4.6 利用相似三角形测高

4.6利用相似三角形测高度教学设计1.问题：相似三角形的判定方法有哪些？2.胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.方法1：利用阳光下的影子选一名同学直立在旗杆旁边，在同一时刻下测出该同学和旗杆的影子长，并测量出该同学的身高，根据上面的数据，你能求出旗杆的高度吗？解：∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴ABCD =BEDB,即CD=AB∙BDBE代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．归纳总结：测高方法一：利用阳光下的影子测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.物1高：物2高 = 影1长：影2长方法2：利用标杆观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。

根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H.可得△DHF∽△DGC∴FHCG =DHDG∴CG=FH∙DHDH∴BC =GC+GB=GC+AD归纳总结：构造相似：△AME∽△ANC.找比例：AM：AN=EM：CN需要测量的数据：人与标杆的距离AM人与旗杆的距离AN标杆的高度EF方法3：利用镜子的反射如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。

测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。

4.6利用相似三角形测高——九年级数学北师大版(2012)上册课时优化训练1.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学著作《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由示意图获得.设井深为x 尺，所列方程正确的是( )A. B.C. D.2.图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面为( )A. B. C. D.3.如图，小明探究课本“综合与实践”板块“制作视力表”的相关内容：当测试距离为时，标准视力表中最大的“E”字的高度为，当测试距离为时，最大的“E”字的高度为( )A. B. C. D.4.如图，把一根长为的竹竿AB斜靠在石坝旁，量出竿长处离地面的高度为，则石坝的高度为( )A. B. C. D.5.如图,要测量楼高,在距为的点B处竖立一根长为的直杆,恰好使得观测点E、直杆顶点A和高楼顶点N在同一条直线上.若,,则楼高是( )A. B. C. D.6.凸透镜成像的原理如图所示，，若物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，则该物体缩小为原来的( )A. B. C. D.7.如图，左、右并排的两棵大树的高分别为，，两树底部的距离，王红估计自己眼睛距地面1.6 m.她沿着连接这两棵树的一条水平直路l从左向右前进，在前进的过程中，她发现看不到右边较高的树的顶端C.此时，她与左边较低的树的水平距离( )A.小于8 mB.小于9 mC.大于8 mD.大于9 m8.如图,在中,,,点P从点B出发以1个单位/s的速度向点A运动,同时点Q从点C出发以2个单位/s的速度向点B运动.当以B,P,Q为顶点的三角形与相似时,运动时间为( )A. B. C.或 D.以上均不对9.据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了世界上第1个“小孔成像”的实验，阐释了光的直线传播原理，如图1所示.如图2所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰倒立的像的高度是，则蜡烛火焰的高度是____________cm.10.为测量旗杆的高度，小辉的测量方法如下：如图，将直角三角形硬纸板的斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上.测得米，米，目测点D到地面的距离米，到旗杆的水平距离米，按此方法，可计算出旗杆的高度为___________米.11.如图，用一个卡钳（，）测量某个零件的内孔直径，量得的长为，则的长为__________cm.12.在生活中我们常用杠杆原理撬动较重的物体,如图,有一圆形石块,要使其滚动,杠杆的端点C必须向上翘起5cm,若杠杆的长度为120cm,其中段的长度为20cm,则要使该石块滚动,杠杆的另一端点A必须向下压________cm.13.在学习了光的反射定律后,数学综合实践小组想利用光的反射定律(反射角等于入射角)测量池塘对岸一棵树的高度,测量步骤如下：①如图,在地面上的点E处放置一块平面镜(镜子大小忽略不计),小阳站在的延长线上,当小阳从平面镜中刚好看到树的顶点A时,测得小阳到平面镜的距离m,小阳的眼睛点C到地面的距离m；②将平面镜从点E沿的延长线移动6m放置到点H处,小阳从点D处移动到点G,此时小阳的眼睛点F又刚好在平面镜中看到树的顶点A,这时测得小阳到平面镜的距离m.请根据以上测量过程及数据求出树的高度.14.如图,某校教学楼的楼顶O处有一盏照明灯,教学楼前有三棵高度均为的小树、、.某天晚上,当照明灯O打开后,小树的影子为,小树的影子顶端恰好在小树的底部H处,通过测量可得,,已知,, ,点A,C,D,F,H在同一条直线上,请你计算教学楼的高度.答案以及解析1.答案：A解析：如图，设交于K，，，，.故选：A.2.答案：B解析：由题可知，第一个高脚杯盛液体的高度为：，第二个高脚杯盛液体的高度为：，因为液面都是水平的，图1和图2中的高脚杯是同一个高脚杯，所以图1和图2中的两个三角形相似，，，故选：B.3.答案：A解析：，，由题意，得，，即，，当测试距离为时，最大的“E”字的高度为.故选A.4.答案：A解析：如图，过点B作直线于点F，，，，，，，.故选A.5.答案：C解析：依题意,四边形,,都是矩形,∴,,,∵∴,∵∴∴即解得：∴,故选：C.6.答案：C解析：，，，四边形为矩形，，物体到焦点的距离与焦点到凸透镜中心线的距离之比为，，，，，，，，物体被缩小到原来的倍，故选：C.7.答案：A解析：如图，连接并延长交于点N，过N作于点M，，NM，HB，KD均垂直于直线I，，，；由题意知，四边形是矩形，则；设，则，，，，即，解得：；当王红刚好看到右边较高的树的顶端C时，她与左边较低的树的水平距离为，当她看不到较高的树的顶端C时，则她与左边较低的树的水平距离应小于；故选：A.8.答案：C解析：设运动时间为t s,由题意得：,,,,,点P从点B运动到点A所需时间为,点Q从点C运动到点B所需时间为,,,,①当时,则,即,解得,符合题意；②当时,则,即,解得,符合题意；③当时,则,即,解得,符合题意；④当时,则,即,解得,符合题意；综上,运动时间为或,故选：C.9.答案：4解析：设蜡烛火焰的高度是，由相似三角形的性质得，解得，即蜡烛火焰的高度是.10.答案：10.7解析：根据题意得，，，（米），（米）.11.答案：18解析：，，，，，，故答案为：18.12.答案：25解析：如图,,都与过点水平线垂直,垂足为M和N,即,∴,∵,,∴,∵要把C向上翘起5cm,∴,∵,∴,解得：,故答案为：25.13.答案：解析：由题意可知,,,,,∴,,∴,,∴,,∴,解得,,∴,答：树的高度为.14.答案：教学楼的高度为解析：由题意得,,∵,,,∴,∴,,∴,,∵,,∴,,∴,∴,∴,∴,答：教学楼的高度为.。

6 利用相似三角形测高知识点 1 利用阳光下的影子或标杆测高1．小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影长BA为15米(如图4－6－1)，同时在A处竖立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为( )A．10米 B．12米 C．15米 D．22.5米4－6－14－6－22．如图4－6－2，某校数学兴趣小组利用自制的直角三角形硬纸板DEF来测量操场旗杆AB的高度，他们通过调整测量位置，使斜边DF与地面保持平行，并使边DE与旗杆顶点A在同一直线上，已知DE＝0.5 m，EF＝0.25 m，目测点D到地面的距离DG＝1.5 m，到旗杆的水平距离DC＝20 m，则旗杆的高度为( )A．10 5 m B．(10 5＋1.5)mC．11.5 m D．10 m3．如图4－6－3，利用标杆BE测量建筑物的高度．若标杆BE的高为1.5 m，测得AB ＝2 m，BC＝14 m，则楼高CD为________ m.4－6－34－6－44．如图4－6－4，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为________m.图4－6－55．如图4－6－5，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度．测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G；使斜边DF与点A在同一条直线上．测得边DE离地面的高度GB为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m．已知DE＝30 cm，EF＝20 cm，那么树AB的高度为________m.6．某学校的学生为了对小雁塔有基本的认识，在老师的带领下对小雁塔进行了测量．测量方法如下：如图4－6－6，间接测得小雁塔底部点D到地面上一点E的距离为115.2 m，小雁塔的顶端为点B，且BD⊥DE，在点E处竖直放一个木棒，其顶端为C，CE＝1.72 m，在DE的延长线上找一点A，使A，C，B三点在同一直线上，测得AE＝4.8 m．求小雁塔的高度．图4－6－6知识点 2 利用镜子的反射测高7．如图4－6－7是一名同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝2 m，BP＝3 m，DP＝12 m，那么该古城墙的高度CD为________ m.4－6－74－6－88．为了测量校园内一棵高不可攀的树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图4－6－8所示的测量方案，把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m．(精确到0.1 m)9. 如图4－6－9，一束平行的光线从教室窗户射入教室，测得光线与地面所成的角∠AMC＝30°，窗户在教室地面上的影长MN＝ 3 m，窗户的下檐到教室地面的距离BC＝2 m(点M，N，C在同一直线上)，则窗户的高AB为( )A．2 m B．1.8 m C．1 m D．1.5 m4－6－94－6－1010.数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的高度，下午课外活动时测得一根长为1 m的竹竿的影长是0.8 m，同一时刻，她发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙上(如图4－6－10)，她先测得留在墙壁上的影高为1.2 m，又测得地面上的影长为2.6 m，请你帮她算一下，树高是( )A．3.25 m B．4.25 mC．4.45 m D．4.75 m11．如图4－6－11所示，一电线杆AB的影子分别落在地面和墙壁上，同一时刻，小明竖起一根1米高的标杆(PQ)，量得其影长(QR)为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地面上的影子BD长为3米，墙壁上的影子CD高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高为( )A．5米 B．6米 C．7米 D．8米4－6－11 4－6－1212.如图4－6－12，某水平地面上建筑物的高度为AB，在点D和点F处分别竖立高是2 m的标杆CD和EF，两标杆相隔52 m，并且建筑物AB、标杆CD和EF在同一竖直平面内，从标杆CD后退2 m到点G处，在G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆FE后退4 m到点H处，在H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E在同一条直线上，则建筑物的高是________m.13．如图4－6－13所示，徐彪同学所在的学习小组欲测量校园里的一棵大树的高度，他们选徐彪作为观测者，并在徐彪与大树之间的地面上直立一根高为2 m的标杆CD，然后徐彪开始调整自己的位置，当他看到标杆顶端C与树的顶端E重合时，就在该位置停止不动，这时其他同学通过测量，发现徐彪的脚离标杆底部的距离为1 m，离大树底部的距离为9 m，徐彪的眼睛离地面的高度为1.5 m，那么大树EF的高为多少？图4－6－1314．同学们为了测出学校旗杆AB的高度，设计了两种方案，如图4－6－14所示，测得图①中，BO＝60米，OD＝3.4米，CD＝1.7米；图②中，CD＝1米，FD＝0.6米，EB＝18米．请你任选其中的一种方案．(1)说明其运用的物理知识；(2)利用同学们实测的数据，计算出旗杆的高度．图4－6－14详解1．A2．C [解析] ∵∠FDE ＝∠ADC ＝30°，∠DEF ＝∠DCA ＝90°，∴△DEF ∽△DCA ，∴DECD＝EF AC ，即0.520＝0.25AC，解得AC ＝10(cm)．∵DF 与地面保持平行，目测点D 到地面的距离DG ＝1.5 m ，∴BC ＝DG ＝1.5 m ，∴旗杆的高度＝AC ＋BC ＝10＋1.5＝11.5(m)．3．12 [解析] 由题意易知△ABE ∽△ACD ，得BE CD ＝AB AC ＝216＝18，即1.5CD ＝18，解得CD ＝12(m)．4．1.4 [解析] 如图，由题意，得DE ∥BC ， 所以△AED ∽△ABC ，所以DE BC ＝AE AB ，即0.8h ＝44＋3，解得h ＝1.4(m)． 故答案为1.4. 5．5.46．解：由题意可得△AEC ∽△ADB ， 则AE AD ＝ECBD，故4.84.8＋115.2＝1.72BD，解得BD ＝43(m)． 答：小雁塔的高度为43 m.7．8 [解析] 如图，由题意可得∠APE ＝∠CPE ，∴∠APB ＝∠CPD . ∵AB ⊥BD ，CD ⊥BD ， ∴∠ABP ＝∠CDP ＝90°， ∴△ABP ∽△CDP ，∴AB CD ＝BP DP. ∵AB ＝2 m ，BP ＝3 m ，DP ＝12 m ， ∴2CD ＝312，∴CD ＝8 (m)．故答案为8. 8．5.2 9.C10．C [解析] 如图，根据竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得CB BD＝10.8，所以BD ＝0.96 m ，所以树在地面上的实际影长是0.96＋2.6＝3.56(m)，再利用竹竿的高与其影长的比值和树高与其影长的比值相同，得树高3.56＝10.8，所以树高＝4.45(m)．故选C.11．D [解析] 延长AC 交BD 的延长线于点E ，易知△CDE ∽△PQR ，∴CD PQ ＝DE QR ，即21＝DE0.5，∴DE ＝1(米)，∴BE ＝3＋1＝4(米)．又易知△ABE ∽△PQR ，∴AB PQ ＝BE QR ，即AB 1＝40.5，∴AB ＝8(米)． 12．54 [解析] 根据题意可得△CDG ∽△ABG ，△EFH ∽△ABH ，再根据相似三角形的对应边成比例列比例式计算得AB ＝54 m.13．解：如图所示，过点A 作AH ⊥EF ，垂足为H ，交CD 于点G .由题意得AB ⊥BF ，CD ⊥BF ，EF ⊥BF ， 故四边形ABFH 、四边形DGHF 都是矩形， ∴AB ＝GD ＝HF ，BF ＝AH ，BD ＝AG ，CD ∥EF ， ∴∠AGC ＝∠AHE ＝90°. 又∵∠CAG ＝∠EAH ， ∴△ACG ∽△AEH ，∴AG AH ＝CGEH， 即19＝2－1.5EH ，∴EH ＝4.5(m)， ∴EF ＝EH ＋HF ＝4.5＋1.5＝6(m)． 答：大树EF 的高为6 m. 14．解：选择图①中的方案．(1)运用的物理知识：入射角等于反射角． (2)由题意易知∠AOB ＝∠COD . 又因为∠ABO ＝∠CDO ＝90°， 所以△AOB ∽△COD ，所以AB CD ＝BO DO ，即AB 1.7＝603.4，所以AB ＝30(米)． 即旗杆的高度为30米．。