2018陕西高中数学竞赛预赛试题(含答案)

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

各省数学竞赛试题汇编——函数小题目1．【2018年湖南预赛】函数的定义城为_________.【答案】【解析】由得，所以函数的定义城为.故答案为2．【2018年湖南预赛】已知函数对任意的实数满足：，且当时，，当时，，则象与的图象的交点个数为___________。

【答案】10【解析】由题意知，f（x）=且周期是6，，且此函数是偶函数，在同一个直角坐标系中画出两个函数的图象如下图所示：由图可得，两个函数图象的交点个数是10个．3．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 4．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 5．【2018年陕西预赛】已知函数，若存在，使得，则正整数的最大值是________.【答案】6【解析】由题意得.故尽可能大时的情形为，此时. 6．【2018年贵州预赛】若方程有两个不等实根，则实数的取值范围是_____________. 【答案】【解析】由知x＞0，故.令，则.当时，；当时，.所以在（0，e）上递增，在（e，+）上递减.故，即.7．【2018年安徽预赛】设点P、Q分别在函数的图象上，则的最小值=_________. 【答案】【解析】设P（），Q（）使最小.由互为反函数，知点P、Q处的切线斜率都是1，直线PQ的斜率都是-1.故.故答案为：8．【2018年广东预赛】函数的值域为_____________.【答案】当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.【解析】，因为，所以当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.故答案为：当时，的值域为（）；当时，的值域为（）.9．【2018年广东预赛】已知方程在区间（-2，2）内恰有两个实根，则k的取值范围是__________. 【答案】【解析】记，令，得.当时，在（）上为增函数.当时，在（）上为减函数.所以在点处取得最大值，当且仅当时，在区间（-2，2）内恰有两个实根，故k的取值范围是.故答案为：10．【2018年贵州预赛】方程组的实数解为___________.【答案】【解析】因为，所以，即，代入，得.由.11．【2018年湖北预赛】设是定义在上的单调函数，若对任意的，都有，则不等式的解集为______.【答案】【解析】由题设，存在正常数，使得，且对任意的，有.当时，有，由单调性知此方程只有唯一解.所以.不等式，即，解得.故不等式的解集为.12．【2018年甘肃预赛】关于的方程有唯一实数解，则实数的取值范围是______．【答案】【解析】解法一原方程化为．（1）．（2）时，的两根分别为1、3，不符合题意．（3）时，的两根分别为2，．因此，符合题意要求．（4），即时，若，不符合要求；若，因此，符合要求．解法二，因为，所以．上单调递增，在上单调递减．又，所以的取值范围是．13．【2018年吉林预赛】函数的定义域为__________.【答案】（1，2）（4，5）【解析】由题得，解之得x∈（1，2）（4，5）.故答案为：（1，2）（4，5）14．【2018年山东预赛】对任意的实数的最小值为______．【答案】【解析】设，则①＋②＋③得．解得．又当时，有解．故当时，取到最小值．15．【2018年山东预赛】已知，且为方程的一个根，则的最大可能值为______．【答案】9【解析】由题设，则．因为，则必为完全平方数．设，则．所以．解得，8，,0．所以的最大可能值为9.16．【2018年山东预赛】设为最接近的整数，则______．【答案】【解析】设，则，即．而，因此满足个．注意到，从而或7．由于，所以．因此．17．【2018年天津预赛】已知函数的定义域都是，它们的图象围成的区域面积是_____________【答案】【解析】将的图象补充为完整的圆，则由中心对称性易知答案是圆面积的一半，为.故答案为：18．【2018年天津预赛】若为正实数，且是奇函数，则不等式的解集是_____________【答案】【解析】由可得即也即，所以.由于在（0，+）上递增，所以在（0，+）上是增函数，结合是奇函数可知在R上是增函数.解不等式，只需找到的解.方程等价于也即两边平方，解得.因此，不等式的解集是.故答案为：19．【2018年河南预赛】已知函数，若的定义域为，值域为，则的值为______．【答案】0【解析】因为，所以有，得，故上是增函数，进而．解得（舍）或．故填0．20．【2018年河北预赛】若，且满足那么. 【答案】1【解析】把已知条件变形为函数上为增函数且是奇函数，另，故，所以.21．【2018年四川预赛】设函数上的最大值为，最小值为，那么的值为______. 【答案】4【解析】因为上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为.又的最大值为故故答案为：422．【2018年四川预赛】的值为______.【答案】1【解析】令，则从而，化简为.所以，原式故答案为：123．【2018年浙江预赛】已知a为正实数，且是奇函数，则的值域为________.【答案】【解析】由为奇函数可知，解得a= 2，即，由此得的值域为.24．【2018年浙江预赛】设，则有________个不同的解. 【答案】3【解析】因为由得到，或.由，得一个解；由得两个解，共3个解.25．【2018年浙江预赛】设满足，则x的取值范围为________. 【答案】【解析】由.令，，所以.26．【2018年江西预赛】函数的值域是区间______．【答案】【解析】显然函数定义域为，在此区间内，由于，即，故有角使得．于是，因为，则．在此范围内，则有．因此．（当时，；当时，）故答案为：27．【2018年山西预赛】函数的值域为________.【答案】【解析】由条件知.令.则，，，因为，所以，.28．【2018年湖南预赛】如图，A与P分别是单位圆O上的定点与动点，角x的始边为射线OA，终边为射线OP，过点P作直线OA的垂线，垂足为M，将点M到直线OP的距离表示为x的函数，则=__________.【答案】【解析】对角度x进行简单的分类，然后根据三角函数的定义得到利用函数的周期性得到.故答案为：29．【2018年湖南预赛】如图放置的边长为1的正方形ABCD沿x轴正向滚动，即先以A为中心顺时针旋转，当B落在x轴上时，再以B为中心顺时针旋转，如此继续，设顶点C滚动时的轨迹方程为，则上的表达式为__________.【答案】【解析】①由于是以4为周期的周期函数，所以当时此时由周期性及①式的结果得到故答案为：30．【2018年湖南预赛】设，函数（其中表示对于，当时表达式的最大值），则的最小值为_____.【答案】【解析】对于每一个，函数是线性函数.因此，在任意有限闭区间上，函数的最大值与最小值均在区间端点处达到，从而有由于函数图像交点的横坐标c满足，得到其图像为两条折线组成，且故答案为：31．【2018年福建预赛】已知定义在上的奇函数，它的图象关于直线对称．当时，，则______．【答案】2【解析】由为奇函数，且其图象关于直线对称，知，且，所以．是以8为周期的周期函数．又，所以．32．【2018年福建预赛】已知整系数多项式，若，则______．【答案】24【解析】设，则，于是．所以．所以是多项式的一个根．又不可能是三次整系数多项式、二次整系数多项式的零点．所以整除．故为整数．所以．由，得．所以．33．【2018年福建预赛】已知函数满足：对任意实数，都有成立，且，则______．【答案】【解析】在中，令，得．令，得．又，所以，即．又，，所以．故．34．【2016年上海预赛】若x∈(-1,1)时，恒为正值，则实数a的取值范围是____________。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。

2018年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题考生注意：1，本斌專分两试’第一试共两大趣.满分》）分；第二试共五大题，满分120分'2.用蓝色｛或黑色｝钢笔、巫字笔或圖殊笔作筌.3.解題书坊•不要趙违荣订銭.4・不能使用计算器.第一试一、选择题:本题共8小题,每小题6分，共48分•在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目姜求的.1.已知集合M % lx = sin E Z ,N = y | y = cos 孑,"e Z，则M 耳 N的关系是（）A・M宇/V B. If = /V C. N^M D•网门/V=e22.（2）31 a =log85.6 =1（）^3^ = -^-,则的大小关系是（）A. a > I）>c B・b>c > a C. b >a >c c >h> a3・已知数列a爲满足a〕++1 +叫（"2 ）•若［幻表示不超过实数兀的最大整数，则詁存…+在卜A. IB. 2C.3D. 20184.已知四面休ABCD内接丁球0.忖AD是球（）的点径•若△佔C和△BCD都是边长为1的等边三角形侧四而体ABCD的体积是（）A返B返C渥D渥-6 * 12 6 - 12八zn ■口 sin x cos x 1 Ml i r,/r M/r 0 <x <—%H.—+ —^― = —,W'J laiLV H'jfllTE i 殳兀j E R. H. 1哄(x+2y) +1(典(兀-2y) = 1 •则x - lyl 的最小值是若既约分数)化为小数是0・】8….则当q 啟小时•"二 8•在边l<为8的止方形ABCD 中.M 是BC 的中点.N 是DA 边I ：一点.H. DN = 3M1用 灯尸常数加.任止方形AHCD 的边I .恰冇6个不同的点P.使PM • RV =叽则实数处的取值 范冈址( )A. ( -8.8)B. ( 一1 .24)C. ( -1 ,8)I). (()&)二、填空题：本题共4小题海小题8分■共32分 将答案填在题中的横线上.9. i 殳△ ABC 的内角.4、〃、C 的灯边分别为心心［1.人- C =歩％ c 成等并数列•则10. 御图1.12.)31拋物线r = 2严(〃〉())的焦点为F.准线为I,过点F 的点线耳抛物线交r A B 网点JIJ.iB I = 3p ・设点A 、Bfl ： I I •.的射影分别为•—今向四边形AA 7TB 内任投•点协，则点M 落在内的飪率址 ____________ .11. 11知南数/(%)=%+ £~-1 .若存在知宀，…%“W ±4〕，使彳"(浙)+/(七)+・・•+/(“" =/(也)・则||瀝数〃的灵大值是 _________ .IX 15 ”是匸整数.当«> 100IIJ ,、后硏T 的小数部分的前两位数是5. 6. B.2 C. 2/T D.47. A. 9B.7C51).2第二试—■（本题满分20分）已曲1 唄数人鼻）=2cosr （ c （＞sx + ） - 1 G R.（1） 求函数/U ）的讯调递增区间;（2） 设点匕（衍皿）出（心上），…止（盼几）•…都在函数y=/（-r ）的图象上，且满足 ■札=y-(n e N* ).求的+y 2 +…+畑8的值• 二、（本题满分20分）如图2•圜c 与％轴相切于点r （2,o ）?H Y 轴的正半轴和交干两点（*在B 的上方），且I 肋I =1（1）求恻（?的方程：⑵设过点〃的1丁线小椭I 略+「1相交于P ®対点…求o 4证册"平分厶PAQ.三. （本题满分20分）如1*1 3.在锐角WC 中,M 是BC 的中点JM] O 过点4 HJ j 代线BC 相切丁•点C.戌线M 网0交T •另一点D,也线HD * j IW1（）交于另一点 E. \m,^EAC = ABAC.7T心二&屯"内四.(本题满分30分)L1 知函数/(x) =j^.g(x) =k( x - I ).Z- G R.(I )证明:炖任总* w R•也线y=gix)祁不町能是Illi线y =/(.v)的切线:(2)若存在"[e J・使/(小W g(.<)十*,求"勺取值范FH.五.(本题满分30分)设aj^c均为止实数,求证：2 2 2a( a + be ) l){lf + ca ) c( c + ab) _ 7；H 1 : 2 ah + /“• + ca b+c c + a a + b2018年陕西省预赛答案第一试一、选择餐（毎小軀6分，共8小SL 共勰分）4. 己知砂面体"（Q 内樓千球.且"星球的玄径.若MBC 和似T ）衿是边长为I 的等边三角號 則四面体 川BCD的体枳杲（A.返65 若= .且——+ —=—.剜un*的值杲()2 94 131 o _ 3 A. —B. *C. ID.— 232Hi D.由柯西不等氏(9才4)(竺上*竺丄."cos 订几由取$条件知氾上口竺上=>伽.2丄・9 4 81162&设比…■ filo&(x+2rHlo S4(x-2jp) = !t 卄恻的燉小值是()A. 7TB. 2C.裁D. 4> 入由S^.v 2-4/=41ix>2|>|.不妨设“2粽& 丿=3仇"(一彳£), Ax^|d = —-一邑也.等式右边是&的偶甬放不妨^g=2-smtf ^€[o,-)=>sin^i-rcostf^2.11心“心。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x xx x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A ．03a <<．02a << C ．3a >33a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ）A ．2B ．3C ．5D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x-D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围.二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题第一试一、选择题（每小题5分，共50分）1．a,b 为实数，集合{,1},{,0},:b M P a f x x a==→表示把集合M 中的元素x 映射到集合 P 中仍为x ，则a+b 的值等于 （ ）A ．－1B ．0C ．1D ．1±2．若函数()f x 满足22()log ||||f x x x x =+，则()f x 的解析式是 （ ） A ．2log xB ．2log x -C ．2x -D 2x -3．若关于x 的方程323()25xaa+=-有负数根，则实数a 的取值范围为 （ ）A ．2(,)(5,)3-∞-+∞B ．3(,)(5,)4-∞-+∞C ．2(,5)3-D ．23(,)34-4．已知数列{}{}n n a b 、的前n 项和分别为n A ，n B 记(1)n n n n n n n C a B b A a b n =⋅+⋅-⋅> 则数列{n C }的前10项和为（ ）A ．1010AB +B ．10102A B + C ．1010A B ⋅ D ．1010A B ⋅5．如图1，设P 为△ABC 内一点，且2155AP AB AC =+， 则△ABP 的面积与△ABC 的面积之比为（ ） A ．15 B ．25C ．14D ．136．若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤< 则角θ的取值范围是（ ）A ．[0,]4π B ．[,]4ππ C ．5[,]44ππD ．3[,)42ππ7．袋中装有m 个红球和n 个白球，m>n≥4.现从中任取两球，若取出的两个球是同色的概 率等于取出的两个球是异色的概率，则满足关系m+n≤40的数组（m,n ）的个数为（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．68．已知实系数一元二次方程2(1)10x a x a b +++++=的两个实根为12,x x 且1201,1x x <<>则ba的取值范围是（ ）A ．1(1,]2--B ．1(1,)2--C ．1(2,]2--D ．1(2,)2--9．如图2，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱AB 上一点，过点P 在空间作直线l ， 使l 与平面ABCD 和平面AB 11C D 均成030角，则这样的直线l 的条数为 （ ）A ．1B .2C ．3D .410．如图3，从双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点F 引圆222x y a +=的切线，切点为T ．延长FT 交双曲线右支于P 点若M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则||||MO MT -与b a -的大小关系为（ ）A ．||||MO MT b a ->-B ．||||MO MT b a -=-C ．||||MO MT b a -<-D ．不确定二、填空题（每十题6分，共30分） 11．已知θ为锐角，且cos31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 12．用6根等长的细铁棒焊接成一个正四面体形框架，铁棒的粗细和焊接误差不计设此框架能容纳得下的最大球的半径为1R ，能包容此框架的最小球的半径为2R ，则12R R 等于 13．设()f x 是以2为周期的奇函数，且2()35f -=，若5sin α=则(4cos 2)f α的值是 14．若a ，b ，c 成等差数列，则直线ax+by+c = 0被椭圆22128x y +=截得线段的中点的轨迹方程为15．设)}8(log ,log ,2min{log ,1,122x y S y x y x =>>则S 的最大值为第二试一、（50分）设123(,)(,)(2,)P x a y Q x y r a y ++、、是函数()2xf x a =+的反函数图象上三个不同点，且满足1322y y y +=的实数x 有且只有一个，试求实数a 的取值范围. 二、（20分）已知x 、y 、z 均为正数 （1）求证：111;x y z yz zx xy x y z++≥++ （2）若x y z xyz ++≥,求x y zu yz zx xy=++的最小值 三、（20分）已知sin(2)3sin αββ+=,设tan ,tan x y αβ==,记()y f x = （1）求()f x 的表达式; （2）定义正数数列2*111{};,2()()2n n n n a a a a f a n N +==⋅∈。

全国高中数学联赛陕西赛区预赛试卷 第一试（4月22日上午8：30——9：30）一、选择题（每小题5分，共50分。

）1．已知函数()()2438f x x x x R =--+∈，则()f x 的反函数()1f x -的解析式是（ ） A ．()()14f x x x R -=-+∈ B ．()()111255fx x x R -=-+∈ C ．()()()142112255x x f x x x -⎧-+≤⎪=⎨-+>⎪⎩ D ．()()()111225542x x f x x x -⎧-+<⎪=⎨⎪-+≥⎩2．等差数列{}n a 共有21n +项()*n N ∈，其中所有奇数项之和为310，所有偶数项之和为300，则n 的值为（ ）A ．30B ．31C ．60D ．61 3．设()sin sin 2007a =，()sin cos 2007b =，()cos sin 2007c =，()cos cos 2007d =，则,,,a b c d 的大小关系是（ ）A ．a b c d <<<B ．b a d c <<<C ．c d b a <<<D ．d c a b <<<4．如图，半圆的直径4AB =，O 为圆心，C 是半圆上不同于,A B 的任意一点。

若P 为半径OC 上的动点，则()PA PB PC +⋅的最小值是（ ）A ．2B ．0C ．1-D ．2-5．长度分别为1，,,,,a a a a a 的线段能成为同一个四面体的6条棱的充要条件是（ ） A．0a <<．02a << C．a >a <<6．设,x y 都是整数，且满足()22xy x y +=+，则22x y +的最大可能值为（ ） A ．32 B ．25 C ．18 D ．167．已知04k <<，直线1:2280l kx y k --+=和直线222:2440l x k y k +--=与两坐标轴围成一个四边形，则使这个四边形面积最小的k 的值为（ ） A ．2 B ．12 C ．14 D ．188．对于实数t ，已知等比数列{}n a 的前三项依次为2t ，51t -，62t +，且该数列的前n 项和为n S ，则满足不等式1165n S -<的最大整数n 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．5 D ．89．对于非空集合,A B ，定义运算：{},A B x x AB x A B ⊕=∈∉且。