哈尔滨市第六中学2015届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）第Ⅰ卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.已知集合}03|{2<-=x x x A ，},1{a B =，且B A I 有4个子集，则实数a 的取值范围是（） A.)3,0( B.)3,1()1,0(Y C.)1,0( D.),3()1,(+∞-∞Y2．复数ii i 1313+-+等于（） A.i -3 B.i 2- C.i 2 D.03.函数)4sin 2cos 4cos 2(sin log 21ππx x y -=的单调递减区间是（）A.Z k k k ∈++),85,8(ππππ B.Z k k k ∈++),83,8(ππππC.Z k k k ∈+-),83,8(ππππ D.Z k k k ∈++),85,83(ππππ 4．等比数列{}n a 中，39a =，前3项和为32303S x dx =⎰，则公比q 的值是（）A.1B.－12C.1或－12D.-1或－125.已知关于x 的二项式nxa x )(3+展开式的二项式系数之和 为32，常数项为80，则a 的值为（） A ．1B ．1±C ．2D ．2±6.若两个正实数y x ,满足141=+yx ，且不等式m m yx 342-<+有解，则实数m 的取值范围是（） A.)4,1(- B.),4()1,(+∞--∞Y C.)1,4(- D.),3()0,(+∞-∞Y7.执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为8，则输出S 的值为（）A.4B.8C.10D.128．若A 为不等式组0,0,2x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为()A ．1B ．32C ．34D ．749.如图，一个空间几何体的正视图、侧视图都是面积为3，一个内角为60︒ 的菱形，俯视图为正方形，那么这个几何体的表面积为（）A.23B.43C.8D.410.已知O 为正三角形ABC 内一点，且满足0)1(=+++OC OB OA λλ，若OAB ∆的面积与OAC ∆的面积比值为3，则λ的值为（）A.21B.1C.2D.3 11.过双曲线()0,012222>>=-b a by a x 的左焦点()0,c F -作圆222a y x =+的切线，切点为E ，延长FE 交抛物线cx y 42=于点P ,O 为原点，若()OP OF OE +=21，则双曲线的离心率为（）A.251+ B.231+ C.7224- D.7224+ 12．定义在()0+∞，上的单调函数()[]2(),0,,()log 3f x x f f x x ∀∈+∞-=，则方程2)()(='-x f x f 的解所在区间是（） A.⎪⎭⎫ ⎝⎛21,0 B.⎪⎭⎫⎝⎛1,21 C.()2,1 D.()3,2第Ⅱ卷（非选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分，第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须做答，第22题~24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.已知等差数列}{n a 中，45831π=++a a a ,那么=+)cos(53a a .14.5位同学排队，其中3位女生，2位男生.如果2位男生不能相邻，且女生甲不能排在排头，则排法种数为 . 15.已知球O 的直径4=PQ ，C B A ,,是球O 球面上的三点,ο30=∠=∠=∠CPQ BPQ APQ ，ABC ∆是正三角形，则三棱锥ABC P -的体积为 . 16.给出下列四个结论：（1）如图Rt ABC ∆中，2,90,30.AC B C =∠=︒∠=︒D 是斜边AC 上的点，CB CD =.以B 为起点任作一条射线2； BE 交AC 于E 点，则E 点落在线段CD 上的概率是（2）设某大学的女生体重()kg y 与身高()cm x 具有线性相关关系，根据一组样本数据()()n i y x i i ,,2,1,Λ=，用最小二乘法建立的线性回归方程为71,8585.0ˆ-=x y ，则若该大学某女生身高增加cm 1，则其体重约增加kg 85.0；（3）若()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足()()x f x f -=+2,则函数()f x 的图像关于1=x 对称; （4）已知随机变量ξ服从正态分布()()21,,40.79,N P σξ≤=则()21.02=-≤ξP .其中正确结论的序号为三、解答题：本大题共70分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分12分）“德是”号飞船返回舱顺利到达地球后，为了及时将航天员救出，地面指挥中心在返回舱预计到达的区域安排了同一条直线上的三个救援中心（记为D C B ,,）．当返回舱距地面1万米的P 点时（假定以后垂直下落，并在A 点着陆），C 救援中心测得飞船位于其南偏东ο60方向，仰角为ο60，B 救援中心测得飞船位于其南偏西ο30方向，仰角为ο30．D 救援中心测得着陆点A 位于其正东方向． （1）求C B ,两救援中心间的距离；（2）D 救援中心与着陆点A 间的距离．18．(本小题满分12分)ABCDE北 AP东BCD我国新修订的《环境空气质量标准》指出空气质量指数在050-为优秀，各类人群可正常活动.市环保局对我市2014年进行为期一年的空气质量监测，得到每天的空气质量指数，从中随机抽取50个作为样本进行分析报告，样本数据分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45，由此得到样本的空气质量指数频率分布直方图，如图.(1)求a 的值；(2)根据样本数据，试估计这一年度的空气质量指数的平均值；(3)如果空气质量指数不超过15，就认定空气质量为“特优等级”，则从这一年的监测数据中随机抽取3天的数值，其中达到“特优等级”的天数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.19.（本小题满分12分）CD AB //，如图，在四棱锥ABCD P -中，平面⊥PAD 平面ABCD ，在锐角PAD ∆中PD PA =，并且82==AD BD ，542==DC AB .空气质量指数 频率 组距0.0320.020 0.018O 5 15 25 35 45 a（1）点M 是PC 上的一点，证明：平面⊥MBD 平面PAD ； （2）若PA 与平面PBD 成角︒60，当面⊥MBD 平面ABCD 时，求点M 到平面ABCD 的距离．20.（本小题满分12分）已知椭圆14:22=+y x E 的左，右顶点分别为B A ,，圆422=+y x 上有一动点P ,点P 在x 轴的上方，()0,1C ，直线PA 交椭圆E 于点D ，连接PB DC ,. (1)若︒=∠90ADC ,求△ADC 的面积S ;(2)设直线DC PB ,的斜率存在且分别为21,k k ,若21k k λ=,求λ的取值范围.21.(本小题满分12分)设函数()ln(1),()ln(1)1xf x a xg x x bx x=-+=+-+. （1）若函数()f x 在0x =处有极值，求函数()f x 的最大值；（2）①是否存在实数b ，使得关于x 的不等式()0g x <在()0,+∞上恒成立？若存在，求出b 的取值范围；若不存在，说明理由； ②证明：不等式()2111ln 1,2,12nk k n n k =-<-≤=⋅⋅⋅+∑考生在题（22）（23）（24）中任选一题作答，如果多做，则按所做的的第一题计分．做题时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲如图，已知C 点在⊙O 直径的延长线上，CA 切⊙O 于A 点，DC是ACB ∠的平分线，交AE 于F 点，交AB 于D 点． （Ⅰ）求ADF ∠的度数； （Ⅱ）若AC AB =，求BC AC :．23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧-=--=t y t x 322（t 为参数），直线l 与曲线1)2(:22=--x y C 交于B A ,两点.（1）求||AB 的长；（2）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点P 的极坐标为)43,22(π，求点P 到线段AB 中点M 的距离．24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知实数c b a ,,满足0,0,0>>>c b a ，且1=abc . （Ⅰ）证明：8)1)(1)(1(≥+++c b a ； （Ⅱ）证明：cb ac b a 111++≤++.哈尔滨市第六中学2015届高三第三次模拟考试数学试卷（理工类）答案一．选择题1.B2.D3.B4.C5.C6.B7.B8.D9.D10.A11.A12.C 二．填空题 13.2114.43915.4016.②③④三．解答题17.解：（1）由题意知AB PA AC PA ⊥⊥,，则PAB PAC ∆∆,均为直角三角形………………1分在PAC Rt ∆中，︒=∠=60,1PCA PA ，解得33=AC …………………………2分 在PAB Rt ∆中，︒=∠=30,1PBA PA ，解得3=AB …………………………3分又︒=∠90CAB ，33022=+=BC AC BC 万米.…………………………5分 （2）103sin sin =∠=∠ACB ACD ，101cos -=∠ACD ，…………………………7分又︒=∠30CAD ，所以102133)30sin(sin -=∠+︒=∠ACD ADC .…………………………9分在ADC ∆中，由正弦定理，ACDADADC AC ∠=∠sin sin …………………………10分 1339sin sin +=∠∠⋅=ADC ACD AC AD 万米…………………………12分 18.(1)解：由题意，得()0.020.0320.018101a +++⨯=，……………1分解得0.03a =.……………2分（2）解：50个样本中空气质量指数的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=……………3分由样本估计总体，可估计这一年度空气质量指数的平均值约为24.6.…………4分（3）解：利用样本估计总体，该年度空气质量指数在(]5,15内为“特优等级”，且指数达到“特优等级”的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭:.………5分ξ的取值为0,1,2,3，………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭.……………10分 ∴ξ的分布列为：……11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.………12分 （或者13355E ξ=⨯=） 19.解法一（1）因为82==AD BD ，54=AB ，由勾股定理得AD BD ⊥，因为平面⊥PAD 平面ABCD ，平面⋂PAD 平面 ABCD =AD ，⊆BD 面ABCD ，所以⊥BD 平面PAD ⊆BD 面MBD ，所以平面⊥MBD 平面PAD ………6分（2）如图，因为⊥BD 平面PAD ，所以平面⊥PBD 平面PAD ， 所以︒=∠60APD ，做AD PF ⊥于F ，所以⊥PF 面ABCD ，32=PF ，设面⋂PFC 面MBD =MN ，面⊥MBD 平面ABCD 所以面//PF 面MBD ，所以MN PF //，取DB 中点Q ，得CDFQ 为平行四边形，由平面ABCD 边长得N 为FC 中点，所以321==PF MN ………12分 解法二（1）同一（2）在平面PAD 过D 做AD 垂线为z 轴，由（1），以D 为原点，DB DA ,为y x ,轴建立空间直角坐标系,设平面PBD 法向量为),,(z y x u =，设),0,2(a P ，锐角PAD ∆所以2>a ，由0,0=⋅=⋅DB u DP u ，解得)2,0,(a u -=，),0,2(a PA -=，2344|,cos |2=+=><a a u PA ，解得32=a 或2332<=a （舍） 设PC PM λ=，解得)3232,4,42(λλλ--M因为面⊥MBD 平面ABCD ，BD AD ⊥，所以面MBD 法向量为)4,0,0(=DA ，所以0=⋅DM DA ，解得21=λ，所以M 到平面ABD 的距离为竖坐标3．………12分20.（1）依题意，)0,2(-A .设),(11y x D ，则142121=+y x . 由︒=∠90ADC 得1-=⋅CD AD k k ,1121111-=-⋅+∴x yx y , ξ 01 2 364125 48125 12125 1125xyzM()()124112*********-=-+-=-⋅+∴x x x x x y ,解得舍去）(2,3211-==x x 3221=∴y ,2332221=⨯⨯=S .…………5分 (2)设()22,y x D ,Θ动点P 在圆422=+y x 上,∴1-=⋅PA PB k k .又21k k λ=,∴1212222-⋅=+-x y x y λ,即()()222212y x x -+-=λ=()()41122222x x x --+- =()()()222244112x x x --+-=21422--⋅x x =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21142x . 又由题意可知()2,22-∈x ,且12≠x ,则问题可转化为求函数()()()1,2,22114≠-∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=x x x x f 且的值域. 由导数可知函数()x f 在其定义域内为减函数,∴函数()x f 的值域为()()3,00,⋃∞-从而λ的取值范围为()()3,00,⋃∞-……12分21.（1）由已知得：()21()11a f x xx '=-++，且函数()f x 在0x =处有极值 ∴()21(0)01010a f '=-=++，即1a =∴()ln(1),1x f x x x =-++ ∴()()2211()111x f x x x x -'=-=+++ 当()1,0x ∈-时，()0f x '>，()f x 单调递增；当()0,x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减；∴函数()f x 的最大值为(0)0f =（2）①由已知得：1()1g x b x'=-+ (i)若1b ≥，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=-≤+ ∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为减函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+-<=在()0,+∞上恒成立；(ii)若0b ≤，则[)0,x ∈+∞时，1()01g x b x'=->+∴()ln(1)g x x bx =+-在[)0,+∞上为增函数，∴()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； (iii)若01b <<，则1()01g x b x '=-=+时，11x b =-， 当10,1x b ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0g x '≥，∴()ln(1)g x x bx =+-在10,1b ⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上为增函数， 此时()ln(1)(0)0g x x bx g =+->=，∴不能使()0g x <在()0,+∞上恒成立； 综上所述，b 的取值范围是[)1,x ∈+∞…………8分 ②由以上得：ln(1)(0)1x x x x x<+<>+ 取1x n =得：111ln(1)1n n n <+<+令21ln 1n n k k x n k ==-+∑， 则112x =，()1222111ln 101111n n n n x x n n n n n n-⎛⎫-=-+<-=-< ⎪+-++⎝⎭. 因此1112n n x x x -<<⋅⋅⋅<=. 又()1211ln ln ln 1ln1ln 1nn k k n k k k -==⎛⎫=--+=+⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭∑∑ 故1122211111ln 1ln 1111n n n n k k k k k n x k k k k n --===⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=-++ ⎪ ⎪⎢⎥+++⎝⎭⎝⎭⎣⎦∑∑∑ ()()11122111111111111n n n k k k k k k k k n k k ---===⎛⎫>-=-≥=-+>- ⎪+++⎝⎭∑∑∑……12分22．（1）因为AC 为⊙O 的切线，所以EAC B ∠=∠…………1分因为DC 是ACB ∠的平分线，所以DCB ACD ∠=∠…………2分所以ACD EAC DCB B ∠+∠=∠+∠，即AFD ADF ∠=∠，…………3分又因为BE 为⊙O 的直径，所以︒=∠90DAE …………4分.所以︒=∠-︒=∠45)180(21DAE ADF .…………5分 （2）因为EAC B ∠=∠，所以ACB ACB ∠=∠，所以ACE ∆∽BCA ∆， 所以ABAE BC AC =，………7分 在ABC ∆中，又因为AC AB =，所以︒=∠∠=∠30ACB B ，………8分 ABE Rt ∆中，3330tan tan =︒===B AB AE BC AC ………10分23.解:（1）直线l 的参数方程化为标准型⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+-=t y t x 232212（t 为参数）……2分代入曲线C 方程得01042=-+t t设B A ,对应的参数分别为21,t t ，则421-=+t t ，1021-=t t ， 所以142||||21=-=t t AB ……5分（2）由极坐标与直角坐标互化公式得P 直角坐标)2,2(-，……6分 所以点P 在直线l ，中点M 对应参数为2221-=+t t ， 由参数t 几何意义，所以点P 到线段AB 中点M 的距离2||=PM ……10分 24.(1)c c b b a a 21,21,21≥+≥+≥+，相乘得证——————5分（2）ac bc ab cb a ++=++111 bc ab bc ab 222=≥+，a c b a ac ab 222=≥+，c c ab ac bc 222=≥+相加得证——————10分。
