画法几何换面法.(20201119163819)

m1′
b′
n′
n1′
为求实长，进行第二次 a′
旋转，将AB和M一起绕正垂
线旋转，把AB旋转成铅垂线。
m
a1′ b m1
n
a1
n1
a
a2′
b1′ n2 m2′ b2′ m2
b1 a2b2n2
四、六个基本问题
1、把一般位置直线变为投影面平行线 例题1
2、把投影面平行线变为投影面垂直线 3、把一般位置直线变为投影面垂直线
5
V1 a1
X1
一、换面法的基本概念
新投影面V1⊥H
V
c1
c
C a
旧投影面
c1 b1
b1
新轴
B
A
b
c
aH
b
X
a1
旧轴 X1
保留的不变投影面
V/H 体系变为V1/H 体系
c a
b X
(b)c
a
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面来代替旧的投影面，使其对新投影面的相对 位置变成有利于解题的位置，作出在新投影面上的投影并解决有关问题。
a
b
;.
a1 （ b1）
15
3 把一般位置直线变为投影面垂直线（投影作图） b
a
V X
H b
a
a2 （b2）
b1 a1
思考题1 如何求点C到直线AB的距离？
b
a c
V X
H
b c
a
a V X H
a
b 提示
把一般位置直线变为投 影面垂直线
b
a2 b2
b1 a1
思考题2 如何求两直线AB与CD间的距离？
a

画法几何制图换面法画法几何制图是建筑、机械和电子等设计领域必备的技能。

它的一个重要部分就是“换面法”，它是通过将一个多面体拆分成多个简单的平面形状，然后再用这些形状来绘制其三维图形的方法。

本文将为你介绍如何运用换面法来画一个简单的多面体。

准备工作在开始绘制之前，需要准备以下工具：•笔和铅•直尺•三角尺•绘画纸步骤一：绘制立方体首先，我们要绘制一个基本的多面体，例如一个立方体。

为了做到这一点，我们可以绘制一个正方形（底面），并且在各个角上画上垂直于底面的线段（高），使这些线段接到正方形相应角点处，最后将所有线段相互连接即可形成一个立方体。

注意，在纵向和横向线段的描绘上，需要保持符合比例。

步骤二：拆分面以上述步骤绘制出来的立方体为例，我们需要将其所有的面分成矩形或正方形。

为此，我们需要通过连接每个相邻的面的棱角，将多面体拆解，并且用铅笔标上每个矩形或正方形的上下左右面，使得它们更加容易被识别。

步骤三：绘制每个面在拆分面后，我们可以将每个面单独绘制出来。

为此，我们需要将每个面放在纸上，并用三角尺和直尺来绘制它们。

对于不同的矩形，我们可以采用不同的绘制方法。

例如，对于一条平行于底面的直线，我们可以在每个与之相交的四边形上绘制这条直线，并保持符合比例。

在绘制完每个面后，我们应该标记好它们的相对位置。

步骤四：组成三维图形通过绘制每个面，我们可以将它们组合起来形成多面体的三维图形。

为此，我们应该将每个面按照它的相对位置粘贴到一张透明的塑料纸上，并对其进行调整，使得它们适当地重叠在一起。

这将帮助我们清晰地了解多面体的整体形状。

在这篇文章中，我们介绍了一个基本的画法几何制图技巧——换面法，以及如何使用这个技巧来画一个简单的多面体。

换面法可以帮助我们将多面体拆分成更简单的形状，并在绘制每个形状后重新组装它们来形成三维图形。

这个技巧在建筑、机械和电子等领域的设计工作中都得到了广泛应用。

投影面的垂直线
Байду номын сангаас
正平线 变换哪一个投影面？
二、一般位置直线的两次变换
将一般位置直线变为投影面的垂直线，需经过两次换面
6.4 平面的换面
一、平面的一次换面
1. 一般位置平面可以变为投影面的垂直面 作图要点：新投影 轴垂直于平面内的 正平线。
一、平面的一次换面
2. 投影面垂直面可变为投影面平行面
铅垂面 变换V面 (1) 在适当的位置画出新轴X1平行于 abc (2) 求出ΔABC各点的新投影并连线
c
d a
b
X
O
b
d
c a
直线与平面的
交点
换面法的基本概念
如能将与投影面处于一般位置的几何元素变为与投影
面处于特殊位置，则一些问题的求解就会变得容易。
可选取新投影面V1代替V面 让空间几何元素的位置保持不动，用一个新的投影面
体系替换原来的投影面体系
使空间几何元素对新
投影面体系处于有利
于解题的特殊位置的
实长
6.2 点的换面
一、点的一次变换 1.变换V面
在V/新H称投为影旧面投体新影系投面中影体，到系V新1，面轴V垂的1/直H距于称离H为等面新于，投旧a影1投’a面影垂体到直系旧于即轴Xa11的轴’a距x1=离a’，ax
一、点的一次变换 2.变换H面
1. 作出新轴X1 2. 过b’ 作b’b1垂直于X1轴 3. 量取b1bx1=bbx，b1
为所求
二、点的两次变换
(1) 通过一次变换求得a1 ‘
(2) 在适当的位置画出第二
次换面的新轴X2 (3) 过a1’作a1’a2垂直于X2 轴,量取a2ax2=aax1,得a2

应用换面法在V1/H2体系中解题：
解题步骤： 1.将两已知平行 直线构成的平面 经两次变换，变 变换，变成投影 面平行面 2.求作EF 的实长
实长
例: 平行四边形ABCD 给定一平面，试求点S 至该平面的距离 空间分析：
. 距离
解题步骤：
1.将平面ABCD 变换为新投 影面的垂直面 2.点S 随之变换 3.过S 作ABCD 的垂线,s1’k1’ 即为所求
解题步骤：
1.将直线EF 变换 为新投影面的 平行线 2.点A 随之变换 3.过a1’作e1’f1’的 垂线,得k1’ 4.将k1’a1’返回原 体系
例：试求某炼油厂的球罐A到输油管BC的最短净距离（5-9）
a2
b’
b’ c’
L
c2 (b2)
a’
X
b a
V O H
a’ c’ a1’ b a
b1 ’
保留投影面
保留投影
.
v1
新投影
作图步骤： 1)画X1 轴； 2)过a’ 作X1 轴的垂线； 3)在垂线上截取 新投影面
a1aX1 = aaX 。
2）点在V/H1体系中的投影 （用Ｈ1面代替Ｈ面，求点的新投影）
H1ห้องสมุดไป่ตู้
保留投影 新投影
旧投影
新投影面的设立原则：
１．新投影面必须设立在使空间元素处在有利于解题的位置 ． ２．新投影面必须垂直于原有投影面体系中的一个投影面．
∥
∥
∧
二、例题
例：求图中所示下料漏斗两相邻斗壁的夹角θ（例5-8）
(a’) f’ (d’)
(b’) (c’) e’
a b e f d
d1 a1 f1 c1 e1 b1 d’2 (c’2 ) θ a’2

换面法
一次换面四种题型
1.一般线换成投影面平行线
可以解决的问题：（1）实长（2）线面角（在哪个面上换面反映的就是与哪个面的夹角）
2.投影面的平行线变成投影面的垂直线
3.一般位置平面变为投影面的垂直面
可以解决的问题：平面与投影面夹角
4.投影面垂直面换成投影面平行面
可以解决的问题：反映平面的实形
二次换面
1.一般位置直线变为投影面垂直线（一般线平行线垂直线）
2一般位置平面变为投影面的平行面（一般面垂直面平行面反映实形）
换面法可以解决的难题题型
1，求夹角(线面角：转化为求线与垂线夹角，线线角：作出平面实形，面面角：作相交面的积聚投影，若图中看不出交线要先求交线后求面的积聚投影：
2.求距离（点线距离，线线距离、线面距离）方法：一般位置直线变为投影面垂直线，一般面变成投影面垂直面
用该方式解一例题：
难题选：
1求作三角形ABC外心O，并过O作三角形ABC的垂线垂线段长30。

概述
★ 如何求一般位置直线的实长？ ★ 如何求一般位置平面的真实大小？
解决方法：更换投影面。
换 面 法： 物体本身在空间的位置不动，而用某一新投影 面（辅助投影面）代替原有投影面，使物体相对新 的投影面处于解题所需要的有利位置，然后将物体 向新投影面进行投射。
被替换 的投影面
被替换 的投影
V
b' B b1'
例：求直线AB的实长及与H面的夹角。
空间分析：用V1面代替V面，在V1 /H投影体系中，AB// V1 。
a
V
b
A
V1a1
b1
B
作图：a
XV H
b b
a Hb
a .
H
X新1V1投影a●1轴 的位b●1置？
换H面行吗？ 不行！
与ab平行。
将投影面的平行线变换为投影面的垂直线？
功用:一次换面后可用于求点与直线、两直线间的距离等。 问题的关键：新轴要垂直于反映实长的那个投影。
二次换面，再变换成新投影面的平行面。
作 图： c
AB是水平 线
a
b
●a2
X
V H
a
b2● b . a1b1.
●
c
●
c2 平面的实形
HV X1
1
●c1
X2轴的位置？ 与其平行
b1 a1
c1
c'
e1 d1
a'
例 3 已知直 线AB与 CDE平面
平行，且相 距20mm，
e' XHV d' c
b'
求直线AB的 水平投影。
ax1
.
H V1 X1
更换H面
X1H V

三峡大学
35
例8*：已知两交叉直线AB和CD，且AB为水平线，求
其公垂线的长度MN及其投影。空间及投影分析：
作图：
●d
n●
c●
a ●m
b
由直角投影定理，把AB变为投影
面垂直线时，公垂线MN平行于V1 ，它的投影反映实长,且
m1n1⊥c1d1。
A
C
N
M
XVH
a
●m
●
n
c
d b
.
d′1 ●
a′●1（b ′1m ′1）
三峡大学
19
1.用5换.用 面换 面 法法 在在 直直 线 线AAB上 B取 上一 取点 一C,使 点AC C=2 ，5。 使AC=25。
c′
c
a′1
c′1
b′1
三峡大学
20
2.求△ABC与EF的交点，并判别可见 性.
e
a
k1
XV
c
H
a
k
e
c
b
分析：把△ABC换
成投影面垂直面
d
f
用重影点判别可 见性
三峡大学
17
b
n
k●
a
m
c
m
c
●
a bk
n
(f)直线与平面相交
三峡大学
18
解题思路
1.首先进行空间分析，解题方法有直观法、逆推法和轨 迹法。
逆推法：假设答案已求出，找出答案与已知条件内在联 系，再顺着做题。
轨迹法：找出答案的几个轨迹，轨迹的重合部分，就是 答案。 2.思路出来后，根据给定条件决定换哪个面。
三峡大学
30
（2） 点与平面之间 将平面变换成投影面垂直面。

四、解题时一般要注意下面几个问题：
⒈ 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中物体 与原投影面的相对位置，并把这些条件抽象成几 何元素（点、线、面等）。
⒉ 根据要求得到的结果，确定出有关几何元素对新 投影面应处于什么样的特殊位置（垂直或平行）， 据此选择正确的解题思路与方法。
⒊ 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影在变 换前后的关系， 既要在新投影体系中正确无误地 求得结果，又能将结果返回到原投影体系中去。
垂直面。
思考：
X
若变换H面，需在面
内取什么位置直线？
正平线！
d b
A
a
c
D B
d b H
P1 C c1
a1 d1
c
b1
X1
例：把三角形ABC变换成投影面垂直面。
b
a
d
作 图 过 程：
★ 在平面内取一条水平
c
XV H
线AD。
a
b
★ 将AD变换成新投影
d.
面的垂直线。
c
H
●α
●
●
反映平面对哪
X1 P1 c1 a1 d1 b1 个投影面的夹角？
15 b2
a2 e2
e1
d2
c2
e d
ed
小结
本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 ——换面法。
一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。
二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。
换面法—空间几何元素的位置保持不动，用新的投影面 来代替旧的投影面，使对新投影面的相对位置变成有利 解题的位置，然后找出其在新投影面上的投影。

2. 求出交线的辅助投影l1’ n1’ 3. 求出交线的正面投影和水平 投影 4. 判别可见性
d1’
a’
d
a a1’ n1’ c1’
n’ e’ c
n
f
l
be
f1’ l1’
e1’
精选b1课’件PPT
37
1. YⅠ＞YⅡ, AB的正面投影可见 2. ZⅢ＞ZⅣ, DF的水平投影可见
d1’
d’
1’(2’)
c
a c1’
a1’
26
例题1 求一般位置平面△ＡＢＣ的实形。
a2'
作图
(１) 将△ＡＢＣ变换 成铅垂面 , 求出ａ1、ｂ1 、ｃ1 、d1 ;
(２) 将△ＡＢＣ变换 成正平面 ;
b2' d1' c2'
d'
d
精选课件PPT
27
例题4 已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。
15 b1'
精选课件PPT
3
直线与平面以及两平面之间的相对位置
1. 在投影图中直接反映点、直线、平面之间距离和夹角的一些情况
精选课件PPT
4
§1-5 -2 点的辅助投影(换面法)
点是最基本的几何元素，要学会运用换面法解决问题，必须掌握点的投影变换 规律。
一、点的一次变换
变换V面
V1 a1’
a1’
X1
精选课件PPT
1、点的辅助投影和不变投影的连线，必垂直于辅助投影轴。
2、点的辅助投影到辅助投影轴的距离等于点的被更换投影到原投
影轴的距离。
a’
V1 a1’
a1’
X
V H
X1
a

, . :
,
由于
新投 影 面 与不 变投 影 面 仍 保 持垂 直 关 系 而 且 点 到
不变投 影面的距 离也保持 不 变 所 以 得到 点的换 面 法的基本规律
:
,
须 经两 次 换 面
1 | 1 一ō 奋
影 面 的 二次 换 乏
( l ) 点 的 新 投 影 与不 变 投 影 的 连 线 垂 直 于 新 的
、
袱分问 题
: :
:
通 过 应 用 换面 法 将 会变 得
工 如 何确 定 及 两 次 换面 时 的 顺序 在 直 线 与平 面 的 换 面 法 中 新 投 影 轴 的 位 置 是 有 要 求 的 而 不 是 任愈 放置 的
、 , . ,
械 冲 曹
份 从
厂下简单易行
掌 握好换 面 法 对 学 好
疚
一
、 ,
_
V
l 了
「 1 ,
_
_
入,Βιβλιοθήκη 的 投 影 上 述 内容 概 括 如下 不 能直 接 换 成
,
,
:
若用V
_
:
投 影 面代 替 V 投 影 面 则
_
须经 两 次 换 面 面的
…玫 份 体 杀 构成执的
,
_
_
.
_
_
U
I
甘x l
「 l ,
V
,
_ _ ,
其 投
V 投影面为旧
,
投影面
V
:
t
于 不变 的投 影
。 。 , , ,
的 实 长 ( 形 )及 其对投 影 面 的 倾 角
。
、
拼 p 和与 其有 关 的 一 系列空 间 几 : 何问 题 掌握好 换面法的 关键 在

对平面：若求角，则将平面上的水平线换成垂直线 （即换V面，新轴垂直于水平线的H投影）； 若求β角，则将平面上的正平线换成垂直线 （即换H面，新轴垂直于正平线的V投影）。
[例1] 求点A到直线BC的距离和垂足的投影。 §6-3 十换二面五法规的划应教用材 例 1 ： 求 点 到 一 般 线 距 离
a'
O
X
a
绕铅垂轴旋转
b 轴线通过A点 d1
d' 绕正垂轴旋转
轴线通过C点
c' O
c
d
例
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求铅垂面ABC的实形。
b1'
b'
十二五规划教材
垂 直 面 转 为 平 行 面
c1'
实形
c'
X
c1
b1
a' a
b
O
绕铅垂轴旋转 轴线通过A点
c
旋转法 (绕投影面垂直线旋转）
[例] 求一般面ABC的实形。
c f (h) n
点）、棱面CDHG的
V投影不可见；
e
m
b h1 (d) (d1)
§6-3 十换二面五法规的划应教用材例 7 ： 作 四 棱 柱 及 表 面 上 的 点 的 V 投 影
g1 (c1)
a
e1
f1 (b1)
(a1)
小结
十二五规划教材
小 结 — 求 线 面 与 投 影 面 的 倾 角
具体解题时,应将某个一般位置的直线或平面变换为特殊状态:
[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1

[例] 求线段的实长及倾角 。 （设立平面V1平行于线段AB，则新轴O1X1∥ab）
b1'
V
V1
b1' a'
b'
α
a'
O1
a1' α
B α
a1'
A O1
X V1
X1
a Hb
X1 H
b'
V HX
例 b
平行
平行
a
[例] 求线段AB的实长及倾角β。
a1
（应设立平面H1平行于线
β
段AB，则新轴O1X1∥a’b’。）
V 旧投影面
新投影面
a'
V1
X
V H
A
a'1
ax 旧轴 a 新轴
X ax H a
保留投影面 X1
ax1 a1'
保留投影
V1 新投影
X1
ax1 a1'
新投影
十二五规划教材
点的换面规律
点 的 换 面 规 律
（1）点的新投影与保留投影的连线垂直于新投影轴；
（2）点的新投影到新轴的距离等于旧投影到旧轴的距离.
封
面
十二五规划教材
画法几何与土木工程制图
GEOMETRY AND CIVIL ENGENEERING DRAWING
§5 换面法
十二五规划教材
目 录
§5-1 换面法概述 §5-2 换面法解决的基本作图问题 1.把一般线换成新投影面的平行线 2.把投影面的平行线换成新投影面的垂直线 3.把一般面换成新投影面的垂直面 4.把投影面的垂直面换成新投影面的平行面 5.把一般线换成新投影面的垂直线 6.把一般面换成新投影面的平行面

换面法一、 换面法概述当直线或平面相对于投影面处于特殊位置（平行、垂直）时，它们的投影反映线段的实长、平面的实形及其与头面的倾角。

当直线或平面和投影面处于一般位置时，则它们的投影不具备上述特性。

换面法的目的，就在于将直线或平面从一般位置变换为和投影面平行或垂直的位置，以便于解决它们的度量和定位问题。

1．换面法的基本概念换面法就是保持空间几何元素不动，用一个新的投影面替换其中一个原来的投影面，使新投影面对于空间几何元素处于有利于解题的位置。

然后找出其在新投影面上的投影。

2．新投影面的选择原则（1）新投影面必须和空间的几何元素处于有利于解题的位置；（2）新投影面必须垂直于一个原有的投影面；（3）在新建立的投影体系中仍然采用正投影法。

二、 点的换面点是一切几何元素的基本元素。

因此在研究换面时，首先从点的投影变换来研究换面法的投影规律。

1．点的一次换面（1）换V 面图2-25（a ）表示点A 在原投影体系V/H 中，其投影为a 和a '现令H 面不动，用新投影面V 1来代替V 面，V 1面必须垂直于不动的H 面，这样便形成新的投影体系V 1/H ，O 1X 1是新投影轴。

过点A 向V 1面作垂线，得到V 1面上的新投影1a '，点1a '是新投影，点a '是旧投影，点a 是新、旧投影体系中的共有的不变投影。

a 和1a '是新的投影体系中的两个投影，将V 1面绕O 1X 1轴旋转到与H 面重合的位置时，就得到图2-25（b ）所示的投影图。

由于在（a ） （b ） （c ）图2-25点的一次变换（换V 面）新投影体系中，仍采用正投影方法，又在V/H 投影体系和V 1/H 体系中，具有公共的H 面，所以点a 到H 面的距离（Z 坐标）在两个题词体系中是相等的。

所以有如下关系： 1a 'a ⊥O 1X 1轴；1a '1x a =a 'x a =A a ，即：换V 面时Z 坐标不变。

作业： 作业：A19 A20
c′ ′ b′
.
d′ X a X1 c1 ′ a1 ′ X2
类问题！ 第4类问题！ 类问题
第几类问题？ 第几类问题？
c
d1 ′
b1 ′
b2
.
.
d2
60。 60。
.
b
.
. .
.
d
a2
第2解 解
c2
小 结 重点掌握： 重点掌握： ★掌握常见的四个基本问题的换面 掌握常见的四个基本问题的换面 方法， 用换面法解决问题。 方法，并能灵活运 用换面法解决问题。
5.2 换面法的基本规律
a’ V1 a1 ′ （新投影） 新投影） a ′ （旧投影） 旧投影）
.
X
.
.
V
a1 ′
A
. .
. .a
Za X
Za
X1
a(不变投影） H
X1
点的投影变换规律： 点的投影变换规律：
1. 新投影和不变投影的连线必须垂直于新投影轴； 2. 新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。 新投影到新投影轴的距离等于旧投影到旧投影轴的距离。
投影面平行线（ 投影面平行线（换H面） 面
投影规律： 投影规律： 新投影面中的 投影反映空间 线段实长， 线段实长，其 与新投影轴的 夹角反映了空 间直线与不变 投影面之间的 夹角。 夹角。
X1
b′ a
X
b
2. 一般位置直线 一般位置直线
b′ a
投影面垂直线 投影面平行线 投影面垂直线
X X1
.b （a ）
1. 新投影面必须和空间投影面处于有利的解题位置； 2. 新投影面必须垂直于一个不变投影面； 新投影面必须垂直于一个不变投影面；