高三上学期第一次月考 2020届省名师联盟高三上学期第一次模拟考试数学(理)试题—附答案

2020届名校联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2340A x x x =-->，{}ln 0B x x =>，则()A B =R I ð（ ） A ．B ．C ．D ．2．下列命题中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，，则C ．若，，则D ．若，，则3．设方程的根为，表示不超过的最大整数，则（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．44．在中，已知，，，则等于（ ）A ．或B ．C ．D ．5．下列四个结论： ①命题“”的否定是“”；②若是真命题，则可能是真命题；③“且”是“”的充要条件； ④当时，幂函数在区间上单调递减．其中正确的是（ ） A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④6．已知正项等比数列的前项和为，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．7．()()10121x x -+的展开式中10x 的系数为（ ） A ．B ．C ．D ．8．直线与曲线有且仅有个公共点，则实数的取值范围是（ ）班级 姓名 准考证号 考场号 座位号A ．B ．C ．D ．9．某校有1000人参加某次模拟考试，其中数学考试成绩近似服从正态分布()()2105,0N σσ>，试卷满分150分，统计结果显示数学成绩优秀(高于120分)的人数占总人数的15，则此次数学考试成绩在90分到105分之间的人数约为（ ） A ．B ．C ．D ．10．已知椭圆的右焦点为，短轴的一个端点为，直线与椭圆相交于，两点，若，点到直线的距离不小于，则椭圆离心率的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．11．若函数与都在区间上单调递减，则的最大值为（ ） A ．B ．C ．D ．12．已知关于的方程恰有四个不同的实数根，则当函数时，实数的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．若平面向量a ，b 满足1+=a b ，+a b 平行于x 轴，()2,1=-b ，则=a ．14．实数，满足约束条件：，则的取值范围为 ． 15．半径为的球面上有，，，四点，且，，两两垂直，则，与面积之和的最大值为 ．16．如图，，分别是椭圆的左、右顶点，圆的半径为，过点作圆的切线，切点为，在轴的上方交椭圆于点，则．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）在数列中，，当时，其前项和满足．（1）求的表达式；（2）设，求的前项和．18．（12分）如图所示的三棱柱中，平面，，，的中点为，若线段上存在点使得平面．（1）求；（2）求二面角的余弦值．19．（12分）部门在同一上班高峰时段对甲、乙两座地铁站各随机抽取了名乘客，统计其乘车等待时间(指乘客从进站口到乘上车的时间，乘车等待时间不超过分钟)．将统计数据按，，，…，分组，制成频率分布直方图：假设乘客乘车等待时间相互独立．（1）在上班高峰时段，从甲站的乘客中随机抽取人，记为；从乙站的乘客中随机抽取人，记为．用频率估计概率，求“乘客，乘车等待时间都小于分钟”的概率；（2）从上班高峰时段，从乙站乘车的乘客中随机抽取人，表示乘车等待时间小于分钟的人数，用频率估计概率，求随机变量的分布列与数学期望．20．（12分）已知为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为，，离心率，椭圆上的点到焦点的最短距离为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设T 为直线3x =-上任意一点，过1F 的直线交椭圆C 于点P ，Q ，且为抛物线10TF PQ ⋅=u u u r u u u r，求1TF PQ u u u r u u u r 的最小值．21．（12分）已知函数，．（1）若存在极小值，求实数的取值范围；（2）设是的极小值点，且，证明：．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）已知直线的极坐标方程为，是与的交点，是与的交点，且，均异于原点，，求的值．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】已知函数．（1）当，求不等式的解集；（2）设对恒成立，求的取值范围．2020届河南名校联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C2．【答案】C3．【答案】B4．【答案】C5．【答案】A6．【答案】B7．【答案】C8．【答案】C9．【答案】C10．【答案】C11．【答案】B12．【答案】B二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】或14．【答案】15．【答案】816．【答案】三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）121nSn=-；（2）21nnTn=+．【解析】（1）∵，，∴，即①，由题意得，①式两边同除以，得，∴数列是首项为，公差为2的等差数列，∴，∴．（2）∵，∴．18．【答案】（1）6；（2）6．【解析】（1）如图，在平面内过点作的垂线分别交和于，，连接，在平面内过点作的垂线交于，连接，依题意易得，，，，，五点共面，因为平面，所以①，在中，，，因此为线段靠近的三等分点，由对称性知，为线段靠近的三等分点，因此，，代入①，得．（2）由（1）可知，是平面的一个法向量且，，设平面111A BC的法向量为n，则BCAB⎧⋅=⎪⇒⎨⋅=⎪⎩u u u ru u u rnnn可以为()1,3,0，2363cos,3222OPOPOP⋅〈〉===⋅⨯u u u ru u u ru u u rnnn，因为二面角为锐角，故所求二面角的余弦值为．19．【答案】（1）15；（2）分布列见解析，()65E X=．【解析】（1）设表示事件“乘客乘车等待时间小于20分钟”，表示事件“乘客乘车等待时间小于分钟”，表示事件“乘客，乘车等待时间都小于分钟”．由题意知，乘客乘车等待时间小于分钟的频率为:，故的估计值为．乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，故的估计值为．又，故事件的概率为．（2）由（1）可知，乙站乘客乘车等待时间小于分钟的频率为，所以乙站乘客乘车等待时间小于分钟的概率为．显然，的可能取值为0，1，2，3且)52,3(~BX，所以；；；．故随机变量的分布列为：．20．【答案】（1）；（2）．【解析】（1），而，又，得，，故椭圆的标准方程为．（2）由（1）知，∵10TF PQ ⋅=u u u r u u u r ，故1TF PQ ⊥u u u r u u u r ， 设，∴，直线的斜率为，当时，直线的方程为，也符合方程； 当时，直线的斜率为，直线的方程为；设，，将直线的方程与椭圆的方程联立，得，消去，得，，，， ，，当且仅当，即时，等号成立，∴1TF PQ u u u r u u u r 的最小值为3． 21．【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1），令，则，所以在上是增函数，又因为当时，；当时，，所以，当时，，，函数在区间上是增函数，不存在极值点；当时，的值域为，必存在使，所以当时，，，单调递减；当时，，，单调递增，所以存在极小值点，综上可知实数的取值范围是．（2）由（1）知，，即，所以，，由，得，令，显然在区间上单调递减，又，所以由，得，令，，当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减，所以，当时，函数取最小值，所以，即，即，所以，，所以，即．22．【答案】（1），；（2）．【解析】（1）由消去参数，得的普通方程为，由，得，又，，所以的直角坐标方程为．（2）由（1）知曲线的普通方程为，所以其极坐标方程为．设点，的极坐标分别为，，则，，所以，所以，即，解得，又，所以．23．【答案】（1）；（2）．【解析】（1）当时，，即，当时，原不等式化为，得，即；当时，原不等式化为，即，即；当时，原不等式化为，得，即．综上，原不等式的解集为．（2）因为，所以，可化为，所以，即对恒成立，则，所以的取值范围是．。

2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回笭非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考人员将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．4.已知等差数列中，，则（）A. 10B. 16C. 20D. 2【答案】C【解析】【分析】由可得出，然后利用算出答案即可【详解】因为数列是等差数列所以，所以所以故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )A. B. 1 C. 2 D. 0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A. 2B. 3C. 4D. 1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+a x+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.14.已知向量，，若，则实数______.【答案】-2【解析】【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．【答案】300．【解析】【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．三、解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号）即三角形面积的最大值为：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正切值．【答案】(1)见证明；(2)【解析】【分析】（1）取PD中点G，可证EFGA是平行四边形，从而，得证线面平行；（2）取AD中点O，连结PO，可得面，连交于，可证是二面角的平面角，再在中求解即得．【详解】（1）证明：取PD中点G，连结为的中位线，且，又且，且，∴EFGA是平行四边形，则，又面，面，面；（2）解：取AD中点O，连结PO，∵面面，为正三角形，面，且，连交于，可得，，则，即．连，又，可得平面，则，即是二面角的平面角，在中，∴，即二面角的正切值为．【点睛】本题考查线面平行证明，考查求二面角．求二面角的步骤是一作二证三计算．即先作出二面角的平面角，然后证明此角是要求的二面角的平面角，最后在三角形中计算．19.“绿水青山就是金山银山”，为推广生态环境保护意识，高二一班组织了环境保护兴趣小组，分为两组，讨论学习．甲组一共有人，其中男生人，女生人，乙组一共有人，其中男生人，女生人，现要从这人的两个兴趣小组中抽出人参加学校的环保知识竞赛.（1）设事件为“选出的这个人中要求两个男生两个女生，而且这两个男生必须来自不同的组”，求事件发生的概率；（2）用表示抽取的人中乙组女生的人数，求随机变量的分布列和期望【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）分布列见解析，.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用古典概型概率公式求 . （Ⅱ）先由题得可能取值为,再求x的分布列和期望.【详解】（Ⅰ）（Ⅱ）可能取值为,,,,,的分布列为.【点睛】本题主要考查古典概型的计算，考查随机变量的分布列和期望的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20.已知函数，当时，有极大值3；（1）求，的值；（2）求函数的极小值及单调区间.【答案】（1）；（2）极小值为，递减区间为：，递增区间为.【解析】【分析】（1）由题意得到关于实数的方程组，求解方程组，即可求得的值；（2）结合（1）中的值得出函数的解析式，即可利用导数求得函数的单调区间和极小值.【详解】（1）由题意，函数，则，由当时，有极大值，则，解得.（2）由（1）可得函数的解析式为，则，令，即，解得，令，即，解得或，所以函数的单调减区间为，递增区间为，当时，函数取得极小值，极小值为.当时，有极大值3.【点睛】本题主要考查了函数的极值的概念，以及利用导数求解函数的单调区间和极值，其中解答中熟记函数的极值的概念，以及函数的导数与原函数的关系，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.21.已知点，若点满足.（Ⅰ）求点的轨迹方程；（Ⅱ）过点的直线与（Ⅰ）中曲线相交于两点，为坐标原点，求△面积的最大值及此时直线的方程.【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）面积的最大值为，此时直线的方程为.【解析】【分析】（1）根据椭圆的定义求解轨迹方程；（2）设出直线方程后，采用（表示原点到直线的距离）表示面积，最后利用基本不等式求解最值.【详解】解：（Ⅰ）由定义法可得，点的轨迹为椭圆且，.因此椭圆的方程为.（Ⅱ）设直线的方程为与椭圆交于点，，联立直线与椭圆的方程消去可得，即，.面积可表示为令，则，上式可化为，当且仅当，即时等号成立，因此面积的最大值为，此时直线的方程为.【点睛】常见的利用定义法求解曲线的轨迹方程问题：（1）已知点，若点满足且，则的轨迹是椭圆；（2）已知点，若点满足且，则的轨迹是双曲线.（二）选考题：共10分，请考生在22题、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.选修4-4：[坐标系与参数方程]22.已知直线的参数方程为为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（2）设点，直线与曲线交于两点，求值.【答案】（1）直线普通方程：，曲线直角坐标方程：；（2）.【解析】【分析】（1）消去直线参数方程中的参数即可得到其普通方程；将曲线极坐标方程化为，根据极坐标和直角坐标互化原则可得其直角坐标方程；（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数的几何意义可知，利用韦达定理求得结果.【详解】（1）由直线参数方程消去可得普通方程为：曲线极坐标方程可化为：则曲线的直角坐标方程为：，即（2）将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程，整理可得：设两点对应的参数分别为：，则，【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化、参数方程与普通方程的互化、直线参数方程中参数的几何意义的应用；求解距离之和的关键是能够明确直线参数方程中参数的几何意义，利用韦达定理来进行求解.[选修4-5：不等式选讲]23.已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）依据能成立问题知，，然后利用绝对值三角不等式求出的最小值，即求得的取值范围；（2）按照零点分段法解含有两个绝对值的不等式即可．【详解】因为不等式有实数解，所以因为，所以故．①当时，，所以，故②当时，，所以，故③当时，，所以，故综上，原不等式的解集为．【点睛】本题主要考查不等式有解问题的解法以及含有两个绝对值的不等式问题的解法，意在考查零点分段法、绝对值三角不等式和转化思想、分类讨论思想的应用．2020届高三数学第一次模拟考试试题理（含解析）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回笭非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，监考人员将答题卡收回.第Ⅰ卷选择题一、单选题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知集合A={x|–1<x<2}，B={x|x>1}，则A∪B=A. （–1，1）B. （1，2）C. （–1，+∞）D. （1，+∞）【答案】C【解析】【分析】根据并集的求法直接求出结果.【详解】∵，∴，故选C.【点睛】考查并集的求法，属于基础题.2.复数 (i为虚数单位)的共轭复数是A. 1+iB. 1−iC. −1+iD. −1−i【答案】B【解析】分析：化简已知复数z，由共轭复数的定义可得．详解：化简可得z=∴z的共轭复数为1﹣i.故选B．点睛：本题考查复数的代数形式的运算，涉及共轭复数，属基础题．3.若函数的定义域为M＝{x|－2≤x≤2}，值域为N＝{y|0≤y≤2},则函数的图像可能是（）A. B. C.D.【答案】B【解析】因为对A不符合定义域当中的每一个元素都有象，即可排除；对B满足函数定义，故符合；对C出现了定义域当中的一个元素对应值域当中的两个元素的情况，不符合函数的定义，从而可以否定；对D因为值域当中有的元素没有原象，故可否定．故选B．4.已知等差数列中，，则（）A. 10B. 16C. 20D. 2【答案】C【解析】【分析】由可得出，然后利用算出答案即可【详解】因为数列是等差数列所以，所以所以故选：C【点睛】本题考查的是等差数列的性质，较简单.5.为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点（）A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度【答案】D【解析】【分析】通过变形，通过“左加右减”即可得到答案.【详解】根据题意，故只需把函数的图象上所有的点向右平移个单位长度可得到函数的图象，故答案为D.【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，难度不大.6.已知函数是偶函数，当时，函数单调递减，设，，，则的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据图象关于轴对称可知关于对称，从而得到在上单调递增且；再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时，单调递减时，单调递增又且，即本题正确选项：【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题，关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性，通过自变量的大小关系求得结果.7.若实数x，y满足条件，目标函数，则z 的最大值为( )A. B. 1 C. 2 D. 0【答案】C【解析】【分析】画出可行域和目标函数，根据平移得到最大值.【详解】若实数x，y满足条件，目标函数如图：当时函数取最大值为故答案选C【点睛】求线性目标函数的最值:当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最大，在轴截距最小时，z值最小；当时，直线过可行域且在轴上截距最大时，值最小，在轴上截距最小时，值最大.8.我国古代数学巨著《九章算术》中，有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”这个问题用今天的白话叙述为：有一位善于织布的女子，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这位女子每天分别织布多少？根据上述问题的已知条件，若该女子共织布尺，则这位女子织布的天数是（）A. 2B. 3C. 4D. 1【答案】B【解析】【分析】将问题转化为等比数列问题，最终变为求解等比数列基本量的问题.【详解】根据实际问题可以转化为等比数列问题，在等比数列中，公比，前项和为，，，求的值．因为，解得，，解得．故选B．【点睛】本题考查等比数列的实际应用，难度较易.熟悉等比数列中基本量的计算，对于解决实际问题很有帮助.9.某个命题与自然数有关，且已证得“假设时该命题成立，则时该命题也成立”．现已知当时，该命题不成立，那么（）A. 当时，该命题不成立B. 当时，该命题成立C. 当时，该命题不成立D. 当时，该命题成立【答案】C【解析】【分析】写出命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题，结合原命题与逆否命题的真假性一致进行判断.【详解】由逆否命题可知，命题“假设时该命题成立，则时该命题也成立”的逆否命题为“假设当时该命题不成立，则当时该命题也不成立”，由于当时，该命题不成立，则当时，该命题也不成立，故选C.【点睛】本题考查逆否命题与原命题等价性的应用，解题时要写出原命题的逆否命题，结合逆否命题的等价性进行判断，考查逻辑推理能力，属于中等题.10.根据如图所示的程序框图，当输入的值为3时，输出的值等于（）A. 1B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据程序图，当x<0时结束对x的计算，可得y值．【详解】由题x=3，x=x-2=3-1，此时x>0继续运行，x=1-2=-1<0，程序运行结束，得，故选C．【点睛】本题考查程序框图，是基础题．11.已知点在双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】分析】将点A坐标代入双曲线方程即可求出双曲线的实轴长和虚轴长，进而求得离心率.【详解】将,代入方程得，而双曲线的半实轴，所以，得离心率,故选C.【点睛】此题考查双曲线的标准方程和离心率的概念，属于基础题.12.若不等式对于一切恒成立，则的最小值是（）A. 0B.C.D.【答案】C【解析】【详解】试题分析：将参数a与变量x分离，将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题，即可得到结论．解：不等式x2+ax+1≥0对一切x∈(0，]成立，等价于a≥-x-对于一切成立，∵y=-x-在区间上是增函数∴∴a≥-∴a的最小值为-故答案为C．考点：不等式应用点评：本题综合考查了不等式的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，属于中档题第Ⅱ卷非选择题二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）13.若，且，则的最小值是______.【答案】8【解析】【分析】利用的代换，将写成，然后根据基本不等式求解最小值.【详解】因为（即取等号），所以最小值为.【点睛】已知，求解（）最小值的处理方法：利用，得到，展开后利用基本不等式求解，注意取等号的条件.14.已知向量，，若，则实数______.【答案】-2【解析】【分析】根据向量坐标运算可求得，根据平行关系可构造方程求得结果.【详解】由题意得：，解得：本题正确结果：【点睛】本题考查向量的坐标运算，关键是能够利用平行关系构造出方程.15.某中学高一年级有学生1200人，高二年级有学生900人，高三年级有学生1500人，现按年级用分层抽样的方法从这三个年级的学生中抽取一个容量为720的样本进行某项研究，则应从高三年级学生中抽取_____人．【答案】300．【解析】【分析】先求得高三学生占的比例，再利用分层抽样的定义和方法，即可求解.【详解】由题意，高三学生占的比例为，所以应从高三年级学生中抽取的人数为.【点睛】本题主要考查了分层抽样的定义和方法，其中解答中熟记分层抽样的定义和抽取的方法是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.16.已知函数，则过原点且与曲线相切的直线方程为____________.【答案】【解析】【分析】设切点坐标为，利用导数求出曲线在切点的切线方程，将原点代入切线方程，求出的值，于此可得出所求的切线方程．【详解】设切点坐标为，，，，则曲线在点处的切线方程为，由于该直线过原点，则，得，因此，则过原点且与曲线相切的直线方程为，故答案为．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过点作函数图象的切线方程，求解思路是：（1）先设切点坐标，并利用导数求出切线方程；（2）将所过点的坐标代入切线方程，求出参数的值，可得出切点的坐标；（3）将参数的值代入切线方程，可得出切线的方程．三、解答题（共70分，解答应写出相应的文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答.）（一）必考题：共60分17.的内角的对边分别为，已知.（1）求的大小；（2）若，求面积的最大值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合诱导公式可化简边角关系式，求得，根据可求得结果；（2）利用余弦定理可得，利用基本不等式可求得，代入三角形面积公式可求得结果.【详解】（1）由正弦定理得：，又，即由得：（2）由余弦定理得：又（当且仅当时取等号）即三角形面积的最大值为：【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理解三角形、三角形面积公式应用、基本不等式求积的最大值、诱导公式的应用等知识，属于常考题型.18.如图所示，在四棱锥中，底面是棱长为2的正方形，侧面为正三角形，且面面，分别为棱的中点．。

湖北名师联盟2020届高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{}|3B x y x ==-，A B =I （ ） A ．[)1,+∞ B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52．34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i3．如图1为某省2019年14~月快递业务量统计图，图2是该省2019年14~月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年14~月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从14~月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A ．2π3B ．3π4 C ．π3D ．π4班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，正方体1111ABCD A B C D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形1111A B C D 的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30︒D ．直线EF ，1BB 所成角的余弦值为338．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．2-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10．已知点2F 是双曲线22:193x yC -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为 圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．6311．如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=uu r uu u r，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．ππ()3sin()24g x x =+B ．ππ()3sin()24g x x =-C ．ππ()2sin()24g x x =+D ．ππ()2sin()24g x x =-12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 ．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．16．点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()3sin a c b ab C +=+． （1）求B 的大小；（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为33a ．18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED FB ∥，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ． （1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值．19．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3O 是坐标原点，且1||||6OB F B ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程．20．（12分）已知函数1π()4cos()23xf x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点； （2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=，2C的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，23a b +=．证明：（1）2295a b +≥； （2）3381416a b ab +≤．湖北名师联盟2020届高三第一次模拟考试卷理科数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由已知可得[]1,5A =，[)3,B =+∞，则[3,5]A B =I ． 2．【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：()()()()()()()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-． 3．【答案】D【解析】对于选项A ：2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ：2019年14~月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2019年2、3、4月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的． 4．【答案】C【解析】∵12|2|e e -=121443e e +-⋅=，∴1212e e ⋅=， ∴121cos ,2e e <>=，∴12π,3e e <>=．5．【答案】B【解析】1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，∵11()cos()cos ()11x x xx e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---， ∴函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-奇函数，排除A 、D ，又因为当0x +→时，cos 0x >且101x xe e +>-，所以1()cos 01x x ef x x e +=⋅>-，故选B ． 6．【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有7层． 7．【答案】C【解析】易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交； 直线EF ，1BB 是异面直线；直线EF ，1BB 所成角的余弦值为3C 正确． 8．【答案】B【解析】第一次循环，4S =，1i =； 第二次循环，2S =，2i =； 第三次循环，4S =，1i =； 第四次循环，2S =，2i =．可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时，输出的2S =． 9．【答案】C【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， ∴(2)()f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，∵函数()f x 在区间[1,2]是减函数，∴函数()f x 在[1,1]-上为增函数，且(2)(0)0f f ==， 由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<． 10．【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，∴216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE F E +++≥+==． 11．【答案】C【解析】由已知，得3(,)2R A ，则(1,)RP A =--u u r ，(1,)RQ A =-u u u r ，于是213RP RQ A ⋅=-=u u r u u u r，得2A =， 又51222T =-，∴4T =，2ππ2T ω==，由π12π22k ϕ⋅+=，k ∈Z 及π||2ϕ<，得π4ϕ=-，故ππ()2sin()24f x x =-， 因为()g x 与()f x 的图象关于1x =对称，则ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424g x f x x x x =-=--=-+=+． 12．【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，∴113O D =． 在1OO D Rt △中，213OD x =+，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2πR ，∴212ππ40πR +=，228R =，球的表面积为24π112πR =．(或将三棱锥补成长方体求解)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2 【解析】1()ln ax f x a x x-'=+，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．【答案】9【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由711S S =，可得1176111071122a d a d ⨯⨯+=+， 即12170a d +=，得到1217d a =-， 所以211111(1)(1)281()(9)22171717n a n n n n S na d na a n a --=+=+⨯-=--+， 由10a >可知1017a -<，故当9n =时，n S 最大． 15．【答案】314【解析】观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为123328C C 3C 14+=． 16．【答案】【解析】设AF a =，BF b =， 则2a bd +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++，∴d AB ===， 当且仅当a b =时取等号．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【答案】（1）π3；（2）5 【解析】（1）由()22sin a c b C +=+，得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即()2cos 1sin ac B C +=， 所以有()sin cos 1sin C B B C +=，因为(0,π)C ∈，所以sin 0C >，所以cos 1B B +=，即cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以6ππ6B -=，即π3B =． （2）因为113sin 3322ac B ac =⋅=，所以12ac =，又22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=，所以10a c +=，把10c a =-代入到12()ac a c =>中，得513a =+． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而EDA EDC ≅Rt Rt △△， ∴EA EC =，又O 为AC 中点，∴DE AC ⊥，在EOF △中，3,6,3OE OF EF ===，∴222OE OF EF +=，∴OE OF ⊥， 又AC OF O =I ，∴OE ⊥平面ACF ． （2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,2)F ，(1,1,0)O ，由（1）可知(1,1,1)EO =-uu u r是面AFC 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为面AEF 的一个法向量，由22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n uu u r uu u r ，令1x =，得(1,2,2)=-n ， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|3||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n uu u ruu u r uu u r ，6sin 3θ∴=，∴二面角E AF C --619．【答案】（1）22132x y +=；（2）10x +=． 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c，则c a =，∴a =， ∵222a b c =+，∴b =，又1OB F B ⋅=OB b =，1F B a =，∴ab =2=1c =，∴a =b =22132x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线l 方程为1x ty =-，由221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440t y ty +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=uuuu r uuu r ，∴1212(1)(1)0x x y y --+=， ∴1212(11)(11)0ty ty y y ----+=，∴21212(1)2()40t y y t y y +-++=，∴22224(1)8402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t =． ∴l的方程为10x ±+=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为(,)-∞+∞，且1π()2sin()23x f x x e '=---． 令1π()2sin()23x g x x e =---，[π,0]x ∈-，1π()cos()23xg x x e '=---，[π,0]x ∈-．∵x y e =-在[π,0]-上单调递减，1πcos()23y x =--在[π,0]-上单调递减，()g x '在[π,0]-上单调递减．又π(0)cos()103g '=---<，ππππ1(π)cos()0232g e e-'-=----=->，∴0(π,0)x ∃∈-，使得0()0g x '=，∴当0[π,)x x ∈-时，()0g x '>；当0(,0]x x ∈时，()0g x '<，即()g x 在区间0[π,)x -上单调递增；在0(,0]x 上单调递减，则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在区间[π,0]-上存在唯一的极大值点0x ．（2）由（1）知1π()2sin()23x f x x e '=---，且()f x '在区间[π,0]-存在唯一极大值点， ()f x '在0[π,)x -上单调递增，在0(,0]x 上单调递减，而ππππ1(π)2sin()1023f e e -'-=----=->，π(0)2sin()1103f '=---=>，故()f x '在[π,0]-上恒有()0f x '>，∴()f x 在[π,0]-上单调递增，又ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<，π(0)4cos()1103f =--=>，因此，()f x 在[π,0]-上有且仅有一个零点． 21．【答案】（1）见解析；（2）①116P =，2736P =，343216P =；②6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，11(1)56n n P =-．【解析】（1）X 的可能取值为1-，0，1．121(1)(1)233P x =-=-⨯=，12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=，121(1)(1)236P x ==⨯-=．∴X 的分布列为（2）①由（1）知，116P =， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分； 二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴12211117C ()()662636P =⨯+=，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得1-分，∴322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++．②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a c P P P b b+-=+--， 将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-，∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-．∴111()6i i i i P P P P +--=-，∵1016P P -=，∴1{}n n P P --是等比数列，首项和公比都是16． 116n n n P P --=，∴01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n nP P P P P P P P --=+-+-++-==--L ． 22．【答案】（1）()2121:1x y C +-=，20C y -=；（2）[10,]2． 【解析】（1）1C 的直角坐标方程()2211x y +-=，2C0y -+=． （2）由（1）知，1C 为以(0,1)为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心(0,1)到2C的距离为1d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=， 则点P 到曲线2C距离的取值范围为[． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥，∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，∴2295a b +≥．（2）∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，∴334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤．。

湖北名师联盟2020届高三上学期第一次模拟考试数字（理）试题一、选择题 本大题共12道小题。

1.已知点F 2是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ）A ．9B ．8C ．D ．2.已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{|B x y ==，A ∩B =（ ）A ． [1,+∞)B ．[1,3]C ．(3,5]D ．[3,5]3.如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且RP RQ ⋅u u u r u u u r=3，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ） A ．ππ()sin()24g x x =+ B ．ππ()sin()24g x x =- C ．ππ()2sin()24g x x =+ D ．ππ()2sin()24g x x =-答案第2页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………4.如图1为某省2019年1~4月快递业务量统计图，图2是该省2019年1~4月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年1~4月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年1~4月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年1~4月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从1~4月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 5.函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6.执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………A ．0B ．2C ．4D ．－27.已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A ．2π3B ．3π4C ．π3D ．π48.如图，正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别是AB ，A 1D 1的中点，O 为正方形A 1B 1C 1D 1的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，BB 1是相交直线C ．直线EF 与BC 1所成的角为30°D ．直线EF ，BB 1所成角的余弦值为339.已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10.答案第4页，总14页…○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※…○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5 B ．6C ．7D ．811.已知三棱锥P -ABC 满足P A ⊥底面ABC ，在△ABC 中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P -ABC 的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72π B ．86πC ．112πD ．128π12.34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．－4 B ．4C ．－4iD ．4i评卷人 得分一、填空题 本大题共4道小题。

2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（一）答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】C2．【答案】D3．【答案】B4．【答案】A5．【答案】D6．【答案】D7．【答案】C8．【答案】B9．【答案】A10．【答案】C11．【答案】C12．【答案】A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．【答案】120︒或23π 14．【答案】48-15．【答案】22(4)(4)5-+-=x y16．【答案】514三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）45A =︒；（2）125． 【解析】∵1tan tan()B C A =-， ∴sin cos()cos()cos sin()sin cos sin()B C A C A B C A B B C A -=⇒-=-- cos()0C A B ⇒-+=，即cos(1802)0A ︒-=．∴cos20A =，0180A ︒<<︒，290A =︒，则45A =︒．（2）∵1tan 2=B，∴sin B = ∵tan )1tan(4521tan C C C --︒==+，∴tan 3sin C C =-⇒=，由正弦定理4sin ==a A，可得=b=c所以1112csin 2252===S b A ． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）14．【解析】（1）∵AB BC CA ==，D 是AC 的中点，∴BD AC ⊥，∵1AA ⊥平面ABC ，∴平面11AAC C ⊥平面ABC ，∴BD ⊥平面11AAC C ，∴BD AE ⊥．又∵在正方形11AAC C 中，D ，E 分别是AC ，1CC 的中点，易证得：1A AD ACE ≅△△，∴1A DA AEC ∠=∠，∵90AEC CAE ∠+∠=︒，∴190A DA CAE ∠+∠=︒，即1A D AE ⊥．又1A D BD D =，∴AE ⊥平面1A BD ，AE ⊂平面AEB ，所以平面AEB ⊥平面1A BD ．（2）取11AC 中点F ，以DF ，DA ，DB 为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，(0,0,0)D ，(1,1,0)E -，B ，1(2,1,0)A ，DB =，(1,1,0)DE =-，1(2,1,BA =，1(1,2,0)EA =，设平面DBE 的一个法向量为(,,)x y z m，则0000DB x y DE ⎧⋅==⎪⇒⎨-=⎪⋅=⎪⎩⎩m m ，令1x =，则(1,1,0)=m ，设平面1BA E 的一个法向量为(,,)a b c =n ，则11020200BA a b a b EA ⎧⎧⋅=+=⎪⎪⇒⎨⎨+=⋅=⎪⎪⎩⎩n n ，令1b =，则(2,1,=-n ，设二面角1D BE A --的平面角为θ，观察可知θ为锐角，,1cos ,||||4<>==m n m n m n ， 故二面角1D BE A --的余弦值为14． 19．【答案】（1）2212x y +=；（2）22y x =±+ 【解析】（1）依题意，得c b =，所以a =，所以椭圆C 为222212x y b b +=，将点代入，解得1b =，则a = 所以椭圆的标准方程为2212x y +=．（2）由题意知直线l 的斜率存在，设l 斜率为k ，(0,)P m （1m >），则直线l 方程为y kx m =+，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，直线l 与圆O1=，即221m k =+， 联立直线与椭圆方程，消元得222(12)4220k x kmx m +++-=，00Δk >⇒≠，122412km x x k +=-+，2212222221212m k x x k k -==++， 因为PA AB =，所以212x x =，即1243(12)km x k =-+，221212k x k =+， 所以221619(12)m k =+，解得272k =，即22k m =±=，所求直线方程为y x =+ 20．【答案】（1）220；（2）见解析．【解析】（1）按调整前起征点应缴纳个税为：15003%250010%295⨯+⨯=元， 调整后应纳税：25003%75⨯=元，比较两纳税情况，可知调整后少交个税220元，即个人的实际收入增加了220元．（2）由题意，知[3000,5000)组抽取3人，[5000,7000)组抽取4人，当2x y ==时，0X =，当1,3x y ==或3,1x y ==时，2X =，当0,4x y ==时，4X =，所以X 的所有取值为：0,2,4，22344718(0)35C C P X C ===，133134344716(2)35C C C C P X C +===， 0434471(4)35C C P X C ===， 所求分布列为1816136()024********E X =⨯+⨯+⨯=． 21．【答案】（1）(,0]{2}-∞；（2）[0,)+∞．【解析】（1）2()ln 1f x x a x =--，22()2a x a f x x x x -'=-=． ①当0a ≤时，()0f x '>恒成立，所以()f x 单调递增，因为(1)0f =，所以()f x 有唯一零点，即0a ≤符合题意；②当0a >时，令()0f x '=，解得x =由表可知，min ()f x f =，函数()f x 在上递减，在)+∞上递增．（i 1=，即2a =时，min ()(1)0f x f ==，所以2a =符合题意；（ii 1<，即02a <<时，(1)0f f <=， 因为122()110a a a f ee e ---=+-=>，11a e -<，故存在11(a x e -∈，使得1()(1)0f x f ==，所以02a <<不符题意；（iii 1>，即2a >时，(1)0f f <=， 因为2(1)(1)ln(1)1(2ln(1))f a a a a a a a -=----=---，设11a t -=>，2ln(1)1ln ()a a t t h t ---=--=，则1()10h t t '=->，所以()h t 单调递增，即()(1)0h t h >=，所以(1)0f a ->，所以1a ->故存在21)x a ∈-，使得2()(1)0f x f ==，所以2a >不符题意；综上，a 的取值范围为(,0]{2}-∞．（2）()ln x g x a x e ex =+-，则()x a g x e e x '=+-，2()x a g x e x''=-，[1,)x ∈+∞． ①当0a ≥时，()0g x '≥恒成立，所以()g x 单调递增，所以()(1)0g x g ≥=， 即0a ≥符合题意；②当0a <时，()0g x ''>恒成立，所以()g x '单调递增，又因为(1)0g a '=<，(1ln())(ln())0ln()ln()a a e a g e a a e a e a --'-=-=>--， 所以存在0(1,ln())x e a ∈-，使得0()0g x '=，且当0(1,)x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在0(1,)x 上单调递减，所以0()(1)0g x g <=，即0a <不符题意． 综上，a 的取值范围为[0,)+∞．22．【答案】（1）221(3)169x y y +=≠-，:6l x y -=；（2）22d ≤≤． 【解析】（1）222241:131x k k C y kk ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，平方后得221169x y +=， 又263(3,3]1y k =-+∈-+，C 的普通方程为221(3)169x y y +=≠-．cos()4πρθ+=，即cos sin 6ρθρθ-=， 将cos ,sin x y ρθρθ==代入即可得到:6l x y -=．（2）将曲线C 化成参数方程形式为4cos 3sin x y αα=⎧⎨=⎩（α为参数），则d ==3tan 4ϕ=，所以22d ≤≤． 23．【答案】（1）712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或；（2）[3,)+∞．【答案】（1）当4a =时，145,21()3,2245,2x x f x x x x ⎧-+≤⎪⎪⎪=<<⎨⎪-≥⎪⎪⎩， 所以()9f x >的解集为712x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或． （2）()21221(2)1f x x x a x x a a =-+-≥---=-，由()5f x a ≥-恒成立， 有15a a -≥-，当5a ≥时不等式恒成立，当5a <时，由221(5)a a -≥-得35a ≤<，综上，a 的取值范围是[3,)+∞．。

2020届全国名师联盟高三上学期入学测试考试卷（一）理科数学（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|20}M x x x =+-≤，{1,0,1,2}N =-，则M N 的子集个数为（）A ．2B ．4C ．8D ．162．已知复数2z i =+，则1zi+在复平面上对应的点所在象限是（）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．在等差数列{}n a 中，若35a =，424S =，则9a =（）A ．5-B ．7-C ．9-D ．11-4．下列函数中，既是奇函数又在定义域内递增的是（）A ．3()f x x x =+B ．()31xf x =-C ．1()f x x=-D ．3()log f x x=5．中国古代“五行”学说认为：物质分“金、木、水、火、土”五种属性，并认为：“金生水、水生木、木生火、火生土、土生金”．从五种不同属性的物质中随机抽取2种，则抽到的两种物质不相生的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．126．设,αβ是两平面，,a b 是两直线．下列说法正确的是（）①若//,//a b a c ，则b c ∥②若,a b αα⊥⊥，则a b ∥③若,a a αβ⊥⊥，则αβ∥④若αβ⊥，b αβ= ，a α⊂，a b ⊥，则a β⊥A ．①③B ．②③④C ．①②④D ．①②③④7．下图是一程序框图，若输入的12A =，则输出的值为（）A ．25B ．512C ．1229D ．29608．函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中0,0ω>>A ，||2πϕ<）的图象如图所示，为了得到()y f x =的图象，只需把1()sin cos 22ωω=-g x x x 的图象上所有点（）A ．向左平移6π个单位长度B ．向左平移3π个单位长度C ．向右平移6π个单位长度D ．向右平移3π个单位长度9．8(12)2y x +-的展开式中22x y 项的系数是（）A ．420B ．420-C ．1680D ．1680-10．太极图被称为“中华第一图”．从孔庙大成殿粱柱，到楼观台、三茅宫标记物；从道袍、卦摊、中医、气功、武术到南韩国旗……，太极图无不跃居其上．这种广为人知的太极图，其形状如阴阳两鱼互抱在一起，因而被称为“阴阳鱼太极图”．在如图所示的阴阳鱼图案中，阴影部分可表示为2222224(,)|(1)1(1)10x y A x y x y x y x ⎧⎫⎧+≤⎪⎪⎪=++≥+-≤⎨⎨⎬⎪⎪⎪≤⎩⎩⎭或，设点(,)x y A ∈，则2z x y =+的取值范围是（）A．[2-B．[-C．[2-+D．[4,2-+11．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，,A B 是双曲线的一条渐近线上关于原点对称的两点，0AF BF ⋅=uuu r uu u r且线段AF 的中点M 落在另一条渐近线上，则双曲线C 的离心率为（）ABC ．2D12．已知函数()()=--+xf x e a e ma x ，（,m a 为实数），若存在实数a ，使得()0≤f x 对任意x R ∈恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．[)1,e-+∞B ．[,)-+∞e C ．[1,]e eD ．[1,]--e e二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．平面内不共线的三点O ，A ，B ，满足||1OA = ，||2OB = ，点C 为线段AB 的中点，若3||2OC = ，则∠=AOB ．14．已知数列{}n a 中，11a =，且1230n n a a +++=，n ∈*N ，数列{}n a 的前n 项和为n S ，则6S =．15．已知直线l 经过抛物线2:4=x C y 的焦点F ，与抛物线交于,A B ，且8+=A B x x ，点D 是弧AOB （O为原点）上一动点，以D 为圆心的圆与直线l 相切，当圆D 的面积最大时，圆D 的标准方程为．16．已知正三棱柱111-ABC A B C 的侧面积为12，当其外接球的表面积取最小值时，异面直线1AC 与1B C 所成角的余弦值等于．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若1tan 2=B ，tan()2-=C A ．（1）求A ；（2）当=a ABC △的面积．18．（12分）如图，正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都是2，,D E 分别是1,AC CC 的中点．（1）求证：平面AEB ⊥平面1A BD ；（2）求二面角1D BE A --的余弦值．19．（12分）已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左、右焦点，圆222:O x y c +=（122F F c =）与椭圆有且仅有两个交点，点(,33在椭圆上．（1）求椭圆的标准方程；（2）过y 正半轴上一点P 的直线l 与圆O 相切，与椭圆C 交于点A ，B ，若PA AB =，求直线l 的方程．20．（12分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019年1月1日起，个人所得税起征点和税率的调整，调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000元后的余额为应纳税所得额，依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：某税务部门在某公司利用分层抽样方法抽取某月100个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：（1）若某员工2月的工资、薪金等税前收入为7500元时，请计算一下调整后该员工的实际收入比调整前增加了多少?（2）现从收入在[3000,5000)及[5000,7000)的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为新纳税法知识宣讲员，用x 表示抽到作为宣讲员的收入在[3000,5000)元的人数，y 表示抽到作为宣讲员的收入在[5000,7000)元的人数，设随机变量Xx y =-，求X 的分布列与数学期望．21．（12分）已知函数2()ln 1f x x a x =--，()a ∈R ．（1）若函数()f x 有且只有一个零点，求实数a 的取值范围；（2）若函数2()()10x g x e x ex f x =+---≥对[1,)x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．（e 是自然对数的底数， 2.71828e = ）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程是222813(1)1k x k k y k ⎧=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩（k 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos()4πρθ+=（1）曲线C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）求曲线C 上的点到直线l 的距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】设函数()212f x x x a =-+-，x ∈R ．（1）当4a =时，求不等式()9f x >的解集；（2）对任意x ∈R ，恒有()5f x a ≥-，求实数a 的取值范围．。

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 、选择题：本大题共 2020届高三入学调研考试卷理科数 是符合题目要求的. 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 【答案】 12小题，每小题10.【答案】C 11.【答案】 C 12. 【答案】 A二 _、 填空题 :本大题共4小题, 13. 【答案】 2 120或 314. 【答案】 4815. 【答案】 (x 4)2 (y 4)2 516. 【答案】 5 14三、 解答题 :本大题共 6小题， 17. 【答案】 (1) A 45 ； 12 (2) .【答案】 9. A 5每小题 【解析】T tan B1 tan(C A)' 学（一）答案5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项5分.共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.sin B cosBcos(C sin(C A) A) cos(C A)cos B sin(C A)sin Bcos(C A B) 0，即 cos(180 2A) 0 .••• AA 1 平面 ABC ,•平面 AAC i C 平面 ABC ,• BD 平面 AAC -C ,••• BD AE .又•••在正万形 AAC -C 中，D , E 分别是AC , CC -的中点， 易证得：△ A -AD△ACE ,A - DA AEC ,•/ AEC CAE90 ,• • A -DACAE 90，即 AD AE又 A -D I BD D ,• AE平面A -BD , AE平面 AEB ,所以平面AEB 平面ABD .(2)取 AC -中点 F ,以 DF , DA , DB 为 x ,y , z 轴建立空间直角坐标系,二 cos2A 0, 0 A 180，2A 90 ,则 A 45 •(2)T tanBsin Btan(C 45 )ta^ 2 ,•1 tan CtanC si nC3 J0，由正弦定理—2 2sin A 2T可得12 •.1011 4 所以 S -bcsinA2____ 12_2 五12 518.【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】（1）V AB BC CA ,D 是AC 的中点，•••BD AC ，D(0, 0,0),E(1, 1,0),B(0,0,、,3) , A(2,1,0),uuu - uurDB (0,0, .3) , DE (1, 1,0),uur UJITBA (2,1, 、、3) , (1,2,0)，uuu _DB m 0 V3z 0 设平面DBE的一个法向量为m(x, y,z)，贝y uuurDE m 0 x y 0令x 1，则m (1,1,0),设平面BA i E的一个法向量为n (a,b,c),UULT _ntt BA n 0 2a b ,3c 0则uuir ,EA n 0 a 2b 0令b 1,则n ( 2,1,、、3),鶴1，将点入，解得b 1，则a2，b 3 32所以椭圆的标准方程为—y2 1 .，观察可知为锐角,cos m, nl m, n l 1|m|| n| 4’故二面角D1BE A的余弦值为一•419.【答案】2⑴一 y2 1; (2) y.14 3「2x2 2设二面角D BE A的平面角为2【解析】（1）依题意，得c b，所以a.2b，2(2)由题意知直线I 的斜率存在，设I 斜率为k , P(O,m) ( m 1),则直线I 方程为y kx m ,mn 9设 A(x i , y i ), B(X 2,y 2)，直线 I 与圆 O 相切，则1,即 m 21 k 2,Ji k 2联立直线与椭圆方程，消元得(1 2k 2)x 2 4kmx 2m 2 2 0 ,调整后应纳税：2500 3% 75元， 比较两纳税情况，可知调整后少交个税 220元,即个人的实际收入增加了 220元.(2)由题意，知［3000,5000)组抽取3人，［5000,7000)组抽取4人,0,当 x 1,y3 或 x 3, y 1 时，X所求分布列为k 0, x ] x 24 km 21 2k 2X-|X 22m 2 2 1 2 k 22k 2药，uur 因为PA uuuAB , 所以x 22x !，即 x-i4 km 3(1 2k 2) 2 X1k 2 1 2k 2 '所以29(1 2k 2)1, 解得 k 27，即2 14 2，m3 Z2 2 ，所求直线方程为32 220.【答案】(1)220 ; (2 )见解析.【解析】(1)按调整前起征点应缴纳个税为:1500 3% 2500 10% 295元,0,y4时, X 4，所以X 的所有取值为：0,2,4 ,P(X0)18 35P(X 2) C3C ： C 3C 4 16C ； 35’P(X4)C30C 4丄35y 2 时，X2E(X) 018 35 空4丄3535 36 35 21.【答案】 (1) ,0]U{2}； (2) [0,). 【解析】(1) f(x) x 2 a l n x a f (x) 2x -x c 2 2x a ①当 a 0 时，f (x) 0恒成立, 所以 f (x)单调递增, 因为 f(1) 0，所以f (x)有唯一零点, 即a 0符合题意; ②当 a 0时，令f (x) 0，解得x0存事g亠:，列表如下: 由表可知, (i )当 (ii )当因为f(e 故存在x 1 (iii )当 因为 f (a )上递增.a2f(x)min f(・，)，函数f(x)在(0,、)上递减，在min1 a ) (e 1) 1，即a2 时，f (x)minf (1) 0，所以a 2符合题意;f(1) 0，ae一)，使得 f(xjf(1)0，所以0 a 2不符题意;1，即 a 2 时，f (2)f(1) 0， (a 所以h(t)单调递增, 故存在x 2(、：a21) aln(a 1)2 In (a 1) t1 a(a2 ln(a1))，1 In th(t)，则 1h(t) 1即 h(t) h(1) 0，所以 f (a 1)0，所以 a 11)，使得 f(X 2) f (1)0，所以a 2不符题意;综上，a的取值范围为(，0] U{2}.(2)g(x) a ln x e x ex，贝U g (x) — e x e , g (x) e x x ax [1,).①当a 0 时，g (x) 0恒成立，所以g(x)单调递增，所以g(x)g(i) 0,0符合题意;②当a 0时, g (x) 0恒成立，所以g (x)单调递增,又因为g (1) g (ln(e a))a a a(1 ln(e a)) °ln(e a) ■‘ln(e a)所以存在X。

2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷理 科 数 学注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}2|650A x x x =-+≤，{}|3B x y x ==-，A B =（ ） A ．[)1,+∞ B ．[]1,3C ．(]3,5D ．[]3,52．34i 34i12i 12i+--=-+（ ） A ．4- B ．4 C ．4i - D ．4i3．如图1为某省2019年14~月快递业务量统计图，图2是该省2019年14~月快递业务收入统计图，下列对统计图理解错误的是（ ）A ．2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值接近2000万件B ．2019年14~月的业务量同比增长率超过50%，在3月最高C ．从两图来看2019年14~月中的同一个月快递业务量与收入的同比增长率并不完全一致D ．从14~月来看，该省在2019年快递业务收入同比增长率逐月增长 4．已知两个单位向量12,e e ，满足12|2|3e e -=，则12,e e 的夹角为（ ） A ．2π3B ．3π4 C ．π3D ．π4班级 姓名 准考证号 考场号 座位号5．函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的部分图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知斐波那契数列的前七项为1、1、2、3、5、8、13．大多数植物的花，其花瓣数按层从内往外都恰是斐波那契数，现有层次相同的“雅苏娜”玫瑰花3朵，花瓣总数为99，假设这种“雅苏娜”玫瑰花每层花瓣数由内向外构成斐波那契数列，则一朵该种玫瑰花最可能有（ ）层． A ．5B ．6C ．7D ．87．如图，正方体1111ABCD A BC D -中，点E ，F 分别是AB ，11A D 的中点，O 为正方形1111A B C D 的中心，则（ ）A ．直线EF ，AO 是异面直线B ．直线EF ，1BB 是相交直线C ．直线EF 与1BC 所成的角为30︒D ．直线EF ，1BB 38．执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为（ ）A ．0B ．2C ．4D ．2-9．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足(2)()f x f x +=-，且在区间[1,2]上是减函数，令ln 2a =，121()4b -=，12log 2c =，则()f a ，()f b ，()f c 的大小关系为（ ）A ．()()()f b f c f a <<B ．()()()f a f c f b <<C ．()()()f c f b f a <<D ．()()()f c f a f b <<10．已知点2F 是双曲线22:193x y C -=的右焦点，动点A 在双曲线左支上，点B 为圆22:(2)1E x y ++=上一点，则2||||AB AF +的最小值为（ ） A ．9B ．8C ．53D ．6311．如图，已知P ，Q 是函数()sin()f x A x ωϕ=+π(0,0,||)2A ωϕ>><的图象与x 轴的两个相邻交点，R 是函数()f x 的图象的最高点，且3RP RQ ⋅=，若函数()g x 的图象与()f x 的图象关于直线1x =对称，则函数()g x 的解析式是（ ）A ．ππ()3sin()24g x x =+B ．ππ()3sin()24g x x =-C ．ππ()2sin()24g x x =+D ．ππ()2sin()24g x x =-12．已知三棱锥P ABC -满足PA ⊥底面ABC ，在ABC △中，6AB =，8AC =，AB AC ⊥，D 是线段AC 上一点，且3AD DC =．球O 为三棱锥P ABC -的外接球，过点D 作球O 的截面，若所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为40π，则球O 的表面积为（ ） A ．72πB ．86πC ．112πD ．128π二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知曲线()(1)ln f x ax x =-在点(1,0)处的切线方程为1y x =-，则实数a 的值为 ．14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足711S S =，且10a >，则n S 最大时n 的值是 ．15．《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦(含乾、坤、異、震、坎、离、良、兑八卦)，每一卦由三根线组成(“”表示一根阳线，“”表示一根阴线)，从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为 ．16．点A ，B 是抛物线2:2(0)C y px p =>上的两点，F 是拋物线C 的焦点，若120AFB ∠=︒，AB 中点D 到抛物线C 的准线的距离为d ，则||dAB 的最大值为 ．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（12分）ABC △的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知22()23sin a c b ab C +=+． （1）求B 的大小；（2）若8b =，a c >，且ABC △的面积为33a ．18．（12分）如图所示的多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，ED FB ∥，12DE BF =，AB FB =，FB ⊥平面ABCD ． （1）设BD 与AC 的交点为O ，求证：OE ⊥平面ACF ； （2）求二面角E AF C --的正弦值．19．（12分）设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为1F ，右焦点为2F ，上顶点为B ，离心率为3O 是坐标原点，且1||||6OB F B ⋅= （1）求椭圆C 的方程；（2）已知过点1F 的直线l 与椭圆C 的两交点为M ，N ，若22MF NF ⊥，求直线l 的方程．20．（12分）已知函数1π()4cos()23xf x x e =--，()f x '为()f x 的导数，证明：（1）()f x '在区间[π,0]-上存在唯一极大值点；（2）()f x 在区间[π,0]-上有且仅有一个零点．21．（12分）11月，2019全国美丽乡村篮球大赛在中国农村改革的发源地—安徽凤阳举办，其间甲、乙两人轮流进行篮球定点投篮比赛(每人各投一次为一轮)．在相同的条件下，每轮甲乙两人站在同一位置，甲先投，每人投一次球，两人有1人命中，命中者得1分，未命中者得1-分；两人都命中或都未命中，两人均得0分．设甲每次投球命中的概率为12，乙每次投球命中的概率为23，且各次投球互不影响． （1）经过1轮投球，记甲的得分为X ，求X 的分布列；（2）若经过n 轮投球，用i p 表示经过第i 轮投球，累计得分，甲的得分高于乙的得分的概率． ①求1p ，2p ，3p ；②规定00p =，经过计算机计算可估计得11(1)i i i i p ap bp cp b +-=++≠，请根据①中1p ，2p ，3p 的值分别写出a ，c 关于b 的表达式，并由此求出数列{}n p 的通项公式．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】已知平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线1C 方程为2sin ρθ=，2C的参数方程为112x t y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）写出曲线1C 的直角坐标方程和2C 的普通方程；（2）设点P 为曲线1C 上的任意一点，求点P 到曲线2C 距离的取值范围．23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知0a >，0b >，23a b +=．证明：（1）2295a b +≥； （2）3381416a b ab +≤．2020届湖北名师联盟高三第一次模拟考试卷理科数学答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】D【解析】由已知可得[]1,5A =，[)3,B =+∞，则[3,5]A B =． 2．【答案】D【解析】由复数的运算法则可得：()()()()()()()()34i 12i 34i 12i 510i 510i 34i 34i 4i 12i 12i 12i 12i 5++----+---+--===-++-． 3．【答案】D【解析】对于选项A ：2019年14~月的业务量，3月最高，2月最低，差值为439724111986-=，接近2000万件，所以A 是正确的；对于选项B ：2019年14~月的业务量同比增长率分别为55%，53%，62%，58%， 均超过50%，在3月最高，所以B 是正确的；对于选项C ：2019年2、3、4月快递业务量与收入的同比增长率不一致， 所以C 是正确的． 4．【答案】C【解析】∵12|2|e e -=121443e e +-⋅=，∴1212e e ⋅=， ∴121cos ,2e e <>=，∴12π,3e e <>=． 5．【答案】B【解析】1()cos 1x x e f x x e +=⋅-的定义域为(,0)(0,)-∞+∞，∵11()cos()cos ()11x x x x e e f x x x f x e e --++-=-⋅=-⋅=---，∴函数1()cos 1x x e f x x e +=⋅-奇函数，排除A 、D ，又因为当0x +→时，cos 0x >且101x x e e +>-，所以1()cos 01x xe f x x e +=⋅>-，故选B ． 6．【答案】C【解析】由题设知，斐波那契数列的前6项之和为20，前7项之和为33， 由此可推测该种玫瑰花最可能有7层． 7．【答案】C【解析】易知四边形AEOF 为平行四边形，所以直线EF ，AO 相交； 直线EF ，1BB 是异面直线；直线EF ，1BB C 正确． 8．【答案】B【解析】第一次循环，4S =，1i =； 第二次循环，2S =，2i =； 第三次循环，4S =，1i =； 第四次循环，2S =，2i =．可知S 随i 变化的周期为2，当2019i =时，输出的2S =． 9．【答案】C【解析】∵()f x 是R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-， ∴(2)()f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于1x =对称，∵函数()f x 在区间[1,2]是减函数，∴函数()f x 在[1,1]-上为增函数，且(2)(0)0f f ==， 由题知1c =-，2b =，01a <<，∴()()()f c f b f a <<． 10．【答案】A【解析】设双曲线C 的左焦点为1F ，21126AF AF a AF =+=+，∴216AB AF AB AF +=++=115559AB AF BE FE +++≥+==． 11．【答案】C【解析】由已知，得3(,)2R A ，则(1,)RP A =--，(1,)RQ A =-，于是213RP RQ A ⋅=-=，得2A =，又51222T =-，∴4T =，2ππ2T ω==， 由π12π22k ϕ⋅+=，k ∈Z 及π||2ϕ<，得π4ϕ=-，故ππ()2sin()24f x x =-，因为()g x 与()f x 的图象关于1x =对称，则ππππππ()(2)2sin[(2)]2sin[π()]2sin()242424g x f x x x x =-=--=-+=+．12．【答案】C【解析】将三棱锥P ABC -补成直三棱柱，且三棱锥和该直三棱柱的外接球都是球O ，记三角形ABC 的中心为1O ，设球的半径为R ，2PA x =，则球心O 到平面ABC 的距离为x ，即1OO x =， 连接1O A ，则15O A =，∴2225R x =+，在ABC △中，取AC 的中点为E ，连接1O D ，1O E ， 则1132O E AB ==，124DE AC ==，∴113O D =． 在1OO D Rt △中，213OD x =+，由题意得到当截面与直线OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为r ，则2222225(13)12r R OD x x =-=+-+=， 所以最小截面圆的面积为12π，当截面过球心时，截面面积最大为2πR ，∴212ππ40πR +=，228R =，球的表面积为24π112πR =．(或将三棱锥补成长方体求解)．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】2 【解析】1()ln ax f x a x x-'=+，(1)11f a '=-=，∴2a =． 14．【答案】9【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由711S S =，可得1176111071122a d a d ⨯⨯+=+， 即12170a d +=，得到1217d a =-，所以211111(1)(1)281()(9)22171717n a n n n n S na d na a n a --=+=+⨯-=--+， 由10a >可知1017a -<，故当9n =时，n S 最大． 15．【答案】314【解析】观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含有3根阳线的共有1卦，含有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，故从八卦中任取两卦，这两卦的六根线恰有两根阳线，四根阴线的概率为123328C C 3C 14+=． 16．【答案】3【解析】设AF a =，BF b =， 则2a bd +=，222222cos AB a b ab AFB a b ab =+-∠=++，∴3d AB =≤=， 当且仅当a b =时取等号．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）π3；（2）5【解析】（1）由()22sin a c b C +=+，得2222sin a c ac b C ++=+，所以2222sin a c b ac C +-+=，即()2cos 1sin ac B C +=， 所以有()sin cos 1sin C B B C +=，因为(0,π)C ∈，所以sin 0C >，所以cos 1B B +，即cos 2sin 16πB B B ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，所以1sin 2π6B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0πB <<，所以ππ5π666B -<-<，所以6ππ6B -=，即π3B =． （2）因为11sin 22ac B ac ==12ac =，又22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-=2()3664a c +-=，所以10a c +=，把10c a =-代入到12()ac a c =>中，得513a =+． 18．【答案】（1）证明见解析；（2）6． 【解析】（1）证明：由题意可知：ED ⊥平面ABCD ，从而EDA EDC ≅Rt Rt △△， ∴EA EC =，又O 为AC 中点，∴DE AC ⊥，在EOF △中，3,6,3OE OF EF ===，∴222OE OF EF +=，∴OE OF ⊥， 又ACOF O =，∴OE ⊥平面ACF ．（2）ED ⊥面ABCD ，且DA DC ⊥，如图以D 为原点，DA ，DC ，DE 方向建立空间直角坐标系，从而(0,0,1)E ，(2,0,0)A ，(0,2,0)C ，(2,2,2)F ，(1,1,0)O ， 由（1）可知(1,1,1)EO =-是面AFC 的一个法向量， 设(,,)x y z =n 为面AEF 的一个法向量，由22020AF y z AE x z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩n n ，令1x =，得(1,2,2)=-n ， 设θ为二面角E AF C --的平面角，则||3|cos ||cos ,|||||EO EO EO θ⋅=<>==⋅n n n 6sin θ∴=，∴二面角E AF C --619．【答案】（1）22132x y +=；（2）210x +=． 【解析】（1）设椭圆C 的焦距为2c ，则33c a =，∴3a c ， ∵222a b c =+，∴2b c =，又1OB F B ⋅=OB b =，1F B a =，∴ab =2=1c =，∴a =b =22132x y +=．（2）由（1）知1(1,0)F -，2(1,0)F ，设直线l 方程为1x ty =-，由221132x ty x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(23)440t y ty +--=，设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则122423t y y t +=+，122423y y t -=+， ∵22MF NF ⊥，∴220F M F N ⋅=，∴1212(1)(1)0x x y y --+=，∴1212(11)(11)0ty ty y y ----+=，∴21212(1)2()40t y y t y y +-++=，∴22224(1)8402323t t t t -+-+=++，∴22t =，∴t = ∴l的方程为10x +=．20．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】（1）由题意知：()f x 定义域为(,)-∞+∞，且1π()2sin()23xf x x e '=---．令1π()2sin()23x g x x e =---，[π,0]x ∈-，1π()cos()23xg x x e '=---，[π,0]x ∈-．∵x y e =-在[π,0]-上单调递减，1πcos()23y x =--在[π,0]-上单调递减，()g x '在[π,0]-上单调递减．又π(0)cos()103g '=---<，ππππ1(π)cos()023g e e-'-=----=->， ∴0(π,0)x ∃∈-，使得0()0g x '=，∴当0[π,)x x ∈-时，()0g x '>；当0(,0]x x ∈时，()0g x '<， 即()g x 在区间0[π,)x -上单调递增；在0(,0]x 上单调递减，则0x x =为()g x 唯一的极大值点，即()f x '在区间[π,0]-上存在唯一的极大值点0x ．（2）由（1）知1π()2sin()23xf x x e '=---，且()f x '在区间[π,0]-存在唯一极大值点，()f x '在0[π,)x -上单调递增，在0(,0]x 上单调递减，而ππππ1(π)2sin()1023f e e -'-=----=->，π(0)2sin()1103f '=---=>，故()f x '在[π,0]-上恒有()0f x '>，∴()f x 在[π,0]-上单调递增，又ππππ1(π)4cos()023f e e --=---=-<，π(0)4cos()1103f =--=>，因此，()f x 在[π,0]-上有且仅有一个零点．21．【答案】（1）见解析；（2）①116P =，2736P =，343216P =；②6(1)7a b =-，1(1)7c b =-，11(1)56n n P =-．【解析】（1）X 的可能取值为1-，0，1．121(1)(1)233P x =-=-⨯=，12121(0)(1)(1)23232P x ==⨯+-⨯-=，121(1)(1)236P x ==⨯-=．∴X 的分布列为（2）①由（1）知，116P =， 经过两轮投球甲的累计得分高有两种情况：一是两轮甲各得1分； 二是两轮有一轮甲得0分，有一轮甲得1分，∴12211117C ()()662636P =⨯+=，经过三轮投球，甲的累计得分高有四种情况：一是三轮甲各得1分；二是三轮有两轮各得1分，一轮得0分；三是1轮得1分，两轮各得0分；四是两轮各得1分，1轮得1-分，∴322122233331111111()C ()()C ()()C ()()6626263P =+++．②由11i i i i P aP bP cP +-=++，知1111i i i a cP P P b b+-=+--， 将00P =，116P =，2736P =，343216P =代人，求得617a b =-，117c b =-， ∴6(1)7a b =-，1(1)7c b =-， ∴116177i i i P P P +-=+，∴117166i i i P P P +-=-．∴111()6i i i i P P P P +--=-，∵1016P P -=，∴1{}n n P P --是等比数列，首项和公比都是16． 116n n n P P --=，∴01021111(1)1166()()()(1)15616n n n n nP P P P P P P P --=+-+-++-==--． 22．【答案】（1）()2121:1x y C +-=，20C y -=；（2）[． 【解析】（1）1C 的直角坐标方程()2211x y +-=，2C0y -=． （2）由（1）知，1C 为以(0,1)为圆心，1r =为半径的圆，1C 的圆心(0,1)到2C的距离为1d ==<，则1C 与2C 相交，P 到曲线2C 距离最小值为0，最大值为d r +=， 则点P 到曲线2C距离的取值范围为[． 23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．【解析】证明：（1）∵0a >，0b >，23a b +=，∴320a b =->，302b <<， ∴222222699(32)51295()555a b b b b b b +=-+=-+=-+≥，∴当65b =，3325a b =-=时，22a b +的最小值为95，∴2295a b +≥．（2）∵0a >，0b >，23a b +=，∴3≥908ab <≤，当且仅当322a b ==时，取等号，∴334a b ab +22(4)ab a b =+2[(2)4]ab a b ab =+-22819(94)94()4()168ab ab ab ab ab =-=-=--， ∴98ab =时，334a b ab +的最大值为8116，∴3381416a b ab +≤．小课堂：如何培养自主学习能力？自主学习是与传统的接受学习相对应的一种现代化学习方式。