2019-2020年高三第三次模拟考试(三模)数学 含答案

2019-2020年高三第三次模拟考试（三模）数学 含答案

注意事项：

1．本试卷共4页，包括填空题（第1题~第14题）、解答题（第15题~第20题）两部分．本试卷满分为160分，考试时间为120分钟．

2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内．试题的答案写在答题纸．．．上对应题目的答案空格内．考试结束后，交回答题纸． 参考公式

样本数据x 1，x 2，…，x n 的方差s 2

＝1n i ＝1∑n (x i －－x )2，其中－x ＝1n i ＝1

∑n x i ．

一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分. 不需写出解答过程，请把答案写在答

题纸的指定位置上）

1．已知全集U ＝{－1，2，3，a }，集合M ＝{－1，3}．若∁U M ＝{2，5}，则实数a 的值为▲________．

2．设复数z 满足z (1＋i)＝2＋4i ，其中i 为虚数单位，则复数的共轭复数为 ▲ ． 3．甲、乙两位选手参加射击选拔赛，其中连续5轮比赛的成绩（单位：环）如下表：

则甲、乙两位选手中成绩最稳定的选手的方差是▲________．

4．从2个白球，2个红球，1个黄球这5个球中随机取出两个球，则取出的两球中恰有一

个红球的概率是▲________．

5．执行如图所示的伪代码，输出的结果是 ▲ ．

6．已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同直线，l ⊥α，m ⊂β．

给出下列命题：

①α∥β⇒l ⊥m ； ②α⊥β⇒l ∥m ； ③m ∥α⇒l ⊥β； ④

l ⊥β⇒m ∥α．

其中正确的命题是▲________． (填．写．所有正确命题的．．．．．．．序号．．)．

7．设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2a n －2，则a 8

a 6

＝ ▲ ．

8．设F 是双曲线的一个焦点，点P 在双曲线上，且线段PF 的中点恰为双曲线虚轴的一

（第5题图）

个端点，则双曲线的离心率为▲________．

9．如图，已知A ，B 分别是函数f (x )＝3sin ωx (ω＞0)在y 轴右侧图象上的第一个最高点

和第一个最低点，且∠AOB ＝π

2

，则该函数的周期是▲________．

10．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝2x －2，则不等式f (x －1)≤2的解集是▲________．

11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4，AD ＝3，CD ＝2，AM →＝2MD →．若AC →·BM →

＝－3，则AB →·AD →

＝▲________．

12．在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x －a )2＋(y ＋a －3)2＝1(a ＞0)，点N 为圆M 上任意一点．若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为▲________

． 13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －1e x ，x ≥a ，－x －1，x ＜a ，g (x )＝f (x )－b ．若存在实数b ，使得函数g (x )恰有3个

零点，则实数a 的取值范围为▲________．

14．若实数x ，y 满足2x 2＋xy －y 2＝1，则x －2y

5x 2－2xy ＋2y 2

的最大值为▲________．

二、解答题（本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15．(本小题满分14分)

在△ABC 中，已知a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边．若向量m ＝(a ，cos A )，向量n ＝(cos C ，c )，且m ·n ＝3b cos B ． （1）求cos B 的值；

（2）若a ，b ，c 成等比数列，求1tan A ＋1

tan C 的值．

（第11题图）

如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为棱BC 上一点．

（1）若AB ＝AC ，D 为棱BC 的中点，求证：平面ADC 1⊥平面BCC 1B 1； （2）若A 1B ∥平面ADC 1，求BD

DC

的值．

17． (本小题满分14分)

如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为2

2，

点(2，1)在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；

（2）设直线l 与圆O ：x 2＋y 2＝2相切，与椭圆C 相交于P ，Q 两点．

①若直线l 过椭圆C 的右焦点F ，求△OPQ 的面积； ②求证： OP ⊥OQ ．

（第16题图）

A

B

C

D

A 1

B 1

C

1

（第17题图）

如图，某森林公园有一直角梯形区域ABCD ，其四条边均为道路，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AB ＝5千米，BC ＝8千米，CD ＝3千米．现甲、乙两管理员同时从地出发匀速前往D 地，甲的路线是AD ，速度为6千米/小时，乙的路线是ABCD ，速度为v 千米/小时．

（1）若甲、乙两管理员到达D 的时间相差不超过15分钟，求乙的速度v 的取值范围； （2）已知对讲机有效通话的最大距离是5千米．若乙先到达D ，且乙从A 到D 的过

程中始终能用对讲机与甲保持有效通话，求乙的速度v 的取值范围．

19．(本小题满分16分)

设函数f (x )＝－x 3＋mx 2－m (m ＞0)． （1）当m ＝1时，求函数f (x )的单调减区间；

（2）设g (x )＝|f (x )|，求函数g (x )在区间[0，m ]上的最大值；

（3）若存在t ≤0，使得函数f (x )图象上有且仅有两个不同的点，且函数f (x )的图象在这两点处的两条切线都经过点(2，t )，试求m 的取值范围．

20．(本小题满分16分)

已知数列{a n }的前n 项的和为S n ，记b n ＝S n +1n

．

（1）若{a n }是首项为a ，公差为d 的等差数列，其中a ，d 均为正数． ①当3b 1，2b 2，b 3成等差数列时，求a

d

的值；

②求证：存在唯一的正整数n ，使得a n +1≤b n ＜a n +2．

（2）设数列{a n }是公比为q (q ＞2)的等比数列，若存在r ，t (r ，t ∈N *，r ＜t )使得b t b r ＝t ＋2

r ＋2

，

求q 的值．

（第18题图）

C

B A

D