高等数学(下册)期中考试题及答案

一、单选题1．已知，则的虚部为（ ）()3i 2i z =⋅+z A ． B ． C ． D ．12-2i 2i -【答案】B【分析】利用复数的乘方及乘法运算化简复数，即可确定其虚部.【详解】，虚部为.()()32i 2i i 2i 2i i 12i z =⋅+=-⋅+=--=-2-故选：B2．如图，已知等腰直角三角形是一个平面图形的直观图，，斜边，则这个O A B '''O A A B ''''=2O B ''=平面图形的面积是（ ）A ．B ．1CD 【答案】A【分析】根据斜二测画法的定义，画出平面图形，求得原三角形的直角边，从而面积可得． 【详解】由题意，利用斜二测画法的定义，画出原图形，∵是等腰直角三角形，，斜边， Rt O A B '''△O A A B ''''=2O B ''=∴ O A B ''''==∴，2,2OB O B OA O A ''''====∴原平面图形的面积是.122⨯⨯=故选：A ．3．，，是两两不同的三条直线，下面四个命题中，真命题是（ ）a b cA ．若直线，异面，，异面，则，异面 a b b c a cB ．若直线，相交，，相交，则，相交 a b b c a cC ．若，则，与所成的角相等a b A a b c D ．若，，则a b ⊥r rb c ⊥a c A 【答案】C【分析】由空间中直线与直线的位置关系进行分析判断即可.【详解】对于A ，若直线，异面，，异面，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与异面，与异面，， 1111ABCD A B C D -AD 1BD 1BD 11B C 11AD B C ∥或与异面，与异面，与相交于点，AD 1BD 1BD CD AD CD D 或与异面，与异面，与异面，故选项A 错误；AD 1BD 1BD 11A B AD 11A B 对于B ，若直线，相交，，相交，则，可能是平行、相交、异面的任意一种， a b b c a c 如在正方体中，与相交于点，与相交于点，， 1111ABCD A B C D -AB 1BD B 1BD 11D C 1D 11AB D C ∥或与相交于点，与相交于点，与相交于点，AB 1BD B 1BD 1AD 1D AB 1AD A 或与相交于点，与相交于点，与异面，故选项B 错误； AB 1BD B 1BD 11A D 1D AB 11A D 对于C ，由异面直线所成角的定义，选项C 正确；对于D ，若，，则与可能是平行、相交、异面的任意一种，a b ⊥r rb c ⊥a c 如在正方体中，，，， 1111ABCD A B C D -1AB AA ⊥111AA A B ⊥11AB A B ∥或 ，，与相交于点，1AB AA ⊥1AA BC ⊥AB BC B 或 ，，与异面，故选项D 错误. 1AB AA ⊥111AA A D ⊥AB 11A D 故选：C.4．已知平面向量与的夹角为，则实数的值为（ ） ,a b a b ()30,b a a λ-⊥λA ．B ．2C ．D ．2-12-12【答案】B【分析】根据向量垂直时数量积等于0，结合数量积运算律以及数量积的定义，展开计算，即得答案.【详解】因为，所以，()b a a λ-⊥()0b a a λ-⋅= 即，故，20a b a λ⋅-=130,2λλ=∴=故选：B5．平行四边形ABCD ，点E 满足，，则（ ） 4AC AE = ()2,R 2DE AB AD λμλμ=+∈λμ+=A ．B ．C ．D ．1181412【答案】A【分析】先根据平面向量的线性运算将用表示，再根据平面向量基本定理即可得解.DE ,AB AD【详解】， ()11134444DE AE AD AC AD AB AD AD AB AD =-=-=+-=- 又因为，22DE AB AD λμ=+所以，所以，124324λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1238λμ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以. 131288λμ+=-=故选：A.6．“阿基米德多面体”这称为半正多面体（semi-regularsolid ），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体.已知 ） AB =A ．18πB ．16πC ．14πD ．12π【答案】A【分析】根据正方体的对称性可知：该半正多面体外接球的球心为正方体的中心，进而可求球的O 半径和表面积.【详解】如图，在正方体中，取正方体、正方形的中心、，连接1111F EFG E G H H -1111E F G H O 1O ，1111,,,E G OO OA O A∵分别为的中点，则 ,A B 1111,E H H G 112E G AB ==∴正方体的边长为， 3EF =故，可得 1132OO O A ==OA ==根据对称性可知：点到该半正多面体的顶点的距离相等，则该半正多面体外接球的球心为，半O O径， R OA ==故该半正多面体外接球的表面积为.224π4π18πS R ==⨯=故选：A.7．已知正四面体中，为的中点，则与所成角的余弦值为 A BCD -M AB CM ADA ．B C D ．1223【答案】C【分析】设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ，连结MN ，CN 则MN ∥AD ，∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，由此能求出直线CM 与AD 所成角的余弦值． 【详解】如图，设正四面体A ﹣BCD 的棱长为2，取BD 的中点N ， 连结MN ，CN ，∵M 是AB 的中点，∴MN ∥AD ， ∴∠CMN 或其补角是CM 与AD 所成的角，设MN 的中点为E ，则CE ⊥MN ，在△CME 中，ME ，CM ＝CN 12==∴直线CM 与AD 所成角的余弦值为cos ∠CME .ME CM ===故选C ．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．8．若圆锥的表面积为，其侧面展开图为一个半圆，则下列结论正确的为（ ） 3πA ．圆锥的母线长为1 B ．圆锥的底面半径为2C D ．圆锥的侧面积为π【答案】C【分析】设圆锥的底面半径为，母线为，根据侧面展开图为一个半圆,得出半径与母线的关系，r l 结合圆锥的表面积求出半径与母线，然后对选项进行逐一判断即可. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，r l 由侧面展开图为一个半圆，则，所以，1222l r ππ⨯⨯=2l r =圆锥的表面积为，则，， 2233lr r r ππππ+==1r =2l =圆锥的高h ==圆锥的体积为，213r h π=圆锥的侧面积为， 2rl ππ=故选：C二、多选题9．已知复数满足，则（ ） z ()2i 13i z +=+A B ．在复平面内对应的点位于第二象限 z C ． D ．满足方程44z =z 2220z z -+=【答案】AD【分析】根据复数的运算及其几何意义，逐个选项判断即可．【详解】对于A ：，故A 正确； 13i1i 2iz +==++对于B ：在复平面内对应的点位于第四象限，故B 错误；1i z =-对于C ：，故C 错误； 24422(1i)(1i)(2i)4z =⎡⎤=++==-⎣⎦对于D ：，故D 正确；． 2222(1i)2(1i)22i 22i 20z z -+=+-++=-++=故选：AD ．10．已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）()1,a λ= ()2,1b =-A ．若，则B ．若，则0λ=2a b +=//a b 12λ=-C ．若与的夹角为锐角，则D ．若，则在上的投影向量为 a b2λ<1λ=-a b 35b -【答案】BD【分析】利用向量模及共线向量的坐标表示，计算判断AB ；利用向量夹角公式计算判断C ；求出投影向量判断D 作答.【详解】平面向量，， ()1,a λ= ()2,1b =-对于A ，当时，，因此，A 错误；0λ=(1,1)a b =- +||a b +=对于B ，，则有，解得，B 正确；//a b 21λ-=12λ=-对于C ，与的夹角为锐角，则且与不共线，当时，，a b 0a b ⋅> a b0a b ⋅> 1(2)10λ⨯-+⨯>解得，由B 选项知，当时，与不共线，因此，C 错误；2λ>12λ≠-a b 2λ>对于D ，当时，，而1λ=-3a b ⋅=-||b == 因此在上的投影向量为，D 正确.a b 35||||a b b b b b ⋅⋅=-故选：BD11．如图，AC 为圆锥SO 底面圆O 的直径，点B 是圆O 上异于A ，C 的动点，，则下1SO OC ==列结论正确的是（ ）A ．圆锥SOB ．三棱锥S -ABC 体积的最大值为13C ．∠SAB 的取值范围是ππ,43⎛⎫⎪⎝⎭D ．若，F 为线段AB 上的动点，则 AB BC =SF CF +1【答案】ABD【分析】A 求出母线长、底面周长，应用扇形面积公式求侧面积；B 棱锥体积最大只需到距B AC 离最大，并确定最大值，应用棱锥体积公式求体积；C 注意确定大小即可判断；D AB BC =SAB ∠将两个三角形展开为一个平面，由三点共线求最小值即可.【详解】A ：由题设，圆锥母线，底面周长为，故侧面积为，对； l =2π2πr =12π2⨯=B ：要使三棱锥S -ABC 体积最大，只需最大即可，即到距离最大，为，ABC S A B AC 1r =所以体积的最大值为，对；111112323⨯⨯⨯⨯=C ：当时，△为等腰直角三角形，此时 AB BC =ABC AB BC ==所以，即△为等边三角形，此时，错； SA SB AB ==SAB π3∠=SAB D ：由C 分析知：时△为等腰直角三角形、△为等边三角形， AB BC =ABC SAB 将它们展开成一个平面，如下图，要使，即共线，最小值为的长度， SF CF +,,S F C SC而，，则，对. 3π4SBC ∠=SB BC ==1SC ==故选：ABD12．在中，角A ，B ，C 对边分别是a ，b ，c ，，，．则下列说法正确的ABC A π3A =8b =a =是（ ）A ．为锐角三角形B ．面积为ABC A ABCA C ．AB 长度为6 D ．外接圆的面积为ABC A 52π3【答案】BD【分析】利用余弦定理求出边判断C ，再利用余弦定理判断角的范围即可判断A ，利用面积公式c 判断B ，利用正弦定理求出外接圆的半径即可判断D. 【详解】由，，所以，π3A =8,b a ==(222π828cos3c c =+-⨯⨯⨯即,解得或，故C 错误；28120c c --=2c =6c =当时，，所以为钝角， 2c=222cos 02a c b B ac +-===<B 此时为钝角三角形，故A 错误；ABC A 当时，2c =11sin 8222S bc A ==⨯⨯=当时，6c =11sin 8622S bc A ==⨯⨯=所以面积为B 正确；ABC A 设外接圆的半径为R，由正弦定理得，所以ABCA 2sin a R A ===R =所以外接圆的面积为，故D 正确；ABC A 2252πππ3R ⎛== ⎝故选：BD.三、填空题13．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点，则三棱锥A -NMD 1的体积为____________ 【答案】13【分析】利用计算即可.11A NMD D AMN V V --=【详解】因为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱长为2，M 、N 分别为BB 1、AB 的中点 所以11111112323A NMD D AMN V V --==⨯⨯⨯⨯=故答案为：13【点睛】在求解三棱锥的体积时，要注意观察图形的特点，看把哪个当成顶点好计算一些. 14．在△中，角，，所对的边分别为，，，表示△的面积，若ABC A B C a b c S ABC ，，则__________．cos cos sin a B b A c C +=2221()4S b c a =+-B ∠=【答案】4π【详解】试题分析：∵，∴，∴222cos 2b c a A bc+-=22211sin ()24S bc A b c a ==+-，∴，．∵，∴，∴11sin 2cos 24bc A bc A =⨯tan 1A =4A π=cos cos sin a B b A c C +=2sin()sin A B C +=，∴，∴．sin 1C =2C π=4B π=【解析】解三角形.【思路点睛】先利用余弦定理和三角形的面积公式可得，可得，再用正弦定理把tan 1A =4A π=中的边换成角的正弦，利用两角和公式化简整理可求得，最后根据cos cos sin a B b A c C +=90C =︒三角形内角和，进而求得．B 15．在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是上底面1111ABCD A B C D -,E F 1111,C D B C P 内一点（含边界），若平面，则点的轨迹长为___________.1111D C B A AP ∥BDEF P【分析】由平行关系得出点轨迹后计算P 【详解】如图，取中点，中点，可知，11A D G 11A B H //AH DE //AG BF ，故平面平面，故点的轨迹为线段AG AH A = //AGH BDEF P GHGH =16．已知点为的外心，外接圆半径为，且满足，则的面积为O ABC A 12340OA OB OC ++=ABC A __________．【分析】由题意得到，利用，分别求得向量的||||||1OA OB OC === 2340OA OB OC ++=,,OA OB OC 两两夹角的余弦值，得出正弦值，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】如图所示，因为点为的外心，可得，O ABC A ||||||1OA OB OC ===由，可得①，②，2340OA OB OC ++= 234OA OB OC +=- 342OB OC OA +=- 243OA OC OB+=- ③；①式两边平方得，可得，所以；412916OA OB +⋅+= 14OA OB ⋅= 1cos 4AOB ∠=同理②③两边分别平方，可得，，7cos 8BOC ∠=-11cos 16AOC ∠=-则，， sin AOB ∠=sin BOC ∠=sin AOC ∠=所以故答案为：11111111222ABC AOB BOC AOC S S S S =++=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=A A A A四、解答题17．设向量满足，且,a b1==a b r r 32a b -=(1)求与夹角的大小；a b (2)求在上的投影向量.a b + b 【答案】(1) π3(2) 32b【分析】（1）利用数量积的运算律有，结合已知和向量数量积的定义求夹角2291247a a b b -⋅+= 即可；（2）所求投影向量为，根据已知和数量积的运算律求投影向量即可. ()||||a b b b b b +⋅⋅ 【详解】（1）由题设，，222232(32)91247a b a b a a b b -=-=-⋅+= 1==a b r r 所以，则，， 1312cos ,7a b -= 1cos ,2a b = ,],0π[a b ∈ 所以. π,3a b = （2）由在上的投影向量. a b + b 22()32||||||a b b b a b b b b b b b +⋅⋅+⋅=⋅= 18．已知圆锥的底面半径，高6R =8h =(1)求圆锥的表面积和体积(2)如图若圆柱内接于该圆锥，试求圆柱侧面积的最大值O O '【答案】(1),;96π96π(2).24π【分析】（1）由已知求得圆锥的母线长,再由圆锥的侧面积与体积公式求解;（2）作出圆柱与圆锥的截面图，把圆柱的侧面积用h 表示,然后结合二次函数求最值.【详解】（1）∵圆锥的底面半径R =6，高H =8，圆锥的母线长， ∴10L ==则表面积，体积. 26036π96πS RL R πππ=+=+=21963V R H ==ππ（2）作出圆锥、圆柱的轴截面如图所示,其中，8,6,(08)SO OA OB OK h h ====<<设圆柱底面半径为r ，则，即 . 868r h -=3(8)4r h =-设圆柱的侧面积为. 23322(8)(8)42r h h h h h S =⋅=⋅-'⋅=-+πππ当时，有最大值为.4h =S '24π19．在①；②；③sin cos 0a B A =()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-这三个条件中任选一个，补充在下面问题的横线上，并加以解答.问()2cos cos cos A c B b C a +=题：的内角所对的边分别为，且满足________.ABC A ,,A B C ,,a b c (1)求A ；(2)若，求的面积.a =sin 2sin C B =ABC A 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.【答案】(1)π3【分析】（1）选择①，由正弦定理边化角可得，求得答案；选择②，由正弦定sin 0A A =理边化角，再结合余弦定理求得答案；选择③，由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦公式求得答案；（2）利用正弦定理角化边，结合余弦定理即可求得，利用三角形面积公式即得答案.,b c【详解】（1）选择①，,sin cos 0a B A =由正弦定理，得, sin sin cos 0A B B A =而,故(0,π),sin 0B B ∈∴≠sin 0,tan A A A =∴=. π(0,π),3A A ∈∴=选择②，,()22sin sin sin sin sin B C A B C -=-由正弦定理，得，整理得，22()b c a bc -=-222b c a bc +-=又 而. 2221cos ,22b c a A bc +-==π(0,π),3A A ∈∴=选择③，，()2cos cos cos A c B b C a +=由正弦定理，得，()2cos sin cos cos sin sin A C B C B A +=即，即,()2cos sin sin A B C A +=2cos sin sin A A A =又， (0,π),sin 0A A ∈∴≠所以,故. 1cos 2A =π3A =（2）由若，可得，a =sin 2sin C B =2cb =故，即， 222cos 2bc a A bc+-=22153,1,224b b c b -=∴==故11sin 1222ABC S bc A ==⨯⨯=A20．已知函数的图象相邻对称中心之间的距离为. ()()2cos cos 0f x x x x ωωωω=->π2(1)求函数的单调递增区间；()f x (2)若函数，且在上有两个零点，求的取值范围. ()()g x f x b =-()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b 【答案】(1) ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z (2) 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由三角恒等变换化简函数解析式，根据题意可得出函数的最小正周期，结合正()f x 弦型函数的周期公式可求得的值，再利用正弦型函数的单调性可求得函数的单调递增区ω()f x 间；（2）分析函数在上的单调性，根据已知条件可得出关于的不等式组，解之即可. ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦b【详解】（1）解：因为 ()21cos 2cos cos 22x f x x x x x ωωωωω+=-=-， 11π12cos 2sin 22262x x x ωωω⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭因为函数图象相邻对称中心之间的距离为，故函数的最小正周期为， π2()f x π因为，则，则，故. 0ω>2π22πω==1ω=()π1sin 262f x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭由可得， ()πππ2π22π262k x k k -≤-≤+∈Z ()ππππ63k x k k -≤≤+∈Z 因此，函数的单调递增区间为. ()f x ()πππ,π63k k k ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦Z （2）解：因为， ()()π1sin 262g x f x b x b ⎛⎫=-=--- ⎪⎝⎭当时，， π02x ≤≤ππ5π2666x -≤-≤由可得，所以，函数在上单调递增， πππ2662x -≤-≤π03x ≤≤()g x π0,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦由可得，所以，函数在上单调递减， ππ5π2266x ≤-≤ππ32x ≤≤()g x ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦因为，， ()max ππ11sin 3222g x g b b ⎛⎫==--=- ⎪⎝⎭()π10sin 162g b b ⎛⎫=---=-- ⎪⎝⎭， ππ1sin π262g b b ⎛⎫⎛⎫=---=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要使得函数在上有两个零点，则，解得， ()g x π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦π1032π02g b g b ⎧⎛⎫=-> ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=-≤ ⎪⎪⎝⎭⎩102b ≤<因此，实数的取值范围是. b 10,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭21．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为P ABCD -ABCD PAD M 线段上一点，为的中点.PD N BC(1)当为的中点时，求证：平面.M PD //MN PAB (2)当平面，求出点的位置，说明理由.//PB AMN M【答案】(1)证明见解析；(2)存在点M ，点M 为PD 上靠近P 点的三等分点，理由见解析.【分析】（1）取中点为，连接，利用中位线、平行四边形性质及平行公理有AP E ,EM EB ，即为平行四边形，则，最后根据线面平行的判定证结论； //,BN ME BN ME =BNME //MN BE （2）连接，相交于，连接，由线面平行的性质得，利用相似比可得,AN BD O OM //PB OM ，即可判断的位置. 12PM MD =M 【详解】（1）取中点为，连接，AP E ,EM EB在中，为的中点，为中点，PAD A M PD E AP ， 1//,2EM AD EM AD ∴=在平行四边形中，为的中点，ABCD N BC ， 1//,2BN AD BN AD ∴=，//,BN ME BN ME ∴=四边形为平行四边形，∴BNME 面面，//,MN BE MN ∴⊄,PAB BE ⊂PAB 平面；//MN ∴PAB （2）连接，相交于，连接，,AN BD O OM 面，面面面，//PB AMN PBD ,AMN OM PB =⊂PBD ，， //PB OM ∴12PM OB BN MD OD AD ===即存在点M ，M 为PD 上靠近P 点的三等分点.22．在路边安装路灯，灯柱与地面垂直（满足），灯杆与灯柱所在平面与AB 90BAD ∠=︒BC AB 道路垂直，且，路灯采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知120ABC ∠=︒C ，路宽.设灯柱高，.60ACD ∠=︒12m AD =()m AB h =ACB θ∠=()3045θ︒≤≤︒(1)求灯柱的高（用表示）；h θ(2)若灯杆与灯柱所用材料相同，记此用料长度和为，求关于的函数表达式，并求出BC AB S S θS 的最小值.【答案】(1)8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒(2)，米8sin(260)S θ=+︒+()3045θ︒≤≤︒(min 4S =+【分析】（1）分别在△、△中，应用正弦定理求、，即可得解析式；ACD ABC AC AB （2）应用正弦定理求得，并应用差角正弦公式、倍角公式、辅助角公式化16cos sin(60)BC θθ=︒-简得到.8sin(260)S θ=+︒+【详解】（1）由题设，，， 90ADC θ∠=︒-60ACD ∠=︒12m AD =在△中，则， ACD sin sin AD AC ACD ADC =∠∠sin sin AD ADC AC ACD θ∠===∠在△中，则. ABC sin sin AB AC ABC θ=∠sin 8sin 2sin AC h AB ABC θθ====∠所以.8sin 2h θ=()3045θ︒≤≤︒（2）由题意，而，则S AB BC =+sin(60)sin BC AC ABCθ=︒-∠，16cos sin(60)BC θθ==︒-所以2116cos sin )8sin cos2BC θθθθθθ=⨯-=-24sin 2θθ=-+结合（1）知：4sin 228sin(260)Sθθθ=++=+︒+又，120260150θ︒≤+︒≤︒所以，当，时，米. 260150θ+︒=︒45θ=︒(min 1842S =⨯+=+。

一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列函数中，可导函数是：A. y = |x|B. y = x^2C. y = x^(1/3)D. y = x^(-1)答案：B解析：可导函数的定义是，对于函数y=f(x)，如果对于定义域内的任意一点x，都存在一个唯一的切线，那么这个函数就是可导的。

在选项中，只有B项y = x^2是可导的，因为它的导数存在。

2. 若函数f(x)在区间[a, b]上连续，在(a, b)内可导，且f'(a) = f'(b)，则：A. f(x)在[a, b]上单调递增B. f(x)在[a, b]上单调递减C. f(x)在[a, b]上至少有一个极值点D. f(x)在[a, b]上没有极值点答案：C解析：根据罗尔定理，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)内可导，且在区间端点处的导数相等，那么至少存在一个点c∈(a, b)，使得f'(c) = 0。

因此，f(x)在[a, b]上至少有一个极值点。

3. 下列极限中，正确的是：A. lim(x→0) (sinx/x) = 1B. lim(x→0) (1/x^2) = ∞C. lim(x→∞) (lnx/x) = 0D. lim(x→∞) (e^x/x) = ∞答案：D解析：选项A中的极限是洛必达法则的应用，但这里直接用洛必达法则是不恰当的，因为洛必达法则适用于“0/0”或“∞/∞”型的极限。

选项B和C中的极限都是无穷大或无穷小，不符合常规极限的定义。

选项D中的极限可以通过直接代入或洛必达法则求解，得到结果为∞。

4. 设f(x) = x^3 - 3x，则f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 3解析：根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = 3x^2 - 3。

5. 设f(x) = e^x - 2x，则f'(x) = _______。

答案：e^x - 2解析：同样根据导数的定义，对函数f(x)求导，得到f'(x) = e^x - 2。

2010 年4月高数A （下）期中考试试题答案班 级 姓 名 学 号一、填空题（每空3分，共30分）1．设()2,z x y f x y =++-且当1y =时，23z x =+，则()f x =21x +。

2．设()222z y f x y =+-，其中()f u 可微，则z zyx x y∂∂+=∂∂2xy 。

3．设z u xy =，则()1,2,2d u =4d 4d 4ln 2d x y z ++。

4．设(),z z x y =由222x x y z yf y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭所确定，其中f 为可微函数，则zy∂=∂'22x x x f f y y y y z ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

5．曲面222315x y z ++=在点()1,1,2-处的切平面方程是412290x y z -++-=。

6．设函数cos u xy z =，则在点()2,1,0M -处的()div grad u = 2 。

7．设曲面222236,x y z n ++=是曲面上点()1,1,1P 处指向外侧的法线向量，函数u =P 点处沿方向n的方向导数 117 。

8．若交换积分次序，则()1320d ,d y y f x y x -=⎰()()()21133201d ,d d ,d x x x f x y y x f x y y -+⎰⎰⎰⎰。

9．设L 为封闭曲线22143x y +=，其周长为a ，则()22234d L x y s ++=⎰ 14a 。

10. 设()()222d 23d 3d z xy x x x y y =+++，则z =233x y x y C +++。

二、(10分 ) 设()2ln ,,z f x y x y f =-具有二阶连续偏导数，求2zx y∂∂∂。

解：()''''1212'2""""111122122'"""1111222ln ,2,ln 221ln 2ln 2.z z xf y f f yf x y yf z x x y f f y f yf x y y y y x y x f f y y f yf y y y ∂∂=+=-∂∂⎡⎤∂=++-+-⎢⎥∂∂⎣⎦⎛⎫=++-- ⎪⎝⎭三、（10分）计算()2d x y z S ∑++⎰⎰, 其中∑是球面2222R z y x =++中满足0,0x y ≥≥及0z ≥的那部分曲面块，R 为正数。

故答案为： 5 2i . 15．已知 AABC 中，角 A, B,C 所对的边分别为 a,b, c, asinB 3bcosA, a 3 ，那么 AABC 面积的取值
范围是__________.
【答案】
0,
9
3 4
【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出 A ，再由余弦定理及基本不等式求出 bc 的取值范围，
1 2
e1
3 2
e2
，
b
对于
A
项， a
1 2
e1
3 2
e2
，
3e1 e2 ，
a
2 a
1 2
e1
3 2
2 e2
1 4
2 e1
3 4
2 e2
3 2
e1 e2
1 3 cos π 24
1 6 1，故 A 不正确； 4
对于 B 项，
a
b
1 2
e1
3 2
e2
故选：BC
12．已知对任意角, 均有等式 sin2 sin2 2sin cos .设 AABC 的内角 A, B,C 满足
sin2A sin A B C sin C A B 1 ，面积 S 满足 2 S 3 .记 a,b, c 分别为角 A, B,C 的对边，
2
2
所以
2
sin
A
cos
B
C
cos
B
C
1 2
故 sin Asin B sin C 1 ， 8
故 A 正确．
对于 B，又由正弦定理 a b c 2R ，得 a 2R sin A,b 2R sin B ， sin A sin B sin C
三角形的面积公式 S 1 ab sin C 2R2 sin Asin B sin C ，可得 R2 4S ，又 2 S 3 2

《高等数学下》期中试题参考答案一．填空题 (每小题3分，共21分)1．lim x →0⎰ 0x 2sin 2tdt x 4 = lim x →02xsin 2x 4x 3 = lim x →0sin 2x 2x 2 = 12. 2．⎰-11 x 2+sinx 1+x 2dx = ⎰-11x 21+x 2dx +⎰-11sinx 1+x 2dx = 2⎰01x 21+x 2dx +0=2⎰01(1-11+x 2)dx=2-2arctanx|01=2-π/2 3．⎰-∞+∞dx x 2+2x+2 = ⎰-∞+∞d(x+1)(x+1)2+1= arctan(x+1)|-∞+∞ =π/2 – (-π/2) = π 4．空间曲线 ⎩⎨⎧ z=2-x 2-y 2 z=x 2+y 2在XOY 平面上的投影为 ⎩⎨⎧x 2+y 2=1z=0 5．设z = ln(x+lny) , 则 1y ∂z ∂x - ∂z ∂y = 1y •1x+lny - 1/y x+lny= 0 6．交换 ⎰ 04 dy ⎰y 2 f (x,y)dx 积分次序得 ⎰02 dx ⎰0x 2f (x,y)dx7．设f(x)是连续函数，且⎰ 0x 3-1f (t)dt =x ，则 f (7) = 。

两边求导得到 f(x 3-1)3x 2=1， 将x=2代入得到 f(7)=1/12二。

单项选择题（在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，并将正确答案的序号填在题中的括号内。

每小题3分，共18分。

）8. 下列等式正确的是 （C ） Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=f(x) Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=f(x) Ｃ、d dx ⎰ax f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x) 正确的关系式为：Ａ、d dx ⎰a b f(x)dx=0 Ｂ、d dx ⎰f(t)dt=0 Ｃ、d dx⎰a x f(t)dt=f(x) Ｄ、⎰f '(x)dx=f(x)+C 9. 设⎰0x f(t)dt = 12f(x)- 12，且f(0)=1，则 f(x)= （ A ） A 、e 2x B 、12e x C 、e x 2 D 、12e 2x 两边求导得到f(x)= 12f '(x) , 只有 f(x)= e 2x 10. 已知函数 f (x+y, xy) = x 2+y 2 ，则 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y= （ B ） A 、2x+2y B 、2x – 2 C 、2x – 2yD 、2x + 2f (x+y, xy) = (x+y)2-2xy , f(u,v)=u 2-2v, 所以 f(x,y)=x 2-2y=x 2+y 2 ∂f(x,y)∂x + ∂f(x,y)∂y=2x-2 11. 二元函数 z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 ( D )A 、8B 、-12C 、16D 、-8∂z ∂x =2x+4, ∂z ∂y=2y-4, z 的极小值点为(-2,2)，z = x 2 +y 2+4(x-y)的极小值为 –8 12. 下列广义积分收敛的是 （ C ）Ａ、⎰1+∞—— dx 4x 3 Ｂ、⎰e +∞lnx x dx Ｃ、⎰ 01—— dx 3xＤ、⎰e +∞dx x lnx 利用常用广义积分的指数判别法 ⎰ 01—— dx3x 收敛13. f(x,y)=ln x 2 -y 2 则 ∂2f(x,y)∂x ∂y =（C ） A 、x 2-y 2(x 2-y 2)2 B 、y 2-x 2(x 2-y 2)2 C 、2xy (x 2-y 2)2D 、- 2xy (x 2-y 2)2 因为 ∂f(x,y)∂x =1x 2 -y 2 •2x 2x 2 -y 2 =x x 2-y 2 ， 所以 ∂2f(x,y)∂x ∂y =2xy(x 2-y 2)2三。

f ( x, y ) d x + ∫ d y ∫ y 2 f ( x, y ) d x ．
0 2
v
2
2
二、记 x − y = u ， ln x = v ，则 x = e ， y = e − u ，代入右端，得
f (u , v ) =
即
u u −2 v e ， v
x x −2 y e ． y ∂f 1 + x x −2 y ∂f x(1 + 2 y ) x−2 y = e ， =− e ． y y2 ∂x ∂y
五、设 F ( x, y, z ) = xyz + λ ( x + y + z − 5r ) ，令
3 2 2 2 2
Fx = yz 3 + 2λ x = 0 , Fy = xz 3 + 2λ y = 0 , Fz = 3 xyz 2 + 2λ z = 0 , x 2 + y 2 + z 2 = 5r 2 ,
x +1 y − 3 z = = 相交 1 1 2
参考答案
一、
⎡ ⎤ 2x 2y 1． d z |(1,2) = ⎢ dx+ d y⎥ 2 2 2 2 1+ x + y ⎣1 + x + y ⎦ 1 2 = dx+ d y． 3 3
2 2
3 2 a ．因此 4
M = ∫∫∫ z d V = ∫∫ d x d y ∫
Ω
D
a2 − x2 − y 2 a− a2 − x2 − y2
zdz =
1 [ 2a a 2 − x 2 − y 2 − a 2 ] d x d y ∫∫ 2 D
a 5 1 2π d θ ∫ 2 [ 2 a a 2 − ρ 2 − a 2 ] ρ d ρ = πa 4 ． ∫ 0 2 0 24 G G 2 八、(1) τ = 1,−2t ,3t ， n = (0 , 3 , 2 ) ． G G 令 τ ⋅ n = 0 ，得 t1 = 0 ， t 2 = 1 ，即 G G τ 1 = (1 , 0 , 0 ) ， τ 2 = (1 , − 2 , 3 ) ．

大一下学期高等数学期中考试试卷及答案一、选择题（共40题，每题2分，共80分）1. 计算∫(4x-3)dx的结果是：A. 2x^2 - 3x + CB. 2x^2 - 3x + 4C. 2x^2 - 3x + 1D. 2x^2 - 3x答案：A2. 曲线y = 2x^3 经过点(1, 2)，则函数y = 2x^3的导数为：A. 2x^2B. 6x^2C. 6xD. 2x答案：D3. 若a,b为实数，且a ≠ 0，则 |a|b 的值等于：A. aB. abC. 1D. b答案：B4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + 1，g(x) = 2x - 1，则f(g(-2))的值为：A. 19B. 17C. 16D. 15答案：C5. 已知√2是无理数，则2-√2是：A. 有理数B. 无理数C. 整数D. 分数答案：A二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 设函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1，则f'(1)的值为____。

答案：42. 已知函数f(x) = 4x^2 + ax + 3，若其图像与x轴有两个交点，则a的取值范围是____。

答案：(-∞, 9/4) ∪ (9/4, +∞)3. 三角形ABC中，AB = AC，角A的度数为α，则角B的度数为____。

答案：(180°-α)/24. 若函数y = f(x)在点x = 2处的导数存在，则f(x)在点x = 2处____。

答案：连续5. 若直线y = kx + 2与曲线y = x^2交于两个点，则k的取值范围是____。

答案：(-∞, 1) ∪ (1, +∞)三、解答题（共5题，每题20分，共100分）1. 计算∫(e^x+1)/(e^x-1)dx。

解：令u = e^x-1，则du = e^xdx。

原积分变为∫(1/u)du = ln|u| + C = ln|e^x-1| + C。

2. 求函数y = x^3 + 2x^2 - 5x的驻点和拐点。

【必考题】高三数学下期中试卷附答案一、选择题1．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()224116x y +++=分成面积相等的两部分，则122a b+的最小值为( ) A ．10B ．8C ．5D ．42．设,x y 满足约束条件3002x y x y x -+≥⎧⎪+≥⎨⎪≤⎩, 则3z x y =+的最小值是 A ．5-B ．4C ．3-D ．113．已知x ，y 满足2303301x y x y y +-≤⎧⎪+-≥⎨⎪≤⎩，z ＝2x +y 的最大值为m ，若正数a ，b 满足a +b ＝m ，则14a b+的最小值为（ ） A ．3B ．32C ．2D ．524．已知等差数列{}n a 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项的和10S =（ ） A ．138B ．135C ．95D ．235．已知,,a b R +∈且115a b a b+++=,则+a b 的取值范围是（ ） A ．[1,4]B ．[)2,+∞C ．(2,4)D ．(4,)+∞6．数列{}n a 为等比数列，若11a =，748a a =，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ，则5(S = )A ．3116B ．158C ．7D ．317．设x ，y 满足不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩，若Z ax y =+的最大值为29a +，最小值为2a +，则实数a 的取值范围是（ ）.A ．(,7]-∞-B ．[3,1]-C ．[1,)+∞D ．[7,3]--8．设x ，y 满足约束条件33,1,0,x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥⎩则z =x +y 的最大值为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．39．已知等比数列{}n a 中，11a =，356a a +=，则57a a +=（ ） A ．12B ．10C．D．10．在斜ABC ∆中，设角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知sin sin sin 4sin cos a A b B c C b B C +-=，CD 是角C 的内角平分线，且CD b =，则cos C = （ ）A ．18B ．34C ．23 D ．1611．若ABC V 的对边分别为,,a b c ，且1a =，45B ∠=o ,2ABC S =V ,则b =（ ） A ．5B ．25CD．12．已知正数x 、y 满足1x y +=，则141x y++的最小值为（ ） A ．2B ．92 C ．143D ．5二、填空题13．要使关于x 的方程()22120x a x a +-+-=的一根比1大且另一根比1小，则a 的取值范围是__________．14．已知等比数列{}n a 的公比为2,前n 项和为n S ,则42S a =______. 15．已知x ，y 满足3010510x y x y x y +-≤⎧⎪-+≥⎨⎪-+≤⎩，则2z x y =+的最大值为______.16．若ABC ∆的三个内角45A =︒，75B =︒，60C =︒，且面积6S =+形的外接圆半径是______17．已知数列{}n a 是等差数列，若471017a a a ++=,45612131477a a a a a a ++++++=L ，且13k a =,则k =_________．18．已知实数x y ，满足2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩则2z x y =-的最大值是____．19．我国古代数学名著《九章算术》里有问题：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安一千一百二十五里，良马初日行一百零三里，日增十三里；驽马初日行九十七里，日减半里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢，问：__________日相逢？ 20．设等差数列{}na 的前n 项和为n S ．若35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列，则数列{}n a 的通项公式n a =____．三、解答题21．已知000a b c ＞，＞，＞，函数().f x a x x b c =-+++ (1)当1a b c ===时,求不等式()3f x ＞的解集；(2)当()f x 的最小值为3时,求111a b c++的最小值. 22．已知在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-． （1）求证：A B =；（2）若c =3cos 4C =，求ABC ∆的周长．23．已知角A ，B ，C 为等腰ABC ∆的内角，设向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，BC =（1）求角B ；（2）在ABC ∆的外接圆的劣弧»AC 上取一点D ，使得1AD =，求sin DAC ∠及四边形ABCD 的面积．24．在△ABC 中，角,,A B C 所对的边分别是,,a b c ，且4cos 5A =． （1）求2sincos 22B CA ++的值； （2）若2b =，ABC ∆的面积3S =，求a 的值． 25．已知数列{}n a 满足：121n n a a n +=-+，13a =.（1）设数列{}n b 满足：n n b a n =-，求证:数列{}n b 是等比数列； （2）求出数列{}n a 的通项公式和前n 项和n S .26．D 为ABC V 的边BC 的中点．222AB AC AD ===． （1）求BC 的长；（2）若ACB ∠的平分线交AB 于E ，求ACE S V ．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即41a b +=，故()121288444282222b a b a a b a b a b a b a b⎛⎫+=++=++≥+⋅= ⎪⎝⎭，当且仅当82b aa b =，即11,82a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()222x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是()4,1.2．C解析：C 【解析】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．由3z x y =+可得3y x z =-+．平移直线3y x z =-+，结合图形可得，当直线3y x z =-+经过可行域内的点A 时，直线在y 轴上的截距最小，此时z 也取得最小值．由300x y x y -+=⎧⎨+=⎩，解得3232x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故点A 的坐标为33(,)22-．∴min 333()322z =⨯-+=-．选C ． 3．B解析：B 【解析】 【分析】作出可行域，求出m ，然后用“1”的代换配凑出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值． 【详解】作出可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，平移该直线，当直线l 过点(3,0)A 时，2x y +取得最大值6，所以6m =．1411414143()()(5)(5)6662b a b a a b a b a b a b a b +=++=++≥+⨯=，当且仅当4b a a b =，即12,33a b ==时等号成立，即14a b +的最小值为32． 故选：B. 【点睛】本题考查简单的线性规划，考查用基本不等式求最值，解题关键是用“1”的代换凑配出基本不等式的定值，从而用基本不等式求得最小值．4．C解析：C 【解析】试题分析：∵24354{10a a a a +=+=，∴1122{35a d a d +=+=，∴14{3a d =-=， ∴1011091040135952S a d ⨯=+⨯=-+=． 考点：等差数列的通项公式和前n 项和公式．5．A解析：A 【解析】分析：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b +++=，可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭，化简整理即可得出.详解：,a b R +∈，由22a b ab +⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，可得()214ab a b ≥+，又115a b a b+++=， 可得()()()214151a b a b ab a b ⎛⎫⎛⎫ ⎪++=≥++ ⎪ ⎪⎝⎭+⎝⎭， 化为()()2540a b a b +-++≤， 解得14a b ≤+≤， 则+a b 的取值范围是[]1,4. 故选：A.点睛：本题考查了基本不等式的性质、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.6．A解析：A 【解析】 【分析】先求等比数列通项公式，再根据等比数列求和公式求结果. 【详解】Q 数列{}n a 为等比数列，11a =，748a a =，638q q ∴=，解得2q =， 1112n n n a a q --∴==， Q 数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n S ， 55111111131211248161612S ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭∴=++++==-．故选A ． 【点睛】本题考查等比数列通项公式与求和公式，考查基本分析求解能力，属基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值. 【详解】作出不等式组110750310x y x y x y +-≤⎧⎪--≥⎨⎪--≤⎩对应的平面区域（如图阴影部分），目标函数z ax y =+的几何意义表示直线的纵截距，即y ax z =-+，（1）当0a <时，直线z ax y =+的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在,C A 处取得，则直线z ax y =+的斜率不大于直线310x y --=的斜率， 即3a -≤，30a ∴-≤<.（2）当0a >时，直线z ax y =+的斜率为负，易知最小值在A 处取得，要使得z 的最大值在C 处取得，则直线z ax y =+的斜率不小于直线110x y +-=的斜率1a -≥-， 01a ∴<≤.（3）当0a =时，显然满足题意. 综上：31a -≤….故选：B . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.8．D解析：D 【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z x y =+经过(3,0)A 时z 取得最大值，故max 303z =+=，故选D ．点睛:本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围．9．A解析：A 【解析】由已知24356a a q q +=+=，∴22q =，∴25735()2612a a q a a +=+=⨯=，故选A.10．A解析：A 【解析】 【分析】利用正弦定理角化边可构造方程2cos cos bC C a=，由cos 0C ≠可得2a b =；利用ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+可构造方程求得3cos 24C =，利用二倍角公式求得结果.【详解】由正弦定理得：22224cos a b c b C +-=则22224cos 2cos cos 22a b c b C bC C ab ab a+-===ABC ∆Q 为斜三角形 cos 0C ∴≠ 2a b ∴=ABC ACD BCD S S S ∆∆∆=+Q 1112sin sin 2sin 22222C Cb b C b b b b ∴⋅=⋅+⋅即：2sin 4sin cos 3sin 222C C CC ==()0,C π∈Q 0,22C π⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ sin 02C ∴≠ 3cos 24C ∴= 291cos 2cos 1212168C C ∴=-=⨯-= 本题正确选项：A【点睛】本题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理化简边角关系式、余弦定理和三角形面积公式的应用、二倍角公式求三角函数值等知识；关键是能够通过面积桥的方式构造方程解出半角的三角函数值.11．A解析：A 【解析】在ABC ∆中，1a =，045B ∠=，可得114522ABC S csin ∆=⨯⨯︒=，解得c =．由余弦定理可得：5b ===． 12．B解析：B 【解析】 【分析】由1x y +=得(1)2x y ++=，再将代数式(1)x y ++与141x y++相乘，利用基本不等式可求出141x y++的最小值． 【详解】1x y +=Q ，所以，(1)2x y++=，则1414412()[(1)]()559111x y x y x y x y y x ++=+++=++=+++…， 所以，14912x y ++…， 当且仅当4111x y y x x y +⎧=⎪+⎨⎪+=⎩，即当2313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，因此，141x y ++的最小值为92， 故选B ． 【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，对代数式进行合理配凑，是解决本题的关键，属于中等题．二、填空题13．【解析】【分析】设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小转化为即可求解【详解】由题意设要使得关于的方程的一根笔译1大且另一根比1小根据二次函数的图象与性质则满足即即解得即实数的取值范围是【点睛 解析：21a -<<【解析】 【分析】设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为()10f <，即可求解. 【详解】由题意，设()22(1)2f x x a x a =+-+-，要使得关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，根据二次函数的图象与性质，则满足()10f <，即220a a +-<， 即(1)(2)0a a -+<，解得21a -<<，即实数a 的取值范围是21a -<<. 【点睛】本题主要考查了一元二次函数的图象与性质的应用问题，其中解答中把关于x 的方程22(1)20x a x a +-+-=的一根笔译1大且另一根比1小，转化为(1)0f <是解得的关键，着重考查了转化思想，以及推理运算能力.14．【解析】由等比数列的定义S4=a1＋a2＋a3＋a4=＋a2＋a2q ＋a2q2得＋1＋q ＋q2=解析：152【解析】由等比数列的定义，S 4=a 1＋a 2＋a 3＋a 4=2a q＋a 2＋a 2q ＋a 2q 2， 得42S a =1q ＋1＋q ＋q 2=152. 15．5【解析】【分析】画出不等式表示的可行域利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)化直线为当直线平移过点A 时z 取得最大值联立直线得A （解析：5 【解析】 【分析】画出不等式表示的可行域，利用目标函数的几何意义当截距最小时取z 取得最大值求解即可 【详解】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影所示)，化直线2z x y =+为122z y x =-+ 当直线平移过点A 时，z 取得最大值，联立直线3010x y x y +-=⎧⎨-+=⎩得A （1,2），故max 145z =+=故答案为：5【点睛】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，是基础题16．【解析】【分析】设三角形外接圆半径R 由三角形面积公式解方程即可得解【详解】由题：设三角形外接圆半径为R （）根据正弦定理和三角形面积公式：即解得：故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应 解析：2【解析】 【分析】设三角形外接圆半径R ，由三角形面积公式21sin 2sin sin sin 2S ab C R A B C ==解方程即可得解. 【详解】由题：232162sin sin 75sin(4530)22224B =︒=︒+︒=+=设三角形外接圆半径为R （0R >），根据正弦定理和三角形面积公式：211sin 2sin 2sin sin 2sin sin sin 22S ab C R A R B C R A B C ==⋅⋅= 即2236232226R +⨯+=，解得：R =故答案为：【点睛】此题考查三角形面积公式和正弦定理的应用，利用正弦定理对面积公式进行转化求出相关量，需要对相关公式十分熟练.17．18【解析】观察下标发现4710成等差数列所以同理解析：18 【解析】471017a a a ++=，观察下标发现4，7，10成等差数列，所以74710317a a a a =++=，7173a ∴=同理94561213141177a a a a a a a =++++++=L ，97a ∴=423d ∴=，23d =91376k a a -=-=2693÷=9918k ∴=+=18．7【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域得到△ABC 及其内部其中A （53）B （﹣13）C （20）然后利用直线平移法可得当x=5y=3时z=2x ﹣y 有最大值并且可以得到这个最大值详解：根据约束条件画解析：7 【解析】试题分析：根据约束条件画出可行域，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0）．然后利用直线平移法，可得当x=5，y=3时，z=2x ﹣y 有最大值，并且可以得到这个最大值． 详解：根据约束条件2,2,03,x y x y y +≥⎧⎪-≤⎨⎪≤≤⎩画出可行域如图，得到△ABC 及其内部，其中A （5，3），B （﹣1，3），C （2，0） 平移直线l ：z=2x ﹣y ，得当l 经过点A （5，3）时， ∴Z 最大为2×5﹣3=7． 故答案为7．点睛：在解决线性规划的小题时，我们常用“角点法”，其步骤为：①由约束条件画出可行域⇒②求出可行域各个角点的坐标⇒③将坐标逐一代入目标函数⇒④验证，求出最优解．19．9【解析】解：由题意可知：良马与驽马第天跑的路程都是等差数列设路程为由题意有：故：满足题意时数列的前n 项和为由等差数列前n 项和公式可得：解得：即二马相逢需9日相逢点睛：本题考查数列的实际应用题(1)解析：9 【解析】解：由题意可知：良马与驽马第n 天跑的路程都是等差数列，设路程为{}{},n n a b ， 由题意有：()()1111031131390,97197222n n a n n b n n ⎛⎫=+-⨯=+=+-⨯-=-+ ⎪⎝⎭， 故：111871222n n n c a b n =+=+ ， 满足题意时，数列{}n c 的前n 项和为112522250n S =⨯= ，由等差数列前n 项和公式可得：11111871218712222222502n n ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⨯= ， 解得：9n = . 即二马相逢，需9日相逢 点睛：本题考查数列的实际应用题. (1)解决数列应用题的基本步骤是：①根据实际问题的要求，识别是等差数列还是等比数列，用数列表示问题的已知； ②根据等差数列和等比数列的知识以及实际问题的要求建立数学模型； ③求出数学模型，根据求解结果对实际问题作出结论． (2)数列应用题常见模型：①等差模型：如果增加(或减少)的量是一个固定量，该模型是等差数列模型，增加(或减少)的量就是公差；②等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比数列模型，这个固定的数就是公比；③递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化时，应考虑是a n 与a n －1的递推关系，或前n 项和S n 与S n －1之间的递推关系．20．【解析】设等差数列的公差为d ∵且成等差数列∴解得 ∴ 解析：21n -【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ， ∵35a =，且1S ，5S ，7S 成等差数列， ∴111125,7211020a d a a d a d +=⎧⎨++=+⎩解得11,2a d =⎧⎨=⎩ ∴21n a n =-三、解答题21．（1）{|11}x x x <->或；（2）3 【解析】 【分析】（1）通过讨论x 的范围，求出不等式的解集即可；（2）先用绝对值不等式的性质求出最小值为a +b +c ＝3，然后用基本不等式可得． 【详解】（1）()111f x x x =-+++， ∴1123x x ≤-⎧⎨->⎩或1133x -<<⎧⎨>⎩或1213x x ≥⎧⎨+>⎩，解得{|11}x x x 或-.（2）f x x a x b c =-+++ a x x b c a b c ≥-+++=++ 3a b c =++=，()11111113a b c a b c a b c ⎛⎫++=++++ ⎪⎝⎭ 133b a c a c b a b a c b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++++++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦()1322233≥+++=. 当且仅当1a b c ===时取得最小值3. 【点睛】绝对值不等式的解法：法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 22．（1）证明见解析；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用三角函数恒等变换的应用化简已知等式可求in 0()s A B -=，可得()A B k k Z π-=∈，结合范围A ，(0,)B π∈，即可得证A B =．（2）由（1）可得a b =，进而根据余弦定理可求a b ==ABC ∆的周长．【详解】（1）sin tan cos sin tan cos b B C b B a A C a A -=-Q ，∴sin sin sin sin cos cos cos cos b B C a A Cb B a A C C-=-，sin sin cos cos sin sin cos cos b B C b B C a A C a A C ∴-=-， cos()cos()a A C b B C ∴+=+，又A B C π++=Q ，cos cos a B b A ∴-=-，sin cos sin cos A B B A ∴-=-， sin()0A B ∴-=，()A B k k Z π∴-=∈，又A Q ，(0,)B π∈，A B ∴=． （2）Q 由（1）可知A B =，可得a b =，又c =Q 3cos 4C =，∴2232342a a-==，226a b ∴==，可得a b ==ABC ∆∴的周长a b c ++=【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用、余弦定理在解三角形中的综合应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意三角函数求值时，要先写出角的范围．23．（1）3B π=（2 【解析】 【分析】（1）利用向量共线的条件，结合诱导公式，求得角B 的余弦值，即可得答案； （2）求出CD ，23ADC ∠=π，由正弦定理可得sin DAC ∠，即可求出四边形ABCD 的面积． 【详解】（1）Q 向量(2sin sin ,sin )m A C B =-r ，(cos ,cos )n C B =r，且//m n r r，(2sin sin )cos sin cos A C B B C ∴-=，2sin cos sin()A B B C ∴=+，2sin cos sin A B A ∴=，1cos 2B ∴=， 0B Q π<<，3B π∴=；（2）根据题意及（1）可得ABC ∆是等边三角形，23ADC ∠=π， ADC ∆中，由余弦定理可得22222cos3AC AD CD AD CD π=+-⋅⋅， 260CD CD ∴+-=，2CD ∴=，由正弦定理可得sin 21sin 7CD ADC DAC AC ∠∠==， ∴四边形ABCD 的面积．119317sin 77sin 22S DAC ABC =⨯⨯∠+⨯⨯∠=． 【点睛】本题考查向量共线条件的运用、诱导公式、余弦定理、正弦定理的应用，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意将四边形的面积分割成两个三角形的面积和. 24．（Ⅰ）5950（Ⅱ）a =13 【解析】 【分析】 【详解】222221131sin cos 2cos 12sin cos 12sin cos 2sin 222222 B C A A A A A A A ++=+-=++-=+-⋅3sin 5A =,4cos 5A ∴= 2231314959sin cos 2cos 2sin 2222225 5 250B C A A A ++=+-=+⨯-⨯= （2）133sin ,2,sin 25bc A b A ===25．⑴见证明；⑵()11222n n n ++-+【解析】 【分析】（1）由递推公式计算可得12n nb b +=，且1112b a =-=，据此可得数列{}n b 是等比数列. （2）由（1）可得2n n b =，则2nn a n =+，分组求和可得()11222n n n n S ++=-+.【详解】 （1）()()()11121122n n n n n n n n a n a n n a n b b a n a n a n++-+-+-+-====---， 又111312b a =-=-={}n b ∴是以2为首项，2为公比的等比数列，（2）由（1）得2n n b =，2nn a n ∴=+，()()()()()12122122...222...2123...n n n S n n ∴=++++++=++++++++()()()121211221222nn n n n n +-++=+=-+-.【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 26．（1）=BC 2）20【解析】 【分析】（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==，在ADB △与ADC V 中，由余弦定理即可解得m 的值．（2）在ACE △与BCE V 中，由正弦定理，角平分线的性质可得6AE AC BE BC ==．可求BE =，215AE =（）．利用余弦定理可求cos BAC ∠的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin BAC ∠的值，利用三角形的面积公式即可计算得解． 【详解】解：（1）由题意知21AB AC AD ===，．设BD DC m ==．在ADB V 与ADC V 中，由余弦定理得：2222cos AB AD BD AD BD ADB =+-⋅∠，2222cos AC AD DC AD DC ADC =+-⋅∠．即：212cos 4m m ADB +-∠=，①212cos 1m m ADB ++∠=．②由①+②，得：232m =，所以m =BC = （2）在ACE V 与BCE V 中，由正弦定理得：,sin sin sin sin AE EC BE ECACE EAC BCE CBE==∠∠∠∠，由于ACE BCE ∠=∠，且sin sin BC ACBAC CBA=∠∠，所以AE AC BE BC ==所以BE =，所以215AE =（）．又222222121cos 22214AB AC BC BAC AB AC +-+-∠===-⋅⨯⨯，所以sin BAC ∠=，所以11211225ACE S AC AE sin BAC =⋅⋅∠=⨯⨯=V （）． 【点睛】本题主要考查了余弦定理，正弦定理，角平分线的性质，同角三角函数基本关系式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．。

高数下期中试题及答案高数下期中试题及答案高数的选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

下面是小编收集整理的高数下期中试题及答案，希望对您有所帮助！高数下期末试题《高等数学》试卷结构(一)考试内容与要求执行全国高校网络教育考试委员会于2010年制定的考试大纲相应部分，见《高等数学》(2010年修订版)。

(二)试卷分值试卷满分为100分。

(三)试题类型试题的类型全部为选择题，在推导和演算的基础上对选项做出选择。

每套试卷为20小题，每小题均为5分。

其中“二选一”共10道题，对命题作“正确”或“不正确”的选择。

“四选一”共10道题，在四个备选答案中选出一个符合题目要求的答案。

“四选一”的题目包括对运算结果的选择、对运算过程正确性的判定等多种形式。

(四)试题难度试题难度分为容易题、中等题和较难题，其分值比例为5:4:1。

(五)试题内容比例一元函数微积分约90%，常微分方程约10%。

(六)考试方式与时间考试方式为机考、闭卷。

考试时间为90分钟。

答卷时应该注意以下一些问题：1、要认真阅读试卷和试题的指导语，弄清答题的要求和方式。

要正确解答二选一的题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。

以下是几种比较常用的解答二选一的`题的方法。

分析推理：即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。

计算求解：即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。

寻找反例：即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。

如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。

假设验证：有些二选一的题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。

在实际解答二选一的题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。

有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。

四选一的题常用的方法有淘汰法和直接法：淘汰法的特点是，根据已学知识经过判断去掉不合题意者，剩下的一个就是正确的答案;直接法的特点是，根据已学知识经过推论或计算得出答案，以此答案对照各备选答案，相同者为正确答案，解题时找到一个正确答案后，剩下部分可以不再考虑。

大学高等数学统考卷下 13届期中考试附加答案一、选择题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则下列极限存在的是（）A. lim(x→0) [f(x)/x]B. lim(x→0) [f(x)/x^2]C. lim(x→0) [f(x)/x^3]D. lim(x→0) [f(x)/x^4]2. 设函数f(x)在区间[0,1]上连续，且满足0≤f(x)≤1，则下列不等式中正确的是（）A. ∫(0,1) f(x)dx ≤ 1B. ∫(0,1) f(x)dx ≥ 1C. ∫(0,1) f(x)dx = 0D. ∫(0,1) f(x)dx = 13. 设函数f(x)在区间[0,1]上可导，且f'(x) > 0，则下列结论正确的是（）A. f(0) > f(1)B. f(0) < f(1)C. f(0) = f(1)D. 无法判断4. 设行列式D=|a11 a12 a13|，则D的值等于（）A. a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32B. a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32C. a11a22a33 + a12a23a31 a13a21a32D. a11a22a33 a12a23a31 + a13a21a325. 设向量组α1, α2, α3线性相关，则下列结论正确的是（）A. α1, α2, α3线性无关B. α1, α2线性相关C. α2, α3线性相关D. α1, α2, α3线性独立二、填空题（每题4分，共40分）1. 设函数f(x) = x^3 3x，则f'(x) = ________。

2. 设函数f(x) = e^x，则lim(x→+∞) f(x) = ________。

3. 设行列式D=|a11 a12 a13|，若a11=a12=a13=0，则D=________。

4. 设矩阵A为3阶方阵，若|A|=0，则A的行列式等于 ________。

西南交通大学2018-2019学年第2学期《高等数学（下）》期中考试试卷（A卷）及标准答案一、选择题（共30题，每题4分，共120分）1.在极坐标系中，曲线 $r=2\\cos \\theta$ 的极坐标方程为（）A.$r = 2\\sin \\theta$B.$r = 2\\cos^2 \\theta$C.$r = 2\\cos \\theta$D.$r = 2\\sin^2 \\theta$ 答案：C2.由函数 $f(x) = \\frac{2x+3}{x-1}$ 在点x=1处的极限存在，则 $\\lim_{x \\to 1} f(x)$ 的值为（）A.5B.1C.2D. 3 答案：B（省略选项及答案）二、填空题（共10题，每题6分，共60分）1.设第x项为x x=3+(−1)x的等差数列的前x项和为x x，则x x= ___ 。

答案：$S_n = \\begin{cases} 2n+1, & n \\text{为奇数} \\\\ 2n+3, & n \\text{为偶数}\\end{cases}$2.设向量 $\\vec{a} = 2\\vec{i} - \\vec{j} + 3\\vec{k}$，$\\vec{b} = \\vec{i} + 2\\vec{j} - 2\\vec{k}$，则 $\\vec{a} \\cdot \\vec{b} =$ ___ 。

答案：$\\vec{a} \\cdot \\vec{b} = (2)(1) + (-1)(2) + (3)(-2) = -5$（省略答案）三、解答题（共4题，每题20分，共80分）1.求下列不定积分：$\\int \\frac{\\sin^3x}{\\cos^2x} \\, dx$。

解：首先，利用恒等式 $\\sin^2x + \\cos^2x =1$，将被积函数中的 $\\sin^3x$ 变形为 $\\sin^2x \\cdot \\sin x = (1-\\cos^2x)\\sin x$。

广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 1 页学 院： 专 业： 学 号： 姓 名：装 订 线广东工业大学考试试卷 ( )课程名称: 高等数学（二）期中测验考试时间: 第 周星期 ( 月 日) 成绩:一、填空题（每题3分,共15分）1．已知{4,3,4}a =- 在向量{2,2,1}b =上的投影为=_ ２ ____。

2．曲线ttte z t e y t e x 2,sin ,cos ===在相应于0=t 的点处切线与Oz 轴夹角的正弦25sin 1cos 6αα=-=。

3． 设10,1:≤≤≤y x D 。

则⎰⎰σ+Dyd y y x )cos (5＝32 。

4． 已知曲面221z x y =--平行于平面2210x y z ++-=的切平面方程为_____2(1)2(1)10x y z -+-++=, （其中切点P 的坐标为(1,1,1)-）5. 设函数22),(y xy x y x f +-=，则),(y x f 在点)1,1(处沿变化率最大方向的方向导数为2 。

二、单选题：（每题4分,共20分）1．已知直线⎩⎨⎧=+--=--+072072z y x z y x 与平面0453=-+-z ky x 平行，则k 的值为（ Ｄ ）（A ） 16 (B) 17 (C) 32 (D)34 2. 改变积分次序后⎰⎰-2210),(x x xdy y x f dx = （ Ｃ ）。

(A) ⎰⎰-+xx dx y x f dy 21110),( (B)⎰⎰-+yydx y x f dy 21110),( (C )⎰⎰--yydx y x f dy 2111),( (D)⎰⎰+-yydx y x f dy 2111),(3．函数()()()()()⎪⎩⎪⎨⎧=≠+=0,0,,00,0,,,22y x y x y x xy y x f 在点()0,0处（ Ｃ ）（Ａ）连续，偏导数存在； （Ｂ）连续，偏导数不存在；（Ｃ）不连续，偏导数存在； （Ｄ）不连续，偏导数不存在．广东工业大学试卷用纸，共 4 页，第 2 页4．设y x x z --=32，则它在点（1,0）处（ Ｂ ）（A ）取得极大值; (B)无极值;（C ）取得极小值; (D)无法判别是否有极值;5.设),(v u f 具有连续偏导，且x x x x x f ++=3422),(，122),(221+-='x x x x f ，则='),(22x x f （ Ａ ） （A ）1222++x x （B ）xx x 21322++（C ）1222+-x x （D ）1322++x x三、求解下列各题（每题6分，共24分） １．求极限)sin(11lim2320xy yx y x y x +-→→解：原式=lim()sin()x y x yx y x y xy →→-++00232211 3分=-++⋅→→limsin()x y x y xy xy0021115分=-126分2．已知(,)()xy z f xy g y x=+，其中f 具有二阶连续偏导数，g 具有二阶连续导数，求2zx y ∂∂∂．解:1221.()z y f y f g x y x∂'''=++-∂2121122232311zx y f f xyf f g g x yyyxx∂'''''''''=-+---∂∂．3．设),(y x z z =由方程⎪⎪⎭⎫⎝⎛=y z x z f x ,所确定，其中f 具有一阶连续偏导数，求z d 。

由实际问题的最小值存在，故点 (− （本题也可用几何方法求解） 七、令 f x ( x, y ) = λ (e − 1) cos x + sin x cos 2 y = 0
y
2 14
,
1 14
,
6 14
) 即为所求点
f y ( x, y ) = λe y sin x + 2 cos x sin 2 y = 0
π
8
（也可以用柱坐标）
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五、
∫∫ x[1 + yf (x
D
2
+ y 2 dxdy = ∫∫ xdxdy + ∫∫ xyf ( x 2 + y 2 )dxdy
D
1 1
)]
D
1 1 1 xdx ∫ 3 f ( x 2 + y 2 )d ( x 2 + y 2 ) x 2 ∫−1
D −1
)]
2 dy ＝ − （本题也可以用挖补法求解） 5
六、设曲面上点 ( x, y , z ) 到平面的距离为 d ，则 d =
x − 2 y + 3z − 1 14
14d 2 = ( x − 2 y + 3 z − 1) 2 ，且 z = 2 + x 2 + 4 y 2
令 F = ( x − 2 y + 3 z − 1) + λ ( 2 + x + 4 y − z )
3． （用球坐标） Ω ： 0 ≤ θ ≤ 2π 由对称性
π
4
0 ≤ r ≤1
∫∫∫ (x + z )dV ＝ ∫∫∫ zdxdydz
Ω Ω

高等数学期中考试题参考解答一、填空题（每小题4分，共20分）12．0 3．22)(y x e y x -+ 4． ⎰⎰-2620d ),(d y y x y x f y 5．8- 二、单选题（每小题4分，共20分）1．C 2．B 3．D 4．D 5．A三、1、解 ⎰⎰⎰⎰-+=+20112211y dyxdx dxdy yx D =π(6分) 2、解 )0,21,21(),0,1,1(0-=-==→l AB l . (1分) )(2)0,21,21()2,2,2(),,(0y x z y x l z f y f x f l f -=-⋅=⋅∂∂∂∂∂∂=∂∂ (3分) 设)122()(2222-+++-=z y x y x F λ.令 ()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=='=+-='=+=')4(12230220421042222 z y x z F y F x F x x x λλλ,(4分) 解得点2),0,21,21(-=∂∂-l f ,及点2),0,21,21(=∂∂-l f ,故点)0,21,21(-p 为所求。

(6分) 3、解 转动惯量为2222()d ()d I x y v x y v μΩΩ=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰, (2分)利用柱坐标, 有22()d I x y v Ω=+⎰⎰⎰2212200d d d r rr r r z πθ-=⎰⎰⎰(4分)132042(2)d 15r r r r ππ=--=⎰(6分) 4、解 所求流量为d d d d d d Sx y z y z x z x y Φ=++⎰⎰(2分)设四面体为Ω，由高斯公式，有113d 362v ΩΦ==⋅=⎰⎰⎰ (6分)5、解上半球面方程为z =与平面z a =和z b =的交线在xOy 面上的投影分别为2222:a D x y R a +≤-及2222:b D x y R b +≤-，(2分)则所求曲面面积为:2()a ba b D D S S S R b a π=-=-=-.(6分)四 解21yf f x z=∂∂，…………（2分） 322221112212212221122122211yf f f f f f f f f x f f x f f y f f x y x z --=∂∂-∂∂=∂∂=∂∂.…………（8分）五、解 22ln ,2,(yx x Q y x x y y x P -=+=，……（2分）则221y x x x Q y P -=∂∂=∂∂，…（4分）y x x y y yx x x y x x y y x u y x 222),()1,1(ln d )(ln d )2(),(+=-++=⎰.……（8分） 六、解 32d )(d )](arcsin[sin d )2(d 2404sin 20224πθθθθθππθπ=-=-=-⎰⎰⎰⎰----a r ra r r.…………（2分…5分…8分）七、解 添加一有向曲面1,1:221≤+-=∑y x z ，（1分）法线向量指向下侧.(2分） 阶πγβα==++⎰⎰⎰⎰≤+∑1333221d d d )cos cos cos (y x y x S z y x ，……（4分）⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑+∑++=++z y x z y x S z y xd d d )(3d )cos cos cos (2223331γβα⎰⎰⎰-==ϕπππππϕϕθcos 144320109d d sin d r r ，……（6分） 原式=1010911πππ-=-=-⎰⎰⎰⎰∑∑+∑.（8分） 八、解 设运动质所在位置为),(y x ，则引力方向为},3{)3(1220y x yx F -+--=,引力大小为 222)3(yx GmMr mM G F +-== ,……（2分） 因此 },3{])3[(2322y x y x GmMF -+--= ,……（3分） 引力所作功为 ⎰+-+--=Ly x yy x x GmM W 2322])3[(d d )3(,……（4分） 令32223(3)x P x y -=⎡⎤-+⎣⎦,3222(3)y Q x y =⎡⎤-+⎣⎦,则52223(3)2(3)Q x y Px y x y ∂-∂=-⋅=∂∂⎡⎤-+⎣⎦,（6分） 因此取折线AOB 为积分路径,有=+--++-=⎰⎰]]16)3[(d )3()4(d [0523240232x xx y y y GmM W GmM 103-.……（8分）。

2020级高等数学（下）期中试卷一、 单项选择题在以下级数或反常积分后的括号内填入适当的字母，各字母的含义是： （A ）绝对收敛；（B ）条件收敛；（C ）发散；（D ）可能收敛，可能发散。

1．∑∞=-2ln )1(n n nn （ ）； 2．设∑∞=1n n u 条件收敛，则∑∞=12n n u （ ）；3．3sin 313π∑∞=n n n n （ ）； 4．设为任意实数 P ，则⎰∞+0p x dx（ ）。

二、单项选择题（6144'=⨯'）1．设π 平面：01472=-++z y x 及1L 直线：32 ,1 ,3-=+==t z t y t x ，2L ：332111--=+=--z y x ，则（ ） （A ）π∥1L ； （B ）1L ⊥π； （C ）π∥2L ； （D ）2L ⊥π。

2．曲线12222=+by ax ，0=z 绕轴旋转而成 x 的曲面方程为（ ）（A ）122222=++bz y ax ；（B ）122222=++by az x ；（C ）2222by ax z +=；（D ）12222-+=by ax z 。

3．设}1 ,2 ,1{--=a ，}2 ,1 ,1{-=b ，}5 ,4 ,3{-=c，则（ ）（A ）b a ⊥； （B ）c b ⊥； （C ）a c⊥； （D ）共面 , ,c b a 。

4．两非零向量γ'β'α'γβα , , , , 及的方向角分别为及b a ，则=) ,cos(b a（ ）（A ）γ'β'α'+γβαcos cos cos cos cos cos ； （B ）γ'γ+β'β+α'αcos cos cos cos cos cos ；（C ）)cos()cos()cos(γ'+γ+β'+β+α'+α；（D ）)cos()cos()cos(γ'-γ+β'-β+α'-α。

福建师范大学协和学院09－10学年第二学期09级 高数Ⅰ 期中试卷试卷类别：闭卷 考试时间：120分钟一、单项选择题（每小题3分，共18分）1、设直线方程为1111111122220,0A x B y C z D A B C D A D A x D +++=⎧⎨+=⎩、、、、、均不为零，则直线( C ). （A ）过原点（B ）平行x 轴 （C ）垂直x 轴 （D ）平行z 轴2、平面,a b为共线的单位向量，则它们的数量积a b ⋅= ( D )．（A ）1（B ）-1 （C ） 0 （D ）cos(,)a b ∧3、函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续且偏导数存在是它在该点可微的( A ).（A ）必要而非充分条件 （B ）充分而非必要条件 （C ）充分必要条件 （D ）既非充分又非必要条件4、设函数(,)f x y 在点()0,0的某邻域内有定义，且(0,0)3,(0,0)1x y f f ==-，则曲线(,)z f x y =在点()()0,0,0,0f 的一个法向量为( B ).（A ）()3,1,1- （B ）()3,1,1-- （C ）()1,0,3 （D ）()3,0,15、3322(,)339f x y x y x y y =+++-的极小值点是（ B ）.（A ）（-2，1） （B ）（0，1） （C ）（0，-3） （D ）（-2，-3） 6、设平面区域{}(,),,D x y a x a x y a =-≤≤≤≤{}1(,)0,D x y x a x y a =≤≤≤≤,则(cos sin )Dxy x y dxdy +=⎰⎰（ C ）.（A ）14cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （B ）14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰（C ）12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ （D ）0二、填空题（每题3分，共21分）1、极限00x y →→= 16- 2、函数2yz xe =在点(1,0)P 处沿东北方向的方向导数为23、直线 3212x ty t z t=+⎧⎪=-⎨⎪=+⎩与平面250x y z ++-=的夹角为 6π.4、设ln x z z y =，则dz = ()2z z dx dy x z y x z +++5、过点(3,1,2)-且与直线11211-+==-z y x 垂直相交的直线方程为31274x y z --==+－ 6、星形线33cos ,sin x a t y a t ==的全长为 6a7、交换二次积分1(,)dy f x y dx ⎰⎰的次序得2121(,)(,)x dx f x y dy dx f x y dy +⎰⎰⎰三、计算题（每小题8分,共56分）解 [][]210,2,(1cos )2dA a d θπθθ∈=+，从而 []()222220011(1cos )12cos cos 22A a d a d ππθθθθθ=+=++⎰⎰22220022211cos213112cos 2cos cos22222213132sin sin 22242a d a d a a πππθθθθθθθθθπ+⎛⎫⎛⎫=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎡⎤=⋅++=⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 解 设平面束方程：()540x y z x z λ+++-+=，即()()15140x y z λλλ+++-+=，从而()11,5,1n λλ+=-又平面48120x y z --+=的法线向量()21,4,8n --=从而 1212cos 42n n n n π⋅====⋅ 所以()2223131612225022724λλλλλ-=⇒-+=⇒=-+ 即平面：207120x y z ++-=又平面4x z -+的一个法线向量()31,0,1n =-则平面4x z -+与平面48120x y z --+=的夹角的余弦为32322n n n n ⋅==⋅ 即平面4x z -+满足条件. 所以，求过直线5040x y z x z ++=⎧⎨-+=⎩且与平面48120x y z --+=成4π角的平面为（１）207120x y z ++-= （２）4x z -+解 12yz f e f x ∂''=⋅+∂，()212121y y y z z f f f e f e f e x y y x y y y''∂∂∂∂∂∂⎛⎫'''==⋅+=⋅+⋅+ ⎪∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭()12111321232111312123,,yy y y y y f f f xe f f xe f y yzf xe f e f e f xe f x y''∂∂''''''''=⋅+=⋅+∂∂∂'''''''''∴=⋅+⋅+⋅+⋅+∂∂ 解 设切点为()000,,M x y z ，取切向量12,,12n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则0012,,12M n x y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭由已知，切平面平行于平面02=++z y x ，从而0012,,12Mnx y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭平行于平面02=++z y x 的法线向量()12,1,1n =所以 00000121211,23211y x x y z -===-⇒=-=-⇒=所以，切点()1,2,3--，()2,1,1Mn =---切平面方程：()()()21230x y z -+-+--=，即：210x y z +++= 法线方程：123211x y z ++-==---，即：1232x y z +=+=-解1 设(,,)x y z 为曲面22z x y =+上任一点，则目标函数：d ==；约束条件：22z x y =+将约束条件代入目标函数，化为无条件极值： d ==将绝对值内配方得，22222x x y y -+-+222211111117222222162164444x x y y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-++-+-+=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以，22117722x yd⎛⎫⎛⎫-+-+⎪ ⎪=≥=14x y==时取等号从而，求曲面22z x y=+与平面220x y z+--=之间的最短距离24d=解２设000(,,)x y z为曲面22z x y=+上任一点，则过该点的曲面的一个法向量()002,2,1n x y=-，当过该点的切平面与平面220x y z+--=平行时，可得最短距离即：()()002,2,1//1,1,2n x y=--000002211111248x yx y z-⇒==⇒==⇒=-，从而，所求的点为111,,448⎛⎫⎪⎝⎭则所求的最短距离7d====解曲线22z x=绕x轴旋转得旋转曲面：()222222y z x x y z+=⇔=+222224;510x y z x y z=⇒+==⇒+=投影法：将Ω投影在yOz面上，22:41002,25yzDy z r xθπ≤+≤⇔≤≤≤≤≤≤所以()522222()yzDy z dv y z dx dydzΩ⎡⎤+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰()2222233126yzDy zdydz d rdrπθπ=+=⋅=⎰⎰⎰解2xyDA=，其中曲面方程：z=则x x z z ===()2222:211,02c o s22xy D x y x x yr ππθθ+≤⇔-+≤⇔-≤≤≤≤所以，2cos 20224816xyD A d rdr πθπθπ-===-⎰⎰⎰⎰分) 分析 函数(,)f x y 在()00,x y 处可微()()()()()()00000000,,,,x y z f x x y y f x y dz O f x y x f x y y O ρρ⇔∆=+∆+∆-=+=∆+∆+ ()()()()0lim,,,,limx y x y z dzf x x y y f x y f x y x f x y y ρ∆→∆→∆→∆→∆-⇔+∆+∆--∆+∆== 证明 ()()()()()()22001sin 0,00,010,0limlim lim sin0x x x x x f xf x f x xxx ∆→∆→∆→∆+∆-∆===∆⋅=∆∆∆同理，()0,00y f =()()()()002222lim,0,00,00,0lim1sinlim1limx y x y x y x y z dzf x y f f x f y x y x y x y ρ∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆→∆-∴∆∆--∆+∆=⎡⎤∆+∆⎣⎦∆+∆===∆+∆ 证毕.。

【答案】
【解析】
【分析】由已知得 在 中利用正弦定理求得 在 中利用余弦定理即可得解.
【详解】在 中已知
在 中
由正弦定理得
在 中
利用余弦定理知 .
故答案为：
16.如图四棱锥 的底面四边形ABCD为正方形四条侧棱 点E和F分别为棱BC和PD的中点.若过A､E､F三点的平面与侧面PCD的交线线段长为 则该四棱锥的外接球的体积为___________.
【小问1详解】
如图：
在 上取一点N使得 连接CNEN则 则
又∵ ∴四边形 是平行四边形
∴ 且 ．
同理四边形DNEA是平行四边形∴ 且
又 且 ∴ 且
∴四边形CNEB是平行四边形
∴ 且
∴ 且
∴四边形 平行四边形从而BE F四点共面；
【小问2详解】
由(1)知 平面 平面
∴ 平面 ①
取BG中点为I连接 则G是 H是 ∴ ∥HG
【详解】解：由 得
即 正确；
令 满足 但不满足 错误；
令
则
又 正确；
正确．
故选：ACD．
10.下列说法正确的是（）
A.对于任意两个向量 若 且 与 同向则
B.已知 为单位向量若 则 在 上的投影向量为
C.设 为非零向量则“ ”是“存在负数 使得 ”的必要不充分条件
D. 则 与 的夹角是锐角
【答案】BC
的最小值为
所以 的长度范围是
故选：B
二､多选题：本题共4小题每小题5分共20分.在每小题给出的选项中有多项符合题目要求.全部选对的得5分部分选对的得2分有选错的得0分.
9.已知 且 ．下列说法正确的是（）
A.若 则 B.若 则
C. D.