第5章虚功原理与位移计算习题课

6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算

8（b）所示，结点 K 处的竖向位移为
．
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图 5-8
【答案】
【解析】此结构为二次超静定，要求结点 K 的位移，可以取其一静定基本结构（图 5-
9（a）），在此基本结构上 K 处虚设一竖向单位力，画出其弯矩图（图 5-9（b）），再与已知
的原结构的弯矩图图乘即可求得 K 点竖向位移．
图 5-9
此题选取的基本结构可以有多种形式，相应的 图也不一样，与 M 图图乘时的计算量 就不同．所以在选择基本结构时应尽量使图乘时的计算量小（弯矩图分布范围小且简单）．
4．已知图 5-10（a）所示弯矩图，图 5-10（b）中由 （已知）产生的 C 截面竖向位
MA＝0 有
（拉）．
要求铰 C 处的竖向位移，需要画出此结构的弯矩图（图 5-13（c））；然后在结构上 C 处
虚设一竖向单位力（图 5-13（d）），求出此时 AC 杆弯矩和 EG 杆轴力，然后图乘得 C 点竖
向位移为
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挠度大
．
【答案】
图 5-18
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【解析】（1）结构为静定，图 5-18（a）、（b）两图的唯一区别是在图 5-18（a）中竖 向支座链杆处会有变形，而图 5-18（b）中没有，静定结构的支座移动不会引起内力，所以 两结构的弯矩图完全一样．
移等于
．
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图 5-10 【答案】 【解析】（1）选一基本结构，在 C 处虚设一竖向单位力，作 图（图 5-11）．

MP
EI
NP
EA
k
QP GA
k--为截面形状系数
1.2
10 9
(3) 荷载作用下的位移计算公式
MM P ds NNP ds kQ QP ds
2021/4/9
EI
EA
GA
二、各类结构的位移计算公式
21
（1）梁与刚架
MM P EI
ds
（2）桁架
NNP ds NNP ds NNPl
We =Wi
2021/4/9
§5-2 结构位移计算的一般公式 ——变形体的位移计算
18
d 1 ds ds d ds
R
d ds
K
t1 t2
c2
1
R1
K
c1
ds
ds R2 ds
M
N
Q
外虚功：We 1 Rk ck 内虚功：Wi M N Q ds
1 (RMkck N MQ N)dsQ Rdksck
9
刚体的虚功原理 刚体系处于平衡的必要和充分条件是：
对于任何可能的虚位移，作用于刚体 系的所有外力所做虚功之和为零。
2021/4/9
10
四、虚功原理的两种应用
1）虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的 平衡力状态之间。
例. 求 A 端的支座反力(Reaction at Support)。 直线
A
EA
EA
EA
（3）拱
MM P EI
ds
NNP EA
ds
2021/4/9
图乘§法5是-4V图er乘es法hag位in于移1计92算5年举提例出的，他当 22
时为莫斯科铁路运输学院的学生。
MiMk

（2）杆CD的转角 D
cA
A B
C
l
c
2l 3

1
1 1 c cD 0 3
l
3
1 D
A
B
C
1 c cA 3 2 1 1 cA 0 2l
1 cA 2l
1 3
A
2 3
B
C D
1
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方 向与假设的单位力方向 一致。
适用范围与特点： 1） 适于小变形，可用叠加原理。 2） 形式上是虚功方程，实质是几何方程。 关于公式普遍性的讨论： （1）变形类型：轴向变形、剪切变形、弯曲变形。 （2）变形原因：荷载与非荷载。 （3）结构类型：各种杆件结构。 （4）材料种类：各种变形固体材料。
三、位移计算的一般步骤:
t1 t2

设为矩形截面 k=1.2
l kQ QP l dx 3ql2 Q l dx l 1.2 1 q x 2 2 GA 2 GA 20GA l
7 ql4 3ql 2 M Q 384EI 20GA
M
7ql 4 3ql 2 Q 384EI 20GA
2) 将上面各式代入位移公式分段积分计算AV
AC段 0 x

2
N 0 M x Q 1
l 在荷载作用下的内力均为零，故积分也为零。 2
l x l CB段 2

l
l
l 2
l kQ Q MM P P dx l dx 2 EI GA
第5章 虚功原理与结构位移计算
§5-1 应用虚功原理求刚体体系的位移

(2 Pl(l - x ) Px(l - x )) (l - x ) ( x 2l )
2
DA
2 DH A
M

2 DVA
DH arctan VA arctan0.4 21.8 DA
ql 4 0.673 EI
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓
A

ql 2 2
l cosa
P=1
a
EI
DA
l
EI MP
M
l
l (cosa sin a )
1 1 ql 2 3 l ql 2 l l cosa (l cosa l (cosa sin a ) ) A EI 3 2 4 2 2 ql 4 (5 cosa 2 sin a ) 8EI dDaA ql 4 (- 5sin a 2 cosa ) 0 da 8EI 4 ql tana 0.4,即：a 21.8时DaA max D A 0.873 EI Da
求A点全位移
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ EI

ql 2 2
A P=1
DA
MP
M
l
EI
l
l
l P=1
1 l 2 ql 2 ql 4 EI 2 2 4 EI 2 2 4 1 1 ql 3 ql 5 ql DVA l l l l EI 3 2 4 2 8EI DH A
M M
i
⑦非标准图形乘直线形： a）直线形乘直线形
k
l a
dx
b
d
l( 2ac 2bd ad bc ) 6
b)非标准抛物线成直线形
c
a

FNK cos
A
FP
B
R
ds Rd
BM
FR R3 2EI
()
FP=1
R
A
BQ
kFP R 2GA
()
BN
FP R 2EA
()
例4： 自学167页例5—3。 例 5 ：自学171页例5—5。
小结：
位移计算的一般公式：
K (F NK* F QK* M K* )ds RK*R
GA
4GA
对于截面为矩形
CQ 3.2( h )2
CM
L
结论：对于浅梁可忽略剪切变形作用;
对于深梁和短梁，不可忽略剪切变形作用。
例 3：求图示结构B点水平位移，EI、GA、EA为常数
M P FP R sin
FQP FP cos
FNP FP sin
M K R(1 cos)
FQK sin
(b)
线弹性材料在荷载作用下的位移计算公式：
K
(
FNP F NK *
kFQP F NK *
MPM
* K
)ds
EA
GA
EI
(c)
具体结构的简化公式：
*
1、桁架
K
FNP FNK L EA
2、梁和刚架
K
M P M K* ds EI
3、组合结构 4、拱
K 梁
*
M P M K ds
*
F NP FNK L
第五章 静定结构的位移计算
§5-3 变形体虚功原理及位移计算的一般表达式 一、变形体虚功原理
位移协调状态
FP FRCR (M FQ 0 FN )ds
平衡状态 变形体虚功原理只需要满足平衡条件、位移连续条件， 而与材料特性无关。 对于刚体，由于变形等于零，内力在刚体上不做 功 ，所以，刚体虚功原理是变形体虚功原理的特例。

局部变形时静定结构的位移计算
⑴ 在要求的位移处，施加相应的单位荷载； ⑵ 利用力平衡条件，求出局部变形处对应的 内力M，FN，FQ； ⑶ 由虚力方程解出拟求位移： dΔ = ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
Page 7
Δ A 1
B M
θ
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结构体位移计算的单位荷载法
真实荷载 弯曲 剪切
A
x
虚设荷载
B
b 截面参数 1 bh3 I=— 12 A =bh，k = 1.2
ql 4 1 2 qx dx 1.5 0 x Ebh3 2
l
变形类型
M P 0.5qx2
M x
FQP qx
F Q 1
MM P 1 ⑴ 弯曲变形引起的位移 M ds EI EI
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荷载作用下的位移计算及举例
k F Q FQP F N FNP MM P ds ds ds EI EA GA
弯曲变形 拉伸变形 剪切变形
各类结构的位移公式
各类结构中三种变形的影响所占比重各不相同，故可简化； 例5-3 试求图示悬臂梁在A端的竖直 位移 Δ ，并比较弯曲变形和剪切变 形对位移的影响。设梁的截面为矩 形，泊松比1/3。 解：应用单位荷载法 A 1 q A x B
单位荷载法
单位荷载法求刚体体系位移
虚力原理
⑴ 虚力方程，实质为几何方程；
⑵ 虚力与实际位移状态无关，故可设 单位广义力 P = 1；单位荷载法 ⑶ 关键是找出找出虚力状态的静力平
衡关系。
Page 6
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解：虚设力系如图(b)
M 1 (0 x l)
实际荷载作用下的弯矩图虚设力系如图(c)
MP
FPb l
x
(0 x a)
MP
FP a(1
x) l
(a x l)
MM P ds FPab(
EI
2EI
)
§5-5 图乘法
图乘法应用条件：杆件为直杆，有一个弯矩图是直线图， 截面抗弯刚度EI为一常数。
§5-5 图乘法
例5-7 试用图乘法计算图(a)所示简支梁B端转角△B。
解：荷载作用下的MP图如图(a) 虚设单位力偶作用下的 M 如图(b)
虚功方程为 1 M 0
解得
M
§5-2 结构位移计算的一般公式
例5-2 在图中，截面B有相对剪切位移η，试求A点与杆轴成α
角的斜向位移分量△。
解：图(a)的实际位移状态可改用 图(b)来表示。
虚设力系如图(c) FQ sin
虚功方程为 1 FQ 0
解得 FQ
§5-2 结构位移计算的一般公式
AB的圆心角为α，半径为R。试求B点的竖向位移△。
解：虚设荷载如图(b)
图(a)中
MP
1 2
qx2
FNP qx sin
FQP qx cos
图(b)中
M x
FN sin FQ cos
M
AMPM B EI
ds qR4 ( 2 cos 1 cos3 )
2EI 3
3
N
A FNPFN ds qR2 ( 2 cos 1 cos3 )
M
MM P ds ql4
EI
8EI
Q k
FQ FQP ds 0.6 ql 2

8
1 虚功原理回顾
1. 功的定义: 功=力×力作用点沿其方向的位移
F A S B F
W F cos S 常力功
F

1 W F 2
变力功
9
其他形式的力或力系所作的功也用两个因子的 乘积表示为：功=广义力×广义位移
1)作功的力系为一个集中力
F
2)作功的力系为一个集中力偶
W F
虚拟状态
24
1
广义力与 广义位移对应
练习:
Fp=1
C Fp=1 B
求C点竖向位移
求B点水平位移
A
Fp=1 B
Fp=1
A
Fp=1
B Fp=1
求A、B两点 相对竖向位移
求A、B两点 相对水平位移
3 静定结构在荷载作用下的位移计算
1. 公式
当结构只受到荷载作用时，求K点沿指定方向的位 移△KP，此时没有支座位移，故一般公式为
注意：１.适用于任何类型的结构，弹性、非弹性、线性、非线性；
２. 外力与虚位移相互独立，两者毫不相干，虚位移 由其它原因引起，外力在此虚位移上做虚功。
实际应用时两种情形：
a) 给定力状态，另设一位移状态，用虚功方程求力状态 的未知力，称为虚位移原理；
b)给定位移状态，另设一力状态，用虚功方程求位移状态的 18 未知位移，称为虚力原理。
第五章 虚功原理与结构位移
1
“位移”是连接静定结构与超静定 结构之间的桥梁和纽带
前面所学五种静定结构(梁,刚架,拱,桁架 ,组合结构) 的内力计算可归结为强度问题, 而结构力学的重要任务之一是解决刚度问 题——结构位移计算. 本章要讨论各种杆件结构的位移计算, 依据虚功原理.先推导出杆件结构位移计算 的一般公式,再讨论具体结构的位移.

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
14:26
D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

为：
MM P ds NNP l
例如图 5-1a 中的静定梁，支座 A 向上秱动一个已知距离 c1 ，现在拟求 B 点的竖向位秱 。
（a）
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（b）
图 5-1
位秱状态已给定，力系则可根据我们的意图来假设。在拟求位秱 的方向设置单位荷载，
根据平衡条件，可得支座 A 的反力 F R1 = b ，虚设平衡力系在实际刚体位秱上作虚功，虚 a
详细介绍“图乘法”的使用。
2．各类结构的位秱公式
（1）梁和刚架：因为弨矩起兰键作用，计算时可忽略轴力和剪力的影响，即简化为：
MM P EI
ds
(5-6)
（2）桁架：桁架一般只受轴力作用，可以忽略剪力和弨矩的影响，即简化为：
NNP ds NNP ds NNPl
EA
EA
EA
(5-7)
（3）桁架混合结构：有轴力杆和梁式杆兯同作用，计算可以忽略剪力的影响，即简化
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③构件在制作过程中的误差，使结构在装配后出现形变；
④材料的性质随时间变化也会引起形变。
其中，前三种因素是工程中经常会遇到的引起结构变形的主要因素。
（2）对结构求位秱计算的目的有二
①确定结构的刚度；
②用于超静定结构的内力计算。
对于公式（5-4）中的 可以是求某点某方向线位秱、戒者某截面的角位秱，也可以求
某两个截面的相对线位秱和相对角位秱，这些引申理解为广义位秱。在求广义位秱时，则需
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桁架
FN FNP FN FNP l ds EA EA
桁梁混合结构（组合结构）
FN FNP l MM P ds EI EA
拱
在桁梁混合结构中，有些杆件主要 受弯曲，有些杆件只受轴力。 在拱中，当压力线与拱的轴线 相近时，要考虑弯曲和拉伸对 位移的影响。当不相近时，只 考虑弯曲。
微段ds两端截面的三种相对位移： 将微段变形集中化(ds 0),但三种 位移仍存在。相当于整个结构除截 面B发生集中变形，其余为刚体，无 任何变形
d ds 轴向伸长应变： d 0ds 平均切应变： 0 轴线曲率： d ds
1 d Md FNd FQd d ( M FN FQ 0 )ds
4. 支座移动时静定结构的位移计算
应用单位荷载法求不同的位移时，应当选择不同的单位荷载。虚设的单位荷载应当是 拟求位移相应的单位荷载，即这个单位荷载所做的虚功在数值上应等于拟求的位移。如： (1)：求C点的竖向位移△c时，应在C点加一个单位竖向荷载。 (2)：求CD的转角β时，应在杆CD上加一个单位力偶荷载 (力偶作的功等于力偶矩与转角的乘积)。
剪切变形γ对位移的影响
支座位移cK对位移的影响
3. 结构位移计算的一般公式
该式的实质是一个几何方程，给出了已知变形(内部应变κ 、ε、γ和支座位移cK)与 拟求位移∆之间的几何关系
( M FN FQ 0 )ds FRK c K
上式是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质） 可考虑任何情况：
第5章 虚功原理与结构位移计算
5-1应用虚功原理求刚体体系的位移
1. 推导位移计算一般公式的基本思路 第一步：讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。此为刚体体系的 位移问题。应用刚体体系虚力原理导出位移计算公式。 第二步：讨论静定结构由于局部变形(例如结构中某个微段产生拉伸、剪切、

c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若 设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静 力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位 荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平 衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加 原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)

由虚功方程，得
FAsA 2qlsE
M
sE
l
A
0
P
q
M
B
D
C
sC sE
其中
FA
sA sC 2sE
代入虚功方程，得
(FA
ql
M 2l
)sA
0
解得
FA
M 2l
ql
§5.2.3 用广义坐标表示的质点系平衡条件
xi xi (q1, q2 ,qs , t) yi yi (q1, q2,qs ,t)(i 1,2,, n)
虚位移与实位移的区别和联系
实位移——质点或质点系在其真实运动中，在一定的时间间 隔内发生的位移。
（1）在完整定常约束下，实位移是诸多虚位移中的一个； （2）在完整定常约束下，虚位移方向沿其速度方向。
dr ——实位移 r ——虚位移
M dre
dr
r
M1
2. 虚 功
质点或质点系所受的力在虚位移上所作的功——虚功。
自 由 度 —— 在完整约束条件下，确定质点系位置的独立参变 量的数目等于系统的自由度数。
N=3n—s
对于稳定的完整约束，各质点的坐标可以写成广义坐标的 函数形式
xi xi (q1, q2 ,qk , t) yi yi (q1, q2,qk ,t)(i 1,2,, n) zi zi (q1, q2 ,qk , t)
2l
P
q
M
BC
sE
D
sD
FD
(2) 解除B处约束，代之以反力
P
q
M
FB ，并将其视为主动力。
A
D
BC
由虚功方程，得
sB sC sE
PsB FBsB

P A B ΔB P
m A
B m
ΔA
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
A
Δ
B
第5章 虚功原理与结构位移计算
防 灾 科 技 学 院
四、虚力原理 ——虚设力系求刚体体系位移
已知 c1 求 D
c1
C A a b P=1 A C B B
D=?
设虚力状态
R1 a P b = 0
P m β Δ
第5章 虚功原理与结构位移计算
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3）若广义力是等值、反向的一对力P
T = PD A PD B = P(D A D B ) = PD
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T = m A m B = m( A B ) = mD
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例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 DN 。
i
B
A
DN
Ai
由平衡条件：
d
B
N = 1 cos
虚功方程：
1 D N N d = 0
DN
1
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生 的位移D，即是三者的叠加，有：
1 Dc = cA 3
第5章 虚功原理与结构位移计算
防 灾 科 技 学 院
1 A B C D
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方向 与假设的单位力方向一致。
2
1 b

15kN
∆ AH
3187.5 1 1 5 −+ 1 × 5 × 50 • 2 × 10 − 2 × 5 × 25 • 1 × 10 = = × 5 × .50 • × × 102 m = 1594 10 2 3 3 4 2 EI EI 6 2
1 2 × 5 × 25 • × 10 2 3 1 1 2 1 − × 10 × 10 • 10 + × 10 + × 10 × 20 • 10 + × 10 2 2 3 3 +
状态 I
A 1
F 1 =1 P
状态 II
2 B A 1 2
F 2 =1 P
B
∆11 δ11
∆21 δ21
∆12 δ12
FP1 ∆ 12 = FP 2 ∆ 21
∆ 22 δ 22
由功的互等定理可得： 由功的互等定理可得：
在线性变形体系中，位移 与力F 的比值是一个常数，记作δ 在线性变形体系中，位移∆ij 与力 Pj 的比值是一个常数，记作 ij ，即： ∆i j = δi j 或 ∆ ij = FPj δ ij ∆ 12 = FP 2δ 12 ∆ 21 = FP 1δ 21 FP j 于是
但二者符号相反。 但二者符号相反。 位移反力互等定理在混合法中得到应用。 位移反力互等定理在混合法中得到应用。
7kN F 35 D 10
点水平位移。 求A点水平位移。 点水平位移 2kN/m C G 5m 10kN 5m 50kN.m B 25 5m 10
10
10
E
20 5m 5m
A
1kN 20 2kN
同样，令状态 的平衡力系在状态 的位移上做虚功，得到： 的平衡力系在状态I的位移上做虚功 同样，令状态II的平衡力系在状态 的位移上做虚功，得到：

例题：试用积分法求图示悬臂梁A端和跨中C点的竖向位移和转角(忽略剪切变形影响)
θc
例题：试用积分法求图示悬臂梁A端和跨中C点的竖向位移和转角(忽略剪切变形影响)
例题：试求图示等截面圆弧曲杆A点的竖向位移∆V和水平位移∆H。设圆弧AB为1/4 个圆周，半径为R，EI为常数。
试用积分法求图示悬臂梁a端和跨中c点的竖向位移和转角忽略剪切变形影响例题
1、试用刚体体系虚力原理求图示结构D点的水平位移： (a) 设支座A向左移动1cm。 (b) 设支座A下沉1cm。 (c) 设支座B下沉1cm。
2、2、2、Fra bibliotek例题：试用积分法求图示悬臂梁A端和跨中C点的竖向位移和转角(忽略剪切变形影响)