +1）的定义域为（－1，+∞），∴f －－1（x ）的值域为（－1，+∞）. 答案：（－1，+∞）∞）3.已知f （x ）的定义域为［0，1］，则函数y =f ［log 21（3－x ）］的定义域是__________. 解析：由0≤log 21（3－x ）≤1Þlog 211≤log 21（3－x ）≤log 2121Þ21≤3－x ≤1Þ2≤x ≤25. 答案：［2，25］4.若log x7y=z ，则x 、y 、z 之间满足之间满足A.y 7=x zB.y =x 7zC.y =7x zD.y =z x解析：由logx 7y=z Þx z=7y Þx 7z=y ，即y =x 7z. 答案：B 5.已知1＜m ＜n ，令a =（log n m ）2，b =log n m 2，c =log n （log n m ），则，则A.a ＜b ＜cB.a ＜c ＜bC.b ＜a ＜cD.c ＜a ＜b解析：∵1＜m ＜n ，∴0＜log n m ＜1. ∴log n （log n m ）＜0. 答案：D 6.若函数f （x ）=log a x （0＜a ＜1）在区间［a ，2a ］上的最大值是最小值的3倍，则a 等于等于 A.42 B.22 C.41 D.21解析：∵0＜a ＜1，∴f （x ）=log a x 是减函数.∴log a a =3·log a 2a . ∴log a 2a =31.∴1+log a 2=31.∴log a 2=－32.∴a =42. 答案：A 7.函数y ＝log 2｜ax －1｜（a ≠0）的对称轴方程是x ＝－2，那么a 等于A. 21 B.－21 C.2 D.－2 解析：y =log 2|ax －1|=log 2|a （x －a1）|，对称轴为x =a1，由a1=－2 得a =－21. 答案：B 注意：此题还可用特殊值法解决，如利用f （0）=f （－4）， 可得0=log 2|－4a －1|.∴|4a +1|=1.∴4a +1=1或4a +1=－1. ∵a ≠0，∴a =－21. 8.函数f （x ）=log 2|x |，g （x ）=－x 2+2，则f （x ）·g （x ）的图象只可能是能是OxyOxyOxyOxyABC D解析：∵f （x ）与g （x ）都是偶函数，∴f （x ）·g （x ）也是偶函数，)111-1O xy注意：研究函数的性质时，利用图象会更直观. 【例3】 已知f （x ）=log 31［3－（x －1）2］，求f （x ）的值域及单调区间. 解：∵真数3－（x －1）2≤3，∴log 31［3－（x －1）2］≥log 313=－1，即f （x ）的值域是［－1，+∞）.又3－（x －1）2＞0，得1－3＜x ＜1+3，∴x ∈（1－3，1］时，］时，3－（x －1）2单调递增，从而f （x ）单调递减；x ∈［1，1+3）时，f （x ）单调递增. 注意：讨论复合函数的单调性要注意定义域. 【例4】已知y =log a （3－ax ）在［0，2］上是x 的减函数，求a 的取值范围. 解：∵a ＞0且a ≠1，∴t =3－ax 为减函数.依题意a ＞1，又t =3－ax 在［0，2］上应有t ＞0，∴3－2a ＞0.∴a ＜23.故1＜a ＜23. 【例5】设函数f （x ）=lg （1－x ），g （x ）=lg （1+x ），在f （x ）和）和 g （x ）的公共定义域内比较|f （x ）|与|g （x ）|的大小. 解：f （x ）、g （x ）的公共定义域为（－1，1）. |f （x ）|－|g （x ）|=|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|. （1）当0＜x ＜1时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=－lg （1－x 2）＞0； （2）当x =0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=0；（3）当－1＜x ＜0时，|lg （1－x ）|－|lg （1+x ）|=lg （1－x 2）＜0. 综上所述，当0＜x ＜1时，|f （x ）|＞|g （x ）|；当x =0时，|f （x ）|=|g （x ）|；当－1＜x ＜0时，|f （x ）|＜|g （x ）|. 【例6】 求函数y =2lg （x －2）－lg （x －3）的最小值. 解：定义域为x ＞3，原函数为y ＝lg 3)2(2--x x . 又∵3)2(2--x x x ＝3442-+-x x x ＝31)3(2)3(2-+-+-x x x ＝（x －3）＋31-x ＋2≥4， ∴当x ＝4时，y min ＝lg4. 【例7】 （2003年北京宣武第二次模拟考试）在f 1（x ）=x 21，f 2（x ）=x 2，f 3（x ）=2x ，f 4（x ）=log 21x 四个函数中，x 1＞x 2＞1时，能使21［f（x 1）+f （x 2）］＜f （221x xx x +）成立的函数是）成立的函数是A.f 1（x ）=x 21B.f 2（x ）=x 2C.f 3（x ）=2xD.f 4（x ）=log 21x解析：由图形可直观得到：只有f 1（x ）=x 21为“上凸”的函数. 答案：A 探究创新1.若f （x ）=x 2－x +b ，且f （log 2a ）=b ，log 2［f （a ）］=2（a ≠1）. （1）求f （log 2x ）的最小值及对应的x 值；值；（2）x 取何值时，f （log 2x ）＞f （1）且log 2［f （x ）］＜f （1）？）？ 解：（1）∵f （x ）=x 2－x +b ，∴f （log 2a ）=log 22a －log 2a +b . 由已知有log 22a －log 2a +b =b ，∴（log 2a －1）log 2a =0. ∵a ≠1，∴log 2a =1.∴a =2.又log 2［f （a ）］=2，∴f （a ）=4. ∴a 2－a +b =4，b =4－a 2+a =2.故f （x ）=x 2－x +2，127m +m －+m ）－+m+2m ≥+xm+2m ）+x m ≥2m （当且仅当=xm ，即=m 时等号成立）+x m +2m ）=4m ，即4m ≥≥169. 可以首先将它们与零比较，分出正负；正数通常都再与1比较分出大于1还是小于1，然后在各类中间两两相比较. 3.在给定条件下，求字母的取值范围是常见题型，要重视不等式知识及函数单调性在这类问题上的应用. 。

4.4对数函数（基础知识+基本题型）知识点一 对数函数的概念一般地，我们把函数log (0,a y x a =>且1)a ≠叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是()0,.+∞辨析 (1)对数函数的特征：①log a x 的系数是1；②log a x 的底数是不等于1的正数； ③log a x 的真数仅含自变量.x(2)求对数函数的定义域时，应注意：①对数的真数大于0，底数大于0且不等于1；②对含有字母的式子要分类讨论；③使式子符合实际背景.知识点二 对数函数的图象和性质1.对数函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象和性质()0,+∞.R 2.对数函数的图象与性质的对应关系①这些图象都位于y 轴右方 ①x 可取任意正数，函数值.y R ∈ ②这些图象都经过点(1,0)②无论a 为任何正数，总有log 10a =③图象可以分为两类：一类图象在区间(0,1)内纵坐标都小于0，在区间()1,+∞内的纵坐标都大于0；另一类图象正好相反③当1a >时01log 0,1log 0;a a x x x x <<⇒<⎧⎨>⇒>⎩ 当01a <<时01log 0,1log 0a a x x x x <<⇒>⎧⎨>⇒>⎩ ④自左向右看，当1a >时，图象逐渐上升；当01a <<时，图象逐渐下降 ④当1a >时，函数log a y x =是增函数； 当01a <<时，函数log a y x =是减函数3.底数对函数图象的影响(1)函数log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象无限地靠近y 轴，但永远不会与y 轴相交；(2)在同一平面直角坐标系中，log (0,a y x a =>且1)a ≠的图象与1log (0,ay x a =>且1)a ≠的图象关于x 轴对称.(3)对数函数单调性的记忆口诀：对数增减有思路，函数图象看底数；底数要求大于0，但等于1却不行； 底数若是大于1，函数从左往右增；底数0到1之间，函数从左往右减； 无论函数增和减，图象都过点(1,0).在同一坐标系内，当a>1时，随a 的增大，对数函数的图像愈靠近x 轴；当0<a<1时，对数函数的图象随a 的增大而远离x 轴.(见下图)知识点三 指数函数与对数函数的关系指数函数对数函数解析式()10≠>=a a a y x 且)10(log ≠>=a a x y a 且R ()+∞,0①一般地，函数()y f x a b =±±（a 、b 为正数）的图象可由函数()y f x =的图象变换得到。

对数函数考点分析及经典例题讲解1． 对数函数的定义：函数 x y log =)10(≠>a a 且叫做对数函数,定义域是 (0,)+∞a 的取值 0＜a ＜1a ＞1定义域(0,)+∞图 象图像特征在y 轴的右侧，过定点（1，0）即x =1时，y =0当x>0且x →0时,图象趋近于 y 轴正半轴. 当x>0且x →0时，图象趋近于 y 轴负半轴.值域 R性 质 过定点（1，0），在（0，+∞）上是减函数在（0，+∞）上是增函数 函数值的变化规律当0<x<1时，y ∈(0,+∞)当x=1 时，y=0; 当x>1 时, y<0.当0<x<1时，y<0; 当x=1时， y=0 ; 当x>1时， y>0 .3.对数函数y=log a x(a>0,且a ≠1)与指数函数y=a x(a>0,且a ≠1)互为反函数 .它们的图象关于x y =对称.案例分析： 考点一、比较大小例1、比较下列各组数中两个值的大小：（1）log 23.4，log 23.8； （2）log 0.51.8，log 0.52.1；（3）log a 5.1，log a 5.9； （4）log 75，log 67.(5)； (6)6log ,7log 768.0log ,log 23π变式训练：1、已知函数x y 2log =，则当1>x 时，∈y ；当10<<x 时，∈y .考点二、求定义域例2、求下列函数的定义域（1）0.2log (4);y x =-； （2）log ay =(0,1).a a >≠；（3）2(21)log (23)x y x x -=-++ （4）y =例3、选择题：若03log 3log <<n m 则m 、n 满足的条件是（ ）A 、m>n>1B 、n>m>1C 、0<m<n<1D 、0<n<m<1例4 、函数)352(log 221++-=x x y 在什么区间上是增函数？在什么区间上是减函数？1、函数f (x )＝log a [(a －1)x ＋1]在定义域上( )A ．是增函数B ．是减函数C ．先增后减D ．先减后增 2、方程)13lg()3lg(222+-=x x 的解集是 ．3、已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋1x ≤0log 2x x ＞0，则使函数f (x )的图象位于直线y ＝1上方的x 的取值范围是________．4、若0<)12(log )1(log 22-<+a a ，则实数a 的取值范围是 .5、方程()lg 3x +-()lg 3x -＝()lg 1x -的解是 ．考点三、求值域例1、（1）、12);4x -(-x log y 221+=（2）、3);-2x -(x log y 221=（3）y=log a (a-a x)(a>1).1、求下列函数的定义域、值域：⑴ ⑵⑶⑷41212-=--x y )52(log 22++=x x y )54(log 231++-=x x y )(log 2x x y a --=)10(<<a2、求函数y ＝log 2(x 2－6x ＋5)的定义域和值域．3、已知x 满足条件09log 9)(log 221221≤++x x ，求函数)4(log )3(log )(22xx x f ⋅=的最大值．4、已知)23lg(lg )23lg(2++=-x x x ，求222log x 的值。

4.4 对数函数1．对数函数的定义一般地，我们把函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞).(1)由于指数函数y＝a x中的底数a满足a＞0，且a≠1，则对数函数y＝log a x中的底数a也必须满足a＞0，且a≠1.(2)对数函数的解析式同时满足：①对数符号前面的系数是1；②对数的底数是不等于1的正实数(常数)；③对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象和性质一般地，对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)的图象和性质如下表所示：a＞10＜a＜1图象性质定义域：(0，＋∞)值域：R图象过定点(1,0)，即当x＝1时，y＝0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数非奇非偶函数3.反函数对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)和指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x 对称．4．对数型复合函数的单调性复合函数y＝f[g(x)]是由y＝f(x)与y＝g(x)复合而成，若f(x)与g(x)的单调性相同，则其复合函数f[g(x)]为增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则其复合函数f[g(x)]为减函数.对于对数型复合函数y＝log a f(x)来说，函数y＝log a f(x)可看成是y＝log a u与u＝f(x)两个简单函数复合而成的，由复合函数单调性“同增异减”的规律即可判断．另外，在求复合函数的单调区间时，首先要考虑函数的定义域．5．对数型复合函数的值域对于形如y＝log a f(x)(a>0，且a≠1)的复合函数，其值域的求解步骤如下：(1)分解成y＝log a u，u＝f(x)两个函数；(2)解f(x)>0，求出函数的定义域；(3)求u的取值范围；(4)利用y＝log a u的单调性求解．题型一 对数函数的判断例1、（1）给出下列函数：①223log y x =；①3log (1)y x =-；①(1)log x y x +=；①log e y x =.其中是对数函数的有（ ） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2）若函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数，则a =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4解:（1）①①不是对数函数，因为对数的真数不是仅有自变量x ； ①不是对数函数，因为对数的底数不是常数；①是对数函数．（2）由题可知：函数2log 32a y x a a =+-+为对数函数所以23201a a a -+=⇒=或2a =，又0a >且1a ≠所以2a = 跟踪练习1．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①y ＝log x 2；①y ＝log a x (a ①R )；①y ＝log 8x ；①y ＝ln x ；①y ＝log x (x ＋2)；①y ＝log 2(x ＋1)． A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解析】形如log a y x =（0a >且1a ≠）的函数为对数函数，故①①为对数函数，所以共有2个. 2．下列函数表达式中，是对数函数的有（ ）①log 2x y =；①()log a y x a =∈R ；①8log y x =；①ln y x =；①()log 2x y x =+；①42log y x =；①()2log 1y x =+. A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个【解析】由于①中自变量出现在底数上，∴①不是对数函数； 由于①中底数a ∈R 不能保证0a >，且1a ≠，∴①不是对数函数； 由于①①的真数分别为()2x +，()1x +，∴①①也不是对数函数； 由于①中4log x 的系数为2，∴①也不是对数函数； 只有①①符合对数函数的定义.3．（全国高一课时练习）若函数()2()log 45a f x x a a =+--是对数函数，a =_________.【解析】由对数函数的定义可知，245001a a a a ⎧--=⎪>⎨⎪≠⎩，解得5a =．题型二 对数函数的解析式或函数值例2（1）（上海高一专题练习）对数函数的图像过点M (125，3)，则此对数函数的解析式为（ ） A ．y ＝log 5xB ．y ＝15log xC ．y ＝13log xD ．y ＝log 3x（2）（全国高一课前预习）设()log a f x x =（0a >且1a ≠），若1(2)2f =，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）. A ．2B ．2-C ．12-D ．12【解析】（1）设函数解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)．由于对数函数的图像过点M (125，3)， 所以3＝log a 125，得a ＝5.所以对数函数的解析式为y ＝log 5x . （2）因为()log a f x x =（0a >且1a ≠），1(2)2f =，所以1(2)log 22a f ==，即122a =，解得4a =， 所以4()log f x x =，所以4111log 222f ⎛⎫==- ⎪⎝⎭.跟踪练习1．若某对数函数的图象过点()4,2，则该对数函数的解析式为（ ） A ．2log y x =B ．42log y x =C ．2log y x =或42log y x =D ．不确定【解析】设函数为()log 0,1a y x a a =>≠，依题可知，2log 4a =，解得2a =，所以该对数函数的解析式为2log y x =．2．若函数()()lo 1g a f x x =+(0,1)a a >≠的图像过点(7,3)，则a 的值为（ ） A 2B ．2C ．22D ．12【解析】由题, ()373log 182a a a +⇒=⇒==.题型三 对数函数的定义域例3（1）函数()ln 14x f x x-=-的定义域为（ ）A ．(]1,2B ．[]1,4C ．()1,4D ．[]2,4（2）已知函数(2)x y f =的定义域是[]1,1-，则函数3(log )f x 的定义域是（ ） A ．[]1,1-B ．1,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[]1,3D ．[3,9]（3）若函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则a =（ ） A ．1 B ．－1 C ．2D ．无法确定【解析】（1）对于函数()ln 14x f x x -=-1040x x ->⎧⎨->⎩，解得14x <<.因此，函数()ln 14x f x x-=-的定义域为()1,4.（2）由[]1,1x ∈-，得1,222x⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以31log ,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以3,9x ⎤∈⎦． （3）函数()lg 1y ax =+的定义域为(),1-∞，则10ax +>的解集为(),1-∞， 即0a <，且10ax +=的根11a-=，故1a =-. 跟踪练习1．函数()00.5log 21y x =-⎡⎤⎣⎦的定义域为（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．()1,+∞D ．()1,11,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【解析】要使函数有意义，只需()0.5log 210x -≠，即210211x x ->⎧⎨-≠⎩，解得112x <<或1x >． 2．函数3()log (21)1xf x x x =--的定义域是（ ） A ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(1,)+∞D ．1(,1)2【解析】由已知得1021>0x x ->⎧⎨-⎩，解得112x <<，所以函数()f x 的定义域为112⎛⎫⎪⎝⎭， 3．若函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，则(lg )f x 的定义域为（ ） A ．[10 100]，B ．[1 2]，C ．[0 1]，D ．[0 lg2]，【解析】因为函数(1)f x +的定义域为[0 1]，，所以112x ≤+≤，所以1lg 2x ≤≤， 解得：10100x ≤≤，所以(lg )f x 的定义域为[10 100]，. 4.求下列函数的定义域 （1）2112y x x=+-- （2）函数221()x f x --=（3）20()(54)lg(43)x f x x x =+-+ 【解析】（1）若要使函数有意义，则22010x x ⎧-≠⎪⎨-≥⎪⎩，解得1≥x 或1x ≤-且2x ≠±，所以该函数的定义域为][)()(,2)(2,11,22,-∞-⋃--⋃⋃+∞；（2）若要使函数有意义，则2210log (1)010x x x ⎧--≥⎪-≠⎨⎪->⎩，解得3x ≥，所以该函数的定义域为[)3,+∞；（3）若要使函数有意义，则lg(43)0430540x x x +≠⎧⎪+>⎨⎪-≠⎩，解得34x >-且12x ≠-，45x ≠，所以该函数的定义域为31144,,,42255⎛⎫⎛⎫⎛⎫--⋃-⋃+∞ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.题型四 对数函数的定点例4函数()log 272=+-a y x （0a >，且1a ≠）的图象一定经过的点是（ ） A ．7,22⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．()3,2--C ．()3,1--D ．()4,2--【解析】令271x +=，3x =-，则2y =-，即函数图象过定点()3,2--． 跟踪练习1．函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点（ ） A ．2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．()1,0-C ．2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．()0,1-【解析】对于函数()()log 310,1a y x a a =->≠，令311x -=，可得23x =，则log 10a y ==， 因此，函数()()log 310,1a y x a a =->≠的图象过定点2,03⎛⎫⎪⎝⎭.2．函数()log 1a y x =-的图象必过的点是（ ） A ．()1,0- B ．()1,0C ．()0,0D ．()2,0【解析】() log 1a y x =-，则当11x -=，即2x =时，0y =是与a 的值无关的定值，故函数()log 1a y x =-的图形必过的点是()20,.3．（湖北高一开学考试）已知函数log (3)2a y x =-+（0a >且1a ≠）的图象恒过定点P ，点P 在幂函数()y f x =的图象上，则lg (4)lg (25)f f +=（ ) A ．2-B ．2C ．1D ．1-【解析】函数()log 32a y a =-+中，令31x -=，解得4x =，此时log 122a y =+=；所以函数y 的图象恒过定点()4,2P ，又点P 在幂函数()my f x x ==的图象上，所以42m =，解得0.5m =；所以()0.5f x x =，所以()()()()lg 4lg 25lg 425lg101f f f f +=⋅==⎡⎤⎣⎦．题型五 对数函数的值域（最值）例5（1）已知184x ≤≤，则函数2()log f x x =的值域是 。

专题36 对数函数的概念、图象及性质1．对数函数的概念函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0，且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：(1)系数为1. (2)底数为大于0且不等于1的常数．(3)对数的真数仅有自变量x.2．对数函数的图象及性质a的范围0<a<1a>1图象定义域(0，＋∞)值域R性质定点(1,0)，即x＝1时，y＝0单调性在(0，＋∞)上是减函数在(0，＋∞)上是增函数3．反函数指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数．4．底数对函数图象的影响对数函数y＝log2x，y＝log3x，y＝log12x，y＝log13x的图象如图所示，可得如下规律：①y＝log a x与y＝log1ax的图象关于x轴对称；②当a＞1时，底数越大图象越靠近x轴；当0＜a＜1时，底数越小图象越靠近x轴．5．函数图象的变换规律(1)一般地，函数y＝f(x±a)＋b(a，b为实数)的图象是由函数y＝f(x)的图象沿x轴向左或向右平移|a|个单位长度，再沿y轴向上或向下平移|b|个单位长度得到的.(2)含有绝对值的函数的图象一般是经过对称变换得到的.一般地，y＝f(|x－a|)的图象是关于直线x＝a对称的轴对称图形；函数y＝|f(x)|的图象与y＝f(x)的图象在f(x)≥0的部分相同，在f(x)<0的部分关于x轴对称.题型一 对数函数的概念及应用1．指出下列函数哪些是对数函数？(1)y ＝3log 2x ；(2) y ＝log 6x ；(3) y ＝log x 3；(4) y ＝log 2x ＋1. [解析] (1)log 2x 的系数是3，不是1，不是对数函数． (2)符合对数函数的结构形式，是对数函数． (3)自变量在底数位置上，不是对数函数． (4)对数式log 2x 后又加1，不是对数函数．2．下列给出的函数：①y ＝log 5x ＋1；②y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)；③y ＝log (3－1)x ；④y ＝13log 3x ； ⑤y ＝log x 3(x >0，且x ≠1)；⑥y ＝log 2πx .其中是对数函数的为( )A ．③④⑤B ．②④⑥C ．①③⑤⑥D ．③⑥[解析]由对数函数定义知，③⑥是对数函数，故选D. 3．下列函数表达式中，是对数函数的有( )①y ＝log x 2；②y ＝log a x (a ∈R)；③y ＝log 8x ；④y ＝ln x ；⑤y ＝log x (x ＋2)；⑥y ＝2log 4x ；⑦y ＝log 2(x ＋1)．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有③④，其他的不符合．故选B. 4．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝2＋log 3xB ．y ＝log a (2a )(a >0，且a ≠1)C ．y ＝log a x 2(a >0，且a ≠1)D ．y ＝ln x[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知D 正确． 5．下列函数是对数函数的是( )A ．y ＝log a (2x )B ．y ＝log 22xC ．y ＝log 2x ＋1D ．y ＝lg x[解析]形如y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的函数即为对数函数，符合此形式的只有D ，其他的不符合．故选D. 6．下列函数是对数函数的有( )①y ＝2log 3x ；②y ＝1＋log 3x ；③y ＝log 3x ；④y ＝(log 3x )2. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个[解析]结合对数函数的形式y ＝l o g a x (a >0且a ≠1)可知A 正确． 7．若f (x )＝log a x ＋(a 2－4a －5)是对数函数，则a ＝______.[解析]由对数函数的定义可知，⎩⎪⎨⎪⎧a 2－4a －5＝0，a ＞0，a ≠1，解得a ＝5.答案：58．函数f (x )＝(a 2＋a －5)log a x 为对数函数，则f ⎝⎛⎭⎫18等于( )A ．3B ．－3C ．－log 36D ．－log 38[解析]∵函数f (x )＝(a 2＋a －5)log ax 为对数函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a －5＝1，a ＞0，a ≠1，解得a ＝2，∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝log 218＝－3.故选B. 9．若函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，则a ＝________.[解析]因为函数y ＝log (2a －1)x ＋(a 2－5a ＋4)是对数函数，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1>0，2a －1≠1，a 2－5a ＋4＝0，解得a ＝4.10．若函数f (x )＝log (a ＋1)x ＋(a 2－2a －8)是对数函数，则a ＝________.[解析] 由对数函数的定义可知⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2a －8＝0，a ＋1＞0，a ＋1≠1，解得a ＝4.11．若对数函数y ＝f (x )满足f (4)＝2，则该对数函数的解析式为( )A ．y ＝log 2xB ．y ＝2log 4xC ．y ＝log 2x 或y ＝2log 4xD ．不确定[解析]设对数函数的解析式为y ＝log a x (a >0，且a ≠1)，由题意可知log a 4＝2，∴a 2＝4，∴a ＝2. ∴该对数函数的解析式为y ＝log 2x.12．已知对数函数的图象过点(16,4)，则f ⎝⎛⎭⎫12＝__________.[解析]设对数函数为f (x )＝log a x (a >0且a ≠1)，由f (16)＝4可知log a 16＝4，∴a ＝2， ∴f (x )＝log 2x ，∴f ⎝⎛⎭⎫12＝log 212＝－1. 13．已知对数函数f (x )的图象过点(8，－3)，则f (22)＝________. [解析]设f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，则－3＝log a 8，∴a ＝12，∴f (x )＝log 12x ，f (22)＝log 12(22)＝－log 2(22)＝－32.14．已知函数f (x )＝log 2(x 2＋a )．若f (3)＝1，则a ＝________. [解析]由f (3)＝1得l o g 2(32＋a )＝1，所以9＋a ＝2，解得a ＝－7. 15．已知f (x )为对数函数，f ⎝⎛⎭⎫12＝－2，则f ⎝⎛⎭⎫14＝________. [解析]设f (x )＝log a x ，则f ⎝⎛⎭⎫12＝log a 12＝－2，得a ＝2，f ⎝⎛⎭⎫14＝log 2 14＝－4. 16．已知函数f(x )＝alog 2x ＋blog 3x ＋2，且f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，则f(2019)的值为( )A ．－4B ．－2C ．0D ．2[解析]f(x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝alog 2 x ＋blog 3 x ＋2＋alog 21x ＋blog 31x ＋2＝4，所以f(2019)＋f ⎝⎛⎭⎫12019＝4， 又因为f ⎝⎛⎭⎫12019＝4，所以f(2019)＝0.17．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，2x ，x ≤0，若f (a )＝12，则a ＝________.[解析]当x >0时，f (x )＝log 2x ，由f (a )＝12得log 2a ＝12，即a ＝ 2.当x ≤0时，f (x )＝2x ，由f (a )＝12得2a ＝12，a ＝－1.综上a ＝－1或 2.18．设函数f (x )＝log a x (a >0，且a ≠1)，若f (x 1x 2…x 2 019)＝8，则f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22 019)的值等于___． [解析]∵f (x 21)＋f (x 22)＋f (x 23)＋…＋f (x 22 019)＝log a x 21＋log a x 22＋log a x 23＋…＋log a x 22 019＝log a (x 1x 2x 3…x 2 019)2＝2log a (x 1x 2x 3…x 2 019)＝2×8＝16.19．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x (x ≥4)，f (x ＋2)(x ＜4)，则f (log 23)＝________.[解析]因为log 23＜4，log 23＋2＝log 23＋log 24＝log 212＜4，log 212＋2＝log 212＋log 24＝log 248＞4， 所以f (log 23)＝f (log 248)＝2log248＝48.20．若函数y ＝f (x )是函数y ＝3x 的反函数，则f ⎝⎛⎭⎫12的值为 [解析]由题意可知f (x )＝log 3x ，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝log 312＝－log 32 题型二 对数型函数的定义域1．求下列函数的定义域：(1)f (x )＝lg(x －2)＋1x －3；(2)f (x )＝log (x ＋1)(16－4x )； (3)y ＝lg (2－x )；(4)y ＝1log 3(3x －2)．[解析] (1)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，x －3≠0，解得x >2且x ≠3，所以函数定义域为(2,3)∪(3，＋∞)． (2)要使函数有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧16－4x >0，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0或0<x <4，所以函数定义域为(－1,0)∪(0,4)．(3)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ lg (2－x )≥0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧2－x ≥1，2－x >0.∴x ≤1.即y ＝lg (2－x )的定义域为{x |x ≤1}．(4)由⎩⎪⎨⎪⎧ log 3(3x －2)≠0，3x －2>0，得⎩⎪⎨⎪⎧3x －2≠1，3x >2，解得x >23，且x ≠1.∴y ＝1log 3(3x －2)的定义域为{x ⎪⎪⎭⎬⎫x >23，且x ≠1. 2．求下列函数的定义域：(1)y ＝1log 2(x －1)；(2)y ＝lg (x －3)；(3)y ＝log 2(16－4x )；(4)y ＝log (x －1)(3－x )．[解析] (1)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 2(x －1)≠0，解得x >1，且x ≠2.∴函数y ＝1log 2(x －1)的定义域是{x |x >1，且x ≠2}．(2)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧ x －3>0，lg (x －3)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧x －3>0，x －3≥1，解得x ≥4.∴所求函数的定义域是{x |x ≥4}．(3)要使函数式有意义，需16－4x >0，解得x <2.∴所求函数的定义域是{x |x <2}． (4)要使函数式有意义，需⎩⎪⎨⎪⎧3－x >0，x －1>0，x －1≠1，解得1<x <3，且x ≠2.∴所求函数的定义域是{x |1<x <3，且x ≠2}．3．求下列函数的定义域．(1)y ＝3log 2x ；(2)y ＝log 0.5(4x －3)；(3)y ＝log 0.5(4x －3)－1；(4)y ＝log (x ＋1)(2－x)． [解析] (1)定义域为(0，＋∞)．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤1，解得34<x ≤1，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，1. (3)由⎩⎪⎨⎪⎧4x －3>0，4x －3≤12，解得34<x ≤78，∴定义域为⎝⎛⎦⎤34，78. (4)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，x ＋1≠1，2－x>0，解得－1<x<0或0<x<2，∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．4．求下列函数的定义域． (1)y ＝log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1log 0.5(x －1)；(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a ≠1)．[解析] (1)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，2x －1≠0，解得1<x ≤2，∴定义域为{x|1<x ≤2}．(2)⎩⎪⎨⎪⎧x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2，∴定义域为{x|1<x<2}． (3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒34<x ≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | 34<x ≤1；当a>1时，4x －3≥1⇒x ≥1，∴定义域为{x|x ≥1}. 5．求下列函数的定义域： (1)f (x )＝1log 12x ＋1；(2)f (x )＝12－x ＋ln(x ＋1)；(3)f (x )＝log (2x －1)(－4x ＋8)； [解析] (1)要使函数f (x )有意义，则log 12x ＋1>0，即log 12x >－1，解得0<x <2，即函数f (x )的定义域为(0,2)．(2)函数式若有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋1>0，2－x >0，即⎩⎪⎨⎪⎧x >－1，x <2，解得－1<x <2，故函数的定义域为(－1,2)．(3)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－4x ＋8>0，2x －1>0，2x －1≠1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x <2，x >12，x ≠1.故函数y ＝log (2x －1)(－4x ＋8)的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪12<x <2，且x ≠1. 6．函数y ＝lnx －2的定义域是( )A ．(0，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．(2，＋∞)D ．[4，＋∞) [解析]要使函数有意义，真数需大于0，所以x －2＞0，即x ＞2.故选C. 7．函数f (x )＝lg(x －1)＋4－x 的定义域为( )A ．(1,4]B ．(1,4)C ．[1,4]D ．[1,4)[解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧x －1＞0，4－x ≥0，所以1＜x ≤4.8．函数f(x)＝1－2log 5x 的定义域为________．[解析]由1－2log 5x ≥0，得log 5x ≤12，故0<x ≤ 5.[答案] (0，5]9．函数y ＝1log 2(x －2)的定义域为( )A ．(－∞，2)B ．(2，＋∞)C ．(2,3)∪(3，＋∞)D ．(2,4)∪(4，＋∞)[解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －2>0，log 2(x －2)≠0，解得x ＞2且x ≠3，故选C.10．函数f (x )＝lg (4－x )x －3的定义域为________．[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧4－x ＞0，x －3≠0⇒{x |x ＜4，且x ≠3}．11．函数f (x )＝1log 2x －1的定义域为( )A ．(0,2)B ．(0,2]C ．(2，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析]若函数f (x )有意义，则log 2x －1＞0，∴log 2x ＞1，∴x ＞2.所以函数f (x )的定义域为(2，＋∞)． 12．函数y ＝x ln(1－x )的定义域为( )A ．(0,1)B ．[0,1)C ．(0,1]D ．[0,1][解析]由⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－x >0，得0≤x <1，故选B.13．函数f (x )＝1－xlg (x ＋1)的定义域是( )A ．(－1，＋∞)B ．[－1，＋∞)C ．(－1,0)∪(0，＋∞)D ．[－1,1)∪(1，＋∞)[解析]由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，x ＋1≠1⇒x ＞－1，且x ≠0.故选C.14．函数y ＝3－x2－log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－∞，3)D ．(－1，＋∞)[解析]若要函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧3－x ≥0，x ＋1＞0，2≠log 2(x ＋1)，解得－1＜x ＜3.15．函数f (x )＝a －lg x 的定义域为(0,10]，则实数a 的值为( )A ．0B ．10C ．1D ．110[解析]由已知，得a －lg x ≥0的解集为(0,10]，由a －lg x ≥0，得lg x ≤a ， 又当0＜x ≤10时，lg x ≤1，所以a ＝1，故选C.16．若函数y ＝log a (x ＋a )(a >0且a ≠1)的图象过点(－1，0)．(1)求a 的值；(2)求函数的定义域．[解析] (1)将(－1,0)代入y ＝log a (x ＋a )(a >0，a ≠1)中，有0＝log a (－1＋a )，则－1＋a ＝1，所以a ＝2. (2)由(1)知y ＝log 2(x ＋2)，由x ＋2>0，解得x >－2，所以函数的定义域为{x |x >－2}． 17．函数f (x )＝lg x ＋lg(5－3x )的定义域是( )A.⎣⎡⎭⎫0，53 B.⎣⎡⎦⎤0，53 C.⎣⎡⎭⎫1，53 D.⎣⎡⎦⎤1，53 [解析]由⎩⎪⎨⎪⎧lg x ≥0，5－3x >0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ≥1，x <53，即1≤x <53.18．若函数y ＝log 2(kx 2＋4kx ＋5)的定义域为R ，则k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫0，54 B.⎣⎡⎭⎫0，54C.⎣⎡⎦⎤0，54 D ．(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫54，＋∞[解析]由题意得，kx 2＋4kx ＋5＞0在R 上恒成立．k ＝0时，成立；k ≠0时，⎩⎪⎨⎪⎧k ＞0，Δ＝16k 2－20k ＜0，解得0＜k ＜54，综上，k ∈⎣⎡⎭⎫0，54，故选B. 19．已知函数f (x )＝lg (ax 2＋2x ＋1)．若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围． [解析]由已知，u ＝ax 2＋2x ＋1的值恒为正，∴⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝4－4a <0，解得a 的取值范围是a >1.20．已知函数f (x )＝log 2⎣⎡⎦⎤ax 2＋(a －1)x ＋14.若定义域为R ，求实数a 的取值范围； [解析] 要使f (x )的定义域为R ，则对任意实数x 都有t ＝ax 2＋(a －1)x ＋14>0恒成立．当a ＝0时，不合题意；当a ≠0时，由二次函数图象可知⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝(a －1)2－a <0.解得3－52<a <3＋52.故所求a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫3－52，3＋52. 题型三 对数函数的图象问题1．函数y ＝lg(x ＋1)的图象大致是( )[解析]由底数大于1可排除A 、B ，y ＝lg(x ＋1)可看作是y ＝lgx 的图象向左平移1个单位． (或令x ＝0得y ＝0，而且函数为增函数)，[答案] C 2．函数f (x )＝log 2(1－x )的图象为( )[解析]该函数为单调递减的复合函数，且过定点(0,0)，故A 正确．3．函数y ＝lg |x |x的图象大致是( )[解析]由函数y ＝lg |x |x 的定义域是{x |x ≠0}，易得函数为奇函数，所以函数图象关于原点对称，可排除A ，B ，当x ＝1时，y ＝lg 1＝0，故图象与x 轴相交，且其中一个交点为(1,0)，只有D 中图象符合． 4．如图，若C 1，C 2分别为函数y ＝log a x 和y ＝log b x 的图象，则( )A ．0<a <b <1B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1[解析]作直线y ＝1，则直线与C 1，C 2的交点的横坐标分别为a ，b ，易知0<b <a <1. 5．已知m ，n ∈R ，函数f(x)＝m ＋log n x 的图象如右图，则m ，n 的取值范围分别是( )A ．m>0,0<n<1B ．m<0,0<n<1C ．m>0，n>1D ．m<0，n>1 [解析] 由图象知函数为增函数，故n>1.又当x ＝1时，f(x)＝m>0，故m>0.[答案] C6．如图所示的曲线是对数函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d,1,0的大小关系为________．[解析]由题图可知函数y ＝log a x ，y ＝log b x 的底数a >1，b >1，函数y ＝log c x ，y ＝log d x 的底数0<c <1,0<d <1. 过点(0,1)作平行于x 轴的直线l (图略)，则直线l 与四条曲线交点的横坐标从左向右依次为 c ，d ，a ，b ， 显然b >a >1>d >c >0.7．当a >1时，在同一坐标系中，函数y ＝a －x 与y ＝log a x 的图象为( )[解析]∵a>1，∴0<1－x是减函数，y＝log a x是增函数，故选C.a<1，∴y＝a8．已知0<a<1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是()[解析]因为0<a<1，所以y＝a x单调递减，y＝log a x单调递减，而y＝log a(－x)与y＝log a x关于y轴对称，所以选D．9．若函数f(x)＝log a(x＋b)的图象如图，其中a，b为常数，则函数g(x)＝a x＋b的图象大致是()[解析]由函数f(x)＝log a(x＋b)的图象可知，函数f(x)＝log a(x＋b)在(－b，＋∞)上是减函数．∴0<a<1且0<b<1.所以g(x)＝a x＋b在R上是减函数，故排除A、B.由g(x)的值域为(b，＋∞)．所以g(x)＝a x＋b的图象应在直线y＝b的上方，故排除C.[答案] D10．函数f(x)＝log a(x＋2)(0<a<1)的图象必不过()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限[解析]∵f(x)＝log a(x＋2)(0＜a＜1)，∴其图象如下图所示，故选A.11．已知lg a＋lg b＝0，则函数f(x)＝a x与函数g(x)＝－log b x的图象可能是()[解析]由lg a＋lg b＝0，得lg(ab)＝0，所以ab＝1，故a＝1b，所以当0＜b＜1时，a＞1；当b＞1时，0＜a＜1.又因为函数y＝－log b x与函数y＝log b x的图象关于x轴对称．利用这些信息可知选项B符合0＜b＜1且a＞1的情况．12．函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________．[解析]因为函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x＋1＝1，得x＝0，此时y＝log a(x＋1)－2＝－2，所以函数y＝log a(x＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2).13．已知函数y＝log a(x－3)－1的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]y＝l o g a x的图象恒过点(1,0)，令x－3＝1，得x＝4，则y＝－1.14．函数f(x)＝log a(x＋2)＋3(a>0，且a≠1)的图象恒过定点________．[解析]令x＋2＝1，解得x＝－1.因为f(－1)＝3，所以f(x)的图象恒过定点(－1,3)．15．函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象所过定点的坐标是________．[解析]令3x－2＝1，解得x＝1，此时y＝2，即函数y＝2＋log a(3x－2)(a>0，且a≠1)的图象过定点(1,2)．16．若函数f(x)＝－5log a(x－1)＋2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是________．[解析]令x－1＝1，得x＝2，即f(2)＝2，故P(2,2)．17．若函数y＝log a(x＋b)＋c(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(3,2)，则实数b，c的值分别为_______．[解析]∵函数的图象恒过定点(3,2)，∴将(3,2)代入y＝log a(x＋b)＋c，得2＝log a(3＋b)＋C．又当a>0，且a≠1时，log a1＝0恒成立，∴c＝2，由log a(3＋b)＝0，得3＋b＝1，∴b＝－2.故填－2,2.18．已知f(x)＝log a|x|，满足f(－5)＝1，试画出函数f(x)的图象．[解析]∵f(x)＝log a|x|，∴f(－5)＝log a5＝1，即a＝5，∴f(x)＝log5|x|，∴f(x)是偶函数，其图象如图所示．19．已知f(x)＝log3x.(1)作出这个函数的图象；(2)若f(a)<f(2)，利用图象求a的取值范围．[解析](1)作出函数y ＝log 3x 的图象如图所示．(2)令f (x )＝f (2)，即log 3x ＝log 32，解得x ＝2.由图象知：当0<a <2时，恒有f (a )<f (2)．所以所求a 的取值范围为0<a <2.20．若函数f (x )为定义在R 上的奇函数，且x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝lg(x ＋1)，求f (x )的表达式，并画出大致图象．[解析]∵f (x )为R 上的奇函数，∴f (0)＝0.又当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，∴f (－x )＝lg(1－x )．又f (－x )＝－f (x )，∴f (x )＝－lg(1－x )，∴f (x )的解析式为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ lg(x ＋1)，x >0，0，x ＝0，－lg(1－x )，x <0，∴f (x )的大致图象如图所示．21．已知函数f (x )＝lg |x |，(1)判断函数f (x )的奇偶性；(2)画出函数f (x )的图象草图；(3)利用定义证明函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数．[解析] (1)要使函数有意义，x 的取值需满足|x |>0，解得x ≠0，即函数的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． 因为f (－x )＝lg |－x |＝lg |x |＝f (x )，所以函数f (x )是偶函数．(2)由于函数f (x )是偶函数，则其图象关于y 轴对称，将函数y ＝lg x 的图象对称到y 轴的左侧与函数y ＝lg x 的图象合起来得函数f (x )的图象，如图所示．(3)证明：设x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝lg |x 1|－lg |x 2|＝lg |x 1||x 2|＝lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2.因为x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1＜x 2， 所以|x 1|>|x 2|＞0.所以⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞1.所以lg ⎪⎪⎪⎪x 1x 2＞0.所以f (x 1)＞f (x 2)． 所以函数f (x )在区间(－∞，0)上是减函数． 22．若不等式x 2－log m x <0在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，求实数m 的取值范围． [解析]由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．要使x 2<log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内恒成立，只要y ＝log m x 在⎝⎛⎭⎫0，12内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1. ∵x ＝12时，y ＝x 2＝14，∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14，∴12≤m 14，即116≤m . 又0<m <1，∴116≤m <1.即实数m 的取值范围是⎣⎡⎭⎫116，1.。