2018全国高中数学联赛模拟试题13

2018年全国高中数学联赛浙江省预赛高三数学试题一、填空题1 1= 一-；—1 .已知a 为正实数，且 “1是奇函数，则⑷的值域为.1111 1 1 ― --- ----------- =- - + f （x ）=--— 由小）为奇函数可知a - + 19「+ 1,解得a= 2,即 22、由此得f （x ）的值域为। 2 2'.2018「2%1.3 ) 鼻二1 3- 5a +1£ 南满足］一 ，n*i- a (n=1, 2,…)，则 n = 1520198077【答案】16 16 【解析】【详解】1 / 八■ +［二5皆十1小二1+『5阿+1=%由4" 4"56故答案为：.2.设数列所以 2018V Lu1<-2c201S=不5 +5 +... + S20185x c 2018 1t=—行 口-162018 S 2019£07 71616(3n \小 4风0 E —cos(a + p)=3.已知 '4",56I 4.J 13,则【解析】【详解】%£ E (彳再)孙3 +位二Mi 7Tcos\p + —I = cos (a + 所以 sin(a + B)——，得.J71 a—4亡叫cr 一: 6二 - 13, 5665【解析】【详解】加索-34.在八个数字2, 4, 6, 7, 8, 11, 12, 13中任取两个组成分数.这些分数中有个既约分数.【答案】36【解析】【详解】在7, 11, 13中任取一个整数与在2, 4, 6, 8, 12中任取一个整数构成既约分数，共有3 5 种；在7, 11, 13中任取两个整数也构成既约分数，共有A3,6中.合计有36种不同的既约分数./ 1 ^2018 + (1/01S _5,已知虚数z满足P+1=Q,则上』H .【答案】I【解析】【详解】1 2018 上r , 3^72 2.1 之上[/ 1 \2018 + ( 1 JOIS _ 工 ,1 _(Z)- _ . . I _ 1I? - 1 l z _ 1 _ t2,2018 - t3,1345 _ z-所以^ .6.设明=1。

⎫ ⎩ ⎭⎪ + 2高中联赛模拟试题 1一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 设集合 A = {x -2 ≤ x < 5}， B = ⎧x 3a > 1．若 A B ≠∅ ，则实数 a 的取值范围是．⎨ x - 2a ⎬2.已知甲、乙两只盒子中装有相同规格的乒乓球，其中，甲盒中有三个白球和三个红球，乙盒中仅有三 个白球．若从甲盒中任取三个放入乙盒中，则从乙盒中任取一个是红球的概率是．2 c os 2⎛ 1 x - 1 ⎫- x 3.函数f ( x ) = ⎝ 2 2 ⎭ 的对称中心的坐标为 ．x - 1V + V 4.已知四棱锥 S - ABCD 的底面 ABCD 是平行四边形，O 是四棱锥内任意一点．则 四面体OSAB 四面体OSCD=V 四面体OSBC + V 四面体OSDA．5.在椭圆 x 2 = 1(a > b > 0) 中，记右顶点、上顶点、右焦点分别为 A , B , F ．若 ∠AFB = ∠BAF + 90 ，a b则椭圆的离心率为 ．6.平面上 n 个三角形最多把平面分成 部分．sin2π ⋅ sin 8π7.计算： 15 15 = ．cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos4π 5 5 58. 设复数 α, β ,γ , z 满足 α + β + γ = αβ + βγ + γα = αβγ = 1．则 α - z + β - z + γ - z 的最小值为 ．2y 2BB 1CC 1( )二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9.已知动直线 l 过定点 A (2, 0) 且与抛物线 y = x 2+ 2 交于不同的两点B ,C ．设 B , C 在 x 轴上的射影分别为 B 1 ,C 1 ． P 为线段 BC 上的点，且满足 PC ，求 ∆POA 的重心的轨迹方程．10. 设 f ( x ) = sin x ．已知当 x ∈[0,π ]时，有 sin x + 1 ≥ 2x + cos x ．证明： f ⎛ π ⎫ + f ⎛ 2π ⎫ + + f ⎛ (n + 1)π ⎫ 2n + 1⎪ 2n + 1⎪ 2n + 1 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭p11. 已知 p 为大于 3 的素数．求 ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数．k =1高中联赛模拟试题 1加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分一、（本题满分 40 分）已知a, b, c∈，且+ c = 0 ．证明：a = b = c = 0二、（本题满分 40 分）a2b2 b2c2 c2 a2 31)已知正实数a, b, c满足a2 + b2 + c2 = 1．证明：++≥．abc + c4abc + a4abc + b4 2三、（本题满分 50 分）已知圆Γ 内有两定点A 、B ，过A 作一动弦CD ，延长CB 、DB ，与圆Γ 分别交于点E 、F ．证明：弦EF 通过一个与C 、D 无关的定点．四、（本题满分 50 分）在80 座城市之间执行如下两种方式的飞行航线：（1）任意一座城市至少与七座城市有直航；（2）任意两座城市可以通过有限次直航来连接．求最小的正整数n ，使得无论如何安排满足条件的航线，任意一座城市到其他城市均最多可以经过n 次直航到达．C 3 3高中联赛模拟试题 1解答一试部分考试时间：80 分钟满分：120 分一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）1. 0 < a < 5或 -1 < a < 0 ．2解析：由题意可知 B = {x 2a < x < 5a , a > 0}⋃{x 5a < x < 2a , a < 0}． 又因为 A ⋂ B ≠ ∅ ， ⇒ 0 < 2a < 5或 - 2 < 2a < 0 ．2.1 ．4C k C 3-k 解析：由题设知乙盒中红球个数的可能值 ξ =0，1，2，3 ．故 P (ξ = k ) = 3 3(k = 0,1, 2,3)．从而得出6P ( A ) = ∑P (ξ = k )P ( A ξ = k ) = 1．k =04 3.(1, -1) ．解析：由题设知 f ( x ) = cos ( x -1) - 1 ．因为 g ( x ) = cos x为奇函数，其对称中心为 (0, 0) ，故 f ( x ) 的对称中心为 (1, -1) ．x -1 x4.1．解析：延长 SO 与底面 ABCD 交于点 X ．由底面 ABCD 是平行四边形，⇒ S ∆XAB + S ∆XCD = S ∆XBC + S ∆XDA ⇒ V 四面体OSAB + V 四面体OSCD = V 四面体OSBC + V 四面体OSDA5.5 -1 ．2解析：设左焦点为 F '．则由 ∠AFB = ∠BAF + 90 ⇒ ∠AF ' B + ∠BAF ' = 90 ⇒ AB ⊥ BF ' ．又 AB 2= a 2 + b 2 , BF ' 2= a 2 , AF ' 2= (a + c )2．由勾股定理知 a 2 + b 2 + a 2 = (a + c )2，由此， ⇒ c = a6.3n 2 - 3n + 2 ．解析：设 n 个三角形最多把平面分成 S n 个部分． S 1 = 2 ．因为任意一个三角形与另一个三角形至多有 6 个交点，这些交点将该三角形的周长分成至多 6(n - 1)1 12 2 0 0⎨ BB 1 CC 1 AB 1 AC 1 1 , ⎝ ⎭段，每一段将其所在平面一分为二，增加了 6(n - 1) 个部分．从而 S n - S n -1 = 6(n - 1)(n ≥ 2) ．7.-2 ． 解析：sin 2π ⋅ sin 8π8sin πsin 2π sin 8π4sin π ⎛cos 2π - cos 2π ⎫2⎛sin 3π - sin π ⎫ + 2sin π15 15515 15 5 5 3⎪ 5 5 ⎪5 cos π ⋅ cos 2π ⋅ cos 4π= cos 8π⎝ ⎭ = cos 8π ⎝ ⎭ ． sin 8π5 5 555 58.1 +解析：注意到 α, β ,γ 为一元三次方程 x 3 - x 2 + x -1 = 0 的根，从而可令α = i , β = -i ,γ = 1．在复平面上，⎫令 α, β ,γ 分别对应于点 A (0,1), B (0, -1),C (1, 0) ．当 z 取到 ∆ABC 的费马点⎪ 时取值最小． ⎪ ⎝ ⎭二、解答题（第 9 小题 16 分，第 10、11 小题 20 分，共 56 分）9. 当 l ⊥ x 轴时，直线 l 与抛物线不可能有两个交点． 故设直线l : y = k ( x - 2)． 与抛物线的方程联立得： x 2 - kx + 2k + 2 = 0 ．（1） 由 ∆ > 0 ⇒ k > 4 + 2 6或k < 4 - 2）设 B ( x , y ),C ( x , y ), P ( x , y ) ．则 ⎧x 1 + x 2 = k , （3）令 λ =CP= = = 2 - x 1 2 - x 2⎩x 1 x 2 = 2k + 2.（4）⎧ ⎪⎪x = 设重心 G ( x , y ) ．则 ⎨ (2 + x 0 ), 3 ．将式（2），（3），（4）代入，并注意到 y = k ( x- 2)得： 0 0⎪ y = y .⎪⎩ 3 0⎧x = 4 - 4k ⎪⎪ 3(4 - k ) ⎨⇒ 12x - 3y - 4 = 0 ．从而得 k = 4 y ，代入（2）式得： ⎪ y = ⎪⎩-4k 4 - k y - 44 y < 4 或 4 < y < 4 G 的轨迹方程为：3 3⎛ 12x - 3y - 4 = 0 4 -y < 4或4 < y < 4 ． 3 3 ⎪1- ，故⎝ ⎭3 ( ) ( ) 10. 由已知条件 ⇒ sin x - cos x ≥ 2 x -1 ⇒ ⎛ x - π ⎫ ≥ 2x -1 ．又当1 ≤ k ≤ n + 1时，0 ≤k π + π ≤ π ． π 4 ⎪ π 2n +1 4⎝ ⎭而 2 sin k π ≥ 2 ⎛ k π + π ⎫ -1 = 2k 12n + 1 π 2n +1 4 ⎪2n +1 2⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫ ⎛ (n + 1)π ⎫⎤ n +1 ⎛ 2k 1 ⎫ 3(n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪⎥ ≥ ∑ - ⎪ = ⎢⎣ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭⎥⎦ k =1 ⎝ 2n + 1 2 ⎭ 2 (2n +1)⎛ π ⎫ ⎛ 2π ⎫⎛ (n + 1)π ⎫ n + 1) f ⎪ + f ⎪ + + f⎪ ≥ ． ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1⎭ ⎝ 2n + 1 ⎭ 4(2n +1)11. 注意到 k ≠ 1时， k 2 + k + 1 =k-1 ．而当 k 取遍 2,3, , p 时，分母 k -1 取遍1, 2, , p -1． k -1由费马小定理， x p -1 ≡ 1(mod p ) 在1 ≤ x ≤ p 恰有 p -1 个解．（1）当 p ≡ 1(mod3 )时， x 3 -1 为 x p -1 -1 的因子，于是 x 3 -1 ≡ 0(mod p )在1 ≤ x ≤ p 内恰有三个解．于 是当 k 取遍 2,3, , p 时，分子 k 3 -1 中恰有两项为 p 的倍数，而分母不含 p 的因子． p故 ∏ k 2 + k + 1 ≡ 0(mod p ) ．k =1（2）当 p ≡ 2(mod 3)时，3 与 p -1 互素，于是存在整数 a ,b 使得 3a + ( p - 1)b = 1． 假设有一个 2 ≤ k ≤ p 满足k 3 ≡ 1(mod p ) ．由费马小定理得 k ≡ k 3a +( p -1)b≡ 1(mod p )，矛盾． 因此， x 3 -1≡ 0(mod p )只有 x ≡ 1(mod p ) 这一个解．故当 k 取遍1, 2, , p 时， k 3 除以 p 的余数两两不同，正好也取遍1, 2, , p ．从而当 k 取遍 2,3, , p 时， k 3 -1 除以 p 的余数取遍1, 2, , p -1．p3p p3故 ∏ k -1 ≡ 1(mod p ) ⇒ ∏ (k 2 + k + 1) ≡ 3 ∏ k -1≡ 3(mod p ) ．k =2 k -1 k =1 k =2 k -1p综上， ∏ k 2 + k + 1 除以 p 的余数为 0 或 3．k =1(( ) ( ) ( )) ( )t1一、（本题满分 40 分）加试部分考试时间：150 分钟满分：180 分显然， a , b , c 中有一个为 0，则其余两个也为 0． 下面假设 a , b , c 均不为 0．易证明：若 a , b , c 均为非 0 + c = 0 ；（1）d ,e ,f 均为非 0 有理数，且+ f = 0 ，则 a = b = c ．d e f（1+ 3a = 0 ；（1）式两边同时乘以+ 33b= 0 ． 于是， b = c = 3a= k ．（2）c 3a 3b由 a , b , c 均为非 0 有理数知其中必有两个同号．结合（2）式，知 a , b , c 同号．从而（1）式左边不为 0，矛盾． ⇒ a = b = c = 0 ．二、（本题满分 40 分）x 2 y 2 z 2令 a 2= yz ,b 2= zx , c 2= xy ．则 xy + yz + zx = 1．原式左边 = + x + yz y + zx z + xy．由柯西不等式得：⎛ x 2y 2 z 2 ⎫ 2+ + ⎪x + yz + y + zx + z + xy ≥ x + y + z ⎝ x + yz y + zx z + xy ⎭x 2 y 2 z 2( x + y + z )2( x + y + z )2⇒ + + ≥ = x + yz y + zx z + xy x + y + z + ( yz + zx + xy ) ． x + y + z + 1 由 ( x + y + z )2≥ 3( x y + yz + zx ) ⇒ x + y + z ≥t = x + y + z2 因为 f (t ) = (t + 1) + 2 ，在区间) 上单调递增，所以：t + 1 t + 1 331)原式左边 ≥ f (t ) ≥．2三、（本题满分 50 分）连结 AB 并延长与圆 Γ 交于点 G ， H ，与弦 EF 交于点 P ． 设 ∠ECD = ∠EFD = α,∠CDF = ∠CEF = β .由 S ∆ABC ⋅ S ∆PBF ⋅ S ∆ABD ⋅ S ∆PBE = 1 ，得AC ⋅ BC sin α ⋅ PB ⋅ FB ⋅ AD ⋅ BD sin β ⋅ PB ⋅ EB = 1．S ∆PBF S ∆ABD S ∆PBE S ∆ABC PF ⋅ BF sin α AB ⋅ DB PE ⋅ BE sin β AB ⋅ C B 整理得 PB 2 ⋅ AC ⋅ AD = AB 2 ⋅ PE ⋅ PF ．在圆 Γ 中，由相交弦定理得：PB 2 ⋅ AG ⋅ AH = AB 2⋅ PG ⋅ PH ．（1） 设 AB = a , PB = b , BG = c > a , BH = d > b ，其中， a , c , d 为常数， b 未定．则（1）式 ⇔ b 2 (c - a )(d + a ) = a 2 (d - b )(c + b ) ． 整理得 ((c - a )d + ac )b 2 + a 2 (c - d )b - a 2cd = 0 ．该二次方程的二次项系数与常数项符号相反，因此有且仅有一个正数解．故 b 是定值．即 BP 是定值． 从而无论 C , D 如何选取， EF 总是与 AB 交于一个固定点 P ．四、（本题满分 50 分）n 的最小值为 27． 若两座城市可以通过有限次直航来连接，称这两个城市”通航”． 首先证明： n ≤ 27 ．反证法：若 n ≥ 28 ，不妨设有两座城市 A 1 到 A 29 间至少经过 28 次到达．设城市 A 1 到 A 29 的一个最短连 接路线为 A 1 → A 2 → → A 29 ．因为每一座城市至少和七座城市通航，所以， A 1 , A 29 与除去 A 2 A 28 以外的至少六座城市通航，城市 A 2A 28 与除去 A 1A 29 以外的至少五座城市通航．设 A = {A 1 , A 2 , , A 29 } ．设分别与城市 A 1 , A 4 , A 7 , A 10 , A 13 , A 16 , A 19 , A 22 , A 25 , A 29 通航，且不属于 A 的所有城市 组成的集合为 X i (i = 0,1, , 9)．易知， X 0 ≥ 6, X 9 ≥ 6, X i ≥ 5(i = 1, 2, ,8) ． 又 X i ⋂ X j = ∅(i ≠ j ) ，否则，城市 A 1 , A 29 之间有更短的连接路线． 故 A ⋃ ( X 0 ⋃ X 1 ⋃ ⋃ X 9 ) ≥ 29 + 6 ⨯ 2 + 5 ⨯ 8 = 81 > 80 ，矛盾．从而 n ≤ 27 ． 其次证明： n = 27 是可以的．事实上，取 28 座城市 A 1 , A 2 , , A 28 与城市集合 X i (i = 0,1, , 9)． 当 i = 0, 9 时， X i = 6 ；当 i = 1, 2, ,8 时， X i = 5 ，且对于 0 ≤ i < j ≤ 9 ， X i ⋂ X j = ∅ ， X i 中不包含城市 A 1 , A 2 , , A 28 ． 对于1 ≤ k ≤ 8 ，城市 A 3k , A 3k +1 , A 3k +2 与集合 X k 中所有的城市通航；城市 A 1 , A 2 与集合 X 0 中所有的城市通 航；城市 A 27 , A 28 与集合 X 9 中所有城市通航；集合 X i (0 ≤ i ≤ 9)中任意一座城市与上述的城市 A s 通航， 与且仅与集合 X i 中其余城市通航；城市 A i 与 A i +1 (i = 1, 2, , 27) 通航． 这样，城市 A 1 A 28 至少与七座城市通航，集合 X i 中任意一座城市均只与七座城市通航，且城市A 1A 28 至少经过 27 次直航来连接．因此， n = 27 ．。

2018全国高中数学联赛某某赛区初赛试卷时间：120分钟 总分为：150分 某某：一、填空题〔此题共10小题，每一小题107分，总分为70分.要求直接将答案写在横线上.〕 1、函数cos cos2(R)y x x x =-∈的值域为__ __.2、2(i)34i a b +=+，其中,R a b ∈，i 是虚数单位，如此²²a b +的值为_ ___.3、圆心在抛物线²2x y =上，并且和该抛物线的准线与y 轴都相切的圆的方程为___ __.4、设函数14()2xxf x x -=-，如此不等式2(1)(57)0f x f x -+-<的解集为__ ___.5、等差数列{}n a 的前12项的和为60，如此1212a a a +++的最小值为__ ___.6、正四面体内切球的半径是1，如此该四面体的体积为___ __.7、在ABC ∆中，54AB AC ==，，且12=⋅AC AB ,设P 是平面ABC 上的一点，如此)(PC PB PA +⋅的最小值为_____.8、设()g n =∑=nk n k 1),(，其中*Nn ∈，(,)k n 表示k 与n 的最大公约数，如此(100)g 的值为=___ __.9、将1,2,3,4,5,6,7,8,9，这9个数随即填入3⨯3的方格中，每个小方格恰填写一个数，且所填的数各不一样，如此使每行、每列所填的数之和都是奇数的概率为__ __.10、在1,2,3,4,,1000中， 能写成²²1(N)a b a b -+∈，的形式，且不能被3整除的数有__ ____个.二、解答题〔本大题共4小题，每一小题20分，共80分〕11、如图，在平面直角坐标系xoy 中，圆O 的方程为224x y +=，过点(0,1)P 的直线l 与圆O 交于,A B 两点，与x 轴交于点Q ，设PB QB PA QA μλ==,，求证：μλ+为定值.12、{}n a 是公差为(0)d d ≠的等差数列，且t a t a t a +=+=+33221， （1）某某数t d ，的值；（2）假如正整数满足0222r p =-=-=-rr pp mm t a t a t a m ，＜＜，求数组(,,)m p r 和相应的通项公式n a .13、如图，在圆内接四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点P ，ABD ∆与ABC ∆的内心分别为1I 和 2I ，直线21I I 分别与AC BD ，交于点,M N ，求证：PM PN =.14、从1,2,3,,2050这2050个数中任取2018个数组成集合A ，把A 中的每个数染上红色或蓝色，求证：总存在一种染色方法，是使得有600个红数与600个蓝数满足如下两个条件：①这600个红数的和等于这600个蓝数的和； ②这600个红数的平方和等于这600个蓝数的平方和.参考答案：〔1〕9[0,]8；〔2〕5；〔3〕221(1)()12x y±+-=；〔4〕(2,3)；〔5〕60；〔6〕83；〔7〕658-；〔8〕520；〔9〕114；〔10〕501；〔11〕83；〔12〕①12t=-，38d=；②(,,)(1,3,4)m p r=，1(311)8na n=-；。

绝密★启用前2018年全国高中数学联赛湖南预赛(B)卷试题及详解一、填空题（本大题共10小题，每小题7分，满分70分）1.设集合{}23100A x x x =--≤，{}121B x m x m =+≤≤-，若A B B ⋂=，则实数m 的取值范围为 ．2.如果函数()3cos 2y x ϕ=+的图像关于点4,03π⎛⎫⎪⎝⎭中心对称,那么ϕ的最为 ．3. 如图，A 与P 分别是单位圆O 上的定点与动点，角x 的始边为 射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ， 将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ，则()f x = ．4. 已知二面角l αβ--为60，动点P ，Q 分别在面α，β内，P 到β的距离为3，Q 到α的距离为23，则P ，Q 两点之间距离的最小值为 ．5. 如图，将一个边长为1的正三角形分成四个全等的正三角形，第一次挖去中间的一个小三角形，将剩下的三个小正三角形，再分别从中间挖去一个小三角形，保留它们的边，重复操作以上做法，得到的集合为谢尔宾斯基缕垫．设n A 是第n 次挖去的小三角形面积之和（如1A 是第1次挖去的中间小三角形面积，2A 是第2次挖去的三个小三角形面积之和）.则前n 次挖去的所有小三角形面积之和的值为 ．6.若333sin cos 3x x +=，则20182018sincos x x +的值为 ．7.如图放置的边长为1的正方形ABCD 沿x 轴正向滚动，即先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转.设顶点C 滚动时的曲线为()y f x =，则()f x 在[]2017,2018上的表达式为 ．8.四个半径都为1的球放在水平桌面上，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）.有一个正方体,其下底与桌面重合,上底的四个顶点都分别与四个球刚好接触,则该正方体的棱长为 ．9.设1a b +=，0b >，0a ≠，则21aa b+的最小值为 ． 10.设,a b R ∈，a b <函数()()max a t bg x x t x R ≤≤=+∈（其中max a t b≤≤表示对于x R ∈，当[],t a b ∈时表达式x t +的最大值），则()g x 的最小值为 ． 三、解答题 （本大题共4小题，共80分.11. 如图，四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上的一点，平面EDC ⊥平面SBC .（Ⅰ）证明：2SE EB =； （Ⅱ）求二面角A DE C --的大小.12. 棋盘上标有第0,1,2,,100站，棋子开始时位于第0站，棋手抛掷均匀硬币走跳棋游戏.若掷出正面，棋子向前跳出一站；若掷出反面，棋子向前跳出两站，直到跳到第99站（胜利大本营）或第100站（失败集中营）时，游戏结束.设棋子跳到第n 站的概率为n P . （1）求3P 的值； （2）证明：()()1112992n n n n P P P P n +--=--≤≤； （3）求99P ，100P 的值.13. （1）已知P 是矩形ABCD 所在平面上的一点，则有2222PA PC PB PD +=+.试证明该命题；（2）将上述命题推广到P 为空间上任一点的情形，写出这个推广后的命题并加以证明； （3）将矩形ABCD 进一步推广到长方体1111ABCD A B C D -，并利用（2）得到的命题建立并证明一个新命题.14. 设曲线2:1625616C x y y -=-所围成的封闭区域为D . （1）求区域D 的面积；（2）设过点()0,16M -的直线与曲线C 交于两点P ，Q ，求PQ 的最大值.2018年全国高中数学联赛湖南预赛答案一、填空题1.3m ≤2.6π3.sin cos x x4.314n⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭6.17.()()504.4f x f x =-=8.23 9.1 10.2b a - 二、解答题11.解：以D 为坐标原点，射线DA ，DC ，DS 分别为x 轴，y 轴，z 轴，建立直角坐标系Dxyz ，设()1,0,0A =，则()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S .（1）证明：()0,2,2SC =-，()1,1,0BC =-，设平面SBC 的法向量为(),,n a b c =，由n SC ⊥，n BC ⊥，得到0n SC ⋅=，0n BC ⋅=，故0b c -=，0a b -+=，取1a b c ===，则()1,1,1n =，又设()0SE EB λλ=>，则2,,111E λλλλλ⎛⎫ ⎪+++⎝⎭，2,,111DE λλλλλ⎛⎫= ⎪+++⎝⎭,()0,2,0DC = 设平面CDE 的法向量为(),,m x y z =，由m DE ⊥，m DC ⊥，得到0m DE ⋅=，0m DC ⋅=，故20111x y zλλλλλ++=+++，20y =，令2x =，则()2,0,m λ=-，由平面DEC ⊥平面SBC ，得到m n ⊥，所以0m n ⋅=，20λ-=，2λ=，故2SE EB =.（2）解：由（1）知222,,333DE ⎛⎫=⎪⎝⎭，取DE 的中点F ，则111,,333F ⎛⎫= ⎪⎝⎭，211,,333FA ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故0FA DE ⋅=，FA DE ⊥，又242,,333EC ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，故EC DE ⊥，因此向量FA 与EC 的夹角等于二面角A DE C --的平面角，于是()1cos ,2FA ECFA EC FA EC⋅==-，所以二面角A DE C --的大小为120.12.解：（1）棋子跳到第3站有以下三种途径：连续三次掷出正面，其概率为18；第一次掷出反面，第二次掷出正面，其概率为14；第一次掷出正面，第二次掷出反面，其概率为14，因此358P =. （2）易知棋子先跳到第2n -站，再掷出反面，其概率为212n P -；棋子先跳到第1n -站，再掷出正面，其概率为112n P -，因此有()1212n n n P P P --=+，即()11212n n n n P P P P ----=--，或即()()1112992n n n n P P P P n +--=--≤≤.（3）由（2）知数列{}()11n n P P n --≥为首项为1011122P P -=-=-，公比为12-的等比数列，因此有()()11101122nn n n nP P P P ---⎛⎫-=--=⎪⎝⎭.由此得到999899100111211=122232P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.由于若跳到第99站时，自动停止游戏，故有10098991111232P P ⎛⎫==+ ⎪⎝⎭. 13. （1）证明：如图1，设在直角坐标平面中，矩形ABCD 的顶点坐标为(),A a b --，(),B a b -，(),C a b ，(),D a b -，点(),P x y 是直角坐标平面上的任意一点，则()()()()()22222222222PA PC x a y b x a y b x y a b +=++++-+-=+++，()()()()()22222222222PB PD x a y b x a y b x y a b +=-+++++-=+++，故2222PA PC PB PD +=+.（2）推广命题：若棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，则有2222PA PC PB PD +=+.证明：如图2，设棱锥P ABCD -的底面ABCD 在空间直角坐标系的xOy 平面上,矩形ABCD 的顶点坐标为(),,0A a b --，(),,0B a b -，(),,0C a b ，(),,0D a b -，设P 点坐标为(),,P x y z ，则()()()()()()2222222200PA PC x a y b z x a y b z +=++++-+-+-+- ()222222x y a b z =++++()()()()()()2222222200PB PD x a y b z x a y b z +=-+++-+++-+- ()222222x y a b z =++++，故2222PA PC PB PD +=+.（3）再推广命题：设1111ABCD A B C D -是长方体，P 是空间上任意一点，则222222221111PA PC PB PD PB PD PA PC +++=+++.证明：如图3，由（2）中定理可得2222PA PC PB PD +=+和22221111PA PC PB PD +=+，所以222222221111PA PC PB PD PB PD PA PC +++=+++.14. 解：（1）由题设，有256160y -≥，因此1616y -≤≤.若221616x y x y -=-，则当016y ≤≤时，22161625616x y x y y -=-=-，2256x =，此时()16016x y =±≤≤，图像是两条直线段；当160y -≤≤，22161625616x y x y y -=-=+，()28832x y y =-≥-，对应于一段二次函数的图像；若221616x y y x -=-，则当016y ≤≤时，类似于前面的推导得2832x y =+，对应于二次函数图像的一段：()28832x y y =+≥； 当160y -≤<，22161625616x y y x y -=-=+，得到2256x =-，无解.综上所述，区域D 的集合为：()22,1616,883232x x D x y x y ⎧⎫⎪⎪=-≤≤-≤≤+⎨⎬⎪⎪⎩⎭，由区域D 上函数图像性质，知区域D 的面积为3216512S =⨯=.（2）设过点()0,16M -的直线为l ，为了求PQ 的最大值，由区域D 的对称性，只需考虑直线l 与D 在y 轴右侧图像相交部分即可.设过点()0,16M -的直线l 方程为16y kx =-，易知此时l 与D 相交时有1k ≤<∞.①当2k ≤<∞时，l 与D 分别相交于二次函数2832x y =-以及2832x y =+，两个交点分别为(()()216,161P k k -，(()()216,161Q k k -因此，16PQ =k 的递减函数.②当12k ≤≤时，直线l 与D 分别相交于二次函数2832x y =-以及直线16y =，从图形性质容易看出，随着k 从2变到1，PQ 的值逐步减少.综上，当l 经过直线16x =与二次函数2832x y =+曲线交点()16,16Q 时，PQ 的值最大，此时直线l 方程为：216y x =-,((()162,163P -，PQ 的值为=.当PQ 落在y 轴上时，24PQ =<，因此PQ 的最大值为。