角的概念推广及其度量
一、高考要求：
1.理解正角、负角及零角等概念,熟练掌握角的加、减运算;
2.理解弧度的意义,掌握弧度和角度的换算. 二、知识要点：
1.角的概念:角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置而成的图形,旋转开始时的射线叫角的始边,旋转终止时的射线叫角的终边,射线的端点叫角的顶点.按逆时针旋转而成的角叫正角,按顺时针旋转而成的角叫负角,当射线没作任何旋转,我们称它形成一个零角.
2.象限角:把角置于直角坐标系中,使角的顶点与坐标原点重合,角的始边与x 轴的正半轴重合,角的终边落在第几象限,就叫做第几象限的角,如果角的终边落在坐标轴上,就认为这个角不属于任一象限.
若α为第一象限的角,则22,()2
k k k Z π
παπ<<+∈;
若α为第二象限的角,则2(21),()2
k k k Z π
παπ+
<<+∈;
若α为第三象限的角,则(21)(21),()2
k k k Z π
παπ+<<++∈;
若α为第一象限的角,则(21)2(1),()2
k k k Z π
παπ++
<<+∈.
3.终边相同的角:两个角的始边重合,终边也重合时,称两个角为终边相同的角.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合: {360,}S k k Z β
βα==+⋅∈.
4.弧度制:长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,用“弧度”作单位来度量角的制度叫做弧度制,用“度”作单位来度量角的制度叫做角度制.
任一已知角α的弧度数的绝对值
r
α=,其中为以角α作为圆心角时所对圆弧的
长,r 为圆的半径. 5.弧度与角度的换算:
180
180,10.01745,1()571857.30.180
rad rad rad rad π
ππ
'==
≈=≈=
三、典型例题： 例1:已知角45α=,
(1) 在[720,0]-内找出所有与α有相同终边的角β; (2) 若集合{18045,},{18045,}24
k k
M x x k Z N x x k Z ==
⋅+∈==⋅+∈,那么集合M 与N 的关系是什么?
例2:若角α是第二象限角,(1)问角2
α
是哪个象限的角? (2)角2α的终边在哪里?
例3:一个扇形OAB 的面积是12
cm ,它的周长是4cm ,求圆心角的弧度数和弦长AB .
四、归纳小结：
1.角的大小表示旋转量的大小,各角和的旋转量等于各角旋转量的和.
2.角的概念推广后,注意辨别:
(1)“0
90间的角”、“第一象限的角”、“锐角”及“小于90的角”;
(2)“第一象限的角或第二象限的角”与“终边在x 轴上方的角”. 3.正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 4.公式r
α=
中,比值
r
与所取的半径大小无关,而仅与角的大小有关.
5.弧长公式为r α=⋅,扇形面积公式为211
22
S r r α=
⋅=⋅. 五、基础知识训练： （一）选择题：
1.下列四个命题中正确的是( )
A.第一象限角必是锐角
B.锐角必是第一象限角
C.终边相同的角必相等
D.第二象限角必大于第一象限角 2.若α、β的终边相同,则αβ-的终边在( )
A.x 轴的正半轴上
B. y 轴的正半轴上
C. x 轴的负半轴上
D. y 轴的负半轴上 3.若α是第三象限角,则
2
α
是( ) A.第一或第三象限角 B.第二或第三象限角
C.第二或第四象限角
D.第一或第四象限角 4.终边是坐标轴的角的集合是( ) A.{360,}S k k Z ββ==⋅∈ B.{180,}S k k Z ββ==⋅∈ C.{90180,}S k k Z β
β==+⋅∈ D.{90,}S k k Z ββ==⋅∈
5.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
A.
3
π
B.23π D.2
6.把114π-表示成2()k k Z πθ+∈的形式,使θ最小的θ的值是( )
A.34π-
B.4π-
C.4
π D.34π
（二）填空题：
7.与1830'-的角终边相同的最小正角是 ,与670的角终边相同的绝对值最小的角是 .
8.若角α与角β的终边在一条直线上,则α与β的关系是 . 9.若角20180k α=-+⋅在720
360-间,则整数k 的值是 .
10.终边落在直线y =上的角的集合是 . 11.经过5小时25分钟,时针和分针分别转的弧度数是 . 12.设α、β满足2
2
π
π
αβ-<<<
,则αβ-的范围是 .
任意角的三角函数
一、高考要求：
1.理解正弦、余弦、正切函数的定义,了解余切、正割、余割函数的定义;
2.熟记三角函数在各象限的符号,牢记特殊角的三角函数值. 二、知识要点：
1.任意角三角函数的定义:直角坐标系中任意大小的角α终边上一点P(x,y),它到原点的距
离是r =
,那么sin ,cos ,tan ,cot ,sec ,csc y x y x r r r r x y x y
ααααα======
分别是α的正弦、余弦、正切、余切、正割和余割函数,这六个函数统称三角函数. 2.轴与有向线段:
(1)点P 的坐标x 、y 分别是有向线段OP 在x 轴上和y 轴上射影1OP 和2OP 的数量,如果x 轴正向到OP 方向的转角为θ,则12cos ,sin x OP OP y OP OP θθ==⋅==⋅. (2)如果AB 是直角坐标系xOy 中的任一条有向线段,11A B 、22A B 分别是AB 在x 轴上和y 轴上的正射影,x 轴正向到AB 方向的转角为θ,则
1122cos ,sin A B AB A B AB θθ=⋅=⋅.
3.单位园与三角函数线:半径为1的圆叫做单位圆,设单位圆的圆心与坐标原点重合,则单位圆与x 轴的交点分别为A(1,0),A '(-1,0),与y 轴的交点分别为B(0,1),B '(0,-1).设角α的顶点在圆心O,始边与x 轴的正半轴重合,终边与单位圆相交于点P,过点P 作PM 垂直x 轴于M,设单位圆在点A 的切线与α的终边或其延长线相交于点T(T '),则
cos α=OM,sin α=MP,tan α=AT(AT ')
把有向线段()OM MP AT AT '、
、分别称做α的余弦线、正弦线和正切线. 4.三角函数在各象限的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 5.
三、典型例题：
例1:已知角α的终边与函数2
3
y x =的图象重合,求α的六个三角函数值.
例2:判断下列三角函数式的符号:
