高考一轮课时训练(理)10.2双曲线 (通用版)

第5讲双曲线一、选择题1．设双曲线错误!－错误!＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )．A．4 B．3 C．2 D．1解析双曲线错误!－错误!＝1的渐近线方程为3x±ay＝0与已知方程比较系数得a＝2。

答案C2．已知双曲线C:错误!－错误!＝1的焦距为10,点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为（）．A.错误!－错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.错误!－错误!＝1D.错误!－错误!＝1解析不妨设a>0，b〉0，c＝错误!。

据题意，2c＝10，∴c＝5。

①双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，且P（2，1)在C的渐近线上，∴1＝错误!。

②由①②解得b2＝5，a2＝20，故正确选项为A.答案A3．已知双曲线x2－y23＝1的左顶点为A1，右焦点为F2，P为双曲线右支上一点，则错误!·错误!的最小值为( ）．A．－2 B．－错误!C．1 D．0解析设点P（x，y)，其中x≥1.依题意得A1(－1,0），F2（2,0）,则有错误!＝x2－1，y2＝3（x2－1），错误!·错误!＝（－1－x，－y)·(2－x，－y）＝(x＋1）（x－2)＋y2＝x2＋3(x2－1)－x－2＝4x2－x－5＝4错误!2－错误!,其中x≥1.因此，当x＝1时,错误!·错误!取得最小值－2，选A。

答案A4．过双曲线错误!－错误!＝1(a〉0，b>0）的左焦点F(－c,0）（c>0)作圆x2＋y2＝错误!的切线，切点为E，延长FE交双曲线右支于点P,若错误!＋错误!＝2错误!，则双曲线的离心率为（）．A。

2 B。

错误!C。

错误! D.错误!解析设双曲线的右焦点为A，则错误!＝－错误!,故错误!＋错误!＝错误!－错误!＝错误!＝2错误!，即OE＝错误!AP.所以E是PF的中点，所以AP＝2OE＝2×错误!＝a.所以PF＝3a.在Rt△APF中,a2＋（3a）2＝(2c）2，即10a2＝4c2,所以e2＝错误!，即离心率为e＝错误!＝错误!，选C.答案C5．已知双曲线x24－错误!＝1的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( ）．A. 5 B．4 2 C．3 D．5解析易求得抛物线y2＝12x的焦点为（3,0)，故双曲线错误!－错误!＝1的右焦点为（3，0），即c＝3,故32＝4＋b2,∴b2＝5，∴双曲线的渐近线方程为y＝±错误!x，∴双曲线的右焦点到其渐近线的距离为错误!＝错误!.答案A6．如图,已知点P为双曲线错误!－错误!＝1右支上一点，F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2的内心,若S△IPF1＝S△IPF2＋λS△IF1F2成立，则λ的值为（)A.错误!B。

第5课时双曲线考纲索引1.双曲线的定义及性质.2.双曲线的应用.课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质.2.了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用.1.双曲线的概念平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做.这两个定点叫双曲线的,两焦点间的距离叫做.集合P={M|MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0;(1)当时,点P的轨迹是双曲线;(2)当时,点P的轨迹是;(3)当时,点P不存在.2.双曲线的标准方程和几何性质基础自测指点迷津◆一条规律根据方程中x2与y2的系数的正负来确定实轴与虚轴的位置,即焦点在实轴上.◆两种方法(1)定义法:由题目条件判断出动点轴迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a,2b或2c,从而求出a2,b2,写出双曲线方程.(2)待定系数法:先确定焦点是在x轴上还是在y轴上,设出标准方程,再由条件确定a2,b2的值,即“先定型,再定量”;如果焦点位置不好确定,可将双曲线方程设为,再根据条件求λ的值.◆渐近线与离心率的关系◆与椭圆四个方面的区别①定义;②方程形成;③圆形;④性质.考点透析考向一双曲线的定义及标准方程变式训练考向二双曲线的几何性质及应用【方法总结】双曲线的几何性质从以下三点关注:(1)“六点”:两焦点、两顶点、两虚轴端点;(2)“四线”:两对称轴(实、虚轴),两渐近线;(3)“两形”:中心、顶点、虚轴端点构成的三角形,双曲线上的一点(不包括顶点)与两焦点构成的三角形.变式训练考向三直线与双曲线的位置关系变式训练3.(2014·吉林调研)已知直线l与双曲线C交于A,B两点(A,B在同一支上),F1,F2为双曲线的两个焦点,则F1,F2在().A. 以A,B为焦点的椭圆上或线段AB的垂直平分线上B. 以A,B为焦点的双曲线上或线段AB的垂直平分线上C. 以AB为直径的圆上或线段AB的垂直平分线上D. 以上说法均不正确经典考题真题体验参考答案与解析知识梳理1.双曲线焦点焦距2a<2c 2a=2c 两条射线2a>2c2.a -a a2+b2基础自测考点透析变式训练经典考题真题体验。

(完整版)双曲线基础练习题
1. 引言
该练题旨在帮助读者巩固并提高对双曲线的理解。

通过一系列的基础练题，读者将能够熟悉双曲线的基本特征、图像以及相关的数学概念。

2. 练题
2.1 双曲线图像的分析
给定下列双曲线的方程，请绘制出相应的图像，然后回答相关问题。

1. 双曲线方程：$y = \frac{1}{x}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2. 双曲线方程：$y = \frac{2}{x+1}$
- 绘制出该双曲线的图像
- 该双曲线是否有渐近线？如果有，请确定其方程。

- 该双曲线是否对称于原点？解释原因。

2.2 数学概念的应用
回答下列问题，注意要用双曲线的相关概念来解释答案。

1. 为什么双曲线的渐近线可以帮助我们理解双曲线图像的特征？
2. 双曲线的离心率是什么？如何确定一个双曲线的离心率？
3. 通过改变双曲线方程中的参数，如何调整双曲线的形状？
3. 结论
通过完成上述练习题，读者应该能够更深入地理解双曲线的基
本概念和性质。

这些练习题不仅帮助读者熟悉双曲线的图像和方程，还能够加深对双曲线的数学概念的理解。

继续探索和练习双曲线，
将有助于读者在更高级的数学领域中应用这些概念。

（新课标）2019届高三数学一轮复习第8篇第4节双曲线课时训练理【选题明细表】基础过关一、选择题1.(2014福建晋江模拟)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( C )(A)2 (B)2(C)4 (D)4解析:双曲线的标准方程为-=1,所以a=2,则实轴长是4.2.(2014湖南师大附中质检)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意得=,∴a=2.3.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线C1的半焦距c1==1,双曲线C2的半焦距c2==1,故选D.4.(2014福建福州模拟)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x±2y=0,则顶点到渐近线的距离为=. 5.(2014高考湖北卷)设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为0,-tan θ(tan θ≠0),则过A,B 两点的直线方程为y=-xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.6.(2014郑州模拟)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:由双曲线的定义有c=2,且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2|PF2|=4,则cos∠F1PF2===.7.(2014济南模拟)已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:在△ABP中,由正弦定理知====.8.(2014甘肃省张掖模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=与其渐近线交于A,B两点,与x轴交于D点,且△ABF为钝角三角形,则离心率取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(1,)(C)(,+∞) (D)(1,)解析:易知A(,),若△ABF为钝角三角形,则∠AFB为钝角,即∠AFD>45°,所以在△ADF中,tan∠AFD==>1,解得1<e<.二、填空题9.(2014福建周宁一中、政和一中联考)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为.解析:由条件令|MF2|=m,|MF1|=2m,则|F1F2|=m,即2c=m,2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m,所以离心率e===.答案:10.(2013高考天津卷)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的方程为.解析:切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,∴两渐近线方程为3x±y=0.设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,∴所求的双曲线方程为-=1.答案:-=1三、解答题12.(2015山东潍坊第一次质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若△F1AB的面积等于6,求直线l的方程.解:(1)依题意,b=,=2⇒a=1,c=2,∴双曲线的方程为x2-=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k≠±时,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),△F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6.得k4+8k2-9=0,则k=±1.所以直线l方程为y=x-2或y=-x+2.13.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,且过点P(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(1)解:设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线方程为x2-y2=6,即-=1.(2)证明:法一由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故·=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0.法二由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∵=(-2-3,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=m2-3.∵点M在双曲线上,∴9-m2=6.∴m2=3,即m2-3=0,∴·=0.能力提升14.(2014浙江衢州模拟)过双曲线-=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若=(+),则双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:抛物线的焦点坐标为F2(c,0),准线方程为x=-c.圆的半径为a,=(+),所以E是FP的中点,又E是切点,所以OE⊥FP,连接PF2,则PF2⊥FP,且PF2=2a,所以OE=a,FE=b,PF=2b,过P作准线的垂线PM,则PM=PF2=2a,所以MF===2, 在直角三角形FPF2中,PF·PF2=FF2·MF,即2b·2a=2c·2,所以c2(b2-a2)=a2b2,即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),整理得c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2==,根据题意舍去e2=,所以e2=,即e2===,所以e=.15.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.答案:1016.(2014高考湖南卷)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P(,1)在双曲线x2-=1上,所以()2-=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,=-=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点, 所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,||=2.此时,|+|≠||.当x=-时,同理可知,|+|≠||.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得m2=2k2+3.因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是++2·≠+-2·,即|+|2≠|-|2.故|+|≠||.综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.探究创新17.(2015贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是.解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy,当点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,①当点P看作是双曲线上的点时, 有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,②①②联立消去xy得4c2=+3a2, 即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3, 所以e=,即双曲线的离心率为.答案:。

专题9.4 双曲线（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.考查双曲线的定义，求轨迹方程及焦点三角形，凸显数学运算、直观想象的核心素养．2.考查双曲线几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)，结合几何量的计算，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．3.考查直线与双曲线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养．【知识点展示】（一）双曲线的定义及标准方程1．双曲线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线(1)在平面内；(2)动点到两定点的距离的差的绝对值为一定值；(3)这一定值一定要小于两定点的距离．2．双曲线的标准方程标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形（二）双曲线的几何性质 双曲线的几何性质标准方程x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0) 图形性质范围 x ≥a 或x ≤－a ，y ∈Rx ∈R ，y ≤－a 或y ≥a对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 A 1(－a,0)，A 2(a,0) A 1(0，－a )，A 2(0，a ) 渐近线y ＝±b axy ＝±a bx离心率 e ＝ca，e ∈(1，＋∞)，其中c ＝a 2＋b 2 实虚轴线段A 1A 2叫作双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ；线段B 1B 2叫作双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ；a 叫作双曲线的实半轴长，b 叫作双曲线的虚半轴长．a 、b 、c 的关系c 2＝a 2＋b 2(c >a >0，c >b >0)（三）常用结论 1.等轴双曲线及性质(1)等轴双曲线：实轴长和虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线，其标准方程可写作：x 2－y 2＝λ(λ≠0)． (2)等轴双曲线⇔离心率e ＝2⇔两条渐近线y ＝±x 相互垂直． 2．双曲线中的几个常用结论(1)双曲线的焦点到其渐近线的距离为b .(2)若P 是双曲线右支上一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF 1|min ＝a ＋c ，|PF 2|min ＝c －a . (3)同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦)，其长为2b 2a，异支的弦中最短的为实轴，其长为2a .(4)设P ，A ，B 是双曲线上的三个不同的点，其中A ，B 关于原点对称，直线P A ，PB 斜率存在且不为0，则直线P A 与PB 的斜率之积为b 2a2.(5)P 是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F 1，F 2分别为双曲线的左、右焦点，则S △PF 1F 2＝b 2·1tan θ2，其中θ为∠F 1PF 2.【常考题型剖析】题型一：双曲线的定义及其应用例1.（2020·浙江省高考真题）已知点O （0，0），A （–2，0），B （2，0）．设点P 满足|PA |–|PB |=2，且P 为函数y =234x -|OP |=（ ）A ．222B 410C 7D 10【答案】D 【解析】因为||||24PA PB -=<，所以点P 在以,A B 为焦点，实轴长为2，焦距为4的双曲线的右支上，由2,1c a ==可得，222413bc a=-=-=，即双曲线的右支方程为()22103y x x -=>，而点P 还在函数234y x =-由()22210334y x x y x ⎧⎪⎨->-==⎪⎩，解得1333x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即13271044OP =+= 故选：D.例2.（2017·上海·高考真题）设双曲线22219x y b -=(0)b >的焦点为1F 、2F ，P 为该双曲线上的一点，若1||5PF =，则2||PF =________ 【答案】11【详解】由双曲线的方程2221(0)9x y b b -=>，可得3a =，根据双曲线的定义可知1226PF PF a -=±=±，又因为15PF =，所以2||11PF =. 【总结提升】1.双曲线定义的主要应用(1)判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出曲线方程．(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF 1|－|PF 2||＝2a ，运用平方的方法，建立与|PF 1|·|PF 2|的联系．2.用定义法求双曲线方程，应依据条件辨清是哪一支，还是全部曲线． 3．与双曲线两焦点有关的问题常利用定义求解．4．如果题设条件涉及动点到两定点的距离，求轨迹方程时可考虑能否应用定义求解． 题型二：双曲线的标准方程例3.（2021·北京高考真题）双曲线2222:1x y C a b -=过点2,3，且离心率为2，则该双曲线的标准方程为（ ） A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B 【分析】分析可得3b a =，再将点2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a -=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例4. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的上、下焦点分别为()10,3F ，()20,3F -，P 是双曲线上一点且124PF PF -=，则双曲线的标准方程为（ ） A ．22145x y -=B ．22154x y -=C ．22145y x -=D ．22154y x -=【答案】C【分析】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，由双曲线的定义知3c =，2a =，即可求出双曲线的标准方程.【详解】设双曲线的标准方程为()222210,0y x a b a b -=>>，半焦距为c ，则由题意可知3c =，24a =，即2a =，故222945b c a =-=-=，所以双曲线的标准方程为22145y x -=.故选：C ．例5.【多选题】（2020·海南·高考真题）已知曲线22:1C mx ny +=.（ ） A ．若m >n >0，则C 是椭圆，其焦点在y 轴上 B ．若m =n >0，则C n C ．若mn <0，则C 是双曲线，其渐近线方程为my x n=±- D ．若m =0，n >0，则C 是两条直线 【答案】ACD【分析】结合选项进行逐项分析求解，0m n >>时表示椭圆，0m n =>时表示圆，0mn <时表示双曲线，0,0m n =>时表示两条直线.【详解】对于A ，若0m n >>，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 因为0m n >>，所以11m n<， 即曲线C 表示焦点在y 轴上的椭圆，故A 正确；对于B ，若0m n =>，则221mx ny +=可化为221x y n+=， 此时曲线C 表示圆心在原点，半径为nn的圆，故B 不正确； 对于C ，若0mn <，则221mx ny +=可化为22111x y m n +=， 此时曲线C 表示双曲线， 由220mx ny +=可得my x n=±-，故C 正确； 对于D ，若0,0m n =>，则221mx ny +=可化为21y n=， ny n=±，此时曲线C 表示平行于x 轴的两条直线，故D 正确；故选：ACD. 【规律方法】1．求双曲线方程的思路(1)如果已知双曲线的中心在原点，且确定了焦点在x 轴上或y 轴上，则设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于a ，b ，c 的方程组，解出a 2，b 2，从而写出双曲线的标准方程(求得的方程可能是一个，也有可能是两个，注意合理取舍，但不要漏解)． (2)当焦点位置不确定时，有两种方法来解决：一是分类讨论，注意考虑要全面；二是注意巧设双曲线：①双曲线过两点可设为221(0)mx ny mn -=>，②与22221x y a b -=共渐近线的双曲线可设为2222(0)x y a bλλ-=≠，（3）等轴双曲线可设为22(0)x y λλ-=≠等，均为待定系数法求标准方程.2．利用待定系数法求双曲线标准方程的步骤如下：(1)定位置：根据条件判定双曲线的焦点在x 轴上还是在y 轴上，不能确定时应分类讨论．(2)设方程：根据焦点位置，设方程为x 2a 2－y 2b 2＝1或y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)，焦点不定时，亦可设为mx 2＋ny 2＝1(m ·n <0)；(3)寻关系：根据已知条件列出关于a 、b (或m 、n )的方程组；(4)得方程：解方程组，将a 、b 、c (或m 、n )的值代入所设方程即为所求． 3．双曲线方程的几种形式：(1)双曲线的一般方程：当ABC ≠0时，方程Ax 2＋By 2＝C可以变形为x 2C A ＋y 2C B＝1，由此可以看出方程Ax 2＋By 2＝C 表示双曲线的充要条件是ABC ≠0，且A ，B 异号．此时称方程Ax 2＋By 2＝C 为双曲线的一般方程．利用一般方程求双曲线的标准方程时，可以将其设为Ax 2＋By 2＝1(AB <0)，将其化为标准方程，即x 21A ＋y 21B＝1.因此，当A >0时，表示焦点在x 轴上的双曲线；当B >0时，表示焦点在y 轴上的双曲线．(2)共焦点的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为x 2a 2＋λ－y 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)；与双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)有公共焦点的双曲线的方程为y 2a 2＋λ－x 2b 2－λ＝1(a >0，b >0)．题型三：双曲线的实际应用例6.（2023·全国·高三专题练习）江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x 轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是（ ）A ．221169x y -=B ．2214x y -=C ．22189x y -=D ．22143x y -=【答案】D【分析】由已知得双曲线的焦点在x 轴上，设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b -=>>，代入建立方程组，求解即可得双曲线的标准方程．【详解】由题意可知该双曲线的焦点在x 轴上，实轴长为4，点()4,3在该双曲线上．设该双曲线的方程为()222210,0x y a b a b-=>>，则222224,431,a a b =⎧⎪⎨-=⎪⎩解得2a =，3b =，故该双曲线的标准方程是22143x y -=．故选：D.例7.（2021·长丰北城衡安学校高二月考（理））如图为陕西博物馆收藏的国宝——唐⋅金筐宝钿团花纹金杯，杯身曲线内收，玲珑娇美，巧夺天工，是唐代金银细作的典范之作．该杯的主体部分可以近似看作是双曲线2222:x y C a b-=1(a >0，b >0)的右支与y 轴及平行于x 轴的两条直线围成的曲边四边形ABMN 绕y 轴旋转一周103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍，则杯身最细之处的周长为（ ）A ．2B ．3πC ．3D ．4π【分析】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m ， 代入方程，即可解得23,3a a == 3，从而得解. 【详解】103239，且杯身最细之处到上杯口的距离是到下底座距离的2倍， 可设5339(2),()M m N m 代入双曲线方程可得 22222225134331,1m m a b a b -=-= ， 即22222213251312,14m m a b a b-=-=，作差可得2273124a =，解得23,3a a ==，所以杯身最细处的周长为23π . 故选：C 【总结提升】解答实际应用问题时，要注意先将实际问题数学化，条件中有两定点，某点与这两定点的距离存在某种联系，解题时先画出图形，分析其关系，看是否与椭圆、双曲线的定义有关，再确定解题思路、步骤． 题型四 已知双曲线的方程，研究其几何性质例8.（2018·浙江·高考真题）双曲线221 3x y -=的焦点坐标是（ ）A ．()2,0-，)2,0B ．()2,0-，()2,0C ．(0,2-，(2D ．()0,2-，()0,2【分析】根据双曲线方程确定焦点位置，再根据222c a b =+求焦点坐标.【详解】因为双曲线方程为2213x y -=，所以焦点坐标可设为(,0)c ±，因为222314,2c a b c =+=+==，所以焦点坐标为(20)，选B.例9.（2021·全国高考真题（文））双曲线22145x y -=的右焦点到直线280x y +-=的距离为________． 5【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解. 【详解】由已知，22543c a b ++，所以双曲线的右焦点为(3,0)， 所以右焦点(3,0)到直线280x y +-=225512==+ 5例10.（2020·北京·高考真题）已知双曲线22:163x y C -=，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 【答案】 ()3,0 3【分析】根据双曲线的标准方程可得出双曲线C 的右焦点坐标，并求得双曲线的渐近线方程，利用点到直线的距离公式可求得双曲线的焦点到渐近线的距离.【详解】在双曲线C 中，6a =，3b =，则223c a b =+=，则双曲线C 的右焦点坐标为()3,0， 双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，即20x y ±=， 所以，双曲线C 的焦点到其渐近线的距离为23312=+. 故答案为：()3,0；3.例11.（2021·全国·高考真题（理））已知双曲线22:1(0)x C y m m -=>30x my +=，则C 的焦距为_________． 【答案】4【分析】将渐近线方程化成斜截式，得出,a b 的关系，再结合双曲线中22,a b 对应关系，联立求解m ，再由关系式求得c ，即可求解.【详解】由渐近线方程30x my +=化简得3y x m=-，即3b a m =，同时平方得2223b a m =，又双曲线中22,1a m b ==，故231m m=，解得3,0m m ==（舍去），2223142c a b c =+=+=⇒=，故焦距24c =. 故答案为：4.例12.（2021·全国·高考真题）若双曲线22221x y a b -=的离心率为2，则此双曲线的渐近线方程___________.【答案】3y x =±【分析】根据离心率得出2c a =，结合222+=a b c 得出,a b 关系，即可求出双曲线的渐近线方程. 【详解】解：由题可知，离心率2ce a ==，即2c a =， 又22224a b c a +==，即223b a =，则3ba=， 故此双曲线的渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±. 【总结提升】1.已知双曲线方程讨论其几何性质，应先将方程化为标准形式，找出对应的a 、b ，利用c 2＝a 2＋b 2求出c ，再按定义找出其焦点、焦距、实轴长、虚轴长、离心率、渐近线方程．2．画双曲线图形，要先画双曲线的两条渐近线(即以2a 、2b 为两邻边的矩形对角线)和两个顶点，然后根据双曲线的变化趋势，就可画出双曲线的草图．3．双曲线的标准方程中对a 、b 的要求只是a ＞0，b ＞0易误认为与椭圆标准方程中a ，b 的要求相同． 若a ＞b ＞0，则双曲线的离心率e ∈(1，2)； 若a ＝b ＞0，则双曲线的离心率e ＝2； 若0＜a ＜b ，则双曲线的离心率e ＞ 2.4．注意区分双曲线中的a ，b ，c 大小关系与椭圆a 、b 、c 关系，在椭圆中a 2＝b 2＋c 2，而在双曲线中c 2＝a 2＋b 2.5．等轴双曲线的离心率与渐近线关系双曲线为等轴双曲线⇔双曲线的离心率e ＝2⇔双曲线的两条渐近线互相垂直(位置关系)． 6．双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长b 7．渐近线与离心率()222210,0x y a b a b -=>>的一条渐近线的斜率为2222221b b c a e a a a-===-可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．8.与双曲线有关的范围问题的解题思路(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接转化求解．(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系，如借助双曲线上点的坐标范围，方程中Δ≥0等来解决．题型五 由双曲线的性质求双曲线的方程例11. （2022·天津·高考真题）已知抛物线21245,,y x F F =分别是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点，抛物线的准线过双曲线的左焦点1F ，与双曲线的渐近线交于点A ，若124F F A π∠=，则双曲线的标准方程为（ ）A ．22110x y -=B ．22116y x -=C ．2214y x -=D ．2214x y -=【答案】C【分析】由已知可得出c 的值，求出点A 的坐标，分析可得112AF F F =，由此可得出关于a 、b 、c 的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】抛物线245y x =的准线方程为5x =-，则5c =，则()15,0F -、()25,0F ，不妨设点A 为第二象限内的点，联立b y x a x c ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，可得x c bc y a =-⎧⎪⎨=⎪⎩，即点,bc A c a ⎫⎛- ⎪⎝⎭，因为112AF F F ⊥且124F F A π∠=，则12F F A △为等腰直角三角形，且112AF F F =，即2=bc c a ，可得2ba=， 所以，22225ba c c ab ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得125a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，因此，双曲线的标准方程为2214y x -=.故选：C.例12.（2021·北京·高考真题）若双曲线2222:1x y C a b -=离心率为2，过点2,3，则该双曲线的方程为（ ）A ．2221x y -= B ．2213y x -=C ．22531x y -=D ．22126x y -=【答案】B【分析】分析可得3b a =，再将点()2,3代入双曲线的方程，求出a 的值，即可得出双曲线的标准方程.【详解】2c e a ==，则2c a =，223b c a a =-=，则双曲线的方程为222213x y a a-=，将点()2,3的坐标代入双曲线的方程可得22223113a a a-==，解得1a =，故3b =，因此，双曲线的方程为2213y x -=.故选：B例13.（2018·天津高考真题（文））已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>> 的离心率为2，过右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点.设,A B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为1d 和2d ，且126,d d +=则双曲线的方程为( )A ．22139x y -=B ．22193x y -=C ．221412x y -=D ．221124x y -=【答案】A 【解析】设双曲线的右焦点坐标为(),0F c （c >0），则A B x x c ==，由22221c y a b-=可得：2b y a =±，不妨设：22,,,b b A c B c a a ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，双曲线的一条渐近线方程为0bx ay -=，据此可得：22122bc b bc b d c a b --==+，22222bc b bc b d c a b++==+， 则12226bcd d b c+===，则23,9b b ==， 双曲线的离心率：2229112c b e a a a ==+=+=， 据此可得：23a =，则双曲线的方程为22139x y -=.本题选择A 选项. 【规律总结】1.由双曲线的几何性质求双曲线的标准方程，一般用待定系数法，同样需要经历“定位→定式→定量”三个步骤．当双曲线的焦点不明确时，方程可能有两种形式，此时应注意分类讨论，为了避免讨论，也可设双曲线方程为mx 2－ny 2＝1(mn >0)，从而直接求得．2．根据双曲线的渐近线方程可设出双曲线方程．渐近线为y ＝n m x 的双曲线方程可设为：x 2m 2－y 2n 2＝λ(λ≠0)；如果两条渐近线的方程为Ax ±By ＝0，那么双曲线的方程可设为A 2x 2－B 2y 2＝m (m ≠0)；与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1共渐近线的双曲线方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．题型六 求双曲线的离心率(或范围)例13.（2019·全国·高考真题（文））设F 为双曲线C ：22221x y a b -=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=a 2交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则C 的离心率为（ ） A 2B 3C ．2 D 5【答案】A【分析】准确画图，由图形对称性得出P 点坐标，代入圆的方程得到c 与a 关系，可求双曲线的离心率． 【详解】设PQ 与x 轴交于点A ，由对称性可知PQ x ⊥轴，又||PQ OF c ==，||,2c PA PA ∴=∴为以OF 为直径的圆的半径，A ∴为圆心||2cOA =．,22c c P ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，又P 点在圆222x y a +=上，22244c c a ∴+=，即22222,22c c a e a =∴==．2e ∴=，故选A ．例14.（2021·湖北恩施土家族苗族自治州·高三开学考试）双曲线2222:1x y C a b -=（0a >，0b >）的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 的直线交双曲线C 于另一点B ，当BF AF ⊥时满足2AF BF >，则双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A ．12e << B ．312e <<C ．322e << D ．331e +<<【答案】B 【分析】设双曲线半焦距c ，再根据给定条件求出|BF |长，列出不等式即可得解. 【详解】设双曲线半焦距为c ，因BF AF ⊥，则由22221x c x ya b =⎧⎪⎨-=⎪⎩得2||||b y B a F ==，而AF a c =+， 于是得22b a c a +>⋅，即222c a a c a-+>⋅，整理得23a c >，从而有32c e a =<，又1e >，所以双曲线离心率e 的取值范围是312e <<. 故选：B例15.（2022·浙江·高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________． 【答案】364【分析】联立直线AB 和渐近线2:bl y x a=方程，可求出点B ，再根据||3||FB FA =可求得点A ，最后根据点A 在双曲线上，即可解出离心率．【详解】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率36e 4=. 故答案为：364．例16.（2020·全国·高考真题（文））设双曲线C ：22221x y a b -= (a >0，b >0)的一条渐近线为y 2，则C 的离心率为_________． 【答案】3【分析】根据已知可得2ba=，结合双曲线中,,a b c 的关系，即可求解. 【详解】由双曲线方程22221x y a b -=可得其焦点在x 轴上，因为其一条渐近线为2y x =，所以2b a =，2213c be a a==+=.故答案为：3 1.在解析几何中，求“范围”问题，一般可从以下几个方面考虑：①与已知范围联系，通过求值域或解不等式来完成；②通过判别式Δ求解；③利用点在双曲线内部形成的不等关系求解；④利用解析式的结构特点，如a ，a ，|a |等非负性求解．2.求双曲线离心率的取值范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想办法转化为关于a ，b ，c 的不等关 系，结合c 2＝a 2＋b 2和ca ＝e 得到关于e 的不等式，然后求解．在建立不等式求e 时，经常用到的结论：双曲线上一点到相应焦点距离的最小值为c －a .双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，注意二者参数之间的转化．3.与双曲线离心率、渐近线有关问题的解题策略(1)双曲线的离心率e ＝c a是一个比值，故只需根据条件得到关于a ，b ，c 的一个关系式，利用b 2＝c 2－a 2消去b ，然后变形成关于e 的关系式，并且需注意e ＞1.(2)双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的渐近线是令22220x y a b-=，即得两渐近线方程x a ±y b ＝0.(3)渐近线的斜率也是一个比值，可类比离心率的求法解答．注意应用21c b e a a ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭题型七：与双曲线有关的综合问题例17.（2022·江西·丰城九中高三开学考试（文））已知12,F F 分别为双曲线22:1412x y C -=的左､右焦点，E 为双曲线C 的右顶点.过2F 的直线与双曲线C 的右支交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），设,M N 分别为1212,AF F BF F 的内心，则ME NE -的取值范围是（ ）A ．4343,∞∞⎛⎫-⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B ．4343⎛ ⎝⎭C ．3333⎛ ⎝⎭D ．55⎛ ⎝⎭【答案】B【分析】由内心的性质，可知M ，N 的横坐标都是a ，得到MN ⊥x 轴，设直线AB 的倾斜角为θ，有22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，将ME NE -表示为θ的三角函数，结合正切函数的性质可求得范围.【详解】设1212,,AF AF F F 上的切点分别为H ､I ､J ， 则1122||||,,===AH AI F H F J F J F I .由122AF AF a -=，得()()12||||2+-+=AH HF AI IF a ， ∴122-=HF IF a ，即122-=JF JF a .设内心M 的横坐标为0x ，由JM x ⊥轴得点J 的横坐标也为0x ，则()()002c x c x a +--=， 得0x a =，则E 为直线JM 与x 轴的交点，即J 与E 重合. 同理可得12BF F △的内心在直线JM 上， 设直线AB 的领斜角为θ，则22,22-∠=∠=EF M EF N πθθ，||||()tan()tan22--=---ME NE c a c a πθθcos sin 2cos 222()()()sin tan sin cos 22⎛⎫ ⎪=-⋅-=-=-⎪ ⎪⎝⎭c a c a c a θθθθθθθ， 当2πθ=时，||||0ME NE -=； 当2πθ≠时，由题知，2,4,3===ba c a， 因为A ，B 两点在双曲线的右支上， ∴233ππθ<<，且2πθ≠，所以tan 3θ<-或tan 3θ>， ∴3133tan 3θ-<<且10tan θ≠， ∴44343||||,00,tan 33⎛⎫⎛⎫-=∈- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ME NE θ，综上所述，44343||||,tan 33⎛⎫-=∈- ⎪⎝⎭ME NE θ. 故选：B.例18.（2018·全国·高考真题（理））已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M、N .若OMN 为直角三角形，则|MN |=（ ） A ．32B ．3C ．3D ．4【答案】B【详解】分析：首先根据双曲线的方程求得其渐近线的斜率，并求得其右焦点的坐标，从而得到30FON ︒∠=，根据直角三角形的条件，可以确定直线MN 的倾斜角为60︒或120︒，根据相关图形的对称性，得知两种情况求得的结果是相等的，从而设其倾斜角为60︒，利用点斜式写出直线的方程，之后分别与两条渐近线方程联立，求得33(3,3),(,)22M N -，利用两点间距离公式求得MN 的值.详解：根据题意，可知其渐近线的斜率为33±，且右焦点为(2,0)F ， 从而得到30FON ︒∠=，所以直线MN 的倾斜角为60︒或120︒， 根据双曲线的对称性，设其倾斜角为60︒， 可以得出直线MN 的方程为3(2)y x =-， 分别与两条渐近线33y x =和33y x =-联立， 求得33(3,3),(,)22M N -，所以2233(3)(3)322MN =-++=，故选B.例19.（2020·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，焦点F 与双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点重合，若两曲线相交于M ，N 两点，且线段MN 的中点是点F ，则该双曲线的离心率等于______. 【答案】21+【分析】利用抛物线的性质，得到M 的坐标，再带入到双曲线方程中，即可求解. 【详解】由题意知： ,2,2pc p c -=-∴= ∴抛物线方程为：224,y px cx =-=-M 在抛物线上，所以(,2),M c c -M 在双曲线上，222241,c c a b ∴-=2224224,60c a c a c a b =-∴-+=2322e ∴=±，又()1,e ∈+∞，2 1.e ∴=+故答案为：21+例20.（2020·全国·高考真题（理））已知F 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点，A 为C 的右顶点，B为C 上的点，且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3，则C 的离心率为______________. 【答案】2【分析】根据双曲线的几何性质可知，2b BF a=，AF c a =-，即可根据斜率列出等式求解即可．【详解】联立2222222{1x cx y a b c b a =-==+，解得2x c b y a =⎧⎪⎨=±⎪⎩，所以2b BF a =.依题可得，3BF AF =，AF c a =-，即()2223bc a a c a a c a -==--，变形得3c a a +=，2c a =, 因此，双曲线C 的离心率为2. 故答案为：2．例21. （2022·全国·高考真题（理））若双曲线2221(0)x y m m-=>的渐近线与圆22430x y y +-+=相切，则m =_________． 【答案】33【分析】首先求出双曲线的渐近线方程，再将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，依题意圆心到直线的距离等于圆的半径，即可得到方程，解得即可．【详解】解：双曲线()22210x y m m-=>的渐近线为y x m =±，即0x my ±=，不妨取0x my +=，圆22430x y y +-+=，即()2221x y +-=，所以圆心为()0,2，半径1r =，依题意圆心()0,2到渐近线0x my +=的距离2211m d m==+，解得33m =或33m =-（舍去）． 故答案为：33．例22. （2022·全国·高三专题练习）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>43F 且斜率为0k >的直线交C 的两支于,A B 两点．若||3||FA FB =，则k =________________． 【答案】33【分析】由题意设双曲线的方程为22223113x y a a -=，直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-，联立方程，设()()1122,,,A x y B x y ，由||3||FA FB =，得123y y =，由根与系数的关系求解即可 【详解】因为22224316,33c a c a b a ==+=， 所以22313b a =，双曲线的方程为22223113x y a a -=，设过左焦点F 且斜率为0k >的直线为1x y c k =-，即1433x y a k =-， 与双曲线222231131433x y a a x y ak ⎧-=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩联立得2221310431693033y ay a k k ⎛⎫--+= ⎪⎝⎭， 设()()1122,,,A x y B x y ，则()()221212221043169,31333133ak a k y y y y k k +=⋅=--，因为||3||FA FB =， 所以123y y =，所以()()222222210431694,331333133ak a k y y k k ==--，消去2y 得()222221696433169163133a k a k k ⨯⨯⨯=-， 化简得2121133k =-，即213k =， 因为0k >， 所以33k =， 故答案为：33例23．（2022·广东·广州市真光中学高三开学考试）设1F ，2F 分别是双曲线2222:1(0,0)x ya b a bΓ-=>>的左、右两焦点，过点2F 的直线:0l x my t --=（,R m t ∈）与Γ的右支交于M ，N 两点，Γ过点(2,3)-，且它的7(1)求双曲线Γ的方程；(2)当121MF F F =时，求实数m 的值；(3)设点M 关于坐标原点O 的对称点为P ，当2212MF F N =时，求PMN 面积S 的值. 【答案】(1)2213y x -=； (2)1515m =±； (3)9354. 【分析】（1）根据点在双曲线上及两点距离列方程组求双曲线参数，即可得方程；（2）由点在直线上求得2t =，根据1F 到直线:20l x my --=与等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高相等，列方程求参数m ；（3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，联立双曲线与直线方程，应用韦达定理得1221213m y y m +=-，122913y y m =--，由向量的数量关系可得2135m =，根据对称点、三角形面积公式1222OMN S S y y ==-求PMN 面积. （1）由Γ过点(2,3)-，且它的虚轴的端点与焦点的距离为7，所以()222224917a b b a b ⎧-=⎪⎨⎪++=⎩，即2213a b ⎧=⎨=⎩， 则所求的双曲线Γ的方程为2213y x -=. （2）因为直线:0l x my t --=过点2(2,0)F ，所以2t =，由121MF F F =得：等腰三角形12F MF 底边2MF 上的高的大小为22112()152MF MF --=， 又1F 到直线:20l x my --=的距离等于等腰三角形12F MF 底边上的高，则2202151m ---=+， 即2115m =，则1515m =±. （3）设11(,)M x y ，22(,)N x y ，由221320y x x my ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩得：22(31)1290m y my -++=， 则1221213m y y m +=-，122913y y m=--，又2212MF F N =，即212y y =-， 则121213m y m -=-，2129213y m =-，即22122()13m m =-2913m-，则2135m =， 又M 关于坐标原点O 的对称点为P ，则2121212222()4OMN S S y y y y y y ==-=+-222221*********()4()1313134m m m m m +=--==---. 则所求的PMN 面积为9354. 【总结提升】 双曲线的综合问题常常涉及双曲线的离心率、渐近线、范围与性质，与圆、椭圆、抛物线、向量、三角函数、不等式等知识交汇考查综合运用数学知识的能力．(1)当与向量知识结合时，注意运用向量的坐标运算，将向量间的关系，转化为点的坐标问题，再根据根与系数的关系，将所求问题与条件建立联系求解．(2)当与直线有关时，常常联立直线与双曲线的方程，消元后利用一元二次方程的判别式、根与系数的关系构造相关数量关系求解．。

2022版新高考数学总复习--§10.2双曲线—五年高考—考点1双曲线的定义和标准方程1.(2020浙江,8,4分)已知点O(0,0),A(-2,0),B(2,0).设点P满足|PA|-|PB|=2,且P为函数y=3√4-x2图象上的点,则|OP|= ()A.√222B.4√105C.√7D.√10答案D2.(2020天津,7,5分)设双曲线C的方程为x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0),过抛物线y2=4x的焦点和点(0,b)的直线为l.若C的一条渐近线与l平行,另一条渐近线与l垂直,则双曲线C的方程为()A.x 24-y24=1 B.x2-y24=1C.x 24-y2=1 D.x2-y2=1 答案D3.(2019课标Ⅲ文,10,5分)已知F是双曲线C:x 24-y25=1的一个焦点,点P在C上,O为坐标原点.若|OP|=|OF|,则△OPF的面积为()A.32B.52C.72D.92答案B以下为教师用书专用(1—10)1.(2018天津理,7,5分)已知双曲线x 2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的离心率为2,过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A,B两点.设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1+d2=6,则双曲线的方程为()A.x 24-y212=1 B.x212-y24=1C.x 23-y29=1 D.x29-y23=1答案C本题主要考查双曲线的方程、几何性质以及点到直线的距离公式的应用.∵双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为2,∴e2=1+b 2a2=4, ∴b 2a2=3,即b 2=3a 2,∴c 2=a 2+b 2=4a 2,由题意可设A (2a ,3a ),B (2a ,-3a ),∵b 2a 2=3,∴渐近线方程为y =±√3x ,则点A 与点B 到直线√3x -y =0的距离分别为d 1=|2√3a -3a |2=2√3-32a ,d 2=|2√3a+3a |2=2√3+32a ,又∵d 1+d 2=6,∴2√3-32a +2√3+32a =6,解得a =√3,∴b 2=9.∴双曲线的方程为x 23-y 29=1,故选C .解题关键 利用离心率的大小得出渐近线方程并表示出点A 与点B 的坐标是求解本题的关键. 方法归纳 求双曲线标准方程的方法(1)定义法:根据题目的条件,若满足双曲线的定义,求出a ,b 的值,即可求得方程.(2)待定系数法:根据题目条件确定焦点的位置,从而设出所求双曲线的标准方程,利用题目条件构造关于a ,b 的方程(组),解得a ,b 的值,即可求得方程.2.(2017课标Ⅲ理,5,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,且与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,则C 的方程为 ( )A.x 28-y 210=1B.x 24-y 25=1C.x 25-y 24=1D.x 24-y 23=1答案 B 本题考查双曲线的方程.由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为x 24-y 25=k (k >0),即x 24k -y 25k=1,∵双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴4k +5k =12-3,解得k =1,故双曲线C的方程为x 24-y 25=1.故选B .一题多解 ∵椭圆x 212+y 23=1的焦点为(±3,0),双曲线与椭圆x 212+y 23=1有公共焦点,∴a 2+b 2=(±3)2=9①,∵双曲线的一条渐近线为y =√52x ,∴b a =√52②,联立①②可解得a 2=4,b 2=5.∴双曲线C 的方程为x 24-y 25=1.3.(2017课标Ⅰ文,5,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 23=1的右焦点,P 是C 上一点,且PF 与x 轴垂直,点A 的坐标是(1,3),则△APF 的面积为 ( ) A.13 B.12 C.23 D.32答案 D 本题考查双曲线的几何性质. 易知F (2,0),不妨取P 点在x 轴上方,如图.∵PF ⊥x 轴,∴P (2,3),|PF |=3,又A (1,3), ∴|AP |=1,AP ⊥PF , ∴S △APF =12×3×1=32.故选D .4.(2015安徽理,4,5分)下列双曲线中,焦点在y 轴上且渐近线方程为y =±2x 的是 ( )A.x 2-y 24=1 B.x 24-y 2=1 C.y 24-x 2=1 D.y 2-x 24=1答案 C 由于焦点在y 轴上,故排除A 、B .由于渐近线方程为y =±2x ,故排除D .故选C .5.(2014天津理,5,5分)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线平行于直线l :y =2x +10,双曲线的一个焦点在直线l 上,则双曲线的方程为 ( )A .x 25-y 220=1 B .x 220-y 25=1 C .3x 225-3y 2100=1 D .3x 2100-3y 225=1答案 A由题意得ba=2且c =5.故由c 2=a 2+b 2,得25=a 2+4a 2,则a 2=5,b2=20,从而双曲线方程为x 25-y 220=1.6.(2014江西文,9,5分)过双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1的右顶点作x 轴的垂线,与C 的一条渐近线相交于点A.若以C 的右焦点为圆心、半径为4的圆经过A ,O 两点(O 为坐标原点),则双曲线C 的方程为 ( ) A .x 24-y 212=1 B .x 27-y 29=1 C .x 28-y 28=1 D .x 212-y 24=1答案 A 由双曲线方程知右顶点为(a ,0),不妨设其中一条渐近线方程为y =ba x ,因此可设点A 的坐标为(a ,b ).设右焦点为F (c ,0),由已知可知c =4,且|AF |=4,即(c -a )2+b 2=16,所以有(c -a )2+b 2=c 2,得a 2-2ac +b 2=0,又知c 2=a 2+b 2,所以得a 2-2ac +c 2-a 2=0,即a =c2=2,所以b 2=c 2-a 2=42-22=12.故双曲线的方程为x 24-y 212=1,故选A .评析 本题考查双曲线的标准方程的求法、双曲线的几何性质以及圆的定义,考查学生的运算求解能力和逻辑推理能力.7.(2016课标Ⅰ,5,5分)已知方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-1,√3)C.(0,3)D.(0,√3)答案 A 解法一:由题意可知:c 2=(m 2+n )+(3m 2-n )=4m 2,其中c 为半焦距,∴2c =2×2|m |=4,∴|m |=1,∵方程x 2m 2+n -y 23m 2-n=1表示双曲线,∴(m 2+n )·(3m 2-n )>0,∴-m 2<n <3m 2,∴-1<n <3.故选A .解法二:∵原方程表示双曲线,且焦距为4, ∴{m 2+n >0,3m 2-n >0,m 2+n +3m 2-n =4,①或{m 2+n <0,3m 2-n <0,-(3m 2-n )-(m 2+n )=4,②由①得m 2=1,n ∈(-1,3).②无解.故选A .知识拓展 对于方程mx 2+ny 2=1,若表示椭圆,则m 、n 均为正数且m ≠n ;若表示双曲线,则m ·n <0.8.(2016天津,6,5分)已知双曲线x 24-y 2b2=1(b >0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ,B ,C ,D 四点,四边形ABCD 的面积为2b ,则双曲线的方程为 ( )A.x 24-3y 24=1 B.x 24-4y 23=1 C.x 24-y 24=1 D.x 24-y 212=1答案 D 设A (x 0,y 0),不妨令其在第一象限,由题意得{x 02+y 02=22,y 0=b2x 0, 可得x 02=164+b2,y 02=b 24×164+b2=4b 24+b 2,结合2x 0·2y 0=2b ,可得b 2=12.所以双曲线的方程为x 24-y 212=1.故选D .9.(2015课标Ⅰ文,16,5分)已知F 是双曲线C :x 2-y 28=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6√6).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案 12√6解析 由已知得双曲线的右焦点F (3,0).设双曲线的左焦点为F',则F'(-3,0).由双曲线的定义及已知得|PF |=2a +|PF'|=2+|PF'|.△APF 的周长最小,即|PA |+|PF |最小.|PA |+|PF |=|PA |+2+|PF'|≥|AF'|+2=17,即当A 、P 、F'三点共线时,△APF 的周长最小.设P点坐标为(x 0,y 0),y 0>0,由{x 0-306√6=1,x 02-y 028=1得y 02+6√6y 0-96=0,所以y 0=2√6或y 0=-8√6(舍去).所以当△APF 的周长最小时,该三角形的面积S =12×6×6√6-12×6×2√6=12√6.10.(2015课标Ⅱ文,15,5分)已知双曲线过点(4,√3),且渐近线方程为y =±12x ,则该双曲线的标准方程为 . 答案x 24-y 2=1 解析 根据渐近线方程为x ±2y =0,可设双曲线方程为x 2-4y 2=λ(λ≠0).因为双曲线过点(4,√3),所以42-4×(√3)2=λ,即λ=4.故双曲线的标准方程为x 24-y 2=1.考点2 双曲线的几何性质1.(2020课标Ⅱ,文9,理8,5分)设O 为坐标原点,直线x =a 与双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于D ,E 两点.若△ODE 的面积为8,则C 的焦距的最小值为 ( )A.4B.8C.16D.32 答案 B2.(2020课标Ⅲ理,11,5分)设双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1,F 2,离心率为√5.P 是C 上一点,且F 1P ⊥F 2P.若△PF 1F 2的面积为4,则a = ( ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案 A3.(2020课标Ⅰ文,11,5分)设F 1,F 2是双曲线C :x 2-y 23=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 上且|OP |=2,则△PF 1F 2的面积为( )A.72B.3C.52D.2 答案 B4.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50° D.1cos50° 答案 D5.(2019课标Ⅲ理,10,5分)双曲线C :x 24-y 22=1的右焦点为F ,点P 在C 的一条渐近线上,O 为坐标原点.若|PO |=|PF |,则△PFO 的面积为 ( ) A.3√24B.3√22C.2√2D.3√2答案 A6.(2021新高考Ⅱ,13,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0),离心率e =2,则双曲线C 的渐近线方程为.答案 y =±√3x7.(2021全国乙理,13,5分)已知双曲线C :x 2m -y 2=1(m >0)的一条渐近线为√3x +my =0,则C 的焦距为 . 答案 4解题指导 根据题设,由双曲线方程写出其渐近线方程,再结合题设列出关于m 的方程,求解出m ,再求出焦距.8.(2020江苏,6,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 25=1(a >0)的一条渐近线方程为y =√52x ,则该双曲线的离心率是 . 答案329.(2020课标Ⅰ理,15,5分)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点,A 为C 的右顶点,B 为C 上的点,且BF 垂直于x 轴.若AB 的斜率为3,则C 的离心率为 . 答案 210.(2020北京,12,5分)已知双曲线C :x 26-y 23=1,则C 的右焦点的坐标为 ;C 的焦点到其渐近线的距离是 . 答案 (3,0);√311.(2019课标Ⅰ理,16,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左、右焦点分别为F 1、F 2,过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ,B 两点.若F 1A ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,F 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·F 2B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则C 的离心率为 . 答案 212.(2018北京理,14,5分)已知椭圆M :x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),双曲线N :x 2m 2-y 2n 2=1.若双曲线N 的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M 的离心率为 ;双曲线N 的离心率为 . 答案 √3-1;213.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy 中,已知点F 1(-√17,0),F 2(√17,0),点M 满足|MF 1|-|MF 2|=2.记M 的轨迹为C. (1)求C 的方程;(2)设点T 在直线x =12上,过T 的两条直线分别交C 于A ,B 两点和P ,Q 两点,且|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |,求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和.解题指导 (1)先判断出M 的轨迹C 为双曲线的右支,并设出双曲线的标准方程,然后结合双曲线的定义,利用待定系数法确定其标准方程;(2)设出T 点坐标和直线AB 的方程,然后联立方程并利用根与系数的关系表示|TA |·|TB |,同理得到|TP |·|TQ |,结合|TA |·|TB |=|TP |·|TQ |得到结果. 以下为教师用书专用(1—22) 1.(2019课标Ⅰ文,10,5分)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的一条渐近线的倾斜角为130°,则C 的离心率为( )A.2sin 40°B.2cos 40°C.1sin50°D.1cos50°答案 D 本题主要考查双曲线的性质,同角三角函数的基本关系式及诱导公式;考查考生的运算求解能力和逻辑思维能力;考查的核心素养是数学运算.由双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)可知渐近线方程为y =±ba x ,由题意知-b a=tan 130°, 又tan 130°=-tan 50°, ∴ba=tan 50°, ∴双曲线的离心率e =c a =√1+b 2a 2=√1+tan 250°=√1+sin 250°cos 250°=√1cos 250°=1cos50°,故选D .方法总结求双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率的常见方法:(1)定义法:e =2c 2a =c a ;(2)公式法:e =√1+b 2a2=√1+tan 2θ(θ为渐近线的倾斜角);(3)方程思想:利用题中条件得出关于a ,b ,c 的方程,利用b 2=c 2-a 2转化为关于a ,c 的方程,最后利用e =ca 转化为关于e 的方程,从而得出离心率e. 2.(2019北京文,5,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的离心率是√5,则a = ( ) A.√6 B.4 C.2 D.12答案 D 本题主要考查双曲线的几何性质,考查学生运算求解的能力以及方程的思想,考查的核心素养为数学运算. 由题意得e =ca =√5,又a 2+b 2=c2,∴b 2a 2=c 2-a 2a 2=e 2-1=4,∵b 2=1,∴a 2=14.∵a >0,∴a =12.易错警示 把双曲线的离心率错认为e =√1-b 2a2而出错. 3.(2018浙江,2,4分)双曲线x 23-y 2=1的焦点坐标是 ( )A.(-√2,0),(√2,0)B.(-2,0),(2,0)C.(0,-√2),(0,√2)D.(0,-2),(0,2)答案 B 本小题考查双曲线的标准方程和几何性质.∵a 2=3,b 2=1,∴c =√a 2+b 2=2.又∵焦点在x 轴上,∴双曲线的焦点坐标为(-2,0),(2,0).易错警示 求双曲线焦点坐标的易错点 (1)焦点在x 轴上还是y 轴上,容易判断错误;(2)双曲线与椭圆的标准方程中a ,b ,c 的关系式容易混淆.4.(2015课标Ⅰ理,5,5分)已知M (x 0,y 0)是双曲线C :x 22-y 2=1上的一点,F 1,F 2是C 的两个焦点.若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0,则y 0的取值范围是 ( )A.(-√33,√33) B.(-√36,√36)C.(-2√23,2√23) D.(-2√33,2√33) 答案 A 若MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则点M 在以原点为圆心,半焦距c =√3为半径的圆上,则{x 02+y 02=3,x 022-y 02=1,解得y 02=13.可知:MF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·MF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ <0⇒点M 在圆x 2+y 2=3的内部⇒y 02<13⇒y 0∈(-√33,√33).故选A .5.(2015课标Ⅱ理,11,5分)已知A ,B 为双曲线E 的左,右顶点,点M 在E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角为120°,则E 的离心率为 ( ) A.√5 B.2 C.√3 D.√2答案 D 设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),则A (-a ,0),B (a ,0),不妨设点M 在第一象限内,则易得M (2a ,√3a ),又M 点在双曲线E上,于是(2a )2a 2-(√3a )2b 2=1,解得b 2=a 2,∴e =√1+b2a 2=√2.6.(2015湖南文,6,5分)若双曲线x 2a 2-y 2b2=1的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 ( )A.√73B.54C.43D.53答案 D双曲线x 2a 2-y 2b2=1的两条渐近线方程为y =±b a x ,则点(3,-4)在直线y =-b a x 上,即-4=-3b a ,所以4a =3b ,即b a =43,所以e =√1+b 2a 2=53.故选D .7.(2015重庆文,9,5分)设双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点是F ,左、右顶点分别是A 1,A 2,过F 作A 1A 2的垂线与双曲线交于B ,C 两点.若A 1B ⊥A 2C ,则该双曲线的渐近线的斜率为 ( )A.±12 B.±√22 C.±1 D.±√2答案 C 不妨令B 在x 轴上方,因为BC 过右焦点F (c ,0),且垂直于x 轴,所以可求得B ,C 两点的坐标分别为(c ,b 2a ),(c ,-b 2a ),又A 1,A 2的坐标分别为(-a ,0),(a ,0),所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c +a ,b 2a),A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(c -a ,-b2a), 因为A 1B ⊥A 2C ,所以A 1B ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·A 2C ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即(c +a )(c -a )-b 2a ·b 2a =0,即c 2-a2-b 4a2=0,所以b2-b 4a2=0, 故b 2a 2=1,即b a =1,又双曲线的渐近线的斜率为±ba,故该双曲线的渐近线的斜率为±1.故选C .8.(2014课标Ⅰ理,4,5分)已知F 为双曲线C :x 2-my 2=3m (m >0)的一个焦点,则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )A.√3B.3C.√3mD.3m 答案 A由题意知,双曲线的标准方程为x 23m -y 23=1,其中a 2=3m ,b 2=3,故c =√a 2+b 2=√3m +3,不妨设F 为双曲线的右焦点,故F (√3m +3,0).其中一条渐近线的方程为y =1√mx ,即x -√m y =0,由点到直线的距离公式可得d =√3·√m+1|√1+(-√m )=√3,故选A .评析 本题考查双曲线的方程、性质以及点到直线的距离公式等基础知识,考查考生对知识的灵活运用能力和运算求解能力. 9.(2014课标Ⅰ文,4,5分)已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a = ( )A .2B .√62C .√52D .1答案 D 由双曲线方程知b 2=3,从而c 2=a 2+3,又e =2,因此c 2a 2=a 2+3a 2=4,又a >0,所以a =1,故选D .10.(2013课标Ⅰ理,4,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为√52,则C 的渐近线方程为 ( )A.y =±14xB.y =±13xC.y =±12x D.y =±x答案 C ∵ba =√e 2-1=√54-1=12,∴C 的渐近线方程为y =±12x.故选C .11.(2011课标全国理,7,5分)设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A ,B 两点,|AB |为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为 ( ) A.√2 B.√3 C.2 D.3 答案 B 不妨设双曲线C为x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0),并设l 过F 2(c ,0)且垂直于x轴,则易求得|AB |=2b 2a,∴2b 2a =2×2a ,b 2=2a 2,∴离心率e =c a =√1+b 2a 2=√3,故选B .12.(2016课标Ⅱ,11,5分)已知F 1,F 2是双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1的左,右焦点,点M 在E 上,MF 1与x 轴垂直,sin ∠MF 2F 1=13,则E 的离心率为 ( ) A.√2 B.32 C.√3 D.2答案 A 解法一:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,可得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a .由sin ∠MF 2F 1=13,可得cos ∠MF 2F 1=√1-(13)2=2√23,又tan ∠MF 2F 1=|MF 1||F 1F 2|=b2a2c,∴b 2a2c=132√23,∴b 2=√22ac ,∵c 2=a 2+b 2⇒b 2=c 2-a 2,∴c 2-a 2-√22ac =0⇒e 2-√22e -1=0,∴e =√2.故选A .解法二:不妨设M 在第二象限,由MF 1⊥x 轴,得M (-c ,b 2a ),∴|MF 1|=b 2a ,由双曲线的定义可得|MF 2|=2a +|MF 1|=2a +b 2a ,又sin ∠MF 2F 1=|MF 1||MF 2|=b2a 2a+b2a=13⇒a 2=b 2⇒a =b ,∴e =√1+(b a )2=√2.故选A .13.(2016浙江,7,5分)已知椭圆C 1:x 2m2+y 2=1(m >1)与双曲线C 2:x 2n2-y 2=1(n >0)的焦点重合,e 1,e 2分别为C 1,C 2的离心率,则 ( )A.m >n 且e 1e 2>1B.m >n 且e 1e 2<1C.m <n 且e 1e 2>1D.m <n 且e 1e 2<1 答案 A 在椭圆中,a 1=m ,c 1=√m 2-1,e 1=√m 2-1m.在双曲线中,a 2=n ,c 2=√n 2+1,e 2=√n 2+1n.因为c 1=c 2,所以n 2=m 2-2.从而e 12·e 22=(m 2-1)(n 2+1)m 2·n 2=(m 2-1)2m 2·(m 2-2),令t =m 2-1,则t >1,e 12·e 22=t 2t 2-1>1,即e 1e 2>1.结合图形易知m >n ,故选A .思路分析 根据焦点重合可得m 2与n 2之间的关系,进而建立e 12e 22关于m 的解析式,然后判定范围即可.14.(2018上海,2,4分)双曲线x 24-y 2=1的渐近线方程为 . 答案 y =±12x解析 本题主要考查双曲线的渐近线方程. 解法一:由双曲线x 24-y 2=1知a 2=4,b 2=1,∴a =2,b =1,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.解法二:令双曲线x 24-y 2=1中的“1”为“0”,即可得到双曲线的渐近线方程,即x 24-y 2=0,∴该双曲线的渐近线方程为y =±12x.15.(2018江苏,8,5分)在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点F (c ,0)到一条渐近线的距离为√32c ,则其离心率的值是 . 答案 2解析 本题考查双曲线的性质.双曲线的一条渐近线方程为bx -ay =0,则F (c ,0)到这条渐近线的距离为√b 2+(-a )=√32c ,∴b =√32c ,∴b 2=34c 2,又b 2=c 2-a 2,∴c 2=4a 2,∴e =ca =2.16.(2017课标Ⅰ理,15,5分)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的右顶点为A ,以A 为圆心,b 为半径作圆A ,圆A 与双曲线C 的一条渐近线交于M ,N 两点.若∠MAN =60°,则C 的离心率为 .答案2√33解析 本题考查双曲线的几何性质和圆的性质.不妨设点M 、N 在渐近线y =ba x 上,如图,△AMN 为等边三角形,且|AM |=b ,则A 点到渐近线y =b ax 的距离为√32b ,又将y =b ax 变形为一般形式为bx -ay =0,则A (a ,0)到渐近线bx -ay =0的距离d =√a 2+b =|ab |c ,所以|ab |c =√32b ,即a c =√32, 所以双曲线离心率e =c a =2√33. 17.(2017课标Ⅲ文,14,5分)双曲线x 2a 2-y 29=1(a >0)的一条渐近线方程为y =35x ,则a = .答案 5解析 由题意可得3a =35,所以a =5. 18.(2017北京理,9,5分)若双曲线x 2-y 2m =1的离心率为√3,则实数m = .答案 2解析 本题考查双曲线的性质. 由题意知,a 2=1,b 2=m.∵e =c a =√1+b 2a 2=√1+m 1=√3,∴m =2. 19.(2016山东理,13,5分)已知双曲线E :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0).若矩形ABCD 的四个顶点在E 上,AB ,CD 的中点为E 的两个焦点,且2|AB |=3|BC |,则E 的离心率是 . 答案 2 解析由已知得|AB |=|CD |=2b 2a ,|BC |=|AD |=|F 1F 2|=2c.因为2|AB |=3|BC |,所以4b 2a =6c ,又b 2=c 2-a 2,所以2e 2-3e -2=0,解得e =2,或e =-12(舍去).评析 本题考查了双曲线的基本性质,利用2|AB |=3|BC |和b 2=c 2-a 2构造关于离心率e 的方程是求解的关键.20.(2016北京理,13,5分)双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的渐近线为正方形OABC 的边OA ,OC 所在的直线,点B 为该双曲线的焦点.若正方形OABC 的边长为2,则a = . 答案 2解析 由OA 、OC 所在直线为渐近线,且OA ⊥OC ,知两条渐近线的夹角为90°,从而双曲线为等轴双曲线,则其方程为x 2-y 2=a 2.OB 是正方形的对角线,且点B 是双曲线的焦点,则c =2√2,根据c 2=2a 2可得a =2.评析 本题考查等轴双曲线及其性质.21.(2015北京理,10,5分)已知双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)的一条渐近线为√3x +y =0,则a = . 答案 √33解析由双曲线x 2a2-y 2=1(a >0)知其渐近线方程为y =±1a x ,又因为a >0,所以1a =√3,解得a =√33.22.(2014浙江理,16,4分)设直线x -3y +m =0(m ≠0)与双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线分别交于点A ,B.若点P (m ,0)满足|PA |=|PB |,则该双曲线的离心率是 .答案√52解析 由{x -3y +m =0,y =ba x得A (am 3b -a ,bm3b -a ), 由{x -3y +m =0,y =-ba x得B (-am 3b+a ,bm 3b+a ),则线段AB 的中点为M (a 2m 9b 2-a 2,3b 2m 9b 2-a 2).由题意得PM ⊥AB ,∴k PM =-3,得a 2=4b 2=4c 2-4a 2,故e 2=54,∴e =√52.— 三年模拟 — A 组 考点基础题组考点1 双曲线的定义和标准方程1.(2020山东百师联盟测试五,5)已知圆C 1:(x -4)2+y 2=25,圆C 2:(x +4)2+y 2=1,动圆M 与C 1,C 2都外切,则动圆圆心M 的轨迹方程为( )A.x 24-y 212=1(x <0) B.x 24-y 212=1(x >0)C.x 23-y 25=1(x <0)D.x 23-y 25=1(x >0) 答案 A 2.(2020广东湛江网络教学测试(二),5)椭圆x 26+y 24=1的两焦点分别为F 1,F 2,以椭圆短轴的两端点为焦点,|F 1F 2|为虚轴长的双曲线方程为 ( )A.x 2-y 2=2 B.y 2-x 2=2 C.x 2-y 2=√2 D.y 2-x 2=√2 答案 B3.(2021河北衡水中学全国高三第二次联考,6)已知双曲线x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的焦点F (c ,0)到渐近线的距离为√32c ,且点(2,√3)在双曲线上,则双曲线的方程为 ( )A.x 29-y 23=1 B.x 212-y 23=1 C.x 23-y 212=1D.x 23-y 29=1答案 D考点2 双曲线的几何性质1.(2020湖南长沙明德中学月考,10)已知双曲线x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的左,右焦点分别为F 1,F 2,M 为双曲线上一点,若cos ∠F 1MF 2=14,|MF 1|=2|MF 2|,则此双曲线的渐近线方程为 ( ) A.y =±√3x B.y =±√33x C.y =±x D.y =±2x 答案 A2.(多选题)(2021广东揭阳4月联考,9)已知一组直线x ±2y =0,则以该组直线为渐近线的双曲线有 ( ) A.x 2-4y 2=1 B.4y 2-x 2=1 C.x2-y 24=1D.x 24-y 2=1 答案 ABD3.(2021山东济南十一学校联考,6)椭圆与双曲线共焦点F 1,F 2,它们的交点P 对两公共焦点F 1,F 2的张角为∠F 1PF 2=2θ,椭圆与双曲线的离心率分别为e 1,e 2,则 ( )A.cos 2θe 12+sin 2θe 22=1B.sin 2θe 12+cos 2θe 22=1 C.e 12cos 2θ+e 22sin 2θ=1D.e 12sin 2θ+e 22cos 2θ=1答案 B4.(2021辽宁沈阳市郊联体一模,7)设F 1,F 2是双曲线C :x 24-y 28=1的两个焦点,O 为坐标原点,点P 在C 的左支上,且OF 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |+F 1P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·OP ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |OP⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√3,则△PF 1F 2的面积为 ( )A.8B.8√3C.4D.4√3 答案 A5.(2019广东佛山二模,11)已知F 为双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >b >0)的右焦点,A ,B 是双曲线C 的一条渐近线上关于原点对称的两点,AF ⊥BF ,且AF 的中点在双曲线C 上,则C 的离心率为( ) A.√5-1 B.√3+12C.√5+12D.√3+1答案 A6.(2021河北二轮复习联考(一),6)已知双曲线C :x 22-y 2b2=1(b >0)的离心率为e ,若e ∈(√5,√10),则C 的焦点到一条渐近线的距离的取值范围为 ( )A.(1,3√2)B.(√2,+∞)C.(2√2,3√2)D.(√2,3√2) 答案 CB 组 综合应用题组时间:70分钟 分值:85分一、单项选择题(每小题5分,共35分)1.(2021百校大联考(六),8)若双曲线x 2a 2-y 2b 2=1的离心率等于√103,则该双曲线的渐近线方程为 ( )A.y =±3xB.y =±12xC.y =±13x D.y =±2x 答案 C2.(2021湘豫名校4月联考,10)已知双曲线C :x 216-y 29=1的右焦点为F ,过原点O 的直线与双曲线C 交于A ,B 两点,且∠AFB =60°,则△OBF 的面积为( ) A.92B.9√32C.32 D.3√32答案 D3.(2020河北衡水中学七调,4)已知双曲线C :x 212-y 24=1,O 为坐标原点,F 为C 的右焦点,过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为P ,Q ,若△POQ 为直角三角形,则|PQ |= ( ) A.2 B.4 C.6 D.8答案 C4.(2021广东肇庆二模,8)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,O为坐标原点,在双曲线C 上存在点M ,使得2|OM |=|F 1F 2|,设△F 1MF 2的面积为S.若16S =(|MF 1|+|MF 2|)2,则该双曲线的离心率为 ( ) A.√62 B.√32 C.32 D.√3 答案 A5.(2019湖南岳阳二模,11)如图,设双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的右焦点为F ,O 为坐标原点,若双曲线及其渐近线上各存在一点Q ,P ,使得四边形OPFQ 为矩形,则其离心率为 ( )A.√3B.2C.√5D.√6 答案 A6.(2021辽宁沈阳二模,8)已知点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2-y 2b2=1(b >0)的左,右焦点,O 为坐标原点,点P 在双曲线C的右支上,且满足|F 1F 2|=2|OP |,tan ∠PF 2F 1≥5,则双曲线C 的离心率的取值范围为 ( )A.(1,√173] B.(1,√264] C.(1,√5] D.(1,√2]答案 B7.(2021江苏南通如皋二模,7)在平面直角坐标系xOy 中,点F 1,F 2分别是双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左,右焦点,过点F 1且与直线l :y =-ba x 垂直的直线交C 的右支于点M ,设直线l 上一点N (N 在第二象限)满足F 1N ⊥F 2N ,且(F 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +F 2M ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )·MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =0,则双曲线C 的离心率为 ( ) A.√5 B.√3 C.√2+1 D.2 答案 A二、多项选择题(每小题5分,共15分)8.(2020全国统一模拟五,12)设F 1、F 2为双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点,过左焦点F 1且斜率为√157的直线l 与C 在第一象限相交于一点P ,则下列说法正确的是( ) A.直线l 倾斜角的余弦值为78B.若|F 1P |=|F 1F 2|,则C 的离心率e =43 C.若|PF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率e =2 D.△PF 1F 2不可能是等边三角形 答案 AD9.(2021山东烟台一模,10)已知双曲线C :x 2m -y 2m+7=1(m ∈R )的一条渐近线方程为4x -3y =0,则 ( )A.(√7,0)为C 的一个焦点B.双曲线C 的离心率为53C.过点(5,0)作直线与C 交于A ,B 两点,则满足|AB |=15的直线有且只有两条D.设A ,B ,M 为C 上三点且A ,B 关于原点对称,则MA ,MB 斜率存在时其乘积为169 答案 BD10.(2021广东梅州一模,10)下列关于圆锥曲线的命题中,正确的是 ( ) A.设A 、B 为两个定点,k 为非零常数,|PA⃗⃗⃗⃗⃗ |-|PB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=k ,则动点P 的轨迹为双曲线 B.过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为坐标原点,若OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ),则动点P 的轨迹为椭圆 C.方程2x 2-5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率 D.双曲线x 225-y 29=1与椭圆x 235+y 2=1有相同的焦点 答案 CD三、填空题(每小题5分,共20分)11.(2020山东潍坊模拟,15)双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的左、右焦点为F 1、F 2,直线y =√3b 与C 的右支相交于点P ,若|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线C 的离心率为 ;若该双曲线的焦点到其渐近线的距离是√5,则双曲线的方程为 . 答案32;x 24-y 25=1 12.(2021广东广州一模,15)已知圆(x -1)2+y 2=4与双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的两条渐近线相交于四个点,按顺时针排列依次记为M ,N ,P ,Q ,且|MN |=2|PQ |,则C 的离心率为 . 答案2√6313.(2021湖南永州二模,15)已知O 为坐标原点,双曲线C :x 2a 2-y 2b2=1(a >0,b >0)的离心率为3√55,从双曲线C 的右焦点F 引渐近线的垂线,垂足为A ,若△AFO 的面积为√5,则双曲线C 的方程为 .答案x 25-y 24=114.(2021山东日照一模,16)已知F 1,F 2分别为双曲线C :x 24-y 212=1的左,右焦点,E 为双曲线C 的右顶点,过F 2的直线与双曲线C 的右支交于A ,B 两点(其中点A 在第一象限),设M ,N 分别为△AF 1F 2,△BF 1F 2的内心,则|ME |-|NE |的取值范围是 . 答案 (-4√33,4√33)四、解答题(共15分)15.(2021湖南岳阳一模,21)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1的离心率为√52,点P (4,√3)在C 上.(1)求双曲线C 的方程;(2)设过点(1,0)的直线l 与双曲线C 交于M ,N 两点,问在x 轴上是否存在定点Q ,使得QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数?若存在,求出Q 点坐标及此常数的值;若不存在,说明理由. 解析 (1)由题意得,{ 16a 2-3b 2=1,c a =√52,a 2+b 2=c 2,解得a 2=4,b 2=1.∴双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)假设存在定点Q.设定点Q (t ,0), 当直线斜率不为0时,设直线l 的方程为x =my +1,联立{x 24-y2=1,x =my +1,得(m 2-4)y 2+2my -3=0. ∴m 2-4≠0,且Δ=4m 2+12(m 2-4)>0,解得m 2>3且m 2≠4. 设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2), ∴y 1+y 2=-2mm 2-4,y 1y 2=-3m 2-4, ∴x 1+x 2=m (y 1+y 2)+2=-2m 2m 2-4+2=-8m 2-4,x 1x 2=(my 1+1)(my 2+1)=m 2y 1y 2+m (y 1+y 2)+1=-3m 2m 2-4-2m 2m 2-4+1=-4m 2+4m 2-4=-4-20m 2-4.QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(x 1-t ,y 1)·(x 2-t ,y 2)=(x 1-t )(x 2-t )+y 1y 2=x 1x 2-t (x 1+x 2)+t 2+y 1y 2=-4-20m 2-4+t ·8m 2-4-3m 2-4+t 2=-4+t 2+8t -23m 2-4, 由QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数, 得8t -23=0,即t =238,此时QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. 当直线l 斜率为0时,QM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =27364. ∴在x 轴上存在定点Q (238,0),使得QM⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·QN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为常数. 方法总结 过x 轴上某一定点的直线方程的设法问题,常设其横截距式直线方程,需要针对其斜率是不是0进行分类讨论,若设其纵截距式直线方程,则需要针对其斜率是否存在进行分类讨论.— 一年原创 —1.(2021 5·3原创题)已知双曲线x 2m -y 2n =1,集合A ={x |x 2-2x -8<0,x ∈Z },若m ,n ∈A ,则焦点在x 轴上的双曲线条数是 ( )A.9B.8C.6D.12答案 A2.(2021 5·3原创题)已知A 1,A 2是椭圆C 1:x 24+y 2=1和双曲线C 2:x 24-y 2b 2=1(b >0)的左,右顶点,M ,N 分别为椭圆和双曲线上不同于A 1,A 2的动点,且O ,M ,N 三点共线,若直线A 1M ,A 2M ,A 1N ,A 2N 的斜率之和为0,则C 2的渐近线方程是( )A.y =±2xB.y =±12xC.y =±23xD.y =±32x答案 B3.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为2,左、右焦点分别是F 1、F 2.过F 1的直线l分别交C 的两条渐近线于A ,B 两点(A 与B 不重合),且满足AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BF 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=0,则直线l 的斜率k = .答案 ±√1554.(2021 5·3原创题)已知双曲线C :x 2a 2-y 2b 2=1(a >0,b >0)的一条渐近线方程是x -2y =0,且双曲线C 过点(2√2,1).(1)求双曲线C 的方程;(2)如图,设直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),且l 分别交双曲线C 的两条渐近线于M 、N 两点,O 为坐标原点.问:△MON 的面积是不是定值?如果是,请求出该定值;如果不是,请说明理由.解析 (1)由题意得{b a =12,8a 2-1b 2=1,解得{a 2=4,b 2=1, 所以双曲线C 的方程为x 24-y 2=1. (2)由于直线l 与双曲线C 的右支相切于P 点(P 点不与右顶点重合),因此直线l 的斜率存在,设直线l 的方程为y =kx +m ,由{y =kx +m ,x 24-y 2=1消去y 得(4k 2-1)x 2+8kmx +4m 2+4=0, 由题意得Δ=64k 2m 2-4(4k 2-1)(4m 2+4)=0, 整理得4k 2=m 2+1,① 设l 与x 轴交于点D ,则|OD |=|m k|, S △OMN =S △MOD +S △NOD =12|OD |×|y M -y N |=|m 2k |·|k |·|x M -x N |,双曲线的两条渐近线方程为y =±12x ,联立{y =12x ,y =kx +m ⇒M (2m 1-2k ,m 1-2k ), 联立{y =-12x ,y =kx +m ⇒N (-2m 2k+1,m 2k+1), 则S △MON =|m 2k |·|k |·|2m 1-2k +2m 1+2k |=|m 2k |·|k |·|4m1-4k 2|=12·|m k |·|k |·|4m-m 2|=2(定值).所以△MON的面积为定值2.。

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a&gt;0，c&gt;0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→&#8226;PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|&#8226;|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→&#8226;mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33&#61480;x－3&#61481;x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332&#8226;&#61480;x1＋x2&#61481;2－4x1x2＝43&#8226;3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|&#61480;3&#61481;2＋&#61480;－3&#61481;2＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|&#8226;d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ&gt;0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a&lt;c 双曲线a＝c 两条射线a&gt;c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22&lt;|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ&gt;0时，焦点在x轴上；当λ&lt;0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2&lt;yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝&#61480;|PF1|－|PF2|&#61481;2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→&#8226;mQ→＝&#8226;＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，&#61480;－3&#61481;2a2－&#61480;23&#61481;2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴&#61480;32&#61481;2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25&gt;4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝&#61480;355－5&#61481;2＋&#61480;455－0&#61481;2＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则&#61480;x－2&#61481;2＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2&#61480;x1＋x2&#61481;＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12&#61480;x1＋1&#61481;，Fm→＝－32，3y12&#61480;x1＋1&#61481;.同理可得FN→＝－32，3y22&#61480;x2＋1&#61481;.因此Fm→&#8226;FN→＝－32×－32＋9y1y24&#61480;x1＋1&#61481;&#61480;x2＋1&#61481;＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→&#8226;FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→&#8226;FN→＝0，故Fm⊥FN.故以线段mN为直径的圆过点F.。

双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．22．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝03．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是()A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C．若C为双曲线，则焦距为4D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜54．(2020·全国卷Ⅰ)设F1，F2是双曲线C：x2－y23＝1的两个焦点，O为坐标原点，点P在C上且|OP|＝2，则△PF1F2的面积为()A．72B．3C．52D．25．已知双曲线C：x2a2－y216＝1(a＞0)的一条渐近线方程为4x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且|PF1|＝7，则|PF2|＝() A．1 B．13C．17 D．1或136．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 38．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为49．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．双曲线1．(2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是()A．22B．1C． 2 D．2C[根据渐近线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝2a，则该双曲线的离心率为e＝ca＝2，故选C.]2．已知双曲线的方程为y24－x29＝1，则下列关于双曲线说法正确的是()A．虚轴长为4 B．焦距为2 5C．离心率为13 3D．渐近线方程为2x±3y＝0D[由题意知，双曲线y24－x29＝1的焦点在y轴上，且a2＝4，b2＝9，故c2＝13，所以选项A，B均不对；离心率e＝ca＝132，故选项C不对；由双曲线的渐近线知选项D正确．故选D.]3．(多选)(2020·山东青岛二中期中)若方程x25－t＋y2t－1＝1所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是() A．若1＜t＜5，则C为椭圆B．若t＜1，则C为双曲线C ．若C 为双曲线，则焦距为4D ．若C 为焦点在y 轴上的椭圆，则3＜t＜5BD [对于A ，当t ＝3时，方程x 2＋y 2＝2表示圆，所以A 不正确；对于B ，当t ＜1时，5－t ＞0，t －1＜0，此时曲线C 是焦点在x 轴上的双曲线，所以B 正确；对于C ，当t ＝0时，方程x 25－y 21＝1表示双曲线，此时双曲线的焦距为26，所以C 不正确；对于D ，当方程x 25－t ＋y 2t －1＝1表示焦点在y 轴上的椭圆时，满足⎩⎨⎧5－t ＞0，t －1＞0，5－t ＜t －1，解得3＜t ＜5，所以D 正确．]4．(2020·全国卷Ⅰ)设F 1，F 2是双曲线C ：x 2－y 23＝1的两个焦点，O 为坐标原点，点P 在C 上且|OP |＝2，则△PF 1F 2的面积为( )A ．72B ．3C ．52D ．2B [法一：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以|PF 1|2＋|PF 2|2＝|F 1F 2|2＝16.不妨令点P 在双曲线C 的右支上，则有|PF 1|－|PF 2|＝2，两边平方，得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝4，又|PF 1|2＋|PF 2|2＝16，所以|PF 1|·|PF 2|＝6，则S △PF 1F 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×6＝3，故选B.法二：设F 1，F 2分别为双曲线C 的左、右焦点，则由题意可知F 1(－2,0)，F 2(2,0)，又|OP |＝2，所以|OP |＝|OF 1|＝|OF 2|，所以△PF 1F 2是直角三角形，所以S △PF 1F 2＝b 2tan θ2＝3tan 45 °＝3(其中θ＝∠F 1PF 2)，故选B.]5．已知双曲线C ：x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线C 上，且|PF 1|＝7，则|PF 2|＝( )A ．1B ．13C ．17D ．1或13B [由题意知双曲线x 2a 2－y 216＝1(a ＞0)的一条渐近线方程为4x ＋3y ＝0，可得4a ＝43，解得a ＝3，所以c ＝a 2＋b 2＝5.又由F 1，F 2分别是双曲线C 的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|＝7，可得点P 在双曲线的左支上，所以|PF 2|－|PF 1|＝6，可得|PF 2|＝13.故选B.]6．(2020·西安模拟)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的顶点到其一条渐近线的距离为1，焦点到其一条渐近线的距离为2，则其一条渐近线的倾斜角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120°B [设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1的右顶点A (a,0)，右焦点F 2(c,0)到渐近线y ＝b a x 的距离分别为1和2，则有⎩⎪⎨⎪⎧aba 2＋b 2＝1，bca 2＋b2＝2，即a c ＝22.则b 2a 2＝c 2－a 2a 2＝c 2a 2－1＝2－1＝1，即ba ＝1. 设渐近线y ＝b a x 的倾斜角为θ，则tan θ＝ba ＝1. 所以θ＝45°，故选B.]7．(多选)已知双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，则( ) A ．E 的方程为x 23－y 2＝1B ．直线x －2y －1＝0与E 有且仅有一个公共点C ．曲线y ＝ln(x －1)过E 的一个焦点D ．E 的离心率为 3ABC [设双曲线E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)，因为双曲线E 过点(3，2)，(6，11)，所以⎩⎨⎧9m ＋2n ＝1，36m ＋11n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝13，n ＝－1，故双曲线E 的方程为x 23－y 2＝1，选项A 正确；联立直线与双曲线的方程，得⎩⎪⎨⎪⎧x －2y －1＝0，x 23－y 2＝1，消去x得y 2－22y ＋2＝0，Δ＝0，故选项B 正确；E 的一个焦点为点(2,0)，易知该点在曲线y ＝ln(x －1)上，故C 正确；因为a ＝3，c ＝2，所以双曲线E 的离心率e ＝233，选项D 错误．故选ABC.]8．(多选)(2020·山东滨州期末)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点分别为F 1(－5,0)，F 2(5,0)，则能使双曲线C 的方程为x 216－y 29＝1的条件是( )A ．双曲线的离心率为54 B ．双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94C ．双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0D ．双曲线的实轴长为4ABC [由题意可得焦点在x 轴上，且c ＝5.A 选项，若双曲线的离心率为54，则a ＝4，所以b 2＝c 2－a 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故A 正确；B 选项，若双曲线过点⎝ ⎛⎭⎪⎫5，94，则⎩⎪⎨⎪⎧25a 2－8116b 2＝1，a 2＋b 2＝25，得⎩⎨⎧a 2＝16，b 2＝9，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故B 正确；C 选项，若双曲线的渐近线方程为3x ±4y ＝0，可设双曲线的方程为x 216－y 29＝m (m ＞0)，所以c 2＝16m ＋9m ＝25，解得m ＝1，此时双曲线的方程为x 216－y 29＝1，故C 正确；D 选项，若双曲线的实轴长为4，则a ＝2，所以b 2＝c 2－a 2＝21，此时双曲线的方程为x 24－y 221＝1，故D 错误．故选ABC.]9．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线为2x ＋y ＝0，一个焦点为(5，0)，则a ＝________；b ＝________.1 2 [由2x ＋y ＝0，得y ＝－2x ，所以ba ＝2. 又c ＝5，a 2＋b 2＝c 2，解得a ＝1，b ＝2.]10．(2020·南宁模拟)已知双曲线E ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)．若矩形ABCD 的四个顶点在E 上，AB ，CD 的中点为E 的两个焦点，且2|AB |＝3|BC |，则E 的离心率是________．2 [由已知得|AB |＝|CD |＝2b 2a ，|BC |＝|AD |＝|F 1F 2|＝2c .因为2|AB |＝3|BC |，所以4b 2a ＝6c ，又b 2＝c 2－a 2，所以2e 2－3e －2＝0， 解得e ＝2，或e ＝－12(舍去)．]11．已知焦点在x 轴上的双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是________．(0,2) [对于焦点在x 轴上的双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx －ay ＝0的距离为|bc |b 2＋a 2＝b .双曲线x 28－m ＋y 24－m ＝1，即x 28－m －y 2m －4＝1，其焦点在x 轴上，则⎩⎨⎧8－m >0，m －4>0，解得4<m <8，则焦点到渐近线的距离d ＝m －4∈(0,2)．]12．已知椭圆x 24＋y 2m ＝1与双曲线x 2－y 2n ＝1的离心率分别为e 1，e 2，且有公共的焦点F 1，F 2，则4e 21－e 22＝________，若P 为两曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|＝________.0 3 [由题意得椭圆的半焦距满足c 21＝4－m ，双曲线的半焦距满足c 22＝1＋n ，又因为两曲线有相同的焦点，所以4－m ＝1＋n ， 即m ＋n ＝3， 则4e 21－e 22＝4×4－m4－(1＋n )＝3－(m ＋n )＝0.不妨设F 1，F 2分别为两曲线的左、右焦点，点P 为两曲线在第一象限的交点，则⎩⎨⎧|PF 1|＋|PF 2|＝4，|PF 1|－|PF 2|＝2. 解得⎩⎨⎧|PF 1|＝3，|PF 2|＝1，则|PF 1|·|PF 2|＝3.]能力提高1．(2019·全国卷Ⅰ)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若F 1A →＝AB →，F 1B →·F 2B →＝0，则C 的离心率为________．2 [如图，由F 1A →＝AB →，得F 1A ＝AB .又OF 1＝OF 2，所以OA 是三角形F 1F 2B 的中位线，即BF 2∥OA ， BF 2＝2OA .由F 1B →·F 2B →＝0，得F 1B ⊥F 2B ，OA ⊥F 1A ， 则OB ＝OF 1，所以∠AOB ＝∠AOF 1，又OA 与OB 都是渐近线，得∠BOF 2＝∠AOF 1， 又∠BOF 2＋∠AOB ＋∠AOF 1＝180°， 得∠BOF 2＝∠AOF 1＝∠BOA ＝60°， 又渐近线OB 的斜率为ba ＝tan 60°＝3， 所以该双曲线的离心率为e ＝c a ＝1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b a 2＝1＋(3)2＝2.]2．(2020·黄冈模拟)双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，则该双曲线的标准方程为______．已知点A (－6,0)，若点P 为C 上一动点，且P 点在x 轴上方，当点P 的位置变化时，△P AF 的周长的最小值为________．y 216－x 248＝1 28 [∵双曲线C 的渐近线方程为y ＝±33x ，一个焦点为F (0，－8)，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2b 2＝13，a 2＋b 2＝8，解得a ＝4，b ＝4 3.∴双曲线的标准方程为y 216－x 248＝1.设双曲线的上焦点为F ′(0,8)，则|PF |＝|PF ′|＋8， △P AF 的周长为|PF |＋|P A |＋|AF |＝|PF ′|＋|P A |＋|AF |＋8.当P 点在第二象限，且A ，P ，F ′共线时，|PF ′|＋|P A |最小，最小值为|AF ′|＝10.而|AF |＝10，故△P AF 的周长的最小值为10＋10＋8＝28.]。

高考数学（理科）一轮复习双曲线学案含答案本资料为woRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址学案52 双曲线导学目标：1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它们的简单几何性质.2.理解数形结合的思想．自主梳理．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值为常数2a，则点P的轨迹叫________．这两个定点叫双曲线的________，两焦点间的距离叫________．集合P＝{m|||mF1|－|mF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a&gt;0，c&gt;0；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点的轨迹是________；当________时，P点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1y2a2－x2b2＝1图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点顶点坐标：A1，A2顶点坐标：A1，A2渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b23.实轴长和虚轴长相等的双曲线为________________，其渐近线方程为________，离心率为________．自我检测．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是A．2B．22c．4D．422．已知双曲线x22－y2b2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P在该双曲线上，则PF1→&#8226;PF2→等于A．－12B．－2c．0D．43．设直线l过双曲线c的一个焦点，且与c的一条对称轴垂直，l与c交于A，B两点，|AB|为c的实轴长的2倍，则c的离心率为A.2B.3c．2D．34．已知点在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．5．已知A，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．探究点一双曲线的定义及应用例1 已知定点A，B，c，以c为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．变式迁移1 已知动圆m与圆c1：2＋y2＝2外切，与圆c2：2＋y2＝2内切，求动圆圆心m的轨迹方程．探究点二求双曲线的标准方程例2 已知双曲线的一条渐近线方程是x－2y＝0，且过点P，求双曲线的标准方程．变式迁移2 已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．探究点三双曲线几何性质的应用例3 已知双曲线的方程是16x2－9y2＝144.求此双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程；设F1和F2是双曲线的左、右焦点，点P在双曲线上，且|PF1|&#8226;|PF2|＝32，求∠F1PF2的大小．变式迁移3 已知双曲线c：x22－y2＝1.求双曲线c的渐近线方程；已知m点坐标为，设P是双曲线c上的点，Q是点P关于原点的对称点．记λ＝mP→&#8226;mQ→，求λ的取值范围．方程思想的应用例过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2且倾斜角为30°的直线交双曲线于A、B两点，o为坐标原点，F1为左焦点．求|AB|；求△AoB的面积；求证：|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.多角度审题要求弦长|AB|需要A、B两点坐标或设而不求利用弦长公式，这就需要先求直线AB；在的基础上只要求点到直线的距离；要充分联想到A、B两点在双曲线上这个条件．【答题模板】解由双曲线的方程得a＝3，b＝6，∴c＝a2＋b2＝3，F1，F2．直线AB的方程为y＝33．设A，B，由y＝33&#61480;x－3&#61481;x23－y26＝1，得5x2＋6x－27＝0.[2分]∴x1＋x2＝－65，x1x2＝－275，∴|AB|＝1＋k2|x1－x2|＝1＋332&#8226;&#61480;x1＋x2&#61481;2－4x1x2＝43&#8226;3625＋1085＝1635.[4分]解直线AB的方程变形为3x－3y－33＝0.∴原点o到直线AB的距离为d＝|－33|&#61480;3&#61481;2＋&#61480;－3&#61481;2＝32.[6分]∴S△AoB＝12|AB|&#8226;d＝12×1635×32＝1235.[8分]证明如图，由双曲线的定义得|AF2|－|AF1|＝23，|BF1|－|BF2|＝23，[10分]∴|AF2|－|AF1|＝|BF1|－|BF2|，即|AF2|＋|BF2|＝|AF1|＋|BF1|.[12分]【突破思维障碍】写出直线方程，联立直线方程、双曲线方程，消元得关于x的一元二次方程，利用弦长公式求|AB|，再求点o到直线AB的距离从而求面积，最后利用双曲线的定义求证等式成立．【易错点剖析】在直线和双曲线相交的情况下解题时易忽视消元后的一元二次方程的判别式Δ&gt;0，而导致错解．．区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中a，b，c 的大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2；双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈．2．双曲线x2a2－y2b2＝1的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1的渐近线方程是y＝±abx.3．双曲线标准方程的求法：定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数．一、选择题．已知m、N，|Pm|－|PN|＝3，则动点P的轨迹是A．双曲线B．双曲线左边一支c．双曲线右边一支D．一条射线2．设点P在双曲线x29－y216＝1上，若F1、F2为双曲线的两个焦点，且|PF1|∶|PF2|＝1∶3，则△F1PF2的周长等于A．22B．16c．14D．123．过双曲线x2a2－y2b2＝1的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线Fm，交y轴于点P.若m为线段FP的中点，则双曲线的离心率为A.2B.3c．2D.54．双曲线x2a2－y2b2＝1的左焦点为F1，左、右顶点分别为A1、A2，P是双曲线右支上的一点，则分别以PF1和A1A2为直径的两圆的位置关系是A．相交B．相离c．相切D．内含5．已知双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线均和圆c：x2＋y2－6x＋5＝0相切，且双曲线的右焦点为圆c的圆心，则该双曲线的方程为A.x25－y24＝1B.x24－y25＝1c.x23－y26＝1D.x26－y23＝1二、填空题6．设m是常数，若点F是双曲线y2m－x29＝1的一个焦点，则m＝________.7．设圆过双曲线x29－y216＝1的一个顶点和一个焦点，圆心在此双曲线上，则此圆心到双曲线中心的距离为______．8．已知以双曲线c的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线c的离心率为________．三、解答题9．根据下列条件，求双曲线方程：与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且经过点；与双曲线x216－y24＝1有公共焦点，且过点．10．设圆c与两圆2＋y2＝4，2＋y2＝4中的一个内切，另一个外切．求圆c的圆心轨迹L的方程；已知点m，F，且P为L上动点，求||mP|－|FP||的最大值及此时点P的坐标．1．已知定点A，F，定直线l：x＝12，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍．设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、c两点，直线AB、Ac分别交l于点m、N.求E的方程；试判断以线段mN为直径的圆是否过点F，并说明理由．学案52 双曲线自主梳理．双曲线焦点焦距a&lt;c 双曲线a＝c 两条射线a&gt;c 3.等轴双曲线y＝±x e＝2自我检测．c [∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．c3．B [设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．5．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.课堂活动区例1 解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以c，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|cA|＝2a，|FB|＋|cB|＝2a．所以|FA|＋|cA|＝|FB|＋|cB|.所以|FA|－|FB|＝|cB|－|cA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1．变式迁移1 解设动圆m的半径为r，则由已知得，|mc1|＝r＋2，|mc2|＝r－2，∴|mc1|－|mc2|＝22，又c1，c2，∴|c1c2|＝8.∴22&lt;|c1c2|.根据双曲线定义知，点m的轨迹是以c1、c2为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点m的轨迹方程是x22－y214＝1．例2 解题导引根据双曲线的某些几何性质求双曲线方程，一般用待定系数法转化为解方程，但要注意焦点的位置，从而正确选取方程的形式，当焦点不能定位时，则应分两种情况讨论．解决本题的方法有两种：一先定位，避免了讨论；二利用其渐近线的双曲线系，同样避免了对双曲线方程类型的讨论．在共渐近线的双曲线系x2a2－y2b2＝λ中，当λ&gt;0时，焦点在x轴上；当λ&lt;0时，焦点在y轴上．解方法一∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，当x＝4时，y＝2&lt;yp＝3，∴双曲线的焦点在y轴上．从而有ab＝12，∴b＝2a.设双曲线方程为y2a2－x24a2＝1，由于点P在此双曲线上，∴9a2－164a2＝1，解得a2＝5.∴双曲线方程为y25－x220＝1.方法二∵双曲线的一条渐近线方程为x－2y＝0，即x2－y＝0，∴双曲线的渐近线方程为x24－y2＝0.设双曲线方程为x24－y2＝λ，∵双曲线过点P，∴424－32＝λ，即λ＝－5.∴所求双曲线方程为x24－y2＝－5，即y25－x220＝1.变式迁移2 y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.例3 解题导引双曲线问题与椭圆问题类似，因而研究方法也有许多相似之处，如利用“定义”“方程观点”“直接法或待定系数法求曲线方程”“数形结合”等．解由16x2－9y2＝144，得x29－y216＝1，∴a＝3，b＝4，c＝5.焦点坐标F1，F2，离心率e＝53，渐近线方程为y＝±43x.||PF1|－|PF2||＝6，cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝&#61480;|PF1|－|PF2|&#61481;2＋2|PF1||PF2|－|F1F2|22|PF1||PF2|＝36＋64－10064＝0，∴∠F1PF2＝90°.变式迁移3 解因为a＝2，b＝1，且焦点在x轴上，所以渐近线方程为y－22x＝0，y＋22x＝0.设P点坐标为，则Q的坐标为，λ＝mP→&#8226;mQ→＝&#8226;＝－x20－y20＋1＝－32x20＋2.∵|x0|≥2，∴λ的取值范围是2＋y2＝4，∴圆心为c．又渐近线方程与圆c相切，即直线bx－ay＝0与圆c相切，∴3ba2＋b2＝2，∴5b2＝4a2.①又∵x2a2－y2b2＝1的右焦点F2为圆心c，∴a2＋b2＝9.②由①②得a2＝5，b2＝4.∴双曲线的标准方程为x25－y24＝1.]6．16解析由已知条件有52＝m＋9，所以m＝16.7.163 8.629．解方法一由题意可知所求双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1，由题意，得ba＝43，&#61480;－3&#61481;2a2－&#61480;23&#61481;2b2＝1，解得a2＝94，b2＝4.所以双曲线的方程为49x2－y24＝1.方法二设所求双曲线方程x29－y216＝λ，将点代入得λ＝14，所以双曲线方程为x29－y216＝14，即49x2－y24＝1.设双曲线方程为x2a2－y2b2＝1.由题意c＝25.又双曲线过点，∴&#61480;32&#61481;2a2－4b2＝1.又∵a2＋b2＝2，∴a2＝12，b2＝8.故所求双曲线的方程为x212－y28＝1.0．解设圆c的圆心坐标为，半径为r.圆2＋y2＝4的圆心为F1，半径为2，圆2＋y2＝4的圆心为F，半径为2.由题意得|cF1|＝r＋2，|cF|＝r－2或|cF1|＝r－2，|cF|＝r＋2，∴||cF1|－|cF||＝4.∵|F1F|＝25&gt;4.∴圆c的圆心轨迹是以F1，F为焦点的双曲线，其方程为x24－y2＝1.由图知，||mP|－|FP||≤|mF|，∴当m，P，F三点共线，且点P在mF延长线上时，|mP|－|FP|取得最大值|mF|，且|mF|＝&#61480;355－5&#61481;2＋&#61480;455－0&#61481;2＝2.直线mF的方程为y＝－2x＋25，与双曲线方程联立得y＝－2x＋25，x24－y2＝1，整理得15x2－325x＋84＝0.解得x1＝14515，x2＝655.此时y＝－255.∴当||mP|－|FP||取得最大值2时，点P的坐标为．1．解设P，则&#61480;x－2&#61481;2＋y2＝2x－12，化简得x2－y23＝1．①当直线Bc与x轴不垂直时，设Bc的方程为y＝k，与双曲线方程x2－y23＝1联立消去y，得x2＋4k2x－＝0.由题意知，3－k2≠0且Δ＞0.设B，c，则x1＋x2＝4k2k2－3，x1x2＝4k2＋3k2－3，y1y2＝k2＝k2x1x2－2&#61480;x1＋x2&#61481;＋4＝k24k2＋3k2－3－8k2k2－3＋4＝－9k2k2－3.因为x1，x2≠－1，所以直线AB的方程为y＝y1x1＋1．因此m点的坐标为12，3y12&#61480;x1＋1&#61481;，Fm→＝－32，3y12&#61480;x1＋1&#61481;.同理可得FN→＝－32，3y22&#61480;x2＋1&#61481;.因此Fm→&#8226;FN→＝－32×－32＋9y1y24&#61480;x1＋1&#61481;&#61480;x2＋1&#61481;＝94＋－81k2k2－344k2＋3k2－3＋4k2k2－3＋1＝0.②当直线Bc与x轴垂直时，其方程为x＝2，则B，c．AB的方程为y＝x＋1，因此m点的坐标为12，32，Fm→＝－32，32.同理可得FN→＝－32，－32.因此Fm→&#8226;FN→＝－32×－32＋32×－32＝0.综上，Fm→&#8226;FN→＝0，故Fm⊥FN. 故以线段mN为直径的圆过点F.。

第二节双曲线一、选择题1．(2009年全国卷Ⅱ)双曲线x 26－y 23＝1的渐近线与圆(x －3)2＋y 2＝r 2(r ＞0)相切，则r ＝( )A.3 B ．2 C ．3 D ．62．(2009年江西卷)设F 1和F 2为双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，若F 1、F 2、P (0,2b )是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )A.32 B ．2 C.52D ．3 3．(2009年福建卷)若双曲线x 2a 2－y 23＝1(a ＞0)的离心率为2，则a 等于( )A ．2 B. 3 C.32D ．14．(2008年重庆卷)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的一条渐近线为y ＝kx (k＞0)，离心率e ＝5k ，则双曲线方程为( )A.x 2a 2－y 24a 2＝1B.x 2a 2－y 25a 2＝1 C.x 24b 2－y 2b 2＝1 D.x 25b 2－y 2b2＝1 5．“ab ＜0”是“曲线ax 2＋by 2＝1为双曲线”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分又不必要条件 二、填空题6．(2008年上海春招)已知P是双曲线x2a2－y29＝1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x－y＝0.设F1、F2分别为双曲线的左、右焦点．若||PF2＝3，则||PF1＝______.7．(2008年海南宁夏卷)双曲线x29－y216＝1的右顶点为A，右焦点为F.过点F平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点B，则△AFB的面积为__________．8．已知F1、F2分别是双曲线x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是________．三、解答题9．已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．(1)求双曲线方程；(2)若点M(3，m)在双曲线上，求证：MF1⊥MF2；(3)求△F1MF2的面积．10．(2009年上海卷)双曲线C：x22－y2＝1，设过A(－32，0)的直线l的方向向量e＝(1，k)．(1)当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；(2)证明：当k＞22时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到达直线l的距离为 6.参考答案1．解析：由圆心到渐近线的距离等于r ，可求r ＝ 3. 答案：A2．解析：由tan π6＝c 2b ＝33有3c 2＝4b 2＝4(c 2－a 2)，则e ＝ca ＝2，故选B .答案：B3．解析：由x 2a 2－y 23＝1可知虚半轴b ＝3，而离心率e ＝ca ＝a 2＋3a＝2，解得a ＝1或a ＝－1(舍去)，选D .答案：D4．解析：e ＝ca＝5k ?⎩⎪⎨⎪⎧b a＝k ca ＝5ka 2＋b 2＝c2, 所以a 2＝4b 2.答案：C5．解析：由ab ＜0，得a>0，b ＜0或a ＜0，b>0.由此可知a 与b 符号相反，则方程表示双曲线，反之亦然． 答案：C6．解析：由题知a ＝1，故||PF 1－|PF 2|＝2， ∴|PF 1|＝|PF 2|＋2＝3＋2＝5. 答案：57．解析：双曲线的右顶点坐标A(3,0)，右焦点坐标F(5,0)，设一条渐近线方程为y ＝43x ，建立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝43?x －5?x 29－y 216＝1，得交点纵坐标y ＝－3215，从而S △AFB ＝12×2×3215＝3215.答案：32158．解析：∵△ABF 2是等腰三角形，顶角为∠AF 2B. ∴△ABF 2是锐角三角形?12∠AF 2B ＜45°?b 2a 2c ＜tan 45°.由b 22ac＜1?c 2－a 2＜2ac ?e 2－2e －1＜0 ?0＜e ＜1＋2，又e ＞1，∴e 的取值范围是：(1,1＋2)． 答案：(1,1＋2)9．解析：(1)由e ＝2?ca ＝2?c 2＝2a 2?a 2＝b 2.设双曲线方程为x 2－y 2＝λ， 将点(4，－10)代入得：λ＝6， 故所求双曲线方程为x 2－y 2＝6. (2)∵c 2＝12，∴焦点坐标为(±23，0) 将M(3，m)代入x 2－y 2＝4得：m 2＝3. 当m ＝3时，MF 1→＝(－23－3，－3)， MF 2→＝(23－3，－3) ∴MF 1→·MF 2→＝(－3)2－(23)2＋(－3)2＝0， ∴MF 1⊥MF 2，当m ＝－3时，同理可证MF 1⊥MF 2. (3)S △F 1MF 2＝12·|2c|·|m|＝12·43·3＝6. 10．解析：(1)双曲线C 的渐近线m ：x 2±y ＝0. ∴直线l 的方程x±2y ＋32＝0 ∴直线l 与m 的距离d ＝321＋2＝ 6.(2)证明：法一：设过原点且平行与l 的直线b ：kx －y ＝0， 则直线l 与b 的距离d ＝32|k|1＋k2当k ＞22时，d ＞ 6. 又双曲线C 的渐近线为x±2y ＝0， ∴双曲线C 的右支在直线b 的右下方，∴双曲线C 右支上的任意点到直线l 的距离大于 6.故在双曲线C 的右支上不存在点Q ，使之到直线l 的距离为 6. 法二：双曲线C 的右支上存在点Q(x 0，y 0)到直线l 的距离为6，则⎩⎨⎧|kx 0－y 0＋32k|1＋k 2＝6， ①x 20－2y 20＝2， ②由①得y 0＝kx 0＋32k±6·1＋k 2， 设t ＝32k±6·1＋k 2.当k＞22，t＝32k±6·1＋k2＞0.将y0＝kx0＋t代入②得(1－2k2)x20－4ktx0－2(t2＋1)＝0(*)∵k＞22，t＞0，∴1－2k2＜0，－4kt＜0，－2(t2＋1)＜0∴方程(*)不存在正根，即假设不成立．故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l的距离为 6.。

解析几何—双曲线一、学习目标知识与技能：了解圆锥曲线的实际背景，感受圆锥曲线在解决实际问题时的应用。

过程与方法：掌握双曲线的定义、标准方程及简单的几何性质。

情感态度价值观：理解数形结合的思想，了解椭圆的简单应用。

二、学习重难点重点：双曲线的定义的灵活应用、利用标准方程研究几何性质，尤其是离心率求值问题。

难点：双曲线的综合问题三、考纲解读：掌握双曲线的定义、标准方程,能够根据条件利用待定系数法求双曲线方程. 四、知识链接1.共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线系方程可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)，若λ>0，则双曲线的焦点在 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在 轴上．2.双曲线的形状与e 的关系：∵双曲线渐近线的斜率k ＝ba ＝c 2－a 2a＝c 2a2－1＝e 2－1，∴e 越大，则渐近线的斜率的绝对值就越大，这时双曲线的形状就从扁狭逐渐变得开阔．故双曲线的离心率越大，它的开口就越宽阔．3. 双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 ，而双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线方程为 应注意其区别与联系．4．平行于双曲线的渐近线的直线与双曲线有且仅有 个交点． 五、基础检测A1．已知()()3,0,3,0,6M N PM PN --=，则动点P 的轨迹是（ ） A ．一条射线B ．双曲线右支C ．双曲线D ．双曲线左支【答案】A 因为6PM PN MN -==，故动点P 的轨迹是一条射线：0,3y x =≥A2．若12,F F 分别是双曲线2211620x y-=的左、右焦点,P 为双曲线C 上一点,且19PF =,则2PF 的长为( )A ．1B ．17或1C ．17D ．12【答案】C 因为194610PF a c =<+=+=,所以P 必在双曲线左支上, :212248PF PF a -==⨯=,又19PF =,所以298PF -=,解得:217PF =,A3．若00(,)P x y 是双曲线22124x y -=左支上一点，则0x 的取值范围是_____【答案】(,-∞六、学习过程B1．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，O 为坐标原点，P 是双曲线上在第一象限内的点，直线PO 、2PF 分别交双曲线C 左、右支于另一点M 、N ，122PF PF =，且260MF N ∠=，则双曲线C 的离心率为（ ）A B CD 【答案】B122PF PF =，122PF PF a -=，14PF a ∴=，22PF a =.连接1MF 、2MF ，根据双曲线的对称性可得12MF PF 为平行四边形，260MF N ∠=o Q ，1260F PF ∴∠=，由余弦定理可得2224164242cos60c a a a a =+-⋅⋅⋅o ，c ∴=，ce a∴== B2．已知△ABP 的顶点A 、B 分别为双曲线的左右焦点，顶点P 在双曲线C 上，则sin sin sin A BP-的值等于（ ）AB C ．54D ．45【答案】D 由题意得双曲线22:1169x y C -=得4a =, 3b =,根据双曲线的定义得:28PB PA a -==‖,又210AB c ===, 从而由正弦定理,得sin sin 4sin 5PB PA A B P AB --==‖，B4．双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，且过点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若直线:1l y kx =+与双曲线C 左支交于,A B 两点，求k 的取值范围；【答案】（1）2212y x -=；（2） （1）因为双曲线C 与双曲线2212y x -=有共同的渐近线，所以设双曲线C 的方程为222y x λ-=，把点代入C中，即(22λ-=，解得λ1=-，所以双曲线C 的方程为2212y x -=.（2）联立22112y kx y x =+⎧⎪⎨-=⎪⎩，消去y 得：()222230k x kx ---=，①因为直线与双曲线左支有两个交点,A B ，设()()1122,,,A x y B x y ，且120,0x x <<，解不等式()2221221222041220202302k k k k x x k x x k ⎧-≠⎪+->⎪⎪⎨+=<⎪-⎪-⎪=>-⎩，解得：k k k ⎧<<⎪⎪≠⎨⎪>⎪⎩k <<B5．已知双曲线两个焦点分别是())12,F F，点)P在双曲线上.（1）求双曲线的标准方程;（2）过双曲线的右焦点2F 且倾斜角为60︒的直线与双曲线交于,A B 两点，求1F AB ∆的周长.【答案】（1）221x y -=；（2）12 （1）()22,0F，)P2P F x∴⊥轴 221b PF a∴==且c =又222c a b =+，即220a a +-=，解得：1a = 21b ∴=∴双曲线的标准方程为：221x y -=（2）由（1）知，双曲线渐近线为y x =，倾斜角为45 直线AB 过2F 且倾斜角为60 ,A B ∴均在双曲线的右支上122BF BF ∴-=，122AF AF -= 112244AF BF AF BF AB ∴+=++=+设直线AB方程为：y x =代入双曲线方程得：2270x -+=4AB ∴== 1F AB ∴∆的周长为：114212AF BF AB AB ++=+=七、达标检测A1．设1k >，则关于,x y 的方程()22211k x y k -+=-所表示的曲线是（ ）A ．长轴在y 轴上的椭圆B ．长轴在x 轴上的椭圆C ．实轴在y 轴上的双曲线D ．实轴在x 轴上的双曲线【答案】C ∵k ＞1，∴1+k >0，k 2-1＞0，方程()22211k x y k -+=-，即222111y x k k -=-+，表示实轴在y 轴上的双曲线，A2．已知双曲线的渐近线为2y x =±，实轴长为4，则该双曲线的方程为（ ） A ．22142x y -=B ．22142x y -=或22148y x -=C ．22148y x -=D ．22142x y -=或22148y x -=【答案】D双曲线的渐近线方程为2y x =±，实轴长为4，24a ∴=，则2a =，∴当双曲线的焦点在x 轴上时，设双曲线方程为22214x y b -=，0b >，此时2b =b =∴双曲线方程为22142x y -=，当双曲线的焦点在y 轴上时，设双曲线方程为22214y x b-=，0b >，此时22b =，解得b =22148x y -=． B3．已知双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线与圆22(2)3x y -+=相切，则m =（ ）A ．1B C ．2D ．3【答案】A 双曲线22:1(04)4x y C m m m-=<<-的渐近线方程为y =将y =0= 由双曲线的渐近线0±=与圆22(2)3x y -+==解得1m = C4．设分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存在一点使得则该双曲线的离心率为( ) A ．B ．C ．D ．3【答案】B 因为是双曲线上一点，所以，又所以，，所以又因为，所以有，，即解得：（舍去），或；所以，所以B5．设双曲的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为( )A B C ．12D ．12【答案】D设该双曲线方程为2222100x ya ba b-=（＞，＞），可得它的渐近线方程为by xa=±，焦点为F（c，0），点B（0，b）是虚轴的一个端点，∴直线FB的斜率为FBb bkc c-==--，∵直线FB与直线by xa=互相垂直，1b bc a∴-⨯=-,2b ac∴=,22222b c a c a ac=-∴-=，,210e e∴--=,e∴=,。

2014届高三数学一轮复习 双曲线双基限时训练 理（含解析）巩固双基,提升能力一、选择题1．(2012·大纲全国)已知F 1、F 2为双曲线C ：x 2－y 2＝2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|＝2|PF 2|，则cos ∠F 1PF 2＝( )A.14B.35C.34D.45 解析：依题意得a ＝b ＝2，∴c ＝2. ∵|PF 1|＝2|PF 2|，设|PF 2|＝m ，则|PF 1|＝2m . 又|PF 1|－|PF 2|＝22＝m . ∴|PF 1|＝42，|PF 2|＝2 2. 又|F 1F 2|＝4，∴cos ∠F 1PF 2＝422＋222－422×42×22＝34.故选C. 答案：C2．(2012·湖南)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1的焦距为10，点P (2,1)在C 的渐近线上，则C 的方程为( )A.x 220－y 25＝1 B.x 25－y 220＝1 C.x 280－y 220＝1 D.x 220－y 280＝1 解析：设焦距为2c ，则得c ＝5.点P (2,1)在双曲线的渐近线y ＝±b ax 上，得a ＝2b .结合c ＝5，得4b 2＋b 2＝25，解得b 2＝5，a 2＝20，所以双曲线方程为x 220－y 25＝1.答案：A3．(2012·课标全国)等轴双曲线C 的中心在原点，焦点在x 轴上，C 与抛物线y 2＝16x 的准线交于A ，B 两点，|AB |＝43，则C 的实轴长为( )A. 2 B ．2 2 C ．4 D ．8解析：设等轴双曲线方程为x 2－y 2＝a 2，根据题意，得抛物线的准线方程为x ＝－4，代入双曲线的方程得16－y 2＝a 2，因为|AB |＝43，所以16－(23)2＝a 2，即a 2＝4，所以2a ＝4，所以选C.答案：C4．(2012·福建)已知双曲线x 24－y 2b2＝1的右焦点与抛物线y 2＝12x 的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于( )A. 5 B ．4 2 C ．3 D ．5解析：y 2＝12x 的焦点为(3,0)，由题意得，4＋b 2＝9，b 2＝5，双曲线的右焦点(3,0)到其渐近线y ＝52x 的距离d ＝|5×3－0|5＋4＝ 5. 答案：A5．(2012·浙江)如图，F 1，F 2分别是双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a ，b ＞0)的左、右焦点，B是虚轴的端点，直线F 1B 与C 的两条渐近线分别交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M .若|MF 2|＝|F 1F 2|，则C 的离心率是( )A.233 B.62C. 2D. 3 解析：依题意得直线F 1B 的方程为y ＝bcx ＋b ，M 点坐标为(3c,0)，那么可知线段PQ 的垂直平分线的方程为y ＝－c b(x －3c )，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝bc x ＋b ，y ＝－ba x ，解得点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－ac a ＋c ，bc a ＋c ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝bc x ＋b ，y ＝ba x ，解得点Q 的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫ac c －a ，bc c －a ，那么可得线段PQ 的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2c b 2，c 2b ，代入y ＝－c b (x －3c )并整理，可得2c 2＝3a 2，可得e ＝c a ＝32＝62，故应选B. 答案：B6．已知椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)与双曲线C 2：x 2－y 24＝1有公共的焦点，C 2的一条渐近线与以C 1的长轴为直径的圆相交于A ，B 两点．若C 1恰好将线段AB 三等分，则( )A ．a 2＝132B ．a 2＝13 C ．b 2＝12D ．b 2＝2解析：依题意a 2－b 2＝5，根据对称性，不妨取一条渐近线y ＝2x ，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x ，x 2a 2＋y 2b2＝1，解得x ＝±ab 4a 2＋b 2，故被椭圆截得的弦长为25ab 4a 2＋b 2，又C 1把AB 三等分，所以25ab4a 2＋b2＝2a 3，两边平方并整理得a 2＝11b 2，代入a 2－b 2＝5得b 2＝12，故选C. 答案：C 二、填空题7．(2012·江苏)在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线x 2m －y 2m 2＋4＝1的离心率为5，则m 的值为______．解析：由题意，双曲线的焦点在x 轴上且m ＞0，所以e ＝m 2＋m ＋4m＝5，所以m ＝2.答案：28．(2013·山东泰安调研)P 为双曲线x 2－y 215＝1右支上一点，M 、N 分别是圆(x ＋4)2＋y 2＝4和(x －4)2＋y 2＝1上的点，则|PM |－|PN |的最大值为__________．解析：已知两圆圆心(－4,0)和(4,0)(记为F 1和F 2)恰为双曲线x 2－y 215＝1的两焦点．当|PM |最大，|PN |最小时，|PM |－|PN |最大，|PM |最大值为P 到圆心F 1的距离|PF 1|与圆F 1半径之和，同样|PN |最小＝|PF 2|－1，从而|PM |－|PN |的最大值为|PF 1|＋2－(|PF 2|－1)＝|PF 1|－|PF 2|＋3＝2a ＋3＝5.答案：59．(2012·湖北)如图，双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ，b ＞0)的两顶点为A 1，A 2，虚轴两端点为B 1，B 2，两焦点为F 1，F 2.若以A 1A 2为直径的圆内切于菱形F 1B 1F 2B 2，切点分别为A ，B ，C ，D .则(1)双曲线的离心率e ＝__________.(2)菱形F 1B 1F 2B 2的面积S 1与矩形ABCD 的面积S 2的比值S 1S 2＝__________. 解析：(1)由图可知，点O 到直线F 1B 2的距离d 与圆O 的半径OA 1相等， 又直线F 1B 2的方程为x －c ＋yb ＝1，即bx －cy ＋bc ＝0.所以d ＝bc b 2＋c2＝a ，整理得b 2(c 2－a 2)＝a 2c 2，即(c 2－a 2)2＝a 2c 2，得c 2－a 2＝ac . 所以e 2－e －1＝0，解得e ＝5＋12(负值舍去)． (2)连接OB (图略)，设BC 与x 轴的交点为E ，由勾股定理得|BF 1|＝c 2－a 2＝b . 由等面积法得|BE |＝|F 1B ||OB ||F 1O |＝abc，则|OE |＝|OB |2－|BE |2＝a 2c.进一步得到S 2＝2|OE |·2|EB |＝4a 3bc2.又因为S 1＝12|F 1F 2||B 1B 2|＝2bc ，所以S 1S 2＝c 32a 3＝12e 3＝5＋22.答案：(1)5＋12；(2)5＋22三、解答题10．(2013·安徽质检)已知点M 是圆B ：(x ＋2)2＋y 2＝12上的动点，点A (2,0)，线段AM 的中垂线交直线MB 于点P .(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)若直线l ：y ＝kx ＋m (k ≠0)与曲线C 交于R ，S 两点，D (0，－1)，且有|RD |＝|SD |，求m 的取值范围．解析：(1)由题意得|PM |＝|PA |，结合图形得||PA |－|PB ||＝|BM |＝23，∴点P 的轨迹是以A ，B 为焦点的双曲线，且2a ＝23，a ＝3，c ＝2，于是b ＝1，故P 点的轨迹C 的方程为x 23－y 2＝1.(2)当k ≠0时，由⎩⎪⎨⎪⎧x 23－y 2＝1，y ＝kx ＋m ，得(1－3k 2)x 2－6kmx －3m 2－3＝0，(*)由直线与双曲线交于R ，S 两点，显然1－3k 2≠0，Δ＝(6km )2－4(1－3k 2)(－3m 2－3)＝12(m 2＋1－3k 2)＞0，设x 1，x 2为方程(*)的两根，则x 1＋x 2＝6km1－3k 2，设RS 的中点为M (x 0，y 0)，则x 0＝3km 1－3k 2，y 0＝kx 0＋m ＝m1－3k2， 故线段RS 的中垂线方程为y －m1－3k 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－1k ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －3km 1－3k 2. 将D (0，－1)代入化简得4m ＝3k 2－1，故m ，k 满足⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋1－3k 2＞0，4m ＝3k 2－1.消去k 2即得m 2－4m ＞0，即得m ＜0或m ＞4， 又4m ＝3k 2－1≥－1，且3k 2－1≠0， ∴m ≥－14，且m ≠0，∴m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪(4，＋∞)． 11．(2013·云南检测)双曲线S 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率e ＝62，直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433. (1)求双曲线S 的方程；(2)设经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线与双曲线S 交于A ，B 两点，且以A ，B ，P (0,1)为顶点的△ABP 是以AB 为底的等腰三角形，求k 的值．解析：(1)根据已知设双曲线S 的方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵e ＝c a ＝62，∴c ＝62a ，b 2＝c 2－a 2＝a 22.∴双曲线S 的方程可化为x 2－2y 2＝a 2，∵直线3x －3y ＋5＝0上的点与双曲线S 的右焦点的距离的最小值等于433，右焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫62a ，0， ∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪3×6a 2＋523＝433，解方程得a ＝ 2.∴双曲线S 的方程为x 2－2y 2＝2.(2)经过点(－2,0)，斜率等于k 的直线的方程为y ＝k (x ＋2)． 根据已知设A (x 1，kx 1＋2k )，B (x 2，kx 2＋2k )，则AB 的中点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，k x 1＋x 2＋4k 2，△ABP 是以AB 为底的等腰三角形⇔PM ⊥AB .①如果k ＝0，直线y ＝k (x ＋2)与双曲线S 交于(－2，0)，(2，0)两点，显然满足题目要求．②如果k ≠0，由PM ⊥AB 得k ×k PM ＝－1. ∵k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2，∴k ×k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝－1.由⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2y 2＝2，y ＝k x ＋2得(1－2k 2)x 2－8k 2x －8k 2－2＝0.根据已知得⎩⎪⎨⎪⎧1－2k 2≠0，Δ＝64k 4＋41－2k28k 2＋2＝16k 2＋8＞0，∴k ≠±22. ∵x 1＋x 2＝8k21－2k2，∴k PM ＝k x 1＋x 2＋4k －2x 1＋x 2＝2k 2＋2k －14k2.∴k ×k PM ＝k ×2k 2＋2k －14k 2＝2k 2＋2k －14k ＝－1，即2k 2＋6k －1＝0， 解方程得k 1＝－3－112，k 2＝－3＋112.综上，k ＝－3－112，或k ＝0，或k ＝－3＋112.12．(2012·上海)在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C 1：2x 2－y 2＝1.(1)过C 1的左顶点引C 1的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；(2)设斜率为1的直线l 交C 1于P 、Q 两点．若l 与圆x 2＋y 2＝1相切，求证：OP ⊥OQ ； (3)设椭圆C 2：4x 2＋y 2＝1.若M 、N 分别是C 1、C 2上的动点，且OM ⊥ON ，求证：O 到直线MN 的距离是定值．解析：(1)双曲线C 1：x 212－y 2＝1，左顶点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0，渐近线方程为：y ＝±2x .过点A 与渐近线y ＝2x 平行的直线方程为y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋22，即y ＝2x ＋1. 解方程组⎩⎨⎧y ＝－2x ，y ＝2x ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－24，y ＝12.∴所求三角形的面积为S ＝12|OA ||y |＝28.(2)证明：设直线PQ 的方程是y ＝x ＋b ， ∵直线PQ 与已知圆相切，∴|b |2＝1，即b 2＝2. 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋b ，2x 2－y 2＝1，得x 2－2bx －b 2－1＝0.设P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝2b ，x 1x 2＝－1－b 2.又y 1y 2＝(x 1＋b )(x 2＋b )， ∴OP →·OQ →＝x 1x 2＋y 1y 2＝2x 1x 2＋b (x 1＋x 2)＋b 2＝2(－1－b 2)＋2b 2＋b 2＝b 2－2＝0. 故OP ⊥OQ .(3)证明：当直线ON 垂直于x 轴时，|ON |＝1，|OM |＝22，则O 到直线MN 的距离为33. 当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为y ＝kx ⎝ ⎛⎭⎪⎫显然|k |＞22， 则直线OM 的方程为y ＝－1kx .由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，4x 2＋y 2＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝14＋k 2，y 2＝k24＋k 2，∴|ON |2＝1＋k 24＋k 2.同理|OM |2＝1＋k 22k 2－1. 设O 到直线MN 的距离为d . ∵(|OM |2＋|ON |2)d 2＝|OM |2|ON |2，∴1d 2＝1|OM |2＋1|ON |2＝3k 2＋3k 2＋1＝3，即d ＝33. 综上，O 到直线MN 的距离是定值．。

课时规范练49 双曲线基础巩固组1.(2018河北衡水中学适应性考试,3)已知双曲线=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,则双曲线的标准方程为()A.=1B.=1C.x2-=1D.=12.(2018全国3,文10)已知双曲线C=1(a>0,b>0)的离心率为,则点(4,0)到C的渐近线的距离为()A.B.2 C.D.23.双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,过F1作x轴的垂线交双曲线于A,B两点,若∠AF2B<,则双曲线离心率的取值范围是()A.(1,)B.(1,)C.(1,2)D.(,3)4.(2018湖北华中师范大学第一附属中学押题,6)已知F1,F2分别是双曲线C=1(a>0,b>0)的左、右焦点,若点F2关于双曲线C的一条渐近线的对称点为M,且|F1M|=3,则双曲线C的实轴长为()A. B.3 C. D.35.已知M(x0,y0)是双曲线C-y2=1上的一点,F1,F2是C的两个焦点.若<0,则y0的取值范围是()A.-B.-C.-D.-6.(2018湖北省调研,6)已知双曲线C-y2=1(a>0)的一条渐近线方程为x+2y=0,F1,F2分别是双曲线C的左、右焦点,点P在双曲线C上,且|PF1|=5,则|PF2|=()A.1B.3C.1或9D.3或77.已知双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点为F,点A在双曲线的渐近线上,△OAF是边长为2的等边三角形(O 为原点),则双曲线的方程为()A.=1B.=1C.-y2=1D.x2-=18.已知点F1,F2是双曲线C=1(a>0,b>0)的左、右焦点,O为坐标原点,点P在双曲线C的右支上,且满足|F1F2|=2|OP|,|PF1|≥3|PF2|,则双曲线C的离心率的取值范围为()A.(1,+∞)B.,+∞C.1,D.1,9.(2018湖北省冲刺,14)平面内,线段AB的长度为10,动点P满足|PA|=6+|PB|,则|PB|的最小值为.10.已知方程=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是.11.若点P是以A(-3,0),B(3,0)为焦点,实轴长为2的双曲线与圆x2+y2=9的一个交点,则|PA|+|PB|= .综合提升组12.已知直线l与双曲线-y2=1相切于点P,l与双曲线两条渐近线交于M,N两点,则的值为()A.3B.4C.5D.与P的位置有关13.(2018四川成都双流中学模拟,11)若F(c,0)是双曲线=1(a>b>0)的右焦点,过F作该双曲线一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点,O为坐标原点,△OAB的面积为,则该双曲线的离心率e=()A. B. C. D.14.在平面直角坐标系xOy中,双曲线-y2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P,Q,其焦点是F1,F2,则四边形F1PF2Q的面积是.115.(2018四川梓潼中学模拟二,16)若双曲线=1(a>0,b>0)上存在一点P满足以|OP|为边长的正三角形的面积等于c2(其中O为坐标原点,c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率的取值范围是.创新应用组16.已知F1,F2是椭圆与双曲线的公共焦点,M是它们的一个公共点,且|MF1|>|MF2|,线段MF1的垂直平分线过点F2,若椭圆的离心率为e1,双曲线的离心率为e2,则的最小值为()A.6B.3C. D.参考答案课时规范练49 双曲线1.D由双曲线-=1(m>0)的虚轴长是实轴长的2倍,可得2=,解得m=2,所以双曲线的标准方程是-=1.故选D.2.D∵双曲线C的离心率为,∴e==,即c=a,a=b.∴其渐近线方程为y=±x,则(4,0)到c的渐近线距离d==2.3.A由题意,将x=-c代入双曲线的方程,得y2=b2-1=,∴|AB|=.∵过焦点F1且垂直于x轴的弦为AB,∠AF2B<,∴tan∠AF2F1=<,e=>1.∴<,e-<.解得e∈(1,),故选A.4.B设F2M的中点为N,坐标原点为O,则ON=|F1M|=,∵点F2到渐近线的距离为b,∴+b2=c2,∴c2-b2=,∴a2=,∴a=,∴2a=3.故双曲线的实轴长为3,故选B.5.A由条件知F1(-,0),F2(,0),∴=(--x0,-y0),=(-x0,-y0),∴·=+-3<0.①又-=1,∴=2+2.代入①得<,∴-<y0<.6.C由双曲线的方程及其渐近线方程可得=⇒a=2,因为c2=a2+b2=4+1=5,所以c=,所以c-a=-2<1,由双曲线的定义可得||PF2|-5|=4,所以|PF2|=1或9,故选C.7.D∵双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(c,0),点A在双曲线的渐近线上,且△OAF是边长为2的等边三角形,不妨设点A在渐近线y=x上,∴解得∴双曲线的方程为x2-=1.故选D.8.C由|F1F2|=2|OP|,可得|OP|=c,则△PF1F2为直角三角形,且PF1⊥PF2,可得|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,由双曲线定义可得|PF1|-|PF2|=2a.又|PF1|≥3|PF2|,所以|PF2|≤a,所以(|PF2|+2a)2+|PF2|2=4c2,化为(|PF2|+a)2=2c2-a2,即有2c2-a2≤4a2,可得c≤a,由e=>1可得1<e≤,故选C.29.2因为|PA|=6+|PB|,所以|PA|-|PB|=6<|AB|,因此动点P在以A,B为左、右焦点的双曲线的右支上,a=3,c=5.从而|PB|的最小值为c-a=2.10.(-1,3)因为双曲线的焦距为4,所以c=2,即m2+n+3m2-n=4,解得m2=1.又由方程表示双曲线得(1+n)(3-n)>0,解得-1<n<3,11.2不妨设点P在双曲线的右支上,则|PA|>|PB|.因为点P是双曲线与圆的交点,所以由双曲线的定义知,|PA|-|PB|=2,又|PA|2+|PB|2=36,所以2|PA|·|PB|=16,所以(|PA|+|PB|)2=|PA|2+|PB|2+2|PA|·|PB|=52,所以|PA|+|PB|=2.12. A取点P(2,0),则M(2,1),N(2,- 1),∴·=4-1=3.取点P(-2,0),则M(-2,1),N(-2,-1),∴·=4-1=3.故选A.13.C设∠AOF=α⇒tan α==,tan 2α==,所以BA=×OB=,所以△OAB的面积为×OB×AB==××a⇒12(a2-b2)=7ab,解得=,所以该双曲线的离心率e=.故选C.14.2该双曲线的右准线方程为x==,两条渐近线方程为y=±x,得P,,Q,-,又c=,所以F1(-,0),F2(,0),四边形F1PF2Q的面积S=2×=2.15.[2,+∞)由题意,以|OP|为边长的正三角形,所以其面积为S=|OP|·|OP|sin 60°=|OP|2,由点P为双曲线上一点,得|OP|≥a,所以S=|OP|2≥a2,又因为以|OP|为边长的正三角形的面积等于c2,所以c2≥a2,得≥2,即e≥2,所以双曲线的离心率的取值范围是[2,+∞).16.A设椭圆方程为+=1(a1>b1>0),双曲线方程为-=1(a2>0,b2>0).∵线段MF1的垂直平分线过点F2,∴|F1F2|=|F2M|=2c.又|F1M|+|F2M|=2a1,|F1M|-|F2M|=2a2,∴|F1M|+2c=2a1,|F1M|-2c=2a2.两式相减得a1-a2=2c,∴+=+===4++≥4+2=6,当且仅当=时等号成立,∴+的最小值为6.3。

高考数学一轮复习-第章-解析几何-第课时-双曲线（一）练习-理————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：第7课时 双曲线(一)1.双曲线ｘ２３6-ｍ2-错误!＝1(0<m<3)的焦距为（ )Ａ.6 B ．12C.36 ﻩＤ.236－２ｍ2答案 B解析 c 2=36－m 2＋m 2=36，∴c=6．双曲线的焦距为12．2．双曲线８k ｘ2－ky 2＝８的一个焦点是(0,3)，则ｋ的值是( ） A.1B.-1Ｃ.＼f(＼r （65),3) ﻩD ．－错误!答案 B 解析 ｋx 2－错误!＝1,焦点在ｙ轴上，c=3，解得k ＝－1.3．已知双曲线x ２a2－错误!=1(a>0)的离心率为２，则a ＝( ）A.2B.错误!C ．＼r(5)２ ﻩD.１答案 D解析 因为双曲线的方程为错误!－错误!＝１，所以e 2=1＋错误!＝４,因此ａ2＝１，a ＝1．选D.4.(2017·北京西城期末）mn<０是方程错误!＋错误!＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的（ )A.充分而不必要条件 ﻩB ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 ﻩＤ.既不充分也不必要条件 答案 B解析 当m ｎ<0时,分m<０,n>0和m ＞0，ｎ<0两种情况． ①当m ＜0，ｎ>0时，方程错误!＋错误!=1表示焦点在y 轴上的双曲线；②当ｍ>０，n<0时,方程＼f(ｘ２,ｍ)+错误!＝1表示焦点在x 轴上的双曲线．因此,当mn<０时,方程错误!+错误!=１不一定表示实轴在x 轴上的双曲线.方程＼f(x 2,ｍ）+＼f(y 2,n)=1表示实轴在ｘ轴上的双曲线时，m ＞0,ｎ<0，必定有ｍn<0.由此可得:m ｎ<0是方程错误!+错误!＝1表示实轴在x 轴上的双曲线的必要而不充分条件.故选B.5．(201７·河北邢台摸底)双曲线ｘ２－4ｙ2=-1的渐近线方程为( ）A.x±2y＝0 B．ｙ±2x＝0C．x±4y＝０D．y±4ｘ=0答案 A解析依题意,题中的双曲线即错误!－x2=1,因此其渐近线方程是错误!-x2＝0，即x±２ｙ=0，选A.6.（201８·湖北孝感一中月考)设点P是双曲线＼f(x2,a２）-错误!=1（a>0,b>0)上一点,F１，F2分别是双曲线的左、右焦点,已知ＰF1⊥ＰF2,且|PF1|=２｜PF２|，则双曲线的一条渐近线方程是( )A.ｙ=＼r(2)x ﻩB．y=错误!xC．ｙ＝2ｘD．y＝４x答案 C解析由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝２a，又|PF1|=2|ＰF2|，得|PF2|＝2a,|ＰF1｜＝４a.在Ｒt△ＰF1F2中，|F１F2|2=|PＦ１｜2＋|PF2｜2,∴4c2＝16a2+４a2，即c2=5a2,则ｂ２=4ａ2,即b=2a,则双曲线＼f(ｘ2,a２) -＼ｆ（y2,ｂ2)＝1的一条渐近线方程为y=2x．故选C.7．（20１８·安徽屯溪一中模拟）已知双曲线的离心率为错误!,且其顶点到其渐近线的距离为错误!,则双曲线的方程为( ）A.＼f(x2,3)-错误!＝1B.错误!-错误!＝1Ｃ.错误!－错误!＝1或错误!-错误!＝1ﻩＤ.错误!-错误!＝1或错误!－错误!=1答案 D解析当焦点在x轴上时,设双曲线方程为＼ｆ(x2,a2)-ｙ2ｂ２＝1(ａ＞０,ｂ＞0)．双曲线的离心率为e=错误!=错误!＝错误!＝错误!,∴错误!＝错误!,渐近线方程为y＝±错误!x＝±错误!x．由题意，顶点到渐近线的距离为错误!=错误!，解得a＝2，∴b＝3,∴双曲线的方程为错误!-错误!=1.当焦点在y轴上时，设双曲线方程为错误!-错误!=1(a>0,b＞0)．双曲线的离心率为e＝错误!=错误!＝错误!,∴b a=错误!，渐近线方程为y=±错误!x =±错误!x,由题意可知：顶点到渐近线的距离为错误!=错误!，解得a ＝２,∴b ＝错误!，∴双曲线的方程为错误!-错误!＝1.综上可知,双曲线的方程为x 2４-y 23＝1或＼f(y 2,４)-＼ｆ(ｘ2,3）＝１．故选Ｄ．8.已知点Ｆ１，F 2分别是双曲线ｘ2a2-错误!＝1(a>0，b>0)的左、右焦点,过点F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A,B 两点,若△AＢF ２是锐角三角形,则该双曲线离心率的取值范围是（ ) A ．(１,３) ﻩB.(错误!,2错误!)Ｃ.(1＋错误!,+∞) ﻩD.（1，1＋错误!)答案 D解析 依题意,0<∠AF 2F 1<错误!,故０<ta ｎ∠A Ｆ２F １<1,则错误!＝错误!<1，即e －错误!＜2，e 2-２e －１<0,(e-１）2<２，所以1<e ＜1+２，故选D.９．已知双曲线mx 2－ｎy 2=1(m>0,ｎ＞0)的离心率为2,则椭圆m ｘ２+ny ２＝１的离心率为( ） Ａ.＼f(1,2) ﻩＢ.错误!Ｃ.＼f(3，３) D.23３答案 B解析 由已知双曲线的离心率为2,得错误!=２.解得m ＝3n.又m>0,ｎ>0，∴ｍ＞n,即１n>错误!．故由椭圆mx 2+n ｙ2＝1,得错误!＋错误!＝1.∴所求椭圆的离心率为ｅ=错误!＝错误!=错误!.10．已知双曲线的方程为错误!－错误!=１(ａ>0，b>0),双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离为错误!c（ｃ为双曲线的半焦距长)，则双曲线的离心率为( )A．错误!Ｂ.错误!C.错误!D.错误!答案 B解析双曲线错误!-错误!＝1的渐近线为错误!±错误!=0,焦点A(c,０）到直线bx－ａy ＝0的距离为错误!=错误!c,则c2-ａ2=错误!c２,得e2=错误!,e＝错误!,故选Ｂ.１1．(2018·成都市高三二诊)设双曲线Ｃ:＼f(x2,ａ2)-ｙ２b2＝1(a>0,b>０）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F２为直径的圆与双曲线左支的一个交点为Ｐ．若以OF1(Ｏ为坐标原点）为直径的圆与PF2相切，则双曲线C 的离心率为( )A.＼r（2) B．错误!C. 3 Ｄ.错误!答案 D解析如图，在圆Ｏ中，F１F2为直径，Ｐ是圆O上一点，所以PF1⊥ＰＦ2,设以OＦ1为直径的圆的圆心为Ｍ,且圆M与直线PF２相切于点Q，则M（－错误!，0)，ＭQ⊥ＰF2，所以PF1∥MQ,所以＼f（|MQ｜，｜PF1|)＝错误!，即错误!=错误!，可得｜PF1|=错误!,所以|ＰF2|=错误!＋2a，又|ＰF1|2＋|PF２|２=｜F1F2|２,所以错误!＋(错误! +2a)2=４c2，即７ｅ2－６ｅ-９＝0,解得e＝错误!,ｅ=错误!（舍去）．故选D.12．(２０18·贵阳市高三检测)双曲线x2a2-＼f(y2,b2)=1(ａ＞0,b＞０)的两条渐近线将平面划分为“上、下、左、右”四个区域(不含边界),若点（2,１)在“右”区域内,则双曲线离心率e的取值范围是( ) A.(1，错误!) B．(错误!,+∞)C.(1,错误!) Ｄ.(错误!，+∞)答案Ｂ解析依题意,注意到题中的双曲线错误!－错误!＝１的渐近线方程为y＝±错误!x,且“右”区域是不等式组错误!所确定,又点（2，１)在“右”区域内,于是有1<错误!，即错误!＞12,因此题中的双曲线的离心率e=错误!∈（错误!，＋∞）,选B.1３.已知曲线方程＼f(x 2，λ+2)－y2λ+1＝1,若方程表示双曲线，则λ的取值范围是＿_______.答案 λ<－2或λ>-1 解析 ∵方程错误!－错误!=1表示双曲线,∴(λ+2)(λ+1)＞0，解得λ<－2或λ>-1.１4．(201６·北京)已知双曲线＼f(x 2,a ２)-错误!=1（a ＞0,b>0)的一条渐近线为2x+y ＝0,一个焦点为（＼r(5)，０）,则a ＝_______＿;b ＝_＿__＿__＿． 答案 1 2解析 由题意知,渐近线方程为y=-2x ，由双曲线的标准方程以及性质可知bａ＝2，由c=错误!,c 2＝ａ2＋b 2，可得b=2，a=1.15．(2015·课标全国Ⅱ,文)已知双曲线过点（4，３)，且渐近线方程为y=±错误!x,则该双曲线的标准方程为_＿＿_____． 答案错误!-y 2=1解析 方法一:因为双曲线过点(4，３)，且渐近线方程为y ＝±＼f(1,２)x ，故点（4,错误!)在直线y＝＼f(１,２)ｘ的下方.设该双曲线的标准方程为错误!-错误!＝1(a>０，b>0),所以错误!解得错误!故双曲线方程为错误!－y 2=1.方法二:因为双曲线的渐近线方程为y ＝±错误!x ，故可设双曲线为错误!－ｙ2＝λ(λ>0),又双曲线过点（4，错误!），所以错误!－(错误!)２＝λ,所以λ＝1，故双曲线方程为错误!－y 2=1.16．（2０18·湖南长沙模拟)P 是双曲线C:ｘ22－y ２=１右支上一点,直线l 是双曲线C 的一条渐近线，P 在l 上的射影为Ｑ,F 1是双曲线C 的左焦点，则|PF 1|＋｜PQ|的最小值为_______＿． 答案 2２+1解析 设右焦点为F 2,∵｜ＰF １|－｜ＰF 2|=22，∴|ＰＦ１|=|P Ｆ２|+2２，∴|P Ｆ1｜＋|ＰQ|＝｜PF ２｜＋2＼ｒ(２）＋|P Ｑ|.当且仅当Ｑ，P,Ｆ２三点共线,且Ｐ在F ２,Ｑ之间时,|PF 2｜+|PQ|最小,且最小值为F 2到l 的距离．由题意得l 的方程为y ＝±错误!x ，F ２(错误!，０)，F 2到ｌ的距离ｄ=1,∴|PQ|+|ＰＦ1|的最小值为2＼r （2)＋１.１7.如图所示，双曲线的中心在坐标原点,焦点在x 轴上,F 1，Ｆ2分别为左、右焦点,双曲线的左支上有一点P ，∠F 1ＰF 2=＼f(π，３）,且△ＰF 1Ｆ2的面积为2错误!,又双曲线的离心率为2，求该双曲线的方程. 答案 ３ｘ22-y 2２=１解析 设双曲线的方程为ｘ2a2－错误!=1，∴F 1(-c ，０),F 2(c,0）,P （x 0，y 0).在△PF １F 2中,由余弦定理,得|F 1F ２|２＝｜PF 1|2＋|P Ｆ2｜2－2|P Ｆ1|·｜PF 2|·ｃos 错误!＝(｜ＰF 1|－｜ＰF 2|)２+｜PF 1|·｜PF 2|. 即4ｃ2=４ａ2+|ＰF １｜·|PF 2｜. 又∵S△PF 1F ２=2错误!,∴12｜ＰF 1|·|PF 2｜·sin ＼ｆ(π,３)＝2错误!.∴|PF 1|·|PF 2|=8. ∴4c ２＝4a 2＋8，即b 2=2. 又∵ｅ＝错误!＝2,∴a 2=错误!.∴所求双曲线方程为错误!－错误!＝1.18．（２018·上海崇明一模)已知点Ｆ1，F ２为双曲线C:ｘ2－＼f （y ２,ｂ2)=1的左、右焦点，过F 2作垂直于x 轴的直线，在x 轴上方交双曲线C 于点M ，∠ＭF 1F 2=30°． （1)求双曲线C 的方程;（2)过双曲线C 上任意一点P 作该双曲线两条渐近线的垂线,垂足分别为Ｐ１,Ｐ２,求错误!·错误!的值．答案 (１)x 2－y22＝1 （2)错误!解析 （１）设F 2,M 的坐标分别为(错误!，0)，(错误!，ｙ0)(y 0>0），因为点M 在双曲线C 上,所以1+b 2－错误!＝1,则ｙ0＝b 2，所以｜ＭF 2|＝b 2.在Rt △MＦ2Ｆ1中,∠M Ｆ1Ｆ2=3０°，|MF 2|＝ｂ２,所以|MF 1｜=２b 2. 由双曲线的定义可知：|M Ｆ1|－|MF 2|=b 2＝2, 故双曲线Ｃ的方程为x 2－＼f(y ２,2)＝１． (2)由条件可知:两条渐近线分别为ｌ1：错误!ｘ－y=０，l ２:错误!x ＋y=0.设双曲线C 上的点P(x 0,y 0)两条渐近线的夹角为θ，由题意知c ｏs θ=错误!.则点P 到两条渐近线的距离分别为|PP 1|＝错误!,|PP 2|=错误!．因为P(ｘ０，y 0)在双曲线C ：x 2-y 22＝１上,所以２x ０2－y 02＝2.所以PP １→·错误!＝错误!·错误!c ｏs θ=错误!·错误!=错误!.1．（２０15·广东,理)已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ2－错误!=1的离心率ｅ=错误!，且其右焦点为F 2(5，0)，则双曲线C 的方程为( )A.＼f(x 2,４)－＼ｆ(y 2,3）＝1B.错误!-错误!＝１ C.＼ｆ(ｘ２,1６）-错误!＝1D ．错误!－错误!=1答案 C解析 因为双曲线C 的右焦点为F 2(５，0)，所以c ＝5. 因为离心率e=错误!=错误!，所以a=４.又a ２＋b 2=c 2，所以ｂ2=9. 故双曲线C 的方程为错误!-错误!=1.2.若双曲线＼ｆ(x ２，ａ2)－＼f(y 2,b 2）=1的离心率为＼r(３)，则其渐近线方程为( ） Ａ.y =±2x ﻩB ．y =±＼r(2)x Ｃ.y ＝±错误!x ﻩD ．y =±错误!ｘ答案 B 解析 由离心率为错误!，可知c=错误!a ，∴b=错误!a ．∴渐近线方程为y=±错误!x =±２x ，故选B.３．（2０15·天津,文)已知双曲线x 2a ２－＼ｆ(y ２，b 2)=1(a>０，ｂ>0）的一个焦点为F （２，0),且双曲线的渐近线与圆(ｘ－2)2+y 2=３相切，则双曲线的方程为( ) Ａ.错误!-错误!=1B.错误!－错误!＝1Ｃ．错误!－y 2＝1 ﻩD.x 2－错误!＝1答案 D解析 双曲线的一条渐近线方程为y=＼f(b,a ）ｘ,即ｂx-ay=０. 由题意,得错误!解得ａ2=1,ｂ２＝3,从而双曲线的方程为x ２－错误!=1.４.设Ｆ1,Ｆ2分别为双曲线错误!－错误!＝1(a>0，b ＞０)的左、右焦点,双曲线上存在一点P 使得|PF 1|＋|P Ｆ2|=3b,|ＰF １|·｜P Ｆ2|=错误!ａb ，则该双曲线的离心率为( )A.43ﻩB.错误!C.错误!Ｄ．3答案 B解析 由双曲线的定义，得｜|ＰF 1|-｜P Ｆ２||=2ａ.又|ＰF 1|＋|P Ｆ2|＝3b,所以(｜PF 1|+|ＰF 2|)2－(|PF １｜－｜PF 2|)2＝9ｂ2-４ａ２，即4|P Ｆ1｜·|PF ２|＝9b ２-4a 2.又4|ＰＦ1|·｜PF 2|＝9ab,因此9b 2-4a ２＝9ａb ，即9错误!错误!-错误!-4=０,则错误!错误!＝０,解得错误!＝错误!错误!,则双曲线的离心率e ＝错误!＝错误!.5.(２0１5·广东改编)已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F(３，0），离心率等于错误!，则Ｃ的方程是( ) A.错误!-错误!=１B.错误!-错误!=１C.x 22-y２５=1 Ｄ．x 22－＼ｆ(ｙ2,5）＝1答案 B解析 由曲线C 的右焦点为F （3,0)，知c ＝3. 由离心率ｅ＝错误!,知错误!＝错误!，则a=2.故b 2＝c 2－a 2=9－4＝５. 所以双曲线C 的方程为错误!－错误!＝１.６.（２０16·天津）已知双曲线ｘ24－ｙ２b ２=1(b ＞0),以原点为圆心,双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A ，B ，C ，Ｄ四点,四边形ＡBCD 的面积为2b,则双曲线的方程为( ) A ．错误!－错误!＝1B ．错误!－错误!＝１C.x2４-错误!=1D.错误!-错误!＝1答案 D解析 根据圆和双曲线的对称性,可知四边形A ＢCD 为矩形．双曲线的渐近线方程为ｙ=±＼ｆ(b ，2)x,圆的方程为x 2+y 2=4,不妨设交点A 在第一象限，由ｙ＝＼f （b ，2)ｘ,x ２＋y 2＝4得x A ＝错误!,ｙA=错误!,故四边形A ＢC Ｄ的面积为4x Ａy A =＼f （32b,4＋ｂ２)=2b ，解得b 2=12，故所求的双曲线方程为错误!-错误!＝1,选D.7.(2０１7·邯郸调研)已知F 为双曲线＼ｆ（x 2，a 2)-＼ｆ(ｙ2，b 2)＝1(a>０,ｂ＞0）的左焦点，ｃ为双曲线的半焦距，定点Ｇ（0，ｃ)，若双曲线上存在一点P 满足|PF|=｜PG|,则双曲线的离心率的取值范围是( ) A.(＼r(2)，+∞） ﻩＢ．(1，＼r(2）） C.［3,+∞) ﻩD.(１，3) 答案 A解析 若双曲线上存在点P 满足|PF|＝｜ＰG|，则必须满足FG 的中垂线与双曲线有交点，则P 是线段FG 中垂线与双曲线的交点,因为直线FG 的方程为ｙ=ｘ+c,所以线段F Ｇ中垂线的方程为ｙ＝-x,又双曲线的渐近线方程为y=±错误!x,则－错误!<-1，即错误!＞1，所以e=错误!>错误!,所以双曲线的离心率的取值范围为(错误!,+∞）．8.(２0１8·辽宁抚顺重点高中协作校一模)当双曲线M:x ２m 2-＼f(ｙ2,２ｍ+6)＝1（－2≤m<0）的焦距取得最小值时,双曲线Ｍ的渐近线方程为（ ) A ．y ＝±错误!ｘ ﻩB ．y =±错误!ｘC.ｙ=±2x ﻩD ．y ＝±错误!x答案 C解析 c 2＝m ２＋2ｍ+6＝（ｍ＋１)2+5≥５,当且仅当ｍ=－1时取等号,此时ａ2=m ２=1，b ２＝2m+6＝4，所以＼f(b ，a)=2,即双曲线的渐近线方程为y ＝±2ｘ,故选Ｃ.9．(2018·辽宁师大附中期中）如图,Ｆ1，Ｆ２是双曲线C ：＼ｆ(x ２,a 2)-错误!＝1（a>0,b ＞0)的左、右两个焦点.若直线y=ｘ与双曲线C 交于P ，Ｑ两点,且四边形PF 1QF ２为矩形,则双曲线的离心率为( ) A ．2＋ 2B ．2+错误!C.错误!D ．错误!答案 C解析 将y ＝x 代入x 2a2-＼f(y 2,b 2)＝1，可得x=±错误!．由矩形的对角线长相等，得错误!·错误!＝ｃ，∴2a 2ｂ2＝（ｂ２-a 2)c ２，∴2a 2（c 2-a 2)=（c 2-２a 2)ｃ２，∴2(e 2－1）=ｅ４-２e 2，∴e ４-4e 2+2＝０,又∵e>1，∴e 2=2＋错误!,e=错误!.故选C.１０.（201８·河南八市重点高中模拟）已知F １，F 2分别是双曲线x24-错误!＝1(b>0)的左、右焦点,Ｐ为双曲线上的一点，若∠F 1P Ｆ２＝120°，且△Ｆ1P Ｆ2的三边长成等差数列，则双曲线的渐近线的斜率是（ ） A ．±错误!B ．±错误!C ．±错误! ﻩD ．±错误!答案 D解析 不妨设P 点在第一象限,|PF 1|＝m,|PF ２|=ｎ，则由已知得错误!所以c ２-9c+14＝0，解得c=7或ｃ=2(舍去），由b 2＝c 2－ａ2得b ＝3５,则双曲线的渐近线的斜率是±错误!，故选D.１１．(2０１８·天津一中模拟）已知双曲线错误!－错误!=1(a>0，ｂ>０）的一条渐近线平行于直线ｌ:x ＋2y+5=０，且双曲线的一个焦点在直线l 上，则双曲线的方程为( ) A.错误!－错误!＝1 ﻩB.错误!-错误!＝１ C.错误!-错误!＝1 ﻩＤ.错误!-错误!＝１答案 A解析 因为双曲线＼f(x 2,a 2)-错误!＝1（a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线l ：x+2y ＋5=0,且双曲线的一个焦点在直线l 上,所以错误!得错误!所以双曲线的方程为错误!-错误!＝１.１2．(２018·兰州市高考诊断)已知F １,F 2为双曲线Ｃ:＼f(x 2,ａ2）－错误!=１(ａ>０,b>0)的左、右焦点，点Ｐ为双曲线C 右支上一点,直线PF 1与圆ｘ2+y 2＝ａ2相切，且|PF 2|=｜Ｆ1F 2|,则双曲线Ｃ的离心率为( ) Ａ．错误! ﻩB.错误!C.错误! ﻩD.2答案 C解析 设直线PF １与圆相切于点M ，∵|ＰF 2|=|Ｆ1F 2|，∴△ＰF 1F 2为等腰三角形，∴|Ｆ1Ｍ|=错误!｜P Ｆ１｜，∵在Ｒt △F 1M Ｏ(O 为坐标原点)中，|Ｆ１M|２＝|F 1O ｜2－ａ2=c 2－a ２，∴|Ｆ1M|=b ＝错误!|P Ｆ1|①，又｜PF 1|＝|PF 2｜＋2a=2ｃ＋2ａ②，c 2=a ２+ｂ2③，故由①②③得,ｅ=c ａ＝错误!.故选Ｃ.１3．（201８·福建漳州一中期中)已知双曲线错误!-错误!＝1(a>0，b>0）的左、右焦点分别为F １,F 2，若双曲线右支上存在一点P ，使得Ｆ2关于直线PF 1的对称点恰在y 轴上,则该双曲线的离心率e 的取值范围为( ) A.１<e<错误! ﻩB ．e>错误!C ．ｅ>错误! ﻩD.１<e<错误!答案 B解析 设点Ｆ2(ｃ,０），由于F ２关于直线PF 1的对称点M 恰在y 轴上,不妨设M 在y 轴正半轴上，由对称性可得,|MF 1|=|F 1F 2|＝２ｃ,则｜ＭＯ|=错误!=错误!ｃ，则∠MF 1Ｆ2＝60°，∠P Ｆ1Ｆ２=30°,设直线ＰＦ1:y=错误!(x ＋c)，代入双曲线方程，可得(3b 2-a 2)x 2-2ca ２x －a 2c ２－3a 2b 2＝0，则方程有两个异号实数根，则有3ｂ2-a 2>0，即有３ｂ２＝３c ２-3a 2>a 2,即c>23３a,则有e ＝＼f （c,a)>错误!．故选B.14.(2０16·课标全国Ⅰ）已知方程错误!-错误!＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4,则n 的取值范围是（ ) A.(-1，3) B.（－1,3) C.（0,3) Ｄ.(0，3)答案 A解析由题意得(m2+n)(3m2-n)＞0，解得－ｍ２<n<3m2，又由该双曲线两焦点间的距离为4，得m２+n＋３m2－n=4,即ｍ2＝１，所以－1＜n<3.1５．(20１7·济宁模拟)如图所示,正六边形ABCＤＥF的两个顶点Ａ,D为双曲线的两个焦点，其余4个顶点都在双曲线上,则该双曲线的离心率是( ）A．错误!＋1 ﻩB.错误!-１C.错误!D.错误!答案 A解析令正六边形的边长为m,则有｜AD｜=2m，｜AB|＝m，|BD|=错误!ｍ，该双曲线的离心率等于|AD|=错误!＝错误!+1.||AB|-|BD｜|1６.(2０13·全国Ⅰ)已知双曲线C：错误!-错误!＝１(a>0,b>0）的离心率为错误!，则C的渐近线方程为( ）A．ｙ=±错误!ｘ B.y＝±错误!xＣ．ｙ＝±＼ｆ（1,2）x ﻩＤ．y=±x答案 C解析∵ｅ=＼f(c,a)=错误!,∴e2＝错误!＝错误!＝错误!.∴a2=4b2，＼ｆ(b，a)=错误!．∴渐近线方程为ｙ=±错误!x.17．(2０18·山东滕州月考)已知双曲线错误!－错误!＝１的左、右焦点分别为F1，F２，若双曲线的左支上有一点M到右焦点F2的距离为18，N是MF2的中点，O为坐标原点，则|NO|等于( ）A.错误!ﻩＢ.1C．2 ﻩD.4答案 D解析由双曲线＼f（x2,2５)－＼f(y２，9)=1,知a＝5,由双曲线定义|MF2|-|MF１|＝２a＝１０，得|MＦ1|=8，∴|NＯ|=错误!|ＭＦ1|＝4．1８.(2０18·湖南六校联考)已知双曲线错误!-错误!=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F１、F2，以F1F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,４）,则此双曲线的方程为( )A.错误!-错误!＝1B.错误!－错误!＝1C.x 29-错误!＝1 ﻩＤ．错误!-错误!=1答案 C解析 由已知可得交点(3,4)到原点O 的距离为圆的半径，则半径ｒ=错误!＝5,故c ＝5,a 2＋b 2＝２５，又双曲线的一条渐近线y=＼f （b,ａ）x 过点(3，4),故3b ＝4a,可解得b=４,ａ＝３,故选C. 19.(2０１８·杭州学军中学模拟)过双曲线Ｃ１：错误!-错误!＝1(ａ>０，b>0)的左焦点F 作圆C 2：x 2+y 2=a 2的切线,设切点为M,延长ＦM 交双曲线C １于点N ．若点M 为线段FN 的中点,则双曲线C 1的离心率为( ) A ．错误! ﻩB.错误! Ｃ.错误!+１D ．错误!答案 A解析 设双曲线C 1的右焦点为Ｆ1.根据题意,得|FN|=２b ，|F 1N|=2a ．根据双曲线的定义得|FN|-|F 1N|=2ａ⇒ｂ=2a,则e ＝＼r(5).20．（2018·辽宁五校协作体月考)已知Ｆ1,F 2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点,若|PF 1|2|P Ｆ2|的最小值为8ａ,则双曲线的离心率ｅ的取值范围是( ) Ａ.(1,+∞）B.(1,2]C.(1，＼ｒ(3）] ﻩＤ.(１，３] 答案 D解析 设|PF 2|＝m （ｍ≥c－a)， 则根据双曲线的定义，得|ＰF 1|＝2ａ+m ． 所以错误!=错误!＝错误!＋4a ＋m≥8a ,当且仅当m=2ａ时等号成立.所以c －a≤２a,解得e≤３,所以1＜e≤3.故选D.21.（2０18·湖南衡阳一模)已知双曲线C ：＼f （ｘ2,3）－y 2＝1的左、右焦点分别为F １,F 2,过点Ｆ2的直线与双曲线C 的右支相交于P,Q 两点，且点P 的横坐标为２,则△ＰF 1Ｑ的周长为（ ) A.4错误! Ｂ.错误!C.5错误!D.错误!答案 D 解析 ∵错误!∴|ＰＦ1|+|PF 2|=错误!．∴△PF 1Q 的周长为2(｜P Ｆ１|＋|PF 2|)＝＼f(１６３，3),故选D.2２．设双曲线x 2a 2-＼f(y 2,b 2)＝1(0<a<b)的半焦距为c ，直线l 过（a ，0)，（0,b)两点,已知原点到直线l 的距离为错误!ｃ,则双曲线的离心率为( )A ．2 B. 3C. 2 ﻩＤ．错误!答案 Ａ解析 直角三角形斜边为c, 斜边上的高为a ｂc ＝错误!c,4ab=错误!c ２.结合0<a ＜ｂ得ab＝错误!.∴e=2.２３.（2018·河南郑州一中期中)已知直线x ＝＼f(ａ2,＼r(ａ2＋b 2))被双曲线错误!-错误!＝1(a＞0，ｂ>０)的两条渐近线所截得线段的长度恰好等于其一个焦点到渐近线的距离,则此双曲线的离心率为_＿______． 答案 2 解析 由已知可得错误!＝错误!,∴c=2a,∴e ＝错误!=２．２４．（2０１5·山东，文)过双曲线C ：错误!－错误!=1(a>0，b>0)的右焦点作一条与其渐近线平行的直线,交C 于点P.若点P 的横坐标为２a,则Ｃ的离心率为_＿_____＿. 答案 2+＼r(3)解析 设直线方程为y ＝＼ｆ(b,a)(ｘ－c)，由错误!得x=错误!，由错误!=2a,ｅ=错误!，解得ｅ＝２＋3(e ＝2-３舍去)．。

高三数学一轮复习——双曲线课时训练基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.(2019·郑州模拟)设双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )A.y ＝±12xB.y ＝±22xC.y ＝±2xD.y ＝±2x解析 因为2b ＝2，所以b ＝1，因为2c ＝23，所以c ＝3，所以a ＝c 2－b 2＝2，所以双曲线的渐近线方程为y ＝±b a x ＝±22x .答案 B2.双曲线C ：x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一个焦点为F ，过点F 作双曲线C 的一条渐近线的垂线，垂足为A ，且交y 轴于B ，若A 为BF 的中点，则双曲线的离心率为( )A. 2B. 3C.2D.62解析 由题易知双曲线C 的一条渐近线与x 轴的夹角为π4，故双曲线C 的离心率e ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－1＝ 2.答案 A3.(2018·全国Ⅲ卷)已知双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为2，则点(4，0)到C 的渐近线的距离为( )A. 2B.2C.322D.2 2 解析 法一 由离心率e ＝c a ＝2，得c ＝2a ，又b 2＝c 2－a 2，得b ＝a ，所以双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x .由点到直线的距离公式，得点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2.法二 离心率e ＝2的双曲线是等轴双曲线，其渐近线方程是y ＝±x ，∴点(4，0)到C 的渐近线的距离为41＋1＝2 2. 答案 D4.(2019·天津和平区一模)已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的离心率为32，过右焦点F 作渐近线的垂线，垂足为M .若△FOM 的面积为5，其中O 为坐标原点，则双曲线的方程为( )A.x 2－4y 25＝1B.x 22－2y 25＝1C.x 24－y 25＝1 D.x 216－y 220＝1 解析 由题意可知e ＝c a ＝32，可得b a ＝52，取一条渐近线为y ＝b a x ， 可得F 到渐近线y ＝b a x 的距离d ＝bca 2＋b 2＝b ，在Rt △FOM 中，由勾股定理可得|OM |＝|OF |2－|MF |2＝c 2－b 2＝a ，由题意可得12ab ＝5，联立⎩⎪⎨⎪⎧b a ＝52，12ab ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝5， 所以双曲线的方程为x 24－y 25＝1.答案 C5.已知F 2，F 1是双曲线y 2a 2－x 2b 2＝1(a >0，b >0)的上、下两个焦点，过F 1的直线与双曲线的上下两支分别交于点B ，A ，若△ABF 2为等边三角形，则双曲线的渐近线。

【导与练】（新课标）2016届高三数学一轮复习第8篇第4节双曲线课时训练理【选题明细表】基础过关一、选择题1.(2014福建晋江模拟)双曲线2x2-y2=8的实轴长是( C )(A)2 (B)2(C)4 (D)4解析:双曲线的标准方程为-=1,所以a=2,则实轴长是4.2.(2014湖南师大附中质检)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为( C )(A)4 (B)3 (C)2 (D)1解析:由题意得=,∴a=2.3.已知0<θ<,则双曲线C1:-=1与C2:-=1的( D )(A)实轴长相等(B)虚轴长相等(C)离心率相等(D)焦距相等解析:双曲线C1的半焦距c1==1,双曲线C2的半焦距c2==1,故选D.4.(2014福建福州模拟)双曲线-y2=1的顶点到渐近线的距离等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:双曲线的右顶点为(2,0),渐近线方程为x±2y=0,则顶点到渐近线的距离为=. 5.(2014高考湖北卷)设a,b是关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0的两个不等实根,则过A(a,a2),B(b,b2)两点的直线与双曲线-=1的公共点的个数为( A )(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析:关于t的方程t2cos θ+tsin θ=0有两个不等实根为0,-tan θ(tan θ≠0),则过A,B 两点的直线方程为y=-xtan θ,双曲线-=1的渐近线为y=±xtan θ,所以直线y=-xtan θ与双曲线没有公共点.6.(2014郑州模拟)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于( C )(A)(B)(C)(D)解析:由双曲线的定义有c=2,且|PF1|-|PF2|=|PF2|=2a=2,∴|PF1|=2|PF2|=4,则cos∠F1PF2===.7.(2014济南模拟)已知△ABP的顶点A、B分别为双曲线-=1的左、右焦点,顶点P在双曲线上,则的值等于( A )(A)(B)(C)(D)解析:在△ABP中,由正弦定理知====.8.(2014甘肃省张掖模拟)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点F,直线x=与其渐近线交于A,B两点,与x轴交于D点,且△ABF为钝角三角形,则离心率取值范围是( D )(A)(,+∞) (B)(1,)(C)(,+∞) (D)(1,)解析:易知A(,),若△ABF为钝角三角形,则∠AFB为钝角,即∠AFD>45°,所以在△ADF中,tan∠AFD==>1,解得1<e<.二、填空题9.(2014福建周宁一中、政和一中联考)双曲线-=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别是F1、F2,过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点,若MF2⊥x轴,则双曲线的离心率为.解析:由条件令|MF2|=m,|MF1|=2m,则|F1F2|=m,即2c=m,2a=|MF1|-|MF2|=2m-m=m,所以离心率e===.答案:10.(2013高考天津卷)已知抛物线y2=8x的准线过双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点,且双曲线的离心率为2,则该双曲线的方程为.解析:由抛物线y2=8x知其准线方程为x=-2.则双曲线中c=2,==2,a=1,b=.所以双曲线方程为x2-=1.答案:x2-=111.已知双曲线关于两坐标轴对称,且与圆x2+y2=10相交于点P(3,-1),若此圆过点P的切线与双曲线的一条渐近线平行,则此双曲线的方程为.解析:切点为P(3,-1)的圆x2+y2=10的切线方程是3x-y=10.∵双曲线的一条渐近线与此切线平行,且双曲线关于两坐标轴对称,∴两渐近线方程为3x±y=0.设所求双曲线方程为9x2-y2=λ(λ≠0).∵点P(3,-1)在双曲线上,代入上式可得λ=80,∴所求的双曲线方程为-=1.答案:-=1三、解答题12.(2015山东潍坊第一次质检)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,焦点到渐近线的距离等于,过右焦点F2的直线l交双曲线于A、B两点,F1为左焦点.(1)求双曲线的方程;(2)若△F1AB的面积等于6,求直线l的方程.解:(1)依题意,b=,=2⇒a=1,c=2,∴双曲线的方程为x2-=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由(1)知F2(2,0).易验证当直线l斜率不存在时不满足题意,故可设直线l:y=k(x-2),由消元得(k2-3)x2-4k2x+4k2+3=0,k≠±时,x1+x2=,x1x2=,y1-y2=k(x1-x2),△F1AB的面积S=c|y1-y2|=2|k|·|x1-x2|=2|k|·=12|k|·=6.得k4+8k2-9=0,则k=±1.所以直线l方程为y=x-2或y=-x+2.13.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点F1、F2在坐标轴上,且过点P(4,-).(1)求双曲线方程;(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:·=0.(1)解:设双曲线方程为x2-y2=λ(λ≠0).∵双曲线过点(4,-),∴16-10=λ,即λ=6,∴双曲线方程为x2-y2=6,即-=1.(2)证明:法一由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0),∴=,=,·==-.∵点M(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3.故·=-1,∴MF1⊥MF2,∴·=0.法二由(1)可知,双曲线中a=b=,∴c=2,∴F1(-2,0),F2(2,0).∵=(-2-3,-m),=(2-3,-m),∴·=(3+2)×(3-2)+m2=m2-3.∵点M在双曲线上,∴9-m2=6.∴m2=3,即m2-3=0,∴·=0.能力提升14.(2014浙江衢州模拟)过双曲线-=1(b>a>0)的左焦点F(-c,0)(c>0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为E,延长FE交抛物线y2=4cx于点P,O为坐标原点,若=(+),则双曲线的离心率为( D )(A)(B)(C)(D)解析:抛物线的焦点坐标为F2(c,0),准线方程为x=-c.圆的半径为a,=(+),所以E是FP的中点,又E是切点,所以OE⊥FP,连接PF2,则PF2⊥FP,且PF2=2a,所以OE=a,FE=b,PF=2b,过P作准线的垂线PM,则PM=PF2=2a,所以MF===2, 在直角三角形FPF2中,PF·PF2=FF2·MF,即2b·2a=2c·2,所以c2(b2-a2)=a2b2,即c2(c2-2a2)=a2(c2-a2),整理得c4-3a2c2+a4=0,即e4-3e2+1=0,解得e2==,根据题意舍去e2=,所以e2=,即e2===,所以e=.15.已知点P在曲线C1:-=1上,点Q在曲线C2:(x-5)2+y2=1上,点R在曲线C3:(x+5)2+y2=1上,则|PQ|-|PR|的最大值是.解析:依题意知P在曲线C1的左支上时|PQ|-|PR|取到最大值,|PQ|的最大值为|PC2|+1,|PR|的最小值为|PC3|-1,则|PQ|-|PR|的最大值是|PC2|+1-(|PC3|-1)=|PC2|-|PC3|+2=8+2=10.答案:1016.(2014高考湖南卷)如图,O为坐标原点,双曲线C1:-=1(a1>0,b1>0)和椭圆C2:+=1(a2>b2>0)均过点P(,1),且以C1的两个顶点和C2的两个焦点为顶点的四边形是面积为2的正方形.(1)求C1,C2的方程;(2)是否存在直线l,使得l与C1交于A,B两点,与C2只有一个公共点,且|+|=||?证明你的结论.解:(1)设C2的焦距为2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2.从而a1=1,c2=1.因为点P(,1)在双曲线x2-=1上,所以()2-=1.故=3.由椭圆的定义知2a2=+=2.于是a2=,=-=2.故C1,C2的方程分别为x2-=1,+=1.(2)不存在符合题设条件的直线.①若直线l垂直于x轴,因为l与C2只有一个公共点, 所以直线l的方程为x=或x=-.当x=时,易知A(,),B(,-),所以|+|=2,||=2.此时,|+|≠||.当x=-时,同理可知,|+|≠||.②若直线l不垂直于x轴,设l的方程为y=kx+m.由得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0.当l与C1相交于A,B两点时,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个实根,从而x1+x2=,x1x2=.于是y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2=.由得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0.因为直线l与C2只有一个公共点,所以上述方程的判别式Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0.化简,得m2=2k2+3.因此·=x1x2+y1y2=+=≠0,于是++2·≠+-2·,即|+|2≠|-|2.故|+|≠||.综合①,②可知,不存在符合题设条件的直线.探究创新17.(2015贵州省六校联盟联考)我们把焦点相同,且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”.已知F1、F2是一对相关曲线的焦点,P是它们在第一象限的交点,当∠F1PF2=60°时,这一对相关曲线中双曲线的离心率是.解析:设椭圆的半长轴为a1,椭圆的离心率为e1,则e1=,a1=.设双曲线的实半轴为a,双曲线的离心率为e,e=,a=.|PF1|=x,|PF2|=y(x>y>0),则由余弦定理得4c2=x2+y2-2xycos 60°=x2+y2-xy,当点P看作是椭圆上的点时,有4c2=(x+y)2-3xy=4-3xy,①当点P看作是双曲线上的点时, 有4c2=(x-y)2+xy=4a2+xy,②①②联立消去xy得4c2=+3a2, 即4c2=+3,所以+3=4,又因为=e,所以e2+=4,整理得e4-4e2+3=0,解得e2=3, 所以e=,即双曲线的离心率为.答案:。

卜人入州八九几市潮王学校]永昌县第一高三数学一轮复习双曲线课时训练一、选择题(每一小题7分，一共35分)1．焦点在x轴上的双曲线的渐近线方程是y＝±4x，那么该双曲线的离心率是()A. B. C. D.2．假设双曲线－＝1(a>0，b>0)的实轴长是焦距的，那么该双曲线的渐近线方程是() A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±2x3．假设椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，那么双曲线－＝1的渐近线方程为()A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±4x D．y＝±x4．假设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率是2，那么的最小值为()A. B. C．2 D．15．(2021·全国Ⅰ)F1、F2为双曲线C：x2－y2＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，那么·等于()A．2 B．4 C．6 D．8二、填空题(每一小题6分，一共24分)6．(2021·)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，那么点M到此双曲线的右焦点的间隔为________．7．中心在原点的双曲线C，过点P(2，)且离心率为2，那么双曲线C的HY方程为______________________．8．设点F1，F2是双曲线x2－＝1的两个焦点，点P是双曲线上一点，假设3|PF1|＝4|PF2|，那么△PF1F2的面积为________．9．P是以F1、F2为焦点的双曲线－＝1上一点，PF1⊥PF2，且tan∠PF1F2＝，那么此双曲线的离心率e＝________.三、解答题(一共41分)10．(13分)双曲线的渐近线方程为2x±3y＝0.(1)假设双曲线经过P(，2)，求双曲线方程；(2)假设双曲线的焦距是2，求双曲线方程；(3)假设双曲线顶点间的间隔是6，求双曲线方程．11．(14分)求适宜以下条件的双曲线的离心率．(1)双曲线的渐近线方程为y ＝±x ；(2)过焦点且垂直于实轴的弦与双曲线的交点与另一焦点的连线所成角为90°；(3)双曲线－＝1(0<a <b )的半焦距为c ，直线l 过(a,0)、(0，b )两点，且原点到直线l 的间隔为c .12．(14分)设A ，B 分别为双曲线－＝1(a >0，b >0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4，焦点到渐近线的间隔为.(1)求双曲线的方程；(2)直线233-=x y 与双曲线的右支交于M 、N 两点，且在双曲线的右支上存在点D ，使OD t ON OM =+,求t 的值及点D 的坐标．答案(1)∵双曲线过点P (，2)，∴－＝λ，λ＝－，故所求双曲线方程为y 2－x 2＝1. (2)假设λ>0，那么a 2＝9λ，b 2＝4λ. c 2＝a 2＋b 2＝13λ.由题设2c ＝2，∴λ＝1，所求双曲线方程为－＝1.假设λ<0，那么a 2＝－4λ，b 2＝－9λ，c 2＝a 2＋b 2＝－13λ. 由2c ＝2，∴λ＝－1，所求双曲线方程为－＝1.所求双曲线方程为－＝1或者－＝1.(3)假设λ>0，那么a2＝9λ，由题设2a＝6，∴λ＝1.所求双曲线方程为－＝1，假设λ<0，那么a2＝－4λ，由题设2a＝6，∴λ＝－，所求双曲线方程为－＝1.故所求双曲线方程为－＝1或者－＝1.方法二(1)由双曲线渐近线的方程y＝±x，可设双曲线方程为－＝1(mn>0)．∵双曲线过点P(，2)，∴m<0，n<0.又渐近线斜率k＝±，∴，解得，故所求双曲线方程为y2－x2＝1.(2)设双曲线方程为－＝1或者－＝1(a>0，b>0)．∵c2＝a2＋b2，∴13＝a2＋b2，由渐近线斜率得＝或者＝，故或者.解得或者.∴所求双曲线方程为－＝1或者－＝1.(3)由(2)所设方程可得或者，解得或者.故所求双曲线方程为－＝1或者－＝1.11.解(1)假设焦点在x轴上，那么＝，∴e＝＝；假设焦点在y轴上，那么＝，即＝，∴e＝＝.综上，双曲线的离心率为或者.(2)如下列图，∠AF1B＝90°，∴|F1F2|＝|AB|，∴2c＝，即＝，∴2e＝e2－1，即e2－2e－1＝0，∴e＝1＋(舍去负值)．因此离心率为1＋.(3)方法一由直线l过(a,0)、(0，b)两点，得直线l的方程为bx＋ay－ab＝0.由原点到直线l的间隔为c，得＝c.将b＝代入，平方后整理，32－16×＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0.即e2＝或者e2＝4，∴e＝或者e＝2，∵0<a<b，∴e＝＝＝>，∴离心率为2.方法二依题意得，直线l：bx＋ay－ab＝0.由原点到直线l的间隔为c，得＝c，即ab＝c2.∴16a2b2＝3(a2＋b2)2，即3b4－10a2b2＋3a4＝0，∴32－10＋3＝0，解得＝或者＝3.又0<a<b，∴＝3.∴e＝＝2.12.解(1)由题意知a＝2，∴一条渐近线为y＝x，即bx－2y＝0，∴＝，∴b2＝3，∴双曲线的方程为－＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)，那么x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0，将直线方程代入双曲线方程得x2－16x＋84＝0，那么x1＋x2＝16，y1＋y2＝12，∴∴∴t＝4，点D的坐标为(4，3)．。