中职数学复习 任意角三角函数26页PPT

终边与两个半径不同的同心圆的交点， 则由相似三角形对应边成比例得
x x y y y y , ,
r r r r x x
由于点 P，P 在同一象限内，
所以它们的坐标符号相同，因此得
y P
r P' y
r' y'
O x' x x
xx， yy， yy． r r r r x x
所以当角 不变时，不论点 P 在角 的
终边上的位置如何，这三个比值都是定值，只
依赖于 的大小，与点 P 在 角 终边上的位
置无关.
于是我们有如下定义：
设角 的终边上的任意一点P（x，y），点 P 到原点
的距离为 r.
比值 x 叫做角 的余弦.记作 cos x
r
r
比值
y r
叫做角 的正弦.记作
sin
y r
y
比值
x
叫做角 的正切.记作
cos x 2 2 13 ； r 13 13
tan y 3 ． x2
x
P（2，-3）
例 2 试确定三角函数在各象限的符号．
解 由三角函ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的定义可知，
sin ＝ y ，角 终边上点的纵坐标 y 的正、负 r
与角 的正弦值同号；
cos ＝ x ，角 终边上点的横坐标 x 的正、负 r
OM x
y
M
O 2π
x
3
P
如何画正切线？
附注
y
通过单位圆研究
T
三角函数的几何演
示过程可在主界面
A
单击“单位圆研究
O
x 三角函数.gsp”文
件观看.
T'
因为 ta n yAT (AT)，

数
故故ssiinn2475327 cos 4327
0， c00o，，s 275
0，
ttaann2475327 0． 0．
巩固知识 典型例题
三
角
例3 根据条件 sin 0 且 tan 0 ， 确定 是第几象限的角．
函
y
y
++
-+
数
-o - x
+o - x
sinα
tanα
三 角 函 数
应用知识 强化练习 练习5.3.2
三
应用知识 强化练习 练习5.3.3
角 1．计算：
函 数
5sin 90 2cos 0 3 tan180 cos180 ；
2．计算：
cos tan 1 tan2 sin 3 cos
2
43 3
2
计算器
三 角 函 数
归纳小结 自我反思
本次课学习 哪些内容？
你会解决 哪些新问题？
体会到哪些 学习方法？
1.判断下列角的各三角函数符号
（1）525º；（2）-235
º；（3）
19 6；（4）来自3 4．2．根据条件 sin 0 且 tan 0 ,
确定 是第几象限的角．
三 角 函 数
自我探索 使用工具
观察计算器上的按键并阅读相关的使用说明书， 小组完成计算器计算三角函数值.
sin
cos
tan
0
2
3 2
．
x
运用知识 强化练习
练习5.3.1
已知角 的终边经过点 P， 求：角 的正弦、余弦、正切值：
⑴ P（3，−4）； ⑵ P（−1，2）； ⑶ P（ 1 , 3 ）．

2
π
2
π
3π
2
2π
1
0
-1
0
0
-1
0
1
1

不存在
0
不存在
0
一课一案 高效复习
四、三角函数在各象限的正负号
y
+
-
y
+
o
sinα
-
x
-
y
-
+
o
+
cosα
口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦
x
+
+
o
tanα
-
x
一课一案 高效复习
典型例题
题型1
利用三角函数的定义求三角函数值
【例1】已知角α的终边经过一点P(4a,-3a)(a≠0)，求2sinα+cosα的值.

答案： ±

【举一反三】

−
1.已知角α的终边经过一点P(-5,12)，则cosα=_______；

2.α是第二象限角，P(x， )为其终边上一点，且cosα=

−
x，则x的值为______；


3.(2017年高考)若角α终边落在直线y=-3x上，则cos(π+2α)=________.
D.第四象限的角
8.若点(tanα,cosα)在第三象限内，则角α是( B )
A.第一象限的角
B.第二象限的角
C.第三象限的角
D.第四象限的角
一课一案 高效复习
强化练习
一课一案 高效复习
感谢今天努力的你！
x
一课一案 高效复习
二、单位圆

2005年11月7日7时33分
角为第三象限角.
反之， 若角为第三象限角.
则综由上所定述义，可原知命题stai成nn立。00,.
练习1：确定下列函数值的符号 1）sin1900的符号是—- —？ 2）cos(-3920)的符号是—+ —？ 3)tan(-16500)的符号是—- —？ 3)sin(-21π/5）的符号是—- —？
我现在就努力，我一定会进步！
任意角的三角函数
例1
已知角 的终边经过P 2， 3，求 的三个三角函数值．
解： x 2, y 3.
r 13.
sin 3 3 13 ,cos 2 13 , tan 3.
13 13
13
2
提问： 若将P 2， 3改为P 2a， 3a a 0 ，如何
练习2
（1）角 的终边在直线 y 2x上，求 的三个三角函数值．
（2）角 的终边经过点 P 4a，3aa 0 ，求 sin ，
cos ，tan ，cot 的值．
（3）说明 sin2k sin 的理cos 4 2m 都有意义，则
m5
m5
m ________ ．
（5）若角 的终边过点 Pa，8 ，且 cos 3 ，
5
则 a ________．
本课小结
• 利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角α 顶点 和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是 比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具 有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据， 欲求其函数性就不是很容易．
求 的三个三角函数值呢？
分 a 0 ，a 0 两种情形讨论．

典例解析
【例5】已知sin α+cos α=45,求下列各式的值：
(2)因为(sin α-cos α)2=sin2 α-2sin α cos α+cos2 α=1-2sin αcos α, 所以(sin α-cos α)2=3245, 所以sin α-cos α=± 354.
小学数学 在线1对1
典例解析
【例1】写出-360°~720°与-330°的终边重合的角.
【解析】因为与-330°的终边相同的角可表示为{β|β=-330°+k·360°，k∈Z}, 所以k=0,1,2. 当k=0时，β=-330°；当k=1时，β=30°；当k=2时，β=390°.
典例解析
【例2】将75°转化为弧度为
1 2
nπr2 αr2或S= 360 .
知识聚焦
三、任意角的三角函数
(1)定义：设α是一个任意角，使它的顶点与坐标原点重合，角α的始边与x轴的非负半轴重合， 设α的终边上任意一点P（除顶点外）的坐标是（x,y），它到原点的距离是r= x2+y2 (r>0) （见下表）.
知识聚焦
(2)象限角的三角函数值符号口诀：
与x轴重合的角： { α ｜ α=kπ，k∈Z}.
与坐标轴重合的角： { α ｜ α=k2π，k∈Z}.
知识聚焦
二、弧度制
（1）定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角，用弧度作为单位来度量角 的单位制称为弧度制.它的单位符号是“rad”，读作“弧度”. （2）角度与弧度的互化. ①360°=2π rad,180°=π rad. ②1°=1π80rad≈0.017 45 rad,1 rad= (1π80 )°≈57.30°=57°18′.

调动思维，探究新知 在在活初初动中中2，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
所以当α不变时，这三个比值 x , y , y ，不论点P在α的
rrx
终边上的位置如何，它们都是定值，只依赖于α的大小，
数学
基础模块（上册）
第五章 三角函数
5.2.1任意角三角函数的定义
人民教育出版社
第五章 三角函数 5.2.1 任意角三角函数的定义
学习目标
知识目标 能力目标
理解锐角三角函数、任意角的三角函数（余弦函数、正弦函数、正切函数） 的概念.理解单位圆、三角函数线（正弦线、余弦线、正切线）的概念
学生运用分组探讨、合作学习，掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号特征， 明确利用三角函数线求解角的正弦、余弦和正切值的方法，提高学生的数学 运算能力
2
2
2
巩固练习，提升素养 在在活初初动中中3，，我我们们用用过过““自自然然数数集集””““有有理理数数集集””等等表表述述，，这这里里的的““集集””就就是是集集合合的的简简称称，，那那么么什什么么是是集集合合呢呢？？
例3 求 5 正弦、余弦和正切值.
6
解 如图5-11所示，在的终边上取点P，使OP=2．作
，
cos x 2 2 13 ，
r 13 13
tan
y x
3 2
.
巩固练习，提升素养 在活初动中3，我们用过“自然数集”“有理数集”等表述，这里的“集”就是集合的简称，那么什么是集合呢？
例 2 求下列各角的正弦、余弦和正切值. （1）0；（2）π；（3） 3 .

4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例5 已知cos＞0, 且tan ＜0, 试确定角 是第几象限角．
解 因为cos＞0, 所以角 可能是第一或第四象限角, 也
可能终边在 x 轴的正半轴上.
又因为tan＜0，所以角 可能是第二或第四象限角． 故满足cos＞0且tan＜0的角 是第四象限角．
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
0°角、180°角、270°角和360°角的正弦、余弦和正切值
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例4 判断下列各三角函数值的符号.
解 (1) 因为−325°＝35°−360°，所以－325°角是第一象限角， 故sin(−325°)＞0； (2)
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
4.3.2 单位圆与三角函数
练习
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
1. 判断下列三角函数值的符号：
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
30°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 60°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为_______. 120°角的终边与单位圆的交点坐标可以表示为______.
4.3.2 单位圆与三角函数
情境导入 探索新知 例题辨析 巩固练习 归纳总结 布置作业
例3 求90°角的正弦、余弦和正切. 解 90°角的终边与单位圆的角的交点坐标为(0,1) ， 所以 sin90°=1, cos90°=0, tan90°不存在.

•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•题型分类·深度剖析
• 题型一
•角及其表示
•思维启迪 •解 析
•答 •思维升华 案
•第一、二 •象限或y轴的非负半轴上
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•B
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•3
•4
•5
•B
•练出高分
•1
•B组 专项能力提升
•2
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6 •7 •8
•9 •10
•练出高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•3 •4 •5 •6高分
•1 •2
•A组 专项基础训练
•扇形的弧长、面积公式的应用
•思维启迪
•解析
•思维升华
•题型分类·深度剖析
•1 cm
•2 •1 cm2

3.拓展练习 例1 确定下列三角函数值的符号.
(1) sin(671) (2) cos 74π 13
(3) tan 17π 4
sin(671) 0 cos 74π 0 13
tan 17π 0 4
例2 已知cosαtanα<0,试判断角α是第几象限角. 答案：α是第二象限角或第三象限角或第四象限角
课堂探究
1.探究问题 【探究】在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后， 对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？
比如：sin120
cos(7π ) 6
tan 300
2.知识链接： （1）由尝试练习（1）知
sin
的对边
斜边
a c
cos
的邻边
斜边
b c
tan
的对边 的邻边
sin y 1 10
r 10
10
cos x 3 3 10
r 10
10
tan y 1
x3
例2 .求下列各角的正弦值、余弦值、正切值.
（1）π ；
（2） 3 π 2
答案： (1)sin（π）=0，cos（π）=1，tan（s 3 π=0，tan 3 π不存在
③因为 22π =2p+ 4π 是第一象限角，所以tan 22π>0．
9
9
9
（2）已知sinα>0，且cosα>0，试判断角α是第几象限角.
答案： 第一象限角
任意角的三角函数
一、学习要求
1．了解任意角的三角函数的定义. 2．根据三角函数的定义,会求任意角的三角函数值. 3．会判断任意角的三角函数值的符号,并熟记三角函数在 各个象限内的符号.
第一学时

对终边相同的角的理解 (1)α 为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360°与 α 中间用“＋”连接，k·360°－α 可理解成 k·360° ＋(－α)． (3)相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．
栏目 导引
第五章 三角函数
判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)第一象限的角一定是正角．( × ) (2)终边相同的角一定相等．( × ) (3)锐角都是第一象限角．( √ ) (4)第二象限角是钝角．( × )
栏目 导引
第五章 三角函数
3．终边在直线 y＝－x 上的角 β 的集合 S＝________． 解析：由题意可知，终边在直线 y＝－x 上的角有两种情况： ①当终边在第二象限时，可知{β|β＝135°＋k·360°，k∈Z}； ②当终边在第四象限时，可知{β|β＝315°＋k·360°，k∈Z}． 综合①②可得，终边在直线 y＝－x 上的角的集合 S＝{β|β＝ 135°＋k·180°，k∈Z}． 答案：{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}
栏目 导引
第五章 三角函数
2.如图，α，β 分别是终边落在 OA，OB 位置上的两 个角，且 α＝60°，β＝315°. (1)求终边落在阴影部分(不包括边界)的角 γ 的集 合； (2)求终边落在阴影部分(不包括边界)，且在 0°～360°范围内 的角的集合． 解：(1)因为与角 β 终边相同的一个角可以表示为－45°，所以 阴 影 部 分 (不 包 括 边 界 )所 表 示 的 角 的 集 合 为 {γ|k·360 ° － 45 ° <γ<k·360°＋60°，k∈Z}． (2){θ|0°≤θ<60°或 315°<θ<360°}．
别是( )

−1
2
(2)∵r= 22 + (−1)2 = 5,∴sin α= 5=- 5,cos α= 5=2 5.
5
5
4.3.2
单位圆与三角函数
1.判断下列各角是第几象限角?
(1)525°; (2)-235°;
19
(3) 6 ;
3
(4)- 4 .
2.设点P(3,-4)为角α终边上的一点,则r=
α=
,cos α=
角.综上可得θ是第四象限角.
5.若tan θ>0,且cos θ<0,则θ为
(
)
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
【答案】
C
【解析】 ∵tan θ>0,∴θ是第一、三象限角.又∵cos θ<0,∴θ是
第二、三象限角或终边落在x轴的负半轴上的角.综上可得θ是第
三象限角.
6.计算:
定义域
sin α
cos α
tan α
注:sin α,cos α,tan α都是以角α为自变量的函数,它们分别称
为
、
、
.
三、掌握新知
【例1】
如图4-6所示,已知角α的终边经过点P(-4,3),求角α的
正弦、余弦和正切的值.
【解】
【例2】
求终边在射线y=2x(x≥0)上的角的正弦、余弦和正
切的值.
【解】
D.tan α>0
3.试确定下列三角函数值的符号:
(1)sin 175°
(3)sin
3
−
5
(5)tan(-472°)
0;
(2)cos 265°
0;
(4)sin 7.6π

sin( ) sin cos( ) cos tan( ) tan
利用公式，可以把负角的三角函数转化为Байду номын сангаас角的三角函数．
诱 导 公 式
巩固知识 典型例题
例 1 求下列三角函数值：
(1) sin(60 ) ；(2) cos(19) ；(3) tan(30 ) ． 3
例 2 求下列各三角函数的值：
3
3
32
(2) cos( 8π ) cos 8π cos（2π 2π） cos 2π
3
3
3
3
cos（π - π） cos π 1；
3
32
(3) tan( 10π ) tan10π tan(π 3π)
3
3
3
tan(π π) tan π 3；
3
3
(4) sin 930 sin(30 5180) sin(30 180)
它们的三角函数之间有什么关系？
y
P(x，y)
+
O－ x
P (-x，-y)
公式 （三）
sin ( ) ＝－sin cos ( ) ＝－cos tan ( ) ＝ tan
诱导公式
探究 3 与 － 的终边关于 ___ 轴对称，
它们的三角函数之间有什么关系？
P (-x，y)
y
-
O
sin 30 1 ． 2
记忆诱导公式的口诀: “函数名不变，符号看象限”．
例4 求下列各三角函数的值：
(1) sin( 55π )； 6
(3) tan( 14π )； 3
(2) cos11π； 4
(4) sin 870．
例5 化简：
sin(2 π ) tan( π) tan( π) . cos(π ) tan(3 π )

-
y sin a r
x cos a r
y tan a x
1、任意角三角函数的定义： 若已知角α终边与单位圆交于点P(x，y)，则：
sin y cos x y tan ( x 0) x 2、解题方法总结
（1）已知交点P的坐标，直接用定义 （2）已知角，则先求交点P的坐标再用定义
问题2:
x cos r
y tan x
在终边上移动 点P的位置,这 三个比值为改 变吗?
y 锐角三角函数定义
的终边
r=1
o

P(ｘ，ｙ)
x
y sin α r
sin α y
r=1
x cos r
y tan x
cos x
y tan x
• 在直角坐标系中,以原点O为 • 圆心,以单位长度为半径的圆 • 叫单位圆
cos
tan

2
k , k Z }
2 【例2】：求角 的正弦、余弦和正切值。 3
分析：解RtΔOMP可得点
y
2 3
1 3 P( , ) ，故 2 2
2 3 sin 3 2
P（x，y）
2 1 cos － 3 2
M
O
x
2 tan 3 3
点评：若已知角α的大小，可求出角α终边与单位 圆的交点，然后再利用定义求三角函数值。
y
锐角三角函数 的定义：
P( x, y)
在RtOMP中 ， r x2 y2 0
O
r

y
x
M
x
sin
cos
tan
MP y OP r x OM OP r MP y OM x

课后作业
1.教材第88页 习题 2.《作业本》8.2.1
第26页
l
面积公式 : S 1 lR ， 2
S 1 | | R2 2
第2页
8.2.1 任意角三角函数
第3页
初中我们已经学习过锐角三角函数，知道它们
都是以锐角α为自变量，以比值为函数值，定义 了角α正弦、余弦、正切三角函数.
角范围已经推广，那么对任一角α是否也能 像锐角一样定义三角函数呢？
本节课我们研究当角α是一个任意角时，其三
由
sin tan
0 0
知 θ终边在第三或第四象限或与x轴非正半轴重合 θ终边在第一或第三象限
故角θ为第三象限角.
第22页
思考： 已知角 θ 的终边上一点 P(x,3) (x≠0)，且 cos θ＝ 1100x， 求 sin θ，tan θ.
解
∵r＝
x2＋9，cos θ＝xr，∴ 1100x＝
P0(-3,-4)
tan
.
x cos 3
第12页
三角函数坐标定义 ： (见教材86页)
普通地，设角α终边上任意一点(异于原点)P(x,y),它到原
点(顶点)距离为r>0，则
sinα=y ;cosα= x ;tanα= .y
r
r
x
第13页
例2.已知角α终边上经过点P0(-3,-4), 求角正弦、余弦和正切值.
3
2
P(1 ,
3 ).
22
cos 5 1 ,
32
tan 5 3.
3
第9页
例1.求以下角正弦、余弦和正切值：
(1) 5 ; (2) ; (3) 3 .
3
2
解：（2）∵ 当 时，在直角坐标系中， y 角 终边与单位圆交点坐标为 P(1, 0).

1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根
中职数学复习 任意角的三角函数
51、没有哪个社会可以制订一部永远 适用的 宪法， 甚至一 条永远 适用的 法律。 ——杰 斐逊 52、法律源于人的自卫本能。——英 格索尔
5Hale Waihona Puke 、人们通常会发现，法律就是这样 一种的 网，触 犯法律 的人， 小的可 以穿网 而过， 大的可 以破网 而出， 只有中 等的才 会坠入 网中。 ——申 斯通 54、法律就是法律它是一座雄伟的大 夏，庇 护着我 们大家 ；它的 每一块 砖石都 垒在另 一块砖 石上。 ——高 尔斯华 绥 55、今天的法律未必明天仍是法律。 ——罗·伯顿