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数学建模第三讲层次分析法在数学建模的领域中，层次分析法（Analytic Hierarchy Process，简称 AHP）是一种相当实用且重要的决策方法。
它能够帮助我们在面对复杂的多准则决策问题时，做出更为合理、科学的决策。
那么，什么是层次分析法呢？简单来说，层次分析法就是把一个复杂的问题分解成若干个层次，通过两两比较的方式，确定各层次元素之间的相对重要性，最后综合这些比较结果，得出最终的决策方案。
比如说，我们要选择一个旅游目的地。
这时候，可能会考虑多个因素，比如景点吸引力、交通便利性、住宿条件、餐饮质量、费用等等。
这些因素就构成了不同的层次。
然后，我们会对每个因素进行两两比较，比如景点吸引力比交通便利性更重要吗？重要多少？通过这样的比较，我们就能给每个因素赋予一个相对的权重。
为了更清楚地理解层次分析法，我们来看看它的具体步骤。
第一步，建立层次结构模型。
这是层次分析法的基础。
我们需要把问题分解成目标层、准则层和方案层。
目标层就是我们最终要实现的目标，比如选择最佳的旅游目的地。
准则层就是影响目标实现的各种因素，像前面提到的景点吸引力、交通便利性等等。
方案层就是我们可以选择的具体方案，比如去三亚、去桂林、去丽江等等。
第二步，构造判断矩阵。
在这一步，我们要对同一层次的元素进行两两比较，比较它们对于上一层某个元素的重要性。
比较的结果通常用 1 9 标度法来表示。
比如说，如果因素 A 比因素 B 稍微重要，就给A 对B 的比较值赋 3；如果 A 比 B 明显重要，就赋 5；如果 A 比 B 极端重要，就赋 9。
反过来，如果 B 比 A 稍微重要，就给 B 对 A 的比较值赋 1/3，以此类推。
第三步，计算权重向量并进行一致性检验。
通过数学方法，比如特征根法，计算出每个判断矩阵的最大特征值和对应的特征向量。
这个特征向量就是我们所需要的权重向量。
但是，为了确保我们的判断是合理的，还需要进行一致性检验。
如果一致性比率小于 01，就认为判断矩阵的一致性是可以接受的；否则，就需要重新调整判断矩阵。
四类基本模型1 优化模型1.1 数学规划模型线性规划、整数线性规划、非线性规划、多目标规划、动态规划。
1.2 微分方程组模型阻滞增长模型、SARS 传播模型。
1.3 图论与网络优化问题最短路径问题、网络最大流问题、最小费用最大流问题、最小生成树问题(MST)、旅行商问题(TSP)、图的着色问题。
1.4 概率模型决策模型、随机存储模型、随机人口模型、报童问题、Markov 链模型。
1.5 组合优化经典问题● 多维背包问题(MKP)背包问题：n 个物品，对物品i ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何将尽可能多的物品装入背包。
多维背包问题：n 个物品，对物品i ，价值为i p ，体积为i w ，背包容量为W 。
如何选取物品装入背包，是背包中物品的总价值最大。
多维背包问题在实际中的应用有：资源分配、货物装载和存储分配等问题。
该问题属于NP 难问题。
● 二维指派问题(QAP)工作指派问题：n 个工作可以由n 个工人分别完成。
工人i 完成工作j 的时间为ij d 。
如何安排使总工作时间最小。
二维指派问题（常以机器布局问题为例）：n 台机器要布置在n 个地方，机器i 与k 之间的物流量为ik f ，位置j 与l 之间的距离为jl d ，如何布置使费用最小。
二维指派问题在实际中的应用有：校园建筑物的布局、医院科室的安排、成组技术中加工中心的组成问题等。
● 旅行商问题(TSP)旅行商问题：有n 个城市，城市i 与j 之间的距离为ij d ，找一条经过n 个城市的巡回（每个城市经过且只经过一次，最后回到出发点），使得总路程最小。
● 车辆路径问题(VRP)车辆路径问题（也称车辆计划）：已知n 个客户的位置坐标和货物需求，在可供使用车辆数量及运载能力条件的约束下，每辆车都从起点出发，完成若干客户点的运送任务后再回到起点，要求以最少的车辆数、最小的车辆总行程完成货物的派送任务。
TSP 问题是VRP 问题的特例。
● 车间作业调度问题(JSP)车间调度问题：存在j 个工作和m 台机器，每个工作由一系列操作组成，操作的执行次序遵循严格的串行顺序，在特定的时间每个操作需要一台特定的机器完成，每台机器在同一时刻不能同时完成不同的工作，同一时刻同一工作的各个操作不能并发执行。
数学建模综合评价与决策方法讲义一、综合评价方法1. 层次分析法（Analytic Hierarchy Process, AHP）-建立层次结构模型，将问题分解为若干层次的子目标。
-设定评价指标，确定各级指标的权重。
-进行判断矩阵的构建和归一化处理，计算各指标的相对重要性。
-计算得到各评价对象的综合得分。
2.评价函数法-建立指标体系，确定评价指标及其权重。
-设定评价函数，将指标的具体取值代入评价函数中计算得分。
-对各个评价对象进行综合评价，得到最终得分。
3.灰色关联分析法-将评价对象的指标数据进行标准化处理。
-计算各指标与评价对象的关联度，并对其进行等级排序。
-综合各指标的关联度得到评价对象的综合得分。
4.主成分分析法-将指标变量进行标准化处理。
-计算相关系数矩阵，并求取其特征值和特征向量。
-选择主成分，计算得到各指标的主成分系数。
-根据主成分系数计算各评价对象的得分。
二、决策方法1.线性规划-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定约束条件，包括线性约束和非负约束等。
-进行优化求解，得到最优解。
2.整数规划-在线性规划的基础上，限制决策变量为整数。
-利用启发式算法（如分支定界法、遗传算法等）求解整数规划问题。
3.动态规划-将问题划分为若干个阶段，设计状态变量和状态转移方程。
-确定决策变量和目标函数。
-利用递归的方式，从最后一个阶段开始向前推导，得到最优解。
4.决策树-建立决策树模型，将问题划分为若干个决策节点和叶节点。
-根据数据集的属性值进行分割，选择最优的分割属性。
-递归地构建决策子树，对新样本进行分类。
5.模拟退火算法-建立数学模型，确定决策变量和目标函数。
-设定初始解和目标函数的初始值。
-迭代过程中，通过接受非优解的概率来避免陷入局部最优解，以找到全局最优解。
以上是数学建模中常用的综合评价和决策方法，在实际问题中可以根据具体情况选择合适的方法进行分析和求解。
数学建模的综合评价和决策方法能够帮助我们在不确定和复杂的问题中做出合理的决策，并找到最优解。
武大数学建模培训多目标决策模型层次分析法P代数模型离散Document number：BGCG-0857-BTDO-0089-2022层次分析法建模层次分析法（AHP－Analytic Hierachy process）---- 多目标决策方法70 年代由美国运筹学家T·L·Satty提出的，是一种定性与定量分析相结合的多目标决策分析方法论。
吸收利用行为科学的特点，是将决策者的经验判断给予量化，对目标（因素）结构复杂而且缺乏必要的数据情况下，采用此方法较为实用，是一种系统科学中，常用的一种系统分析方法，因而成为系统分析的数学工具之一。
传统的常用的研究自然科学和社会科学的方法有：机理分析方法：利用经典的数学工具分析观察的因果关系；统计分析方法：利用大量观测数据寻求统计规律，用随机数学方法描述（自然现象、社会现象）现象的规律。
基本内容：（1）多目标决策问题举例AHP建模方法（2）AHP建模方法基本步骤（3）AHP建模方法基本算法（3）AHP建模方法理论算法应用的若干问题。
参考书： 1、姜启源，数学模型（第二版，第9章；第三版，第8章），高等教育出版社2、程理民等，运筹学模型与方法教程，（第10章），清华大学出版社3、《运筹学》编写组，运筹学（修订版），第11章，第7节，清华大学出版社一、问题举例：A．大学毕业生就业选择问题获得大学毕业学位的毕业生，“双向选择”时，用人单位与毕业生都有各自的选择标准和要求。
就毕业生来说选择单位的标准和要求是多方面的，例如：①能发挥自己的才干为国家作出较好贡献（即工作岗位适合发挥专长）；②工作收入较好（待遇好）；③生活环境好（大城市、气候等工作条件等）；④单位名声好（声誉-Reputation）；⑤工作环境好（人际关系和谐等）⑥发展晋升（promote, promotion）机会多（如新单位或单位发展有后劲）等。
问题：现在有多个用人单位可供他选择，因此，他面临多种选择和决策，问题是他将如何作出决策和选择——或者说他将用什么方法将可供选择的工作单位排序Ｂ.假期旅游地点选择暑假有3个旅游胜地可供选择。
例如：1P ：苏州杭州，2P 北戴河，3P 桂林，到底到哪个地方去旅游最好要作出决策和选择。
为此，要把三个旅游地的特点，例如：①景色；②费用；③居住；④环境；⑤旅途条件等作一些比较——建立一个决策的准则，最后综合评判确定出一个可选择的最优方案。
目标层准则层方案层C ．资源开发的综合判断7种金属可供开发，开发后对国家贡献可以通过两两比较得到，决定对哪种资源先开发，效用最用。
二、问题分析：例如旅游地选择问题：一般说来，此决策问题可按如下步骤进行： （S1）将决策解分解为三个层次，即：目标层：（选择旅游地）准则层：（景色、费用、居住、饮食、旅途等5个准则） 方案层：（有1P ，2P ，3P 三个选择地点） 并用直线连接各层次。
（S2）互相比较各准则对目标的权重，各方案对每一个准则的权重。
这些权限重在人的思维过程中常是定性的。
例如：经济好，身体好的人：会将景色好作为第一选择；中老年人：会将居住、饮食好作为第一选择； 经济不好的人：会把费用低作为第一选择。
而层次分析方法则应给出确定权重的定量分析方法。
（S3）将方案后对准则层的权重，及准则后对目标层的权重进行综合。
（S4）最终得出方案层对目标层的权重，从而作出决策。
以上步骤和方法即是AHP 的决策分析方法。
三、确定各层次互相比较的方法——成对比较矩阵和权向量在确定各层次各因素之间的权重时，如果只是定性的结果，则常常不容易被别人接受，因而Santy 等人提出：一致矩阵法．．．．．即：1. 不把所有因素放在一起比较，而是两两相互比较2. 对此时采用相对尺度，以尽可能减少性质不同的诸因素相互比较的困难，提高准确度。
因素比较方法 —— 成对比较矩阵法：目的是，要比较某一层n 个因素n C C C , ,,21 对上一层因素O 的影响（例如：旅游决策解中，比较景色等5个准则在选择旅游地这个目标中的重要性）。
采用的方法是：每次取两个因素i C 和j C 比较其对目标因素O 的影响，并用ij a 表示，全部比较的结果用成对比较矩阵表示，即：)1( 1,0 ,)(=⋅=>=ij ij ijji ij nxn ij a a a a a a A 或 （1）由于上述成对比较矩阵有特点： jiij ij ij a a a a A 1 ,0 , )(=>= 故可称A 为正互反矩阵：显然，由 jiij a a 1=，即：1=⋅ji ij a a ，故有：1=ji a例如：在旅游决策问题中：2112=a =（费用）（景色）21C C 表示：⎩⎨⎧2O 1O 21的重要性为（费用）对目标的重要性为景色）对目标（C C 故：），费用重要性为即景色重要性为21(2112=a14413==a = （居住条件）（景色）31C C 表示：⎩⎨⎧1O C 4O (31的重要性为（居住条件）对目标的重要性为景色）对目标C 即：景色为4，居住为1。
17723==a =（居住条件）（费用）32C C 表示：⎩⎨⎧1O C 7O (32的重要性为（居住条件）对目标的重要性为费用）对目标C 即：费用重要性为7，居住重要性为1。
因此有成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1135131112513131211714155337412121A 问题：稍加分析就发现上述成对比较矩阵的问题：① 即存在有各元素的不一致性，例如：既然：41114a ;22113313113212112==⇒===⇒==a a C C a C C a 所以应该有：188412131231213223======C C C C a a C C a而不应为矩阵A 中的1723=a②成对比较矩阵比较的次数要求太 ，因：n 个元素比较次数为：!2)1(2-=n n C n 次， 因此，问题是：如何改造成对比较矩阵，使由其能确定诸因素nC C , ,1 对上层因素O 的权重对此Saoty 提出了：在成对比较出现不一致情况下，计算各因素n C C , ,1 对因素（上层因素）O 的权重方法，并确定了这种不一致的容许误差范围。
为此，先看成对比较矩阵的完全一致性——成对比较完全一致性四：一致性矩阵Def ：设有正互反成对比较矩阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=============== 1 a , , 1 , , 1 1nn 221122222212211121121111n n n n n n j i ij n n nn W W W W a W W a W Wa W W a W W a W W a W W a W W a W W a A(4) 除满足：（i ）正互反性：即)1 ( 10=⋅=>ji ij jiij ij a a a a a 或 而且还满足：（ii ）一致性：即i, j 1, 2, n i ik ij ik kj j j ka aa a a a a ==⋅==则称满足上述条件的正互反对称矩阵A 为一致性矩阵，简称一致阵。
一致性矩阵（一致阵）性质： 性质1：A 的秩 Rank(A)=1A 有唯一的非0的最大特征根为n性质2：A 的任一列（行）向量都是对应特征根n 的特征向量：即有(特征向量、特征值)：⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n n n W W W W W W W W W W WW W W W W W W A212221212111，则向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=321W W W W满足：n nW nW nW W W W W W W W W W W W W W W W A n n n nn n n=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=21212112111 即： 0)(=-W nI A启发与思考：既然一致矩阵有以上性质，即n 个元素W 1, W 2, W 3 , …W n 构成的向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=→n W W W W 21是一致矩阵A 的特征向量，则对一致矩阵A 来说，可以把一致矩阵A 的特征向量→W 求出之后，再把一致矩阵A 的特征向量→W 归一化后得到的向量→ω，看成是诸元素W 1, W 2, W 3 , …W n目标O 的权向量。
因此，可以用求一致矩阵的特征根和特征向量的办法，求出元素W 1, W 2, W 3 , …W n 相对于目标O 的权向量。
解释：一致矩阵即：n 件物体n M M M , , ,21 ，它们重量分别为n W W W , , ,21 ，将他们两比较重量，其比值构成一致矩阵，若用重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W 21右乘A ，则：()⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎧∑⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛称特征根法，求权向量的方法量权向量，此种用特征向为即对上层因素O的权重，，C ，，C C ，就表示诸因素＝W＝则归一化后的特征向量，＝：重量向量 为特征根的特征向量为以的特征根为n 21 1W W W W ,121 i n W W W n n A分析：若重量向量⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n W W W W 21未知时，则可由决策者对物体n M M M , , ,21 之间两两相比关系，主观作出比值的判断，或用Delphi （调查法）来确定这些比值，使A 矩阵（不一定有一致性）为已知的，并记此主观判断作出的矩阵为（主观）判断矩阵A ，并且此A （不一致）在不一致的容许范围内，再依据：A 的特征根或和特征向量W 连续地依赖于矩阵的元素ij a ，即当ij a 离一致性的要求不太远时，A 的特征根i 和特征值（向量）W 与一致矩阵A 的特征根λ和特征向量W 也相差不大的道理：由特征向量W 求权向量W 的方法即为特征向量法，并由此引出一致性检查的方法。
问题：Remark以上讨论的用求特征根来求权向量W 的方法和思路，在理论上应解决以下问题：1．一致阵的性质1是说：一致阵的最大特征根为n （即必要条件），但用特征根来求特征向量时，应回答充分条件：即正互反矩阵是否存在正的最大特征根和正的特征向量且如果正互反矩阵A 的最大特征根n =max λ时，A 是否为一致阵2．用主观判断矩阵A 的特征根λ和特征向量W 连续逼近一致阵A 的特征根λ和特征向量W 时，即： 由λλ=→k kk lim得到：W W k k =∞→lim即： A A k k =∞→lim是否在理论上有依据。
3．一般情况下，主观判断矩阵A 在逼近于一致阵A 的过程中，用与A 接近的*A 来代替A ，即有A A ≈*，这种近似的替代一致性矩阵A 的作法，就导致了产生的偏差估计问题，即一致性检验问题，即要确定一种一致性检验判断指标，由此指标来确定在什么样的允许范围内，主观判断矩阵是可以接受的，否则，要重新两两比较构造主观判断矩阵。
