两曲面立体相交

 3.2 两曲面立体相交 3.3.1 概述 相贯线：两立体表面的交线称为相贯线。 相贯线性质： 1.共有性：相贯线上的点一定是形体表面的共有点。 2.封闭性:由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。 3. 相贯线的形状 (1) 平面立体与平面立体相交: 其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。 (2) 曲面立体与曲面立体相交: 相贯线一般情况 (3) 下是封闭的空间曲线。 特殊情况下是平面曲线或直线.  3.3.2 相贯线作图方法及举例 例1： 求做轴线正交的两圆柱表面的相贯线。 轴线正交两圆柱，除上述两实心圆柱外表面相贯之外，还有以下两种情况： （1）圆柱孔与实心圆柱相交 （2）两圆柱孔相交  3.3.2 相贯线的特殊情况 两回转体相交，在一般情况下其相贯线为空间曲线，但在特殊情况下相贯线也可能是平面曲线或直线。下面介绍几种情况 1. 同轴的两回转体相交，相贯线为垂直于轴线的圆。当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投影面上的投影积聚成一直线。 2.同切于球面的两回转体相交，其相贯线为椭圆 （1）当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两大小相等的椭圆。 在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。  （2） 当圆柱与圆锥的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆。在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。    3. 轴线相互平行的两圆柱相交；其相贯线为两条平行于轴线的直线。

课 题：平面与曲面立体相交

课堂类型：讲授

教学目的：讲解曲面立体截割的截交线的投影

教学要求：熟练掌握圆柱体、圆锥体、圆球体截割的截交线的作图方法

教学重点：圆柱体截割的截交线的画法

教学难点：圆锥体、圆球体截割的截交线的画法

教 具：模型：截割圆柱体、截割圆锥体、截割圆球体

教学方法：曲面立体（棱柱和棱锥）的截割实际就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。讲课中要特别强调先作出原始的完整曲面立体，然后分步截割，并举例说明作图方法。

教学过程：

一、复习旧课

1、截交线的两个基本性质。

2、订正作业，复习求曲面立体截交线的方法和步骤。

二、引入新课题

上次课学习了平面立体的截交线，本次课继续学习曲面立体的截交线。平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。

三、教学内容

曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。

当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。

（一）圆柱的截交线

1、基本类型

平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状。对照表3－1分析讲解。

2、讲解例题

（1）例一（例3－3） 如图3－15（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。

分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。

（a）立体图 （b）

（c） （d）

立体几何的相交关系

相交是立体几何中重要的概念之一，它描述了多个几何体在空间中彼此交叠、交叉或相互穿插的情况。在立体几何中，相交关系通常涉及到平面、直线和曲面的相互作用。相交关系有着广泛的应用，不仅在数学领域中有着重要的意义，还在工程、建筑、设计等领域中得到了广泛的应用。本文将重点介绍立体几何的相交关系及其相关概念。

平面与平面的相交关系是立体几何中最基本的关系之一。当两个平面相交时，它们所形成的交线称为交线。交线可以是直线，也可以是曲线，具体取决于相交的两个平面的形状。若两个平面完全重合，则它们的交线是一条直线；若两个平面有交叉但不重合的部分，则它们的交线是一条曲线。平面与平面的相交关系可以应用到很多实际问题中，比如在建筑设计中，两个墙面的交线可以决定屋顶的形状和坡度。

除了平面与平面的相交关系，立体几何中还存在着直线与直线的相交关系。两条直线相交时，它们的交点是两条直线的公共点。两条直线可以相交于一点，也可以相互重合。若两条直线在平面内相交，则它们的交点也在平面内；若两条直线在空间中相交，则它们的交点也在空间中。

曲面与曲面的相交关系是立体几何中比较复杂的一种情况。当两个曲面相交时，它们的交线可以是一条曲线，也可以是多条曲线。具体的相交情况取决于相交的两个曲面的形状和方位。曲面与曲面的相交关系在建筑、汽车设计等领域中有着广泛的应用，可以决定物体的形状和结构。 相交关系不仅限于平面、直线和曲面之间的相互作用，还可以扩展到更多的几何元素之间的关系。例如，一个立方体内部的对角线可以看作是立方体中两个对立面的相交线；一个球体与一个平面相交时，交线是一个圆。

在实际应用中，我们可以用数学的方法来分析和计算相交关系。例如，利用向量和方程可以求解平面与平面的交线、直线与直线的交点等。通过几何计算，我们可以确定相交关系的具体位置和特性，从而实现合理的设计或解决实际问题。

总结起来，立体几何的相交关系涉及到平面、直线、曲面和更多几何元素之间的交叉和交叠。相交关系在数学和实际应用中有着重要的意义，可以帮助我们理解和解决各种几何问题。通过适当的分析和计算，我们能够准确地确定相交关系的特性和位置，为实际问题的解决提供有力的支持。立体几何的相交关系不仅具有理论意义，同时也为我们的日常生活和工作带来了很多便利。

 3.2 两曲面立体相交 3.3.1 概述 相贯线：两立体表面的交线称为相贯线。 相贯线性质： 1.共有性：相贯线上的点一定是形体表面的共有点。 2.封闭性:由于形体具有一定的空间范围，所以相贯线一般都是封闭的。 3. 相贯线的形状 (1) 平面立体与平面立体相交: 其相贯线为封闭的空间折线或平面折线。 (2) 曲面立体与曲面立体相交: 相贯线一般情况 (3) 下是封闭的空间曲线。 特殊情况下是平面曲线或直线.  3.3.2 相贯线作图方法及举例 例1： 求做轴线正交的两圆柱表面的相贯线。 轴线正交两圆柱，除上述两实心圆柱外表面相贯之外，还有以下两种情况： （1）圆柱孔与实心圆柱相交 （2）两圆柱孔相交  3.3.2 相贯线的特殊情况 两回转体相交，在一般情况下其相贯线为空间曲线，但在特殊情况下相贯线也可能是平面曲线或直线。下面介绍几种情况 1. 同轴的两回转体相交，相贯线为垂直于轴线的圆。当轴线平行于某一投影面时，其相贯线在该投影面上的投影积聚成一直线。 2.同切于球面的两回转体相交，其相贯线为椭圆 （1）当两圆柱轴线相交、直径相等、同切于一球面时，其相贯线为两大小相等的椭圆。 在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影和侧面投影均积聚为圆。  （2） 当圆柱与圆锥的轴线相交，且同切于一球面时，其相贯线为两个大小相等的椭圆。在这种情况下椭圆的正面投影积聚为两直线，水平投影仍为椭圆，侧面投影积聚为圆。    3. 轴线相互平行的两圆柱相交；其相贯线为两条平行于轴线的直线。