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虚功原理与位移计算习题课

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结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3

结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-3

6、把复杂图形分为简单图形 、 使其易于计算面积和判断形心位置） （使其易于计算面积和判断形心位置）
•
取作面积的图形有时是不规则图形， 取作面积的图形有时是不规则图形，面积 的大小或形心的位置不好确定。 的大小或形心的位置不好确定。可考虑把图形 分解为简单图形（规则图形） 分解为简单图形（规则图形）分别图乘后再叠 加。
FP
⊿CV
l/2 l/2 AP FP l
3、正确的作法 、
AP1=1/2×FP l×l/2=FP l2/4 AP2=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 AP3=1/2×FP l/2×l/2=FP l2/8 y1=l/3 y2=l/6 FP y3 = 0
⊿CV=∑AP·yC/EI
=(FP l2/4×l/3+ FP l2/8×l/6 × +FP l2/8 ×0) / EI =5FP l3/48EI (↓)
32
32
• θC=2[(1/2·80·5)·(2/3·5/8)+(1/2·80·5)·(2/3·5/8+1/3·1) • -(2/3·32·5)·(1/2·5/8+1/2·1)]/EI • kN·m m kN/m2 • =0.005867 （弧度） • 方向与虚拟力方向一致。
思考题:判断下列图乘是否正确?
由此可见，当满足上述三个条件时， 由此可见，当满足上述三个条件时，积分式 的值⊿就等于M 图的面积A乘其形心所对应 乘其形心所对应M 的值⊿就等于 P图的面积 乘其形心所对应 图上的竖标y 再除以EI。 图上的竖标 C，再除以 。 正负号规定： 正负号规定： A与yC在基线的同一侧时为正，反之为负。 与 在基线的同一侧时为正，反之为负。
第五章
虚功原理与结构位移 计算

龙驭球《结构力学Ⅰ》(第3版)章节题库-虚功原理与结构位移计算(中册)(圣才出品)

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8（b）所示，结点 K 处的竖向位移为
．
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图 5-8
【答案】
【解析】此结构为二次超静定，要求结点 K 的位移，可以取其一静定基本结构（图 5-
9（a）），在此基本结构上 K 处虚设一竖向单位力，画出其弯矩图（图 5-9（b）），再与已知
的原结构的弯矩图图乘即可求得 K 点竖向位移．
图 5-9
此题选取的基本结构可以有多种形式，相应的 图也不一样，与 M 图图乘时的计算量 就不同．所以在选择基本结构时应尽量使图乘时的计算量小（弯矩图分布范围小且简单）．
4．已知图 5-10（a）所示弯矩图，图 5-10（b）中由 （已知）产生的 C 截面竖向位
MA＝0 有
（拉）．
要求铰 C 处的竖向位移，需要画出此结构的弯矩图（图 5-13（c））；然后在结构上 C 处
虚设一竖向单位力（图 5-13（d）），求出此时 AC 杆弯矩和 EG 杆轴力，然后图乘得 C 点竖
向位移为
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挠度大
．
【答案】
图 5-18
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【解析】（1）结构为静定，图 5-18（a）、（b）两图的唯一区别是在图 5-18（a）中竖 向支座链杆处会有变形，而图 5-18（b）中没有，静定结构的支座移动不会引起内力，所以 两结构的弯矩图完全一样．
移等于
．
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图 5-10 【答案】 【解析】（1）选一基本结构，在 C 处虚设一竖向单位力，作 图（图 5-11）．

力学3章虚功原理和结构的位移

力学3章虚功原理和结构的位移

第三章 虚功原理和结构的位移一 判 断 题1. 已知P M ,Mk 图，用图乘法 求位移的结果为：（ω1у1+ω2у2）/（EI ）。

（ ）（X ） 题1图 题2图 题3图2. 图示结构中B 点挠度不等于零。

（ ）（√）3. 图示桁架中腹杆截面的大小对C 点的竖向位移影响。

（ ）（X ）4. 求图示A 点竖向位移可用图乘法。

（ ）（X ）题4图 题5图5. 图示梁的跨中挠度为零。

（ ）（√）6. 在位移互等定理中，可以建立线位移和角位移的互等关系：12δ=21ϕ。

这里12δ，21ϕ与只是数值相等而量纲不同。

（ ）（X ）7. 三个刚片用不在同一直线上的三个虚铰两两相联，则所组成的体系是无多余约束的几何不变体系。

（ ）（√）8. 几何瞬变体系产生的运动非常微小并很快就转变成几何不变体系，因而可以用作工程结构。

（ ）（X ）9. 在任意荷载下，仅用静力平衡方程即可确定全部反力和内力的体系是几何不变体系。

（ ）（√）10. 两刚片或三刚片组成几何不变体系的规则中，不仅指明了必需的约束数目，而且指明了这些约束必须满足的条件。

（ ）（√）11. 在非荷载因素（支座移动，温度变化，材料收缩等）作用下，静定结构不产生内力，但会有位移，且位移只与杆件相对刚度有关。

（ ）（X ）12. 虚功中的力状态和位移状态是彼此独立无关的，这两个状态中的任一个都可看作是虚设的。

（ ）（√）13. 温度改变，支座位移，材料收缩和制造误差不会使静定结构产生内力，因而也不产生位移。

（ ）（X ）14. 计算自由度W 小于等于零是体系几何不变的充要条件。

（ ）（X ）15．若体系计算自由度W<0，则它一定是几何可变体系。

（ ）（X ）16．平面几何不变体系的三个基本组成规则是可以相互沟通的。

（ ）（√）17．三刚片由三个单铰或任意六根链杆两两相联，体系必为几何不变。

（ ）（X ）18．图示三铰刚架，EI 为常数，A 铰无竖向位移。

09虚功原理和结构的位移计算--习题解读

09虚功原理和结构的位移计算--习题解读
( N Q 0 M )ds R k ck
（3）荷载作用下的位移计算。对弹性材料，应变表达式为

NP EA
0 k
QP GA

MP EI
KP ( N Q 0 M )ds R k ck ( NN P QQP M M P k )ds EA GA EI
A 10kN 3m C 10kN 3m 5m B
5m
【解】
A 20 10
20
20 10
N P (kN)
C
10
1
A 1 1
N
1
NN P CV l EA B (0.5 5)(10 5 103 ) 8 5 11 4 2.1 10 30 10 10 1 20 103 16 2.11011 30 104 B 1.22 103 m 1.22mm()
结构力学电子教程
9 虚功原理和结构的位移计算
2 虚功和虚功原理 9.3 单位荷载法计算位移和位移计算的一般公式 9.4 荷载作用下的位移计算 9.5 图乘法 9.6 温度变化时的位移计算 9.7 支座移动时的位移计算 9.8 线性变形体系的互等定理 *9.9 空间刚架的位移计算公式
t 0 0 0
h
M t t t ds N t0 ds M d s t N d s AM t0 AN 0 h h h
（6）支座移动在静定结构引起的位移属于刚体位移，计算 公式为 R k ck ；关键是正确计算作功的支座反力。 （7）位移计算中遇到的符号及正负号确定较多，关键是功 的正负号规定，即力与位移的乘积的正负号规定。当力与位 移方向一致时，乘积为正，反之为负；图乘法中是A与yC于杆 件同一边时，乘积为正，反之为负。

结构力学(虚功原理和结构位移计算)

结构力学(虚功原理和结构位移计算)
几何法
单位荷载法
A
10
§4-2 刚体体系虚功原理及其应用
一、基本概念 1、功 (Work)：
T dT P COS(P,ds)ds
S
S
或：T P • ds
2、实功：力由于自身所引起的位移而作功。
当静力加载时，即：
P
P由0增加至P
由0增加至
实功的计算式为：
T 1P 2
A
11
3、虚功：当位移与作功的力无关时，这样的功称为虚功。
MP EI
κ
F NP EA
ε k
F QP GA
γ 0
g F N d sF Q 0 d sM ds
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA GA
A
35
M M Pd s F N F Nd P s k F Q F Qd P s
EI
EA
2)、小变形假设。变形前后荷载作用位置不变。
3)、结构各部分之间为理想联结，不计摩擦阻力。
4)、当杆件同时承受轴力与横向力作用时， 不考虑由于杆弯曲 所引起的杆端轴力对弯矩及弯曲变形的影响。
P
A
B
P
满足以上要求的体系为“线变形体系”。因位移与荷载 为线形关系，故求位移时可用叠加原理。
6、计算结构位移的方法
• 其中 M、FN、FQ、FRK----虚拟单位力下的弯距、轴力、 剪力和反力
、 、 g0、 ck•----实际变形状态轴线曲率、轴线伸长应
变、平均剪切应变和支座位移
A
22
分析，见图 (a)
求结构上任一点C沿指定方向K-K’上
的分位移 K P
(1)可按常规计算方法， 但计算工作麻烦。

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算(温度位移、虚功、互等)

温度改变时的位移计算
结构位移计算的一般公式
普遍性
Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds- ∑FRK·cK
⑵ 变形因素：荷载、温度改变或支座移动引起的位移；
温度改变的位移计算公式
应用背景
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温度改变时的位移计算
温度改变的位移计算公式
基本假设
FQ FN
dFN
pdx
0
dFQ qdx 0
dM FQdx 0
• 集M M 0 0
M
FQ FN
M
Page 22
q
FQ+ dFQ
p
FN+ dFN
O
x
M+ dM dx
y
dx
M0 O
Fx
Fy y
FQ+ ΔFQ FN+ ΔFN x
M+ ΔM
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D 1
α=1×10-5，求D点的竖向位移ΔDV。
2m 2m
解：⑴ 在D点作用一向上的单位力F=1，
4m
作弯矩图 M 和轴力图 F N；
⑵ 由于各杆 α，t0，Δt，h 相同，
故可先计算
+1
1
M ds
1 2
4
4
4
4
24(m2
)
M
FN
F Nds 1 2 1 4 2(m)
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结构力学I
第五章 虚功原理与 结构位移计算
2021年4月15日
LOGO
3-12(g)
指出弯矩图错误并改正；
作业点评

第9章 虚功原理及结构的位移计算

第9章 虚功原理及结构的位移计算

x
dx
l
力状态
x ql
dx
力状态

l
ql/2
ql/2
△
位移状态 外力虚功
位移状态 外力虚功
1 2 We qd x x ql 0 0 2
l
1 We qd x x ql 0 0 l 2
l
内力虚功 Wi =0
内力虚功 Wi =0
按由特殊到一般的推理方法，我们可以总结出刚体体系 的虚功原理： 在具有理想约束的刚体体系上，如果力状态下的力系能满 足平衡条件，位移状态的刚体位移能与约束几何相容（位移 与约束相对应，位移是连续的杆件变形后不断开、不重叠）， 则外力虚功为零。 或：设体系上作用任意的平衡力系，又设体系发生符合 约束条件的无限小刚体位移，平衡力系在位移上所作的虚功 为零。 特别说明：对于刚体，力状态下有内力，但因位移状态下 没有对应位移，故内力虚功为零，因此对于刚体的虚功原理也 可以这样理解：外力虚功等于内力虚功都等于零。
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位 移方向与假设的单 位力方向一致。
求 （1）沿所求位移方向加单位力，求出虚反力； 解 （2）建立虚功方程 1 FRk ck 0 步 骤 （3）解方程得 FRk ck 定出方向。
2.变形体的虚功原理
根据刚体的虚功原理，按照从特殊到一般的推理原则，总 结得出变形体的虚功原理： 在具有理想约束的变形体系上，若力状态的力系满足平衡 条件（整体平衡、局部平衡），位移状态下的位移满足变形协 调条件（包括变形与应变的协调：轴向应变对应轴向线位移、 剪应变对应横向位移、弯曲应变也就是曲率对应角位移；位移 与约束的几何相容：位移连续、杆件变形后不断开、不重叠， 约束和位移是相对应的），则外力在位移上所作的虚功恒等于 各个微段的内力在相应变形上所作的内虚功。即：

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算

结构力学 9虚功原理和结构的位移计算
Ax
P
引起结构位移的原因 还有什么原 荷载 因会使结构产 温度改变 生位移? 支座移动 制造误差 等
t
二、 计算位移的目的 (1) 刚度要求
在工程上，吊车梁允许的挠度< 1/600 跨度； 高层建筑的最大位移< 1/1000 高度。 最大层间位移< 1/800 层高。 铁路工程技术规范规定: 桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 < 1/700 和1/900跨度
例3：求AB两点的相对水平位移。
A 3m
EI常数
MP
P=1 6kN B 3m P=1
↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑↑
M
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
18
6
3
36 9
6m 9 9
1 2 × × ×3 6 1 1 ×6 ×6 ×18 ×6 ×3 ×0 6 9 2 3 2 EI 2 1 1 × × × 3 × 18×3 2 × -756 × 3 36 6 6 EI 3 4 2 3 EI
h
(a+l)/3
(b+l)/3
2 A lh 3
二次抛物线
l
1 A lh 2
(2) 复杂图形（分段+叠加） a、梯形相乘（分段+叠加）
a
b
a
b
c
d
c
d b a
l AyC (2ac 2bd ad bc) 6
c
b、一般形式的二次抛物线相乘（分段+叠加）
=
+
C、曲线图形与折线图形相乘（分段+叠加）
§9-4 荷载作用下的位移计算
kp N N P ds M M P ds K QQP ds EA EI GA

龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(虚功原理与结构位移计算)

龙驭球《结构力学》笔记和课后习题(含真题)详解(虚功原理与结构位移计算)

为：
MM P ds NNP l
例如图 5-1a 中的静定梁，支座 A 向上秱动一个已知距离 c1 ，现在拟求 B 点的竖向位秱 。
（a）
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（b）
图 5-1
位秱状态已给定，力系则可根据我们的意图来假设。在拟求位秱 的方向设置单位荷载，
根据平衡条件，可得支座 A 的反力 F R1 = b ，虚设平衡力系在实际刚体位秱上作虚功，虚 a
详细介绍“图乘法”的使用。
2．各类结构的位秱公式
（1）梁和刚架：因为弨矩起兰键作用，计算时可忽略轴力和剪力的影响，即简化为：
MM P EI
ds
(5-6)
（2）桁架：桁架一般只受轴力作用，可以忽略剪力和弨矩的影响，即简化为：
NNP ds NNP ds NNPl
EA
EA
EA
(5-7)
（3）桁架混合结构：有轴力杆和梁式杆兯同作用，计算可以忽略剪力的影响，即简化
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③构件在制作过程中的误差，使结构在装配后出现形变；
④材料的性质随时间变化也会引起形变。
其中，前三种因素是工程中经常会遇到的引起结构变形的主要因素。
（2）对结构求位秱计算的目的有二
①确定结构的刚度；
②用于超静定结构的内力计算。
对于公式（5-4）中的 可以是求某点某方向线位秱、戒者某截面的角位秱，也可以求
某两个截面的相对线位秱和相对角位秱，这些引申理解为广义位秱。在求广义位秱时，则需
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第5章1.2.3.4 虚功原理与结构位移计算

第5章1.2.3.4 虚功原理与结构位移计算

桁架
FN FNP FN FNP l ds EA EA
桁梁混合结构（组合结构）
FN FNP l MM P ds EI EA
拱
在桁梁混合结构中，有些杆件主要 受弯曲，有些杆件只受轴力。 在拱中，当压力线与拱的轴线 相近时，要考虑弯曲和拉伸对 位移的影响。当不相近时，只 考虑弯曲。
微段ds两端截面的三种相对位移： 将微段变形集中化(ds 0),但三种 位移仍存在。相当于整个结构除截 面B发生集中变形，其余为刚体，无 任何变形
d ds 轴向伸长应变： d 0ds 平均切应变： 0 轴线曲率： d ds
1 d Md FNd FQd d ( M FN FQ 0 )ds
4. 支座移动时静定结构的位移计算
应用单位荷载法求不同的位移时，应当选择不同的单位荷载。虚设的单位荷载应当是 拟求位移相应的单位荷载，即这个单位荷载所做的虚功在数值上应等于拟求的位移。如： (1)：求C点的竖向位移△c时，应在C点加一个单位竖向荷载。 (2)：求CD的转角β时，应在杆CD上加一个单位力偶荷载 (力偶作的功等于力偶矩与转角的乘积)。
剪切变形γ对位移的影响
支座位移cK对位移的影响
3. 结构位移计算的一般公式
该式的实质是一个几何方程，给出了已知变形(内部应变κ 、ε、γ和支座位移cK)与 拟求位移∆之间的几何关系
( M FN FQ 0 )ds FRK c K
上式是普遍公式。（因为在推导中未涉及变形因素、结构类型、材料性质） 可考虑任何情况：
第5章 虚功原理与结构位移计算
5-1应用虚功原理求刚体体系的位移
1. 推导位移计算一般公式的基本思路 第一步：讨论静定结构由于支座移动而引起的位移计算问题。此为刚体体系的 位移问题。应用刚体体系虚力原理导出位移计算公式。 第二步：讨论静定结构由于局部变形(例如结构中某个微段产生拉伸、剪切、

结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-1

结构力学第05章 虚功原理与结构位移计算-1

c1
△B
FP=1
△B=FP· c1=b/a · c1
注：
FR1= - b/a
1、虚设力系，应用虚功原理，称为虚力原理。若 设FP=1，称为虚单位荷载法。 2、虚功方程在此实质上是几何方程，即利用静 力平衡求解几何问题。 3、方程求解的关键，在于拟求⊿方向虚设单位 荷载，利用力系平衡求出与c1相应的反力,即利用平 衡方程求解几何问题。
第五章
虚功原理与结构位移 计算
§5-1 应用虚力原理求刚体体系的位移
1、推导位移计算一般公式的基本思路
第一步：由刚体体系的虚位移原理（理论力学）得 出刚体体系的虚力原理。并由此讨论静定结构由于支座 移动而引起的位移计算问题。 第二步：讨论静定结构由于局部变形引起的位移。 由刚体体系的虚力原理导出其位移计算公式。 第三步：讨论静定结构由于整体变形引起的位移。应 用第二步导出的局部变形引起的位移计算公式，再应用叠 加原理就可以推导出整体变形引起的位移计算公式。
（4）体系（结构）的物理特性
• •
• • • •
线性变形体系（线弹性体）：
*应力、应变满足虎克定律； *变形微小：变形前后结构尺寸、诸力作用 位置不变，位移计算可用叠加 原理； *体系几何不变，约束为理想约束。
• •
•
非线性体系：
*物理非线性； *几何非线性（大变形）。
（5）变形体位移计算方法及应满足的条件 • 方法： • 用虚功原理推导出位移计算公式。 • 计算时应满足的条件： • 静力平衡； • 变形协调条件； • 物理条件。
1 F RK cK 0
（c）由虚功方程，解出所求位移：
(5-3) (6 - 3)
F RK cK
(5-4) (6 - 4)

虚功原理与静定结位移计算

虚功原理与静定结位移计算

基于虚功原理的位移计算过程展示
引入位移边界条件，求解方程得到位 移结果。
计算实例展示：以案例一的高层建筑 为例，展示基于虚功原理的位移计算 过程，包括建立模型、列方程、求解 等步骤。
结果分析与讨论
1 2 3
位移计算结果分析
对计算得到的位移结果进行分析，包括位移分布、 最大值、最小值等，以评估结构的性能。
工程案例分析与讨论
05
工程案例背景介绍
案例一
某高层建筑结构分析与设计。该建筑采用钢 筋混凝土框架结构，存在大量的静定结构， 需要进行位移计算以验证设计合理性。
案例二
某大跨度桥梁结构健康监测。该桥梁为静定 结构，通过应用虚功原理进行位移计算，可 以实时监测桥梁结构变形情况，确保桥梁运 营安全。
基于虚功原理的位移计算过程展示
• 虚功原理简介：虚功原理是结构力学中的基本原理之一，它表 明外力在虚位移上所做的虚功等于内力在相应虚变形上所做的 虚功。利用这一原理，可以求解静定结构的位移问题。
基于虚功原理的位移计算过程展示
位移计算步骤 建立结构的力学模型，包括几何形状、材料属性、荷载条件等。
根据虚功原理，列出外力虚功与内力虚功相等的方程。
桁架结构
桁架结构由杆件组成，可以利用虚功原理求解其节点位移和 杆件内力。首先，根据桁架的几何形状和受力情况，建立虚 功方程。然后，通过求解该方程，可以得到桁架各节点的位 移和杆件内力。
虚功原理在连续梁、板等结构应用
连续梁结构
对于连续梁结构，可以利用虚功原理求解其挠度和转角。首先，根据连续梁的 几何形状和受力情况，建立虚功方程。然后，通过求解该方程，可以得到连续 梁各截面的挠度和转角。
智能化算法在静定结构位移计算中的应用

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构力学I-第五章 虚功原理与结构位移计算

结构位移计算的一般公式
叠加法：总位移Δ是微元段变形引起的微小位移dΔ之叠加； Δ = ∫dΔ = ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds
多个杆件：每根杆件产生的位移效应的叠加 Δ = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds 变形+支座位移：叠加法 支座位移产生的位移Δ=- ∑FRK· cK
另一种形式： 1 ·Δ+ ∑FRK· cK = ∑ ∫ ( Mκ + FNε + FQγ0 ) ds =
=
外力虚功
W
=
Wi
内力虚功
变形体的虚力方程
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14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
l
Page 19
d θ
M M
ds
14:33
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结构体位移计算的单位荷载法
局部变形时的位移计算公式
微元段的局部变形
1 相对轴向位移 dλ = εds
ds变形
相对轴向位移 dη = γ0ds
相对转角 dθ = ds/R = κds
⑴ 这些相对位移dλ、 dη和dθ 分别对应的广义力是B点的轴力FN， 剪力FQ ，及弯矩M； 这些微小变形在A端产生的位移dΔ如何求？ 单位荷载法！ ⑵ 设单位位移在B点产生的的轴力，剪力及弯矩分别为 FN ， FQ 和M，利用虚力原理，有
Page
2
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应用虚力原理求刚体体系的位移
结构位移计算概述
位移：结构上的某一截面在荷载或其它因素作用下由某一位置 移动到另一位置，这个移动的量就称为该截面的位移； 思考：变形和位移的差别？ 变形：结构在外部因素作用下发生的形状变化；

4虚功原理和位移计算

4虚功原理和位移计算

2.利用平衡条件条件计算 2.利用平衡条件条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段位移分 刚体位移 ab → a′b′′ 为两部分 变形位移 a′b′′ → a′b′ 微段外力功 在刚体位移上的功d 在刚体位移上的功dWg 分为两部分 在变形位移上的功d 在变形位移上的功dWi +dW d 微段外力功 dW= dWg+d i=dWi 所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和: W=∫dWi =δWi
直线
MP
MP
1 ⋅ tgα ⋅ ∫ x ⋅ M P (x)dx EI
x
dx
面积矩
y0
1 A ⋅ y0 ⋅ tgα ⋅ Ax0 = EI EI
∆= ∑ Ay0 EI
o
α
y
M
x
x
图乘法公式
公式应用注意 公式应用注意
杆段必须是等截面直杆 杆段必须是等截面直杆 两个图形必须有一直线图形， 取自该直线图形 两个图形必须有一直线图形，且 y0 取自该直线图形 直线图形
变形体虚功原理的证明: 变形体虚功原理的证明
q (x )
a
a′
b a a′ b′
b b′ b′′
1.利用变形连续性条件计算 1.利用变形连续性条件计算 所有微段的外力虚功之和 W 微段外力分 体系外力 为两部分 相互作用力 微段外力功 体系外力功d 体系外力功dWe 分为两部分 相互作用力功d 相互作用力功dWn +dW 微段外力功 dW= dWe+d n 所有微段的外力功之和: 所有微段的外力功之和: W=∫dWe+∫dWn =∫dWe =δWe
(2) 为超静定、动力和稳定计算做准备 为超静定、
变形体虚功原理
一、功、实功和虚功

5-1 虚力原理求位移解析

5-1 虚力原理求位移解析
P A B ΔB P
m A
B m
ΔA
这里Δ是与广义力相应的广义位移。 表示AB两截面的相对转角。
A
Δ
B
第5章 虚功原理与结构位移计算
防 灾 科 技 学 院
四、虚力原理 ——虚设力系求刚体体系位移
已知 c1 求 D
c1
C A a b P=1 A C B B
D=?
设虚力状态
R1 a P b = 0
P m β Δ
第5章 虚功原理与结构位移计算
防 灾 科 技 学 院
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T = PD A PD B = P(D A D B ) = PD
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。 4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T = m A m B = m( A B ) = mD
防 灾 科 技 学 院
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在ｉ－ｉ方向的位移 DN 。
i
B
A
DN
Ai
由平衡条件：
d
B
N = 1 cos
虚功方程：
1 D N N d = 0
DN
1
N
B
N
A
DN = N d
当截面B同时产生三种相对位移时，在i－i方向所产生 的位移D，即是三者的叠加，有：
1 Dc = cA 3
第5章 虚功原理与结构位移计算
防 灾 科 技 学 院
1 A B C D
1 2l
2 l
3 2l
所得正号表明位移方向 与假设的单位力方向一致。
2
1 b

4虚功原理及静定结构位移计算1

4虚功原理及静定结构位移计算1

10
9
A
A1
M P、FQP 、FNP——荷载作用下结构产生的弯矩、剪力、轴力 式中：
——单位广义力作用下结构产生的弯矩、剪力 、轴力 M k、 F Qk 、 F Nk 、
内力正负号规定：轴力拉为正，剪力使微段顺时针转动为正，弯 矩只规定乘积的正负号，当两个弯矩使杆件同一侧受拉时，乘积 取正号。
30
（1）荷载； （2）温度改变； （3）支座位移； （4）制造误差； 荷载 温度改 变、材 料收缩 制造误 差、支 座位移
变形
位移
（5）材料收缩
3
二结构位移的种类 .结构位移的种类 2. （1）某点的线位移 （2）某截面的角位移
（3）两点间的相对线位移
（4）两截面间的相对角移 线位移： 角位移： 线位移： 角位移： A C
We Wi
外力虚功：
内力虚功：
23
F F
p
RK
Ck FN ds FQds Mds Ck （FN FQ M）ds
杆件结构：
F F
p
RK
说明：（1）虚功原理里存在两个状态： 力状态必须满足平衡条件；位移状态必须满足协调条件。 （2）原理适用于任何 (线性和非线性)的变形体，适用于 任何结构。
(a)
MB 0 由外力虚功总和为零，即： 实际受力状态的平衡方程
(2)虚位移与实际力状态无关 将 X / C a ,/故可设 b 代入得 :x
X x

X X P C 0 1X bP / a
(3)求解时关键一步是找出虚位移状态的位移关系。 1 通常取 (4)特点：用几何法来解静力平衡问题
L1
Fp=1/L Fp=1/L

结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)

结构力学课件(虚功原理与结构位移计算)

产生相对剪位移d，试求A点在i－i方向
的位移 Q 。
i
B
d
A
Q
i
B
A
Q
1
A
B
a
a
Q
M 1 sin a
虚功方程：1 m M d 0 2019/11/22 m M d
Q 1 sin
1 Q Q d 0
8
Q Q d
例3、悬臂梁在截面B处由于某种原因产生轴向位移d 试求A点在
实际变形状态
虚力状态
( M N Q )ds Rkck
(1) 建立虚力状态：在待求位移方向上加单位力； (2) 求虚力状态下的内力及反力 M .N .Q .Rk 表达式; (3) 用位移公式计算所求位移，注意正负号问题。
2019/11/22
15
§4-3 荷载作用下的位移计算
3）若广义力是等值、反向的一对力P
T P A P B P( A B ) P P
AP t
B
P
这里Δ是与广义力相应的广义位移。
mΔA
t
β ΔB Δ
表示AB两点间距的改变，即AB两点的相对位移。
m
A
Bm
4）若广义力是一对等值、反向的力偶 m
T m A mB m( A B ) m
2019/11/22
1
第四章
2019/11/22
2
§4-1 应用虚功原理求刚体体系的位移
一、结构位移计算概述
计算位移的目的：（1）刚度验算，（2）超静定结构分析的基础
产生位移的原因：（1）荷载（2）温度变化、材料胀缩（3）支座沉降、制造误差
c

结构力学-虚功原理和结构的位移计算

结构力学-虚功原理和结构的位移计算

30 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第四节 图乘法及其应用
受弯为主的构件位移计算常遇到积分公式：
∑ ∫ ΔiP =
MMP ds EI
称莫尔积分
在杆件数量多或荷载较复杂的情况下，不方 便。下面寻求一种简单的计算位移的法。
利用图形的静矩原理将图形积分变为图形相乘
31 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
6 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第一节 位移计算概述
3、产生位移的主要原因 各种因素对静定结构的影响
内力
变形
位移
荷载
√
√
√
温度改变或 ×
√
√
材料胀缩
支座移动或 ×
×
√
制造误差
产生位移的主要原因主要三种：①荷载作用、②温度改变和材料胀
缩、③支座移动和制造误差。
7 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算 第一节 位移计算概述 4 体系特征假定
虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功。
（力与位移相互独立）
FP2 Δ22
FP1
Δ11 Δ12
W12 = FP1Δ12
（此过程力保持为常量）
虚功具体有两种情况：
1 作功双方其一是虚设的； 2 作功双方均是实际存在的，但彼此无关。11 / 72
第九章 虚功原理和结构的位移计算
第二节 变形体虚功原理
注意：
外力虚功
∑ We = 1 ⋅ Δk + FRi ⋅ ci
内力虚功
Wi = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη
由虚功方程 We = Wi
Δk = ∑ ∫ Mdϕ + ∑ ∫ FNdλ + ∑ ∫ FQdη − ∑ FRici
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(2 Pl(l - x ) Px(l - x )) (l - x ) ( x 2l )
2
DA
2 DH A
M

2 DVA
DH arctan VA arctan0.4 21.8 DA
ql 4 0.673 EI
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓
A

ql 2 2
l cosa
P=1
a
EI
DA
l
EI MP
M
l
l (cosa sin a )
1 1 ql 2 3 l ql 2 l l cosa (l cosa l (cosa sin a ) ) A EI 3 2 4 2 2 ql 4 (5 cosa 2 sin a ) 8EI dDaA ql 4 (- 5sin a 2 cosa ) 0 da 8EI 4 ql tana 0.4,即：a 21.8时DaA max D A 0.873 EI Da
求A点全位移
q ↓↓↓↓↓↓ ↓↓↓↓ EI

ql 2 2
A P=1
DA
MP
M
l
EI
l
l
l P=1
1 l 2 ql 2 ql 4 EI 2 2 4 EI 2 2 4 1 1 ql 3 ql 5 ql DVA l l l l EI 3 2 4 2 8EI DH A
M M
i
⑦非标准图形乘直线形： a）直线形乘直线形
k
l a
dx
b
d
l( 2ac 2bd ad bc ) 6
b)非标准抛物线成直线形
c
a
h
b d l
=
a
b
c
d 2 hl c S l (2 ac 2 bd ad bc ) 6 3 2
+
h
判断下列图乘结果正确与否。（ ）
5kN
MP
kN.m 4 1/2
4
kN.m
8
1
例3：求图示梁中 B结 点的竖向位移及 B两 侧截面的相对转角位 移。
2M ql 2 ll 6
M
A
2M/l
q
C
解：（1）求B点竖向位移 先画弯矩 M P 和 M
EI
l 2
B
EI
l
1 1 ql2 4l 2Ml 2l DB l EI 4 6 5 2 3
B
①
P=1
②
B
A
A P=1/l l ④ P=1/l B l ⑤ B P=1/l
P=1/l
P=1/l
B l ⑥
P=1/l
A
P=1/l P=1/l l C
①AB两点相对水平位移；②AB两截面的相对转角； ③AB两点相对竖向位移； ④ AB杆的转角； ⑤ AB连线的转角； ⑥ AB杆和AC杆的相对转角。
7 静定结构由于温度改变而产生的位移计算
0
MC 1 H m f 8
0
1/8
5 80 2 5 5 80 2 5 1 2 5 32 1 5 ( 1 ) 2 3 8 2 3 8 3 3 2 8 0.005867 rad 2 5 104
G
E
20 5m
A 5m 10 15kN
10 (2 20 20 - 2 10 10 6 - 20 10 10 20)
10
10
3187.5 1594 . 10 -2 m EI
20
1kN
5m
10kN
5m
D 10
50kN.m B
5m
例5：求图示结构 A点的水平
7kN F
1、计算结构位移主要目的
a）验算结构的刚度； b）为超静定结构的内力分析打基础。 a）荷载作用； b）温度改变和材料胀缩； c）支座沉降和制造误差
2、产生位移的原因主要有三种
3、变形体系的虚功原理: 状态1是满足平衡条件的力状态，状态 2是满足变形连续条件的位移状态，状态1的外力在状态2的位 移上作的外虚功等于状态1的各微段的内力在状态2各微段的 变形上作的内虚功之和
d12d 21
r12=r21
P
P
P
例1：求图 示Βιβλιοθήκη 架D点 的竖向位移 ΔDV 解:先计算 N 后计算NP
B
C
3m
A
－8P
D
0
4m×3=12m 0
0
0
0
－4/3
P=1
0 0
0
0
0
D DV
1 5 4 280P 3P 1 3 5P 5 8P 4 EA 3 3 3EA
例6：求图示简支梁中点的挠度。EI=常数，弹簧的刚度系数为k。
q A
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
ql2/8
B
试用单位荷载法求出 梁的挠曲线。 Pl Px
P
MP
A
l
P=1
ql/2
B
MP
l－x
l
P=1
M
DC
l/4 1/2
M
x
MM P NN P dx l-x EI k y ( x) 2 1 2 l ql 5 l 1 ql 6 EI 2 EI 2 2k 3 2 8 8 4 P 4 5ql ql 6 EI 384 EI 4k
y0 ω y0 ω y0 ω
①S=ωy0（× ）
y1 ω1
②S=ωy0 （×）
ω
③S=ωy0 （ ×）
ω y0
y2
ω2 y0
④S=ω1y1+ω2y2 （ ）
×
⑤S=ωy0 （×）
题3-14图
⑥S=ωy0 （ √ ）
图示虚拟力状态可求出什么位移？
P=1 A A m=1 A m=1 ③ B P=1 P=1
ql 2 2 2M ql 6 ll 6
l 13ql 2 - 270 M 120 EI
(
)
2M
16kN/m
↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓
例4：求图示刚架C铰左右两截 面的相对转动。EI=5×104kN.m 3m
1
80
32
5/8
m=1
MP
16
16
5m
M
1/8
4m
4m
2
H
D C
M C 168 16kN f 88
5、弹性体系荷载作用下的位移计算
Dkp

NNP kQQP MMP ds ds ds GA EA EI


1） NP、QP、MP实际荷载引起的内力，是产生位移的原因； 虚设单位荷载引起的内力是 N ,Q , M
2） 公式右边各项分别表示轴向变形、剪切变形、弯曲 变形对位移的影响。 MM 3）梁和刚架的位移主要是弯矩引起的 D EI dx NN 4）桁架 D l
T12 N1 2 ds Q1 2 ds M 1 2 ds
4、结构位移计算的一般公式
D ( N 2 Q 2 M 2 )ds- Ri ci
注:1) 2) 3) 4) 5)
既适用于静定结构,也适用于超静定结构; 既适用于弹性材料,也适用于非弹性材料; 产生位移的原因可以是各种因素; 既考虑了弯曲变形也考虑了剪切变形和轴 向变形对位移的影响； 右边四项乘积,当力与变形的方向一致时, 乘积取正。
it at0w N ±
aDt
h
wM
1） 该公式仅适用于静定结构。并假定温度改变沿 截面高度按线性变化。 2）正负规定:P153 8 静定结构由于支座移动而产生的位移计算
Dic -RK cK
1） 该公式仅适用于静定结构。 2）正负规定： 9 互等定理 •适用条件：弹性体系（小变形，σ=Eε） •内容 W12= W21
A B 求A点的 水平位移 P=1 求A截面 的转角
m=1
m=1
m=1
P=1 求AB两点 的相对位移
P=1
l
1/l
求AB两截面 的相对转角
1/l
求AB两点 连线的转角
6、 图乘法
w y0 MM P D dx EI EI
①∑表示对各杆和各杆段分别图乘而后相加。 ②图乘法的应用条件： a）EI=常数；b）直杆；c）两个弯矩图 至少有一个是直线。 ③竖标y0 取在直线图形中，对应另一图形的形心处。 ④面积ω与竖标y0在杆的同侧， ω y0 取正号，否则取负号。 ⑤几种常见图形的面积和形心的位置： ⑥当图乘法的适用条件不满足时的处理 方法： a）曲杆或 EI=EI（x）时，只能用积 分法求位移； b）当EI 分段为常数或M 、MP 均非直线时，应分段图乘再叠加。
P iP
P iP
EA
5）桁梁混合结构 7）拱
Δ=
MM P NN P ds EI EA l
用于桁架杆
用于梁式杆
MM P NN P D ds ds EI EA
扁平拱中计算水平位移或压力 线与拱轴线比较接近时才考虑
7）该公式既用于静定结构和超静定结构。但必须是弹性体系 8）虚拟力状态：在拟求位移处沿着拟求位移的方向，虚设相应 的广义单位荷载。
位移。 已知： EI 2 105 kN m2 解：画MP图， 画 M 图
2kN/m 25
C
35
1 1 5 D AH 5 50 10 EI 2 6 1 2 2 25 1 5 50 10 - 5 10 2 3 3 4 2 1 2 5 25 10 2 3