上海市金山区山阳镇九年级数学下册 24.3 圆周角 24.3.1 圆周角同步检测 (新版)沪科版

2023-2024学年沪科版九年级数学下册教案：24.3 圆周角 (2份打包)一. 教材分析圆周角是圆的基本性质之一，也是初中数学中的重要内容。

沪科版九年级数学下册24.3节主要介绍了圆周角的定义、性质和运算。

通过本节内容的学习，学生能够理解圆周角的基本概念，掌握圆周角的性质，并能够运用圆周角定理解决实际问题。

二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的几何基础，对圆的基本概念和性质有所了解。

但是，对于圆周角的定义和性质，以及如何运用圆周角定理解决实际问题，可能还存在一定的困惑。

因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握圆周角的概念和性质，并通过例题和练习题的讲解，让学生能够灵活运用圆周角定理解决实际问题。

三. 教学目标1.知识与技能：理解圆周角的定义，掌握圆周角的性质，能够运用圆周角定理解决实际问题。

2.过程与方法：通过观察、思考、讨论和练习，培养学生的几何思维能力和解决问题的能力。

3.情感态度与价值观：激发学生对数学的兴趣和好奇心，培养学生的团队合作意识和克服困难的意志。

四. 教学重难点1.圆周角的定义和性质。

2.圆周角定理的应用。

五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和合作学习法。

通过提出问题，引导学生思考和探索；通过分析典型案例，让学生理解和掌握圆周角的性质；通过小组合作学习和讨论，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

六. 教学准备1.教案文档。

2.PPT课件。

3.练习题和测试题。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过提出问题：“什么是圆周角？圆周角有哪些性质？”引导学生思考和回忆圆周角的基本概念和性质。

2.呈现（10分钟）利用PPT课件，展示圆周角的定义和性质，以及圆周角定理。

通过动画和图片的展示，让学生直观地理解和掌握圆周角的性质。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些与圆周角有关的问题。

例如，根据圆周角定理，计算一个扇形的面积。

通过合作学习和解决问题，培养学生的团队合作意识和解决问题的能力。

24.2.4 圆的基本性质课
法。

了解三角形的外接圆，三角形的外心等概念。

设情境
．定点即为圆心，定长即为半径，根据定义大家觉得作圆的关键是什么
作圆，只要圆心确定下来，半径
等，则圆心应在线段的垂直平分线上任意取一点，都能满足到
径．圆就确定下来了．由于线段
三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．1．连结AB、BC
为圆心
符合要求．
作的垂直平
此这样的画法满足条件．
由上可知，过已知一点可作无数个圆，过已知两点也可作无数个
作出它们的外接圆．它们外心的位
锐角三角形直角三角形钝角三角形
接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在
点作圆的方法．。

24.3 第1课时 圆周角定理及其推论一、选择题1．下列四个图中，∠α是圆周角的是()链接听课例1归纳总结ABCD图K －7－12．2018·衢州如图K －7－2，点A ，B ，C 在⊙O 上，∠ACB ＝35°，则∠AOB 的度数是()图K －7－2A ．75° B．70° C．65° D．35°3．如图K －7－3，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵，∠ADC ＝20°，则∠AOB 的度数是()图K －7－3A ．40° B．30° C．20° C．10°4．小宏用三角板检查某些工件的弧形凹面是不是半圆，下列工件的弧形凹面一定是半圆的是()图K －7－45．如图K －7－5，△ABD 的三个顶点在⊙O 上，AB 是直径，点C 在⊙O 上，且∠ABD ＝52°，则∠BCD 的度数为链接听课例2归纳总结()图K －7－5A ．32° B．38° C．52° D．66°6．2017·泰安如图K －7－6，△ABC 内接于⊙O ，若∠A ＝α，则∠OBC 的度数为()图K －7－6A ．180°－2αB ．2αC ．90°＋αD ．90°－α7．如图K －7－7，点A ，B ，C ，P 在⊙O 上，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，垂足分别为D ，E ，∠DCE ＝40°，则∠P 的度数为()图K －7－7A ．140°B．70° C ．60°D．40°8．△ABC 为⊙O 的内接三角形，若∠AOC ＝160°，则∠ABC 的度数是() A ．80° B．160°C ．100° D．80°或100°9．2018·合肥包河区月考如图K －7－8，AB 是半圆的直径，点O 为圆心，OA ＝5，弦AC ＝8，OD ⊥AC ，垂足为E ，交⊙O 于点D ，连接BE .设∠BEC ＝α，则tan α的值为()图K －7－8A.31313 B.21313 C.32 D.2310．2018·马鞍山期末如图K －7－9，在⊙O 上有定点C 和动点P ，且位于直径AB 的两侧，过点C 作CP 的垂线与PB 的延长线交于点Q .已知⊙O 的直径为10，tan ∠ABC ＝43，则CQ 长的最大值为()图K －7－9A ．5 B.152 C.254 D.203二、填空题11．2017·扬州如图K －7－10，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO ，若∠B ＝40°，则∠OAC ＝________°.图K －7－1012．如图K －7－11，A ，B ，C 是半径为6的⊙O 上的三个点，若∠BAC ＝45°，则弦BC ＝________．图K －7－1113．2017·北京如图K －7－12，AB 为⊙O 的直径，C ，D 为⊙O 上的点，AD ︵＝CD ︵.若∠CAB ＝40°，则∠CAD ＝________°.链接听课例3归纳总结图K －7－1214．如图K －7－13，半径为5的⊙A 中，弦BC ，ED 所对的圆心角分别是∠BAC ，∠EAD ，已知DE ＝3，∠BAC ＋∠EAD ＝180°，则BC 的长为________.链接听课例3归纳总结图K －7－13三、解答题15．如图K －7－14，△ABC 的外接圆是⊙O ，D 是AC ︵上的任意一点，连接BD 交AC 于点P .(1)图中相等的角有哪些？(除对顶角外)(2)请你写出图中所有的相似三角形，并证明其中的一对．。

圆周角记忆导图 ⎪⎩⎪⎨⎧圆内接四边形性质定义圆周角 考点1 圆周角1、圆周角的定义：顶点在圆上，并且两边都与圆还有另一个公共点的角叫做圆周角。

2、圆周角的性质定理：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半。

推论1：在同圆或等圆中，①同弧或等弧所对的圆周角相等；②相等的圆周角所对的弧也相等。

推论2：①半圆或直径所对的圆周角是直角；②90°的圆周角所对的弦是直径。

3、相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。

（经过圆内一点引两条线，各弦被这点所分成的两段的积相等）几何语言：若弦AB 、CD 交于点P ，则PA ·PB=PC ·PD 。

考点2 圆的内接四边形1、圆的内接多边形的定义：一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆的内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆。

2、性质：定理：圆内接四边形的对角互补，且任何一个外角都等于它的内对角。

推论：如果一个四边形的对角互补，则这个四边形的四个顶点共圆。

【同步练习巩固】知识点1圆周角概念、定理及推论1．如图，图中的圆周角有__∠ADB ，∠CAD ，∠CBD ，∠ACB__，CD ︵所对的圆周角有__∠CAD ，∠CBD__.2．(教材P29，练习，T2改编)(安徽模拟)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，∠C ＋∠O ＝63°，则∠O 的度数是( D )A ．21°B ．27°C ．30°D ．42°3．将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点C 在半圆上．点A ，B 的读数分别为88°，30°，则∠ACB 的大小为( C )A ．15°B ．28°C ．29°D ．34°4．(江苏无锡中考)如图，点A ，B ，C 都在⊙O 上，OC ⊥OB ，点A 在劣弧BC 上，且OA ＝AB ，则∠ABC ＝__15°__.5．(江苏南京鼓楼区期末)如图，⊙O 的两条弦AB 和CD 相交于点P ，若AC ︵、BD ︵的度数分别为60°，40°，则∠APC 的度数为__50°__.6．(广西柳州中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的点，则图中与∠A 相等的角是( D )A ．∠B B ．∠C C ．∠DEBD ．∠D7．(江苏南京秦淮区二模)如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在半圆AB 上，且AC ︵＝CD ︵＝DB ︵，连接AC ，AD ，则∠CAD 的度数是__30__°.8．(四川自贡中考)如图，⊙O 中，弦AB 与CD 相交于点E ，AB ＝CD ，连接AD ，BC. 求证：(1)AD ︵＝BC ︵； (2)AE ＝CE.证明：(1)∵AB ＝CD ，∴AB ︵＝CD ︵，即AD ︵＋AC ︵＝BC ︵＋AC ︵， ∴AD ︵＝BC ︵.(2)∵AD ︵＝BC ︵，∴AD ＝BC. 由同弧所对的圆周角相等， 得∠ADE ＝∠CBE ，∠DAE ＝∠BCE ， ∴△ADE ≌△CBE(ASA)， ∴AE ＝CE.9．如图，以等腰三角形ABC 的腰AB 为直径作圆，交底边于点D ，连接AD ，那么∠1与∠2的关系是( C )A ．∠1＋∠2＝90°B ．∠1>∠2C ．∠1＝∠2D ．∠1<∠210．(安徽芜湖南陵一模)如图，已知AB 是⊙O 的直径，弦CD 与AB 相交，若∠BCD ＝24°，则∠ABD 为__66__度．11．如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，以BC 为直径作⊙O 分别交AB ，AC 于点D ，E. (1)求证：AB ＝2AE ； (2)若AE ＝2，CE ＝1，求BC.解：(1)证明：如图，连接BE.∵BC 是⊙O 的直径，∴∠BEC ＝90°，即∠AEB ＝90°.∵∠A ＝60°， ∴∠ABE ＝30°，∴AB ＝2AE. (2)∵AE ＝2，∴AB ＝2AE ＝4， ∴BE ＝AB 2－AE 2＝23.∵CE ＝1，∴BC ＝BE 2＋CE 2＝13.知识点2圆的内接四边形12．(教材P31，练习，T1改编)(陕西西安工大附中三模)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，连接OB ，OD ，若∠BOD ＝∠BCD ，则∠BAD 的度数为( C )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°13．(浙江杭州滨江区期末)已知圆内接四边形ABCD 中，∠A ∶∠B ∶∠C ＝1∶2∶3，则∠D 的大小是( C ) A ．45° B ．60° C ．90° D ．135°14．(安徽池州青阳六校联考)如图，点A ，B ，C ，D ，E 在⊙O 上，AE ︵的度数为40°，则∠B ＋∠D 的度数是__160°__.15．(黑龙江哈尔滨南岗区一模)如图，正方形ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点P 是在CD ︵上不同于点C 的任意一点，则∠DPC 的度数是__135__度．16．(安徽淮南潘集区第二次联考)如图，四边形ABCD 内接于⊙O ，∠DAE 是四边形ABCD 的一个外角，且AD 平分∠CAE.求证：DB ＝DC.证明：∵∠DAC 与∠DBC 是同弧所对的圆周角， ∴∠DAC ＝∠DBC.∵AD 平分∠CAE ，∴∠EAD ＝∠DAC ， ∴∠EAD ＝∠DBC.∵四边形ABCD 内接于⊙O ，∴∠EAD ＝∠BCD ， ∴∠DBC ＝∠BCD ，∴DB ＝DC.【能力培优提升】1．(广西北部湾经济区模拟)如图，在⊙O 中，点C 在优弧AB 上，将BC ︵沿BC 折叠后刚好经过AB 的中点D ，连接AC ，CD.则下列结论中错误的是( D )A ．AC ＝CD B.AC ︵＋BD ︵＝BC ︵C ．OD ⊥ABD ．CD 平分∠ACB2．(湖北武汉调研)如图，点D 在半圆O 上，半径OB ＝61，AD ＝10，点C 在BD ︵上移动，连接AC ，H 是AC上一点，∠DHC ＝90°，连接BH ，点C 在移动的过程中，BH 的最小值是( D )A ．5B ．6C ．7D ．83．如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D ，E 在⊙O 上，若∠AED ＝20°，则∠BCD 的度数为( B )A ．100°B ．110°C ．115°D ．120°4．如图，四边形ABCD 为⊙O 的内接四边形，延长AB 与DC 相交于点G ，AO ⊥CD ，垂足为E ，连接BD ，∠GBC ＝50°，则∠DBC 的度数为( C )A ．50°B ．60°C ．80°D ．85°5．(河北石家庄一模)如图，点A ，B ，C ，D ，E 都是⊙O 上的点，AC ︵＝AE ︵，∠B ＝122°，则∠D ＝( B )A ．58°B ．116°C ．122°D ．128°6．(四川内江模拟)如图，在⊙O 上有定点C 和动点P ，位于直径AB 的异侧，过点C 作CP 的垂线，与PB 的延长线交于点Q ，已知⊙O 的半径为52，tan ∠ABC ＝34，则CQ 的最大值是__203__.7．(辽宁辽阳中考)如图，A ，B ，C ，D 是⊙O 上的四点，且点B 是AC ︵的中点，BD 交OC 于点E ，∠AOC ＝100°，∠OCD ＝35°，那么∠OED ＝__60°__.8．(北京西城区二模)如图，点A ，B ，C ，D 都在⊙O 上，C 是 BD ︵的中点，AB ＝CD.若∠ODC ＝50°，则∠ABC 的度数为__100__°.9．(安徽合肥联考)如图，四边形ABDC 内接于⊙O ，∠BAC ＝60°，AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，连接OB ，OC ，BD ，CD.(1)求证：四边形OBDC 是菱形；(2)若∠ABO ＝15°，OB ＝1，求弦AC 的长．解：(1)证明：如图，连接OD. 由圆周角定理，得∠BOC ＝2∠BAC ＝120°. ∵AD 平分∠BAC ，∴BD ︵＝CD ︵，∴∠BOD ＝∠COD ＝60°.∵OB ＝OD ，OC ＝OD ，∴△BOD 和△COD 是等边三角形， ∴OB ＝BD ＝DC ＝OC ，∴四边形OBDC 是菱形． (2)如图，连接OA.∵OB ＝OA ，∠ABO ＝15°， ∴∠OAB ＝15°，∴∠AOB ＝150°， ∴∠AOC ＝360°－150°－120°＝90°， ∴AC ＝OA 2＋OC 2＝2.10．已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 分别交AC 于点D ，BC 于点E ，连接ED ，ED ＝EC. (1)求证：AB ＝AC ； (2)若AB ＝4，BC ＝23，求CD 的长．解：(1)证明：∵ED ＝EC ， ∴∠EDC ＝∠C.∵点A ，B ，E ，D 都在⊙O 上， ∴∠CDE ＝∠B ， ∴∠B ＝∠C ，∴AB ＝AC.(2)如图，连接AE.∵AB 为直径，∴AE ⊥BC.又AB ＝AC ，∴BE ＝CE ＝12BC ＝3.∵∠C ＝∠C ，∠CDE ＝∠B ，∴△CDE ∽△CBA ， ∴CD CB ＝CEAC ，∴CE ·CB ＝CD ·CA. 又AC ＝AB ＝4，∴3×23＝4CD ，∴CD ＝32.11．(天津南开区一模)如图1，在⊙O 中，直径AB ＝4，CD ＝2，直线AD ，BC 相交于点E. (1)∠E 的度数为__60°__；(2)如图2，AB 与CD 交于点F ，请补全图形并求∠E 的度数； (3)如图3，直径AB 与弦CD 不相交，求∠AEC 的度数．解：(2)如图2，直线AD ，CB 交于点E ，连接OD ，OC ，AC. ∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠DAC ＝30°，∴∠EBD ＝30°. ∵AB 为直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠E ＝90°－30°＝60°. (3)如图3，连接OD ，OC.∵OD ＝OC ＝CD ＝2，∴△DOC 为等边三角形， ∴∠DOC ＝60°，∴∠CBD ＝30°. ∵AB 是直径，∴∠ADB ＝90°， ∴∠BED ＝60°，∴∠AEC ＝60°.。

24.3 圆周角第1课时圆周角定理及推论1．理解圆周角的概念，学会识别圆周角；2．了解圆周角与圆心角的关系，能够理解和掌握圆周角定理及推论，并进行简单的计算与证明(重点，难点)．一、情境导入你喜欢看足球比赛吗？你踢过足球吗？第六届东亚四强赛于2015年在武汉举行，共有来自亚洲的8支球队参加赛事，共进行24场比赛决定冠军队伍．比赛如图所示，甲队员在圆心O处，乙队员在圆上C处，丙队员带球突破防守把球传给乙，乙依然把球传给了甲，你知道为什么吗？你能用数学知识解释一下吗？二、合作探究探究点一：圆周角定理【类型一】利用圆周角定理求角如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，∠AOC＝130°，则∠D等于()A．25°B．30°C．35°D．50°解析：本题考查同弧所对圆周角与圆心角的关系．∵∠AOC＝130°，∠AOB＝180°，∴∠BOC＝50°，∴∠D＝25°.故选A.方法总结：在同圆或等圆中，同弧和等弧所对的圆周角相等，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题【类型二】同弦所对圆周角中的分类讨论思想已知⊙O的弦AB长等于⊙O的半径，求此弦AB所对的圆周角的度数．解析：弦AB的长恰好等于⊙O的半径，则△OAB是等边三角形，则∠AOB＝60°.而弦AB 所对的弧有两段，一段是优弧，一段是劣弧，因此本题要分类讨论．解：分下面两种情况：如图①所示，连接OA ，OB ，在⊙O 上任取一点C ，连接CA ，CB .∵AB ＝OA ＝OB ，∴∠AOB ＝60°，∴∠ACB ＝12∠AOB ＝30°.即弦AB 所对的圆周角等于30°.如图②所示，连接OA ，OB ，在劣弧上任取一点D ，连接AD ，OD ，BD ，则∠BAD ＝12∠BOD ，∠ABD ＝12∠AOD .∴∠BAD ＋∠ABD ＝12(∠BOD ＋∠AOD )＝12∠AOB .∵AB 的长等于⊙O 的半径，∴△AOB 为等边三角形，∠AOB ＝60°.∴∠BAD ＋∠ABD ＝30°，∠ADB ＝180°－(∠BAD ＋∠ABD )＝150°，即弦AB 所对的圆周角为150°.综上所述，弦AB 所对的圆周角的度数是30°或150°.方法总结：本题考查了等边三角形的判定和性质、圆周角定理和圆内接四边形的性质．要注意的是弦AB 所对的圆周角有两种情况，需分类讨论，解题时可分别作图，结合图形求解，以免漏解．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第3题探究点二：圆周角定理的推论【类型一】 利用圆周角定理的推论1解题如图所示，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O 的圆心O 在格点上，则∠AED 的正切值等于( )A.55B.255 C ．2 D.12解析：根据同弧或等弧所对的圆周角相等来求解，∵∠E ＝∠ABD ，∴tan ∠AED ＝tan ∠ABD ＝AC AB ＝12.故选D. 方法总结：解题的关键是在同圆或等圆中，相等的两条弧所对的圆周角也相等．注意与三角函数的结合．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第3题【类型二】 利用圆周角定理的推论2解题如图所示，已知△ABC 的顶点在⊙O 上，AD 是△ABC 的高，AE 是⊙O 的直径，求证：∠BAE ＝∠CAD .解析：连接BE 构造Rt △ABE ，由AD 是△ABC 的高得Rt △ACD ，要证∠BAE ＝∠CAD ，只要证出它们的余角∠E 与∠C 相等，而∠E 与∠C 是同弧AB 所对的圆周角．证明：连接BE ，∵AE 是⊙O 的直径，∴∠ABE ＝90°，∴∠BAE ＋∠E ＝90°.∵AD 是△ABC 的高，∴∠ADC ＝90°，∴∠CAD ＋∠C ＝90°.∵AB ︵＝AB ︵，∴∠E ＝∠C .∵∠BAE ＋∠E ＝90°，∠CAD ＋∠C ＝90°，∴∠BAE ＝∠CAD .方法总结：涉及直径时，通常是利用“直径所对的圆周角是直角”来构造直角三角形，并借助直角三角形的性质来解决问题． 变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题三、板书设计1．圆周角的概念2．圆周角定理一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．3．圆周角定理的推论推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等的圆周角所对的弧也相等．推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．教学过程中，经历圆周角定理及其推论的探究，使学生掌握圆周角的相关性质；配合练习，巩固所学知识，结合实际应用来提升学生的思维能力. （赠品，不喜欢可以删除）数学这个家伙即是科学界的“段子手”，又是“心灵导师”一枚。

24.3.1圆周角课题24.3.1圆周角教学目标1.了解圆周角的概念。

2.了解圆周角和圆心角的关系，直径所对的圆周角的特征。

3.能应用圆心角和圆周角的关系、直径所对的圆周角的特征进行简单的证明和计算。

4.通过圆周角定理的证明使学生进一步体会分类讨论的思想；继续培养学生的归纳和逻辑推理能力。

教材分析重点圆周角定理及其两个推论与应用。

难点对圆心角和圆周角关系的探索，分类思想的应用。

教具电脑、投影仪教学过程（一）创设情境，激发兴趣如上图，同学们能找到圆心角吗？它具有什么样的特征？（顶点在圆心，两边与圆相交的角叫做圆心角）今天我们要学习圆中的另一种特殊的角，它的名称叫做圆周角。

（板书课题）（二）观察抽象，形成概念1、究竟什么样的角是圆周角呢？像图（3）中的角就叫做圆周角，而图（2）、（4）、（5）中的角都不是圆周角。

图（3）中的角有哪些特点？同学们可以通过讨论归纳如何判断一个角是不是圆周角。

圆周角：顶点在圆上，两边与圆相交的角叫做圆周角。

（板书）2、练习：图中哪个图中含有圆周角？ （三）实践操作，探究性质1、探究半圆或直径所对的圆周角等于多少度？而90︒的圆周角所对的弦是否是直径？ （1）动手操作如图，线段AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上任意一点（除点A 、B ），那么，∠ACB 就是直径AB （或者半圆）所对的圆周角.想想看，∠ACB 会是怎么样的角？为什么呢？启发学生用量角器量出ACB ∠的度数，而后让同学们再画几个直径AB 所对的圆周角，并测量出它们的度数，通过测量，同学们感性认识到直径所对的圆周角等于90︒（或直角）。

（2）大胆猜想：直径所对的圆周角等于90°（或直角）。

（3）推理证明证明：因为OA ＝OB ＝OC ，所以△AOC 、△BOC 都是等腰三角形，所以∠OAC ＝∠OCA ，∠OBC ＝∠OCB .又因为∠OAC ＋∠OBC ＋∠ACB ＝180°，所以∠ACB ＝∠OCA ＋∠OCB ＝180°÷2＝90°. 因此，不管点C 在⊙O 上何处（除点A 、B ），∠ACB 总等于90°。