大一高等数学期末考试试卷
（一）
一、选择题（共12分）
1. （3分）若2,0,
(),0
x e x f x a x x ⎧<=⎨+>⎩为连续函数,则a 的值为( ).
(A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0
(3)(3)
lim
2h f h f h
→--的值为（ ）.
(A)1 (B)3 (C)-1 (D)
12
3. （3分）定积分
222
1cos xdx π
π
-
-⎰的值为（ ）.
(A)0 (B)-2 (C)1 (D)2
4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分）
1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为2
3x 的曲线方程为 . 2. （3分）
1
241
(sin )x x x dx -+=⎰
.
3. （3分） 2
1
lim sin
x x x
→= . 4. （3分） 3
2
23y x x =-的极大值为 .
三、计算题（共42分） 1. （6分）求2
ln(15)
lim
.sin 3x x x x →+
2. （6分）设x
e y =求.y ' 3. （6分）求不定积分2
ln(1).x x dx +⎰
4. （6分）求
3
(1),f x dx -⎰
其中,1,()1cos 1, 1.x x
x f x x e x ⎧≤⎪
=+⎨⎪+>⎩
5. （6分）设函数()y f x =由方程0
cos 0y
x
t
e dt tdt +=⎰
⎰所确定,求.dy
6. （6分）设
2()sin ,f x dx x C =+⎰求(23).f x dx +⎰
7. （6分）求极限3lim 1.2n
n n →∞
⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
四、解答题（共28分）
1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x
2. （7分）求由曲线cos 2
2y x x π
π⎛⎫=-
≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋
转体的体积.
3. （7分）求曲线32
32419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7分）求函数1y x x =+-[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分)
设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明
1()[()()]()()().22b
b
a
a
b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''=
++--⎰
⎰
（二）
一、
填空题（每小题3分，共18分）
1．设函数()2
31
22+--=x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点.
2．函数(
)2
1ln x
y +=，则='y
.
3． =⎪
⎭
⎫
⎝⎛+∞→x
x x x 21lim
. 4．曲线x y 1=
在点⎪⎭
⎫
⎝⎛2,21处的切线方程为 .
5．函数2
3
32x x y -=在[]4,1-上的最大值 ，最小值 .
6．
=+⎰dx x x
2
1arctan . 二、
单项选择题（每小题4分，共20分）
1．数列{}n x 有界是它收敛的（ ） .
() A 必要但非充分条件； () B 充分但非必要条件 ；
() C 充分必要条件； () D 无关条件.
2．下列各式正确的是（ ） .
() A C e dx e x x +=--⎰； () B C x
xdx +=⎰1
ln ； () C ()C x dx x +-=-⎰
21ln 2
1
211； () D C x dx x
x +=⎰
ln ln ln 1
. 3． 设()x f 在[]b a ,上，()0>'x f 且()0>''x f ，则曲线()x f y =在[]b a ,上.
() A 沿x 轴正向上升且为凹的； () B 沿x 轴正向下降且为凹的；
() C 沿x 轴正向上升且为凸的； () D 沿x 轴正向下降且为凸的.
4．设()x x x f ln =，则()x f 在0=x 处的导数（ ）.
() A 等于1； () B 等于1-；
() C 等于0； () D 不存在.
5．已知()2lim 1
=+
→x f x ，以下结论正确的是（ ）. () A 函数在1=x 处有定义且()21=f ； () B 函数在1=x 处的某去心邻域内有定义；
() C 函数在1=x 处的左侧某邻域内有定义；() D 函数在1=x 处的右侧某邻域内有定义.
三、
计算（每小题6分，共36分）
1．求极限：x
x x 1
sin
lim 2
→. 2. 已知(
)2
1ln x y +=，求y '.
3. 求函数x
x
y sin =()0>x 的导数.
