课 题：平面与曲面立体相交
课堂类型：讲授
教学目的：讲解曲面立体截割的截交线的投影
教学要求：熟练掌握圆柱体、圆锥体、圆球体截割的截交线的作图方法
教学重点：圆柱体截割的截交线的画法
教学难点：圆锥体、圆球体截割的截交线的画法
教 具：模型：截割圆柱体、截割圆锥体、截割圆球体
教学方法：曲面立体（棱柱和棱锥）的截割实际就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。讲课中要特别强调先作出原始的完整曲面立体，然后分步截割，并举例说明作图方法。
教学过程：
一、复习旧课
1、截交线的两个基本性质。
2、订正作业，复习求曲面立体截交线的方法和步骤。
二、引入新课题
上次课学习了平面立体的截交线，本次课继续学习曲面立体的截交线。平面与曲面立体相交产生的截交线一般是封闭的平面曲线，也可能是由曲线与直线围成的平面图形，其形状取决于截平面与曲面立体的相对位置。
三、教学内容
曲面立体的截交线，就是求截平面与曲面立体表面的共有点的投影，然后把各点的同名投影依次光滑连接起来。
当截平面或曲面立体的表面垂直于某一投影面时，则截交线在该投影面上的投影具有积聚性，可直接利用面上取点的方法作图。
（一）圆柱的截交线
1、基本类型
平面截切圆柱时，根据截平面与圆柱轴线的相对位置不同，其截交线有三种不同的形状。对照表3－1分析讲解。
2、讲解例题
（1）例一（例3－3） 如图3－15（a）所示，求圆柱被正垂面截切后的截交线。
分析：截平面与圆柱的轴线倾斜，故截交线为椭圆。此椭圆的正面投影积聚为一直线。由于圆柱面的水平投影积聚为圆，而椭圆位于圆柱面上，故椭圆的水平投影与圆柱面水平投影重合。椭圆的侧面投影是它的类似形，仍为椭圆。可根据投影规律由正面投影和水平投影求出侧面投影。
（a）立体图 （b）
（c） （d）
§4-2 平面与平面立体表面相交
平面与立体表面的交线，称为截交线；当平面切割立体时，由截交线围成的平面图形，称为截面。
一、 平面立体的截交线和断面
如图4-16a所示，平面立体的截交线是截平面上的一个多边形，它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点，它的边是截平面与平面立体表面的交线，图中截平面P与三棱锥的截交线是一个三角形ⅠⅡⅢ。
如图4-16b中的黑色图形所示，已知三棱锥SABC和正垂的截平面P，求作截交线的三面投影。
作图过程如图4-16b中的红色图形所示：
（1）在棱线SA、SB、SC的正面投影s＇a＇、s＇b＇、s＇c＇与截平面P的有积聚性的迹线Pv的相交处，作出它们的交点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的正面投影1＇、2＇、3＇，与Pv相重合的直线1＇2＇3＇，即为截交线△ⅠⅡⅢ的正面投影。
（2）由1＇、2＇、3＇引投影连线，分别与sa、sb、sc和s″a″、s″b″、s″c″交出1、2、3和1″、2″、3″。连接这些点的同面投影，就作出了截交线△ⅠⅡⅢ的水平投影△123和侧面投影△1″2″3″。由于三个棱面的水平投影和棱面SAB、SCA的侧面投影都可见，在其上的截交线的同面投影12、23、31和1″2″、3″1″也都可见，画粗实线；棱面SBC的侧面投影不可见，在其上的截交线的侧面投影2″3″也不可见，画细虚线。
如图4-17a中的黑色图形所示，已知五棱柱的正面投影和水平投影，并用正垂面P切割掉左上方的一块，被切割掉的部分用细双点划线表示，求作截交线以及五棱柱被切割后的三面投影。
因为截交线的各边是正垂面P与五棱柱的棱面和顶面的交线，它们的正面投影都重合在Pv上，因为截交线的正面投影已知，五棱柱被切割后的正面投影也已知，只要作出截交线的水平投影，就可以作出五棱柱被切割后的水平投影。根据五棱柱的正面投影和水平投影，可以作出它的侧面投影；同理，由已作出的截交线的正面投影和水平投影，也可以作出截交线的侧面投影，从而作出五棱柱被切割后的侧面投影。从已知的正面投影可以直观地看出，断面的水平投影和侧面投影都是可见的。 作图过程如图4-17a中的红色图形所示：
掌握立体几何中的相交关系
在立体几何中，相交关系是一项基本概念，它描述了两个或多个图形在空间中相互穿过或相互接触的情况。掌握了相交关系的概念和方法，可以帮助我们更好地理解和解决与立体几何相关的问题。本文将介绍立体几何中的相交关系和相关的定理与应用。
一、平面与直线的相交关系
在立体几何中，平面与直线的相交关系是最基本的相交情况之一。根据平面与直线的位置关系，可以分为以下几种情况：
1. 平面与直线相交于一点：当一条直线与一个平面有且只有一个交点时，我们称之为平面与直线相交于一点。这种情况下，直线与平面的位置关系可以用点线关系来描述，即这条直线同时在平面上和平面外各有一点。
2. 平面与直线相交于一条直线：当一条直线与一个平面有无数个交点时，我们称之为平面与直线相交于一条直线。这种情况下，直线与平面的位置关系可以用线线关系来描述，即这条直线完全位于平面内部。
3. 平面与直线平行：当一条直线与一个平面没有交点时，我们称之为平面与直线平行。这种情况下，直线与平面的位置关系可以用平行线关系来描述，即这条直线完全位于平面外部，并且与平面的距离始终保持不变。
二、平面与平面的相交关系 除了平面与直线的相交关系之外，平面与平面的相交关系也是立体几何中常见的情况。根据平面与平面的位置关系，可以分为以下几种情况：
1. 平面与平面相交于一条直线：当两个平面有且只有一条直线同时位于两个平面上时，我们称之为平面与平面相交于一条直线。这种情况下，两个平面的位置关系可以用线线关系来描述，即这条直线同时在两个平面上。
2. 平面与平面平行：当两个平面没有共同的交点时，我们称之为平面与平面平行。这种情况下，两个平面的位置关系可以用平行平面关系来描述，即两个平面永远保持平行，并且始终保持着相同的距离。
3. 平面与平面重合：当两个平面完全重合时，我们称之为平面与平面重合。这种情况下，两个平面的位置关系可以用重合平面关系来描述，即两个平面是完全一样的。
平面几何与立体几何的联系
几何学是研究空间和形状的学科，涉及到平面几何和立体几何两个主要分支。平面几何研究的是二维图形、点、线、角等，在二维平面上进行推理和证明；而立体几何则关注三维物体、空间图形等，研究物体的体积、表面积以及其他性质。虽然平面几何和立体几何是两个不同的领域，但它们之间存在着密切的联系。本文将从几何的基本概念、性质和应用的角度，探讨平面几何与立体几何之间的联系。
一、基本概念的联系
1. 点、线、面的关系：几何学中的基本元素包括点、线和面。在平面几何中，点是二维空间中没有大小的位置；线是由无数个点组成的，它只有长度没有宽度；而面是由无数个线组成的，它具有长度和宽度。立体几何中的点、线、面的概念与平面几何中的类似，但在立体几何中还引入了体的概念，它是由无数个面组成的，具有长度、宽度和高度。
2. 角的概念：角是几何学中的一个重要概念，它由两条射线共同确定，并以其公共的端点来命名。在平面几何中，角是由两条线段所确定的，它只存在于平面上；而在立体几何中，角不仅可以存在于平面上，还可以存在于空间中，具有垂直角、锐角、钝角等不同类型。
二、性质的联系
1. 平面与立体的相交关系：平面几何和立体几何中都涉及到物体之间的相交关系。在平面几何中，两条线相交于一个点，两个平面相交于一条直线；在立体几何中，直线可以与面相交，面也可以相互相交。通过对线和面相交关系的研究，可以将平面几何和立体几何相联系起来。
2. 投影的应用：投影是几何学中常用的一种方法，用于将三维物体的形状在二维平面上显示出来。在平面几何中，经常使用投影来确定图形的位置和形状；在立体几何中，投影也被广泛应用于绘图、建筑、工程等领域。通过投影，可以将立体几何中的实际问题转化为平面几何中的计算问题，加深了平面几何与立体几何的联系。
三、应用的联系
1. 几何测量：无论是平面几何还是立体几何，几何测量都是其中重要的应用之一。平面几何中，测量长度、角度等是常见的操作；立体几何中，测量体积、表面积等也是常见的操作。两者的测量方法和原理都是相通的，通过几何测量可以更好地理解平面和立体的性质。
