南京市2011届高三第三次模拟考试
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南京市2011届高三第三次模拟考试
数学(必做题) 2011.05
一．填空题(共14小题，每小题5分，满分70分) 1.命题“∀x ∈R ，sinx>0”的否定是_________
2.已知复数z=4－3i ，则复数z +5i 的虚部为__________
3.如图，已知集合A={2,3,4,5,6,8}，B={1,3,4,5,7}C={2,4,5,7,8,9}，用列举法写出图中阴影部分表示的集合为___________
4.在水平放置的长为5m 的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2m 的概率是________
5.设变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪⎧x －1≤0
x+y+1≥0x －y+3≥0，则目标函数z=2x+y 的最小值是________
6.右图是一个算法的流程图，则输出的值是______(流程图此略)
7.已知函数f(x)=2sin(2x+φ)，若f(π
4)=3，则f(13π4
)=_____
8.已知l ，m ，n 是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列命题：
①若l ∥m ，n ⊥m ，则n ⊥l ； ②若l ∥m ，m ⊂α，则l ∥α；
③若l ⊂α，m ⊂β，α∥β，则l ∥m ； ④若α⊥γ，β⊥γ，α⋂β=l ，则l ⊥γ；
其中真命题是_________(写出所有真命题的序号)
9.如图，在△ABC 中，∠BAC=900，AB=6，D 在斜边BC 上，且CD=2DB ，则AB →·AD →
=_____ 10.已知数列{a n }的前n 项和S n =2n 2+pn ，a 7=11，若a k +a k+1>12，则正整数k 的最小值为_______ 11.若不等式4x 2+9y 2≥2k xy 对一切正数x ，y 恒成立，则整数k 的最大值为______
12.已知直线y=mx (m ∈R)与函数f(x)=⎩
⎨⎧2－(1
2
)x ，x ≤0
12
x 2
+1，x>0的图象恰有3个不同的公共点，则实数m 的取值范围是_______
13.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1 (a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，离心率为e ；若椭圆上存在点P ，使得PF 1
PF 2
=e ，则该椭圆离心率e
的取值范围是_______
14.如图，已知正方形ABCD 的连长为1，过正方形中心O 的直线MN 分别交正方形的边AB 、CD 于点M 、N ，则当MN
BN 取
最小值时，
CN=____
9题图
B
14题图
M
二．解答题(共6小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(本题满分14分)
已知a,b,c 分别为△ABC 的内角A 、B 、C 的对边，且acosC+ccosA=2bcosB. ⑴求角B 的大小；
⑵求sinA+sinC 的取值范围。
16.(本题满分14分)
如图，在矩形ABCD 中，AD=2，AB=4，E 、F 分别为边AB 、AD 的中点.现将△ABE 沿DE 折起，得四棱锥A －BCDE. ⑴求证：EF ∥平面ABC ；
⑵若平面ADE ⊥平面BCDE ，求四面体FDCE 的体积.
16题图
F
E
D C
B
A
⇒
F
C
17.(本题满分14分)
2014年青奥会水上项目将在J 地举行.截至2010年底，投资集团B 在J 地共投资100百万元用于房地产和水上运动两个项目的开发.经调研，从2011年初到2014年底的四年间，B 集团预期可从三个方面获得利润：一是房地产项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的20%；二是水上运动项目，四年获得的利润的值为该项目投资额(单位：百万元)的算术平方根；三是旅游业，四年可获得利润10百万元. ⑴B 集团的投资应如何分配，才能使这四年总的预期利润最大？
⑵假设从2012年起，J 地政府每年都要向B 集团征收资源占用费，2012年征收2百万元，以后每年征收的金额比上一年增加10%.若B 集团投资成功的标准是：从2011年初到2014年底，这四年总的预期利润中值．．．．．．(预期最大利润与最小利润的平均数)不低于总投资额的18%，问B 集团投资是否成功？
18.(本题满分16分)
在平面直角坐标系xOy 中，已知定点A(－4,0)，B(4,0)，动点P 与A 、B 连线的斜率之积为－1
4
.
⑴求点P 的轨迹方程；
⑵设点P 的轨迹与y 轴负半轴交于点C.半径为r 的圆M 的圆心M 在线段AC 的垂直平分线上，且在y 轴右侧，圆M 被y 轴截得的弦长为3r. ①求⊙M 的方程；
②当r 变化时，是否存在定直线l 与动圆M 均相切？如果存在，求出定直线l 的方程；如果不存在，说明理由.
19.(本题满分16分)
设等比数列{a n }的前n 项和为S n .已知a n+1=2S n +2 (n ∈N*). ⑴求数列{a n }的通项公式；
⑵在a n 与a n+1之间插入n 个数，使这n+2个数组成一个公差为d n 的等差数列. ①求证：1d 1+1d 2+1d 3+…+1d n <15
16
(n ∈N*)；
②在数列{d n }中是否存在三项d m ,d k ,d p (其中m,k,p 成等差数列)，若存在，求出这样的三项；若不存在，说明理由.
20.(本题满分16分)
已知函数f(x)=x 3+x 2－ax (a ∈R).
⑴当a=0时，求与直线x －y －10=0平行，且与曲线y=f(x)相切的直线方程； ⑵求函数g(x)=f(x)
x
－alnx (x>1)的单调递增区间；
⑶如果存在a ∈[3,9]，使函数h(x)=f(x)+f '(x) (x ∈[－3,b])在x=－3处取得最大值，试求b 的最大值.
后记：⑴白林老师2011年5月4日录入；
⑵江苏试卷结构分必做题和附加题两部分，必做题是文理共答题，题量20题，满分160分；附加题是理科必做题，考分须在6题中答4题，满分40分；文史考生数学满分为160分，理科考生数学满分为200分；
⑶因时间仓促先录入必做题，再陆续将附加题、答案录入，请同仁谅解。
①②③④⑤⑴⑵⑶≥⋃≠∞≤±∃∀⋂∉⊆∧∨⌝⌝⊥∁⊕α β πθ△ω ∈φ ∠→⇒⇔∅λ∥。
