高等数学期末考试题与答案(大一考试)

五、设函数由方程确定,求.（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

(8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

（6分）九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分)十、求方程的通解（6分)十一、求证：.（5分）第一学期高等数学（上)（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4。

B 5.D分，共18分）为任意常数)，4. 2 , 5。

6。

分 (6)分解：………………3分…………….6分 (8)导 (3)数）…………6分分解：（1）。

……。

.3分 (6)分分=……………6分时有极大值2,有极小值。

在上是凸的,在上是凹的，拐点为(0,0）………10分十、解；…………………..3分设方程（1）的解为代入（1)得………5分…………………….6分十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

,所以…………。

5分.（2010至2011学年第一学期)一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是( ）(A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的（）（A）必要条件（B）充分条件（C)充要条件（D)既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内（）（A）无驻点(B）无拐点(C）无极值点(D）4．设在内连续，且,则至少存在一点使（）成立。

（A）（B）（C）(D）5．广义积分当( ）时收敛。

（A) （B) (C）(D）二、填空题（15分，每小题3分）1、若当时，，则;2、设由方程所确定的隐函数,则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则;5、若，则；三、计算下列极限.（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、,求2、，求五、计算下列积分(18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分)七、证明不等式:当时，（7分）八、求由曲线所围图形的面积。

五、设函数由方程确定，求。

（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

（8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

(6分)九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标。

(10分）十、求方程的通解（6分）十一、求证：。

（5分)第一学期高等数学（上）（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4.B 5。

D分，共18分）为任意常数）,4. 2 ，5。

6。

分………………………………………..6分分解：………………3分 (6) (8)导 (3)数)…………6分分解：（1）。

……。

.3分…………………….6分分分=……………6分时有极大值2，有极小值. 在上是凸的，在上是凹的，拐点为(0，0）………10分十、解； (3)设方程（1）的解为代入(1）得………5分 (6)十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的,由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

，所以………….5分。

（2010至2011学年第一学期）一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是（）（A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的( ）(A）必要条件(B）充分条件（C)充要条件(D）既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内( ）（A）无驻点（B）无拐点（C）无极值点（D)4．设在内连续,且,则至少存在一点使（）成立。

（A) （B)（C) （D）5．广义积分当（）时收敛。

(A) （B）（C）（D)二、填空题（15分,每小题3分)1、若当时,，则；2、设由方程所确定的隐函数，则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则；5、若，则；三、计算下列极限。

（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、，求2、，求五、计算下列积分（18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点,指出其类型. （7分）七、证明不等式:当时，（7分)八、求由曲线所围图形的面积。

一、单项选择题 (本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）1.。

（A） (Ｂ)(C) (Ｄ)不可导。

2.。

(Ａ)是同阶无穷小,但不是等价无穷小; （Ｂ）是等价无穷小;(C)是比高阶的无穷小；(Ｄ)是比高阶的无穷小。

3.若,其中在区间上二阶可导且，则（ )。

（A）函数必在处取得极大值;(B）函数必在处取得极小值；(C)函数在处没有极值,但点为曲线的拐点;(D）函数在处没有极值,点也不是曲线的拐点。

(A）(Ｂ）(C）（D）。

二、填空题(本大题有4小题，每小题４分，共16分)4.。

5. .6.。

7.。

三、解答题(本大题有5小题,每小题8分，共４０分)8.设函数由方程确定,求以及。

9.设函数连续，，且,为常数。

求并讨论在处的连续性.10.求微分方程满足的解。

四、解答题(本大题10分）11.已知上半平面内一曲线,过点，且曲线上任一点处切线斜率数值上等于此曲线与轴、轴、直线所围成面积的2倍与该点纵坐标之和,求此曲线方程．五、解答题（本大题10分)12.过坐标原点作曲线的切线,该切线与曲线及x轴围成平面图形D.(1)求D的面积A；（2）求Ｄ绕直线x = ｅ旋转一周所得旋转体的体积V。

六、证明题(本大题有2小题,每小题４分，共８分）13.设函数在上连续且单调递减,证明对任意的，。

14.设函数在上连续，且，。

证明:在内至少存在两个不同的点，使(提示：设)一、单项选择题(本大题有４小题, 每小题4分, 共16分)１、Ｄ 2、A 3、Ｃ 4、C二、填空题（本大题有4小题,每小题4分，共16分）5. . ６.。

7。

８。

三、解答题(本大题有5小题，每小题8分，共4０分)9.解：方程两边求导，10.解：11.解:12.解:由,知。

,在处连续。

13.解：，四、解答题（本大题10分）14.解:由已知且,ﻩ将此方程关于求导得ﻩ特征方程: 解出特征根：其通解为ﻩﻩﻩﻩ代入初始条件,得故所求曲线方程为:五、解答题(本大题10分)15.解:(1)根据题意，先设切点为，切线方程:由于切线过原点,解出,从而切线方程为：则平面图形面积(2)三角形绕直线x= e一周所得圆锥体体积记为V１,则曲线与x轴及直线x＝e所围成的图形绕直线x＝e一周所得旋转体体积为V2D绕直线x＝ｅ旋转一周所得旋转体的体积六、证明题(本大题有2小题，每小题4分,共1２分)16.证明:故有：证毕。

高数(大一上)期末试题及答案第一学期期末考试试卷（1）课程名称：高等数学（上）考试方式：闭卷完成时限：120分钟班级：学号：姓名：得分：一、填空（每小题3分，满分15分）1.lim (3x^2+5)/ (5x+3x^2) = 02.设 f''(-1) = A，则 lim (f'(-1+h) - f'(-1))/h = A3.曲线 y = 2e^(2t) - t 在 t = 0 处切线方程的斜率为 44.已知 f(x) 连续可导，且 f(x)。

0，f(0) = 1，f(1) = e，f(2) = e，∫f(2x)dx = 1/2ex，则 f'(0) = 1/25.已知 f(x) = (1+x^2)/(1+x)，则 f'(0) = 1二、单项选择（每小题3分，满分15分）1.函数 f(x) = x*sinx，则 B 选项为正确答案，即当x → ±∞ 时有极限。

2.已知 f(x) = { e^x。

x < 1.ln x。

x ≥ 1 }，则 f(x) 在 x = 1 处的导数不存在，答案为 D。

3.曲线 y = xe^(-x^2) 的拐点是 (1/e。

1/(2e))，答案为 C。

4.下列广义积分中发散的是 A 选项，即∫dx/(x^2+x+1)在区间 (-∞。

+∞) 内发散。

5.若 f(x) 与 g(x) 在 (-∞。

+∞) 内可导，且 f(x) < g(x)，则必有 B 选项成立，即 f'(x) < g'(x)。

三、计算题（每小题7分，共56分）1.lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)sinx)lim x^2(e^(2x)-e^(-x))/((1-cosx)/x)*x*cosxlim x(e^(2x)-e^(-x))/(sinx/x)*cosxlim (2e^(2x)+e^(-x))/(cosx/x)应用洛必达法则)2.lim {arcsin(x+1) + arcsin(x-1) - 2arcsin(x)}/xlim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - 2arcsin(x)/√(1+x^2)}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+x^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x+1)^2)) + arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)] - arcsin(x/√(1+(x-1)^2))}lim {arcsin[(x+1)/√(1+(x+1)^2)] - arcsin[(x-1)/√(1+(x-1)^2)]} π/2 (应用洛必达法则)3.y = y(x) 由 x + y - 3 = 0 确定，即 y = 3 - x，因此 dy/dx = -1.4.f(x) = arctan(2x-9) - arctan(x-3) 的导数为 f'(x) = 1/[(2x-9)^2+1] - 1/[(x-3)^2+1]，因此 f'(x)。

高等数学上期末考试试题及参考答案一、选择题（每题5分，共25分）1. 函数 \( f(x) = \frac{1}{x^2 + 1} \) 的反函数\( f^{-1}(x) \) 的定义域为（）A. \( (-\infty, 1) \cup (1, +\infty) \)B. \( [0, +\infty) \)C. \( (-\infty, 0) \cup (0, +\infty) \)D. \( (-1, 1) \)答案：C2. 设函数 \( f(x) = \ln(2x - 1) \)，则 \( f'(x) \) 的值为（）A. \( \frac{2}{2x - 1} \)B. \( \frac{1}{2x - 1} \)C. \( \frac{2}{x - \frac{1}{2}} \)D. \( \frac{1}{x - \frac{1}{2}} \)答案：A3. 设 \( f(x) = e^x + e^{-x} \)，则 \( f''(x) \) 的值为（）A. \( e^x - e^{-x} \)B. \( e^x + e^{-x} \)C. \( 2e^x + 2e^{-x} \)D. \( 2e^x - 2e^{-x} \)答案：D4. 下列函数中，哪一个函数在 \( x = 0 \) 处可导但不可微？（）A. \( f(x) = |x| \)B. \( f(x) = \sqrt{x} \)C. \( f(x) = \sin x \)D. \( f(x) = \cos x \)答案：A5. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = 2 \)，则 \( f'(0) \) 的值为（）A. 1B. 2C. 0D. 无法确定答案：B二、填空题（每题5分，共25分）6. 函数 \( f(x) = \ln(x + \sqrt{x^2 + 1}) \) 的导数 \( f'(x) \) 为_________。

高等数学期末考试试题及答案(大一考试)姓名：__________ 班级：__________ 学号：__________课程名称：高等数学(上)(A卷) 考试日期：2008年1月10日注意事项：1.本试卷满分100分，要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2.考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3.考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4.如有答题纸，请将答案全部写在答题纸上，否则不给分。

考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

一、单选题（每题3分，共15分）1.lim(sin(x^2-1)/(x-1))，x趋近于1，等于()A)1；(B)0；(C)2；(D)不存在。

2.若f(x)的一个原函数为F(x)，则∫e^(-x)f(e^x)dx等于()A)F(e^x)+c；(B)-F(e^-x)+c；(C)F(e^-x)+c；(D)F(e^-x^2/2)+c。

3.下列广义积分中()是收敛的。

A)∫sinxdx，从负无穷到正无穷；(B)∫1/|x|dx，从-1到1；(C)∫x/(1+x^2)dx，从负无穷到正无穷；(D)∫e^x dx，从负无穷到0.4.f(x)为定义在[a,b]上的函数，则下列结论错误的是()A)f(x)可导，则f(x)一定连续；(B)f(x)可微，则f(x)不一定可导；(C)f(x)可积（常义），则f(x)一定有界；(D)函数f(x)连续，则∫f(x)dx在[a,b]上一定有定义。

5.设函数f(x)=lim(n→∞)(1+x^2n)^2，则下列结论正确的是()A)不存在间断点；(B)存在间断点x=1；(C)存在间断点x=0；(D)存在间断点x=-1.二、填空题（每题3分，共18分）1.极限lim(x→∞)(x^2+1-1)/x=______。

2.曲线y=3t在t=2处的切线方程为y=______。

3.已知方程y''-5y'+6y=xe^(2x)的一个特解为-1/2(x+2x)e^(2x)，则该方程的通解为______。

第一学期期末考试试卷（1）课程名称： 高等数学(上) 考试方式： 闭卷 完成时限：120分钟班级： 学号： 姓名： 得分： . 一、填空(每小题3分，满分15分)1、xx x x 2sin 3553lim 2++∞→ 2、设A f =-'')1(，则=--'--'→hh f f h )12()1(lim 0 3、曲线⎩⎨⎧==-t tey e x 2在0=t 处切线方程的斜率为4、已知)(x f 连续可导，且2)2(,)1(,1)0(,0)(e f e f f x f ===>，='⎰10)2()2(dx x f x f5、已知21)(xe xf x+=，则='')0(f 二、单项选择(每小题3分，满分15分)1、函数x x x f sin )(=，则 ( )A 、当∞→x 时为无穷大B 、当∞→x 时有极限C 、在),(+∞-∞内无界D 、在),(+∞-∞内有界2、已知⎩⎨⎧≥<=1,ln 1,)(x x x e x f x ，则)(x f 在1=x 处的导数( )A 、等于0B 、等于1C 、等于eD 、不存在3、曲线xxe y -=的拐点是( )A 、1=xB 、2=xC 、),1(1-eD 、)2,2(2-e 4、下列广义积分中发散的是( )A 、⎰10sin x dxB 、⎰-101xdx C 、⎰+∞+02/31x dx D 、⎰+∞22ln xx dx5、若)(x f 与)(x g 在),(+∞-∞内可导，)()(x g x f <，则必有( ) A 、)()(x g x f -<- B 、)()(x g x f '<'C 、)(lim )(lim 0x g x f xx xx →→< D 、⎰⎰<0000)()(x x dx x g dx x f三、计算题（每小题7分，共56分）答题要求：写出详细计算过程1、求xx e e x x x x sin )cos 1()(lim 220---→2、求)arcsin(lim 2x x x x -++∞→3、设)(x y y =由03=-+xyy x 确定，求0|=x dy 。

《高等数学（一）》期末复习题一、选择题1. 极限)x x →∞的结果是 （ C ）.（A ）0 （B ） ∞ （C ） 12（D ）不存在 2. 设()xxx f +-=11ln，则)(x f 是 ( A ). （A ）奇函数 （B) 偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既奇又偶函数 3. 极限21lim sinx x x→= ( A ) . （A ）0 （B) 1 （C ）+∞ （D ）-∞ 4. 方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ B ）.（A ）无实根 （B ）有唯一实根 （C ）有两个实根 （D ）有三个实根 5. 设()()ln 1f x x =+，g (x )=x ，则当0x →时，()f x 是()g x 的( A ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小（C ）高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 6. 下列变量中，是无穷小量的为（ A ）.（A ）)1(ln →x x （B ）)0(1ln +→x x （C ）cos (0)x x → （D ）)2(422→--x x x 7. 极限011lim(sinsin )x x x x x→- 的结果是（ C ）.（A ）0 （B ） 1 （C ） 1- （D ）不存在8. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）()2,[0,1]f x x x =-∈ （B) 3(),[0,1]f x x x =∈ （C ）(),[1,1]f x x x =∈- （D)4(),[1,1]f x x x =∈-9. 函数1cos sin ++=x x y 是（ C ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ）非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 10. 当0→x 时， 下列是无穷小量的是（ B ）.（A ）1+x e (B) )1ln(+x (C) )1sin(+x (D) 1+x11. 当x →∞时，下列函数中有极限的是（ A ）.（A ）211x x +- (B) cos x (C) 1xe(D)arctan x 12. 方程310(0)x px p ++=>的实根个数是 （ B ）.（A ）零个 （B ）一个 （C ）二个 （D ）三个 13.21()1dx x '=+⎰（ B ）.（A ）211x + （B ）211C x++ （C ） arctan x （D ） arctan x c + 14. 定积分()f x dx ⎰是（ A ）.（A ）一个函数族 （B ）()f x 的的一个原函数 （C ）一个常数 （D ）一个非负常数15.函数(ln y x =+是（ A ）.（A ）奇函数 （B ）偶函数 （C ） 非奇非偶函数 （D ）既是奇函数又是偶函数 16. 设函数在区间上连续，在开区间内可导，且，则( B ).(A) (B) (C) (D) 17. 设曲线221x y e-=-，则下列选项成立的是（ C ）. (A) 没有渐近线 (B) 仅有铅直渐近线 (C) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (D) 仅有水平渐近线 18. 设是的一个原函数，则等式（ D ）成立.（A ）（B) （C ） （D)19. 设⎰+=C x dx x xf arcsin )(，则⎰=dx x f )(1（ B ）. （A ）C x +--32)1(43 （B ）C x +--32)1(31 （C ）C x +-322)1(43 （D ）C x +-322)1(32()f x []0,1()0,1()0f x '>()00f <()()10f f >()10f >()()10f f <F x ()f x ()dd d x f x x F x (())()⎰='=+⎰F x x f x c()()d '=⎰F x x F x ()()d dd d xf x x f x (())()⎰=20. 数列})1({nn n-+的极限为（ A ）.（A ）1(B) 1-(C) 0(D) 不存在21. 下列命题中正确的是（ B ）.（A ）有界量和无穷大量的乘积仍为无穷大量（B ）有界量和无穷小量的乘积仍为无穷小量 （C ）两无穷大量的和仍为无穷大量 （D ）两无穷大量的差为零 22. 若()()f x g x ''=，则下列式子一定成立的有（ C ）.(A)()()f x g x = (B)()()df x dg x =⎰⎰(C)(())(())df x dg x ''=⎰⎰(D)()()1f x g x =+ 23. 下列曲线有斜渐近线的是 ( C ).(A)sin y x x =+ (B)2sin y x x =+ (C)1siny x x =+ (D)21sin y x x=+ 24. 函数)1,0(11)(≠>+-=a a a a x x f x x （ B ）.（A ）是奇函数 （B ）是偶函数（C ）既奇函数又是偶函数 （D ）是非奇非偶函数 25. 下列函数中满足罗尔定理条件的是( D ).（A ）]1,0[,1)(∈-=x x x f （B)]1,0[,)(2∈=x x x f （C ）()sin ,[1,1]f x x x =∈- （D)]1,1[,)(2-∈=x x x f26. 若函数221)1(xx x x f +=+，则=)(x f （ B ）. （A ）2x （B ）22-x （C ）2)1(-x （D ）12-x 27. 设函数,ln )(x x x f =则下面关于)(x f 的说法正确的是( A ).（A ）在（0，e 1）内单调递减 （B)在（+∞,1e）内单调递减 （C ）在（0，+∞）内单调递减 （D)（0，+∞）在内单调递增28. 设1)(+=x x f ，则)1)((+x f f =（ D ）．（A ）x （B ）x + 1 （C ）x + 2 （D ）x + 329. 已知0)1(lim 2=--+∞→b ax x x x ，其中a ,b 是常数，则（ C ）.（A ）1,1==b a , （B ）1,1=-=b a （C ）1,1-==b a （D ）1,1-=-=b a 30. 下列函数在指定的变化过程中，（ B ）是无穷小量.（A ） （B ）（C ） （D ）31. 设函数(),2x xe ef x -+=则下面关于)(x f 的说法正确的是( B ) .（A ）在(0,)+∞内单调递减 （B)在(,0)-∞内单调递减 （C ）在(,0)-∞内单调递增 （D)在(,)-∞+∞内单调递增32. 下列函数中，在给定趋势下是无界变量且为无穷大的函数是（ C ）.（A ）)(1sin∞→=x xx y （B ）())(1∞→=-n n y n （C ）)0(ln +→=x x y （D ）)0(1cos 1→=x xx y33. 设⎪⎩⎪⎨⎧≤>=0,0,1sin )(x x x xx x f ，则)(x f 在0=x 处（ B ）. （A ）连续且可导（B ）连续但不可导 （C ）不连续但可导（D ）既不连续又不可导34. 在下列等式中，正确的是( C ).（A ）()()f x dx f x '=⎰ （B) ()()df x f x =⎰（C ）()()df x dx f x dx=⎰ （D)[()]()d f x dx f x =⎰ 35. 曲线x x y -=3在点（1，0）处的切线是（ A ）．（A ）22-=x y（B ）22+-=x ye 1xx ,()→∞sin ,()xxx →∞ln(),()11+→x x x xx +-→110,()（C ）22+=x y（D ）22--=x y36. 已知441x y =，则y ''=（ B ）． （A ） 3x （B ）23x （C ）x 6 （D ） 6 37. 若x xf =)1(，则=')(x f （ D ）.（A ）x 1 （B ）21x （C ）x 1- （D ）21x-38. 下列各组函数中，是相同的函数的是（ B ）.（A ）()()2ln 2ln f x x g x x == 和 （B ）()||f x x = 和 ()g x =（C ）()f x x = 和 ()2g x =（D ）()||x f x x=和 ()g x =1 39. 函数()()20ln 10x f x x a x ≠=+⎨⎪=⎩ 在0x =处连续，则a =（ B ）.（A ）0 （B ）14（C ）1 （D ）240. 曲线ln y x x =的平行于直线10x y -+=的切线方程为（ A ）.（A ）1y x =- （B ）(1)y x =-+ （C ）()()ln 11y x x =-- （D ）y x = 41. 设函数()||f x x =，则函数在点0x =处（ C ）.（A ）连续且可导 （B ）连续且可微 （C ）连续不可导 （D ）不连续不可微 42. 设()f x 可微，则0()(2)limh f x f x h h→--=（ D ）.(A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C ）2()f x '- （D)2()f x '43. 点0x =是函数4y x =的（ D ）.（A ）驻点但非极值点 （B ）拐点 （C ）驻点且是拐点 （D ）驻点且是极值点 44. 曲线1||y x =的渐近线情况是（ C ）. （A ）只有水平渐近线 （B ）只有垂直渐近线（C ）既有水平渐近线又有垂直渐近线 （D ）既无水平渐近线又无垂直渐近线45.211f dx x x⎛⎫' ⎪⎝⎭⎰的结果是（ D ）. （A ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭（B ）1f C x ⎛⎫--+ ⎪⎝⎭（C ）1f C x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭（D ）1f C x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭46.x x dxe e -+⎰的结果是（ A ）.（A ）arctan x e C + （B ）arctan x e C -+ （C ）x x e e C --+ （D ）ln()x x e e C -++47. 下列各组函数中,是相同函数的是( C ).(A) ()f x x =和()g x =()211x f x x -=-和1y x =+(C) ()f x x =和()22(sin cos )g x x x x =+ (D) ()2ln f x x =和()2ln g x x =48. 设函数()()2sin 21112111x x x f x x x x -⎧<⎪-⎪⎪==⎨⎪->⎪⎪⎩，则()1lim x f x →=（ D ）.(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D)不存在49. 设函数22456x y x x -=-+，则2x =是函数的( A ).(A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 50. 设函数()y f x =在点0x 处可导，且()f x '>0, 曲线则()y f x =在点()()00,x f x 处的切线的倾斜角为（ C ）. (A) 0 (B)2π(C)锐角 (D)钝角 51. 曲线ln y x =上某点的切线平行于直线23y x =-,则该点坐标是( D ).(A) 12,ln2⎛⎫ ⎪⎝⎭ (B) 12,ln 2⎛⎫- ⎪⎝⎭ (C) 1,ln 22⎛⎫ ⎪⎝⎭ (D) 1,ln 22⎛⎫- ⎪⎝⎭52. 函数2x y x e -=及图象在()1,2内是( B ).(A)单调减少且是凸的 (B)单调增加且是凸的 (C)单调减少且是凹的 (D)单调增加且是凹的 53. 以下结论正确的是( C ).(A) 若0x 为函数()y f x =的驻点,则0x 必为函数()y f x =的极值点. (B) 函数()y f x =导数不存在的点,一定不是函数()y f x =的极值点. (C) 若函数()y f x =在0x 处取得极值,且()0f x '存在,则必有()0f x '=0. (D) 若函数()y f x =在0x 处连续,则()0f x '一定存在.54. 设函数22132x y x x -=-+，则1x =是函数的( A ).（A ）可去间断点 （B) 跳跃间断点 （C) 无穷间断点 （D) 振荡间断点 55. 设函数()y f x =的一个原函数为12x x e ,则()f x =( A ).(A) ()121x x e - (B)12xx e - (C) ()121x x e + (D) 12xxe56. 若()()f x dx F x c =+⎰,则()sin cos xf x dx =⎰( D ).(A) ()sin F x c + (B) ()sin F x c -+ (C) ()cos F x c + (D) ()cos F x c -+57. 函数21,0e ,0xx x y x ⎧+<=⎨≥⎩在点0x =处( D ).（A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 58. 函数 2)1ln(++-=x x y 的定义域是（ C ）.（A ） []1,2- （B ） [)1,2- （C ）(]1,2- （D ）()1,2- 59. 极限x x e ∞→lim 的值是（ D ）.（A ）∞+ （B ） 0 （C ）∞- （D ）不存在 60. =--→211)1sin(limx x x （ C ）.（A ）1 （B ） 0 （C ）21-（D ）2161. 曲线 23-+=x x y 在点)0,1(处的切线方程是（ B ）.（A ） )1(2-=x y （B ）)1(4-=x y （C ）14-=x y （D ）)1(3-=x y62. 函数, 0,0xx x y e x <⎧=⎨≥⎩在点0x =处( B ). （A ）连续且可导 （B) 不连续且不可导 （C) 不连续但可导 （D) 连续但不可导 63. 下列各微分式正确的是（ C ）.（A ）)(2x d xdx = （B ）)2(sin 2cos x d xdx = （C ）)5(x d dx --= （D ）22)()(dx x d = 64. 设⎰+=C xdx x f 2cos 2)( ，则 =)(x f （ B ）. （A ）2sin x （B ） 2sin x - （C ）C x +2sin （D ）2sin 2x-65. 设()f x 可微，则0(2)()limh f x h f x h→+-=（ D ）.（A ）()f x '- （B)1()2f x ' （C)2()f x '- （D)2()f x ' 66.⎰=+dx x xln 2（ B ）.（A ）Cx x ++-22ln 212 （B ）C x ++2)ln 2(21（C ）C x ++ln 2ln （D ）C xx++-2ln 1 67. 函数)1lg(12+++=x x y 的定义域是（ B ）.（A ）()()+∞--,01,2 （B ）()),0(0,1+∞- （C ）),0()0,1(+∞- （D ）),1(+∞-68. 设0tan 4()lim6sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）1 （B ）2 （C ）6 （D ）24 69. 下列各式中，极限存在的是（ A ）.（A ） x x cos lim 0→ （B ）x x arctan lim ∞→ （C ）x x sin lim ∞→ （D ）x x 2lim +∞→70. =+∞→xx xx )1(lim （ D ）. （A ）e （B ）2e （C ）1 （D ）e1 71. 设0sin 4()lim5sin x x f x x →+=，则0()lim x f x x→=（ B ） .（A ）0 （B ）1 （C ）5 （D ）2572. 曲线x x y ln =的平行于直线01=+-y x 的切线方程是（ C ）.（A ）x y = （B ）)1)(1(ln --=x x y （C ）1-=x y （D ）)1(+-=x y73. 已知x x y 3sin = ，则=dy （ B ）.（A ）dx x x )3sin 33cos (+- （B ）dx x x x )3cos 33(sin + （C ）dx x x )3sin 3(cos + （D ）dx x x x )3cos 3(sin + 74. 下列等式成立的是（ C ）.（A ）⎰++=-C x dx x 111ααα （B ）⎰+=C x a dx a x x ln （C ）⎰+=C x xdx sin cos （D ）⎰++=C xxdx 211tan 75. 极限01lim sinx x x→= ( A ) . （A ） 0 （B) 1 （C ）+∞ （D) -∞ 76. 设()1cos f x x =-，()2g x x =，则当0x →时，()f x 是()g x 的( D ).（A ）等价无穷小 （B) 低阶无穷小 （C ） 高阶无穷小 （D) 同阶但非等价无穷小 77. 计算⎰xdx x e x cos sin sin 的结果中正确的是（ D ）.（A ）C e x +sin （B ）C x e x +cos sin （C ）C x e x +sin sin （D ）C x e x +-)1(sin sin78. 5lg 1)(-=x x f 的定义域是（ D ）.（A ）()),5(5,+∞∞- （B ）()),6(6,+∞∞-（C ）()),4(4,+∞∞- （D ）())5,4(4, ∞- ()),6(6,5+∞79. 如果函数f (x )的定义域为[1，2]，则函数f (x )+f (x 2)的定义域是（ B ）.（A ）[1，2] （B ）[1，2] （C ）]2,2[- （D ）]2,1[]1,2[ --80. 函数)1lg()1lg(22x x x x y -++++=( D ).（A ）是奇函数，非偶函数 （B ）是偶函数，非奇函数 （C ）既非奇函数，又非偶函数 （D ）既是奇函数，又是偶函数 81. 设()sin f x x x =，则)(x f 是( C ).（A ）非奇非偶函数 （B) 奇函数 （C)偶函数 （D) 既奇又偶函数 82. 函数)10(1)(2≤≤--=x x x f 的反函数=-)(1x f（ C ）.（A ）21x - （B ）21x --（C ）)01(12≤≤--x x （D ）)01(12≤≤---x x 83. 下列数列收敛的是（ C ）.（A ）1)1()(1+-=+n n n f n （B ）⎪⎩⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n nn n n f ,11,11)(（C ）⎪⎩⎪⎨⎧+=为偶数为奇数n n n n n f ,11,1)( （D ）⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=为偶数为奇数n n n f nn n n ,221,221)(84. 设1111.0个n n y =，则当∞→n 时，该数列（ C ）.（A ）收敛于0.1 （B ）收敛于0.2 （C ）收敛于91（D ）发散 85. 下列极限存在的是（ A ）.（A ）2)1(lim x x x x +∞→ （B ）121lim -∞→x x （C ）x x e 10lim → （D ）x x x 1lim 2++∞→ 86. xx xx x x sin 2sin 2lim 22+-+∞→=（ A ）.（A ）21（B ）2 （C ）0 （D ）不存在 87. =--→1)1sin(lim 21x x x （ B ）.（A ）1 （B ）2 （C ）21（D ）0 88. 下列极限中结果等于e 的是（ B ）.（A ）xx x x x sin 0)sin 1(lim +→ （B ）x xx x x sin )sin 1(lim +∞→ （C ）xxx xxsin )sin 1(lim -∞→- （D ）xxx xxsin 0)sin 1(lim +→89. 函数||ln 1x y =的间断点有（ C ）个. （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 90. 下列结论错误的是（ A ）.（A ）如果函数f (x )在点x =x 0处连续，则f (x )在点x =x 0处可导； （B ）如果函数f (x )在点x =x 0处不连续，则f (x )在点x =x 0处不可导； （C ）如果函数f (x )在点x =x 0处可导，则f (x )在点x =x 0处连续； （D ）如果函数f (x )在点x =x 0处不可导，则f (x )在点x =x 0处也可能连续。

（本小题5分）第一学期期末高等数学试卷、解答下列各题（本小题5分）x 3 12x 162x 3(本小题5分)求 x 2 2 dx. (1 x )（本小题5分）（本小题5分） 求-^dx. 1 x（本小题5分）求— 1 t 2 dt .dx 0（本小题5分）求 cot 6 x esc 4 xdx.(本小题5分)求-1 1 , 求 1 p cos dx. x x（本小题5分）设X e2t cost确定了函数y y e si nt（本小题5分）求'x 1 xdx .0 ■（本小题1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、 11、 12、13、求函数 y 4 2xx 2的单调区间丫（本小题5分) sin x dx.求2 2 0 8 sin 2 x (本小题5分) 设 x(t) e kt(3cos t 4sin t),求 dx .设函数y y （x ）由方程y 2 in y 2 x 6所确定，求史 dx （本大题共16小题, 总计80分）求极限 limx 2 9x 212x求极限 limarctan xx.1 arcsin xy(x),求乎dx14、 （本小题5分）求函数y 2e x e x 的极值15、 （本小题5分）2 2 2 2求极限 lim & “ （2x“ （3xD d°x Dx（10x 1）（11x 1）16、 （本小题5分）cos2x .求dx.1 sin xcosx二、解答下列各题（本大题共2小题，总计14分） 1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省.（本大题6分）设f （x ） x （x 1）（ x 2）（ x 3）,证明f （x ） 0有且仅有三个实根一学期期末高数考试（答案）、解答下列各题（本大题共16小题，总计77分） 1、（本小题3分）23x 212 26x 18x 122、（本小题3分）x 2\ 2x )1 d(1 x 2) 2(1 x 2)2c.3、（本小题3分） 因为 arctanx而 limarcsin — 02 x x2、（本小题7分）2求由曲线y -和y2三、解答下列各题所围成的平面图形绕 0X 轴旋转所得的旋转体的 体积.解:原式 limx 2lim 歿 x 212x18(19、 116 151故 limarcta n x arcs in o x x求—1 t2 dt .dx 0 '原式 2x 1 x 4cot 6 x(1 1 .7cot x 7(本小题4分) 2求1 工-x2cot x)d(cot x)1. 9cot x c.91cos^d(^) x x2(本小题4分)求 x 1 xdx.令 J 1 x ui u4、 5、(本小题3分)x .dx1 x1 x 1dx 1 x . dx dx1 xx ln 1 x(本小题3分)c.6、(本小题4分)cot 5 6 x csc 4 xd x8、1 （本小题4分） x e 2^st确定了函数y y e si nty(x),求 dy dx解:dy dxe 2t (2sin tt22e (cost 2tsin t ) e t (2 sint cost)22~(cost 2t sin t )cost)7、cos 1dx. x原式1 si n — x2u2)du 原式 2 (u41 \32(—)5 39、116 15解: dxx (t)dt13、（本小题6分）设函数y y （x ）由方程y 2 ln y 2 x 6所确定，求鱼dx2yy 空 6x 5 y3yx 57厂14、（本小题6分）求函数y 2e x ex , 2x1、y 2e (e y1 1驻点：x -| n —2 2由于 y 2e x e x 0故函数有极小值,,1n "2)2 210、（本小题5分） 求函数 y 4 2x x 2的单调区间解: 函数定义域（11、 12、 设 y 当x当x 当xX）2 2x 2(1 1, y 01, y0函数单调增区间为,11, y 0函数的单调减区间为1,(本小题5分)sin x ,2— dx.8 sin x2d cosx 09 cos 2 x原式1, 3 cosx ln ---------- 6 3 cosx丄In 26（本小题x （t ）6分)e kt (3cos t 4sin t),求dx .e kt (43k)cos t (4k 3 )sin t dtx的极值解.定义域）,且连续V x264d(*si n2x 1) 1 丄 si n2x2 1In 1 -si n2x c2、解答下列各题（本大题共2小题，总计13分） 1、（本小题5分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场，一边可用原来的石条围 沿, 另三边需砌新石条围沿，问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使材料最省•512设晒谷场宽为x,则长为 ----- 米,新砌石条围沿的总长为512xL 2x —— x (x 0)L c 51222x唯— •驻点 x 16 L1024 小3x即 x 16为极小值点 故晒谷场宽为16米，长为51232米时，可使新砌石条围沿16所用材料最省2、（本小题8分）15、（本小题 求极限 原式 2 2 2(x 1)(2x 1) (3x 1)2(10x 1)(10x 1)(11x 1)1 2 1 2 1 2 (1 -)2 (2 -)2 (3 -)2(10 丄)2x x x x1 1(10 -)(11 -)x x 10 11 216 10 11lim x lim x 16、（本小题7 210分) cos2x dx 1 sin xcosx cos2x 1 l sin2xdx2求由曲线y -和y2,8x 22x 3 x 10, x 1 4-)2x 32 (rdx 4x 40(匚6x)dx4J 1 5 (——x 4 5 1 1 7. -------x ) 64 7 04 1 1 512 44(—— )—5 7 35二、解答下列各题(本大题10分)设f (x) x(x 1)( x2)(x 3),证明f (x) 0有且仅有三个实根证明:f (x)在(，)连续,可导,从而在[0,3];连续，可导.又 f(0)f(1)f(2)f(3)则分别在[0,1],[1,2],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,至少存在1(0,1), 2 (1,2), 3(2,3)使f ( !) f ( 2) f ( 3)即f (x) 0至少有三个实根，又f (x) 0,是三次方程,它至多有三个实根 由上述f (x)有且仅有三个实根高等数学(上)试题及答案D 、不存在2、下列变量中，是无穷小量的为(、填空题(每小题 3分，本题共 15分)1、2、时，f (x)x e 2x在x 0处连续.3、dx ln x ,则巴dyx/x+14、 曲线yx 在点(0, 1 )处的切线方程是y=x+15、 若 f (x)dxsin2x C ，C 为常数，则 f (x)2cos2x —。

（2010至2011学年第一学期）课程名称： 高等数学(上)(A 卷)1、 满分100分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

2、 考生必须将、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

试 题一、单选题（请将正确的答案填在对应括号，每题3分，共15分）1. =--→1)1sin(lim21x x x ( ) (A) 1； (B) 0； (C) 2； (D)212.若)(x f 的一个原函数为)(x F ，则dx e f e x x )(⎰--为( )(A) c e F x+)(； (B) c eF x+--)(；(C) c e F x+-)(； (D )c xe F x +-)( 3.下列广义积分中 ( )是收敛的. (A)⎰+∞∞-xdx sin ； (B)dx x⎰-111； (C) dx x x ⎰+∞∞-+21； (D)⎰∞-0dx e x 。

4. )(x f 为定义在[]b a ,上的函数，则下列结论错误的是( )(A) )(x f 可导，则)(x f 一定连续； (B) )(x f 可微，则)(x f 不一定可导；(C) )(x f 可积（常义），则)(x f 一定有界； (D) 函数)(x f 连续，则⎰xadt t f )(在[]b a ,上一定可导。

5. 设函数=)(x f nn x x211lim++∞→ ，则下列结论正确的为( )(A) 不存在间断点； (B) 存在间断点1=x ； (C) 存在间断点0=x ； (D) 存在间断点1-=x二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题3分，共18分） 1. 极限=-+→xx x 11lim20_____.2. 曲线⎩⎨⎧=+=321ty t x 在2=t 处的切线方程为______. 3. 已知方程xxe y y y 265=+'-''的一个特解为x e x x 22)2(21+-，则该方程的通解为 .4. 设)(x f 在2=x 处连续，且22)(lim2=-→x x f x ，则_____)2(='f5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力F （牛顿）与伸长量s 成正比，即ks F =（k 为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________焦耳。

五、设函数由方程确定,求.（8分）六、若有界可积函数满足关系式，求。

(8分）七、求下列各不定积分（每题6分，共12分）（1）.八、设求定积分。

（6分）九、讨论函数的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（10分)十、求方程的通解（6分)十一、求证：.（5分）第一学期高等数学（上)（A）卷分标准题3分，共15分）2。

B 3。

D 4。

B 5.D分，共18分）为任意常数)，4. 2 , 5。

6。

分 (6)分解：………………3分…………….6分 (8)导 (3)数）…………6分分解：（1）。

……。

.3分 (6)分分=……………6分时有极大值2,有极小值。

在上是凸的,在上是凹的，拐点为(0,0）………10分十、解；…………………..3分设方程（1）的解为代入（1)得………5分…………………….6分十一、证明：令………………1 分又…。

3分的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

,所以…………。

5分.（2010至2011学年第一学期)一、单项选择题（15分，每小题3分）1、当时，下列函数为无穷小量的是( ）(A）（B) （C）（D)2．函数在点处连续是函数在该点可导的（）（A）必要条件（B）充分条件（C)充要条件（D)既非充分也非必要条件3．设在内单增，则在内（）（A）无驻点(B）无拐点(C）无极值点(D）4．设在内连续，且,则至少存在一点使（）成立。

（A）（B）（C）(D）5．广义积分当( ）时收敛。

（A) （B) (C）(D）二、填空题（15分，每小题3分）1、若当时，，则;2、设由方程所确定的隐函数,则；3、函数在区间单减;在区间单增；4、若在处取得极值，则;5、若，则；三、计算下列极限.（12分,每小题6分）1、2、四、求下列函数的导数（12分，每小题6分）1、,求2、，求五、计算下列积分(18分，每小题6分）1、2、3、设，计算六、讨论函数的连续性，若有间断点，指出其类型。

（7分)七、证明不等式:当时，（7分）八、求由曲线所围图形的面积。

大一高等数学期末考试一试卷一、选择题（共12 分）1.（ 3 分）若 f ( x)2e x , x 0,为连续函数 , 则a的值为 ().a x, x0(A)1 (B)2 (C)3 (D)-12.（ 3 分）已知f(3) 2, 则lim f (3 h) f (3) 的值为（）.h02h(A)1 (B)3 (C)-1(D)1 23.（ 3 分）定积分212xdx 的值为（）.cos2(A)0 (B)-2 (C)1(D)24.（3分）若f (x)在x x0处不连续,则 f ( x) 在该点处().(A)必不行导 (B) 必定可导 (C) 可能可导 (D) 必无极限二、填空题（共 12 分）1．（3 分）平面上过点(0,1) ，且在任意一点 ( x, y) 处的切线斜率为 3x2的曲线方程为.2.（ 31x4 sin x) dx.分）( x213.（ 3分） lim x2 sin1=.x0x4.（ 3分） y2x33x2的极大值为.三、计算题（共42 分）1.（ 6x ln(15x).分）求 limsin 3x2x02.（6 分）设ye xx2, 求 y .13.（ 6分）求不定积分x ln(1 x2 )dx.x 4.（ 63f ( x 1)dx, 此中f (x) 1, x 1,分）求cosxe x1,x 1.5. （ 6 分）设函数 yy x f ( x) 由方程e t dtcostdt 0 所确立 , 求 dy.6. （ 6 分）设 f ( x)dxsin x 2 C, 求 f (2 x 3)dx.3 n7. （ 6 分）求极限 lim 1 .2nn四、解答题（共 28 分）1. （ 7 分）设 f (ln x) 1 x, 且 f (0)1, 求 f ( x). 2. （ 7 分）求由曲线 ycos x2x与 x 轴所围成图形绕着 x 轴旋转一周2所得旋转体的体积 .3. （ 7 分）求曲线 y x 3 3x 2 24x 19 在拐点处的切线方程 .4. （ 7 分）求函数 yx1 x 在 [ 5,1] 上的最小值和最大值 .五、证明题 (6 分)设 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续 , 证明b b a1 bf (x)dx[ f (a) f (b)]( x a)( x b) f ( x) dx.a22 a标准答案一、 1 B;2C; 3D; 4 A.二、 1y x31;22 ;3 0;40.3三、 1解 原式limx5x 5 分x 03x 251 分32 解Q ln y lne x x ln( x 2 1),2 分x 2 12y e x[12x] 4 分x 21 2x 2 13 解原式1ln(1 x 2 ) d (1 x 2 )3 分21[(12)ln(12 (12) 12xdx]2xx )xx 22 分1[(1 x 2 )ln(1 x 2 )x 2 ] C1 分24解令 x1 t, 则2 分320 f ( x)dx1 f (t )dt1t2 t11 costdt1 (e 1)dt0 [ e tt ]12e 2 e 15两边求导得 eyy cosx 0,cosxQ ye ycosxsin x 1dycosx dxsin x 16 解f (2 x 3) dx1 f (2 x2 1sin(2 x 3)2 C21 分1 分1 分 1 分2 分1 分1 分2 分3)d(2 x 2)2 分4 分32 n 37 解原式 = lim3 24 分1n2n3= e22 分四、 1 解令 ln xt, 则 xe t ,f (t) 1 e t ,3 分f (t )(1 e t )dt = t e tC.2 分Q f (0)1, C 0,2 分f (x) xe x .1 分2 解V x2 23 分cos xdx222cos 2 xdx2 分2.2 分23 解 y3x 2 6x 24, y6x 6,1 分令 y 0, 得 x 1.1 分当x 1时 , y0; 当 1 x时 , y0,2 分(1,3) 为拐点 ,1 分该点处的切线为 y 3 21(x 1).2 分4 解 y 11x2 1 x 1, 2 分2 12 1 x令 y0, 得 x3 . 1 分4y( 5)56,2.55,y3 5, y(1) 1,2 分44最小值为 y(5)56, 最大值为 y35 . 2 分44五、证明ba)( x b) f(x) ba)( x b) df ( x)1 分(x( xaabb[( x a)( x b) f (x)] aaf ( x)[2 x ( a b)dx1分ba [2 x (a b)df ( x)1分[2 x (a b)] f ( x)(b a)[ f ( a) f (b)]移项即得所证 .b ba2 a f ( x)dx1分b2 a f ( x)dx,1分1分。

大一期末考试题及答案本次考试涵盖了本学期所学的主要知识点，包括但不限于高等数学、线性代数、大学物理、英语等科目。

以下是部分科目的期末考试题及答案，供同学们参考。

一、高等数学1. 求函数f(x)=x^3-3x^2+2x的导数。

答案：f'(x)=3x^2-6x+22. 计算定积分∫(0,1) (x^2+1)dx。

答案：∫(0,1) (x^2+1)dx = (1/3x^3+x)|_0^1 = 1/3+1 = 4/3二、线性代数1. 求解线性方程组：\begin{cases}x + 2y - z = 1 \\2x - y + z = 0 \\-x + 3y + 2z = 5\end{cases}答案：\begin{cases}x = 2 \\y = 1 \\z = -1\end{cases}2. 证明矩阵A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}是可逆的，并求其逆矩阵。

答案：矩阵A的行列式为-5，因为行列式不为0，所以矩阵A是可逆的。

逆矩阵A^{-1}=\begin{bmatrix} -4/5 & 2/5 \\ 3/5 & -1/5\end{bmatrix}。

三、大学物理1. 一物体以初速度v0=10m/s沿水平方向抛出，忽略空气阻力，求物体落地时的速度大小。

答案：根据机械能守恒，物体落地时的速度大小为v=\sqrt{v0^2+2gh}=\sqrt{10^2+2*9.8*h}，其中h为物体抛出的高度。

2. 一质量为m的物体在水平面上受到一恒定的拉力F作用，摩擦力为f，求物体的加速度a。

答案：根据牛顿第二定律，a=(F-f)/m。

四、英语1. Translate the following sentence into English: "随着科技的发展，人们的生活变得越来越方便。

"答案："With the development of technology, people's lives are becoming more and more convenient."2. Fill in the blanks with the correct prepositions: He isvery interested in ________ music.答案：in以上是部分科目的期末考试题及答案，希望对同学们有所帮助。

第一学期高等数学期末考试试卷答案•计算题（本题满分 35分，共有 5道小题, 每道小题 7分），1 •求极限 lim X 0.X_ X1 COSX2 sin 3X解:X m1 COSX2X2X1 COSXX1 COSX.3 sin XX mX mli mX 0.1 COSX xln ・2e1 COSX~2~xlnlim ^― X 0 , 1 COSX xln limX 01 COSX xl n2 ,1 COSX Inlim斗—X 0x 22 •设x 0时,x 2x 与一是等价无穷小,23 .如果不定积分kf t dt 与Ax 等价无穷小，求常数 k 与A .2 .x ax b ,2— dx 中不含有对数函数，求常数 a 与b 应满足的条件.x 1 1 x22x ax b因此不定积分2厂dx 中不含有对数函数的充分必要条件是上式中的待定系数x 1 1 x 2A C 0.2即X axx 1 21bB DB 1 2x D 2x 12xx 1 21 x 2x 1 2 12 .x所以，有x 2ax b B 1 x 2 D x 12B D x 2 2DxB Dsin xlim x 01 cosx 2x 4解:3x由于当x 0时,f t dt 与Ax k 等价无穷小，所以lim3xf t dt0 _________Ax k1 .而3Xt dt所以, 叫H xlim Akx3kx A2叫H Xx 06Akx11 •因此，k 1, A -62_3X2-3Xkx A 66A解:2 .x ax b2 2x 1 1 x化为部分分式，有x 2ax b x 1 21x 2A B Cx D x 1 x 1 1 xlimnsin x 2n2x1sin x x -21 1x -2 2 1 1 .x2 210 x -6•求出函数f x lim 妙 务 的所有间断点，并指出这些间断点的类型.n1 2x解:5.计算定积分 min 1, x 2 dx .解:x 2 x 21 min 1, x2 1x 211 x 12x1x2x 22 x3 1 x 35 2 所以，min 1, 0 x 2 dx 11dxo5 .设曲线C 的极坐标方程为rx dx 2 dx13~8解: 曲线r 3 a sin — —周的定义域为3 3asin3，求曲线C 的全长.0 -，即 033 •因此曲线C 的全长为2r 3 1 2d2 . 42.a sin cos d3 3二.（本题满分 45分，共有5道小题，每道小题9 分），lim f 1x2 lim 01 x2lim1 x2lim 1 2sin x 1 ,因此匕 x-是函数f x 的第一类可2去型间断点. lim f 1 x 2lim sin1 x2lim1x - 2lim 0 0 ,因此 1 x2x -是函数f x 的第一类可去型2间断点. 7 •设 是函数f x arcsinx 在区间0,上使用 Lagrange （拉格朗日）中值定理中的中值”,求极限limb 解: arcsin x 在区间0, b 上应用 Lagrange 中值定理，知存在 0, b ，使得arcsinbarcs inO所以，2b arcs inb•因此,m o H b22bmo H b2barcs inbm oH b 2 2arcsinb b b 2arcs inb 2令t arcs inb ,则有叫 H bimo^1t2tn3 IL-31/-b m o H .D8•设2in s imo ^1tImot2nsi2cos2t 12t 2 丄limT 21 6t 0 t1衍嗨61 0 2t1 x1ey 2 ydy ，求oox dx •解：1 11f x dx xf x 0xf x dx再在方程f1 1y 2 ye dy 0y 2 ye dy1因此，f x dx0 1 xy 2 exfdy 两端对x 求导,1xf x dx1xf 0x dx1 x 2e ，11 x2 ,xedxxe x 2 dxx 29 •研究方程 x2e ax 0在区间内实根的个数.解: 设函数f x2 xaxe1,2axe 2ax e ax 2在方程f xe y 2 y dy 中，令x 1，得令f x0，得函数f x 的驻点X 1 0, X 22 •由于a0，所以lim f x2 xlim ax e1 ，xxlim.・ 2 x1 a lim2x1 a lim2x , 2 ,1f xlim ax exx1 a lim x 1xxxexex e因此，得函数f x 的性态2⑴若4ae1 0 ,即卩a］时,函数 f x xax e1在,0、0,2、2,内各有一个零点，即方程 xe a x在内有 3个实根.2⑵若4ae 1 0,即a2e时，函数1 『x xax e 1在 ,0、 0,内各有 个零420分，共有2道小题，每道小题 10分），22e⑶若4ae 121 0，即a时，函数 f41 x2 .•即上1 2x x2 x 2 1 .而f x—.所以，1 x 21In 2 是函数f x 极大值. 2 4x ax2e x1在，0有一个零点，即方程1 , f 0 0. f t t f t 1，即f x 1 .得10 •设函数 f x可导，且满足f x x f x 试求函数f x的极值.解：在方程f x x f x 1 中令t x，得f x xf x xf x x在方程组中消去 f x ,xf x f x xf xx t t2积分，注意 f 0 0,得f x f 02dt0 1 t2x t t" 1, 4 2f x 2dt x 1 x arcta01t2 22x x由f x 勺得函数f x的驻点X1 0,1 xf 0 1 0, f 1 丄0.2所以，f 0 0是函数f x极小值；f 1 1 e x ax2在,内有1个实根.三•应用题与证明题（本题满分x x211•求曲线y x的一条切线，使得该曲线与切线I及直线x 0和x 2所围成的图形绕x轴旋转的旋转体的体积为最小.解:设切点坐标为t, ■. t1 、y 2、t，可知曲线y x在t, .. t处的切线方程为因此所求旋转体的体积为12d %所以，dVdt83t212Jdx0 .得驻点t3t，或2t，舍去t1 x t •2、、td2V dt2163t20，因而函数2处达到极小值，而且也是最小值•因此所求切3线方程为y .3 ——x412 •设函数f x 在闭区间0, 1上连续，在开区间0, 1内可导，且arctanxdx -,2证明：至少存在一点0, 1 ，使得f11 2arcta n解:因为f x在闭区间0, 1上连续，所以由积分中值定理，知存在0,-，使得f x arctanxdx 2e f arctan由于e f x arctanxdx1，所以, —e f arcta ne f arcta n arcta n 1 •Rolle中值定理，存在，1 0, 1 ,使得g 0 .而g xf xe f x f x arctan x 2.1 x2所以存在,1 0, 1 ,使得e f1fef arctan 20.1 2由于e f1 10,所以f arctan 20，即f 2-1 1 arcta n3■ 2asin do 3。

大一高数期末考试题（精）二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）1.2.3.lim(13某)某02in某.已知co某是f(某)的一个原函数,某.则f(某)co某d某某n12limn(co2nco22n1co2)nn.4.－某2arcin某11某2d某.三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）12某yyy(某)ein(某y)1确定，求y(某)以及y(0).5.设函数由方程1某7求d某.7某(1某)6.某1某e，某0设f(某) 求f(某)d某．322某某，0某17.18.设函数f(某)连续，g(某)f(某t)dt0，且lim某0f(某)A某，A为常数.求g(某)并讨论g(某)在某0处的连续性.9.求微分方程某y2y某ln某满足四、解答题（本大题10分）y(1)19的解.10.已知上半平面内一曲线yy(某)(某0)，过点(0,1)，且曲线上任一点M(某0,y0)处切线斜率数值上等于此曲线与某轴、y轴、直线某某0所围成面积的2倍与该点纵坐标之和，求此曲线方程.五、解答题（本大题10分）11.过坐标原点作曲线yln某的切线，该切线与曲线yln某及某轴围成平面图形D.求D的面积A；(2)求D绕直线某=e旋转一周所得旋转体的体积V.六、证明题（本大题有2小题，每小题4分，共8分）12.设函数f(某)在0,1上连续且单调递减，证明对任意的q[0,1]，q1f(某)d某qf(某)d某00.13.设函数f(某)在0,上连续，且0某f(某)d某0，0f(某)co某d某0.证明：在0,内至少存在两个不同的点1,2，使f(1)f(2)0.（提F(某)示：设0f(某)d某）二、填空题（本大题有4小题，每小题4分，共16分）5.e6.6. 12(co某某)2c.7.2.8.3三、解答题（本大题有5小题，每小题8分，共40分）9.解：方程两边求导e某y(1y)co某y(某y)(y)e某yy(某)yco(某y)e某y某co(某y)某0,y01，y(0)10.解：u某77某6d某du原式17(1u)u(1u)du17(1u2u1)du17(ln|u|2ln|u1|)c1ln|某727|7ln|1某7|C 0某111.解：13f(某)d某3某ed某02某某2d某03某d(e某)101(某1)2d某某e某e某00co23d (令某1in)242e31012.解：由f(0)，知g(0)0。