函数的综合应用(教师)

二次函数与几何综合专题--角问题【模型解读】二次函数与角综合问题，常见的主要有三种类型： 1. 特殊角问题：（1） 利用特殊角的三角函数值找到线段之间的数量关系（2） 遇到特殊角可以构造特殊三角形，如遇到45°构造等腰直角三角形，遇到30°、60°构造等边三角形，遇到90°构造直角三角形2.角的数量关系问题（1）等角问题：借助特殊图形的性质、全等和相似的性质来解决；构造圆，利用圆周角的性质来解决 （2）二倍角问题：利用角平分线的性质、等腰三角形的性质、对称、辅助圆等知识来解答 （3）角的和差问题3.角的最值问题：利用辅助圆等知识来解答【引例】如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线2y x bx c =++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，3OA OC ==，顶点为D ，对称轴交x 轴于点E ． （1）求抛物线的解析式、对称轴及顶点D 的坐标．（2）在抛物线上是否存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，说明理由．（3）该抛物线上是否存在点P，使得PCA CAD∠=∠？若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．∠的平分线与y轴的交点M的坐标．（4）直线AC与抛物线的对称轴交于点F，请求出CDF∠=∠，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理（5）在抛物线上是否存在点P，使得POC PCO由．（6）过点B 的直线交直线AC 于点M ，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，求点M 的坐标．（7）在y 轴上是否存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，若存在，求出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．（8）在对称轴左侧的抛物线上有一点M ，在对称轴右侧的抛物线上有一点N ，满足90MDN ∠=︒．求证：MN 恒过定点，并求出定点坐标．【答案】（1）223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）；（2）存在，P 的坐标为（43，139）或（23，119-）；（3）存在，点P 的坐标为（－4，5）或（52-，74-）；（4）点M 的坐标为（0－3）；（5）存在，P 1，－32）或（1-，－32）；（6）点M 的坐标为（52-，12-）或（12，72-）；（7）在y 轴上存在点N ，点N 的坐标为（0，±2）；（8）见解析，（－1，－3）．【详解】答案：（1）解：∵3OA OC ==， ∴A （－3，0），C （0，－3），∴()20333b c c ⎧=--+⎪⎨-=⎪⎩，解得：23b c =⎧⎨=-⎩，∴抛物线的解析式为：223y x x =+-，对称轴为：直线x ＝－1，顶点坐标为：D （－1，－4）． （2）解：假设存在，如图，当点P 在x 轴上方时，过点P 作PH ⊥x 轴于点H ，设点P 的坐标为（a ，223a a +-）， 则90PHA COE ∠=∠=︒，∵点A （－3，0），点C （0，－3），点E （－1，0），点P （a ，223a a +-）， ∴AH ＝a －（－3）＝a ＋3，PH ＝223a a +-，OC ＝3，EO ＝1，∵PAO OCE ∠=∠，90PHA COE ∠=∠=︒， ∴PHA EOC △∽△， ∴PH AHEO OC=， ∴223313a a a +-+=， 解得：143a =，23a =-（不符合题意，舍去）， 此时2164132323939a a +-=+⨯-=， ∴点P 的坐标为（43，139），当点P 在x 轴下方时，如图，过点P '作P F '⊥x 轴于点F ，设点P '的坐标为（b ，223b b +-）， 则90P FA COE '∠=∠=︒，∵点A （－3，0），点C （0，－3），点E （－1，0），点P '（b ，223b b +-）， ∴AF ＝b －（－3）＝b ＋3，P F '＝223b b --+，OC ＝3，EO ＝1， ∵P AO OCE '∠=∠，90P FA COE '∠=∠=︒， ∴P FA EOC '△∽△， ∴P F AFEO OC'=， ∴223313b b b --++=，解得：123b =，23b =-（不符合题意，舍去）， 此时242112323939b b +-=+⨯-=-， ∴点P '的坐标为（23，119-）， 综上所述，在抛物线上存在点P ，使PAO OCE ∠=∠，此时点P 的坐标为（43，139）或（23，119-）．（3）解：假设存在，如图，当点P 在直线AC 的右上方时，设直线AD 为y kx b =+，将A （－3，0），D （－1，－4）代入，得304k b k b -+=⎧⎨-+=-⎩， 解得：26k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AD 为26y x =--， ∵PCA CAD ∠=∠， ∴//PC AD ，∴设直线PC 为12y x b =-+， 将C （0，－3）代入，得13b =-， ∴直线PC 为23y x =--，将23y x =--与223y x x =+-联立方程，得22323x x x +-=--，解得：14x =-，20x =（不符合题意，舍去） 当4x =-时，235y x =--=， ∴点P 的坐标为（－4，5）；如图，当点P '在直线AC 的左下方时，延长CP '交x 轴于点G ，延长AD 交y 轴于点H ，∵直线AD 为26y x =--， ∴当x ＝0时，y ＝－6， ∴OH ＝6，∵P CA CAD '∠=∠，45OCA OAC ∠=∠=︒， ∴P CA OCA CAD OAC '∠+∠=∠+∠， 即：P CO OAD '∠=∠， ∴在△GOC 与△HOA 中，OCG OAH OC OA COG AOH ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩， ∴△GOC ≌△HOA （ASA ）， ∴OG ＝OH ＝6，∴点G 的坐标为（－6，0）， 设直线CG 为22y k x b =+，将G （－6，0），C （0，－3）代入，得603k b b -+=⎧⎨=-⎩，解得：123kb⎧=-⎪⎨⎪=-⎩，∴直线CG为132y x=--，将132y x=--与223y x x=+-联立方程，得21 2332x x x+-=--，解得：15 2x=-，20x=（不符合题意，舍去）当52x=-时，17324y x=--=-，∴点P的坐标为（52-，74-），综上所述，抛物线上存在点P，使得PCA CAD∠=∠，此时点P的坐标为（－4，5）或（52-，74-）．（4）解：如图，过点D作DH⊥y轴于点H，∵点D为（－1，－4），点C为（0，－3），∴DE＝OH＝4，OC＝3，DH＝1，∴CH＝OH－OC＝1，∴在Rt△CDH中，CD∵DM平分CDF∠，∴∠CDM＝∠FDM，∵DF//y轴，∴∠CMD＝∠FDM，∴∠CMD＝∠CDM，∴CM＝CD∴OM＝OC－CM＝3又∵点M在y轴的负半轴上，∴点M 的坐标为（03）． （5）解：假设存在，∵POC PCO ∠=∠， ∴PC ＝PO ，∴点P 在OC 的垂直平分线上， ∵O （0，0），C （0，－3），∴OC 的垂直平分线为直线y ＝－32，将y ＝－32代入223y x x =+-，得23232x x +-=-，解得：11x ，21x =，∴在抛物线上存在点P ，使得POC PCO ∠=∠，此时点P 1，－32）或（1，－32）． （6）解：若点M 在点C 的左上方时，满足2AMB ACB ∠=∠，如图，过点M 作MH ⊥AB 于点H ，过点C 作CG ⊥MH ，交HM 的延长线于点G ，∵2AMB ACB MBC ACB ∠=∠+∠=∠， ∴ACB MBC ∠=∠， ∴MB MC =，设直线AC 为y kx b =+，将A （－3，0），C （0，－3）代入，得303k b b -+=⎧⎨=-⎩， 解得：13k b =-⎧⎨=-⎩，∴直线AC 为3y x =--， ∵点M 在直线AC 上，∴设点M 的坐标为（x ，－x －3）， 又∵点B （1，0），点C （0，－3），∴MH ＝x ＋3，BH ＝1－x ，MG ＝－x －3－（－3）＝－x ，CG ＝－x ， ∴在Rt △MHB 中，22222(3)(1)MB MH BH x x =+=++-， 在Rt △MGC 中，222222()()2MC MG CG x x x =+=-+-=， ∵MB MC =， ∴22MB MC =， ∴222(3)(1)2x x x ++-=， 解得：52x =-，将52x =-代入3y x =--，得12y =-，∴此时点M 的坐标为（52-，12-），若点M '在点C 的右下方时，满足2PM B ACB '∠=∠， 如图，过点M '作M N AB '⊥于点N ，∵2PM B ACB '∠=∠，2AMB ACB ∠=∠，∴AMB PMB '∠=∠， ∴MBMB '=， 设点M '的坐标为（m ，－m －3），又∵点B （1，0），点M （52-，12-），∴MH ＝52-＋3＝12，BH ＝1－（52-）＝72，M 'N ＝－m －3，BN ＝1－m ，∴在Rt △MHB 中，222221725()()222MB MH BH =+=+=， 在Rt M NB '△中，22222(3)(1)M B M N BN m m ''=+=--+-，∵MBMB '=， ∴22M B MB '=， ∴2225(3)(1)2m m --+-=， 解得：112m =，252m =-（不符合题意，舍去）， 将12x m ==代入3y x =--，得72y =-，∴此时点M '的坐标为（12，72-），综上所述，当直线AC 与BM 的夹角等于ACB ∠的2倍时，点M 的坐标为（52-，12-）或（12，72-）．（7）解：假设在y 轴的正半轴上存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，如图，过点N 作NM ⊥BN ，交CB 的延长线于点M ，过点M 作MH ⊥y 轴于点H ， 则∠MHN ＝∠MNB ＝∠BON ＝90°，∵点A （－3，0），点C （0，－3）， ∴OA ＝OC ＝3， 又∵∠AOC ＝90°， ∴∠BAC ＝∠OCA ＝45°， ∴45BCO BNO BAC ∠+∠=∠=︒， ∴45MBN BCO BNO ∠=∠+∠=︒， ∵∠MNB ＝90°，∴∠NMB ＝∠MBN ＝45°， ∴NB ＝MN ，∵∠MHN ＝∠MNB ＝90°，∴∠HMN ＋∠HNM ＝∠ONB ＋∠HNM ＝90°， ∴∠HMN ＝∠ONB ， ∴在△HMN 与△ONB 中，MHN NOB HMN ONB MN BN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△HMN ≌△ONB （AAS ）， ∴HM ＝ON ，HN ＝OB ， ∵点B 坐标为（1，0）， ∴HN ＝OB ＝1，设HM ＝ON ＝a ，则OH ＝ON ＋HN ＝a ＋1， ∴点M 的坐标为（a ，a ＋1）， 设直线BC 为y kx b =+，将B （1，0），C （0，－3）代入，得3k b b +=⎧⎨=-⎩， 解得：33k b =⎧⎨=-⎩，∴直线BC 为33y x =-， 将点M （a ，a ＋1）代入得：133a a +=-，解得：2a =，∴点N 的坐标为（0，2），当点N 在y 轴的负半轴时，如图所示，根根轴对称的性质可得此时点N 的坐标为（0，－2）， 综上所述，在y 轴上存在点N ，使得BCO BNO BAC ∠+∠=∠，此时点N 的坐标为（0，±2）． （8）解：如图，过点D 作直线l ⊥y 轴，过点M 、N 分别作直线l 的垂线，垂足分别为点H 、G ，设点M 的坐标为（m ，223m m +-），点N 的坐标为（n ，223n n +-）， ∵顶点D 的坐标为（－1，－4），且M 、N 分别位于点D 的左右两侧， ∴2223(4)21MH m m m m =+---=++，1HD m =--，2223(4)21NG n n n n =+---=++，(1)1DG n n =--=+，根据题意可得90MHD DGN MDN ∠=∠=∠=︒， ∴90MDH HMD MDH GDN ∠+∠=∠+∠=︒， ∴HMD GDN ∠=∠， ∴HMD GDN △∽△， ∴MH HDDG NG=， ∴22211121m m mn n n ++--=+++，即22(1)(1)1(1)m m n n +-+=++， ∴(1)(1)1m n -++=， 整理得：20mn m n +++=， 设直线MN 为y kx b =+，将M （m ，223m m +-），N （n ，223n n +-）代入，得222323km b m m kn b n n ⎧+=+-⎨+=+-⎩， 解得：23k m n b mn =++⎧⎨=--⎩，∴直线MN 为(2)3y m n x mn =++--， ∵20mn m n +++=， ∴2m n mn ++=-，∴直线MN 为3(1)3y mnx mn mn x =---=-+-， ∴当10x +=即=1x -时，=3y -，∴无论m ，n 取何值，直线MN 总会经过定点（－1，－3）， ∴直线MN 恒过定点，该定点坐标为（－1，－3）．【模型实例】1．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线()2y a x h k =-+与x 轴相交于O ，A 两点，顶点P 的坐标为()2,1-．点B 为抛物线上一动点，连接,AP AB ，过点B 的直线与抛物线交于另一点C ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点B 的横坐标与纵坐标相等，ABC OAP ∠=∠，且点C 位于x 轴上方，求点C 的坐标；（3）若点B 的横坐标为t ，90ABC ∠=︒，请用含t 的代数式表示点C 的横坐标，并求出当0t <时，点C 的横坐标的取值范围．【答案】（1）214y x x =-或21(2)14y x =--；（2）点C 的坐标为(6,3)或51,4⎛⎫- ⎪⎝⎭；（3）164t t --+；12C x ≥【分析】（1）设抛物线的解析式为()221y a x =--，把点O (0，0)代入即可求解；（2）求得B (0，0)或B (8，8)，分两种情况讨论，①当点B 的坐标为(0，0)时，过点B 作BC ∥AP 交抛物线于点C ，利用待定系数法求得直线BC 的解析式为12y x =，解方程组即可求解；②点B 的坐标为(8，8)时，作出如图的辅助线，利用三角形函数以及轴对称的性质求得M (85，165)，同①可求解；（3）作出如图的辅助线，点B 的坐标为(t ，214t t -)，得到AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ，由AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ，△ABH ~△BMN 得到M (0，2144t t -+)，求得BC 的解析式为：24144y x t t t =-+-+，解方程组求得点C 的横坐标为164t t--+，即可求解．【详解】（1）∵抛物线的顶点坐标为P (2，-1)，∴设抛物线的解析式为()221y a x =--， ∵抛物线经过原点O ，即经过点O (0，0)， ∴()20021a =--， 解得：14a =， ∴抛物线的解析式为()22112144y x x x =--=-； （2）在()21214y x =--中，令y x =， 得：()21214x x =--， 解得0x =或8x =， ∴B (0，0)或B (8，8)，①当点B 的坐标为(0，0)时，过点B 作BC ∥AP 交抛物线于点C ， 此时∠ABC =∠OAP ，如图：在()21214y x =--中，令0y =， 得：()212104x --=， 解得：0x =或4x =， ∴A (4，0)，设直线AP 的解析式为1y kx b =+， 将A (4，0)，P (2，-1)代入得110412k b k b =+⎧⎨-=+⎩，解得：1122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩， ∴直线AP 的解析式为122y x =-，∵BC ∥AP ，∴设直线BC 的解析式为212y x b =+， 将B (0，0)代入得20b =， ∴直线BC 的解析式为12y x =， 由()2121214y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得：00x y =⎧⎨=⎩(此点为点O ，舍去)或63x y =⎧⎨=⎩， ∴点C 的坐标为(6，3)；②点B 的坐标为(8，8)时，过点P 作PQ ⊥x 轴于点Q ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，作H 关于AB 的对称点M ，作直线BM 交抛物线于C ，连接AM ，如图：∵A (4，0)，P(2，-1)， ∴PQ =1，AQ =2，在Rt △APQ 中，1tan 2PQ OAP AQ ∠==， ∵A (4，0)，B (8，8)， ∴AH =4，BH =8，在Rt △ABH 中，1tan 2AH ABH BH ∠==， ∴∠OAP =∠ABH ，∵H 关于AB 的对称点为M ， ∴∠ABM =∠ABH ，∴∠ABC =∠OAP ，即C 为满足条件的点， 设M (x ，y )，∵H 关于AB 的对称点为M ，∴AM =AH =4，BM =BH =8，∴()()()()222222404888x y x y ⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩ 两式相减得：82x y =-，代入即可解得： 80x y =⎧⎨=⎩(此点为点H ，舍去)或85165x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴M (85，165)，同理求得BM 的解析式为：324y x =+， 解()23241214y x y x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得：88x y =⎧⎨=⎩(此点为点B ，舍去)或154x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩，∴点C 的坐标为(-1，54)； 综上，点C 的坐标为(6，3)或(-1，54)； （3）设BC 交y 轴于点M ，过点B 作BH ⊥x 轴于点H ，过点M 作MN ⊥BH 于点N ，如图：∵点B 的横坐标为t ，∴点B 的坐标为(t ，214t t -)，又A (4，0)，∴AH =4t -，BH =214t t -，OH =t =MN ， ∵∠ABC =90°，∴∠MBN =90°-∠ABH =∠BAH ， 且∠N =∠AHB =90°， ∴△ABH ~△BMN ，∴AH BH BN MN=，即2144t t t BN t--=， ∴BN =224414t tt t -=-，∴HN =2144t t -+，∴M (0，2144t t -+)，同理求得BC 的解析式为：24144y x t t t =-+-+，由22144144y x x y x t t t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+-+⎪⎩，得22141444x x x t t t -=-+-+，解得x t =(点B 的横坐标)，或2416164t t x t t t-+=-=--+，∴点C 的横坐标为164t t --+，当0t <时，164C x t t=--+224=++212=+，=C x 的最小值是12，此时4t =-；∴当0t <时，点C 的横坐标的取值范围是12C x ≥． 【点睛】本题考查二次函数综合知识，涉及解析式、锐角三角函数、对称变换、两条直线平行、两条直线互相垂直、解含参数的方程等，综合性很强，难度较大，解题的关键是熟练掌握、应用各种综合知识，用含字母的式子表示线段长度及函数解析式．2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线E ：y ＝﹣（x ﹣m ）2+2m 2（m ＜0）的顶点P 在抛物线F ：y ＝ax 2上，直线x ＝t 与抛物线E ，F 分别交于点A ，B ． （1）求a 的值；（2）将A ，B 的纵坐标分别记为y A ，y B ，设s ＝y A ﹣y B ，若s 的最大值为4，则m 的值是多少？ （3）Q 是x 轴的正半轴上一点，且PQ 的中点M 恰好在抛物线F 上．试探究：此时无论m 为何负值，在y 轴的负半轴上是否存在定点G ，使∠PQG 总为直角？若存在，请求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由抛物线的顶点式可直接得出顶点P的坐标，再代入抛物线F即可得出结论；（2）根据题意可分别表达A，B的纵坐标，再根据二次函数的性质可得出m的值；（3）过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，则△PKQ∽△QNG，设出点M的坐标，可表达点Q和点G的坐标，进而可得出结论．【解答】解：（1）由题意可知，抛物线E：y＝﹣（x﹣m）2+2m2（m＜0）的顶点P的坐标为（m，2m2），∵点P在抛物线F：y＝ax2上，∴am2＝2m2，∴a＝2．（2）∵直线x＝t与抛物线E，F分别交于点A，B，∴y A＝﹣（t﹣m）2+2m2＝﹣t2+2mt+m2，y B＝2t2，∴s＝y A﹣y B＝﹣t2+2mt+m2﹣2t2＝﹣3t2+2mt+m2＝﹣3（t﹣m）2+m2，∵﹣3＜0，∴当t＝m时，s的最大值为m2，∵s的最大值为4，∴m2＝4，解得m＝±，∵m＜0，∴m＝﹣．（3）存在，理由如下：设点M的坐标为n，则M（n，2n2），∴Q（2n﹣m，4n2﹣2m2），∵点Q在x轴正半轴上，∴2n﹣m＞0且4n2﹣2m2＝0，∴n＝﹣m，∴M（﹣m，m2），Q（﹣m﹣m，0）．如图，过点Q作x轴的垂线KN，分别过点P，G作x轴的平行线，与KN分别交于K，N，∴∠K＝∠N＝90°，∠QPK+∠PQK＝90°，∵∠PQG＝90°，∴∠PQK+∠GQN＝90°，∴∠QPK＝∠GQN，∴△PKQ∽△QNG，∴PK：QN＝KQ：GN，即PK•GN＝KQ•QN．∵PK＝﹣m﹣m﹣m＝﹣m﹣2m，KQ＝2m2，GN＝﹣m﹣m，∴（﹣m﹣2m）（﹣m﹣m）＝2m2•QN解得QN＝．∴G（0，﹣）．3.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+2经过A（，0），B（3，）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的解析式；（2）点P在抛物线上，过P作PD⊥x轴，交直线BC于点D，若以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，求点P的横坐标；（3）抛物线上是否存在点Q，使∠QCB＝45°？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据待定系数法，将点A，点B代入抛物线解析式，解关于b，c的二元一次方程组，即可求得抛物线的解析式；（2）设出点P的坐标，确定出PD∥CO，由PD＝CO，列出方程求解即可；（3）过点D作DF⊥CP交CP的延长线于点F，过点F作y轴的平行线EF，过点D作DE⊥EF于点E，过点C作CG⊥EF于点G，证明△DEF≌△FGC（AAS），由全等三角形的性质得出DE＝FG，EF＝CG，求出F点的坐标，由待定系数法求出直线CF的解析式，联立直线CF和抛物线解析式即可得出点P的坐标．【解答】解：（1）将点A（﹣，0），B（3，）代入到y＝ax2+bx+2中得：，解得：，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x+2；（2）设点P（m，﹣m2+m+2），∵y＝﹣x2+x+2，∴C（0，2），设直线BC的解析式为y＝kx+c，∴，解得，∴直线BC的解析式为y＝x+2，∴D（m，m+2），∴PD＝|﹣m2+m+2﹣m﹣2|＝|m2﹣3m|，∵PD⊥x轴，OC⊥x轴，∴PD∥CO，∴当PD＝CO时，以P、D、O、C为顶点的四边形是平行四边形，∴|m2﹣3m|＝2，解得m＝1或2或或，∴点P的横坐标为1或2或或；（3）①当Q在BC下方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，∴∠BHC＝∠CMH＝∠HNB＝90°，∵∠QCB＝45°，∴△BHC是等腰直角三角形，∴CH＝HB，∴∠CHM+∠BHN＝∠HBN+∠BHN＝90°，∴∠CHM＝∠HBN，∴△CHM≌△HBN（AAS），∴CM＝HN，MH＝BN，∵H（m，n），∵C（0，2），B（3，），∴，解得，∴H（，），设直线CH的解析式为y＝px+q，∴，解得，∴直线CH的解析式为y＝﹣x+2，联立直线CF与抛物线解析式得，解得或，∴Q（，）；②当Q在BC上方时，如图，过B作BH⊥CQ于H，过H作MN⊥y轴，交y轴于M，过B作BN⊥MH于N，同理得Q（，）．综上，存在，点Q的坐标为（，）或（，）．4.如图1，在平面直角坐标系中．抛物线y＝ax2+bx+2与x轴交于A（﹣4，0）和B（1，0），与y轴交于点C，连接AC，BC．（1）求该抛物线的解析式；（2）如图2，点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求△MNQ周长的最大值；（3）点P为抛物线上的一动点，且∠ACP＝45°﹣∠BAC，请直接写出满足条件的点P的坐标．【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）设直线AC解析式为y＝kx+2，用待定系数法得直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），即得MN＝﹣x2﹣2x，可证△QMN∽△AOC，有＝＝，故MQ＝2MN，NQ＝MN，可得△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝﹣（x﹣2）2+6+2，即得当x＝2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，由C（0，2），D（2，0），得直线CD解析式为y＝x+2，即可解得P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E （m，n），可得，可解得E（﹣，），从而可得直线CE解析式为：y＝x+2，即可解得P'（﹣，）．【解答】解：（1）把A（﹣4，0）和B（1，0）代入y＝ax2+bx+2得：，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2﹣x+2；（2）由y＝﹣x2﹣x+2可得C（0，2），设直线AC解析式为y＝kx+2，把A（﹣4，0）代入得：﹣4k+2＝0，解得k＝，∴直线AC解析式为y＝x+2，设M（x，﹣x2﹣x+2），则N（x，x+2），∴MN＝﹣x2﹣x+2﹣（x+2）＝﹣x2﹣2x，∵MQ∥x轴，MN∥y轴，∴∠MQN＝∠CAO，∠NMQ＝∠AOC＝90°，∴△QMN∽△AOC，∴＝＝，即＝＝，∴MQ＝2MN，NQ＝MN，∴△MNQ周长MN+MQ+NQ＝MN+2MN+MN＝（3+）MN＝（3+）×（﹣x2﹣2x）＝﹣（x+2）2+6+2，∵﹣＜0，∴当x＝﹣2时，△MNQ周长最大值为6+2；（3）在x轴负半轴上取D，使OC＝OD，连接CD交抛物线于P，如图：∴D（﹣2，0），∠CDO＝45°，此时∠ACP＝45°﹣∠BAC，P是满足条件的点，∵C（0，2），D（2，0），∴直线CD解析式为y＝x+2，由得或，∴P（﹣5，﹣3），作D关于直线AC的对称点E，连接CE并延长交抛物线于P'，由对称性知∠ACP'＝∠ACP，P'是满足条件的点，设E（m，n），根据AE＝AD，CE＝CD可得：，解得或，∴E（﹣，），由E（﹣，），C（0，2）可得直线CE解析式为：y＝x+2，解得或，∴P'（﹣，），综上所述，P的坐标为（﹣5，﹣3）或（﹣，）．5.抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m）和点H，﹣1≤m＜0，直线x＝m﹣1交直线l于点A，交抛物线于点B．（1）求c和k的值（用含m的代数式表示）；（2）过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C．求的取值范围；（3）在（2）的条件下，过点B作x轴的平行线，与抛物线另一个交点为D，若点E是线段BD的中点，探究∠MEN与∠ABC的数量关系，并说明理由．【分析】（1）把点G（1，m）分别代入y＝x2﹣4x+c与y＝kx，即可求得答案；（2）由题意可得A（m﹣1，m2﹣m），B（m﹣1，m2﹣5m+8），M（m+1，m2﹣m），求得＝＝﹣2m+4，再根据一次函数的性质即可求得的取值范围；（3）先求出D（﹣m+5，m2﹣5m+8），E（2，m2﹣5m+8），F（2，m2﹣m），利用三角函数定义可得：tan ∠ABC＝＝，tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，得出∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，进而可得∠MEN＝2∠ABC．【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2﹣4x+c与直线I：y＝kx交于点G（1，m），∴m＝12﹣4×1+c，m＝k×1，∴c＝m+3，k＝m；（2）∵直线x＝m﹣1交直线l于点A，∴y＝m（m﹣1）＝m2﹣m，∴A（m﹣1，m2﹣m），∵直线x＝m﹣1交抛物线于点B，∴y＝x2﹣4x+m+3＝（m﹣1）2﹣4（m﹣1）+m+3＝m2﹣5m+8，∴B（m﹣1，m2﹣5m+8），∴AB＝﹣4m+8，∵过点A作x轴的平行线交抛物线于M，N两点（M在N的左侧），交y轴于点C，∴C（0，m2﹣m），点M的纵坐标与点A的纵坐标相等，∴m2﹣m＝x2﹣4x+m+3，解得：x1＝m+1，x2＝﹣m+3，∴M（m+1，m2﹣m），N（﹣m+3，m2﹣m），∴AM＝m+1﹣（m﹣1）＝2，∴＝＝﹣2m+4，∵﹣2＜0，且﹣1≤m＜0，∴的值随着m的增大而减小，当m＝﹣1时，＝﹣2×（﹣1）+4＝6，当m＝0时，＝﹣2×0+4＝4，∴4≤≤6；（3）∠MEN＝2∠ABC．理由如下：∵BD∥x轴，∴点D的纵坐标与点B的纵坐标相等，∴m2﹣5m+8＝x2﹣4x+m+3，解得：x1＝m﹣1，x2＝﹣m+5，∴D（﹣m+5，m2﹣5m+8），∵点E是线段BD的中点，∴E（2，m2﹣5m+8），如图，设直线x＝2交直线MN于点F，则F（2，m2﹣m），∴MF＝NF＝﹣m+1，EF＝m2﹣5m+8﹣（m2﹣m）＝﹣4m+8，∵AC＝0﹣（m﹣1）＝﹣m+1，AB＝﹣4m+8，∴tan∠ABC＝＝，∵tan∠MEF＝＝，tan∠NEF＝＝，∴∠MEF＝∠NEF＝∠ABC，∴∠MEN＝2∠ABC．6.抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴的正半轴交于C点，△ABC的面积为6．（1）直接写出点A、B的坐标为A（﹣1，0），B（3，0）；抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．（2）如图1，连结AC，若在第一象限抛物线上存在点D，使点D到直线AC的距离为，求点D的坐标；（3）如图2，平行于AC的直线交抛物线于M、N两点，在抛物线上存在点P，当PQ⊥y轴时，PQ恰好平分∠MPN，求P点坐标．【分析】（1）令y＝0，可求出x的值，进而可得出A，B的坐标；令x＝0，可求出y的值，可得出点C的坐标，得出线段OC的长，利用三角形的面积公式可得出a的值；（2）过点O作OQ⊥AC于点Q，根据三角形面积的等积法可求出OQ的长，进可得出点D的位置，利用全等三角形的性质求出直线QA′的解析式，联立可求出点D的坐标；（3）过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，根据∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，可得△MPE∽△NPF，设出M、N、P三点的坐标（只设横坐标，纵坐标用横坐标表示），分别用横坐标之差、纵坐标之差表示出两个相似三角形的直角边，列出比例等式；设出MN的解析式，与抛物线方程联立，得出两根之和的关系式，结合前面的比例等式解出P点的横坐标，进而算出纵坐标．【解答】解：（1）令y＝0，即ax2﹣2ax﹣3a＝0，解得x＝﹣1或x＝3，∴A（﹣1，0），B（3，0）；令x＝0，则y＝﹣3a，∴C（0，﹣3a），即OC＝﹣3a，∴S＝×4×（﹣3a）＝6，解得a＝﹣1，∴函数解析式为：y＝﹣x2+2x+3．故答案为：A（﹣1，0），B（3，0）；y＝﹣x2+2x+3．（2）由（1）知，A（﹣1，0），B（3，0），C（0，3），∴OA＝1，OC＝3，AB＝，过点O作OG⊥AC于点G，∴S△OAC＝•OA•OB＝•AC•OG∴×1×3＝וOG，∴OG＝，设点D到直线AC的距离h＝＝2OG，延长GO到点G′，使得OG′＝OG，过点G′作AC的平行线与x轴交于点A′，与抛物线在第一象限内交于点D，∴∠GAO＝∠G′A′O，∵∠GOA＝∠G′OA′，∴△GAO≌△G′A′O（AAS），∴OA＝OA′＝1，∴A′（1，0），∵A（﹣1，0），C（0，3），∴直线AC的解析式为：y＝3x+3，∴直线A′G′的解析式为：y＝3x﹣3，令3x﹣3＝﹣x2+2x+3，解得x＝2或x＝﹣3，∵点D在第一象限，∴D（2，3）．（3）如图，过点M作ME⊥DE于E，过点N作NF⊥DE于F，设M（x1，﹣x12+2x1+3），N（x2，﹣x22+2x2+3），P（x0，﹣x02+2x0+3），则：ME＝﹣x12+2x1+3﹣（﹣x02+2x0+3）＝﹣x12+2x1+x02﹣2x0＝﹣（x1﹣x0）（x1+x0）+2（x1﹣x0）＝（x0+x1﹣2）（x0﹣x1），PE＝x0﹣x1，FN＝﹣x02+2x0+3﹣（﹣x22+2x2+3）＝﹣（x0+x2﹣2）（x0﹣x2），PF＝x0﹣x2，∵PQ恰好平分∠MPN，即∠MPE＝∠NPE，∠MEP＝∠NFP＝90°，∴△MPE∽△NPF，∴＝，∴＝，∴x0＝，∵A（﹣1，0），C（0，﹣3），∵MN∥AC，∴设直线MN的解析式为y＝3x+b，令3x+b＝﹣x2+2x+3，由消去y整理得：x2+x﹣3+b＝0，由韦达定理可知：x1+x2＝﹣1，∴x＝，∴x−2x−3＝，∴P（，）．7.如图，抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象经过点C，交x轴于点A（x1，0），B（x2，0）（点A在点B左侧），且x2﹣x1＝5，连接BC，D是AC上方的抛物线一点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，CD，S△DCE：S△BCE是否存在最大值？若存在，请求出其最大值及此时点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）第二象限内抛物线上是否存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍？若存在，求点D的横坐标，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用抛物线与x轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系，用一元二次方程根与系数的关系定理列出关于m的方程，解方程即可得出结论；（2）过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，利用待定系数法求得直线AC的解析式，设D（a，a+2），则M（a，a+2），求得线段DM，BN的长，利用同高的三角形的面积关系列出S△DCE：S△BCE关于a的等式，利用配方法和二次函数的性质解答即可；（3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当∠DCF＝2∠BAC时，②当∠FDC＝2∠BAC时：取AB的中点P，连接OP，过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，利用勾股定理的逆定理判定△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°，设D（a，a+2），则DR＝﹣a，OR＝a+2，利用直角三角形的边角关系定理列出关于a的方程，解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵抛物线y＝mx2+3mx﹣2m+1的图象交x轴于点A（x1，0），B（x2，0），∴x1，x2是方程mx2+3mx﹣2m+1＝0的两根，∴x1+x2＝﹣3，x1•x2＝．∵x2﹣x1＝5，∴＝25．即：﹣4x1•x2＝25，∴9﹣4×＝25．解得：m＝﹣．∴抛物线的解析式为y＝﹣﹣x+2．（2）S△DCE：S△BCE存在最大值，此时点D的坐标为（﹣2，3），理由：令y＝0，则﹣﹣x+2＝0，解得：x＝﹣4或1，∴A（﹣4，0），B（1，0），令x＝0，则y＝2，∴C（0，2）．设直线AC的解析式为y＝kx+b，∴，解得：，∴直线AC的解析式为y＝x+2．过点D作DH⊥x轴于点H，交AC于点M，过点B作BN⊥x轴于点B，交直线AC于点N，如图，则DM∥BN，∴△EDM∽△EBN，∴．设D（a，a+2），则M（a，a+2），∴DM＝（a+2）﹣（a+2）＝﹣﹣2a．当x＝1时，y＝×1+2＝，∴N（1，）．∴BN＝．∵等高的三角形的面积比等于底的比，∴S△DCE：S△B∁E＝．∴S△DCE：S△B∁E＝＝﹣﹣a＝﹣（a+2）2+，∵＜0，∴当a＝﹣2时，S△DCE：S△BCE有最大值为，此时点D（﹣2，3）；（3）第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣，理由：∵A（﹣4，0），B（1，0），C（0，2），∴OA＝4，OB＝1，OC＝2，∴AC＝＝2，BC＝＝，AB＝OA+OB＝5．∵AC2+BC2＝25＝AB2，∴△ABC为直角三角形，∠ACB＝90°．取AB的中点P，连接OP，则P（﹣，0），∴OP＝．∴P A＝PB＝PC＝，∴∠BAC＝∠PCA．∵∠CPB＝∠BAC+∠PCA，∴∠CPB＝2∠BAC．过点D作DR⊥y轴于点R，延长交AC于点G，如图，①当∠DCF＝2∠BAC时，设D（m，m+2），则DR＝﹣m，OR＝m+2，∴CR＝OR﹣OC＝m．∵DR⊥y轴，OA⊥y轴，∴DR∥AB，∴∠G＝∠BAC．∵∠DCF＝∠G+∠CDG，∠DCF＝2∠BAC，∴∠CDG＝∠G＝∠BAC．∵tan∠BAC＝，∴tan∠CDR＝．∴，∴解得：m＝﹣2或0（舍去），∴m＝﹣2．∴点D的横坐标为﹣2；②当∠FDC＝2∠BAC时，∵∠CPB＝2∠BAC，∴∠FDC＝∠CPB．∵tan∠CPB＝，∴tan∠FDC＝，∵tan∠FDC＝，∴，设FC＝4n，则DF＝3n，∴CD＝＝5n．∵tan∠G＝tan∠BAC＝，∴tan∠G＝，∴FG＝6n．∴CG＝FG﹣FC＝2n．∵tan∠G＝，∴RC＝n，∴DR＝＝n，∴，解得：a＝或0（舍去），∴a＝﹣，即点D的横坐标为﹣，综上，第二象限内抛物线上存在一点D，DF垂直AC于点F，使得△DCF中有一个锐角等于∠BAC的两倍，点D的横坐标为﹣2或﹣．【课后练习】1.如图1，抛物线y＝ax2+bx+3经过A（1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C，（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图2，M是x轴下方的抛物线上一点，连接MO、MB、MC，若△MOC的面积是△MBC面积的3倍，求点M的坐标；（3）如图3，连接AC、BC，在抛物线上是否存在一点N（不与点A重合），使得∠BCN＝∠ACB？若存在，求点N的横坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）由于抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，那么可以得到方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，然后利用根与系数即可确定a、b的值．（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，设点M（m，m2﹣4m+3），过点M作MN∥y轴，交BC于点N，则N（m，﹣m+3），根据△MOC的面积是△MBC面积的3倍，即可得到点M的坐标；（3）过点B作BE⊥AB交CN与E，证明△ABC≌△EBC（ASA），根据全等三角形的性质得BE＝AB＝2，求得E的坐标，由点E、C的坐标可得直线CN的解析式，联立y＝x2﹣4x+3即可求得N点的坐标．【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+3过A（1，0）、B（3，0）两点，∴方程ax2+bx+3＝0的两根为x＝1或x＝3，∴1+3＝﹣，1×3＝，∴a＝1，b＝﹣4，∴二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3；（2）∵二次函数解析式是y＝x2﹣4x+3，∴C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+t（k≠0），则，解得：．∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设点M（m，m2﹣4m+3），过点M作MN∥y轴，交BC于点N，∴N（m，﹣m+3），∴MN＝﹣m+3﹣m2+4m﹣3＝﹣m2+3m，∵A（1，0）、B（3，0），C（0，3）．∴S△MOC＝OC•m＝m，S△MBC＝MN•OB＝﹣m2+m，∵△MOC的面积是△MBC面积的3倍，∴m＝3（﹣m2+m），∴m＝0（舍去）或，∴点M的坐标为（，﹣）；（3）抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．过点B作BE⊥AB交CN与E，∵B（3，0），C（0，3）．∴OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°，∴∠OBC＝∠EBC＝45°，∵BC＝BC，∠BCN＝∠ACB．∴△ABC≌△EBC（ASA），∴BE＝AB＝2，∴E（3，2），设直线CN的解析式为y＝mx+n，∴，解得，∴直线CN的解析式为y＝﹣x+3，联立y＝x2﹣4x+3得，或（舍去），∴抛物线上存在一点N，使得∠BCN＝∠ACB．点N的横坐标为．2.如图，抛物线与x轴交于点A和点C（﹣1，0），与y轴交于点B（0，3），连接AB，BC，对称轴PD交AB与点E．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，试探究：线段BC上是否存在点M，使∠EMO＝∠ABC，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图3，点Q是抛物线的对称轴PD上一点，若以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，请直接写出点Q纵坐标n的取值范围．【分析】（1）用待定系数法即可求解；（2）先求出A（4，0），可得抛物线的对称轴为x＝＝，证明∠ACB＝∠ABC，△MCO∽△EBM，可得MC•BM＝BE•CO，求出MC，即可求解；（3）当∠BAQ为直角时，求出直线BQ的表达式为y＝x+3，得到n＝5；当∠BQA为直角时，利用解直角三角形的方法求出n＝；当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣，进而求解．【解答】解：（1）由题意得：，解得，故抛物线的表达式为y＝﹣x2+x+3；（2）对于y＝﹣x2+x+3，令y＝﹣x2+x+3＝0，解得x＝4或﹣1，故点A的坐标为（4，0），∵点A（4，0），B（0，3），C（﹣1，0），∴抛物线的对称轴为x＝＝，直线AB的表达式为y＝﹣x+3，AB＝＝5＝AC．∴∠ACB＝∠ABC，点E（，），∵∠CME＝∠CMO+∠OME＝∠ABC+∠MEB，∠ABC＝∠OME，∴∠CMO＝∠BEM．∴△MCO∽△EBM，∴，∴MC•BM＝BE•CO，∵B（0，3），E（，），∴BE＝＝，∴MC•BM＝，∵MC+BM＝BC＝＝．∴MC＝或MC＝．∴＝或＝，如图，过M作MK⊥x轴于K，则MK∥y轴，∴△CMK∽△CBO，∴＝或，即＝或，∴MK＝或，∵B（0，3），C（﹣1，0），∴直线BC的解析式为y＝3x+3，∴M的﹣横坐标为﹣或﹣，∴点M的坐标为（﹣，）或（﹣，）；（3）设点Q的坐标为（，n），当∠ABQ为直角时，如图，设BQ交x轴于点H，∵∠ABQ＝90°，∴∠BAO+∠BHA＝90°，∵∠BAO+∠ABO＝90°，∴∠ABO＝∠BHA，∵tan∠ABO＝，∴tan∠BHO＝，故设直线BQ的表达式为y＝x+t，∵该直线过点B（0，3），∴t＝3，∴直线BQ的表达式为y＝x+3，当x＝时，y＝x+3＝5，即n＝5；②当∠BQA为直角时，过点Q作直线MN交y轴于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，∵∠BQN+∠MQA＝90°，∠MQA+∠MAQ＝90°，∴∠BQN＝∠MAQ，∴tan∠BQN＝tan∠MAQ，即，则，解得n＝；③当∠BAQ为直角时，同理可得，n＝﹣；综上，以点Q、A、B为顶点的三角形是锐角三角形，则△ABQ不为直角三角形，故点Q纵坐标n的取值范围为﹣＜n＜或＜n＜5．3.如图1，抛物线y＝ax2﹣x+c与x轴交于A（﹣2，0）、B（4，0）两点，与y轴交于点C，直线l与抛物线交于A、D两点，其中D点的横坐标为2．（1）求抛物线的解析式以及直线AD的解析式；（2）点P是抛物线上位于直线AD下方的动点，过点P作x轴，y轴的平行线，交AD于点E、F，当PE+PF取最大值时，求点P的坐标；（3）如图2，连接AC，点Q在抛物线上，且满足∠QAB＝2∠ACO，求点的坐标．【分析】（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2﹣x+c，求出抛物线的解析式，求出D点坐标后，利用待定系数法求直线AD的解析式；（2）由题意可得PF＝PE，设P（x，x2﹣x﹣4），F（x，﹣x﹣2），则PF＝﹣x2+2，当PF最大时，PF+PE就最大，由此求解即可；（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，证明△OCN≌△OCA（SAS），则可推导出∠QAB＝∠NCA，再由S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，求出tan∠NCA＝，分两种情况讨论：当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，tan∠NCA＝tan∠QAB＝，可求点I（0，﹣），求出直线AQ解析式为y＝﹣x﹣，联立方程组得：，可求点Q坐标为（，﹣），当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：y＝x+，联立方程组得：，可求点Q坐标为（，）．【解答】解：（1）将A（﹣2，0），B（4，0）代入y＝ax2﹣x+c，得，解得，∴抛物线解析式为y＝x2﹣x﹣4，当x＝2时，y＝﹣4，∴D（2，﹣4），设直线AD的解析式为y＝kx+b，将A（﹣2，0）D（2，﹣4）代入，得，解得，∴直线AD的解析式为y＝﹣x﹣2；（2）根据题意作图，如图1，在y＝﹣x﹣2上，当x＝0时，y＝﹣2，∴AD与y轴的交点M的坐标为（0，﹣2），∴OA＝OM，∠AOM＝90°，∴∠OAB＝45°，∵PE∥x轴，PF∥y轴，∴∠PEF＝∠OAB＝45°，∠EPF＝90°，∴PF＝PE，设P（x，x2﹣x﹣4），F（x，﹣x﹣2），∴PF＝﹣x2+2，∵P在AD的下方，∴﹣2＜x＜2，当x＝0时，PF有最大值为2，此时PF+PE最大，∴P（0，﹣4）；（3）在BO上截取ON＝OA，连接CN，过点A作AH⊥CN，如图2，∵点A（﹣2，0），点C（0，﹣4），∴OA＝2，OC＝4，∴AC＝2，∵ON＝OA，∠CON＝∠COA＝90°，OC＝OC，∴△OCN≌△OCA（SAS），∴∠ACO＝∠NCO，CN＝AC＝2，∴∠NCA＝2∠ACO，∵∠QAB＝2∠ACO，∴∠QAB＝∠NCA，∵S△ANC＝AN×OC＝AH×CN，∴AH＝，∴CH＝，∴tan∠NCA＝，如图3，当点Q在AB的下方时，设AQ与y轴交于点I，∵∠QAB＝∠NCA，∴tan∠NCA＝tan∠QAB＝，∴OI＝，∴点I（0，﹣），又∵点A（﹣2，0），∴直线AQ解析式为：y＝﹣x﹣，联立方程组得：，解得：或（不合题意舍去），∴点Q坐标为（，﹣），当点Q在AB的上方时，同理可求直线AQ解析式为：y＝x+，联立方程组得：，解得：（不合题意舍去）或，∴点Q坐标为（，），综上所述：点Q的坐标为（，﹣）或（，）．。

x/小时y /千米 600146O F E C D（第5题）一次函数的应用1．（2010安徽省中中考） 甲、乙两个准备在一段长为1200米的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别为4s m /和6s m /，起跑前乙在起点，甲在乙前面100米处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到达终点的过程中，甲、乙两之间的距离y(m)与时间t(s)的函数图象是……………………………………（ ）２．（2010 江苏连云港）某公司准备与汽车租凭公司签订租车合同，以每月用车路程x km 计算，甲汽车租凭公司每月收取的租赁费为y 1元，乙汽车租凭公司每月收取的租赁费为y 2元，若y 1、y 2与x 之间的函数关系如图所示，其中x ＝0对应的函数值为月固定租赁费，则下列判断错误．．的是（ ） A ．当月用车路程为2000km 时，两家汽车租赁公司租赁费用相同 B ．当月用车路程为2300km 时，租赁乙汽车租赁公车比较合算 C ．除去月固定租赁费，甲租赁公司每公里收取的费用比乙租赁公司多D ．甲租赁公司平均每公里收到的费用比乙租赁公司少３．（2010鄂尔多斯）某移动通讯公司提供了A 、B 两种方案的通讯费用y(元)与通话时间x(分)之间的关系，如图所示，则以下说法错误．．的是 A .若通话时间少于120分，则A 方案比B 方案便宜20元 B .若通话时间超过200分，则B 方案比A 方案便宜 C .若通讯费用为了60元，则方案比A 方案的通话时间多 D .若两种方案通讯费用相差10元，则通话时间是145分或185分４．（2010天门、潜江、仙桃）甲、乙两人以相同路线前 往距离单位10km 的培训 中心参加学习.图中l 甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所走的路程 S (km)随时间t (分)变化的函数图象.以下说法：①乙比甲提前12分钟到达；②甲的 平均速度为15千米/小时；③乙走了8km 后遇到甲；④乙 出发6分钟后追上甲.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个５．（2010 浙江台州市）A ，B 两城相距600千米，甲、 乙两车同时从A 城出发驶向B 城，甲车到达B 城后立即 返回．如图是它们离A 城的距离y （千米）与行驶时间 x （小时）之间的函数图象． （1）求甲车行驶过程中y 与x 之间的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．第２题1000 2000 3000 x(km)10002000 3000 y (元)y 1 y 2y/km 90甲 乙6．（2010浙江湖州）一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶.设行驶的时间为x(时)，两车之间的距离为y (千米)，图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y 与x 之间的函数关系．（1）根据图中信息，求线段AB 所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离； （2）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t 时，求t 的值； （3）若快车到达乙地后立刻返回甲地，慢车到达甲地后停止行驶，请你在图中画出快车从乙地返回到甲地过程中y 关于x 的函数的大致图像. (温馨提示：请画在答题卷相对应的图上)7．春节期间，某客运站旅客流量不断增大，旅客往往需要长时间排队等候购票．经调查发现，每天开始售票时，约有400人排队购票，同时又有新的旅客不断进入售票厅排队等候购票．售票时售票厅每分钟新增购票人数4人，每分钟每个售票窗口出售的票数3张．某一天售票厅排队等候购票的人数y （人）与售票时间x （分钟）的关系如图所示，已知售票的前a 分钟只开放了两个售票窗口（规定每人只购一张票）． （1）求a 的值．（2）求售票到第60分钟时，售票听排队等候购票的旅客人数．（3）若要在开始售票后半小时内让所有的排队的旅客都能购到票，以便后来到站的旅客随到随购，至少需要同时开放几个售票窗口？8．（2010湖北省咸宁）在一条直线上依次有A 、B 、C 三个港口，甲、乙两船同时分别从A 、B 港口出发，沿直线匀速驶向C 港，最终达到C 港．设甲、乙两船行驶x （h ）后，与．B ．港的距离．．．．分别为1y 、2y （km ），1y 、2y 与x 的函数关系如图所示．（1）填空：A 、C 两港口间的距离为 km ， a ；（2）求图中点P 的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；（3）若两船的距离不超过10 km 时能够相互望见，求甲、乙两船可以相互望见时x 的取值范围．9．（2010辽宁大连）25.某物流公司的甲、乙两辆货车分别从A 、B 两地同时相向而行，并以各自的速度匀速行驶，途径配货站C ，甲车先到达C 地，并在C 地用1小时配货，然后按原速度开往B 地，乙车从B 地直达A 地，图16是甲、乙两车间的距离y （千米）与乙车出发x （时）的函数的部分图像（1）A 、B 两地的距离是 千米，甲车出发 小时到达C 地；（2）求乙车出发2小时后直至到达A 地的过程中，y 与x 的函数关系式及x 的取值范围，并在图16中补全函数图像；（3）乙车出发多长时间，两车相距150千米10．（2010黑龙江绥化）因南方早情严重，乙水库的蓄水量以每天相同的速度持续减少.为缓解旱情，北方甲水库立即以管道运输的方式予以支援.下图是两水库的蓄水量y （万米3）与时间x （天）之间的函数图象．在单位时间内，甲水库的放水量与乙水库的进水量相同（水在排放、接收以及输送过程中的损耗不计）．通过分析图象回答下列问题：（1）甲水库每天的放水量是多少万立方米？ （2）在第几天时甲水库输出的水开始注入乙水库？此时乙水库的蓄水量为多少万立方米？ （3）求直线AD 的函数解析式．1.5 2300x （时）O y （千米）3011、（2011年长春）甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量y(件)与时间x(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式．（2分）（2）求乙组加工零件总量a的值．（3分）（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？（5分）12、一辆客车从甲地开往甲地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1（km），出租车离甲地的距离为y2（km），客车行驶时间为x （h），y1，y2与x的函数关系图象如图12所示：（1）根据图象，直接写出．．．．y1，y2关于x的函数关系式。

一次函数与反比例函数综合应用教案一、教学目标1. 让学生掌握一次函数和反比例函数的基本概念和性质。

2. 培养学生运用一次函数和反比例函数解决实际问题的能力。

3. 引导学生通过合作交流，提高解决问题的策略和思维能力。

二、教学内容1. 一次函数的基本概念和性质。

2. 反比例函数的基本概念和性质。

3. 一次函数和反比例函数的综合应用。

三、教学重点与难点1. 教学重点：一次函数和反比例函数的基本概念、性质和综合应用。

2. 教学难点：一次函数和反比例函数的综合应用。

四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生主动探究一次函数和反比例函数的性质。

2. 利用案例分析法，让学生通过实际问题体会一次函数和反比例函数的应用价值。

3. 采用合作交流法，培养学生团队协作和沟通能力。

五、教学过程1. 导入新课：通过生活实例引入一次函数和反比例函数的概念。

2. 自主学习：让学生自主探究一次函数和反比例函数的性质。

3. 案例分析：分析实际问题，引导学生运用一次函数和反比例函数解决问题。

4. 合作交流：分组讨论，让学生分享解题策略和心得。

5. 总结提升：总结一次函数和反比例函数的性质及应用，提高学生解决问题的能力。

6. 课后作业：布置相关练习题，巩固所学知识。

六、教学活动设计1. 活动一：引入概念通过展示实际生活中的线性关系图片，如直线轨道上列车的运动，引导学生思考线性关系的表现形式。

引导学生提出一次函数的表达式，并解释其含义。

2. 活动二：探索性质学生通过绘制一次函数图像，观察并总结其在坐标系中的性质。

通过实际例子，让学生理解一次函数的斜率和截距对图像的影响。

3. 活动三：反比例函数的引入引导学生从比例关系出发，思考反比例函数的概念。

通过实际问题，如在固定面积内，距离与面积的关系，引入反比例函数。

七、教学评价设计1. 评价目标：学生能理解并应用一次函数和反比例函数解决实际问题。

通过设计具有挑战性的问题，如购物预算问题，让学生应用所学的函数知识。

第11讲 函数复习专题2.函数图象与零点（教师）一、教学目标：1.会运用函数图象理解和研究函数的性质．2.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的关系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数．3．根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解二、重点难点：1.函数图像及运用2.函数零点与方程关系三、教学方法：“一学二记三应用” 四、知识梳理：（１）描点法作函数图象，应注意在定义域内依据函数的性质，选取关键的一部分点连接而成.（２）图象变换法，包括有平移变换、伸缩变换、对称翻折变换.的图像的画法：先画时，再将其关于对称，得轴左侧的图像. 的图像画法：先画的图象，然后位于轴上方的图象不变，位于轴下方的图象关于 轴翻折上去. 的图象关于对称；的图象关于点对称.的图象关于轴对称的函数图象解析式为；关于轴对称的函数解析式为；关于原点对称的函数解析式为.(3)熟记基本初等函数的图象，以及形如的图象五．课前评估：1．[2022·重庆六校联考]函数f (x )＝sin πxx2的大致图象为( )0(0(()()a a a a f x f x a ><−−−−−−−→+向左平移个单位）向右平移个单位）0(0(()()+k k k f x f x k ><−−−−−−−→向上平移k 个单位）向下平移个单位）11(101(()()(0,1)f x f x w ωωωωωω><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的纵坐标不会，横坐标缩短为原来的）图像上所有点的纵坐标不会，横坐标伸长为原来的）1(01(()()(0,1)A A A f x Af x A A ><<−−−−−−−−−−−−−−−−→>≠图像上所有点的横坐标不会，纵坐标伸长为原来的）图像上所有点的横坐标不会，纵坐标缩短为原来的A ）()f x 0x ≥()y f x =y y ()f x()y f x =x x x ()()f a x f a x +=-()y f x =x =a ()()f a x f a x +=--()y f x =(a,0）()y f x =x (y f x =-）y (-y f x =）-(-y f x =）1y x x=+xyf x () = x +1x–1–2–3–41234–1–2–3–41234O答案：D 解析：易知函数f (x )＝sinπxx 2为奇函数且定义域为{x |x ≠0}，只有选项D 满足， 2．[2022·福州质检]若函数f (x )的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝e x ＋1B ．f (x )＝e x －1C ．f (x )＝e －x ＋1D ．f (x )＝e －x －1答案：D 解析：与y ＝e x 的图象关于y 轴对称的图象对应的函数为y ＝e －x .依题意，f (x )的图象向右平移1个单位长度，得y ＝e －x 的图象，∴f (x )的图象是由y ＝e －x 的图象向左平移1个单位长度得到的，∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.3．[2022·全国卷Ⅱ]函数f (x )＝e x －e －xx 2的图象大致为( )A BCD答案：B 解析：∵ y ＝e x －e －x是奇函数，y ＝x 2是偶函数，∴ f (x )＝e x －e －xx 2是奇函数，图象关于原点对称，排除A 选项．当x ＝1时，f (1)＝e －e －11＝e －1e>0，排除D 选项．又e>2，∴ 1e <12，∴ e －1e>1，排除C 选项．故选B.题型一 识图与辨图例1（1）（2022年高考浙江卷）在同一直角坐标系中，函数y =1x a ，y =log a (x +12)(a >0，且a ≠1)的图象可能是答：D（2）在同一直角坐标系中，函数()2f x ax =-， ()()log 2a g x x =+（0a >，且1a ≠）的图象大致为（ ）A. B. C. D.（3）（2022年高考全国3卷）函数3222x xxy -=+在[]6,6-的图像大致为 A ． B ．C ．D ．答：B（4）（2022年高考全国1卷）函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．答：D课堂练习1：（1）（内江市高中2022届第一次模拟考试题）函数()()21=ln 2x f x x e -+-的图象大致是（ ）2sin cos ++x xx xA. B C. D.答：C （2）．（2022届吉林省五地六校联考高三考前适应卷）已知函数()(22)ln ||x x f x x -=+的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B 【详解】()f x 定义域为{}0x x ≠，()()()()22ln 22ln x x x x f x x x f x ---=+-=+=()f x ∴为偶函数，关于y 轴对称，排除D ；当()0,1x ∈时，220x x -+>，ln 0x <，可知()0f x <，排除,A C .题型二 图象初等变换例2 （1）（江西省红色七校2022届高三第一次联考理科数学科试题）设，则函数的图象的大致形状是（ ）答：B（2）已知图①中的图象对应的函数为y ＝f (x )，则在下列给出的四个选项中，图②中的图象对应的函数只可能是( )A ．y ＝f (|x |)B ．y ＝|f (x )|C ．y ＝f (－|x |)D ．y ＝－f (|x |)答案：C 解析：由图②知，图象关于y 轴对称，对应的函数是偶函数．对于A ，当x >00a >()y x x a =-时，y＝f(|x|)＝f(x)，其图象在y轴右侧与图①的相同，不符合，故错误；对于B，当x>0时，对应的函数是y＝f(x)，显然B错误；对于D，当x<0时，y＝－f(－x)，其图象在y轴左侧与图①的不相同，不符合，故错误；所以C选项是正确的．（3）已知函数，则函数的大致图象是（）A. B. C. D.解析】，函数在处图象有跳跃点，选项AC错误；当（4）．若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为()答案：C解析：要想由y＝f(x)的图象得到y＝－f(x＋1)的图象，需要先将y＝f(x)的图象关于x轴对称得到y＝－f(x)的图象，然后向左平移1个单位长度得到y＝－f(x＋1)的图象，根据上述步骤可知C正确．（5）[2022·咸宁模拟]已知a>0，且a≠1，函数y＝a x与y＝log a(－x)的图象可能是图中的()答案：B解析：通解因为y＝a x与y＝log a x互为反函数，而y＝log a x与y＝log a(－x)的图象关于y轴对称，根据图象特征可知选B.优解首先，曲线y＝a x只可能在x轴上方，曲线y＝log a(－x)只可能在y轴左边，从而排除A，C；其次，y＝a x与y＝log a(－x)的增减性正好相反，排除D，选B.（6）（提高）函数的部分图象大致为（）A. B. C. D.【解析】分析：分析函数的奇偶性，以及是函数值的符号，利用排除法即可得到答案.解：由题意，函数满足，所以函数为奇函数，图象关于轴对称，排除B 、D ；又由当时，函数，排除C ，故选A.[规律方法] 识图常用方法：(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题． 课堂练习2.（1）.函数的图象大致为( )A. B. C. D. 【解析】根据函数表达式得到,故函数是奇函数，排除D 选项，当x 趋向于正无穷时，函数值趋向于0，并且大于0，排除B ；当x 从左侧趋向于1时，函数值趋向于负无穷，故排除 C.故答案为:A. （2） 函数的图象可能是（ ）A. B. C. D. 【解析】试题分析：化简函数的解析式，判断函数的对称性，利用函数的值判断即可． 详解：函数f （x ）==，可知函数的图象关于（2，0）对称，排除A ，B ．当x ＜0时，ln （x ﹣2）2＞0，（x ﹣2）3＜0，函数的图象在x 轴下方，排除D ，故选：C ．题型三 零点判断与运用例3 （1）[2022·南昌调研]函数f (x )＝2x ＋ln 1的零点所在的大致区间是( ) A ．(1,2) B ．(2,3) C ．(3,4) D ．(4,5)答案：B 解析：易知f (x )＝2x ＋ln 1x －1＝2x－ln(x －1)在(1，＋∞)上单调递减且连续，当1<x <2时，ln(x －1)<0，2x>0，所以f (x )>0，故函数f (x )在(1,2)上没有零点．f (2)＝1－ln1＝1，f (3)＝23－ln2＝2－3ln23＝2－ln83，8＝22≈2.828>e ，所以8>e 2，即ln8>2，所以f (3)<0.所以f (x )的零点所在的大致区间是(2,3)，故选B.（2）．[2022·山东枣庄模拟]函数f (x )＝x 12－⎝⎛⎭⎫12x的零点个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B解析：在同一直角坐标系中作出函数y ＝x 12与y ＝⎝⎛⎭⎫12x的图象，如图所示．由图知，两个函数图象只有一个交点，所以函数f (x )的零点只有1个．故选B. a c 若()2019()()f x x a x b =---的零点为c ，d ，则下列不等式正确的是（ ） A ． a c b d >>> B ．a b c d >>> C.c d a b >>> D ．c a b d >>>答：由()2019()()f x x a x b =---，又()()2019f a f b ==，c ，d ，为函数()f x 的零点，且a b >，c d >，所以可在平面直角坐标系中作出函数()f x 的大致图像，如图所示，由图可知c a b d >>>，故选D.（4） [2022·河南省实验中学模拟]已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，则函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为( )A ．3 B ．2 C ．0 D ．4答案： A 解析：y ＝f (f (x ))－1＝0，即f (f (x ))＝1.当f (x )≤0时，得f (x )＋1＝1，f (x )＝0. 所以log 2x ＝0，得x ＝1；由x ＋1＝0，得x ＝－1.当f (x )>0时，得log 2f (x )＝1， 所以f (x )＝2.由x ＋1＝2，得x ＝1(舍去)；由log 2x ＝2，得x ＝4. 综上所述，函数y ＝f (f (x ))－1的图象与x 轴的交点个数为3.故选A. （5） （提高）已知函数,则函数的零点个数是( ）A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 【解析】分析：令 函数的零点个数问题的根的个数问题．结合图象可得的根，方程有1解，有3解，有3解.从而得到函数的零点个数详解：令函数的零点个数问题的根的个数问题．即 的图象如图，结合图象可得的根方程 有1解，有3解，有3解.综上，函数的零点个数是7．故选A.（6）（提高） 定义在实数集上的函数满足，当时，，则函数的零点个数为__________．【解析】分析：先根据函数的奇偶性与周期性画出函数的图象，以及的图象，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点.详解：定义在上的函数，满足，上的偶函数，因为满足，函数为周期为的周期函数，且为上的偶函数，因为时，，所以，在上递增，且值域为，根据周期性及奇偶性画出函数的图象和的图象，如图，根据的图象在上单调递增函数，当时，，当时，的图象与函数无交点，结合图象可知有个交点，故答案为.课堂练习3：(1)已知函数f (x )＝1x －a为奇函数，g (x )＝ln x －2f (x )，则函数g (x )的零点所在区间为( ) A ．(0,1) B ．(1,2) C ．(2,3) D ．(3,4)解：由函数f (x )＝1x －a为奇函数，可得a ＝0，则g (x )＝ln x －2f (x )＝ln x －2x ，所以g (2)＝ln2－1<0，g (3)＝ln3－23>0，所以g (2)·g (3)<0，可知函数的零点在(2,3)之间。

函数的单调性和奇偶性的综合应用教案一、教学目标：1. 知识与技能：（1）理解函数的单调性和奇偶性的概念；（2）掌握判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）学会运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过实例引导学生观察、分析函数的单调性和奇偶性；（2）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（3）培养学生运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题的能力。

3. 情感态度与价值观：（1）培养学生对数学的兴趣和好奇心；（2）培养学生合作、探究的精神；（3）培养学生运用数学知识解决实际问题的意识。

二、教学重点与难点：1. 教学重点：（1）函数的单调性和奇偶性的概念；（2）判断函数单调性和奇偶性的方法；（3）运用函数的单调性和奇偶性解决实际问题。

2. 教学难点：（1）函数的奇偶性在实际问题中的应用；（2）函数的单调性在实际问题中的应用。

三、教学准备：1. 教师准备：（1）熟练掌握函数的单调性和奇偶性的概念及判断方法；（2）准备相关实例和练习题；（3）准备多媒体教学设备。

2. 学生准备：（1）掌握函数的基本概念；（2）了解简单的函数图形；（3）具备一定的数学运算能力。

四、教学过程：1. 导入新课：（1）引导学生回顾函数的基本概念；（2）引导学生思考函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。

2. 知识讲解：（1）讲解函数的单调性概念及判断方法；（2）讲解函数的奇偶性概念及判断方法；（3）结合实例分析函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用。

3. 图形展示：（1）利用图形直观地展示函数的单调性和奇偶性；（2）引导学生观察、分析图形，加深对函数单调性和奇偶性的理解。

4. 课堂练习：（1）布置针对性练习题，让学生巩固所学知识；（2）引导学生互相讨论、交流，共同解决问题。

5. 总结提升：（1）总结本节课所学内容，强调函数的单调性和奇偶性在实际问题中的应用；（2）鼓励学生在日常生活中发现和运用函数的单调性和奇偶性。

函数解析综合问题教案教案标题：函数解析综合问题教案教学目标：1. 理解函数的概念和性质。

2. 掌握函数解析综合问题的解题方法和策略。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教师准备：教案、教学课件、习题集、白板、黑板笔等。

2. 学生准备：课本、笔记、习题集等。

教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入问题：请举例说明函数在实际生活中的应用。

2. 学生回答问题并讨论。

二、知识讲解（15分钟）1. 通过教学课件，向学生介绍函数的概念和性质。

2. 讲解函数解析综合问题的解题方法和策略，包括确定函数关系、列方程、解方程等。

三、示范与练习（20分钟）1. 教师通过教学课件展示一个函数解析综合问题的示范解答过程。

2. 学生在教师指导下，完成一些简单的练习题，巩固所学方法和策略。

四、合作探究（15分钟）1. 学生分成小组，共同解决一个函数解析综合问题。

2. 学生可以互相讨论、合作解题，提高问题解决能力。

五、展示与总结（10分钟）1. 学生代表小组展示解题过程和答案。

2. 教师对学生的解题过程进行点评和总结，强调解题中的关键步骤和技巧。

六、作业布置（5分钟）1. 教师布置相关练习题，要求学生独立完成。

2. 鼓励学生在解题过程中运用所学方法和策略。

教学反思：本教案通过导入问题引发学生的思考，激发学习兴趣；通过知识讲解和示范，帮助学生掌握函数解析综合问题的解题方法和策略；通过合作探究和展示，培养学生的合作意识和问题解决能力。

同时，布置相关练习题巩固所学知识。

整个教学过程注重学生的参与和互动，促进学生的主动学习和自主思考。

教学过程一、课堂导入如图，已知平面直角坐标系上的三点坐标分别为A（2，3）、B（6，3），C （4，0），现要找到一点D，使得这四个点构成的四边形是平行四边形，那么点D的坐标_______________________________.问题：这是我们在平面直角坐标系那章学习的内容，如果我们将二次函数容纳其中，在抛物线上求作一点，使得四边形是平行四边形并求出该点坐标时,又该如何解答呢？如果是存在两个动点又该如何解答？二、复习平行四边形性质：两组对边分别平行且相等，对角相等，对角线互相平分。

三、例题精析【例题】1. （2011湛江）如图，抛物线y=x2+bx+c的顶点为D（-1，-4），与y轴交于点C（0，-3），与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，CD，AD，试证明△ACD为直角三角形；（3）若点E在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点F，使以A，B，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】(1) y=x2+2x-3；(2)见解析；(3) F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）．【解析】解：（1）由题意得{−b2=−14c−b24=−4，解得：b=2，c=-3，则解析式为：y=x2+2x-3；（2）由题意结合图形则解析式为：y=x2+2x-3，解得x=1或x=-3，由题意点A（-3，0），∴AC=√9+9＝3√2，CD＝√1+1=√2，AD=√4+16＝2√5，由AC2+CD2=AD2，所以△ACD为直角三角形；（3）∵A（-3，0），B（1，0），∴AB=4，∵点E在抛物线的对称轴上，∴点E的横坐标为-1，当AB为平行四边形的一边时，EF=AB=4，∴F的横坐标为3或-5，把x=3或-5分别代入y=x2+2x-3，得到F的坐标为（3，12）或（-5，12）；当AB为平行四边形的对角线时，由平行四边形的对角线互相平分，∴F点必在对称轴上，即F点与D点重合，∴F（-1，-4）．∴所有满足条件的点F的坐标为（3，12），（-5，12），（-1，-4）四、课堂小结平行四边形模型探究：1. 已知三个定点，一个动点的情况在直角坐标平面内确定点M，使得以点M、A、B、C为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点M的坐标。

1.知识与技能：通过本节学习，巩固二次函数y=ax2+bx+c（a/0)的图象与性质，理解顶点与最值的关系，会用顶点的性质求解最值问题。

能力训练要求1、能够分析实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大（小）值发展学生解决问题的能力，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题。

2、通过观察图象，理解顶点的特殊性，会把实际问题中的最值转化为二次函数的最值问题，通过动手动脑，提高分析解决问题的能力，并体会一般与特殊的关系，培养数形结合思想，函数思想。

情感与价值观要求1、在进行探索的活动过程中发展学生的探究意识，逐步养成合作交流的习惯。

2、培养学生学以致用的习惯，体会体会数学在生活中广泛的应用价值，激发学生学习数学的兴趣、增强自信心。

方法设计由于本节课是应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式"为主线开展教学活动，解决问题以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的。

为了提高课堂效率，展示学生的学习效果，适当地辅以电脑多媒体技术。

教学过程导学提纲设计思路：最值问题又是生活中利用二次函数知识解决最常见、最有实际应用价值的问题之一，它生活背景丰富，学生比较感兴趣，对九年级学生来说，在学习了一次函数和二次函数图象与性质以后，对函数的思想已有初步认识，对分析问题的方法已会初步模仿，能识别图象的增减性和最值，但在变量超过两个的实际问题中，还不能熟练地应用知识解决问题，而面积问题学生易于理解和接受，故而在这儿作此调整，为求解最大利润等问题奠定基础。

从而进一步培养学生利用所学知识构建数学模型，解决实际问题的能力，这也符合新课标中知识与技能呈螺旋式上升的规律。

目的在于让学生通过掌握求面积最大这一类题，学会用建模的思想去解决其它和函数有关应用问题，此部分内容既是学习一次函数及其应用后的巩固与延伸，又为高中乃至以后学习更多函数打下坚实的理论和思想方法基础。

二次函数的实际应用(拱桥问题)教师work Information Technology Company.2020YEAR二次函数中抛物线形与拱桥问题1 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，桥下水面宽度为20m ，拱顶距离水面4m ．（1）在如图所示的直角坐标系中，求出该抛物线的表达式；（2）在正常水位的基础上，当水位上升h （m ）时，桥下水面的宽度为d （m ），求出将d 表示为h 的函数表达式；（3）设正常水位时桥下的水深为2m ，为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18m ，求水深超过多少米时就会影响过往船只在桥下的顺利航行．解：（1）设抛物线的解析式为y ＝ax 2，且过点（10，－4）∴故 （2）设水位上升h m 时，水面与抛物线交于点（）则∴ （3）当d ＝18时，∴当水深超过2.76m 时会影响过往船只在桥下顺利航行。

2、如图，有一座抛物线形的拱桥，桥下面处在目前的水位时，水面宽AB=10m ，如果水位上升2m ，就将达到警戒线CD ，这时水面的宽为8m.若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过多少小时会达到拱顶解： 以AB 所在的直线为x 轴,AB 中点为原点，建立直角坐标系，则抛物线的顶点E 在y 轴上,且B 、D 两点的坐标分别为（5，0）、（4，2）-==-4101252a a ×，y x =-1252d h 24，-h d -=-412542×d h =-10418104076=-=h h ，.0762276..+=设抛物线为y=ax2+k.由B、D两点在抛物线上，有解这个方程组，得所以，顶点的坐标为（0，）则OE=÷0.1=（h）所以，若洪水到来，水位以每小时0.1m速度上升，经过小时会达到拱顶.3、如图4，有一座抛物线形拱桥，抛物线可用y=表示．在正常水位时水面AB 的宽为20m，如果水位上升3m时，水面CD的宽是10m．(1)在正常水位时，有一艘宽8m、高2.5m的小船，它能通过这座桥吗(2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙地，已知甲地距此桥280km(桥长忽略不计)．货车正以每小时40km的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通过:前方连降暴雨，造成水位以每小时0.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行)．试问:如果货车按原来的速度行驶，能否安全通过此桥?若能，请说明理由．若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过每小时多少千米?解：(1)由对称性，当x=4时，y=．当x=10时，y=．故正常水位时，AB距桥面4米，由，故小船能通过．(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷0.25=4小时．货车按原来的速度行驶的路程为40×1+40×4=200<280．∴货车按原来的速度行驶不能安全通过此桥．设货车速度提高到x千米/时，当4x+40×1=280时，x=60．∴要使货车安全通过此桥，货车的速度超过60千米/时。

题型1费用比较型1．某社区的游泳馆按照顾客游泳的次数收取费用，每次的全票价为40元．在盛夏即将来临时，为吸引更多的顾客再次光顾，推出了以下两种收费方式．方式一：先交250元会员费，每次游泳按照全票价的7.5折收取费用；方式二：第一次收全票价，以后每次按照全票价的9.5折收取费用．（1）技照方式一的总费用为y1，按照方式二的总费用为y2，请直接写出y1，y2与游泳次数x的函数关系式；（2）去该游泳馆的次数等于31次时，两种方式收取总费用一样．【解答】解：（1）根据题意，可得：y1＝250+40×0.75x＝30x+250；y2＝40+40×0.95（x ﹣1）＝38x+2．（2）令y1＝y2，可得：30x+250＝38x+2，解方程，得x＝31，故答案为31．2．某校实行学案式教学，需印制若干份数学学案，印刷厂有甲、乙两种．收费方式，除按印刷份数收取印刷费外，甲种方式还需收取制版费而乙种不需要，两种印刷方式的收费费用y（元）与印刷份数x（份）之间的函数关系如图所示：＝0.08x+20，乙种收费方式的函数关系（1）填空：甲种收费方式的函数关系式是y甲＝0.12x；（直接写出答案，不写过程）式是y乙（2）根据函数图象，请直接写出如何根据每次印刷份数选择省钱的收费方式．（3）填空：该校八年级每次需印刷800份学案，选择甲种印刷方式较合算？（填“甲”“乙”，直接写出答案，不写过程）【解答】解：（1）甲种收费方式每份的费用为：（60﹣20）÷500＝0.08（元），∴y甲＝0.08x+20，乙种收费方式每份的费用为：60÷500＝0.12（元），∴y乙＝0.12x；故答案为：y甲＝0.08x+20；y乙＝0.12x；（2）由图象可知，当印刷份数小于500份时，选择乙种方式省钱；当印刷份数等于500份时，两种方式一样；当印刷份数大于500份时，选择甲种方式省钱．（3）∵800＞500，∴选择甲种印刷方式较合算．故答案为：甲．3．2017年“中国移动”公司提供两种通讯收费方案供客户选择．根据以上信息，解答下列问题：（1）设通话时间为x分钟，方案一的通讯费用为y1元，方案二的通讯费用为y2元，分别求出y1、y2关于x的函数表达式．（2）请你通过计算说明如何选用通讯收费方案更合算．（3）小明的爸爸每月的通话时间约为500分钟，应选用哪种通讯收费方案．【解答】解：（1）根据题意知，当0≤x≤50时，y1＝40．当x＞50时，y1＝40+（x﹣50）×0.1＝35+0.1x．综上所述，y1＝．y2＝0.2x（x≥0）；（2）当0≤x≤50时，y1＝40＞y2，选择方案二合算；当x＞50时：①y1＞y2，即0.1x+35＞0.2x，解得x＜350，选择方案二合算；②y1＝y2，即0.1x+35＝0.2x，解得x＝350，选择两种方案一样合算；③y1＜y2，即0.1x+35＜0.2x，解得x＞350，选择方案一合算．综上所述，当通话时间小于350分钟，选择方案二合算；当通话时间为350分钟，选择两种方案一样合算；当通话时间大于350分钟，选择方案一合算；（3）由于500＞350，所以小明的爸爸选用通讯收费方案一合算．题型2.分段计费4．某市电力公司采用分段计费的方法计算电费．每月用电不超过100度时，按每度0.55元计算费用，每月用电超过100度时，超过部分按每度0.60元计算．（1）设每月用电x度时，应交电费y元，写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）小王家一月份用了115度电，应交电费多少元？（3）小王家三月份交纳电费49.5元，求小王家三月份用了多少度电？【解答】解：（1）由题意可得，当0＜x≤100时，y＝0.55x，当x＞100时，y＝0.55×100+（x﹣100）×0.6＝0.6x﹣5，由上可得，y与x之间的函数关系式是y＝；（2）当x＝115时，y＝0.6×115﹣5＝64（元），答：小王家一月份用了115度电，应交电费64元；（3）∵100×0.55＝55＞49.5，∴小王家三月份用电在100度以内，当y＝49.5时，49.5＝0.55x，解得，x＝90，答：小王家三月份用了90度电．5．为鼓励居民节约用电，某市电力公司采用分段计费方式计算电费；每月用电不超过180度时，按每度0.5元计费；每月用电超过180度但不超过280度时，其中的180度仍按原标准收费，超过部分按每度0.6元计费．收费标准如下表：超过280度的部分用电量不超过180度超过180度不超过280度的部分收费标准（元/度）0.50.60.8（1）若小陈家每月交电费y元，每月用电量为x度，用含x的代数式表示电费y为：当0≤x≤180时，y＝0.5x；当180＜x≤280时，y＝0.6x﹣18；当x＞280时，y＝0.8x﹣74．（2）小陈家第三季度交电费132元，求小陈家第三季度用电多少度？【解答】解：（1）根据题意得：当0≤x≤180时，y＝0.5x，当180＜x≤280时，y＝0.5×180+0.6×（x﹣180）＝90+0.6x﹣108＝0.6x﹣18，当x＞280时，y＝0.5×180+0.6×（280﹣180）+0.8×（x﹣280）＝0.8x﹣74，故答案为：0.5x；0.6x﹣18；0.8x﹣74；（2）由y＝132代入y＝0.6x﹣18，可得x＝250．小陈家第三季度用电250度．6．某市为鼓励市民节约用水和加强对节水的管理，制订了以下每年每户用水的收费标准：①用水量不超过220立方米时，每立方米收费1.92元，并加收每立方米1.53元的污水处理费；②用水量超过220立方米时，在①的基础上，超过220立方米的部分，每立方米收费3.30元，并加收每立方米1.53元污水处理费；设某户一年的用水量为x立方米，应交水费y元．（1）分别对①、②两种情况，写出y与x的函数解析式，并指出函数的定义域；（2）当某户2019年全年缴纳的水费共计1000.5元时，求这户2019年全年用水量．【解答】解：（1）情况①：y＝（1.92+1.53）x，即y＝3.45x（0＜x≤220），情况②：y＝220×（1.92+1.53）+（x﹣220）（3.30+1.53），即所求的函数解析式为y＝4.83x﹣303.6（x＞220）；（2）当该户一个月应交水费为1000.5元时，说明该户用水量已超过220立方米，则4.83x﹣303.6＝1000.5，解得x＝270．答：该户一个月的用水量为270立方米．10．《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额．此项税款按下表累进计算：全月应税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元至5000元的部分15%………（纳税款＝应纳税所得额×对应税率）（1）设某甲的月工资、薪金所得为x元（1300＜x＜2800），需缴交的所得税款为y元，试写出y与x的函数关系式；（2）若某乙一月份应缴所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？【解答】解：（1）∵甲得到的月工资、薪金所得为1300～2800元，则对应的纳税范围为：1300﹣800＝500；2800﹣800＝2000，即对应的纳税款区间为：超过500元至2000元的部分，∴y＝500×5%+（x﹣1300）×10%＝0.1x﹣105．故y与x的函数关系式为：y＝0.1x﹣105．（2）某乙一月份应缴所得税款95元，由（1）关系式可知，令y＝95，得95＝0.1x﹣105，解得x＝2000，满足所对应的纳税区间．即他一月份的工资、薪金是2000元．11．《中华人民共和国个人所得税法》中规定，公民月工薪所得不超过3500元的部分不必纳税，超过3500元的部分为全月应纳税所得额．即全月应纳税所得额＝当月工资﹣3500元．个人所得税款按下表累进计算．全月应纳税金额税率（%）不超过1500元3%超过1500元至4500元的部分10%超过4500元至9000元的部分20%……（例如：某人月工资为5500元，需交个人所得税为（5500﹣3500﹣1500）×10%+1500×3%＝95元）（1）求月工资为4200元应交的个人所得税款；（2）设小明的月工资为x 元（5000＜x ＜8000），应交的个人所得税为y 元，求y 与x 之间的函数关系式；（3）若王教授的月工资不超过10000元，他每月的纳税金额超过月工资的吗？若能，请给出王教授的工资范围；若不能，请说明理由．【解答】解：（1）根据题意得（4200﹣3500）×3%＝21（元）．答：月工资为4200元应交个人所得税款是21元；（2）∵5000＜x ＜8000，∴150＜x ﹣3500＜4500，∴y ＝（x ﹣35000﹣1500）•10%+1500×3%，即y ＝0.1x﹣455（5000＜x ＜8000）；（3）能．设月工资是y 元．∵3000×10%+1500×3%＜×8000．∴当0＜y ≤8000时，纳税金额不能超过月工资的．当8000＜y ≤10000时，3000×10%+1500×3%+（y ﹣8000）×20%＞，解得：y ＞9412.5．故王教授的月工资范围是9412.5＜y ≤10000．12．我国现行个人工资薪金税征收办法规定：月收入高于800元但低于1300元的部分征收5%的所得税，如某人某月收入1160元，他应缴个人工资薪金所得税为（1160﹣800）×5%＝18（元）．①当月收入大于800元而又小于1300元时，写出应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式．②某人某月收入为960元，他应缴所得税多少元？③如果某人本月缴所得税19.2元，那么此人本月工资薪金是多少元？【解答】解：（1）∵当月收入大于800元而又小于1300元，∴应缴所得税y（元）与月收入x（元）之间的关系式为；y＝（x﹣800）×5%＝0.05x﹣40；（2）根据题意得：（960﹣800）×5%＝8（元），答：他应缴所得税8元．（3）此人本月工资薪金是x元，根据题意得：（x﹣800）×5%＝19.2，解得：x＝1184，则此人本月工资薪金是1184元．题型3资源分配8．A城有肥料200t，B城有肥料300t，现要把这些肥料全部运往C、D两乡．从A城运往C，D两乡肥料费用分别为20元/t和25元/t；从B城运往C，D两乡运肥料的费用分别为15元/t和24元/t．现C乡需要肥料240t，D乡需要肥料260t．设A城运往C乡xt，请解答下列问题：（1）根据题意，填写下列表格：城、乡/吨数A BC x①240﹣xD②200﹣x③60+x（2）设总运费为W（元），求出W（元）与x（吨）的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）求怎么调运可使总运费最少？最少为多少元？【解答】解：（1）根据题意，填写下表如下：故答案为：①200﹣x；②240﹣x；③60+x．（2）A城运往C乡的肥料量为x吨，则运往D乡的肥料量为（200﹣x）吨；B城运往C、D乡的肥料量分别为（240﹣x）吨和（60+x）吨．由总运费与各运输量的关系可知，反映W与x之间的函数关系为W＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x），化简得W＝4x+10040（0≤x≤200）；（3）由解析式可看出：当x＝0时，y有最小值10040．因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，总运费最小值是10040元．题型4.行程工程3．某水果店以每千克9元的价格购进苹果若干千克，销售了部分苹果后，余下的苹果每千克降价4元销售，全部售完．销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的关系如图所示，请根据图象提供的信息完成下列问题：（1）降价前苹果的销售单价是16元/千克；（2）求降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式，并写出自变量的取值范围；（3）该水果店这次销售苹果盈利了多少元？【解答】解：（1）由图象可得，降价前苹果的销售单价是640÷40＝16（元/千克），故答案为：16；（2）降价后销售的苹果质量为（760﹣640）÷（16﹣4）＝120÷12＝10（千克），设降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式时y＝kx+b，∵降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数图象过点（40，640），（50，760），∴，解得，即降价后销售金额y（元）与销售量x（千克）之间的函数解析式是y＝12x+160（40＜x ≤50）；（3）760﹣50×9＝760﹣450＝310（元），答：该水果店这次销售苹果盈利了310元．9．纺织厂生产某种产品，每件出厂价定为80元，每件的成本是60元，由于在生产过程中平均每生产一件此种产品，就会有0.5立方米的污水排出，为了保护环境，工厂需要对污水净化处理后才能排出．已知处理1立方米污水的费用为2元，且每月排污设备物资损耗为8000元．设该厂每月生产产品x件，每月获得纯利润y元．（纯利润＝总收入﹣总支出）．（1）求出y与x之间的函数表达式；（2）若厂家有盈利，则每月至少要生产多少件产品？（3）如果该厂本月获得的纯利润是106000元，请求出该厂在本月生产产品的件数．【解答】解：（1）依题意得：y＝80x﹣60x﹣0.5x•2﹣8000，化简得：y＝19x﹣8000．∴所求的函数关系式为y＝19x﹣8000（x＞0且x是整数）；（2）当19x﹣8000＞0时，即x＞421，∵x为正整数，∴若厂家有盈利，则每月至少要生产422件产品；（3）当y＝106000时，代入得：106000＝19x﹣8000，解得x＝6000．∴这个月该厂生产产品6000件．13．一辆客车从甲地开往乙地，一辆出租车从乙地开往甲地，两车同时出发，设客车离甲地的距离为y1千米，出租车离甲地的距离为y2千米，两车行驶的时间为x小时，y1、y2关于x的图象如图所示：（1）客车的速度是60千米/小时，出租车的速度是100千米小时；（2）根据图象，分别直接写出y1、y2关于x的关系式：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（3）求两车相遇的时间．（4）x为何值时，两车相距100千米．【解答】解：（1）由图可知，甲乙两地间的距离为600km，所以，客车速度＝600÷10＝60（km/h），出租车速度＝600÷6＝100（km/h），故答案为：60，100；（2）设客车的函数关系式为y1＝k1x，则10k1＝600，解得k1＝60，所以，y1＝60x（0≤x≤10），设出租车的函数关系式为y2＝k2x+b，则，解得，所以，y2＝﹣100x+600（0≤x≤6），故答案为：y1＝60x（0≤x≤10），y2＝﹣100x+600（0≤x≤6）；（3）当出租车与客车相遇时，60x+100x＝600，解得x＝．所以两车相遇的时间为小时；（4）由题意可得：|﹣100x+600﹣60x|＝100，∴x＝或，答：x为或时，两车相距100千米．14．某市端午节期间，甲、乙两队举行了赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（分钟）之间的图象如图所示，请你根据图象，回答下列问题：（1）这次龙舟赛的全程是多少米？哪队先到达终点？（2）求甲与乙相遇时甲、乙的速度．【解答】解：（1）由函数图象可得，这次龙舟赛的全程是1000米，乙队先到达终点；（2）由图象可得，甲与乙相遇时，甲的速度是1000÷4＝250（米/分钟），乙的速度是：（1000﹣400）÷（3.8﹣2.2）＝600÷1.6＝375（米/分钟），即甲与乙相遇时甲、乙的速度分别为250米/分钟、375米/分钟．15．甲、乙两人在同一平直的道路上同时、同起点、同方向出发，他们分别以不同的速度匀速跑步2400米（甲的速度大于乙的速度），当甲第一次超出乙600米时，甲停下来等候乙．甲、乙两人会合后，两人分别以原来的速度继续跑向终点，先到终点的人在终点休息．在整个跑步过程中，甲、乙两人之间的距离y（米）与乙出发的时间x（秒）之间的关系图象如图所示，根据图象中提供的信息回答问题：（1）A点表示的是甲在600秒时，第一次超出乙600米；（2）乙出发1600s时到达终点，a＝1000，b＝1360；（3）甲乙出发150或900或1150或1500s相距150米．【解答】解：（1）点A表示甲在600秒时，第一次超出乙600米，故答案为：甲在600秒时，第一次超出乙600米；（2）由图形可得乙出发1600s时到达终点，∴乙的速度＝＝1.5米/秒，∴甲的速度＝+1.5＝2.5秒，∴a＝＝1000，∴b＝﹣600+1000＝1360，故答案为：1600，1000，1360；（2）刚出发时，＝150s，甲在A地时，＝900s，从A地出发后，1000+150＝1150s，甲到终点后，＝1500s，综上所述：甲乙出发150s或900s或1150s或1500s时，相距150米．故答案为：150或900或1150或1500．16．李老师周末骑自行车去郊游，如图是他离家的距离y（千米）与时间t（时）之间关系的函数图象，李老师9时离开家，15时到家，根据这个函数图象，请你回答下列问题：（1）到达离家最远的地方是12时，离家多远30千米．（2）他12时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了 1.5小时．（3）他从离家最远的地方回家用了多长时间？速度是多少？【解答】解：（1）由图象可得，到达离家最远的地方是12时，此时离家30千米，故答案为：12，30；（2）由图象可得，他12时开始了第二次休息，在整个骑行过程中，一共休息了（11﹣10.5）+（13﹣12）＝1.5（小时），故答案为：12，1.5；（3）由图象可得，他从离家最远的地方回家用了15﹣13＝2（小时），速度是30÷2＝15（千米/小时），即他从离家最远的地方回家用了2小时，速度是15千米/小时．17．某小区美化工程中，在一段柏油路两侧铺设彩色方砖，施工队分成甲，乙两组分别在道路两侧施工，乙组比甲组晚施工一段时间．如图是甲，乙两组各自铺设的长度y（米）与甲组施工时间x（小时）之间的函数图象．根据图中信息，解答下列问题：（1）点C的坐标为（1，0）；（2）求线段AB的解析式，并写出自变量x的取值范围，（3）当乙组铺设完成时，甲组还剩下多少米未铺完．【解答】解：（1）由图象可得，乙组的速度为：（200﹣50）÷（5﹣2）＝50（米/小时），则乙组施工200米用的时间为：200÷50＝4（小时），∴点C的横坐标为：5﹣4＝1，∴点C的坐标为（1，0），故答案为：（1，0）；（2）∵点C的坐标为（1，0），∴点A的坐标为（1，50），设线段AB的解析式为y＝kx+b，∵线段AB过点A（1，50），点B（5.5，200），∴，解得，，即线段AB的解析式为y＝x+（1≤x≤5.5）；（3）当x＝5时，y＝×5+＝，200﹣＝（米），即当乙组铺设完成时，甲组还剩下米未铺完．18．已知甲、乙两车分别以各自的速度匀速从A地驶向B地，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，如图是甲、乙两车行驶的路程y（km）与时间x（h）的函数图象．（1）求图中m的值及A、B两地的距离；（2）求出甲车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式，并写出相应的x的取值范围；（3）小明说：乙车行驶路程y（km）与时间x（h）的函数解析式为y＝80x﹣160（2≤x ≤5.25）．问：①小明的说法对吗？简要说明理由；②当乙车行驶多长时间时，两车恰好相距50km？【解答】解：（1）由题意得：m＝1.5﹣0.5＝1，A、B两地的距离为260km；（2）当0≤x≤1时设y与x之间的函数关系式为y＝k1x，由题意可得：40＝k1，∴y＝40x，当1＜x≤1.5时，y＝40；当1.5＜x≤7设y与x之间的函数关系式为y＝k2x+b，由题意，得，解得，∴y＝40x﹣20（1.5＜x≤7），∴y＝；（3）①小明的说法是对的，理由如下：设乙车行驶的路程y与时间x之间的解析式为y＝k3x+b3，由题意，得，解得，∴y＝80x﹣160（2≤x≤5.25），②当40x﹣20﹣50＝80x﹣160时，解得：x＝，当40x﹣20+50＝80x﹣160时，解得：x＝，当乙车行驶或小时时，两车恰好相距50km．题型5函数综合19．如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．（1）求直线AC的表达式；（2）求△OAC的面积；（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）设直线AC的解析式是y＝kx+b，根据题意得：，解得：．则直线AC的解析式是：y＝﹣x+6；（2）∵C（0，6），A（4，2），∴OC＝6，＝×6×4＝12；∴S△OAC（3）设OA的解析式是y＝mx，则4m＝2，解得：m＝．则直线的解析式是：y＝x，∵当△OMC的面积是△OAC的面积的时，∴M到y轴的距离是×4＝1，∴点M的横坐标为1或﹣1；当M的横坐标是：1，在y＝x中，当x＝1时，y＝，则M的坐标是（1，）；在y＝﹣x+6中，x＝1则y＝5，则M的坐标是（1，5）．则M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）．当M的横坐标是：﹣1，在y＝﹣x+6中，当x＝﹣1时，y＝7，则M的坐标是（﹣1，7）．综上所述：M的坐标是：M1（1，）或M2（1，5）或M3（﹣1，7）．20．如图，将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2，直线l2经过点P （1，2），与x轴、y轴分别相交于点A、B．（1）求直线l2的函数表达式；（2）求△AOB的面积．【解答】解：（1）将直线l1：y＝﹣2x向上平移b（b＞0）个单位后得到直线l2为：y＝﹣2x+b，∵直线l2经过点P（1，2），∴2＝﹣2+b，解得b＝4，∴直线l2为：y＝﹣2x+4；（2）令x＝0，则y＝4，∴B（0，4），令Y＝0，则x＝2，∴A（2，0），＝＝4．∴S△AOB21．平面直角坐标系xOy内，一次函数y＝2x﹣2经过点A（﹣1，m）和B（n，2）．（1）求m，n的值；（2）求该直线与x轴的交点坐标．【解答】解：（1）当x＝﹣1时，y＝2×（﹣1）﹣2＝﹣4，∴m＝﹣4；当y＝2时，2x﹣2＝2，解得：x＝2，∴n＝2．（2）当y＝0时，2x﹣2＝0，解得：x＝1，∴该直线与x轴的交点坐标为（1，0）．22．已知一次函数y＝﹣2x+4．（1）在如图所示平面直角坐标系中，画出该函数的图象；（2）若一次函数y＝﹣2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，求出A、B两点的坐标；（3）求△AOB的面积；（4）利用图象直接写出：当y≤0时，x的取值范围．【解答】解：（1）画出函数图象，如图所示；（2）当x＝0时，y＝﹣2×0+4＝4，∴点B的坐标为（0，4）；当y＝0时，﹣2x+4＝0，解得：x＝2，∴点A的坐标为（2，0）；＝OA•OB＝×2×4＝4；（3）S△AOB（4）观察函数图象，可知：当y≤0时，x≥2．23．已知正比例函数y＝kx图象经过点（4，﹣8）．①求这个函数的解析式：②图象上两点A（x1，y1）、B（x2，y2），如果x1＜x2，比较y1，y2的大小，【解答】解：①把（4，﹣8）代入y＝kx得4k＝﹣8，解得k＝﹣2，所以正比例函数解析式为y＝﹣2x；②因为k＝﹣2＜0，所以y随x的增大而减小，所以当x1＜x2时，y1＞y2．24．已知一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B（﹣2，﹣5）两点．（1）求一次函数的解析式；（2）若点（a﹣3，﹣a）在该一次函数图象上，求a的值；（3）把y＝kx+b的图象向下平移3个单位后得到新的一次函数图象，在图中画出新函数图象，并直接写出新函数图象对应的解析式．【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k，b是常数，且k≠0）的图象过A（3，5）与B （﹣2，﹣5）两点，∴，解得，即该一次函数的表达式是y＝2x﹣1；（2）点（a﹣3，﹣a）在该一次函数y＝2x﹣1的图象上，∴﹣a＝2（a﹣3）﹣1，解得，a＝，即a的值是；（3）把y＝2x﹣1向下平移3个单位后可得：y＝2x﹣1﹣3＝2x﹣4，图象如图：25．如图，一次函数y＝2x+b的图象与x轴交于点A（2，0），与y轴交于点B．（1）求b的值．＝4，求点C坐标．（2）若直线AB上的点C在第一象限，且S△AOC【解答】解：（1）将A（2，0）代入直线y＝2x+b中，得2×2+b＝0解得b＝﹣4；＝4，点A（2，0），（2）∵S△AOC∴OA＝2，∴•OA•y C＝4，解得y C＝4，把y＝4代入y＝2x﹣4得2x﹣4＝4，解得x＝4，∴C（4，4）．26．已知一次函数的表达式是y＝（m﹣4）x+12﹣4m（m为常数，且m≠4）．（1）当图象与x轴交于点（2，0）时，求m的值；（2）当图象与y轴交点位于原点下方时，判定函数值y随着x的增大而变化的趋势；（3）在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，求其中任意两条直线与y轴围成的三角形面积的取值范围．【解答】解：（1）将（2，0）代入y＝（m﹣4）x+12﹣4m中，得2（m﹣4）+12﹣4m＝0，解得，m＝2；（2）∵图象与y轴交点位于原点下方，∴12﹣4m＜0，∴m＞3，∴当3＜m＜4时，有m﹣4＜0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而减小，当m＞4时，有m﹣4＞0，则函数y＝（m﹣4）x+12﹣4m的函数值y随着x的增大而增大；（3）设3＜m1＜m2＜4，则两直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2分别与y轴的交点坐标为M1（0，12﹣4m1）和M2（0，12﹣4m2），∴M1M2＝4（m2﹣m1），∵直线y＝＝（m1﹣4）x+12﹣4m1和直线y＝＝（m2﹣4）x+12﹣4m2的交点坐标为N（4，﹣4），∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，任意两条直线与y轴围成的三角形面积的为：S＝，∵3＜m1＜m2＜4，∴0＜m2﹣m1＜1，∴0＜S＜8，∴在（2）的条件下，当函数值y随着自变量x的增大而减小时，其中任意两条直线与y 轴围成的三角形面积的取值范围0＜S＜8．27．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，一次函数y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，这两个函数图象交于点P．（1）求P点坐标；（2）求△PBC的面积；（3）设点E在x轴上，且与C，D构成等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点E的坐标．【解答】解：（1）由得：，∴点P的坐标为（1，4）；（2）∵一次函数y＝2x+2与x轴，y轴分别交于点A和B，∴点A（﹣1，0），B（0，2），∴OA＝1，OB＝2，∵一次函数y＝﹣x+5与x轴交于点C，∴点C（5，0），∴OC＝5，∴AC＝6，＝S△P AC﹣S△ABC＝﹣＝6；∴S△PBC（3）∵一次函数y＝﹣x+5与x轴，y轴分别交于点C和D，∴C（5，0），D（0，5），∴CD＝＝5，当DE＝CE时，E（0，0）；当DE＝DC时，E（﹣5，0）；当DC＝CE时，E（5+5，0）或（5﹣5，0），∴符合条件的点E的坐标为：（0，0）或（﹣5，0）或（5+5，0）或（5﹣5，0）．28．如图，在平面直角坐标系中，一条直线经过A（1，1），B（3，﹣3），C（﹣2，m）三点．（1）求m的值；（2）设这条直线与y轴相交于点D，求△OCD的面积．【解答】解：（1）设直线的解析式为y＝kx+b，把A（1，1），B（3，﹣3）代入，可得：，解得：，所以直线解析式为：y＝﹣2x+3，把C（﹣2，m）代入y＝﹣2x+3中，得：m＝7；（2）令x＝0，则y＝3，所以直线与y轴的交点坐标为（0，3），由（1）得点C的坐标为（﹣2，7），所以△OCD的面积＝＝3．。