利用相似三角形测高

利用相似三角形测高教学设计一、教学目标：1.理解相似三角形的定义和性质。

2.掌握利用相似三角形测量高度的方法。

3.培养学生观察、分析和解决问题的能力。

4.增强学生对数学的兴趣和学习动力。

二、教学内容：1.相似三角形的定义和性质。

2.利用相似三角形测量高度的原理和方法。

3.涉及到的技巧和计算步骤。

三、教学过程：1.导入：向学生提出一个问题：如何测量一栋高楼的高度，不能使用工具。

引导学生思考，探索解决办法。

2.知识点介绍：介绍相似三角形的定义和性质。

解释相似三角形的边对应比例、角对应相等这两个性质。

3.实例分析：引导学生观察，利用相似三角形的原理解决该问题。

设高楼的高度为x，根据相似三角形的定义，可以得出以下比例关系：5/0.6=x/1.84.计算过程：学生自行计算并得出高楼的高度x=9m。

5.实践应用：提供更多的类似问题，让学生自行分析和计算。

6.拓展应用：引导学生观察，利用相似三角形的原理解决该问题。

设高楼的高度为x，根据相似三角形的定义，可以得出以下比例关系：AB/BC=x/8学生自行计算并得出高楼的高度x=8√3m。

7.总结：总结相似三角形测量高度的方法和步骤，强调观察和分析问题的重要性。

四、师生互动：教师与学生进行互动，师生共同解决问题，在学生解答问题的过程中给予肯定和鼓励。

五、巩固练习：在课后布置一些相关的练习题，让学生巩固所学知识和技巧。

六、评价反馈：对学生解答的问题进行评价和反馈，及时纠正错误和强调重点。

七、教学资源：黑板、白板、投影仪、实物模型等。

4.6利用相似三角形测高度教学设计1.问题：相似三角形的判定方法有哪些？2.胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家，天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度，你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？每个星期一早晨学校都会举行升旗仪式，同学活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度.活动方式：分组活动、全班交流研讨.活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具.方法1：利用阳光下的影子选一名同学直立在旗杆旁边，在同一时刻下测出该同学和旗杆的影子长，并测量出该同学的身高，根据上面的数据，你能求出旗杆的高度吗？解：∵太阳的光线是平行的，∴AE∥CB，∴∠AEB＝∠CBD，∵人与旗杆是垂直于地面的，∴∠ABE＝∠CDB，∴△ABE∽△CDB，∴ABCD =BEDB,即CD=AB∙BDBE代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．归纳总结：测高方法一：利用阳光下的影子测量不能到达顶部的物体的高度，可以用“在同一时刻物高与影长成正比例”的原理解决.测量数据：身高AC、影长BC、旗杆影长EF.物1高：物2高 = 影1长：影2长方法2：利用标杆观测者适当调整自己的位置，使旗杆顶端、标杆顶端、自己的眼睛恰好在一条直线上。

根据测量数据，你能求出旗杆的高度吗？过眼睛所在点D作旗杆BC的垂线交旗杆BC于G，交标杆EF于H.可得△DHF∽△DGC∴FHCG =DHDG∴CG=FH∙DHDH∴BC =GC+GB=GC+AD归纳总结：构造相似：△AME∽△ANC.找比例：AM：AN=EM：CN需要测量的数据：人与标杆的距离AM人与旗杆的距离AN标杆的高度EF方法3：利用镜子的反射如图，每个小组选一名同学作为观测者，在观测者与旗杆之间的地面上平放一面镜子，在镜子上做一个标记，观测者看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端在镜子中的像与镜子上的标记重合。

测量所需的数据，根据所测的结果，你能求出旗杆的高度吗？说明你的理由。

《利用相似三角形测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本课时作业设计的目标是使学生掌握相似三角形的概念和性质，并能够利用相似三角形进行物体高度的测量。

通过本课时的作业练习，培养学生观察、分析、解决问题的能力，提高学生的空间想象力和数学应用能力。

二、作业内容本课时的作业内容主要包括以下几个方面：1. 理论学习：学生需复习相似三角形的定义、性质和判定方法，理解相似三角形在测高中的应用。

2. 实践操作：学生需通过实际操作，利用相似三角形的原理，选择合适的测量工具（如卷尺、角度计等）进行物体高度的测量。

具体任务包括：（1）在教室或校园内选择合适的地点，根据自然光线和已知高度物体（如树木、旗杆等）建立观测点。

（2）使用卷尺测量已知高度物体的实际长度和其在某一角度的视高，并记录数据。

（3）利用相似三角形的原理，计算未知高度物体的高度。

3. 作业记录：学生需将实践操作过程中的观察数据、计算过程和结果记录在作业本上，并注明测量时间和地点。

三、作业要求本课时的作业要求如下：1. 学生在理论学习时需认真听讲，掌握相似三角形的相关概念和性质。

2. 在实践操作中，学生需按照教师指导的步骤进行测量，并确保测量的准确性和安全性。

3. 学生在记录作业时需清晰、准确地记录数据和计算过程，字迹要工整，不得随意涂改。

4. 学生需在规定的时间内完成作业，并按时提交给教师。

四、作业评价本课时的作业评价将从以下几个方面进行：1. 理论学习掌握情况：评价学生对相似三角形相关概念和性质的掌握程度。

2. 实践操作能力：评价学生在实际测量中的操作能力、测量准确性和安全性等方面。

3. 作业记录情况：评价学生记录的清晰度、准确性和整洁度。

4. 提交情况和完成质量：评价学生是否按时提交作业，以及完成的质量和态度等方面。

五、作业反馈根据学生的作业完成情况，教师将进行针对性的作业反馈：1. 对掌握较好的学生进行表扬和鼓励，激励其继续努力。

2. 对存在问题的学生进行指导和帮助，指出其不足之处并给出改进建议。

利用相似三角形测高的三种方法
1.形似定理法：这个方法是利用相似三角形的三边成比例的性质来求
出物体与仪器距离（x）及物体的高度（h）的。

假设有一个类似于图中的
场景，物体AB的高度为h，相机CD离地面的距离为x，相机镜头视角下
的物体高度为y。

通过三角形相似关系可得：AD/CD=AB/BC，即AD=(CD/BC)*AB=x/h*AB。

所以物体与相机的距离为x=AD*BC/AB=h*BC/AB。

而物体的高度为
h=y*(AD+CD)/CD=y*BC/CD。

2.变换法：这个方法是通过将相机移动至两个不同的位置，同时拍摄
同一物体的两个照片来求出物体的高度。

如图，相机从C位置拍摄照片时，物体的高度为h1，相机从C’位置拍摄同一物体时，物体的高度为h2。

根据相似三角形原理，可得：h1/(x1+d)=h2/(x2+d)，其中d为相机
的移动距离。

所以，物体的高度可以表示为h2=h1*(x2+d)/(x1+d)。

3. 斜向测量法：这个方法是利用相似三角形的夹角相等的原理来测
量物体高度。

如图，相机以斜向的角度（α）拍摄物体的照片，由相似三
角形的夹角相等可得：h/L=ta nα，即物体的高度为h=L*tanα。

其中，L
为相机离物体的距离。

这三种方法都是利用相似三角形的性质来测量物体高度的，其中形似
定理法和变换法需要测量相机距离、相机移动距离等参数，斜向测量法则
需要知道相机与物体的夹角。

所以在不同的场景下，选择不同的方法来测
量物体高度，能有效提高测量的精度。

《利用相似三角形测高》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业设计旨在通过《利用相似三角形测高》的学习，使学生掌握相似三角形的性质及其在实际问题中的应用，特别是学会运用相似三角形测量物体高度的方法，增强学生的数学应用意识和实践能力。

二、作业内容作业内容主要分为以下几个部分：1. 理论知识复习：回顾相似三角形的定义、性质及其判定方法，为实际应用做好理论准备。

2. 实际问题分析：提供几个实际生活中可以利用相似三角形测高的场景，如测量树木、建筑物的高度等，让学生分析如何应用相似三角形的性质来解决这些问题。

3. 实践操作指导：指导学生如何选择合适的观测点，如何利用经纬仪或自制简易工具进行实地测量，并记录下观测数据。

4. 计算方法演练：提供具体的问题情境，要求学生根据所测得的数据，运用相似三角形的性质，计算出目标物体的高度。

5. 总结与反思：学生需对本次作业进行总结，思考在实际操作中遇到的问题及解决方法，以及在运用数学知识解决实际问题过程中的心得体会。

三、作业要求1. 学生需认真复习相似三角形的理论知识，确保在实践操作中有扎实的理论基础。

2. 在选择观测点和进行实地测量时，要保证观测点的选择合理，测量数据准确无误。

3. 在计算目标物体高度时，要严格按照相似三角形的性质进行计算，不得随意更改计算方法或数据。

4. 总结与反思部分需真实反映学生在实际操作过程中的体会和收获，以及遇到的问题和解决方法。

5. 作业需按时完成，并保持字迹清晰、格式规范。

四、作业评价1. 教师将对学生的学习态度、实践操作能力、计算准确性等方面进行评价。

2. 评价将结合学生的理论复习情况、实地测量的准确性和计算方法的正确性等方面进行综合评定。

3. 对于表现优秀的学生，教师将给予表扬和鼓励；对于存在问题的学生，教师将给予指导和帮助，促进其进步。

五、作业反馈1. 教师将对学生的作业进行详细批改，指出存在的问题及改进方向。

2. 学生需根据教师的反馈意见进行反思和改正，并调整自己的学习方法和策略。

[初中数学]《利用相似三角形测高》一、教材分析(1.1)教材地位和作用：本节课的内容是《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用，它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化为数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决。

通过对此问题的解决方案的探究，巩固相似三角形的判定和定义性质，渗透数形结合和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识。

(1.2)教学目标根据数学课程标准的要求和教学内容的特点，及学生的认知水平，确定本节课的教学目标如下：（1）知识目标：通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，加深对相似三角形的理解和认识。

（2）能力目标：通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，加强数形结合和建模的思想，提高解决实际问题的能力。

（3）情感目标：通过探索学习，体会数学来源于生活，又服务于生活，激发学习数学的兴趣。

(1.3)教学重点，难点根据以上的教材分析和教学目标剖析，我确定：（1）重点：理解用不同方法构造相似三角形测高的原理。

（2）难点：1、如何在操作步骤中发掘三角形相似的条件。

(如：利用太阳光是平行光线得到同位角相等；利用直立得到直角；利用镜面反射得到反射角=入射角；)2、没有相似三角形时如何构造相似三角形（例如：标杆测量法）二、学法分析(2.1)学情分析（1）学生的知识技能基础：学生在前面几节课中，学习了相似三角形的判定和性质，初步理解了相似三角形的特征，掌握了两个三角形相似的条件，具备解决实际问题的基本知识。

（2）学生活动经验基础：学生在相关知识的学习过程和实际生活中，已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的实际问题，获得了一些数学活动经验。

(2.2)学法指导倡导“问题探究法、自主学习法、合作探究法”，使学生逐步养成善于观察，乐于思考，勇于表达，勤于动手，的学习习惯。

三、教法分析在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。

第四章 图形的相似4.6 利用相似三角形测高精选练习一、单选题1．（2020·浙江嘉兴·八年级期末）直角三角形两条直角边长分别是5和12，则斜边上的高是（ ）A ．3013B ．6013C ．132D ．120132．（2021·云南省个旧市第二中学八年级期中）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D ，E 是AC 上两点，且AE ＝DE ，BD 平分∠EBC ，那么下列说法中不正确的是（ ）A ．BE 是△ABD 的中线B ．BD 是△BCE 的角平分线C ．∠1＝∠2＝∠3D ．BC 是△ABE 的高【答案】C【分析】根据三角形的高、中线、角平分线的定义对各选项分析判断后利用排除法求解．【详解】解：A 、AE DE =Q ，BE \是ABD D 的中线，正确；B 、BD Q 平分EBC Ð，BD \是EBC D 的角平分线，正确；C 、BD Q 是EBC D 的角平分线，EBD CBD \Ð=Ð，BE Q 是中线，EBD ABE \йÐ，123\Ð=Ð=Ð不正确，符合题意；D 、90C Ð=°Q ，BC \是ABE D 的高，正确．故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的角平分线，高线，中线的定义，熟记概念并准确识图是解题的关键．3．（2022·江苏·灌南县新知双语学校七年级阶段练习）如图，ABC V 中，AE 是中线，AD 是角平分线，AF 是高，则下列说法中错误的是（ ）A ．BE CE=B ．C CAF 90ÐÐ+=°C ．BAE CAE Ð=ÐD ．ABC ABES 2S =△△【答案】C 【分析】由中线的性质可得BE CE =，ABC ABE S 2S =△△，由角平分线的定义可得BAD CAD Ð=Ð；由AF 是ABC V 的高，可得C CAF 90ÐÐ+=°．【详解】解：AE Q 是中线，BE CE \=，ABC ABE S 2S =△△，故A 、D 说法正确；AD Q 是角平分线，BAD CAD ÐÐ\=，BAE CAE ÐÐ\¹，故C 说法错误；AF Q 是ABC V 的高，AFC 90Ð\=°，C CAF 90ÐÐ\+=°，故B 说法正确；故选：C ．【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形的角平分线，中线和高，明确概念是本题的关键．4．（2022·全国·九年级课时练习）如图，ABC V 的高CD 、BE 相交于O ，如果55A Ð=°，那么BOC Ð的大小为（ ）A ．35°B ．105°C ．125°D ．135°【答案】C 【分析】先根据三角形的内角和定理结合高的定义求得∠ABC+∠ACB 、∠ABE 、∠ACD 的度数，即可求得∠OBC+∠OCB 的度数，从而可以求得结果．【详解】解：∵∠A=55°，CD 、BE 是高∴∠ABC+∠ACB=125°，∠AEB=∠ADC=90°∴∠ABE=180°－∠AEB －∠A=35°，∠ACD=180°－∠ADC －∠A=35°∴∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB ）－（∠ABE ＋∠ACD ）=55°∴∠BOC=180º－（∠OBC+∠OCB ）=125°故选C ．【点睛】此题考查的是三角形的内角和定理和高，三角形的内角和定理是初中数学的重点，贯穿于整个初中数学的学习，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握．5．（2021·全国·八年级专题练习）如图，在ABC V 中，AD ，AE 分别是边BC 上的中线与高，8AE =，ABC V 的面积为24，则CD 的长为（ ）A．2B．3C．4D．56．（2021·全国·九年级专题练习）如图，△ABC中，AD是高，角平分线BE交AD于点F，若∠BAC=60°，∠C=70°，则∠DFB的度数为（ ）A．75°B．65°C．60°D．55°高线定义，余角关系性质是解题关键．二、填空题7．（2020·山东·胶州市第七中学九年级阶段练习）小明和小红在太阳光下行走，小明身高1.5m，他的影长2.0m，小红比小明矮30cm，此刻小红的影长为______m．8．如图，在高20米的建筑物CD的顶部C测得塔顶A的仰角为60°，测得塔底B的俯角为30°，则塔高AB = ______米；【答案】80【分析】过点C作CE⊥AB后，图中将有两个直角三角形．先在△BCE中，利用已知角的正切值求出CE，然后在△CEA中，利用已知角的正切值求出AE即可解决问题．【详解】9．我军侦察员在距敌方100m的地方发现敌方的一座建筑物，但不知其高度又不能靠近建筑物物测量，机灵的侦察员将自己的食E指竖直举在右眼前，闭上左眼，并将食指前后移动，使食指恰好将该建筑物遮住，如图所示.若此时眼睛到食指的距离约为40cm，食指的长约为8cm，则敌方建筑物的高度约是_______m.【答案】20【分析】由题意知△ABC∽△ADE，然后根据相似三角形对边的比与对应高的比相等列式求解即可.【详解】解：∵40cm=0.4m，8cm=0.08m∵BC∥DE，AG⊥BC，AF⊥DE．∴△ABC∽△ADE，∴BC：DE=AG：AF，∴0.08：DE=0.4：100，∴DE=20m．故答案为20．【点睛】本题只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的对应高的比等于相似比，列出方程，通过解方程求解即可．此题是实际应用题，解题时首先要理解题意，将实际问题转化为三角形相似问题求解；相似三角形的对应边成比例．10．（2022·全国·九年级单元测试）如图，小颖同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条边DE＝8cm，DF＝10cm，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB＝________m．三、解答题11．（2022·全国·九年级专题练习）如图，为了估计河的宽度，在河的对岸选定一个目标点P，在近岸取点Q和S，使点P、Q、S在一条直线上，且直线PS与河垂直，在过点S且与直线PS垂直的直线a上选择适当的点T，PT与过点Q且与PS垂直的直线b的交点为R．如果QS＝60m，ST＝120m，QR＝80m，求PQ的长．12．（2022·全国·九年级课时练习）下表是小明填写的实践活动报告的部分内容，请你借助小明的测量数据，计算小河的宽度．题目测量小河的宽度测量目标示意图相关数据BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝5m【答案】10m【分析】利用BC//DE，可得到△ABC∽△ADE，利用相似三角形的对应边成比例，可求出AB的长．一、填空题1．（2021·山东泰安·九年级期末）小明和他的同学在太阳下行走，小明身高1.4米，他的影长为1.75米，他同学的身高为1.6米，则此时他的同学的影长为__________米．2．（2022·全国·九年级单元测试）贺哲同学的身高1.86米，影子长3米，同一时刻金老师的影子长2.7米，则金老师的身高为________米（结果保留两位小数）。

利用相似三角形测高的三种方法方法一：影子测量法影子测量法是一种利用日光的投影效果来测量高度的方法。

这种方法需要在测量地点及其附近的已知高度点上安装标杆，然后利用地面上的标记点和标杆上的影子来确定两个相似三角形。

当太阳光照射到地面上时，标杆上的影子会呈现出一个固定的长度。

通过测量该影子的长度和标杆顶部到标记点的距离，可以得出两个相似三角形的对应边长比。

然后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。

方法二：测角法测角法是一种利用三角形的内角关系来测量高度的方法。

这种方法需要使用测角仪或经纬仪等仪器来测量两个角度，分别是测量点和未知高度点的水平角度和仰角。

然后，利用三角形的内角和为180度的性质，可以计算出其余的角度。

根据相似三角形的性质，可以得出两个相似三角形的边长比。

最后，通过比例关系计算出未知高度点的高度。

方法三：测距法测距法是一种利用距离和角度来测量高度的方法。

这种方法需要使用测距仪或测距仪等仪器来测量测量点与未知高度点之间的水平距离。

然后，使用同一台仪器测量测量点和未知高度点之间的仰角。

根据三角形的正弦定理，可以计算出未知高度点和测量点之间的垂直距离。

最后，通过测量点的高度和垂直距离，可以计算出未知高度点的高度。

在实际应用中，这些方法都需要注意一些因素，如仪器的精度、光线的影响和地形的变化等。

此外，需要选择合适的方法来适应不同的场景和需求。

因此，使用这些方法时应根据实际情况选择最合适的方法，并进行正确的计算和测量，以保证测量结果的准确性。