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2014年山东省莘县魏庄中学青岛版八年级数学下册9.1二次根式和它的性质课件

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9.1二次根式和它的性质(第二课时)

9.1二次根式和它的性质(第二课时)

思考：如果a≥0，b≥0，你猜测 ab与 a b 是否相等？
你能证明你的结论吗？
ab a b
教学新知
怎样证明 ab a b呢？
证明：
2
ab ab
2
2
2
a b a b ab
又ab ab
b（a 0，b 0）
积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积.
32 __3______
1 2 2
1
__2____
02 __0______
思考：当a≥0时，a2的算术平方根是多少？ a
由此你能得到一个怎样的等式？
a2 a a 0
教学新知
交流与发现
填空：
- 52 __5______
-
1
2
1
__2______
2
思考：当a<0时，a2的算术平方根是多少？ -a
2
a a
a2 a
a (a 0) a (a 0)
教学新知
交流与发现
观察下面每组中的两个算式，说出它们的不同，然后分别计算， 比较运算的结果，你有什么发现？
① 4 9 _6____， 4 9 _6_____； 49 4 9 ② 16 25 _2_0__，16 25 _2_0__. 16 25 16 25
如果没有特别说明，本章 中被开方式中的所有字母 均表示正数。
（3） 9a2
教学新知
比较等式 a 2 a a 0 与
它们有哪些不同？
a2 a
a
a
(a (a
0) 0)
，
不同： 取值范围不同;
a 2：a≥0
a2：a取任意实数
运算顺序不同;
a 2：先开方,后平方

青岛版八年级数学下册第九章《 二次根式的乘除(1、2)》公开课课件

青岛版八年级数学下册第九章《 二次根式的乘除(1、2)》公开课课件

课本P126 习题9.3 复习与巩固
1、2题
13、He who seize the right moment, is the right man.谁把握机遇，谁就心想事成。2021/7/312021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
• 14、谁要是自己还没有发展培养和教育好，他就不能发展培养和教育别人。2021年7月31日星期六2021/7/312021/7/312021/7/31
3；（4）
1
1 2
2 3
=
2
；
m ab
（5）m a n b= nb ；
（6） 2 x 2 y 3 xy
=2 x 。
3
1. 二次根式的乘法和除法法则:
a · b ab (a ≥ 0,b ≥ 0),
a a (a ≥ 0,b > 0). bb 2.二次根式相乘除法，先按照法则进行运算， 如果积或商中含有二次根式，要将它化成最 简二次根式.
15
5
达标检 测
1．如果， x x10 x(x10) 那么（ B）
A、x≥0 B、x≥10 C、0≤x≤10 D、x为全体实数
2．下列各式计算正确的是（B ）
A、 5a
a 5a B、 a
1 a
1
C、 8a9
4a3D、
x(x5) x x5
3．下列式子中不成立的是（A ）
A、3a (3)2a 9aB、2 33 26 6C、(2 3)(2 3)1D、 2 3236
• 15、一年之计，莫如树谷；十年之计，莫如树木；终身之计，莫如树人。2021年7月2021/7/312021/7/312021/7/317/31/2021
• 16、提出一个问题往往比解决一个更重要。因为解决问题也许仅是一个数学上或实验上的技能而已，而提出新的问题，却需要有创造性的想像力，而且标志着科学的真正进步。2021/7/312021/7/31July 31, 2021

八年级数学下册9.1.3二次根式和它的性质课件新版青岛版

八年级数学下册9.1.3二次根式和它的性质课件新版青岛版

(3)
1
1

16
__6____,
23
(4)
1 8 2 17

15 __1_7____.
课堂小结
1.
2. （1）它们的被开方式中__都__不__含__分__母_, （2）被开方式中不含有_能__开__得__尽__方__的因式. 这样的二次根式称为最简二次根式.
祝同学们学习进步！
(４)
考考自己
（一）判断
(1)判断：若 a a 成立，则a 0, b 0 （ 错 ）
b
b
(2)填空：x 4 x 4 成立的条件 x 4
x
x
（3）选择：化简 1 过程正确的是 4
（ C）
A 1（B） 1 1（C） 1 1
4
4 2
42
总结：商的算术平方根性质的运用一定要注意被开 方数的取值范围。
（2） 45x4
4a2b3 (a 0,b 0)
运用积的算 术平方根的
性质。
72
x4 x2 y 4 （x≥0）
2
2
3
3
5
5
4
4
=
8 x 8 x 成立，则X的取值范围是_______。
x5
x5
练一练
运用这条性质可以化去根号内的分母。
1 3 2 9
25
4
1 2
0.25
2 0.01 0.49
4 9
25
6 5
8
练一练
1、下列二次根式中，最简二次根式是( B )
A． 2x2
B． 1 b2
C．
4a
D．
1 x
10

二次根式和它的性质(教学课件)-初中数学青岛版八年级下册

二次根式和它的性质(教学课件)-初中数学青岛版八年级下册

把下列各式化为最简二次根式
32 16 2 16 2 4 2
125 125 25 5 27 27 9 3 25 5 5 5 5 5 3
9 3 3 3 3 3 3 5 15
9
把下列二次根式化为最简二次根式
27b3
3
20
72
5 4
9
小结
这节课学习了二次根式的哪个性质？ 什么是最简二次根式？怎么化简？
与同学交流.
化 简
49 100 49
10 7
10
(a>0)
9 4 a2 9
4 a2 3
2aБайду номын сангаас
化去下列格式的分母
（1）
1 3
1 3 1
3 1 3
3 3 3
3
（2）
1 5a
1 5a 1
5a 1 5a
5a 5a 5a
5a
观察
3 20
2 9 5 有什么共同特征？
2
这些被开方式中都不含有分母， 并且也都不含有能开的尽方的 因式，像这样的二次根式，被 称为最简二次根式
二次根式和它的性质（3）
阅读课本115页与116页，思考下列问题
（1）
a 与 a 运算顺序有什么不同，a,b应满足 b b 什么条件，两个式子才有意义？
a 0, b>0
(2)探索当满足上面的条件时， 两个式子的关系，同桌交流。
a a 其中 a 0, b>0 bb
商的算术平方根，等于被除式的算术平 方根除以除式的算术平方根。

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1(1)课件 二次根式和它的性质

初中数学青岛版八年级下册高效课堂资料9.1(1)课件 二次根式和它的性质
入小组量化； 2.整理改错，梳理知识，反思收获.
回扣目标，反思收获
利用思维导图，梳理知识，构建体系
1.通过交流与发现，了解二次根式的概念，理解 a
（a≥0）的意义，会确定二次根式有意义的条件. 2.通过例2的学习，学会利用等式（ a）2 （a a≥0）， 计算二次根式的平方. 3.通过交流与发现，会用积的算术平方根的性质化 简，注意公式的正向与逆向运用.
______.利用这个等式，可以计算二次根式的平方.
（3） a2 ______________ .
3.积的算术平方根的性质：
.
4.自学例4，体会运用算术平方根的性质进行运算的简便性.
要求：先独立思考，再组内、组际交流、 展示时重点讲解解题思路的梳理和分析. 注意：1.二次根式的性质；
2.步骤一定要规范条理.
•青岛版八年级数学（下）
9.1 二次根式和它的性质（1）
八年级数学组
学习目标
1.通过交流与发现，了解二次根式的概念， 理解 a（a≥0）的意义，会确定二次根式有 意义的条件. 2.通过例2的学习，学会利用等式（ （a）2a≥0a）， 计算二次根式的平方. 3.通过交流与发现，会用积的算术平方根的 性质化简，注意公式的正向与逆向运用.
自学指导
自学课本第112页-115页内容，同时思考下列问题.
1.阅读“交流与发现”：
（1）形如
的式子叫做 ，其中叫做
.
（2）二次根式有意义的条件是什么？
.
2.自学例1、例2、例3，思考：二次根式的性质：
（1）二次根式中有哪两个非负数？_______、_________.
（2）等式=（≥0）中，有哪三个非负数？____、____、

青岛版八年级下册数学《二次根式和它的性质》教学说课复习课件

青岛版八年级下册数学《二次根式和它的性质》教学说课复习课件

知识点 二次根式有意义的条件
知识点 二次根式的性质
“ √￣ ”里面的小猴子想要彻底出来,必须具 备一定的条件,这个条件就是它必须是非负数.
知识点 二次根式的性质
利用二次根式( √￣a )2=a(a≥0) 的性质反过来写a=( √￣a )2, 在实数范围内分解因式时常用到,如在实数范围内因式分解
知识点 商的算术平方根
现有一张边长为5 cm的正方形彩纸,欲从中剪下一个 面积为其一半的正方形,要求剪下的正方形的边长,则 需要利用商的算术平方根的性质进行计算.
知识点 最简二次根式
知识点 有理数的减法法则
在有理数的减法运算中,被减数与减数的位置 不能随意交换,因为减法没有交换律.
二次根式的乘除法
第9章 二次根式
9.1 二次根式和它的性质
课件
知识点 二次根式的概念
在青岛某居民小区的广场上要设计一个图案种 植不同的花草,在边长为a的正方形内种植黄杨, 过正方形四个顶点的圆周上种植冬青球.你能求 出该圆的周长吗?正方形的对角线长为 2 a,即 圆的直径为 2 a,所以过正方形四个顶点的圆的 周长= 2 π·a= 2 πa.这里用到了二次根式的知 识呦!
挑战自我
(6) 3 1 3 4 ;
5 15
(8) （ 2 3）2 32
(7) (2 3 3 2)(2 3 3 2)
(9) 30xy4 5xy 6 y3 ;
(x > 0, y > 0)
挑战自我
6.已知 x 1 =
x
5 1
，试求
x2
1 x2
的值.
小结
1.二次根式的乘除法法则； 2.二次根式的混合运算.
练一练
计算:
解: 解:

八年级数学下册 9.3.1 二次根式的乘法与除法课件 (新版)青岛版


15 5×27
(2)24 ab 3 a 24 · ab 8 ab 8 b .
3a
a
练一练
计算：
（1） 45 3 3
15
3
(2) 3 · 6 3;0
15
5
随堂练习
• 1．如果，x x 10 x(x 10) 那么（B ）
• A、x≥0
B、x≥10 C、0≤x≤10 D、x为全体实数
• • •
(1) 5 · 20
（2）2 2 • 5 1 6
（3） 48 3
5 × 20 100 =10
（4）5 5
（2）2 2 • 5 1 2 5 2 1 10 1 10 3
6
6
3
3
(3)
48 3
（4）5 5
48 3 16 4 ;
25 25 5
5
5
二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或 商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
2 3
=3
2
；
m= ab ； （6）
= 2 x。
2 x2 y
nb
3 xy
3
课堂小结
1.二次根式的乘法和除法法则:
a·b = ab (a≥0,b ≥0),
a b=
a b
(a ≥0,b > 0).
2.二次根式相乘除法，先按照法则进行运算， 如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简 二次根式.
祝同学们学习进步！
八年级下册
9.3.1 二次根式的乘法与除法
学习目标
• 1、了解二次根式的乘除法法则，会运用法则化 简二次根式。
• 2、会根据法则进行二次根式的运算，进一步 提高学生的运算能力。

青岛版(五四制)八年级下册数学课件第9章二次根式(回顾与总结)


乘法： a b ab a 0,b 0
除法： a a a 0,b，0分 母有理化
bb
化成最简二次根式后,被开方式相同的二次根式
例1、x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
1 x 1 ;
x2
(2) x 5 . 3 x
解:（1）由
x
x
1
2
0
0,
学科网
得x≥－1且x≠2.
∴当x≥－1且x≠2时，式子有意义.
（2）由
x 5 0, 3 x 0,
得－5≤x＜3.
∴当－5≤x＜3时，有意x 义5. 3 x
例2、计算：
(1)
32
0.5 2
1 3
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 8
48 ;
23 12 1
x2
3 xy
18 x2 y3
.
解：（1）原式
4
21 2
22 3
31 4
24 3
4
1 2
学科14网学科网
2
2
5
3
2
5
3
2
2
2 5 3
2 2 10 5 3
4 2 10;
2
(3)原式
11 2 3
11 2
3
11122
1.
1、计算：
(1)9 45 3 1 3 2 2 ; 45 6;
52 3
(2) 2 18 4 1 ;
2 1
2
(3) 3 3 2 6
义务教育课程标准实验教科书数学·八年级·下册（泰山版）
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1.知识小结：
概念 二 次 根 式 性质

八年级数学下册 9.3.1 二次根式的乘法与除法课件 (新版)青岛版


2 3
=3
2
；
m= ab ； （6）
= 2 x。
2 x2 y
nb
3 xy
3
课堂小结
1.二次根式的乘法和除法法则:
a·b = ab (a≥0,b ≥0),
a b=
a b
(a ≥0,b > 0).
2.二次根式相乘除法，先按照法则进行运算， 如果积或商中含有二次根式，要将它化成最简 二次根式.
祝同学们学习进步！
a • b ab (a≥0,b≥0)
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根
3、商的算术平方的性质：
a b
a （ａ≥0，ｂ＞0）
b
商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式
的算术平方根
4、逆运算
a a bb
( a≥0，ｂ＞0)
算术平方根的商等于商的算术平方根
例1、计算：
（1） 5 • 20
(1) 5 · 20
（2）2 2 • 5 1 6
（3） 48 3
5 × 20 100 =10
（4）5 5
（2）2 2 • 5 1 2 5 2 1 10 1 10 3
6
6
3
3
(3)
48 3
（4）5 5
48 3 16 4 ;
25 25 55来自5二次根式相乘除，先按照法则进行运算，如果积或 商中含有二次根式，要将它化成最简二次根式.
2A3．．5、a下下 列 列a 各 式5式 子a 计 中B算 不、正 成a 确立1a的的1是是（（BC、））8a9 4a3
D、 x(x 5) x x 5
• A、
BA、
C、
D、
3 a (3)2 a 9a

9.1二次根式和它的性质(3)课件(2014年新青岛版八年级下)

9.1二次根式（3）
复习回顾
1．二次根式的概念；
形如 （a≥0）的式子叫做二次根式． a 2．二次根式的性质
a ≥ 0(a ≥ 0)；
a
2
（ a a≥0）．
复习回顾
积的算术平方根的性质： ab
a b a 0, b 0 作用：化简被开方数为积的形式的二次根式 化简： （1） 25 9
(1)
（２）
(３)
(４)
复习回顾
二次根式的性质
a ≥ 0(a ≥ 0)；
a
2
（ a a≥0）．
（1）它们的被开方式中___________, 最简二次根式： 2）被开方式中不含有___________的因式
一、选择题 a 1、如果 是二次根式，那么a , b应满足的条件是（ b A、a 0, b 0; B、a b 0;
）
a C、a 0, b＞0；Ｄ、 ０． ｂ a a ２、式子 ＝ 成立的条件是（ ） ｂ ｂ A、a＞0, b＞0; Ｂ、a 0, b＞0； Ｃa＞0, b 0; Ｄ、a 0, b 0． ） D、2 5 ） A、5 10 B、10 5 C、5 2
３、化简 50的结果是（
1
3
25 4
3 5
2 2
2
4
0.01 0.49
9 25
1 5 1 2
6
5 8
7
0.04 0.25
1、下列二次根式中，最简二次根式是( B A． D． 1 2 B． 2 C．
)
2x
1 b
4a
x
10 5
15 6
x 3y2
挑战自我
阅读下列运算过程：
，
数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。 利用上述方法化简：
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1
（1 ） x 3
解：（1）要使
（2 ） 1 x
x 3 在实数范围内有意义 则x-3 0
解得x

3 在实数范围内有意义
∴当x
3时， x 3
1
（ 2） 1 x
1
解：要使 1 x 在实数范围内有意义 则 1- x ≠0 x≥0 解得x≥0且x≠1
1
∴当x≥0且x≠1时， 1 x在实数范围内有意义
p
（4）你发现上面各题的答案有什么共同特点？与学过的算术平方根等相比有什 么共同点？与同学交流．
式子 S+25 ， 2S ，
s
p
与算术平方根的共同点:
乙 甲
①都是形如
a的式子，
②a都是非负数.
知识点1：二次根式
一般地，形如
a（a≥0）的式子叫做二次根式．
其中a为整式或分式，a叫做被开方式．
举出几个二次根式的例子：如：
?
课堂小结
（1）二次根式的概念
（2）二次根式的性质 a ① a≥0, ≥0
② a
= a (a≥0)
2
1、（1）
4 5 = 80
2

x +1 =
2

2
x +1
2
1 （2）已知 a 有意义,那A (a,
a )在 二 象限.
2、求下列二次根式中字母的取值范围：
（1）
1 3x 2
我国自主研制的第一艘载人航 天飞船“神舟5号”于2003年10月 15日发射成功． （1）运用运载火箭发射航天飞船，火箭必须达到一定的 速度，才能克服地心的引力，将飞船送入环绕地球运行 的轨道．这个速度称为第一宇宙速度．第一宇宙速度的 计算公式是 V1 = gR ．其中g≈9.8米/秒2，R为地球的半 径.你能求出第一宇宙速度吗？ （2）要使一艘飞船脱离地心引力，进入围绕太阳运行的 轨道所需要的速度称为第二宇宙速度．第二宇宙速度 为 V2 = 2V1 ．第二宇宙速度是多少？
强调：
要保证二次根式有意义，就要使根号下的 数大于等于0。
例1 x取什么实数时，二次根式
解：二次根式
？ 2 x 有意义 1
2 x 1 有意义的条件是2x-1≥0．
由2x-1≥0，得
1 x≥ 2
1 即当x取大于或等于 的实数时，式子 2
2 x 1有意义．
例2、x是怎样的实数时，下列各式在实数范围 内有意义？
1 x 6
（2）
2
2x＋1
1 x 2
x
3. 已知 y = x 2 + 2 x + 3 ，求 y
的值.
9
a=1,b=7
例4.根据算术平方根的意义填空：
( 4) =
2
( 2) =
2
1 2 ( ) = 3
( 0) =
2
知识点2 二次根式的性质
a = a 2.
2
(a≥0)
例5 计算：
解：
(1)( 16 ) 2 ; (3)( 0.85 ) 2 ;
(2)(3 7 ) 2 ;
(4)( a + 5 ) 2 (a≥ 5).
80
2
(3)( 3.6 ) ; 3.6
(4)( x2+ 1 )
x2+1
( a ) = a(a≥ 0)的逆用 知识点3.性质公式
2
把式子 ( a ) 2 = a(a ≥ 0) 反过来，就得到
a = ( a ) (a≥ 0).
利用这个式子，可以把任何一个非负数写 成一个数的平方的形式。
2
小试牛刀
把下列非负数写成一个数的平方的形式: （1）5 ( 5 ) 2 （2）3.4 ( 3.4 ) 2
x取何值时，下列各式在实数范围内有意义？
（1） x + 3
（3 ） 1 + x 2 （5 ） x
+
（2）
（4）
3 2x
1 x2
x
因为 a (a ≥ 0)表示a的算术平方根，
所以 a (a ≥ 0)总是一个非负数, 即 a ≥ 0(a ≥ 0).
知识点2 二次根式的性质
1.a≥0,
a≥0
( 双重非负性)
(1)( 16 ) 2 =16；
(2)(3 7 ) 2 = 32× ( 7 ) 2 = 9× 7 = 63; (3)( 0.85 ) 2 = (
0.85 ) 2 = 0.85;
(4)( a + 5 ) 2 =a＋5 (a≥ 5) .
快ห้องสมุดไป่ตู้抢答
(1)( 12 ) 2 ;
2
12
(2)(4 5 ) 2 ;
例3：已知（x+2）2 + y =0，求xy=？ 解： ∵ （ x+2 )2 ≥0， ≥ y 0，（x+2）2+
y =0
∴ （x+2 )2 =0， y =0
解得x=-2
x y=0
y
∴
练习：若
xy =(-2)0=1
a+
a + b + 1 =0，求a、b的值。
小试身手
已知 a b + 6与 a + b 8互为相反数 求a,b的值
交流与发现
山青林场有甲、乙、丙、丁四块正方形苗圃．已知甲苗圃的面积为S平方米．
（1）如果乙苗圃的面积比甲苗圃大25平方米，乙苗圃的边长是多少？ S + 25 米. （2）如果丙苗圃的面积为甲苗圃的2倍，丙苗圃的边长是多少？ 2 S 米. s 1 （3）如果丁苗圃的面积是甲苗圃的面积的 ，丁苗圃的边长是多少？ p 米
1 2 2 2 ( y 0 ) ， x + y 7， ， x y 2
√
下列各式是二次根式吗?
(1) 32, (2) 6, (3) 12, (m≤0), (5) xy (x,y 异号) (4) m ， (6) a +1 ,
2
(7)
3
5
在实数范围内,负数没有平方根
思考：
若 x + 2 是二次根式，则字母x需要满足 什么条件呢？
1 （3） 6
1 2 ( ) 6
（4）x（x≥0） ( x ) 2
试一试
例6：在
m2 7 范围内因式分解：
解： 7 = ( 7 ) 2
m2 7 = m2 ( 7 )2 = (m + 7 )(m 7 )
练习：在实数范围内因式分解
4 m （1） 4 x 3 （2） 4
2