学而思五年级数学教材

第一讲分数四则混合运算一、知识点梳理Ø奥数六大模块：计算，计数，应用题，行程，几何，数论。

Ø本讲属于：计算一、小数的运算法则1、加减法：注意小数点对齐，其余和整数相似2、乘法：看乘数和被乘数里共有几位小数，就从积的右边数出几位，点上小数。

3、除法：需要把除数转化为整数，然后按照整数除法进行二、分数的运算法则1、加减法：分母先通分---找到分母的最小公倍数。

然后分子才可以相加减。

2、乘法：分子相乘的积作为结果的分子，分母相乘的积作为结果的分母，最后记住要进行约分。

3、除法：记住：甲除以乙，等于甲乘乙数的倒数。

重要步骤：约分----------找出分子分母的公约数，利用分数基本性质：分子分母同乘（除）一个不为零的数，值不变三、分数与小数的互化：(1)原则：具体化成哪个取决于用分数简单还是用小数简单。

一般是：乘除法运算时，小数化成分数，这样可以约分。

加减法运算时，分数化成小数，这样避免通分。

(2)熟练掌握一些常见的分数和小数互化，如：1=0.5 2，1=0.25，3=0.754，1=0.1258……..等.(3)分数要约分保留最简形式。

四、百分数1、百分数的符号：%，可以看成1100. 也可以看成乘以0.01如：753 75%=0.75==1004五、繁分数1、定义：分子或分母（都）含有四则运算或分数的数，叫繁分数。

最长的分数线叫主分数线，以上叫分子，以下叫分母。

如：122+3，分子是1，分母是22+3。

二、重点例题讲解（按照相关要求，例题只标出题号，不再书写题目，各位家长见谅）例题5：解析：考察了常用的巧算技巧：乘法分配律和其逆运算。

(1)、原式=21233 15125´+´-=212 545 +-=1 4(2)、原式=111388 1212´+´=1113 (8 1212+´=28´=16例题6：解析：考察凑数法，配对法，计算的时候并不一定要按照给定的顺序计算，先观察题目中数字的特点。

一年级寒假班第一讲突破加减竖式第二讲巧填算符初步第三讲剪拼图形第四讲图文代换第五讲巧移物体第六讲左右脑开发3（逻辑推理）第七讲期末测评二年级寒假班第一讲认识倍第二讲带余除法初步第三讲有趣的自然数串第四讲分割图像第五讲枚举法的妙用第六讲鸡兔同笼初步第七讲期末测评三年级寒假班第一讲角度初识第二讲速算与巧算之四则运算第三讲字母表示数第四讲和差倍第五讲倒退与图示第六讲方阵三年级春季班第一讲巧填算符第二讲小数的认识第三讲平行四边形与梯形第四讲年龄问题第五讲带余除法初步第六讲简单统计第七讲图形计数初步第八讲组合中的点线关系第九讲等差数列初步第十讲页码问题第十一讲标数法第十二讲简易方程第十三讲简易方程应用第十四讲路程速度与时间第十五讲期末测评四年级暑假班第一讲简单抽屉原理第二讲奇数和偶数第三讲二次相遇问题第四讲应用题：假设法和还原法（鸡兔同笼，还原问题，方阵综合应用）第五讲应用题：图示法和对应法（年龄，盈亏，平均数综合）第六讲图形计数进阶第八讲四边形中的基本图形第九讲体育比赛中的数学第十讲期末测评四年级秋季班第一讲定义新运算第二讲体育比赛中的数学问题第三讲图形计数进阶第四讲多位数计算第五讲等积变型第六讲一半模型第七讲最值问题初步第八讲数阵图初步—从幻方谈起第九讲平均数进阶第十讲破译乘除法竖式第十一讲方程和方程组第十二讲方程组解应用题第十三讲环形跑道第十四讲火车过桥第十五讲期末测评四年级寒假班第一讲小数巧算第二讲格点与割补第三讲数表从日历谈起第四讲第五种运算（乘方的认识，运算性质，平方差认识）第五讲质数合数初步第六讲包含与排除第七讲期末测评四年级春季班第一讲等积变形第二讲整数与数列第三讲统筹和最优化第四讲加乘原理进阶第五讲最值问题进阶第六讲抽屉原理初步第七讲流水行船第八讲方程与方程组第九讲一半模型第十讲相遇与追及综合第十一讲平移、选择和对称第十二讲破译横式（奇偶分析，枚举试算）第十三讲进位制初步第十四讲数阵图进阶第十五讲期末测评五年级暑假班第一讲分数乘除第二讲分数加减第三讲棋盘中的数学第四讲枚举法进阶第五讲排列组合初步第六讲质数合数进阶（因数个数、因数个数的正反应用）第七讲列方程组解应用题第八讲牛吃草第九讲数阵图综合第十讲比和比例第十一讲比例模型第十二讲分组和配对（高斯求和，分组和配对思想）第十三讲容斥原理第十四讲必胜策略第十五讲期末测评五年级秋假班第一讲因数和倍数初步第二讲循环小数第三讲鸟头模型第四讲分数应用题第五讲电梯和发车第六讲神奇的9第七讲蝴蝶模型第八讲排列组合进阶第九讲工程问题初步第十讲几何计数进阶第十一讲数字谜中的最值第十二讲燕尾模型第十三讲定义新运算进阶第十四讲方程法解行程第十五讲期末测评五年级寒假班第一讲长方体正方体第二讲数表—从杨辉三角谈起第三讲比例应用题第四讲时钟问题第五讲圆与扇形初步第六讲因数倍数进阶第七讲期末测评五年级春季班第一讲勾股定理第二讲分数四则混合运算第三讲带余除法进阶第四讲同余第五讲不定方程第六讲浓度问题第七讲圆与扇形进阶（弓，镰刀，谷子形，环形）第八讲完全平方数第九讲比较和估算第十讲比例法解行程第十一讲位值原理第十二讲立体图形和空间想象第十三讲概率初识第十四讲从反面情况考虑（几何，数论，计数中的反面情况考虑）第十五讲期末测评六年级暑假班第一讲分数列项第二讲归纳和递推（找规律计数，斐波那契数列，汉诺塔）第三讲切片与染色第四讲韩信点兵第五讲应用题综合选讲（和差、年龄、盈亏、鸡兔、牛吃草）第六讲整数列项与通项归纳第七讲弦图第八讲逻辑推理综合第九讲数论中的组合（最值与计数）第十讲特殊图形（正六边形正十二边形的特征与性质）第十一讲从整体考虑（由换元发引出整体打包思想）第十二讲多次相遇和追及第十三讲应用题综合（分百、比例）第十四讲最值问题综合（最值定理、构造中的最值）第十五讲期末测评六年级秋假班第一讲数形结合（平方和公式、立方和公式、代数公式的几何表示）第二讲圆柱和圆锥第三讲复合图形分拆（模型复习、添加辅助线技巧）第四讲经济问题第五讲数论中的规律第六讲旋转与轨迹（圆柱和圆锥的旋转，圆中的滚动扫过面积）第七讲算两次（方程思想；综合其他模块，行程和计数）第八讲从极端考虑（几何、数论、行程中的极端思想）第九讲数字谜中的计数第十讲工程问题进阶第十一讲变速问题第十二讲进位制进阶第十三讲应用题综合三（复习经济、工程、浓度，方程思想）第十四讲抽屉原理进阶第十五讲期末测评六年级寒假班第一讲计算问题综合选讲（一）第二讲图形问题综合选讲（一）第三讲整数问题综合选讲（一）第四讲组合问题综合选讲第五讲应用题问题综合选讲第六讲行程问题综合选讲第七讲期末测评六年级春季班第一讲计算问题综合选讲（二）第二讲图形问题综合选讲（二）第三讲整数问题综合选讲（二）第四讲计算问题综合选讲（三）第五讲图形问题综合选讲（三）第六讲整数问题综合选讲（三）第七讲计数数问题综合选讲第八讲小升初代数衔接第九讲小升初几何衔接第十讲小升初分班模拟考。

人教版-五年级-第一单元-《小数乘法》一、知识点剖析（一）小数乘整数（1）按整数乘法算出积.（2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.（3）积的小数部分末尾的0可以去掉.（二）小数乘小数（1）按整数乘法算出积.（2）因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点.（3）积的小数位数如果不够，要先在前面用0补足后，再点小数点.（4）积的小数部分末尾的0可以去掉.（三）积的近似数在实际应用中，小数乘法的积往往不需要保留很多的小数位数，可以根据需要，按“四舍五入”法保留一定的小数位数，求出积的近似数.例如：0.049×45=2.205，将积保留一位小数，要看百分位，百分位<5，则舍去0和5，2.205≈2.2二、练习题（一）选择题1．与0.3×1.21的积相等的式子是（）A．3×1.21B．3×12.1C．0.03×0.121D．12.1×0.03 2．下列算式中，积最大的是（）A．55.5×0.5B．55.5×0.05C．5.55×0.5D．0.555×5 3．6.65×0.3的积，四舍五入保留两位小数是（）A．1.99B．2C．2.00D．2.04．下面算式中，积大于第一个因数的是（）A．0.87×0.87B．0.27×1.6C．9.34×1D．7.86×05．下面的算式中，积等于10的是（）A．12.5×0.8B．1.25×0.8C．2.4×5D．2.5×0.46．四舍五入保留一位小数：0.85×0.79≈（）A．0.6715B．0.6C．0.67D．0.77．如果0.5×a=0.675×b，那么（）A．a＞b B．a＜b C．a=b D．不能确定8．昙花的寿命能保持4小时，小麦开花的时间是昙花寿命的0.02倍，约（）左右．A．0.8分钟B．5分钟C．0.08分钟D．8分钟（二）计算题1.列竖式计算2.3×1.91=0.57×0.12=3.08×0.25=4.57×1.8= 3.75×0.24= 3.35×1.6=2.四舍五入4.865×8≈（保留整数）10.23×42≈（保留一位小数）4.06×0.75≈（保留两位小数）7.8×0.9≈（保留一位小数）3.计算下面各题，能简算的要简算（1）90×4.5+45（2）3.8×1.96﹣3.8×0.46﹣3.8×0.5（3）（0.125+1.25+12.5+125）×8（4）42×10.1（5）15.4×1.7+9.3×15.4﹣15.4（6）2.2×0.25+2.8×0.25（7）0.25×6.82×4（8）12.5×88（9）50×9.9（10）2005×1.9+200.5×81（三）解答题1.某停车场规定，停车1小时以内（含1小时）收10元停车费．超过1小时的部分，每15分钟（不足15分钟，按15分钟计算）加收1.5元，24小时内最多收费50元．王师傅在这个停车场停车2小时40分，他需交多少元的停车费？2.一盒牛奶3.25元，王老师买了35盒牛奶，一共大约需要多少元钱？（得数保留整数）3.工程队要修一条路，已经修了48.5米，剩下的路长是已经修的路长的2.4倍，这条路全长多少米？4.韩老师要为育英学校买苹果和香蕉各50千克，苹果每千克3.6元，香蕉每千克3.2元．她带了350元够吗？三、答案解析（一）选择题1．【答案】D．2．【答案】A．3．【答案】C．【解析】6.65×0.3=1.995，利用“四舍五入法”，保留两位小数，千分位上数字是“5”，确定用“五入”法．1.995≈2.00．选：C．4．【答案】B．5．【答案】A．6．【答案】D．【解析】0.85×0.79=0.6715．利用“四舍五入法”，保留一位小数，百分位上数字是“7”，确定用“五入”法．0.6715≈0.7．选：D．7．【答案】A．【解析】因为0.5×a的积和0.675×b的积相等，又因为0.675>0.5，即一个因数变大，要使积不变，另一个因数需要变小，所以b<a．选：A．8．【答案】B．【解析】小麦开花的时间是：4×0.02=0.08（小时），0.08小时=4.8分钟≈5分钟．选：B．（二）计算题1．【答案】4.393，0.0684，0.77；8.226，0.9，5.36（竖式略）2．【答案】39，429.7；3.05，7.03.【答案】（1）90×4.5+45=9×45+45=（9+1）×45=10×45=450（2）3.8×1.96﹣3.8×0.46﹣3.8×0.5=3.8×（1.96﹣0.46﹣0.5）=3.8×1=3.8（3）（0.125+1.25+12.5+125）×8=0.125×8+1.25×8+12.5×8+125×8=1111（4）42×10.1=42×（10+0.1）=42×10+42×0.1=420+4.2=424.2（5）15.4×1.7+9.3×15.4﹣15.4=15.4×（1.7+9.3﹣1）=15.4×10=154（6）2.2×0.25+2.8×0.25=（2.2+2.8）×0.25=5×0.25=1.25（7）0.25×6.82×4=（0.25×4）×6.82=1×6.82=6.82（8）12.5×88=12.5×（80+8）=12.5×80+12.5×8=1000+100=1100（9）50×9.9=50×（10﹣0.1）=50×10﹣50×0.1=500﹣5=495（10）2005×1.9+200.5×81=2005×1.9+2005×8.1=2005×（1.9+8.1）=20050（三）解答题1．【答案】2小时40分钟﹣1小时=1小时40分钟=100分钟，100÷15=6……10，1.5×（6+1）+10=10.5+10=20.5（元）答：他需交20.5元的停车费．2．【答案】3.25×35=113.75（元）≈114（元）答：一共大约需要114元．3．【答案】48.5+48.5×2.4=48.5+116.4=164.9（米）答：这条路全长164.9米．4．【答案】（3.2+3.6）×50=6.8×50=340（元），350元＞340元答：她带了350元够．人教版-五年级-第二单元-《位置》一、知识点剖析1.横排叫做行，竖排叫做列。

学而思五年级b版秋季8~15讲加油站15讲讲解标题：学而思五年级B版秋季8~15讲加油站15讲讲解引言概述：学而思五年级B版秋季8~15讲加油站15讲是一套专门为五年级学生设计的教材，旨在帮助学生提高数学、语文、英语和思维能力等方面的综合素养。

本文将从六个大点出发，详细阐述这套教材的内容和教学方法。

正文内容：1. 数学部分1.1 算术运算- 介绍了加减乘除的基本概念和运算方法。

- 引导学生掌握运算技巧，提高计算速度和准确性。

- 培养学生逻辑思维和解决问题的能力。

1.2 分数与小数- 通过具体的例子和练习，帮助学生理解分数和小数的概念。

- 教授分数和小数的相互转换方法，提高学生的数学运算能力。

- 引导学生运用分数和小数解决实际问题。

1.3 图形与几何- 介绍了各种图形的基本属性和特征。

- 引导学生通过观察和实践，认识图形的性质和变换规律。

- 培养学生的空间想象能力和几何推理能力。

2. 语文部分2.1 阅读理解- 引导学生通过阅读文章，提取信息和理解文章的意思。

- 培养学生的阅读理解能力和语言表达能力。

- 练习各种阅读题型，提高学生的阅读技巧和解题能力。

2.2 作文写作- 引导学生运用所学的知识和经验，进行写作训练。

- 培养学生的写作思维和表达能力。

- 提供写作素材和指导，帮助学生写出优秀的作文。

2.3 词语运用- 教授常用词语的意思和用法。

- 引导学生通过词语的组合和运用，提高语言表达的准确性和丰富性。

- 练习词语的拼写和运用，巩固学生的词汇量和语言技能。

3. 英语部分3.1 听力训练- 提供丰富的听力材料，培养学生的听力理解能力。

- 练习听力题型，提高学生的听力技巧和答题速度。

- 引导学生通过听力材料，提高口语表达能力。

3.2 词汇与语法- 教授常用词汇和语法知识。

- 练习词汇和语法的运用，提高学生的语言表达能力。

- 引导学生通过语法知识，理解和运用英语的基本规则。

3.3 阅读与写作- 提供丰富的阅读材料，培养学生的阅读理解能力。

学而思五年级秋季第五讲知识总结分数应用题（接上讲）4.多个单位1当题目中出现“剩下的”、“余下的”之类的字眼时，我们一般把它转化成全部的几分之几，也就是把多个单位1转化成一个单位1。

例如，一个饼先吃了全部的29，又吃了剩下的37，还剩几分之几没有吃？吃了全部的29，那么剩下79，剩下的37就是733979⨯=，所以还剩49没有吃。

对应题目：例4、提3、尖3、例55.不变量在分数应用题中，我们经常会遇到这样一种题型，即在题目中有一些量是保持不变的，我们管这种量叫不变量。

对于不变量，一般有以下3种处理方法：①能求先求。

如果我们能把不变量具体的数值计算出来，那么一般先求这个值。

然后利用不变量所占的份数的变化，求解相应的问题。

对应题目：例6、提4②统一份数。

如果不变量不好求，但是可以把不变量占的份数进行统一，那么我们统一份数后，利用分数的实际意义求解。

对应题目：涛涛有一堆坚果。

原来榛子占47，后来又放入14个榛子，那么榛子占57。

求涛涛现在总共有多少个坚果？解析：本题向坚果里面放入榛子，那么可以把整个坚果分成两部分：榛子和其他坚果，其中其他坚果就是不变量。

放入榛子之前，其他坚果占37；放入榛子后，其他坚果占27，即原来占3份，放入后占2份。

所以将其他坚果的份数统一成6份，原来占614，放入榛子后占621。

放入的14个榛子对应着7份，1份就是14÷7 = 2 .所以现在共有坚果2×21 = 42（个）③作单位1. 如果不变量既不好求，也无法统一份数，那么可以考虑将不变量作为一个基准，即单位1.对应题目：超常挑战、尖4电梯与发车1.电梯问题核心：电梯外面的台阶数保持不变运动方向：人梯同向：电梯阶数= 人+ 电梯人梯反向：电梯阶数= 人–电梯步骤：1. 读题：注意人和电梯的运动方向是相同还是相反。

2. 列表：速度不知道的用V人或V电表示。

3. 列方程：根据电梯的台阶数不变列方程。

4. 解方程：求出V电或者V人和V电的关系。

第八讲同余寒假班我们已经学习了余数问题，那一讲我们掌握了一些有关余数的基本性质，并解决了一些简单余数问题，本讲则是在此基础之上的进一步拓展与提高，因此本讲首先是基本性质应用的复习（例1、3、5），其次将是解决一些较复杂的综合余数问题（例2、4、6）。

一、基本性质的复习1、带余数除法算式：a÷b=q……r(a、b、q、r均为整数)从中我们应该得到：（1）b＞r 除数大于余数（2）a-r=b×q 被除数减去余数则会出现整除关系，则带余数问题就可以转化为整数问题。

2、余数的性质：（1）可加性：和的余数等于余数的和。

即：两数和除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数和。

例：7÷3=2……1 5÷3=1……2，则（7+5）÷3的余数就等于（1+2）÷3的余数0。

（2）可减性：差的余数等于余数的差。

即：两数差除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数差。

例：17÷3=5……2 5÷3=1……2，则（17-5）÷3的余数就等于（2-2）÷3的余数0。

（3）可乘性：积的余数等于余数的积。

即：两数积除以m的余数等于这两个数分别除以m的余数积。

例：64÷7=9……1 45÷7=6……3，则（64×45）÷3的余数就等于（1×3）÷7的余数3。

二、同余式在生活中，若两个自然数a和b都除以同一个除数m时，余数相同该如何表示呢？在代数中我们称之为同余。

即：a与b同余于模m。

意思就是自然数a和b关于m来说是余数相同的。

用同余式表达为：a≡b(modm).注：若a与b同余于模m，则a与b的差一定被m整除。

（余数的可减性）三、例题讲解例1、分析：此题实际上是带余数除法算式的一个应用。

“1013除以一个两位数余数为12”，说明1013减去12以后就会被这个两位数整除，则这个两位数应该是1013-12=1001的因数，且是大于12的两位因数。

学而思五年级数学教材第1讲平均数专题简析学而思五年级数学教材学而思五年级数学教材下面的数量关系必须牢记：平均数=总数量÷总份数总数量=平均数×总份数总份数=总数量÷平均数例1某3个数的平均数是2，如果把其中一个数改为4，平均数就变成了3，被改的数原来是多少？分析解答：原来三个数的和是2×3=6，后来个数的和是3×3=9，9比6多出了3，是因为把那个数改成了4，因此，原来的数应该是4-3=1.3×3-2×3=34-3=1答：被改的数原来是1.随堂练习：1、已知九个数的平均数是72 ，去掉一个数后，余下数的平均数是78，去掉的数是多少？2、有五个数，平均数是9，如果把其中的一个数改为1，那么这五个数的平均数为8.这个改动的数原来是多少？例2把五个数从小到大排列，其平均数时38，前三个数的平均数是27，后三个数的平均数是48，中间一个数是多少？分析解答：先求五个数的和：38×5=190.在秋初前三个数的和：27×3=81，后三个数的和：48×3=144.用前三个数的和加上后三个数的和，这样，中间的那个书就算了两次，必然比190多，而多出的部分就是所求的中间的一个数.27×3+48×3-38×5=35答：中间一个数是35.随堂练习：1、甲、乙、丙三人的平均年龄为22岁，如果甲乙的平均年龄是18岁，乙丙的平均年龄是25岁，那么乙的年龄是多少岁？2、十名参赛者平均分是82分，前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分，那么第5人和第6人的平均分是多少分？拓展训练1、化肥厂在一星期前3天平均每天生产化肥250吨，后4天共生产化肥1126吨，这个星期平均每天生产化肥多少吨？2、修一条渠，第一天修3小时，平均每小时修4.5千米;第二天修5小时,平均每小时修5.3千米,这两天平均每天修多少千米?平均每小时修多少千米?3、三个小组采集树种,第一小组10人,一天采集树种180千克;第二小组12人,一天采集树种240千克;第三小组13人,一天采集树种280千克.平均每人采集树种多少千克?4、张红前三次数学测验平均成绩是92分,第四次得了96分.他四次的平均成绩是多少分?5、下面是某小学五(1)中队第一小队向灾区捐款的情况统计表,请你算出平均每人捐多少元?6、55人,二、三班的平均人数是56人,一、三班的平均人数是52人,问这三个班各有多少人?7、 15个同学分连环画,平均每人分到7本,后又来了若干个同学,大家重新分配,平均每人分到5本,问又来了几名同学?8、甲、乙两地相距161千米.汽车从甲地到乙地用了3小时，从乙地返回甲地时，比去时多用了1小时，这辆汽车往返甲、乙两地的平均速度是多少？9、爸爸、妈妈的平均年龄是36.5岁，儿子的年龄是11岁，再过3年，他们三人的平均年龄是多少岁？10、九个数的平均数是72，去掉一个数后，余下的数的平均数是78，去掉的数是多少？11、韩磊期末考试语文、外语、思想品德和自然的平均成绩是81分，数学成绩公布后，他的平均成绩提高2分，他的数学成绩是多少分？12、五年级5个同学参加作文竞赛，其中4人的平均成绩是65分，加上李明的分数后，平均成绩就是70分，李明得了多少分？13、李华期末考试思想品德、语文、数学、英语、社会五科的平均成绩是89分，思想品德、数学两科的平均成绩是91分，语文、英语两科的平均成绩是84分，思想品德、英语两科的平均成绩是86分，且英语比语文多10分.问李华这五科的成绩各是多少分？第2讲倍数问题（一）专题分析：倍数问题是数学竞赛中的重要内容之一，它是指已知几个数的和或者差以及几个数的倍数关系，求这几个数的应用题.解答倍数问题，必须先确定一个数（通常选用较小的数）作为标准数，即1倍数，再根据其他几个数与这个数的关系，确定“和”或者“差”相当于这样的几倍.最后用用除法求出1倍数.和数÷（倍数＋1）＝较小数差数÷（倍数－1）＝较小数例1 两根同样长的铁丝，第一根剪去18米，第二根剪去26米，余下的铁丝第一根是第二根的3倍.原来两根铁丝各长多少米？分析解答：这两根铁丝的差保持不变，而剩下的铁丝的差依然是原来铁丝的差.根据余下的铁丝第一根是第二根的3倍.则余下的铁丝相差2倍.这样很容易计算第二根余下的铁丝是：（26－18）÷（3－1）＝4（厘米）则原第二根铁丝长30厘米.随堂练习：1、两根绳子一样长，第一根用去6.5米，第二根用去0.9米，剩下部分第二根是第一根的3倍.两根绳子原来各长多少米？2、一筐苹果和一筐梨的个数相同，卖掉40个苹果和5个梨后，剩下的梨是苹果的6倍.原来两筐水果一共有多少个？例2 甲组有图书是乙组的3倍，若乙组给甲组6本，则甲组的图书是乙组的5倍.原来甲组有图书多少本？分析解答：甲组的图书是乙组的3倍，若乙组拿出6本，甲组相应的也拿出6×3＝18（本），则甲组仍是乙组的3倍，事实上甲组不但没有拿出18本，反而接受了乙组的6本，这样24本正好对应后来两组的（5－3＝2）倍.因此后来乙组的图书是：（6×3＋6）÷（5－3）＝12（本）.则原来乙组为18本，甲组就是18×3＝54（本）.随堂练习：1、原来小明的画片是小红的3倍，后来二人个买了5张，这样小明的画片就是小红的2倍.原来二人各有多少张画片？2、一个书架分上下两层，上层的书的本数是下层的4倍，从下层拿出5本放入上层后，上层的本数正好是下层的5倍.原来下层有几本书？拓展训练1、幼儿园买来的苹果的个数是梨的3倍，吃掉10个梨和6个苹果后，还有苹果正好是梨的5倍.原来买来苹果和梨共多少个？2、两个数的和是682，其中一个数的个位是0，如果把这个0去掉，就得到另一个数.这两个数各是多少？3、甲粮库的存粮是乙粮库的2倍，甲粮库每天运出40吨，乙粮库每天运出30吨.若干天后，乙粮库的粮食全部运完，甲粮库还有80吨.甲乙粮库原来各有粮食多少吨？4、高年级同学分7人一组植树，已知杨树的棵数正好是杉树的2倍，如果每小组分到杉树6棵，杨树8棵，那么杉树正好分完，杨树还剩20棵.参加植树的一共有多少人？5、兄弟两人原有同样多的人民币，后来哥哥买了5本书，平均每本8.4元.弟弟买了3支笔，每支1.2元.现在弟弟的钱数是哥哥的3倍.兄弟两人原来各有多少钱？6、学校组织夏令营活动，如果参加的女生名额给5个男生，则男女生人数相等，如果参加的男生名额给4个女生，则男生人数是女生的一半.原定夏令营中男女生各多少人？7、体育室有排球和篮球共65个，已知篮球个数的3倍比排球个数的一半多20个.排球和篮球各有多少个？8、甲乙二人共存钱550元，当甲取出自己存款的一半，乙取出自己的70元时，两人余下的钱正好相等，求甲乙原来各存有多少钱？9、原来食堂里存的大米是面粉的4倍，大米和面粉各吃掉80千克，大米的重量是面粉的2倍.食堂里原来存有大米、面粉各多少千克？10、饲养场的白兔是黑兔的5倍，后来卖掉10只黑兔，买回来20只白兔，现在白兔的只数是黑兔的7倍.饲养场原来养白兔和黑兔各多少只？第3讲倍数问题（二）例1 幼儿园买来苹果的个数是梨的2倍，如果每组领3个梨和4个苹果，结果梨正好分完，苹果还剩16个.两种水果原来各有多少个？分析解答：因为苹果是梨的2倍，如果每组领梨3个，领苹果就应为6个，这样才会一起分完.可实际每组只分4个苹果，少分2个，剩下的16个苹果就告诉我们有8个组.因此苹果的个数是：8×4＋16＝48（个），梨有24个.随堂练习：同学们带着水果去看敬老院的老人，带的苹果是橘子的3倍，如果每位老人拿2个橘子和4个苹果，那么，橘子正好分完，苹果还多14个.问同学们把苹果分给了几位老人？例2 有两筐橘子，如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；如果从乙筐拿出13个放到甲筐，甲筐里的橘子是乙筐的2倍.甲乙两筐原来各有多少个橘子？分析解答：“如果从甲筐拿出8个放进乙筐，两筐的橘子就同样多；”表示两筐橘子相差16个，“如果从乙筐拿出13个放到甲筐，”表示现在两筐的橘子差距是16＋13×2＝42（个）“甲筐里的橘子是乙筐的2倍”说明现在倍数差是2－1＝1（倍），这样就可以计算现在乙筐的橘子数是：42÷1＝42（个）则原来就是55个.甲筐的计算就容易了.随堂练习：甲乙仓库存有货物，若从甲仓库取31吨放入乙仓库，则两仓库存货物同样多；若乙仓库取14吨放入甲仓库，则甲仓库的货物是乙仓库的4倍.原来两仓库各存货物多少吨？拓展训练1、养鸡场新买来100只小鸡，其中，母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只.买来母鸡、公鸡各多少只？思路：题中已知母鸡和公鸡只数的和是100只，就可以计算它们的4倍是400只.又因为母鸡只数的4倍比公鸡只数的3倍多120只，从400只去掉120只，就是公鸡只数的7倍，则公鸡的只数是40只，母鸡就是60只.2、有两块地共有80公顷，第一块地的3倍比第二块地的2倍少10公顷.这两块地各有多少公顷？3、养鸡场的母鸡只数是公鸡的6倍，后来公鸡和母鸡各增加60只，结果母鸡的只数就是公鸡的4倍.原来养鸡场一共养了多少只鸡？思路：养鸡场原来母鸡的只数是公鸡的6倍，如果公鸡增加60只，则母鸡应增加360只，这样才能保证母鸡是公鸡的6倍，实际上母鸡只增加了60只，少增加的300只就是母鸡只数是公鸡只数的4倍.所以现在的公鸡数是：60×（6－1）÷（6－4）＝150（只）原来的总数为：（150－60）×（1＋6）＝630（只）.4、今年，爸爸的年龄是小明的6倍，再过4年，爸爸的年龄就是小明的4倍.今年小明多少岁？练习七：5、有1800千克的货物，分装在甲乙丙三辆车上.已知甲车装的千克数正好是乙车的2倍，乙车比丙车多装200千克.甲乙丙三辆车各装货物多少千克？思路：把乙车看成1倍数，因为乙车比丙车多装200千克，甲车是乙车装的2倍，这样在总数中加上200千克，就可以看成乙车的4倍.所以乙车装了500千克.甲车和丙车就好计算了.6、三堆货物共1800箱，甲堆的箱数是乙堆的2倍，乙堆的箱数比丙堆少200箱，三堆货物各多少箱？7、甲乙丙三数的和是224，如果甲是乙的3倍，丙是甲的4倍，求甲乙丙三数各是多少？8、把840本书放在书架的三层里，下层放的本数比上层的3倍多5本，中层放的本数是上层的2倍多1本.问：上中下三层各放书多少本？9、甲乙两个书架，已知甲书架有书600本，从甲书架借出三分之一，从乙书架借出四分之三后，甲书架的书是乙书架的2倍还多150本.乙书架原来有书多少本？思路：先计算现在的甲书架的书的本数：600÷3×2＝400（本），根据甲书架的书是乙书架的2倍还多150本，可计算现在乙书架的书的本数：（400－150）÷2＝125（本），因为从乙书架借出四分之三后是125本，所以原来的本数是：125÷1×4＝500（本）.10、某校有男生630人，选出男生人数的三分之一和女生的四分之三去排练团体操，剩下的男生人数是女生人数的2倍.这个学校共有学生多少人？第4讲假设法解题专题分析：假设法解题是一种常用的思维方法，在一些应用题中，要求两个或两个以上的未知量，思考时可以先假设要求的两个或几个未知数相等，或者先假设两种要求的未知量是同一种量，然后按题中的已知条件进行推算，并对照已知条件，把数量上出现的矛盾加以适当的调整，最后找到答案.例1 有5元和10元的人民币共14张，共100元，问5元和10元的人民币各多少张？分析解答：先假设有14张5元的，则总数是70元，那么与实际相差30元，所以这30元就是10元人民币少出来的，因此10远人民币的张数是30÷（10－5）＝6（张）.也可以假设有14张10元的……随堂练习：1、笼中共有鸡兔100只，鸡和兔的脚共248只，求笼中鸡兔各多少只？2、一堆2分和5分的硬币共39枚，共值1.5元.问2分和5分的银币各有多少枚？3、营业员把一张5元的人民币和一张5角的人民币换成了28张票面为一元和一角的人民币.求换来的这两种人民币各多少张？例2 有一元、二元、五元的人民币50张，总面值为116元.已知一元的比二元的多2张，问三种面值的人民币各有多少张？分析解答：如果减少2张一元的，那么，总张数就是48张，总面值就是114元，这样一元和二元的张数就同样多了.假设48张都是5元的，则总面值为240元，比实际多了126元，这126元不仅包括把一元的假设为5元，而且包括把二元的假设为5元，这样在两张5元中就多了7元.所以二元的就有18张，一元的就有20张，五元的有12张.随堂练习：1、有3元、5元和7元的电影票400张，一共价值1920元.其中7元的和5元的张数相等，三种价值的电影票各有多少张？2、有一元、五元、十元的人民币共14张，总计66元，其中一元的比十元的多2张，问三种人民币各有多少张？3、有1角、2角、4角、5角的邮票共26张，总计6.9元.其中，1角和2角的张数相等，4角和5角的张数相等.求这四张邮票各有多少张？拓展练习1、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍.如果从这堆棋子中每次取出黑子4个，白子3个，那么取了多少次后，白子余1个，而黑子余18个？思路：假设每次取出3个白子，黑子应取出6个，那么白子剩下1个时，黑子应剩下2个.而实际剩下了18个，是因为每次少取了2个黑子.所以取了（18）÷（6－4）＝8（次）.2、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的3倍.如果从这堆棋子中每次同时取出黑子6个，白子3个，那么取了多少次后，白子余5个，黑子余36个？3、有黑白棋子一堆，其中黑子个数是白子个数的2倍.如果从这堆棋子中每次同时取出黑子3个，白子4个，那么取了多少次后，白子余2个，黑子余29个？4、操场上有一群同学，男生人数是女生的4倍，每次同时有2名男生和1名女生回教室，若干次后，男生剩下8人，女生剩下1人？操场上共有多少名同学？5、用大小两种汽车运货，每辆大汽车装18箱，每辆小汽车装12箱.现有18车货，价值3024元.若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元.问大小汽车各多少辆？思路：根据“若每箱便宜2元，则这批货物价值2520元.”可以知道一共便宜了504元，这样可以计算出货物有252箱.假设18辆都是大汽车，可以装324箱，比实际多装72箱.用一辆大汽车换一辆小汽车可少运6箱，所以有12辆小汽车.6辆大汽车.6、一辆卡车运矿石，晴天每天可运20次，雨天每天可运12次，它一共运了112次.平均每天运14次.这几天中有几天是雨天？7、有鸡蛋18箩，每只大箩装180个，每只小箩装120个，这批蛋共值302.4元.若将每个鸡蛋便宜2分出售，这些鸡蛋可卖252元.问大箩、小箩各有多少个？8、运来一批西瓜，准备分两类卖，大的每千克0.4元，小的每千克0.3元，这样卖这批西瓜共值290元.如果每千克西瓜降价0.05元，这批西瓜只能卖250元，问有多少千克大西瓜？9、甲乙二人投飞镖比赛，规定每中一次记10分，脱靶一次倒扣6分.两人各投10次，共得152分.其中甲比乙多得16分，问两人各中多少次？思路：根据共得152分.其中甲比乙多得16分，可计算甲得84分，乙得68分.甲投10次，假设全中.应得100分，这样比实际多了16分，由于脱靶一次扣6分，所以甲脱靶一次应扣16分，这样可计算出甲脱靶了1次.同理可计算乙脱靶了2次.那么计算甲乙投中的次数就容易了.10、百货公司委托搬运站送500只玻璃瓶，双方商定每只运费0.24元.如果打破一只，不但不给运费，而且还要赔偿1.26元，结果，搬运站共得运费115.50元.问搬运中打破了几只？第5讲作图法解题专题分析：用作图法把应用题的数量关系表示出来，使题意形象具体，一目了然，以便较快地找到解题的途径，它对解答条件隐蔽、复杂疑难的应用题，能起化难为易的作用.在解答已知一个数或者几个数的和差、差倍以及相互之间的关系、求其中一个数或者几倍数问题等应用题时，我们可以抓住题中给出的数量关系，借助线段图进行分析，从而列出算式.例1 五（一）班的男生人数和女生人数同样多.抽去18名男生和26名女生参加合唱团，剩下的男生人数是女生的3倍.五（一）班原有男女生多少人？分析解答：先作图：由于男生人数和女生人数同样多，抽去18名男生和26名女生参加合唱团，说明男生比女生少抽8名，剩下的男生人数是女生的3倍，这8名正好是剩下男女生相差的2倍.这样很容易计算剩下的女生是4人.则原有女生30名.随堂练习：1、两根电线一样长，第一根剪去50厘米，第二根剪去180厘米后，剩下部分，第一根是第二根长度的3倍.这两根电线原来共长多少厘米？2、甲乙两筐水果个数一样多，从第一筐中取出31个，第二筐中取出19个后，第二筐剩下的个数是第一筐的4倍.原来两筐水果各有多少个？3、哥哥现存的钱是弟弟的5倍，如果哥哥再存20元，弟弟再存100元.二人的存款正好相等.哥哥原来存有多少钱？例2 两根电线共长59米，如果第一根剪去3米，第一根电线的长度就是第二根的3倍.求原来两根电线各长多少米？分析解答：如果把第一根剪去3米，则总长是56米，这56米正好是原来第二根电线的4倍.这样计算就十分容易了.随堂练习：1、甲乙两筐苹果共重83千克，如果从甲筐取出3千克后，甲筐苹果的重量就是乙筐的4倍.甲乙两筐苹果原来各重多少千克？2、学校图书室共有图书和故事书250本，又买来50本科技书后，科技书的本数是故事书的2倍，学校图书馆原来各有科技书和故事书多少本？3、参加奥数竞赛集训的男生和女生共有21人，如果女生减少5名，男生人数就是女生的3倍，参加奥数竞赛集训的男女生各有多少人？拓展训练1、甲乙丙丁四个小组的同学共植树45棵，如果甲组多植2棵，乙组少植2棵，丙组植的棵数扩大2倍丁组植树减少一半，那么四个组植的树正好相同.原来四个小组各植树多少棵？思路：我们把现在的丙组看成1份，丁组则为4份，由于甲乙两组一组多2棵，一组少2棵，故总数不变.这样现在的丙组为：45÷（1＋4＋2＋2）＝5（棵）其他组的计算就简单了.2、甲乙丙丁四个数的和是100，甲数加上4，乙数减去4，丙数乘以4，丁数除以4，四个数正好相等，求这四个数.3、甲乙丙三人分113个苹果，如果把甲分得个数减去5，乙分得的个数减去24，丙把分得的个数送给别人一半后，三人的苹果个数相同.三人原来分得苹果各多少个？4、甲乙丙丁一共做370个零件，如果把甲做的个数加10，乙做的个数减少20，丙做的个数乘以2，丁做的个数除以2，四人做的零件就相同.求乙实际做了多少个？5、五（一）班全体同学做数学竞赛题，第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人.第二次及格人数增加5人.使及格的人数是不及格人数的6倍.五（一）班有多少人？思路：先作图，第二次及格人数增加5人，也就是不及格的减少5人，因为第一次及格人数是不及格人数的3倍多4人.那么及格人数应减少15人，这样及格与不及格相差24人，这24人对应着（6－3）倍.第二次不及格的人数就是8人.其他问题就容易计算了.6、有两筐苹果，甲筐水果的个数是乙筐的3倍，如果从乙筐中拿5个放进甲筐，这时甲筐的水果恰好是乙筐的5倍.原来两筐水果各有多少个水果？7、某车间有两个小组，A组的人数不B组人数的2倍多2人.如果从A组中抽10人去A组，则A组人数是B组的4倍.原来两组各有多少人？8、五（一）班上学期体育达标的人数比未达标人数的5倍多2人，今年又有2位同学达标，这样达标人数正好是未达标人数的7倍.这个班共有学生多少人？9、用绳子测井深，把绳子三折来量，井外余16分米，把绳子四折来量，井外余4分米，求井深和绳长.思路：把绳子三折来量，井外余16分米，就是绳长是井深的3倍多48分米，同理，把绳子四折来量，井外余4分米，就是绳长是井深的4倍多16分米，两次多余的差就正好是两次倍数的差.即井深是16分米.绳长计算就简单了.10、用一根绳子量大树的周长，把绳子2折后正好绕大树2圈，若把绳子3折，绕大树一圈还余30厘米.求大树的周长和绳长. 第6讲周期问题专题分析：周期问题是指事物在运动变化过程中，某些特征循环往复出现，其连续两次出现所经过的时间叫做周期.在数学上，不仅有专门研究周期现象的分支，而且平时解题时也常常碰到与周期有关的问题.这些数学问题只要我们发现某种周期现象，并充分加以利用，把要求的问题和某一周期的等式相对应，就能找到解题关键. 例1 有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？分析解答：249÷（5＋9＋13）＝9（组）……6（朵）这六朵花包括5朵红花和1朵黄花.红花：5×9＋5＝50（朵）黄花：9×9＋1＝82（朵）绿花：13×9＝117（朵）随堂练习：1、1÷7＝0.142857142857……，小数点后面第100个数字是多少？2、有47盏彩灯，按二盏红灯、四盏蓝灯、三盏黄灯的顺序排列着.最后一盏灯是什么颜色？三种颜色的灯各占总数的几分之几？3、在100米的跑道两侧每隔2米站着一个同学.这些同学从一端开始，按两女生，再一男生的规律站立着.问这些同学中共有多少个女生？例2 下面是一组数列，每3个相邻数字之和都是17，你知道“？”表示的数字是几吗？8（）（）（）？（）（）（）（）（）6分析解答：根据规律，第四个数一定是8，第二个数一定就是“6”.不信你数数就知道了.随堂练习：1、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是14，你知道“？”表示的数字是几吗？3（）（）（）？（）（）72、下面是一个数列，每3个相邻数字之和是15，你知道“？”表示的数字是几吗？你能填出其他数字吗？8（）（）（）（）？（）（）（）（）33、1998个7相乘，它的结果的末位数字是几？拓展训练1、2001年10月1日是星期一，那么，2002年1月1日是星期几？92÷7＝13（周）……1（天）星期一加上一天就是星期二了.2、2002年1月1日是星期二，2002年的儿童节是星期几？3、如果今天是星期五，那么80天后是星期几？4、以今天为标准，算一算今年你的生日是星期几？5、将奇数如下图排列，各列分别用A、B、C、D、E作为代表，问一问2001所在的列以哪个字母作为代表？A、B、C、D、E1、3、5、715、13、11、917、19、21、2331、29、27、25…………因为2001是一列数中的1001个数，所以1001÷8＝125……1.即2001这个数在B为代表的列中.6、将偶数2、4、6、8……按下图依次排列，2014出现在哪一列？A、B、C、D、E8、6、4、2、10、12、14、1624、22、20、18、26、28、30、32…………7、把自然数按下面规律排列，865排在哪一列？A、B、C、D、1、2、3、6、5、47、8、912、11、10…………8、小学生小学生小学生……热爱劳动热爱劳动热……上表中，将每列上下两个字组成一组，如第一组为（小热），第二组为（学爱）.……求460组是什么？9、有一个100位数，每位上的数字都是8，这个数除以7，当商是整数时，余数是几？88888……8÷7＝126984126984……余数分别是（146520循环）100÷7＝16……4所以余数就是5.10、有一个100位数，每位上的数字都是4，这个数除以3，当商是整数时，余数是几？第7讲置换问题专题分析：置换问题主要研究把数量关系的两种数量转换成一种数量，从而帮助我们找到解题方法的一类典型的应用题.“鸡兔同笼”问题就是一种比较典型的置换问题，解答置换问题一般用转换和假设这两种数学思维方法.解答置换问题应注意下面两点：1、根据数量关系把两种数量转换成一种数量，从而找出解题方法.2、把两种数量假设为一种数量，从而找出解题方法.例1 20千克苹果与30千克梨共计132元，2千克苹果的价钱与2.5千克梨的价钱相等.求苹果和梨的单价.。

第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。

而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。

而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。

通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。

知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ）例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。

我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。

提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。

（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。

新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。

2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。

所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。

因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。

第三讲 染色与覆盖本讲我们将一起学习染色与覆盖。

而这里所说的染色问题并不是要求如何染色，然后有多少种染色方法等数学问题。

而是一种解决逻辑推理题的一种方法，一种将研究对象分类的形象化的方法。

通过将要解决的问题适当的染色，可以使我们更形象的观察分析其中所蕴含的关系，在经过一定的推理从而得到问题的答案。

知识构架图： 染色问题 座位问题（例 ）路径问题（例 ）结点问题（例 ）覆盖问题 一般覆盖（例 ） 特殊形状覆盖（例 ）例题讲解一、 染色问题1、 座位染色问题例1：分析题中规定每个座位的前后左右都是他的邻座，那么35名同学每个人都恰好坐到它的邻座上能否办到？像这种问题我们该如何考虑呢？直接一步一步操作吗？很显然是很不现实的，那么有什么方法能让我们更直接的找到答案呢？染色。

我们将35个座位染成黑白相间的形式，一眼就能看出，每个黑色的座位都是白色座位的邻座，也就是说如果35名同学每个人都恰好能坐到它的邻座上，那么必然是，黑白位置对换，但从图中我们看到黑色17格，白色18格，黑白个数不相等，所以无法办到。

提高练习：（1）某影院有31排，每排29个座位，某天放映了两场电影，每个座位上都坐了一个观众，如果要求每个观众在看第二场电影时必须跟他前后左右相邻的某一观众交换座位，这样能办到吗？提示：总共31×29=899个座位，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以办不到。

（2）五年级一班有49名同学，共分成7排，每排7个人。

新年到了，每个同学都准备了一个礼物送给自己前后左右相邻的某一个同学，那么有没有可能每个同学都刚好收到一个别人送的礼物？提示：总共49名同学，染成黑白相间的情况时黑白个数不相等，所以不可能。

2、 路径问题例2：分析如果一次次的操作的话很难看出是否能够按要求办到。

所以我们按例1的方法，将9个小格染成黑白相间的颜色，很明显就能看出是不能办到的。

因为从A 格出去，第一步不管往哪走都会走入黑格，接着第二步又都会走入黑格，即走奇数步后进黑格，偶数步后进白格，这个人若要从A 格出去又要回到A 格，必须走9个格，所以最后一格必为黑才可以，而A 格为白格，所以不可以。

学而思五年级秋季第三讲知识总结循环小数（接上讲）5. 循环小数的四则运算① 加减法循环小数的加减法主要有两个方法，一是化成分数计算，二是多写几位列竖式。

如果各循环小数化成的分数分母都相同，即循环小数的循环节位数相同，我们一般用化分数的方法；在列竖式时，一定要多写几位，避免因退位和进位导致的错误。

对应题目：例3（1）、提3、尖3② 乘除法循环小数的乘除法方法只有一个，就是化成分数计算。

对应题目：例3（2）③ 混合运算运算顺序和整数、分数四则运算的顺序一样对应题目：例4、例5循环小数的四则运算，用到的本讲知识就是循环小数化分数，这个并不难。

但是要把题目算对，分数的四则运算一定要过关。

6. 循环小数与周期性我们知道，虽然有规律的数不一定是循环小数（0.10110111011110……），但是循环 小数一定是有规律的数，因此，循环小数经常与周期性相结合考察我们。

而在这个过程中，最常见的就是分母为7的分数化成的循环小数。

10.1428577∙∙= 20.2857147∙∙= 30.4285717∙∙= 40.5714287∙∙= 50.7142857∙∙= 60.8571427∙∙= 这是非常有名的轮值数，循环节是1、4、2、8、5、7这六个数字按固定的顺序进行循环。

这类循环小数的周期是6，且每个周期6个数字的和都是27。

对应题目：例6、尖4鸟头模型共角三角形如果两个三角形有一组角相等或相加为180°，那么称这两个三角形为一对共角三角形。

常见的共角三角形有以下4个图：这四幅图必须要牢记共角定理共角三角形的面积之比等于共角所在邻边乘积的比。

证明利用等高模型，了解即可。

如果题目中有上述4副图之一，则往往用鸟头模型去解题；如果没有，则考虑其他方法或构造鸟头模型。

解题步骤1.找共角三角形2.列比例关系式3.代入数据计算e度论坛网址：/五年级QQ群号：145672859薛老师计算练习下载：/thread-1096448-1-1.html薛老师经验分享：/thread-1096457-1-1.html郭老师计算基础练习/thread-1645805-1-1.html第三讲补充习题答案1. 将下列分数转化成有限小数：2718=___________1625=___________924=___________316=___________27450=___________【解析】： 2718=1.5 1625=0.0016 924=0.375 316=0.1875 27450=0.062. 将下列分数转化成循环小数： 127=___________511=___________1121=___________1718=___________3627=___________ 【解析】： 127=0.037∙∙ 511=0.45∙∙ 1121=0.523809∙∙ 1718=0.94∙ 3627=1.3∙3. 将下列有限小数转化成分数：0.47=___________ 1.95=___________ 3.84=___________0.64=___________ 11.75=___________ 103.57123=___________【解析】：0.47=47100 1.95=19120 3.84=21325 0.64=1625 11.75=3114103.57123=571231031000004. 将下列有循环小数转化成分数：0.231∙∙=___________ 0.53∙∙=___________ 0.378∙∙=___________ 0.1234∙∙=___________【解析】：0.231∙∙=77333 0.53∙∙=5399 0.378∙∙=2566 0.1234∙∙=61149505. 计算下列算式：0.370.5∙∙∙+= 0.3940.25∙∙∙∙-=【解析】：0.370.5∙∙∙+=0.92∙∙0.3940.25∙∙∙∙-=0.141869∙∙上讲回顾第三讲 鸟头模型1. 如图，三角形ABC 中，2DC BD =，3CE AE =，三角形ADE 的面积是20平方厘米，三角形ABC 的面积是多少？EDCBA【解析】： 3CE AE =，所以4AC AE =，4ADCADESS=；又2DC BD =，所以1.5BC DC =，1.56120ABC ADC ADE S S S ===(平方厘米)．2. 如图所示的△ABC 中，D ，E 分别是AB 和BC 上的点，已知BD =3AD ，CE =2BE ，△BDE的面积是5，那么△ABC 的面积是多少？B【解析】：由鸟头模型，:():()(13):(34)1:4BDE ABC S S BD BE AB BC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以三角形ABC 的面积为三角形BDE 的4倍为5×4=20．3. 在下图中，BE =2AB ，BC =2BD ，那么△ABC 和△BDE 面积有什么关系，为什么？EDCBA【解析】： 面积相等．根据鸟头模型:():()(12):(21)1:1BDE ABC S S BD BE AB BC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以它们面积相等．4. 已知两条线段AD 和BE 相交于C 点，并且:2:3AC CD =，BC:CE 1:3=，那么 :ABC CDE S S ∆∆=___________．E本讲巩固【解析】： :():()(21):(33)2:9ABC CDE S S AC BC CE CD ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=5. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E 为AB 的中点，2AF CF =，三角形AFE (图中阴影部分)的面积为8平方厘米．平行四边形的面积是多少平方厘米？A【解析】： 根据鸟头模型，:():()(12):(23)1:3AEF ABC S S AF AE AB AC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，而三角形AFE 的面积为8平方厘米，所以三角形ABC 的面积为8×3=24平方厘米，所以平行四边形面积为48平方厘米．6. 已知下图中的四边形ABCD 和BGFE 都是长方形，并且BC =2AB ，BE =2BG ，如果△ABG的面积是3平方厘米，那么△BCE 的面积是多少？GF EDCBA【解析】：△ABG 和△BCE 符合鸟头模型，所以:():()(11):(22)1:4ABG BCE S S AB BG BC BE ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以△BCE 的面积为3×4=12平方厘米．7. 已知△DEF 的面积为1，延长FD 到A ，使得AD =2DF ，延长DE 到B ，使得BE =3DE ，延长EF 到C ，使得CF =4EF ，那么△ABC 的面积是多少？【解析】： 使用三次鸟头模型，:():()(24):(11)8:1ABD DEF S S AD BD DE DF ∆∆=⨯⨯=⨯⨯= :():()(35):(11)15:1BCE DEF S S BE CE ED EF ∆∆=⨯⨯=⨯⨯= :():()(34):(11)12:1ACF DEF S S AF FC FD FE ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=所以△ABD 、△BCE 、△ACF 面积分别为8,15,12，所以△ABC 总面积为8+15+12+1=36．8. 已知四边形ABCD 的面积为2，将DA 延长到E ，使得AE =2AD ，延长AB 到F ，使得BF=4AB ，延长BC 到G ，使得CG=2BC ，延长CD 到H ，使得DH=4CD ，那么四边形EFGH 的面积是多少？GFGFGF【解析】： 连接AC ，根据鸟头模型，:():()(11):(34)1:12ADC DEH S S AD DC DE DH ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以12DEH ADC S S ∆∆=， :():()(11):(34)1:12ABC FBG S S AB BC BF BG ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以12FBG ABC S S ∆∆=，所以121212()1224DEH FBG ADC ABC ADC ABC ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==； 连接BD ，根据鸟头模型，:():()(11):(25)1:10BAD EAF S S AB AD EA FA ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以10EAF BAD S S ∆∆=，:():()(11):(25)1:10BCD HCG S S BC CD HC CG ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以10HCG BCD S S ∆∆=，所以101010()1020EAF HCG ABD BCD ABD BCD ABCD S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆+=+=+==； 因此，四边形EFGH 面积为24+20+1=45．9. （第五届走美杯五年级初赛）正方形ABCD 边长为6，AE ＝13AC ，CF ＝13BC ．三角形DEF 的面积为多少？CA【解析】：因为13AE AC =,所以三角形ADE 的面积为三角形ACD 的13，即正方形ABCD 的111236⨯=．因为1CF 3BC =，所以三角形DCF 的面积是正方形面积的111236⨯=． 又根据鸟头模型，:():()(12):(33)2:9CEF ABC S S CF CE BC AC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=，所以三角形CEF 面积是三角形ABC 的29，也就是说四边形ABEF 占三角形ABC 的79，也就是正方形面积的7179218⨯=．所以周围三个空白部分面积占正方形面积的1175661818++=，所以阴影面积占518，正方形面积的是6×6=36，所以阴影三角形面积为36×518=10．10. 已知下图中△DEF 面积为13平方厘米，并且DA =DC ，EB =4EA ，FC =3FB ，求出△ABC的面积是多少？A【解析】：根据鸟头模型:():()(11):(25)1:10ADE ABC S S AD AE AB AC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯= :():()(13):(24)3:8CDF ABC S S CD CF BC AC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=:():()(14):(45)1:5BEF ABC S S BE BF AB AC ∆∆=⨯⨯=⨯⨯=所以，△ADE ，△CDF 和△BEF 面积总共占△ABC 面积的13127108540++=，那么△DEF 占△ABC 面积的1340，而△DEF 的面积是13平方厘米，所以△ABC 的面积是4。