曲面立体的截交线

第二节 曲面立体的截交线

[Intersection Plane and Curved Surface Solid]

平面与曲面立体截交时，交线一般是由曲线、直线围成的封闭平面图形。曲面体截交

线上的每一点，都是截平面与曲面体表面的一个公有点。当截平面的投影有积聚性时，截

交线的投影就积聚在截平面有积聚性的同面投影上，可利用曲面表面上取点、线的方法求

截交线。

一、 圆柱的截交线 [Intersection of Planes and Cylinders]

平面与圆柱相交，根据截平面与圆柱轴线不同的相对位置，圆柱上的交线有圆、椭圆、

矩形三种形状。如表5-1所示。

例5-3 如图5-7（a），已知圆柱和截面P的投影，求截交线的投影。

投影分析：

圆柱轴线垂直于W面，截平面P为正垂面，与圆柱轴线斜交，交线为椭圆。椭圆的长

轴平行于V面，短轴垂直于V面。椭圆的V面投影成为一直线段与PV重影。椭圆的W面

投影，落在圆柱的W面积聚投影上而成为一个圆，只须作图求出截交线的H面投影。 表5-1平面与圆柱的交线

作图步骤：

（1） 求特殊点: 即求长、短轴端点A、B和C、D。PV与圆柱最高、最低素线的V面

投影的交点a′、b′，即为长轴端点A、B 的V面投影，PV与圆柱最前、最后素线的V面投

影的交点c′、(d ′)，即为短轴C、D的V面投影。据此求出长、短轴端点的H面投影a、b、

c、d，如图5-7(b)所示。

（2） 求一般点: 为使作图准确，需要再求截交线上若干个一般点，例如在截交线V面

投影上任取点1′，如图5-7(b)所示，据此求得W投影1′′和H投影1。由于椭圆是对称图形，

可作出与点I对称的点II、III、IV的各投影。

（3） 判别可见性: 光滑连点成线 截交线上各点的水平投影均可见，按侧面投影上各

点的顺序，在H投影上顺次连接a-1-c-3-b-4-d-2-a各点，即为椭圆形截交线的H面投影。

（4） 整理轮廓线: 圆柱被截去部分不应绘出轮廓素线的投影，所以正面投影中点a′、

b′和水平投影点c、d以左部分不应画轮廓线，但也可用假想轮廓线即双点长画线表示。

从例5-3可以看到，截交线椭圆在平行于圆柱轴线但不垂直于截平面的投影面上的投

影，一般仍是椭圆。椭圆长、短轴在该投影面上的投影，与截平面和圆柱轴线的夹角有关。

当截平面与圆柱轴线的夹角a小于45º时（如图5-7），椭圆长轴的投影，仍为椭圆投影的

长轴。而当夹角a大于45º时，椭圆长的投影，变为椭圆投影的短轴。当a = 45º时，椭圆

的投影成为一个与圆柱底圆相等的圆。读者可自行作图。

例5-4 求圆柱开槽的投影，如图5-8所示。

投影分析： 圆柱开槽是由三个平面截切圆柱而成。其中有两个平面是平行于圆柱轴

线的侧平面，截交线是四段平行于圆柱轴线的直线段I II、III IV、V VI、VII VIII；另一个

截平面是垂直于圆柱轴线的水平面，截交线是两段圆弧II IV和VI VIII。三个截平面之间，

两个平面分别与水平面相交，其交线为正垂线II VIII、IV VI。

作图步骤：

(a) 平面截圆柱的已知条件(b) 求作截交线

图5-7 圆柱上截交线椭圆的作图步骤

7′′(5′′)

6′′(8′′)

（1） 作出截交线的正面投影和水平投影。正面投影积聚为三条直线段1′(7′)2′(8′)、3′(5′)

4 ′( 6 ′)和2 (8 ′)4 (6 ′)；水平投影为直线段1(2)7 (8)、3(4)5 (6)及两段圆弧(2)(4)、(8)(6)。

（2） 求截交线的侧面投影。由截交线上各点的正面投影和水平投影分别求出侧面投影

1′′、2′′、3′′、4′′、5′′、6′′、7′′、8′′，连接线段1′′(3′′)2′′ (4′′)、7′′(5′′)8′′(6′′)，即为两个侧面

与圆柱截交线的侧面投影；水平面与圆柱截交线的侧面投影是由2′′向前、8′′向后画至圆柱

轮廓的直线段；两截面交线的侧面投影是直线段2′′8′′(4′′6′′)。

（3） 判别可见性，整理轮廓线。截平面交线的侧面投影被左半圆柱面档住，为不可见，

2′′8′′(4′′6′′)应画成虚线。应特别注意的是：在水平截平面以上被截去的圆柱侧面投影轮廓

线不应画出。

在圆柱上切口、开槽、穿孔是建筑形体中常见的结构。图5-9是空心圆柱开槽的投影，

其外圆柱面上的截交线的画法与图5-8相同；内圆柱表面上也会产生截交线，其画法与外

圆柱面截交线的画法类似，但侧面投影中，除外围轮廓线以外均不可见，应画成虚线。圆

柱孔的轮廓均不可见，应画成虚线，侧面投影中被截去的轮廓线不应画出。

二、 圆锥的截交线 [Intersection of Planes and Cones]

当平面与圆锥截交时，根据截平面与圆锥轴线不同的相对位置，可产生五种不同形状

的截交线，如表5-2所示。

平面截割圆锥所得的截交线圆、椭圆、抛物线、双曲线等四种曲线，统称为圆锥曲线。

当截平面垂直于正圆锥面的轴线时，截交线为圆周；截平面与圆锥面的轴线倾斜，且α>

β时，截交线为椭圆；截平面平行于圆锥面的一条素线，即α=β时，截交线为抛物线；

截平面倾斜于轴线，且α<β，或平行于轴线(α= 0º)时，截交线为双曲线。截平面通过锥

顶，截交线为通过锥顶的两条相交直线，即圆锥的两条素线。 图5-8 圆柱开槽投影 图5-9

开槽空心圆柱投影 作圆锥曲线的投影，实质上也是一个锥面上定点的问题。用素线法或纬圆法，求出截

交线上若干点的投影后，依次连接起来即可。

[例5-5] 已知圆锥和截平面P的投影，求截交线的投影，如图5-10所示。

投影分析：

由图5-10(a)可知，P平面为正垂面。P平面与圆锥的所有素线相交，截交线为椭圆。

P平面与圆锥最左最右素线的交点，即椭圆长轴的端点A、B。椭圆短轴CD垂直于V面，

且垂直平分AB。截交线的V平投影重合在PV上，H面投影仍为椭圆。椭圆的长短轴仍投

影为椭圆投影的长短轴。

作图步骤：

表5-2 平面与圆锥面相交的基本形式

于

图

5-10 圆锥上截交线的作法 （1） 求特殊点。在V面投影上，PV与圆锥的V面投影轮廓的交点，即为长轴端点A、

B的V面投影a′b′，就是投影椭圆的长轴。椭圆短轴CD的V面投影c′(d ′)必积骤在ab的

中点。过C、D作纬圆，或作素线S I、S II求出C、D的H面投影c，d，如图5-10(b)所示。

（2） 求一般点。用纬圆法求最前、最后素线与P面的交点M、N和一般点E、F的H

面投影m、n和e、f（图5-10c）。

（3） 连点。在H面投影中依次连接a-n-d-f-b-e-c-m-a各点，即得到椭圆的H面投影，

如图5-10(d)所示。

三、 球的截交线 [Intersection of Planes and Spheres]

图5-11是某网球馆的透视图，它的球壳屋面的造型是用平面截割球体形成的。

平面截割球体时，不管截平面的位置如何，截交线的空间形状总是圆。当截平面平行

于投影面时，圆截交线在该投影面上的投影，反映圆的实形；当截平面倾斜于投影面时，

投影为椭圆。例如图5-12所示截平面R是正平面，截交线的V面投影反映圆的实形，圆

的直径可在H面投影中量得，即cd。截交线的H面投影为一水平线，W面投影为一铅直

线，分别与RH、RW重合（图5-12）。

例5-6 如图5-13(a)所示，已知球被正平面截去左上方，补画球被截后的水平投影。

投影分析：

截平面为一正垂面，所以截交线为一个正垂圆，它的正面投影为直线，反映圆的直径

的实长，即图5-13(a)中正面投影中的粗直线。H面投影为椭圆，正垂圆只有一条处于正垂

线位置的直径（即CD）平行于水平面，其水平投影为椭圆的长轴，而另一条与它垂直的

直径（AB），其水平投影是短轴。由于截交线水平投影为非圆曲线，可用球面上找点的方

法先求出截交线上的特殊点A、B、C、D、E、F、G、H的投影，然后用同样的方法求一

两个一般点的投影，如Ⅰ、Ⅱ点。之后把它们连成光滑的曲线并判别可见性，从图可知，

截交线的水平投影都可见，所以要画成粗实线。最后补画转向轮廓线并加粗。

作图步骤：

（1） 求特殊点的水平投影，如图5-13 (b) 所示，椭圆短轴A、B点及特殊点E、F的

图5-11 球面屋顶 图

5-12 正平面截割球 水平投影a、b、e、f可直接找到，而长轴C、D点和特殊点H、G用纬圆法可得水平投影

c、d、h、g；

（2） 根据作图的需要，可在不好连线的地方用纬圆法求一两个一般点，如图5-13 (c)

的Ⅰ、Ⅱ点水平投影1、2点；

（3） 如图5-13(d) 所示，将a、e、c、1、g、b、h、2、d、f、a连成截交线圆的水平

投影，由于水平投影是可见的，画成粗实线。球的水平投影的转向轮廓线只有e、f右边的

部分有，把这部分补画好。

作图结果如图5-13 (d) 所示。

(c) 求一般点 (d) 作图结果 (b) 求特殊点 (a) 已知条件

图5-13 补全球被平面截的水平投影