2017-2018学年全国高中数学联赛(吉林赛区)预赛试题 Word版含答案
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2017-2018学年全国高中数学联赛（吉林赛区）预赛试题
第Ⅰ卷（共30分）
一、选择题：本大题共6个小题,每小题5分,共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.集合{}2log 2A x Z x =∈≤的真子集个数为（ ） A ．7 B ．8 C ．15 D ．16
2.三棱锥P ABC -的底面ABC ∆是边长为3的正三角形，3,4,5PA PB PC ===，则三棱锥P ABC -的体积为（ ）
A ．3
B ． 3.已知函数()f x 满足：()1
14
f =，()()()()()4,f x f y f x y f x y x y R =++-∈，则()2019f =（ ） A ．
12 B ．12- C ．14 D ．14
- 4.已知()sin 2cos x
f x x
=
+，则对x R ∀∈，下列说法中错误的是（ ）
A ．()1
sin 3
f x x ≥ B ．()f x x ≤ C ．()f x ≤
D ．()()0f x f x ππ++-=
5.已知()()
2
2112x
x f x x
+=
+⋅在[)(]2018,00,2018-⋃上的最大值为M ，最小值为N ，则M N +=
（ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
6.设0,0,0x y z >>>，满足,x y xy x y z xyz +=++=，则z 的取值范围是（ ）
A ．(
B ．(
C ．40,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
D ．41,3⎛⎤ ⎥⎝⎦
第Ⅱ卷（共120分）
二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上） 7.函数
23log 21x y x +⎛⎫
=
+- ⎪-⎝⎭的定义域为 ．
8.已知圆C 的方程为228150x y x +-+=，若直线()2y kx k R =-∈上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值等于 ．
9.如图，在直角三角形ABC 中，,22
ACB AC BC π
∠=
==，点P 是斜边AB 上一点，且
2BP PA =，则CP CA CP CB ⋅+⋅= ．
10.已知点P 在直线210x y +-=上，点Q 在直线230x y ++=上，PQ 的中点为()00,M x y ，且002y x >+，则
y x 的取值范围是 ． 11.若实数,a b 满足条件20
101
a b b a a +-≥⎧⎪
--≤⎨⎪≤⎩
，则22a b a b ++的最大值等于 ．
12.在数列{}n a 中，若221n n a a p --=(*2,,n n N p ≥∈为常数)，则称{}n a 为“等方差数列”.下列是对“等方差数列”的判断： ①数列()
{
}1n
-是等方差数列；
② 若{}n a 是等方差数列，则{}
2n a 是等差数列；
③ 若{}n a 是等方差数列，则{}kn a (*,k N k ∈为常数）也是等方差数列； ④ 若{}n a 既是等方差数列，又是等差数列，则该数列为常数列. 其中正确命题序号为 ．(将所有正确的命题序号填在横线上）
三、解答题 （本大题共4小题，共90分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 13.已知函数()74cos sin 6f x x x a π⎛
⎫
=⋅+
+ ⎪⎝
⎭
的最大值为2. （1）求a 的值及()f x 的最小正周期； （2）求()f x 的单调递减区间.
14.数列{}n a 为等差数列，且满足512380a a =>，数列{}n b 满足()
*12n n n n b a a a n N ++=⋅⋅∈，{}n b 的前n 项和记为n S ，问：n 为何值时，n S 取得最大值，说明理由.
15.已知抛物线2y ax =过点()1,1P -，过点1,02Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭
作斜率大于0的直线l 交抛物线于,M N 两
点（点M 在,Q N 之间），过点M 作x 轴的平行线，交OP 于A ，交ON 于B ，PM A ∆与OAB ∆的面积分别记为12,S S ，比较1S 与23S 的大小，说明理由.
16.设,,0x y z ≥，且至多有一个为0，求(),,f x y z =最小值.
试卷答案
一、选择题 1-6: CCBABD 二、填空题
7. ()()1,24,5⋃ 8.43 9. 4 10.11,25⎛⎫-- ⎪⎝⎭
11.
7
5
12. ①②③④ 三、解答题
13. 解：（1）()74cos sin 6f x x x a π⎛
⎫
=⋅+
+ ⎪⎝
⎭14cos cos 2x x x a ⎛⎫=⋅-+ ⎪ ⎪⎝⎭
2cos 2cos 11x x x a =--+-
+2cos21x x a =--+
2sin 216x a π⎛
⎫=-+-+ ⎪⎝
⎭，
因此，当sin 216x π⎛
⎫+=- ⎪⎝
⎭时，()f x 取得最大值211a a -+=+，
又因为()f x 的最大值为2，所以12a +=，即1a =.
()f x 的最小正周期为22
T π
π=
=. （2）由（1）得()2sin 26f x x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝⎭
令22,2,622x k k k Z π
ππππ⎡⎤
+
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
， 得,,36x k k k Z ππππ⎡⎤
∈-++∈⎢⎥⎣⎦
，
因此，()f x 的单调减区间为,,36k k k Z ππππ⎡⎤
-++∈⎢⎥⎣⎦
.
14.解：∵512380a a => ∴()55387a a d =+. 解得556
05
a d =-
>. ∴0d <，1765
a d =-
. 故{}n a 是首项为正数的递减数列.
由100n n a a +≥⎧⎨≤⎩，即()76
105
760
5
d n d d nd ⎧-+-≥⎪⎪⎨⎪-+≤⎪⎩，解得11151655n ≤≤.