人教版九年级数学利用相似三角形测高

4.6利用相似三角形测高1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验；（重点）2.灵活运用三角形相似的知识解决实际问题.（难点）一、情景导入胡夫金字塔是埃及现存规模最大的金字塔，被誉为“世界古代八大奇迹之一”，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾经利用相似三角形的原理测量金字塔的高度.你能根据图示说出他测量金字塔的原理吗？二、合作探究探究点一：利用阳光下的影子测量高度【类型一】影子在同一平面上时高度的测量如图所示，身高为1.6m的某同学想测量学校旗杆的高度，当他站在C处时，正好站在旗杆影子的顶端处，已测得该同学在地面上的影长为2m，旗杆在地面上的影长为8m，那么旗杆的高度是多少呢？解析：同一时刻的太阳的光线应是平行的，人和旗杆都与地面垂直，因此可以通过相似三角形对应边成比例来求旗杆的高度.解：如图，用DC表示人的身高，EC 表示人的影长，AB表示旗杆的高度，BC表示旗杆的影长.由题意知DC＝1.6m，EC＝2m，BC＝8m.∵太阳光AC∥DE，∴∠E＝∠ACB.又∵∠B＝∠DCE＝90°，∴△ABC∽△DCE.∴ABDC＝BCCE，即AB1.6＝82.解得AB＝6.4（m）.故旗杆的高度是6.4m.方法总结：同一时刻，对于都垂直于地面的两个物体来说，它们的高度之比等于它们的影长之比，即物体的高度之比与其影长之比相同.【类型二】影子不在同一平面上时高度的测量如图①，在离某建筑物CE4m处有一棵树AB，在某时刻，1.2m的竹竿FG 垂直地面放置，影子GH长为2m，此时树的影子有一部分落在地面上，还有一部分落在建筑物的墙上，墙上的影子CD高为2m，那么这棵树的高是多少？解：方法一：延长AD，与地面交于点M，如图②.根据同一时刻，物体的影长和它的高度成正比，所以ABBM＝CDCM＝FGGH.因为CD＝2m，FG＝1.2m，GH＝2m，BC＝4m，所以CM＝103m，所以BM＝BC＋CM＝223（m ）. 所以AB 223＝1.22，AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法二：过点D 作AB 的垂线，交AB 于点M ，如图③.由题意可知AM DM ＝FGGH，而DM ＝BC ＝4m ，AM ＝AB －CD ＝（AB －2）m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法三：过点C 作AD 的平行线交AB 于点P ，如图④.由题意可知BP BC ＝FGGH ，而BP ＝AB －CD＝（AB －2）m ，BC ＝4m ，FG ＝1.2m ，GH ＝2m ，所以AB －24＝1.22，解得AB ＝4.4（m ）.故这棵树的高是4.4m.方法总结：在图上补全影子或构造相似三角形是求出树高的关键.三种方法的解题依据实质上都是应用了相似三角形的性质，但其解题的简便性不同，显然方法二和方法三比方法一简单.探究点二：利用标杆测量高度如图，小明为了测量一棵树CD的高度，他在距树24m 处立了一根高为2m的标杆EF ，然后小明前后调整自己的位置，当他与树相距27m 的时候，他的眼睛、标杆的顶端和树的顶端在同一条直线上.已知小明的眼高1.6m ，求树的高度.解析：人、树、标杆是相互平行的，添加辅助线，过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，则可得△AEM ∽△ACN .解：过点A 作AN ∥BD 交CD 于N ，交EF 于M ，因为人、标杆、树都垂直于地面，所以∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDF ＝90°， 所以AB ∥EF ∥CD ，所以∠EMA ＝∠CNA .因为∠EAM ＝∠CAN ，所以△AEM ∽△ACN ，所以EM CN ＝AM AN. 因为AB ＝1.6m ，EF ＝2m ，BD ＝27m ，FD ＝24m ，所以2－1.6CN ＝27－2427，所以CN ＝3.6（m ），所以CD ＝3.6＋1.6＝5.2（m ）. 故树的高度为5.2m. 方法总结：利用标杆测量物体的高度时，必须使观测者的眼睛、标杆顶端、建筑物顶端在同一条直线上.探究点三：利用镜子的反射测量高度为了测量一棵大树的高度，某同学利用手边的工具（镜子、皮尺）设计了如下测量方案：如图，①在距离树AB 底部15m 的E 处放下镜子；②该同学站在距离镜子1.2m 的C 处，目高CD 为1.5m ；③观察镜面，恰好看到树的顶端.你能帮助他计算出大树的大约高度吗？解析：借助物理学知识：入射角等于反射角，法线垂直于水平面（镜面），然后利用相似三角形的知识求解.解：如图，∵∠1＝∠2， ∠DCE ＝∠BAE ＝90°， ∴△DCE ∽△BAE .∴DC BA ＝CE AE ，即1.5BA ＝1.215， 解得BA ＝18.75（m ）. 因此，树高约为18.75m. 方法总结：利用镜子的反射测量物体的高度时，利用入射角等于反射角，等角的余角相等产生相似三角形，利用相似三角形的性质求树高.三、板书设计利用相似三角形测高⎩⎨⎧利用阳光下的影子测量高度利用标杆测量高度利用镜子的反射测量高度通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何图形的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想，培养学生的观察、归纳、建模、应用能力，体验解决问题策略的多样性.在增强相互协作的同时，激发学习数学的兴趣.课题：4.6利用相似三角形测高课型：新授课年级：九年级教学目标：1．通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，提高综合运用三角形相似的判定条件和性质解决问题的能力，发展数学应用意识，加深对相似三角形的理解和认识．2．在分组合作活动以及全班交流的过程中，进一步积累数学活动经验和成功的体验，增强学习数学的自信心．3．情感与态度：理解数学模型来源生活，又为解决生活中的某一问题而服务，体会数学与实际生活的紧密联系，培养学生积极的进取精神，增强学生数学学习的自信心．实现学生之间的交流合作，体现数学知识解决实际问题的价值.教学重点与难点：重点：1．综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题.2．有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.难点：把生活中的问题转化为数学问题，利用工具构造相似三角形模型.关键：抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决．课前准备：多媒体课件．教学过程:一、复习回顾，引出课题活动内容：问题：请同学们回忆判定两三角形相似的条件有哪些？处理方式：由一名学生口答：对应角相等，两三角形相似；对应边成比例，两三角形相似；有两组对应边成比例且其夹角相等，两三角形相似．今天我们要学一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度、大树的树高、楼房等——板书课题.活动课题：利用相似三角形的有关知识测量旗杆（或路灯杆）的高度．活动方式：分组活动、全班交流研讨．活动工具：小镜子、标杆、皮尺等测量工具．设计意图：回顾复习三角形相似判定定理，为本节课奠定基础，同时揭示本节课课题，明确目标．二、活动探究，体验方法方法1：利用阳光下的影子（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．处理方式：由小组交流、体会操作方法，把生活中的问题转为数学模型．教师注意点拨：把太阳的光线看成是平行的，构造出相似三角形进而利用三角形相似得出比例式．示意图：说明：AE 、BC 表示光线，DC 表示旗杆，EB 表示人影长，AB 表示身高，BD 表示杆影长．∵太阳的光线是平行的， ∴AE ∥CB ． ∴∠AEB ＝∠CBD ．∵人与旗杆是垂直于地面的， ∴∠ABE ＝∠CDB ． ∴△ABE ∽△C BD ．∴BDBECD AB =． 即CD =BEBDAB ⋅．因此，只要测量出人的影长BE ，旗杆的影长BD ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度了．设计意图：设置贴近学生生活的情景问题，使学生置身其中，提高学生的注意力，从而达到更有效的激发学生的情趣，使学生很快的进入学习状态． 方法2:利用标杆测量旗杆的高度（原理：这是间接运用相似三角形的方法）操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．处理方式：由小组交流、理解、体会操作方法，在教师引导下构造出相似三角形，了解可测出的数量，并完成解题过程．教师提醒用此方法时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直．示意图：如图，过点A 作AN ⊥DC 于N ，交EF 于M ．点拨：∵人、标杆和旗杆都垂直于地面，∴∠ABF ＝∠EFD ＝∠CDH ＝90°．∴人、标杆和旗杆是互相平行的． ∵EF ∥CN ，∴∠1＝∠2． ∵∠3＝∠3，△AME ∽△ANC ， ∴CNEMAN AM =． ∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM 都已测量出，∴能求出CN ．∵∠ABF ＝∠CDF ＝∠AND ＝90°， ∴四边形ABND 为矩形． ∴DN ＝AB ．∴能求出旗杆CD 的长度．设计意图：学生从中感受到相似三角形的构造方法，同时复习应用了相似三角形的判定方法．体会数学来源于生活并服务于生活．方法3：利用镜子的反射（原理：这是直接运用相似三角形的方法）．操作方法：选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．处理方式：学生先独立思考体会操作方法，在教师引导下理解“入射角＝反射角”这一物理知识，并根据相似三角形完成解题过程．教师引导学生如何根据测量的数据及相似三角形的知识求解，代入测量数据即可求出CD 的长度示意图：∵入射角＝反射角， ∴∠AEB ＝∠CED ．∵人、旗杆都垂直于地面， ∴∠B ＝∠D ＝90°．∴△EAB ∽△ECD ． ∴DEBECD AB =．即 CD =BEDEAB ． 因此，测量出人与镜子的距离BE ，旗杆与镜子的距离DE ，再知道人的身高AB ，就可以求出旗杆CD 的高度．设计意图：结合物理上的知识“入射角＝反射角”得到相似三角形，将物理与数学相结合，体会知识服务于生活这一理念．活动内容1：我们在应用以上几种测量方法时要注意哪几点？处理方式：学生总结归纳．运用方法1时可以把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高．运用方法2时观测者的眼睛必须与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度．运用方法3时应注意光线的入射角等于反射角的现象．活动内容2：同学们经历了上述三种方法，你还能想出哪些测量旗杆高度的方法？ 处理方式：引导学生积极参与，在各人独立思考的基础上，充分交流，集思广益．思路点拔：1．一名同学作为观测者水平拖着一个含有45°角的直角三角板，适当调整自己所处位置，当旗杆的顶端、三角板的斜面与眼睛恰好在同一条直线上时其他同学立即测出观测者的脚到旗杆底部的距离以及观测者的高度，就能求出旗杆的高度．2．拿一根知道长度的直棒，手臂伸直，不断调整自己的位置，使直棒刚好完全挡住旗杆，量出此时人到旗杆的距离、人手臂的长度和棒长，就可以利用三角形相似来进行计算．活动内容3：上述几种测量方法各有哪些优缺点？ 处理方式：交流、补充，归纳总结． 参考答案：三种测量方法的优点是简单易行，无需复杂的测量工具．方法1最好操作，只受太阳光的限制，在有太阳光的前提下选择方法1较好，方法2与方法3相比，操作过程相差不多，但从计算过程来看，选择方法3较好．缺点：误差较大、需多人合作．设计意图：通过动手实践、合作探究、交流讨论，使学生经历发现知识的过程，获得分析和解决问题的能力，变“学会”为“会学”，获得广泛的数学活动经验，从而成为学习的主人．三、应用新知，解决问题1．高4米的旗杆在水平地面上的影子长为6米，此时测得附近一个建筑物的影长为24米，则该建筑物的高度是______________米．2．如图是小明设计用手电筒测量某建筑物高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到该建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该建筑物的高度是（）A．6米B．8米C．18米D．24米第2题图3．如图，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M、颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A 恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距CD＝1.25 m，颖颖与楼之间的距离DN＝30 m，颖颖的身高BD＝1.6 m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC＝0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出该住宅楼的高度吗？第3题图处理方式：学生对于1、2两题学生较容易得出答案，第3题有难度，要求学生先独立思考，再合作交流，集思广益．师生共同完成第3题的书写过程教师找学生口述过程．解：过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F．由已知可得FN＝ED＝AC＝0.8 m，AE ＝CD＝1.25 m，EF＝DN＝30 m，∠AEB＝∠AFM＝90°．又∠BAE＝∠MAF，∴△ABE∽△AMF．∴BEMF＝AEAF.．即1.6－0.8MF＝1.251.25＋30.解得MF＝20.∴MN＝MF＋FN＝20＋0.8＝20.8(m)．所以该住宅楼的高度为20.8 m.设计意图：本题组注重知识点的直接应用，通过练习，巩固对本节课知识的理解，更好的应用相似三角形的有关知识解决相关问题.四、盘点收获，总结串联通过本节课的学习，你有哪些收获？有何感想？你学会了哪些方法？设计意图：过让学生积极反思所学，大胆发言，谈收获或困惑，目的是让学生对本节课所学的几个方面的专题作一个条理的，清晰的认识，从而揭示问题的本质，养成数学思考和反思总结的习惯．五、达标检测，反馈矫正1．旗杆的影子长6米，同时测得旗杆顶端到其影子顶端的距离是10米，如果此时附近小树的影子长为3米，那么小树的高是___________米．2．如图，AB表示一个窗户的高，AM 和BN表示射入室内的光线，窗户的下端到地面的距离BC=1米，已知某一时刻BC在地面的影长CN=1.5米，AC在地面的影长CM=4.5米，求窗户的高度．处理方式：学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．设计意图：学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．六、布置作业，落实目标基础题：助学4.6不带星号的．提高题：助学4.6带星号的．实践题：任务：全班同学每五人一个小组，选出组长，分头到户外自行选择你感兴趣的测量对象进行实际的测量，如旗杆、楼房、树、电线杆等并将结果记录下来．编外侦探：一盗窃犯于夜深人静之时潜入某单位作案，该单位的自动摄像系统摄下了他作案的全过程．请你为警方设计一个方案，估计该盗窃犯的身高．设计意图：通过做题加深对知识的理解，进一步巩固本节知识．课外习题提升学生动手实践能力，更好的将知识应用于生活．板书设计：§4.6 利用相似三角形测高方法1：方法2：方法3：题组练习投影区学生活动区初中数学利用相似三角形测高专题一．选择题（共5小题）1．（•深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米2．（•崇明县一模）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张3．（聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45mD．4.75m4．（张家口二模）如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m5．（保亭县模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米二．填空题（共4小题）6．（北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m，那么这根旗杆的高度为m．7．（•浦东新区一模）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD的高度是米．8．（青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为米．9．（天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是米．三．解答题（共1小题）10．（陕西）晚饭后，小聪和小军在社区广场散步，小聪问小军：“你有多高？”小军一时语塞．小聪思考片刻，提议用广场照明灯下的影长及地砖长来测量小军的身高．于是，两人在灯下沿直线NQ移动，如图，当小聪正好站在广场的A点（距N点5块地砖长）时，其影长AD恰好为1块地砖长；当小军正好站在广场的B点（距N点9块地砖长）时，其影长BF恰好为2块地砖长．已知广场地面由边长为0.8米的正方形地砖铺成，小聪的身高AC为1.6米，MN⊥NQ，AC⊥NQ，BE ⊥NQ．请你根据以上信息，求出小军身高BE的长．（结果精确到0.01米）初中数学利用相似三角形测高专题参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（•深圳模拟）如图，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为（）A．1.5米B．2.3米C．3.2米D．7.8米【考点】相似三角形的应用．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【解答】解：∵同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似，∴=，∴=，∴BC=×5=3.2米．故选：C．【点评】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．2．（•崇明县一模）如图所示，一张等腰三角形纸片，底边长18cm，底边上的高长18cm，现沿底边依次向下往上裁剪宽度均为3cm的矩形纸条，已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是（）A．第4张B．第5张C．第6张D．第7张【考点】相似三角形的应用．【分析】根据相似三角形的相似比求得顶点到这个正方形的长，再根据矩形的宽求得是第几张．【解答】解：已知剪得的纸条中有一张是正方形，则正方形中平行于底边的边是3，所以根据相似三角形的性质可设从顶点到这个正方形的线段为x，则，解得x=3，所以另一段长为18﹣3=15，因为15÷3=5，所以是第5张．故选：B．【点评】本题主要考查了相似三角形的性质及等腰三角形的性质的综合运用；由相似三角形的性质得出比例式是解决问题的关键．3．（聊城模拟）如图，数学兴趣小组的小颖想测量教学楼前的一棵树的树高，下午课外活动时她测得一根长为1m的竹竿的影长是0.8m，但当她马上测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如图），他先测得留在墙壁上的影高为1.2m，又测得地面的影长为2.6m，请你帮她算一下，树高是（）A．3.25m B．4.25m C．4.45mD．4.75m【考点】相似三角形的应用．【分析】此题首先要知道在同一时刻任何物体的高与其影子的比值是相同的，所以竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同，利用这个结论可以求出树高．【解答】解：如图，设BD是BC在地面的影子，树高为x，根据竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得而CB=1.2，∴BD=0.96，∴树在地面的实际影子长是0.96+2.6=3.56，再竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同得，∴x=4.45，∴树高是4.45m．故选C．【点评】解题的关键要知道竹竿的高与其影子的比值和树高与其影子的比值相同．4．（张家口二模）如图，铁路道口的栏杆短臂长1m，长臂长16m．当短臂端点下降0.5m 时，长臂端点升高（杆的宽度忽略不计）（）A．4m B．6m C．8m D．12m【考点】相似三角形的应用．【分析】栏杆长短臂在升降过程中，将形成两个相似三角形，利用对应变成比例解题．【解答】解：设长臂端点升高x米，则=，∴解得：x=8．故选；C．【点评】此题考查了相似三角形在实际生活中的运用，得出比例关系式是解题关键．5．（保亭县模拟）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=8米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）A．9.5米B．9米C．8米D．7.5米【考点】相似三角形的应用．【分析】根据题意，可利用平行线分线段成比例求解线段的长度．【解答】解：由题意可得，BE∥CD，所以=，即=，解得CD=7.5（米），故选：D．【点评】此题主要考查了相似三角形的应用，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题关键．二．填空题（共4小题）6．（北京）在某一时刻，测得一根高为1.8m 的竹竿的影长为3m，同时测得一根旗杆的影长为25m ，那么这根旗杆的高度为15 m．【考点】相似三角形的应用．【分析】根据同时同地物高与影长成正比列式计算即可得解．【解答】解：设旗杆高度为x米，由题意得，=，解得x=15．故答案为：15．【点评】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比，需熟记．7．（•浦东新区一模）如图是小明在建筑物AB上用激光仪测量另一建筑物CD高度的示意图，在地面点P处水平放置一平面镜，一束激光从点A射出经平面镜上的点P反射后刚好射到建筑物CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=15米，BP=20米，PD=32米，B、P、D在一条直线上，那么建筑物CD 的高度是24米．【考点】相似三角形的应用．【分析】由已知得△ABP ∽△CDP，则根据相似形的性质可得=，解答即可．【解答】解：由题意知：光线AP与光线PC，∠APB=∠CPD，则Rt△ABP∽Rt△CDP，故=，解得：CD==24（米）．故答案为：24．【点评】本题考查了平面镜反射和相似三角形的应用，根据题意得出△ABP∽△CDP是解题关键．8．（青海）如图，为了测量一水塔的高度，小强用2米的竹竿做测量工具，移动竹竿，使竹竿、水塔的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时，竹竿与这一点相距8米，与水塔相距32米，则水塔的高度为10米．【考点】相似三角形的应用．【分析】由已知可得BC∥DE，因此△ABC∽△ADE，利用相似三角形的性质可求得水塔的高度．【解答】解：∵BC⊥AD，ED⊥AD，∴BC∥DE，∴△ABC∽△ADE，∴，即，∴DE=10，即水塔的高度是10米．故答案为：10．【点评】本题考查了考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是能利用比例式求解线段长．9．（天水）如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB=2米，BP=3米，PD=12米，那么该古城墙的高度CD是8米．【考点】相似三角形的应用．【分析】首先证明△ABP∽△CDP，可得=，再代入相应数据可得答案．【解答】解：由题意可得：∠APE=∠CPE，∴∠APB=∠CPD，∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴=，∵AB=2米，BP=3米，PD=12米，。

4.6利用相似三角形测高（九年级上册）一、学习目标通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的判定定理和相似三角形的定义解决问题，发展应用意识，加深对相似三角形的理解和认识。

二、当堂检测A组1．如图，在测量旗杆高度的数学活动中，某同学在脚下放了一面镜子，然后向后退，直到他刚好在镜子中看到旗杆的顶部．若眼睛距离地面AB＝1.5m，同时量得BC＝2m，CD＝12m，则旗杆高度DE＝（）A．6m B．8m C．9m D．16m2.高4m的旗杆在水平地面上的影长6m，此时测得附近一个建筑物的影子长24m，则该建筑物的高度是_________m.3．如图，为了测量山坡的护坡石坝高，把一根长为4.5m的竹竿AC斜靠在石坝旁，量出竿上AD长为1m 时，它离地面的高度DE为0.6m，则坝高CF为m．4.某生利用标杆测量学校旗杆的高度,标杆CD等于3m ,标杆与旗杆的水平距离BD= 15m ,人的眼睛距地面的高度EF =1.6m ,人与标杆CD的水平距离DF = 2m .则旗杆AB的高度为m．5.如图，某位同学通过调整自己的位置测量树高AB，设法使三角板的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面距离AC＝1.5m，人与树的距离CD＝8m，求树高AB的值．6．在数学活动课上，老师带领数学小组测量大树AB的高度．如图，数学小组发现大树离教学楼有5m，高1.4m的竹竿在水平地面的影子长1m，此时大树的影子有一部分映在地面上，还有一部分映在教学楼的墙上，墙上的影子高CD为2m，那么这棵大树高m．三、课后作业A组1.如图1，在同一时刻，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2.5米，一棵大树的影长为5米，则这棵树的高度为米。

2.如图2，阳光从教室的窗户射入室内，窗户框AB在地面上的影长DE=1.8 m，窗户下檐到地面的距离BC=1 m，EC=1.2 m，那么窗户的高AB为m.图1 图2 图3 图43.如图3，小明用自制的直角三角形纸板DEF测量树AB的高度. 测量时，使直角边DE保持水平状态，其延长线交AB于点G，使斜边DF与点A在同一条直线上，测得边DE离地面的高度DC为1.4 m，点D到AB的距离DG为6 m. 已知DE=30 cm，EF=20 cm，那么树AB的高度为m.4.如图4，为了测量操场上一棵树的高度，小明拿来一面小镜子，将它平放在离树底部F10 m的地面上C 处，然后他沿着树底部和镜子所在直线后退，当他退了4 m到达B处时，正好在镜中看见树的顶端E，若小明目高AB为1.6 m，则树的高度EF是m.5.某学校九年级一班进行课外实践活动,王嘉同学想利用太阳光测量楼高. 他带着皮尺来到一栋楼下,发现对面墙上有这栋楼的影子,针对这种情况,他设计了一种测量方案,具体测量情况如下:如图，王嘉边移动边观察,发现站到点E处时,可以使自己落在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重叠,且高度恰好相同.此时,测得王嘉落在墙上的影子高度CD=1.2m, CE=0.6m, CA=30m(点A、E、C在同一直线上) . 已知王嘉的身高EF 是1.7m ,请你帮王嘉求出楼高AB .C组：6.一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯的高度CD. 如图所示，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时的身高AM与影子长AE正好相等; 接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时的影子恰好是线段AB，并测得AB=1.25 m. 已知李明直立时的身高为1.75 m，求路灯的高度CD.4.7 利用相似三角形测高二、当堂检测A 组1．C 2. 16 3．2.7 4．13.5 5.5.5B 组6．9四、课后作业A 组:3. 3.24. 1.55. 5.46. 4B 组7. 26.2 C 组8. 849m。

第19讲 《图形的相似》培优训练4.6利用三角形相似测高学习目标：1、掌握测量旗杆高度的方法；2、通过设计测量旗杆高度的方案，学会由实物图形抽象成几何的方法，体会实际问题转化成数学模型的转化思想； 一、温故知新1． 相等， 成比例的两个三角形相似，相似比是1的两个三角形是 三角形。

2．相似三角形的判定：① 对应相等的两个三角形相似．②两边对应成 ，且 相等的两个三角形相似． ③三边 的两个三角形相似．3．相似三角形的性质：相似三角形的对应角 对应边 。

二、实例讲解：利用阳光下的影长测物体的高度 示意图如下图1、原理及证明：太阳光线是平行的通过构造“ ”三角形来测量物高。

解：∵阳光AE 阳光BC ， ∴∠AEB= ， 又∵∠ABE= =90° ∴△ ∽△ ， ∴CDAB= ，即CD= . 2、待测数据： 、 、 。

3、结论：同一时刻物高与影长成比例．．．．．．．．．．．．4.若学生身高是1.6m,其影长是2m,旗杆影长5m,求旗杆高度为 .AE 人影 人B物影物高CDE人D镜子 阳光AB物高三、合作探究： 1、利用标杆测物体的高度 示意图如下1、原理：利用光的直线传播通过构造“ ”三角形来测量物高。

2、证明：∵ AB CD ，∴∠FHD=∠ ， 又∵∠FDH=∠ ，∴△ ∽△ ，∴AGDH= ， ∵FH=EC ，ＦＧ＝ＢＥ，EF=HC=GB,DH=DC-HC , 即AGDH= ，AG= . ∴物高AB=AG+GB=AG+EF3、待测数据： 、 、 、 。

4.若学生眼睛距地面高度是1.6m,学生脚距镜子1m,镜子距旗杆底部是5m,求旗杆高度为 。

2、利用镜子的反射测物体的高度 示意图如下图1．原理：利用光线的入射角等于反射角构造出相似三角形 2.解：由入射角等于反射角， ∴∠ =∠∵∠ +∠ACB=∠ +∠ ECD =90° ∴∠ACB=∠ ， ∵∠ B=∠ D=90°， ∴△ ∽△ ， ∴DEAB= ，即AB= 。

人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》教案一. 教材分析人教版数学九年级下册《测量（金字塔高度、河宽）问题》这一节主要讲述了利用相似三角形来测量金字塔的高度和河宽。

在学习了相似三角形的性质和判定之后，学生已经具备了初步的数学建模能力，能够解决实际问题。

这一节内容旨在让学生将理论知识应用于实际问题，提高学生的动手实践能力和解决问题的能力。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形有一定的了解。

但是，将相似三角形应用于实际问题中，可能还需要一定的引导。

此外，学生可能对测量问题感到陌生，因此，在教学过程中，需要注重培养学生的实际操作能力和解决问题的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：理解相似三角形在实际测量问题中的应用，学会使用相似三角形解决金字塔高度和河宽的测量问题。

2.过程与方法：通过实际操作，培养学生的动手实践能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣，培养学生的团队协作能力和自主学习能力。

四. 教学重难点1.重点：相似三角形在实际测量问题中的应用。

2.难点：如何引导学生将相似三角形与实际测量问题相结合，提高学生的解决问题的能力。

五. 教学方法采用问题驱动的教学法，引导学生通过实际操作，将相似三角形应用于测量问题中。

在教学过程中，注重启发式教学，鼓励学生提出问题、分析问题、解决问题。

同时，采用小组合作的学习方式，培养学生的团队协作能力。

六. 教学准备1.教具：三角板、直尺、绳子等测量工具。

2.教学素材：金字塔和河宽的实际例子。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提问方式引导学生回顾相似三角形的性质和判定。

例如：“同学们，我们之前学习了相似三角形，那么相似三角形有哪些性质和判定方法呢？”2.呈现（10分钟）呈现金字塔和河宽的实际例子，让学生直观地了解测量问题的背景。

例如：“同学们，你们看看这个金字塔，我们如何才能求出金字塔的高度呢？”3.操练（10分钟）引导学生分组进行实际操作，使用测量工具（如三角板、直尺、绳子等）进行测量。

测量物高的常用方法和原理古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，测出了金字塔的高度，其所用方法是：在金字塔顶部的影子处立一根竹竿，借助太阳光线构成两个相似三角形，塔高与竿高之比等于两者影长之比，由此便可算出金字塔的高度.测量物体高度的方法究竟有哪些呢？本文试图作一简要归纳，供同学们参考：方法一：利用太阳光的影子测量示意图：如图1所示.测量数据：标杆高DE ，标杆影长EF ，物体影长BC.测量原理：因为太阳光AC∥DF，所以∠ACB＝∠DFE.又因为∠B＝∠DEF＝90°，所以△ABC∽△DEF. 所以EFBC DE AB =. 例1 阳阳的身高是1.6m ，他在阳光下的影长是1.2m ，在同一时刻测得某棵树的影长为3.6m ，则这棵树的高度约为 m.析解：设树高为x m ，则有6.32.16.1x =，解得8.4=x . 即这棵树的高度约为4.8m.方法二：利用标杆测量示意图：如图2所示.测量数据：眼（E ）与地面的距离EF ，人（EF ）与标杆（CD ）的距离DF ，人（EF ）与物体（AB ）的距离BF.测量原理：因为CD∥AB，所以△AEG∽△CEH.所以EHEG CH AG =. 所以AB ＝AG ＋EF.其中DF ＝FH ，BF ＝EG.例2 如图3，学校的围墙外有一旗杆AB ，甲在操场上的C 处直立3m 高的竹竿CD ，乙从C 处退到E 处，恰好看到竹竿顶端D 与旗杆顶端B 重合，量得CE=3m ，乙的眼睛到地面的距离FE=1.5m ，丙在C 1处也直立3m 高的竹竿C 1D 1，乙从E 处后退6m 到E 1处，恰好看到竹竿顶端D 1与旗杆顶端B 也重合，量得C 1E 1=4m ，求旗杆AB 的高.析解：设BG=x ，GM=y ， 由△FDM∽△FBG，可得yx +=335.1，① 由△F 1D 1N∽△F 1BG ，可得3635.1++=y x ，② 由①②联立方程组，解得⎩⎨⎧==.15,9y x 故旗杆AB 的高为9+1.5=10.5（m ）.方法三：利用镜子的反射测量示意图：如图4所示.测量数据：眼（D ）到地面的距离DE ，人（DE ）与平面镜（C ）的距离CE ，平面镜（C ）与物体的距离BC.测量原理：因为∠ACB＝∠DCE，∠B＝∠E＝90°，所以△ABC∽△DEC.所以CE BC DE AB =. 例3 如图5是小明设计用手电来测量某古城墙高度的示意图，点P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD 的顶端C 处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么该古城墙的高度是（ ）A ．6米B ．8米C ．18米D ．24米析解：由△ABP∽△CDP，可得PD PB CD AB =，即128.12.1=CD ，解得CD=8. 故选B.。

（一）教学知识点1.通过测量旗杆的高度的活动，巩固相似三角形有关知识，积累数学活动的经验.2.熟悉测量工具的使用技能，了解小镜子使用的物理原理.（二）能力训练要求1.通过测量活动，使学生初步学会数学建模的方法.2.提高综合运用知识的能力.（三）情感与价值观要求在增强相互协作的同时,经历成功的体验,激发学习数学的兴趣.●教学重点1.测量旗杆高度的数学依据.2.有序安排测量活动,并指导学生能顺利进行测量.●教学难点1.方法2中如何调节标杆,使眼睛、标杆顶端、旗杆顶部三点成一线.2.方法3中镜子的适当调节.●教学方法1.分组活动.2.交流研讨作报告.●工具准备小镜子、标杆、皮尺等测量工具各3套.●教具准备投影片一:（记作§4.6 A）投影片二:（记作§4.6 B）投影片三:（记作§4.6 C）投影片四:调查数据表.（记作§4.6 D）●教学过程Ⅰ.创设问题情境，引出课题［师］今天我们要做一节活动课,任务是利用三角形相似的有关知识,测量我校操场上旗杆的高度.请同学们回忆判定两三角形相似的有关条件.［生］两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相地提升自我 说明三种测量方法的数学原理.甲组:利用阳光下的影子.（出示投影片§4.6 A ）图①从图中我们可以看出人与阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子构成了两个相似三角形（如图①）,即△EAD ∽△ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆的影长均可测量得出，根据BC AD AB EA =可得BC=EA AD BA ⋅，代入测量数据即可求出旗杆BC 的高度.［师］有理有据.你们讨论得很成功.请乙组出代表说明方法2.乙组:利用标杆.（出示投影片§4.6 B)图②如图②，当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰好在一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G,交标杆EF 于H,于是得△DHF ∽△DGC.因为可以量得AE 、AB,观测者身高AD 、标杆长EF,且DH=AE ， DG=AB由DG DH GC FH =得GC=DH DG FH ⋅.网友可以在线阅读和下载这些文档：麦群超△DHF ∽△FMC∴由DH M FH MC = 可求得MC 的长.于是旗杆的长BC=MC+MB=MC+EF.乙组代表：如果这样的话，我认为测量观测者的脚到标杆底部距离与标杆底部到旗杆底部距离适合同学A 的做法.这样可以减少运算量.［师］你想得很周到，大家有如此出色的表现，老师感到骄傲，请丙组同学出代表讲解.图③［丙组］利用镜子的反射.（出示投影片§4.6 C ）这里涉及到物理上的反射镜原理，观测者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端C ′，∵△EAD ∽△EBC ′且△EBC ′≌△EBC ∴△EAD ∽△EBC,测出AE 、EB 与观测者身高AD ，根据BC AD EB AE =，可求得BC=AE AD EB ⋅. ［师］同学们清楚原理后，请按我们事先分好的三大组进行活动，为节省时间，每组分出三个小组分别实施三种方法，要求每小组中有观测员，测量员，记录员，运算员，复查员.活动内容是：测量我校操场上的旗杆高度.［同学们紧张有序的进行测量］［师］通过大家的精诚合作与共同努力，现在各组都得到了要求数据和最后结果，请各组出示结果，并讨论下列问题：对照上表，结合各组实际操作中遇到的问题，我们综合大家讨论情况做出如下结论. 1.测量中允许有正常的误差.我校旗杆高度为20 m ，同学们本次测量获得成功.2.方法一与方法三误差范围较小，方法二误差范围较大，因为肉眼观测带有技术性，不如直接测量、仪器操作得到数据准确.3.大家一致认为方法一简单易行，是个好办法.4.方法三用到了物理知识，可以考查我们综合运用知识解决问题的能力.5.同学们提出“通过测量角度能否求得旗杆的高度呢”.有大胆的设想，老师很佩服，在大家学习了三角函数后相信会有更多的测量方法呢.Ⅲ.课堂练习高4 m 的旗杆在水平地面上的影子长6 m ，此时测得附近一个建筑物的影子长24 m ，求该建筑物的高度.图4－37 分析：画出上述示意图，即可发现：△ABC ∽△A ′B ′C ′ 所以B A AB ''=C B BC'' 于是得，BC=6424⨯=''''⋅B A C B AB =16 （m ）. 即该建筑物的高度是16 m.Ⅴ.课后作业习题4.101.该建筑物的高度是16 m.2.小树高4 m.3.参考方案：选取罪犯直立时的影像并量取长度，再选当时室内一参照物并量取参照物实际高度和它影像的高度，由罪犯实际身高∶罪犯影像长=参照物实际高度∶参照物影像高度.可得罪犯实际身高.Ⅵ.活动与探究雨后初晴，同学们在操场上玩耍，可看到积水中的影子，你能否利用积水测量旗杆的高度？其中原理是什么？（借鉴课本中测量旗杆的高度的方法2）.●板书设计§4.6 利用相似三角形测高一、测量原理：相似三角形对应边成比例.二、三种测量方法的优缺点三、课堂练习（学生画示意图）四、小结。

6利用相像三角形测高【知识与技术】让学生会用相像三角形解决实质问题.【过程与方法】能够运用三角形相像的知识，解决不可以直接丈量物体的长度和高度（如丈量金字塔高度问题、丈量河宽问题、盲区问题）等一些实质问题 .【感情态度】经过把实质问题转变成相关相像三角形的数学模型，进一步认识数学建模的思想，培育剖析问题、解决问题的能力 .【教课要点】运用三角形相像的知识计算不可以直接丈量物体的长度和高度.【教课难点】灵巧运用三角形相像的知识解决实质问题.一、情境导入 ,初步认识在古希腊，有一位伟大的科学家叫泰勒斯 .泰勒斯年青时是一名商人，到过许多东方国家 .一年春季，泰勒斯到达埃及，埃及法老对他说：“听闻你什么都知道，那就请你丈量一下埃及金字塔的高度吧！”这在当时的条件下是个大难题，因为是很难爬到塔顶的 .你知道泰勒斯是如何丈量大金字塔的高度的吗？【教课说明】教师利用金字塔的案例导入新课，激发学生的兴趣，提升学生研究新知的欲念 .为本节课问题的研究作出准备.二、思虑研究，获得新知1.利用阳光下的影子丈量旗杆高度.从图中我们能够看出人与人在阳光下的影子和旗杆与阳光下的影子组成了两个相像三角形 .即△ EFD∽△ ABC ，因为直立于旗杆影子顶端处的同学的身高和他的影长以及旗杆B A·F D，代入丈量数据即可求出旗杆 BC 的影长均可丈量得出，依据 E F FD 可得 BC=A B B C E F的高度 .2.利用标杆丈量旗杆高度 .当旗杆顶部、标杆的顶端与眼睛恰幸亏一条直线上时,因为人所在直线AD 与标杆、旗杆都平行,过眼睛所在点D 作旗杆BC 的垂线交旗杆BC 于G,交标杆EF 于H, 于是得△DHF ∽△ DGC.因为能够量得 AE 、AB, 观察者身高 AD 、标杆长 EF,且 DH=AE ，DG=AB ，由FHDH 得GC=FH·DG ，GCDG D H∴旗杆高度 BC=GC+GB=GC+AD.［对照］过 D、F 分别作 EF、 BC 的垂线交 EF 于 H，交 BC 于 M ，因标杆与旗杆平行，简单证明△DHF∽△FMC∴由M C M F，可求得 MC 的长.于是旗杆的长F H D HBC=MC+MB=MC+EF.3.利用镜子的反射丈量旗杆高度.这里波及到物理上的反射镜原理，观察者看到旗杆顶端在镜子中的像是虚像，是倒立旗杆的顶端 C′，∵△ EAD ∽△ EBC′且△ EBC′≌△ EBC，∴△ EAD ∽△ EBC,测出 AE 、EB 与观察者身高 AD ，可求得 BC= EB·AD .A E问：你还能够用什么方法来测旗杆的高度？此刻你能丈量金字塔的高度了吗？【教课说明】让学生进行察看，剖析，研究，沟通解决实质问题，培育学生运用数学知识解决问题的能力，体验数学与生活的亲密关系.三、运用新知，深入理解1.如图，一人拿着一支刻有厘米分画的小尺，站在距电线杆约30 米的地方，把手臂向前挺直，小尺竖直，看到尺上约12 个分画恰巧遮住电线杆，已知手臂长约60 厘米，求电线杆的高 .剖析：此题所表达的内容能够画出如上图那样的几何图形，即DF=60 厘米 =0.6 米，GF=12 厘米 =0.12 米， CE=30 米，求 BC.因为△ ADF ∽△ AEC, D F A F，又△ AGF ∽△E C A CABC，∴A F G F ，∴ DF G F，进而能够求出 BC 的长 .A CBC E C B C解：∵ AE ⊥ EC,DF∥EC，∴∠ ADF= ∠ AEC, ∠DAF= ∠EAC ，∴△ ADF ∽△ AEC. ∴D F A F.又 GF⊥EC,BC⊥ EC，∴ GF∥ BC,∠AFG=∠ ACB, ∠AGF= ∠ABC ，∴△ AGF ∽EC AC△ABC ，∴AF GF ，∴ DF GF.又 DF=60 厘米 =0.6 米，GF=12 厘米 =0.12 米， EC=30 AC BC EC BC米，∴ BC=6 米.即电线杆的高为 6 米.2.如图，为了求出海岛上的山岳 AB 的高度，在 D 和 F 处建立标杆 DC 和 FE，标杆的高都是 3 丈，相隔 1000 步（ 1 步等于 5 尺），而且 AB 、 CD 和 EF 在同一平面内，从标杆DC 退后 123 步的 G 处，可看到山岳 A 和标杆顶端 C 在向来线上，从标杆 FE 退后 127 步的 H 处，可看到山岳 A 和标杆顶端 E 在向来线上 .求山岳的高度 AB 及它和标杆 CD 的水平距离 BD 各是多少？（ 1 丈=10 尺， 1 米=3 尺）解： AB=2510 米， BD=30750 步.【教课说明】进一步加深学生对相像三角形知识的理解，培育学生的应用能力，并获得学习数学的愉悦感 .四、师生互动，讲堂小结经过本节课的学习，你有哪些收获？1、部署作业：教材“习题 3.10”中第 1~4 题.2、达成创优作业中本课时“课时作业”部分.经过本节课的学习，使学生能将实质问题转变为数学识题，经过作协助线结构相像三角形，运用相像三角形的对应边成比率，能够计算出不可以直接使用皮尺或刻度尺丈量的物体的长度或高度 .。

九年级数学下册《第二十九章投影》练习题附答案解析-人教版班级:___________姓名：___________考号：____________一、单选题1．小明在操场上练习双杠时，则发现两横杠在地上的影子（）．A．相交B．平行C．垂直D．无法确定2．身高1.6米的小明同学利用相似三角形测量学校旗杆的高度，上午10点，小明在阳光下的影长为1米，此时测得旗杆的影长为9米，则学校旗杆的高度是（）A．9米B．10米C．13.4米D．14.4米3．如图是某学校操场上单杠（图中实线部分）在地面上的影子（图中虚线部分），可判断形成该影子的光线为（）A．该影子实际不可能存在B．可能是太阳光线也可能是灯光光线C．太阳光线D．灯光光线4．在下列四幅图形中能表示两棵小树在同一时刻阳光下影子的图形的可能是( )A．A B．B C．C D．D5．如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板，在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A ．B ．C ．D ． 6．如果在同一盏路灯下，小明与小强的影子一样长，下列说法正确的是（ ）A ．小明比小强的个子高B ．小强比小明的个子高C ．两个人的个子一样高D ．无法判断谁的个子高7．下列物体的影子中不正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．8．正方形在太阳光下的投影不可能是（ ）．A ．正方形B ．一条线段C ．矩形D ．三角形9．如图，在平面直角坐标系中点A ，B 分别在x 轴负半轴和y 轴正半轴上，点C 在OB 上:1:2OC BC =，连接AC ，过点O 作OP AB ∥交AC 的延长线于P ．若()1,1P ，则tan OAP ∠的值是（ ）A B C ．13 D ．310．如图，树AB 在路灯O 的照射下形成投影AC ，已知树的高度3m AB =，树影4m AC =，树AB 与路灯O 的水平距离6m AP =，则路灯高PO 的长是（ ）A ．2mB ．4.5mC ．7.5mD ．12m11．如图，在直角坐标系中点P (2，2)是一个光源．木杆AB 两端的坐标分别为(0，1)，(3，1)．则木杆AB 在x 轴上的投影长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．612．当投影线由物体的左方射到右方时，则如图所示几何体的正投影是( )A ．B ．C ．D ．13．当棱长为20的正方体的某个面平行于投影面时，则这个面的正投影的面积为（）A．20 B．300 C．400 D．60014．下列关于投影与视图的说法正确的是（）A．平行投影中的光线是聚成一点的B．线段的正投影还是线段C．三视图都是大小相同的圆的几何体是球D．正三棱柱的俯视图是正三角形15．下列投影是正投影的是( )A．①B．②C．③D．都不是16．小明在太阳光下观察矩形木板的影子，不可能是（）A．平行四边形B．矩形C．线段D．梯形17．下列四幅图，表示两棵树在同一时刻阳光下的影子是（）A．B．C．D．18．几何体在平面P的正投影，取决于()①几何体形状；②投影面与几何体的位置关系；③投影面P的大小．A．①②B．①③C．②③D．①②③二、解答题19．①操作方法：选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，则分别测出，以及，然后测出即可求出旗杆的高度．②点拨：如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．△_____∽△_____∴()()=()()，代入测量数据即可求出旗杆CD的高度．20．如图，在安装路灯AB的路面CD比种植树木的地面PQ高 1.2mCP=，身高1.8m的红英MN站在距离C点15米的路面上．在路灯的照射下，路基CP留在地面上的影长EP为0.4米(1)画出红英MN在地面的影子NF；(2)若红英留在路面上的影长NF为3m，求路灯AB的高度．21．如图，一艘货轮在海面上航行，准备要停靠到码头C，货轮航行到A处时，则测得码头C在北偏东60°方向上．为了躲避A，C之间的暗礁，这艘货轮调整航向，沿着北偏东30°方向继续航行，当它航行到B处后，又沿着南偏东70°方向航行20海里到达码头C．求货轮从A到B航行的距离（结果精确到0.1海里．参考数据：sin50°≈0.766，cos50°≈0.643，tan50°≈1.192）．22．如图，湖中一古亭，湖边一古柳，一沉静，一飘逸、碧波荡漾，相映成趣．某活动小组赏湖之余，为了测量古亭与古柳间的距离，在古柳A处测得古亭B位于北偏东60°，他们向南走50m到达D点，测得古亭B位于北偏东45°，求古亭与古柳之间的距离AB 1.41 1.73，结果精确到1m）．23．分别画出下列几个几何体从正面和上面看的正投影．24．如图，在山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24︒．求斜坡上相邻两树间的坡面距离（结果保留小数点后一位）．三、填空题25．如图所示是两棵小树在同一时刻的影子，可以断定这是_______投影．（填“平行投影”或“中心投影”）26．如图，在ABC 中8cm,16cm AB AC ==，点P 从A 出发，以2cm/s 的速度向B 运动，同时点Q 从C 出发，以3cm/s 的速度向A 运动，当其中一个动点到达端点时，则另一个动点也随之停止运动，设运动的时间为t ．（1）用含t 的代数式表示：AQ =_______；（2）当以A ，P ，Q 为顶点的三角形与ABC 相似时，则运动时间t =________27．对于一个物体（例如一个正方体）在三个投影面内进行正投影①在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫____．②在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做____．③在水平面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做____．28．如图，把一根直的细铁丝（记为线段AB ）放在三个不同位置；三种情形下铁丝的正投影各是什么形状？（1）铁丝平行于投影面；（2）铁丝倾斜于投影面；（3）铁丝垂直于投影面（铁丝不一定要与投影面有交点）．通过观察，我们可以发现：（1）当线段AB平行于投影面α时，则它的正投影是线段A1B1，线段与它的投影的大小关系为AB_____A1B1；（2）当线段AB倾斜于投影面α时，则它的正投影是线段A2B2，线段与它的投影的大小关系为AB______A2B2；（3）当线段AB垂直于投影面α时，则它的正投影是一个________．参考答案与解析1．【答案】B【分析】根据平行投影的特点即可求解．【详解】解：依题意得两横杠在地上的影子平行．故选：B．2．【答案】D【分析】同一时刻，物体的实际高度与影长成比例，据此列方程即可解答.【详解】∵同一时刻的物高与影长成正比例∴1.6∶1=旗杆的高度∶9.∴旗杆的高度为14.4米.故选D.3．【答案】D【分析】根据平行投影和中心投影的特点分析判断即可．【详解】解：若影子是由太阳光照射形成的，则两条直线一定平行；若影子是由灯光照射形成的，则两条直线一定相交．据此可判断形成该影子的光线为灯光光线．故选：D．4．【答案】D【分析】由太阳光是平行光线，可知同一时刻下，影子的朝向一致，由此进行求解即可．【详解】解：太阳光是平行光线，因此同一时刻下，影子的朝向是一致的．故选：D．5．【答案】D【分析】因为中心投影物体的高和影长成比例，正确的区分中心投影和平行投影，依次分析选项即可找到符合题意的选项【详解】因为正方形的对角线互相垂直，且一条对角线垂直地面，光源与对角线组成的平面垂直于地面，则有影子的对角线仍然互相垂直，且由于光源在平板的的上方，则上方的边长影子会更长一些故选D6．【答案】D【分析】在同一路灯下由于位置不确定，根据中心投影的特点判断得出答案即可．【详解】解：在同一路灯下由于小明与小强位置不确定，虽然影子一样长，但无法判断谁的个子高．故选：D．7．【答案】B8．【答案】D【分析】同一时刻，平行物体的投影仍旧平行．则正方形在太阳光下的投影得到的应是平行四边形或是特殊的平行四边形或线段．【详解】A项：正方形是特殊的平行四边形，符合要求；B项：线段，符合要求；C项：矩形是特殊的平行四边形，符合要求；D项：三角形不是平行四边形，不是特殊的平行四边形，不是线段，不符合要求．故选D9．【答案】C【分析】由()1,1P 可知，OP 与x 轴的夹角为45°，又因为OP AB ∥，则OAB 为等腰直角形，设OC =x ，OB =2x ，用勾股定理求其他线段进而求解．【详解】∵P 点坐标为（1，1）则OP 与x 轴正方向的夹角为45°又∵OP AB ∥则∠BAO =45°，OAB 为等腰直角形∴OA =OB设OC =x ，则OB =2OC =2x则OB =OA =3x ∴tan 133OC x OAP OA x ∠===． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质、勾股定理和锐角三角函数的求解，根据P 点坐标推出特殊角是解题的关键．10．【答案】C【分析】根据相似三角形的判定与性质直接求解即可． 【详解】解：根据题意可知AB PO ∥C C ∴∠=∠ CAB CPO ∠=∠CAB CPO ∴∆∆∽AB PO AC PC ∴=，即3446PO =+，解得30157.542PO ===m∴路灯高PO 的长是7.5m故选：【答案】C ．11．【答案】D【分析】利用中心投影，延长PA 、PB 分别交x 轴于A ′、B ′，作PE ⊥x 轴于E ，交AB 于D ，如图，证明△PAB ∽△PA ′B ′，然后利用相似比可求出A 'B '的长．【详解】解：延长PA 、PB 分别交x 轴于A ′、B ′，作PE ⊥x 轴于E ，交AB 于D ，如图∵P（2，2），A（0，1），B（3，1）．∴PD=1，PE=2，AB=3∵AB//A′B′∴△PAB∽△PA′B′∴AB PDA B PE''=，即312A B=''∴A′B′=6故选：D．12．【答案】A【详解】试题解析：从左边看第一层一个小正方形，第二层一个小正方形.故选A．13．【答案】C【分析】根据平行投影性质可知该正方体的正投影是边长为20的正方形，计算可得．【详解】解：根据题意知，该正方体的正投影是边长为20的正方形∴正投影的面积为2020400⨯＝故选C．14．【答案】C【分析】根据排除法判断即可；【详解】平行投影中的光线是是平行的，而不是聚成一点的，故A错误；线段的正投影不一定是线段，比如光线平行于线段时，则正投影是一点，故B错误；三视图都是大小相同的圆的几何体是球，故C正确；正三棱柱的俯视图不一定是正三角形，要看它如何放置，如水平放置，它是矩形，故D错误；故答案选C．15．【答案】C【分析】平行投影法分为正投影和斜投影，正投影是平行光垂直于屏幕的投影．【详解】根据题意：①是点光源的投影，是错误的；②是斜投影，故错误；③是正投影，故正确.故选C.16．【答案】D【分析】根据平行投影的特点可确定矩形木板与地面平行且与光线垂直时所成的投影为矩形；当矩形木板与光线方向平行且与地面垂直时所成的投影为一条线段；除以上两种情况矩形在地面上所形成的投影均为平行四边形，据此逐一判断即可得答案.【详解】A.将木框倾斜放置形成的影子为平行四边形，故该选项不符合题意B.将矩形木框与地面平行放置时，则形成的影子为矩形，故该选项不符合题意C.将矩形木框立起与地面垂直放置时，则形成的影子为线段D.∵由物体同一时刻物高与影长成比例，且矩形对边相等，梯形两底不相等∴得到投影不可能是梯形，故该选项符合题意故选：D.17．【答案】B【分析】根据平行投影的意义和性质，得出影子与实物的位置和大小关系得出答案．【详解】解：太阳光和影子，同一时刻，杆高和影长成正比例，且影子的位置在物体的统一方向上可知，选项B中的图形比较符合题意；故选：B．18．【答案】A【详解】试题分析：对于①，同一个方向球体和长方体的正投影的形状是不同的，故①与题意相符；对于②，保持平行光线和投影面的位置不变，转动长方体的位置，投影的形状会改变，故②与题意相符；对于③，投影面的大小和投影的形状无关，故③与题意不符．故选A．19．【答案】①观测者的脚到旗杆底端的距离，观测者的脚到标杆底端的距离，标杆的高，②AME，ANC，AM AN=EM CN20．【答案】(1)见解析(2)9米【分析】（1）根据相似即可画出影子NF；（2）如图，设AB=x m，CB=y m．构建方程组解决问题即可．（1）解：如图所示：（2）解：设AB x = CB y = ∵AB PC BC EP= AB BF MN NF = ∴ 1.20.41.81533x y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪-+⎩∴解得93x y =⎧⎨=⎩ 经检验93x y =⎧⎨=⎩是分式方程的解 ∴9AB =答：灯AB 的高度为9米．21．【答案】货轮从A 到B 航行的距离约为30.6海里．【分析】过B 作BD ⊥AC 于D ，在Rt △BCD 中利用正弦函数求得BD =15.32海里，再在Rt △ABD 中利用含30度角的直角三角形的性质即可求解．【详解】解：过B 作BD ⊥AC 于D由题意可知∠ABE =30°，∠BAC =30°，则∠C =180°-30°-30°-70°=50°在Rt △BCD 中∠C =50°，BC =20(海里)∴BD = BC sin50°≈20×0.766=15.32(海里)在Rt △ABD 中∠BAD =30°，BD =15.32(海里)∴AB =2BD =30.64≈30.6(海里)答：货轮从A 到B 航行的距离约为30.6海里．22．【答案】古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m【分析】过点B 作AD 的垂线，交DA 延长线于点C ，设m AC x =，则(50)m CD x =+，分别在Rt BCD 和Rt ABC △中解直角三角形求出,BC AB 的长，再建立方程，解方程可得x 的值，由此即可得出答案．【详解】解：如图，过点B 作AD 的垂线，交DA 延长线于点C由题意得：50m,60,45AD BAC D =∠=︒∠=︒设m AC x =，则(50)m CD AC AD x =+=+在Rt BCD 中tan (50)m BC CD D x =⋅=+在Rt ABC △中tan m BC AC BAC =⋅∠=与2m cos AC AB x BAC==∠则50x +=解得25x =则250137(m)AB x ==≈答：古亭与古柳之间的距离AB 的长约为137m ．23．【答案】见解析 【分析】根据投影的概念逐个求解即可.【详解】解：从正面正投影依次为：从上面正投影依次为：【点睛】本题主要考查投影视图，解决本题的关键是要熟练掌握正投影的定义.24．【答案】6.0m【分析】根据题意画出图形，再根据三角函数可得AB =AC ÷cos24°，再代入数计算即可．【详解】解：如图：由题意得：AC =5.5米，∠A =24°AB =AC ÷cos24°=5.5÷0.914≈6.0（米）．答：斜坡上两树间的坡面距离是6.0米．25．【答案】中心【分析】根据光线的平行和相交即可判断是平行投影和中心投影．【详解】解：因为影子的顶点和大树的顶点的连线不平行所以它们的光线应该是点光源．所以是中心投影．故答案为：中心．26．【答案】163t -##316-+t 167秒或4秒 【分析】（1）根据路程=速度⨯时间，即可表示出AQ 的长度.（2）此题应分两种情况讨论．①当APQ ABC ∽时；②当APQ ACB ∽时．利用相似三角形的性质求解即可．【详解】解：（1）由题意可知：163=-AQ t（2）连接PQ∵∠PAQ =∠BAC∴当AP AQ AB AC =时，则APQ ABC ∽，即2163816t t -=，解得167t =； 当AP AQ AC AB =时，则APQ ACB ∽，即2163168t t -=，解得t=4． ∴运动时间为167秒或4秒．故答案为：163t167秒或4秒27．【答案】主视图俯视图左视图28．【答案】= > 点A3(B3)。