中职数学-三角函数教案(中职教学)

中职专业数学教案教案标题：应用三角函数解决实际问题教学目标：1. 理解三角函数的概念和性质；2. 掌握应用三角函数解决实际问题的方法；3. 培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。

教学重点：1. 理解三角函数的定义和图像特征；2. 学会应用三角函数解决实际问题。

教学难点：1. 将实际问题转化为三角函数的方程；2. 运用三角函数解决实际问题。

教学准备：1. 教学课件和投影设备；2. 学生练习册和作业本；3. 相关实际问题的案例。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入三角函数的概念和意义，与学生共同探讨三角函数在实际生活中的应用。

二、概念讲解与图像展示（15分钟）1. 讲解正弦函数、余弦函数和正切函数的定义和性质，包括定义域、值域、周期等；2. 利用教学课件展示三角函数的图像特征，帮助学生直观理解三角函数的形态。

三、实例分析与解决（25分钟）1. 提供一些实际问题的案例，如测量高楼的高度、计算船只航行的角度等；2. 引导学生分析问题，将问题转化为三角函数的方程；3. 指导学生运用三角函数的性质和解方程的方法，解决实际问题。

四、练习与巩固（15分钟）1. 学生个人或小组完成练习册上的相关题目，巩固所学知识；2. 教师巡回指导，解答学生疑惑。

五、拓展与应用（15分钟）1. 提供更复杂的实际问题，鼓励学生运用所学知识解决；2. 学生展示解题过程和结果，进行讨论和分享。

六、总结与评价（10分钟）1. 教师对本节课的教学进行总结，强调学生所掌握的重点和难点；2. 学生自评和互评，反思学习过程中的不足和进步。

教学延伸：1. 学生可通过编写自己的实际问题并运用三角函数解决，提高问题转化和解决能力；2. 学生可进行更多的实际问题探究，拓宽应用领域。

教学评估：1. 教师观察学生在课堂上的表现，包括参与度、思考能力和解题过程；2. 批改学生的练习册和作业本，评价学生对所学知识的掌握程度；3. 学生之间的互评和自评，评估学生的学习效果和进步情况。

三角函数的图象和性质教学目的：（一）1.理解并掌握作正弦函数和余弦函数图象的方法；2. 理解并熟练学握用五点法作正弦函数和余弦函数简图的方法；3. 理解并学握用正弦函数和余弦函数的图象解最简单的三介不等式的方法.（-）1•理解正、余弦函数的定义域、值域、最值、周期性、奇偶性的意义；2. 会求简单函数的定义域、值域、最小正周期和单调区间；3. 会求简单函数的奇偶性.（三）1.理解并学握作正切函数和余切函数图像的方法；2. 理解并学握用正切函数和余切函数的图像解最简三角不等式的方法；3. 掌握正切函数的性质和性质的简单应用；4. 会解决一些实际问题.教学重点：1. 用单位圆中的正弦线作正弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数的性质.教学难点：1. 用单位圆中的余弦线作余弦、正切函数的图象；2. 正、余弦和正切函数性质的理解与应用.教学过程： 一、复习引入：1. 弧度定义：氏度等于半径氏的弧所对的圆心角称为1弧度的角.2. 正、余弦函数定义：设仅是一个任意角，在Q 的终边上任取（异于原点 的）一点P （x,y ）,P 与原点的距离r （r = J 卜『+|y 『=JF +> 0）则比值』叫做Q 的正弦r Y 比值土叫做Q 的余弦 r比值2叫做a 的正切X3. 三角函数线：根据正弦，余弦，正切的定义，则有 sin a = MP , cos a = OM , tan a = AT这三条与单位圆有关的有向线段MP,OM,AT 分别叫做角a 的正弦线,余弦线，正切线.当角Q 的终边落在兀轴上时，M 与P 重合，A 与T 重合，此时正弦线，正切线分别变成一円 x,y)记作 sincr =— r记作cos a =—r y记作 tan =—x个点；当角a的终边在y轴上时，0与M重合,余弦线变成一个点,过A的切线平行于y轴, 不能与角a的终边相交，所以疋切线不存在，此时角a的止切值不存在.二、讲解新课：（一）正弦函数、余弦函数的图象1・用单位圆中的止弦线、余弦线作正弦函数、余弦函数的图彖（几何法）：为了作三角函数的图彖，三角函数的口变量要用弧度制来度量，使口变量与函数值都为实数.在一般情况下，两个坐标轴上所取的单位长度应该相同，否则所作曲线的形状各不相同，从而影响初学者对曲线形状的正确认识.正弦函数= 的图象第一步，在直角坐标系的X轴上任取一点q,以q为圆心作单位圆，从这个圆与兀轴的交点A起把圆分成斤（这里7? = 12）等份.把x轴上从0到271这一段分成n（这里71 =12）等份.（预备：取口变量X值一弧度制下角与实数的对应）.第二步，在单位圆屮画出对应于角0，兰，2龙的正弦线正弦线（等价于“列表”）.6 3 2把角x的正弦线向右平行移动,使得正弦线的起点与x轴上相应的点兀重合，则疋弦线的终点就是正弦函数图彖上的点（等价于"描点”）.笫三步，连线.用光滑曲线把这些正弦线的终点连结起來，就得到正弦函数y = sin兀，x e [0,2兀]的图象.根据终边相同的同名三和函数值相等，把上述图象沿着兀轴向右和向左连续地平行移动, 每次移动的距离为2兀，就得到y = sinx, xe R的图彖.把角x（xeR）的正弦线平行移动，使得正弦线的起点为x轴上相应的点x重合，则正弦线的终点的轨迹就是正弦函数y = sinx的图彖.余弦函数y = cosx的图象用儿何法作余弦函数的图象，可y4以用“反射法”将角兀的余弦线“竖立”.把处标弦线0.A的终点4作兀轴的垂线，它与前而所作的直线交于A',那么0{A与AA长度相等几方向同时为正，我们就把余弦线0/ “竖立”起来成为AA,用同样的方法，将其它的余弦线也都“竖立”起来,再将它们平移，使起点与x轴上相应的点兀重合，则终点就是余弦函数图象上的点.TT也可以旷旋转法”把角的余弦线“竖立”（把角兀的余弦线按逆时针方向旋转尹7T 7Tcosx = sin（x + -）,述可以把正弦函数y = sinx的图彖向左平移一单位即得余弦函数2 2y = cosx的图彖.函数y = sinx的图彖和余弦函数y = cosx的图彖分别叫做止弦曲线和余弦曲线.2.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法）：正弦函数y = sin x, x G [0,2^-]的图彖中，3五个关键点是：（0,0）, （- ,1）,（龙,0）,（-不―1）, （2龙,0）余弦函数y = cosx, x e [0,2^]的图像中,JI 3五个关键点是：（0,1）, （-,0）,（矩―1）,（-处0）, （2^,1）只要这五个点描出后，图彖的形状就基本确定了.因此在精确度不太高时，常采用五点法作正弦函数和余弦函数的简图，耍求熟练掌握.-6n X55Z・4亢75/ ・2江■[7L/ 2亢、25/ 4兀/y=cosx6兀x根据诱导公式(二)正弦函数、余弦函数的性质1・定义域正弦函数、余弦函数的定义域都是实数集R (或(-00,+00)).2.值域(1)值域因为正弦线、余弦线的长度不大于单位圆的半径的长度，所以I sin x 1< 1,1 cosx 1< 1,即一1 W sin 兀W 1,-1 < cos 兀 < 1也就是说，正弦函数、余弦函数的值域都是[-1,1].(2)最值正弦函数y = sinx,兀wTT①当且仅当x = - + 2k兀,keZ时,取得最大值12JT②当且仅当兀二—一+ G Z时,取得最小值—12余弦函数y = cosx,x € R①当口仅当x = 2炽,keZ时,取得最大值1②当且仅当x = 2k7i七兀，kwZ时，取得最小值—13.周期性由sin(兀 + 2k兀)=sin x,cos(x + 2k兀)=cos x,(k G Z)知:正弦函数值、余弦函数值是按照一定规律不断重复地取得的.定义：对于函数/(兀)，如果存在一个非零常数T,使得当兀取定义域内的每一个值时，都有/(x + T) = /(x),那么函数/(%)就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期.由此可知,2兀,4兀,・・・,一2兀,一4兀,・・・，2炽伙wZ,R工0)都是这两个函数的周期.对于一个周期函数/(%),如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做/(兀)的最小正周期.根据上述定义，可知：止弦函数、余弦函数都是周期函数，2k7i(k w Z,k工0)都是它的周期,最小正周期是2”.4.奇偶性由sin(-x) =一sin 兀,cos(-x) = cos xXT知：y = sin x (x G /?)为奇函数，其图彖关于原点0对称y = cosx (xeR)为偶函数，其图象关于y轴对称5.对称性正弦函数y = sin x(x G R)的对称中心是(Rr,O)(k eZ),对称轴是直线X = k7T + ^(keZy,( JT Y余弦函数y = cosx(>wR)的对称中心是3 + —,0 (k G Z),\ 2丿对称轴是直线(正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于兀轴的直线，对称中心为图彖与兀轴(中轴线)的交点).6.单调性JI 3从^ = sinx,xe［——, — 7r］的图象上可看出：2 27T TT当兀w［——,一］时，曲线逐渐上升，sinx的值由—1增大到12 2JT 3当兀刃时,曲线逐渐下降,sinx的值由1减小到—1结合上述周期性可知:71 n正弦函数在每一个闭区间［-—+ 2k7T- + 2k/r］(k e Z)上都是增两数，2 2其值从-1增人到1;JI 3疋弦函数在每一个闭区间［-+ 2k7T-7l + 2k7T］(k G Z)上都是减函数，2 2其值从1减小到-1・余弦函数在每一个闭区间［2炽-龙,2炽］伙wZ)上都是增函数，其值从-1增加到1;余弦函数在每一个闭区间［2炽,2炽+刃伙e Z)上都是减函数，其值从1减小到-1・和的图彖和性质(表中对称屮心(so)(“z)( jr \炽 +—,0 ("Z) \ 2丿对称轴x = k” +彳(k G Z)x = kjv(k e Z)最小正周期2龙2龙单调性7T 7T| ---- + 2k7r,——2A TT］递增2 2|— + Zk7r,—7r + 2£兀］递减2 2\2k兀一兀,2k^\递增[2k兀,2k/r +兀1递减(三)正切函数的图象和性质1.正切函数歹=tanx的图像n 7T在区间内作出函数y = tan兀图像，根据正切函数的周期性，把上述图像向左、右扩展，得到正切函数y= tan x x E R，且x H 空 + e z) 的图像，称“止切曲线” •2.正切函数和余切函数的性质⑴定义域：X H炽+彳(£ W Z)(2)值域：/?(3)周期：•・• tan(x + 龙)=+ “! = 一"n”=tanx xwR,且兀^k7r + — ,k e z\ cos(x + /r) -cosx V 2 )( n\:.y = tan x x e /?,且x ¥ kzi + — ,k w乙的周期为T = 7i (最小正周期) ~ 2(4)奇偶性:正切函数是奇函数由诱导公式tan(-x) = -tanx,我们可以证明正切函数是奇函数，正切函数的图像关于原点对成.(bn \⑸对称性:对称中心是—,0 (kwZ),特别提醒：止徐)切型函数的对称中心有两类: I 2丿一类是图象与兀轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处.TT JT⑹单调性：由图像可知，正切函数再区间(——+ kTC.— + k7i\k G Z内都是单调增函数.2 2正、余切函数的性质三、讲解范例：(一)图象问题例1画l\\y = cos x(x G R)与y = -sin x(x e R)两函数的图象，观察两曲线的平移关系. 解：略例2作下列函数的简图：(1)y = 1 + sin^ , x G [0,2^-] (2) y =1 sin x I (3) y = sin I x I解：略TT例3用五点法作函数y = 2cos(x + -),兀e [0,2刃的简图，并求其与貞线y二2交点个数解：略例4分别利用函数的图象和三角函数线两种方法,求满足卜•列条件的兀的集合:(1)sinx > 丄(2) cosx W 丄(0 v 兀 < —^)2 2 2解：略例5求下列函数的定义域：______⑴ y 二J2sinx + 1 (2) y = 716-x2 + V-cosx (3) y = Vsinx-cosx补充例题：⑴函数/(x) = sin 兀图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 __________ .TT(2)函数/(x) = sin(x + -)图象的对称轴是 ___________ ;对称屮心是 ________ .⑶函数/(x) = 2sin(x + -) + l 图象的对称轴是 ____________ ;对称中心是 _______ .(4) 函数y = cos (龙+兀)与y = cos 兀的图象关于 ________ 对称.(填一种情况即可)X(5) 方程sinx = —的根的个数为()10A. 7B. 8C. 9D. 10⑹川五点法作函数y = 2sin2x 的图象时，首先应描出的五个点横坐标可是((二)定义域、值域问题 例1求卜-列函数的定义域：(1) y = 1 + —-—sinx(2) y = J1 - 2cosx (3) y = lg(2sinx-V3)求下列函数的值域:(1) y = • 7 • t 百兀 3 , =sin" x-sinx + l,x e3 4(2) y = =2sin(x + —),x e 6 6 3 (3) y = cosx-3 cos x + 3解：略例2求使下列函数取得最大值的口变量兀(xwR)的集合，并说出最大值是什么;7T 7T若兀W ［一彳，彳)呢？(1) y = cosx + 1 ; (2) y = sin 2xA0,产严 C. 0，九2乃,3込4兀° c 71 兀 3B. 0, — , —. —71.714 2 4 ,c 71 71 兀 2TT TT例3已知函数f(x) = 2a sin(2x -一) + b的定义域为[0,-],值域为[-5,1]. 3 2求的值.解：略例4求函数y = sin2 x + ocos兀+ —a——(x e [0,—])的最大值.8 2 2解：略例5 (1)已知y = 2 sin x cos x + sin x - cos x (x G [0,兀]),求y的最人值和最小值.(2)求y(兀)=sin4x + 2sin3 xcosx + sin2兀cos? x + 2sinxcos3 x + cos4x的最大值利最小值.(注：sin x - cos x = V2 sin(x - —), sin x cos x = — sin 2x)4 2解：略(三)周期性、奇偶性问题例1判断下列函数的奇偶性:⑴ /(x) =1 + sinx-cosx 1 +sinx + cosx(2) /(x) = sin x-cos x + cos2x (cos2兀=cos~ x-sin~ x)(3) /(x)==lg(sinx +Vl + sin2x)(4) /(x) = |sinx| + cosx 解：略例2 (1)已知/(x) = ax + bsin 3x = l(a,b为常数),K/(5) = 7,求/(-5).(2)若于(兀)为奇函数,且当兀> 0时,f(x) = xsinx + cos2x, 求当尢v 0时，于(兀)的解析式.⑶若函数f(x) = sin(x + a)是偶函数，求a的值.解：略例3求下列三角函数的周期,并探究其结.(1) y = 3cosx (2) y = sin 2x1TT TT(3)y = 2sin(—x ----- )(4) y = 2sin(5加 -- )2 6 3解：略点评：一般地，函数y = A sin(69x +(p\ xe R及函数y = cos(ax + 0)，兀w R (其中A* co、2/r©为常数，且A^09CO> 0)的周期T= —co例 4 (1)求函数 y = 2sin 2 2x + 4sin 2xcos2x +3cos 2 2x 的周期.rr (2)求函数y = 4 sin 3(——兀)的周期. 6解：略例5求下列函数的最小正周期：(1) y =1 sin 兀 I(2) y =1 2cos 兀 +11 解：略 例6⑴已知/(兀)是周期为5的周期函数，且/⑴=2007,求/(II).(2)已知奇函数/(兀)是7?上的函数，且/(1) = 2, f(x + 3) = /(x),求于(8)・ 解：略 例7 /(兀)是定义在R 上的偶函数，其图彖关于兀=1对称，对任意的旺宀e[0,-],都有/(兀]+兀2)= /(兀I )/(兀2)・(1) 设/(1) = 2,求/(£),/(：)； 2 4(2) 证明：/(x)是周期函数.解：略例8 (1)若函数y = )的图象关于直线x = 与x = b(b>a)都对称，求证：/(x)是周期函数，月.2(b-d)是它的一个周期；(2) 若函数 y = /(x)(兀 w 7?)满足 /(x) = f(x-a) + f(x +a)(常数 d w 7T ),求 证：f(Q 是周期函数，冃6。

三角函数一、任意角1. 角的概念的推广 ⑴“旋转”形成角ABαO⑵“正角”与“负角”“0角”我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角，如图，以OA 为始边的角α＝210°，β＝－150°，γ＝660°。

2100-15006600特别地，当一条射线没有作任何旋转时，我们也认为这时形成了一个角，并把这个角叫做零角。

记法：角α或α∠ 可以简记成α。

2. “象限角”角的顶点合于坐标原点，角的始边合于x 轴的正半轴，这样一来，角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角（角的终边落在坐标轴上，则此角不属于任何一个象限） 3. 终边相同的角所有与α终边相同的角连同α在内可以构成一个集合。

{}Z k k S ∈⋅+==,360|οαββ二、弧度制1. 定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角它的单位是rad ，读做弧度，这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．说明：（1）正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0（2）角α 的弧度数的绝对值公式：lrα= （l 为弧长， r 为半径） 2. 角度制与弧度制的换算：∵ 360︒＝2π rad ∴180︒＝π rad∴ 1︒＝rad rad 01745.0180≈π'185730.571801οοο=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad3. 两个公式1）弧长公式：α⋅=r l 由公式：⇒=r l α α⋅=r l 比公式180rn l π=简单 弧长等于弧所对的圆心角（的弧度数）的绝对值与半径的积 2）扇形面积公式 lR S 21=其中l 是扇形弧长，R 是圆的半径4. 一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住： 角度 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 弧度 0 π/6 π/4 π/3 π/2 2π/3 3π/4 5π/6 π 角度 210° 225° 240° 270° 300° 315° 330° 360° 弧度7π/65π/44π/33π/25π/37π/411π/62π5. 应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系正角 零角 负角正实数 零 负实数任意角的集合 实数集R三、任意角三角函数的定义1. 设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x ，y ） 则P 与原点的距离02222>+=+=y x yx rry)(x,α（1）把比值r y叫做α的正弦 记作： ry =αsin （2）把比值r x叫做α的余弦 记作： rx =αcos（3）把比值x y叫做α的正切 记作： xy =αtan上述三个比值都不会随P 点在α的终边上的位置的改变而改变.当角α的终边在纵轴上时，即Z)(2∈+=k k ππα时，终边上任意一点P 的横坐标x 都为0，所以tan α无意义；它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数.以上三种函数，统称为三角函数。

§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。

二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。

难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。

第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。

四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。

2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。

（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。

5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。